Thèse HELAIMI

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE
MOHAMED BOUDIAF ORAN
FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE
THESE
Présentée par :
HELAIMI M’HAMED
Pour obtenir le diplôme
DOCTORAT EsEs-Science
Spécialité : Electrotechnique
Option : Commande électrique
THEME
CONTRIBUTION A LA COMMANDE D’UN ONDULEUR
A RÉSONANCE DESTINE AU CHAUFFAGE PAR INDUCTION
Soutenue le : 19/06/2014 devant le jury composé de :
Mr. M. BOURAHLA
Professeur
MB-UST Oran
Président
Mr. B. BELMADANI
Professeur
UHB Chlef
Encadreur
Mr. A. MANSOURI
Professeur
ENP Oran
Examinateur
Mr. K. M. ZEMELACHE
MCA
MB-UST Oran
Examinateur
Mr. M. CHENAFA
MCA
ENP Oran
Examinateur
Mr. G. BACHIR
MCA
MB-UST Oran
Examinateur
Année universitaire : 2013-2014
Je tiens à adresser mes plus sincères remerciements aux membres du
jury: le Professeur M. BOURAHLA,
BOURAHLA le Professeur A.
MANSOURI,
MANSOURI le Docteur M. CHENAFA,
CHENAFA le Docteur G. BACHIR
et le Docteur K. M. ZEMELACHE
ZEMELACHE.
EMELACHE
Je remercie tout particulièrement Monsieur Bachir BELMADANI,
Professeur à l’Université de Chlef, de m'avoir encadré durant ces années
de Doctorat en étant toujours disponible et encourageant, pour son aide et
conseils et pour ses grandes valeurs humaines.
J’associe
à
ces
remerciements
Monsieur
Mustapha
BENGHANEM
BENGHANEM, Docteur à l’université des sciences et de la technologie
d’Oran, pour sa disponibilité lors des nombreux échanges de vues qui ont
contribué à l’aboutissement de cette thèse.
Je voudrais exprimer mes remerciements les plus sincères à Professeur
Maamar BETTAYEB, professeur à l’université de Sharjah pour ses
directives fort intéressantes et son soutien considérable, qu'il soit
scientifique ou moral. Je tiens également à saluer son grand
professionnalisme d'encadrement, ainsi que son talent à gérer les
divergences d'opinions.
Je voudrais dédier cette thèse aux êtres qui me sont les plus chers au
monde, les membres de ma famille, mon père, ma mère « allah
yarhameha», mes frères et mes sœurs,
sœurs ma femme et plus spécialement à
mes enfants Abderahmane et Amouna sans oublier ma femme « allah
yarhameha » pour sa patience et les sacrifices qu’elle a consentis pendant
la préparation de la thèse.
Finalement,je remrci beacoup mes amis : Djillali,
Djillali Ghanem
Ghanem,Kamel
em Kamel,
Kamel,
Latroche, Djamel, Sofiane,
Sofiane, Hadj,…
Hadj,….
,….
Liste des symboles
Liste des symboles
L’induction magnétique
Le champ électrique
La densité volumique de charge électrique
La permittivité diélectrique du vide
La densité de courant électrique
La perméabilité du vide
La conductivité électrique
La perméabilité relative du milieu
La température
La masse volumique
La chaleur spécifique
La conductibilité thermique
La densité volumique de puissance dissipée localement
Le flux de chaleur perdu par convection
Le flux de chaleur perdu par rayonnement
Le vecteur normal unitaire à la surface
Le coefficient de convection
La température de surface de la charge
La température de fluide
La constante de Stefan
L’émissivité
La fréquence du courant imposé dans l’inducteur
La résistivité électrique de la pièce considérée
La profondeur de pénétration
La masse de la pièce à chauffer
Liste des symboles
La température ambiante
La capacité thermique relative du matériau
Le temps nécessaire pour le chauffage
Le rayon de la pièce à chauffer
La longueur de la pièce à chauffer
La puissance transmise à la charge
La puissance dissipée dans l’inducteur
Le rendement électrique
,
La pulsation
"
Le facteur de qualité d’un circuit résonant série
"#
Le facteur de qualité d’un circuit résonant parallèle
Les pertes par commutation
$
La tension de commutation
%
Le courant de commutation
La fréquence de commutation
Le temps de fermeture
&
Le temps d’ouverture
'() ( )
La tension imposée par l’onduleur
,, , , ,-
Les angles du palier nul de la tension
( et )
Les coefficients de Fourier
.
L’amplitude de la tension imposée
/0
Le taux de distorsion harmonique
Le déphasage
1
La valeur du facteur de forme
2
L’inductance du filtre
3
La capacité du filtre
.4
La tension en sortie du redresseur
Liste des symboles
$
La tension en sortie du filtre LC
( )
( )
0(
Le courant traversant l’inductance série
Le courant traversant l’inducteur
)
( )
Le courant qui traverse la diode
Le courant qui traverse le transistor
L’inductance mutuelle
5
6
La résistance équivalente
2
6
L’inductance équivalente
7
Le coefficient du couplage
8
La constante de temps
2
L’inductance ramenée au primaire du transformateur
5
La résistance ramenée au primaire du transformateur
3
La capacité ajoutée
( )
La tension aux bornes de la capacité
9
L’impédance totale
/
Le gain en courant
/
Le gain en tension
#
La pulsation du circuit parallèle
Le rapport des pulsations
2
Le rapport des inductances
5
La partie réelle de l’impédance totale
%
La partie imaginaire de l’impédance totale
Le déphasage du courant par rapport à la tension
:
Le nombre de spires de l’inducteur
;( )
Le vecteur d’état
'( )
Le vecteur de commande
<( )
Le vecteur de sortie
Liste des symboles
0
Le rapport cyclique
= ,. ,>
Le point d’équilibre
?( )
;
Le vecteur d’état perturbé
?( )
'
Le vecteur de commande perturbé
?( )
<
Le vecteur de sortie perturbé
A
@
La phase du signal d’entrée
B4
Le facteur de sensibilité du comparateur de phase
B ,8
Les paramètres du filtre
B
Le facteur de sensibilité du VCO
A
@
La phase issue du VCO
C
22 (
)
La fonction de transfert du circuit PLL
Le temps de montée
D
L’amortissement
Le temps de réponse
0
Le dépassement
,
#
La pulsation propre
C( )
La fonction de transfert du système étudié
C ( )
La fonction de transfert du système réduit
B'
Le gain critique
'
B#
La période critique
Le gain proportionnel
La constante d’intégration
B#&
&
B#1
1
Le gain proportionnel optimal
La constante d’intégration optimale
Le gain proportionnel
La constante d’intégration
Liste des figures
Liste des figures
Fig. I.1
: Exemple d’inducteurs utilisés en milieu industriel
1
Fig. I.2
: Schémas équivalents de l’inducteur et la pièce de travail
9
Fig. I.3
: La configuration RLC série
11
ier
Fig. I.4
: La configuration RLC parallèle (1 type)
12
Fig. I.5
: La configuration parallèle (2ème type)
13
Fig. I.6
: La configuration série-parallèle type LLC
14
Fig. I.7
: La configuration RLC en demi-pont
14
Fig. I.8
: La configuration RLC série à diviseur asymétrique
15
Fig. I.9
: La topologie LCC en demi-pont
15
Fig. I.10
: La configuration LLC à deux circuits oscillants
16
Fig. I.11
: boucle de régulation de puissance fournie à la pièce traitée
20
Fig. II.1
: Principe de chauffage par induction d’une pièce cylindrique
27
Fig. II.2
: Distribution de la chaleur dans une pièce cylindrique
30
Fig. II.3
: Répartition de la densité de courant depuis la surface
31
Fig. II.4
: L’évolution de
en fonction de
pour différentes valeurs de
33
Fig. II.5
: L’évolution de
en fonction de
pour différentes valeurs de
34
Fig. II.6
: La résistivité de l’acier en fonction de la température
34
Fig. II.7
: Forme cylindrique d’un acier
35
Fig. II.8
: Circuits RLC série et parallèle
38
Fig. II.9
: L’évolution du déphasage
39
Fig. II.10
: La commutation dure
41
Fig. II.11
: La commutation dure adoucie
41
Fig. II.12
: La commutation douce (ZVS, ZCS)
41
Fig. II.13
: Formes d’onde de la tension et le courant
43
Fig. II.14
: Formes d’ondes de la tension et du courant
44
Fig. II.15
: Formes d’ondes de la tension et du courant
45
Fig. II.16
: Variation de la tension normalisée en fonction de
46
Fig. II.17
: Variation de la phase en fonction de
47
Fig. II.18
: Variation du taux de distorsion harmonique en fonction de
48
Liste des figures
Fig. II.19
: Forme générale de la tension imposée par l’ordinateur
Fig. II.20
: L’évolution de
Fig. II.21
: L’évolution de ∅ en fonction de
et
pour
= 180°
50
Fig. II.22
: L’évolution de ∅ en fonction de
et
pour
= 90°
50
Fig. II.23
: Variation de
Fig. III.1
: Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
53
Fig. III.2
: Redresseur triphasé type PD3
54
Fig. III.3
: Le filtre LC
55
Fig. III.4
: Schéma détaillé de la commande utilisée
56
Fig. III.5
: Principe de la boucle de puissance
57
Fig. III.6
: Différentes phases de fonctionnement
58
Fig. III.7
: Principales phases de fonctionnement de l’onduleur
59
Fig. III.8
: Phase 01
60
Fig. III.9
: Phase 02
61
Fig. III.10
: Phase 03
61
Fig. III.11
: Phase 04
62
Fig. III.12
: Phase 05
62
Fig. III.13
: Phase 06
63
Fig. III.14
: Phase 07
63
Fig. III.15
: Phase 08
64
Fig. III.16
Forme d’onde des Tensions et courants aux niveaux des interrupteurs
65
Fig. III.17
: Transformateur avec secondaire court-circuité
67
Fig. III.18
: Une charge avec un transformateur d’adaptation
69
Fig. III.19
: Schéma équivalent simplifié
69
Fig. III.20
: Variation du module de
72
Fig. III.21
: Variation de la phase en fonction de
72
Fig. III.22
: Forme d’onde de la tension imposée aux bornes du circuit oscillant
73
Fig. III.23
: Variation du module de
Fig. III.24
: Variation du module de
Fig. III.25
: Variation du module de
en fonction de
et
pour
= 180°
en fonction de l’angle
en fonction de
.
.
48
49
51
en fonction de
75
en fonction de
75
en fonction de
75
Liste des figures
Fig. III.26
: Variation du gain en tension en fonction de
76
Fig. III.27
: Variation de la phase du gain en tension en fonction de
77
Fig. III.28
: L’influence du rapport des inductances sur le gain en tension
77
Fig. III.29
: Variation du gain en courant fonction de
78
Fig. III.30
: Variation de l’argument du gain en courant en fonction de
79
Fig. III.31
: Evolution du rapport !" en fonction de #
82
Fig. III.32
: Evolution du rapport gain en courant en fonction de !"
82
Fig. III.33
: Forme d’onde de la tension $ (&) et le courant () (&)
86
Fig. III.34
: Formes d’ondes de la tension *+ (&) et le courant ((&)
86
Fig. III.35
: La commutation à zéro de tension
87
Fig. III.36
: Forme d’onde de : $ (&) et ((&) pour
Fig. IV.1
: Les différentes étapes de la modélisation
92
Fig. IV.2
: Analyse topologique de l’onduleur
92
Fig. IV.3
: Modèle à grands signaux
95
Fig. IV.4
: Comparaison des réponses des différentes sorties du système
96
Fig. IV.5
: Modèle à petits signaux
99
Fig. IV.6
: Le schéma bloc du convertisseur
101
Fig. IV.7
: Diagramme de Bode des deux fonctions de transfert
102
Fig. IV.8
: Modèle à petits signaux de la commande proposée
103
Fig. IV.9
: Schéma bloc de la commande PLL
103
Fig. IV.10
: La réponse fréquentielle du système en boucle ouverte
105
Fig. IV.11
: Réponse indicielle du système en boucle fermée
107
Fig. IV.12
: Test de robustesse
108
Fig. V.1
: Organigramme d’un Algorithme Génétique
112
Fig. V.2
: Croisement standard en un seul point
113
Fig. V.3
: Croisement standard en deux points
113
Fig. V.4
: Opérateur de mutation
114
Fig. V.5
: Roue de sélection naturelle
115
Fig. V.6
: Système de commande à retour unitaire
117
Fig. V.7
: Réponse indicielle du système en boucle fermée
120
= 45°,
= 90°,
= 135°
88
Liste des figures
Fig. V.8
: Test de robustesse
121
Fig. V.9
: Configuration interne d’un régulateur flou
125
Fig. V.10
: Les fonctions d’appartenance
126
Fig. V.11
: Les fonctions d’appartenance
127
Fig. V.12
: Méthode d’interférence Max-Min
128
Fig. V.13
: Méthode d’interférence Max-Prod
129
Fig. V.14
: Méthode d’interférence Som-Prod
130
Fig. V.15
: Principe de la défuzziffication par valeur maximale
131
Fig. V.16
: Principe de la défuzziffication par centre de gravité
131
Fig. V.17
: Schéma bloc de la commande proposée
132
Fig. V.18
: Cinq fonctions d’appartenance
133
Fig. V.19
: Réponse indicielle du système en boucle fermée
134
Fig. V.20
: Test de robustesse
135
Fig. V.21
: Région de stabilité des systèmes d’ordre fractionnaire
142
Fig. V.22
: Le correcteur PIλDδ avec les ordres fractionnaires
146
Fig. V.23
: Réponse indicielle du système en boucle fermée
148
Fig. V.24
: Test de robustesse
149
Fig. C.1
: Comparaison de la réponse du système original et le système réduit
155
Fig. D.1
: Réponse indicielle d’un système en boucle fermée
156
Liste des tableaux
Liste des tableaux
Tableau I.1
: Profondeur de pénétration [
]
Tableau IV.1
: Paramètres des régulateurs obtenus à partir du point critique
107
Tableau IV.2
: Caractéristiques de la réponse indicielle
108
Tableau V.1
: Paramètres de l’AG
118
Tableau V.2
: Paramètres du régulateur PI
119
Tableau V.3
: Comparaison des caractéristiques obtenues en simulation
120
Tableau V.4
: Description par matrice d’interférence
133
Tableau V.5
: Comparaison des caractéristiques obtenues en simulation
134
Tableau V.6
: Comparaison des caractéristiques obtenues en simulation
148
Tableau A.1
: Paramètres de simulation
153
Tableau B.1
: Représentation des éléments de base
154
32
Tables des matières
Table des matières
Introduction générale
1
Chapitre I : Etat de l’art sur le chauffage par induction
1. Introduction
5
2. Historique
5
3. Classification des techniques de chauffage par induction
6
3.1. Le chauffage direct
6
3.2. Le chauffage indirect
6
4. Classification des matériaux
6
5. Classification des inducteurs
7
6. Classification des techniques de modélisation de la charge
8
6.1. La modélisation numérique
8
6.1.1. Une partie électromagnétique
8
6.1.2. Une partie thermique
8
6. 2. Modélisation par schéma équivalent simplifié
8
6.2.1. Modèle équivalent série
9
6.2.2. Modèle équivalent parallèle
9
6.2.3. Modèle équivalent d’un transformateur
10
7. Topologies des onduleurs utilisés au chauffage par induction
7.1. Classification des onduleurs à résonances
7.1.1. Les onduleurs en pont en H
10
11
11
a. La configuration RLC série
11
b. La configuration RLC parallèle
12
c. La configuration série-parallèle type LLC
13
7.1.2. Les onduleurs en pont en demi-pont
14
a. La configuration RLC série à diviseur capacitif symétrique
14
b. La configuration RLC série à diviseur capacitif asymétrique
15
c. La configuration série-parallèle type LCC
15
Tables des matières
7.1.3. Les onduleurs à deux circuits oscillants
8. Classification des techniques de commande des onduleurs à résonance
8.1. La commande à fréquence fixe
16
16
17
8.1.1. Commande à rapport cyclique variable
17
8.1.2. Commande par déphasage symétrique
17
8.1.3. Commande par déphasage asymétrique
17
8.2. La commande à fréquence variables
17
8.2.1. Commande à rapport cyclique variable et fréquence variable
17
8.2.2. Commande par déphasage symétrique et fréquence variable
18
8.2.3. Commande par déphasage asymétrique et fréquence variable
18
9. Classification des techniques de modélisation des onduleurs à résonance
18
9.1. La méthode des générateurs moyens
19
9.2. La méthode du modèle d’état moyen
19
9.3. La méthode en petits signaux
19
10. Classification des lois de commande
19
10.1. Les régulateurs classiques
20
10.1.1. Le régulateur à action intégrale (I)
21
10.1.2. Le régulateur à action proportionnelle-intégrale (PI)
21
10.2. Les régulateurs avancés
21
10.2.1. Le régulateur optimal (LQR)
10.2.2. La commande robuste (
∞
)
10.2.3. La commande par mode glissant
22
22
22
11. Positionnement de nos travaux par rapport à l’état de l’art
23
12. Conclusion
24
Chapitre II : Théorie du chauffage par induction
1. Introduction
26
2. Description de la charge
26
3. Principes physiques
27
4. Modélisation des Phénomènes physiques
28
4.1. Phénomènes électromagnétiques
28
Tables des matières
4.2. Phénomènes thermiques
29
4.2.1. Convection thermique
29
4.2.2. Rayonnement
30
5. Profondeur de pénétration
30
5.1. Influence de la fréquence
32
5.2. Influence de la perméabilité relative
32
5.3. Influence de la résistivité
34
6. Puissance nécessaire au traitement thermique
35
7. Calcul simplifié de la puissance dissipée par effet Joule
35
8. Rendement électrique
37
9. Facteur de puissance
37
10. Caractéristique des circuits résonants
38
10.1. Fréquence de résonance
39
10.2. Facteur de qualité
40
11. Types de commutation des semi-conducteurs
40
11.1. La commutation dure
41
11.2. La commutation dure adoucie
41
11.3. La commutation douce
41
12. Fréquence de commutation
42
13. Pertes par commutation
42
14. Justification du choix de la technique de commande
43
14.1. Commande à rapport cyclique variable et fréquence variable
43
14.2. Commande par déphasage symétrique et fréquence variable
44
14.3. Commande par déphasage asymétrique et fréquence variable
45
14.4. Taux de distorsion harmonique
47
14.5. Analyse de la ZVS
48
15. Conclusion
51
Chapitre III : Onduleur à résonance type LLC
1. Introduction
53
2. Description de l’onduleur proposé
53
Tables des matières
2.1. Description du redresseur
54
2.2. Description du filtre
55
3. Stratégie de commande à MLI de l’onduleur proposé
56
4. Analyse de fonctionnement
57
5. Calcul simplifié des courants dans les semi-conducteurs
64
6. Schéma équivalent simplifié de l’onduleur et la pièce à chauffer
67
7. Analyse de l’impédance totale
71
8. Approximation du premier harmonique
73
9. Analyse du gain en tension
76
10. Analyse du gain en courant
78
11. Calcul de
79
et
12. Calcul de la puissance fournie au récepteur
80
13. Considérations pratiques
81
14. Algorithme de conception du circuit LLC
83
15. Simulation et discussion
85
16. Conclusion
89
Chapitre IV: Modélisation et commande classique du système
1. Introduction
90
2. Démarche de construction d’un modèle à petits signaux
90
2.1. Analyse topologique du convertisseur
92
2.2. Modèle exact
93
2.3. Approximation du premier harmonique
94
2.4. Modèle moyen grands signaux
94
2.5. Validation du modèle moyen à grands signaux
96
2.6. Détermination du point d’équilibre
97
2.7. Perturbation et linéarisation du système
98
2.8. Modèle à petits signaux
99
2.9. Calcul de la fonction de transfert du système
101
2.10. Validation du modèle à petits signaux
101
3. Modèle à petits signaux de la commande proposée
102
Tables des matières
3.1. Modélisation de la commande PLL
103
4. Analyse fréquentielle du système étudié
105
5. La structure du correcteur PI
106
6. Conclusion
109
Chapitre V : Application des techniques de commande avancée
1. Introduction
110
2. L’approche basée sur les Algorithmes Génétiques
111
2.1. Généralités sur les Algorithmes Génétiques
111
2.1.1. Codage des variables
112
a. Codage binaire
112
b. Codage réel
112
2.1.2. Opérateur de croisement
113
a. Croisement en un point
113
b. Croisement en deux points
113
c. Croisement de type barycentre
114
2.1.3. Opérateur de mutation
114
2.1.4. Fonction d’adaptation
114
2.1.5. Opérateur de sélection
115
a. La sélection par roulette artificielle
115
b. La sélection par rang
116
2.1.6. Critères d’arrêt
116
2.2. Formulation du problème d’optimisation
116
2.3. Application des AG à l’optimisation des paramètres du PI
118
2.4. Résultats de simulation
119
2.5. Test de robustesse
120
3. Approche basée sur la logique floue
121
3.1. Variables linguistiques
122
3.2. Fonctions d’appartenance
122
3.3. Sous-ensembles flous
122
3.4. Opérations sur les sous-ensembles flous
123
Tables des matières
3.4.1. Egalité
123
3.4.2. Complément
123
3.4.3. Inclusion
123
3.4.4. Union
123
3.4.5. Intersection
124
3.5. Règles floues
124
3.6. Inférences floues
124
3.6.1. Inférence floue de Mamdani
124
3.6.2. Inférence floue de Sugeno
125
3.7. Structure de base d’un régulateur flou
125
3.7.1. La fuzzification
126
3.7.2. Inférences
126
a. Méthode du Max-Min
127
b. Méthode du Max-Prod
129
c. Méthode du Som-Prod
130
3.7.3. La diffuzzification
130
a. Défuzzification par maximum
131
b. Défuzzification par centre de gravité
131
3.8. Conception du contrôleur floue pour l’onduleur à résonance type LLC
132
3.9. Résultats de simulation
134
3.10. Test de robustesse
135
4. Approche basée sur le calcul fractionnaire
135
4.1. Définition de Grünwald-Letnikov
136
4.2. Définition de Caputo
136
4.3. Définition de Riemann-Liouville
137
4.4. Transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire
138
4.5. Equations différentielles d’ordre fractionnaire et fonctions de transfert
138
4.6. Représentation dans l’espace d’état
139
4.6.1. Forme canonique commandable
140
4.6.2. Forme canonique observable
140
4.7. Commandabilité, observabilité
141
4.7.1. Commandabilité
141
4.7.2. Observabilité
141
Tables des matières
4.8. Analyse de la stabilité
141
4.9. Méthodes d’approximation des opérateurs d’ordre fractionnaire
142
4.9.1. Méthode de Carlson
142
4.9.2. Méthode de Matsuda
143
4.9.3. Méthode d'Oustaloup
143
4.9.4. Méthode de Charef
144
4.10. Le correcteur PIλDδ d’ordre fractionnaire
145
4.11. Synthèse des paramètres du correcteur PIλDδ d’ordre fractionnaire
146
4.12. Résultat de simulation
147
4.13. Test de robustesse
149
5. Conclusion
149
Conclusion générale
151
Annexes
153
Références
158
Introduction Générale
Générale
Introduction générale
Introduction générale
Le chauffage par induction est un phénomène physique très utilisé en milieu
industriel pour le préchauffage des pièces métalliques conductrices de l’électricité avant
mise en forme à chaud, pour les traitements thermiques ou encore pour les opérations de
soudure entre pièces métalliques. Son principe est basé sur l’application directe de deux
lois physiques la loi de Lenz et l’effet Joule. Par rapport aux techniques classiques, le
chauffage par induction présente de nombreux avantages, entre autres [Lab01]: Une
vitesse de chauffage très élevée, un coût très faible, une meilleure distribution de la
chaleur, une possibilité de contrôler la zone de chauffage, une grande souplesse
d'utilisation par le choix des températures de traitement et une réponse parfaite aux
exigences industrielles. Généralement, le système comprend essentiellement: une source
d’alimentation haute fréquence, un ou plusieurs inducteurs de chauffage, un
transformateur d’adaptation et un système de commande et de régulation de la puissance
transmise à la charge.
Le développement de la conversion d’énergie électrique, nourri par l’apparition puis
l’amélioration des semi-conducteurs hautes fréquences, les onduleurs à résonance tiennent
une place importante dans les applications du chauffage thermique. Ce sont des montages
électroniques à circuit oscillant série ou parallèle dans lesquels la résonance est exploitée
pour minimiser les contraintes électriques et thermiques sur les interrupteurs, réduire les
harmoniques et minimiser les pertes par commutation [Ess01]. Ces onduleurs demeurent
parmi les convertisseurs les plus délicats à mettre en œuvre du fait de leur structure
particulière. On peut distinguer : L’onduleur de tension et l’onduleur de courant. La
technologie des onduleurs de tension est la plus utilisée dans la plupart des systèmes
industriels. Dans cette structure l’inducteur et la pièce à traiter sont placés en série avec le
condensateur de compensation.
Pour contrôler la puissance fournie à la pièce à traiter de manière rapide et précise,
plusieurs techniques de commande à MLI ont été adoptées. Ces techniques de commande
peuvent être regroupées en deux familles : La commande à fréquence fixe et la commande
à fréquence variable. La deuxième famille est la plus utilisée en milieu industriel. Elle
assure un fonctionnement stable par le maintien de la commutation douce durant l’étape
de chauffage. Trois techniques de commande peuvent être classées dans cette famille: La
commande à rapport cyclique variable et fréquence variable, la commande par déphasage
symétrique et fréquence variable et la commande par déphasage asymétrique et fréquence
1
Introduction générale
variable. Des études théoriques et pratiques révèlent que la troisième technique de
commande nécessite une fréquence de commutation minimale pour assurer la ZVS
[Bur01]. Dans ce cas, le contrôle de la puissance fournie à la charge se fait par action sur
l’angle du palier nul de la tension imposée par l’onduleur et par action sur la fréquence de
commutation.
Problématique et contribution
Dans les applications du chauffage par induction, la résistivité électrique
perméabilité magnétique relative
et la
de la pièce à traiter dépendent fortement de la nature
du matériau et des conditions imposées (température, intensité du champ magnétique).
Au-dessus de la température de Curie, cette influence est fortement non-linéaire ce qui
entraine une variation de la profondeur de pénétration et la densité de puissance.
Les onduleurs à résonance sont des systèmes à structure variable, de ce fait, leur
comportement est fortement non linéaire ce qui complique relativement leur analyse,
modélisation et commande.
Dans ce travail, on s’intéresse aux problèmes d’analyse, modélisation et commande d’une
nouvelle classe des onduleurs à résonance en pont en H destiné au chauffage par
induction. Cette topologie basée sur un circuit oscillant série-parallèle type LLC regroupe
les avantages de l’alimentation à résonance série et le circuit bouchon. Si le modèle
mathématique développé est tout à fait convenable pour simuler le fonctionnement du
système il est, du fait de sa complexité, loin d’être approprié à la synthèse des lois de
commande. Par conséquent, des versions simplifiées, mais assez précises, en ont été
proposées dans la littérature. La version retenue dans ce travail est celle qui découle d’un
développement harmonique au premier ordre du modèle de connaissance.
Le problème de régulation de la puissance fournie à la pièce traitée a fait l’objet de
nombreuses études, allant des plus simples (PI) aux plus évoluées (H ∞ ). Ces contributions
s’appuient sur l’hypothèse que la charge du convertisseur est invariante et connue, ce qui
n’est généralement pas le cas. Dans ce travail, nous développerons un schéma de
commande à retour de sortie pour réguler la puissance fournie à la charge d’un
convertisseur à résonance série-parallèle type LLC tout en préservant la stabilité en boucle
fermée et la commutation douce. Ce schéma comprend deux boucles : une boucle de
puissance est un circuit PLL. Pour améliorer les performances transitoires du système en
boucle fermée trois approches avancées ont été introduites. La première approche est
basée sur les Algorithmes Génétiques. Cette technique est employée pour optimiser les
2
Introduction générale
paramètres du régulateur PI minimisant un critère quadratique. Ce critère est déterminé
par la méthode de Hall-Sartorius mettant en évidence les paramètres du système et du
régulateur PI. La deuxième approche est basée sur l’intelligence artificielle. Dans cette
technique un régulateur basé sur la logique floue est employé. Il est composé de trois
blocs distincts : La fuzzification, l’interférence et la défuzzification. Ce contrôleur est un
candidat idéal pour la commande des systèmes de chauffage par induction,
malheureusement il n'existe pas de méthodes précises pour la détermination de la stratégie
de réglage. Cette dernière doit être construite par tâtonnement à l'aide des tests sur le
système à régler. D'un autre côté, cette approche présente une bonne robustesse aux
variations paramétriques et aux bruits de mesure, leurs conditions informatiques, le temps
d'élaboration et le besoin de la connaissance expert du système, limitent les applications
actuelles à une gamme limitée et parfois bien spécifique. La dernière approche porte
essentiellement sur la contribution au développement d’une loi de commande de type PIλ
en utilisant les concepts de la théorie du calcul d’ordre fractionnaire. L'intérêt de ce type
de correcteur est justifié par une meilleure flexibilité, puisqu'il a un paramètre
supplémentaire λ. Dans ce cas, la stratégie d’ajustement adoptée est basée sur la
minimisation d’un critère de performance.
Présentation des chapitres
Dans notre travail, nous proposons la modélisation, simulation et la commande
d’un onduleur à résonance série-parallèle type LLC destiné au chauffage par induction. Le
travail est composé de 05 chapitres :
Dans le chapitre 1 nous avons présenté dans un premier temps les éléments qui
constituent le système de chauffage par induction; à savoir, les matériaux, les différents
types d’inducteurs et leurs schémas équivalents proposés dans la littérature. On a parlé
brièvement sur les différentes topologies des onduleurs à résonance destinés au chauffage
par induction, leurs techniques de commande ainsi que leurs démarches de modélisation.
Enfin, nous avons évoqué l’état de l’art des principales lois de commande.
Le deuxième chapitre est consacré à la présentation du principe de base du chauffage par
induction et les paramètres qui caractérisent son fonctionnement à savoir la profondeur de
pénétration, la fréquence de commutation, la puissance nécessaire, etc. Ensuite, nous
avons montré la dépendance des paramètres de la pièce utilisée dans cette application en
3
Introduction générale
fonction de la température de chauffage et l’intensité du champ magnétique imposé. Après
avoir rappelé la théorie des circuits oscillants utilisée pour étudier les onduleurs à
résonance, nous avons justifié le choix de la technique de commande par une analyse
détaillée de la commutation à zéro de tension dans les onduleurs à résonance série.
Dans le troisième chapitre, nous avons proposé une nouvelle classe des onduleurs à
résonance destiné au chauffage par induction. Cette topologie est basée sur un circuit
oscillant série-parallèle type LLC. Après avoir analysé son fonctionnement durant une
période de fonctionnement, nous avons proposé un schéma équivalent simplifié qui
permet de simuler le fonctionnement de l’onduleur ainsi que son analyse mathématique.
Enfin, nous avons donné un algorithme de conception du circuit LLC.
La première partie du chapitre 4 vise à présenter la méthode de modélisation et les
difficultés qu'elle présente. En effet, elle consiste à transformer le modèle non linéaire à
un modèle à grands signaux puis à linéariser le modèle obtenu autour d'un point de
fonctionnement. Finalement, l'ensemble des modèles théoriques proposés sont vérifiés par
simulation, afin de conclure sur leur précision. La deuxième partie de ce chapitre est
réservée à la synthèse d’une loi de commande classique de type PI. Initialement, la boucle
de fréquence (PLL) utilisée en boucle fermée du système est brièvement détaillée. Ensuite
nous avons analysé la stabilité du système obtenu. Enfin, les deux coefficients du
régulateur PI sont déterminés à l’aide de la méthode de Ziegler-Nichols.
Le dernier chapitre est consacré à l’étude de quelques méthodes appliquées à la
commande de l’onduleur afin d'obtenir un système de commande de haute performance.
Dans la première partie, un Algorithme Génétique est utilisé pour optimiser les paramètres
du régulateur PI minimisant l’intégrale du carré de l’erreur. Ensuite, après avoir donné la
théorie de la logique floue ainsi que la motivation du choix de la structure interne du
contrôleur, nous synthétisons un contrôleur flou basé sur le modèle à petits signaux du
convertisseur. Il s’agit d’exploiter l’analogie entre notre contrôleur et le PI classique pour
le réglage des gains en utilisant les méthodes de mise en œuvre de ce dernier. La dernière
partie de ce chapitre couvre les bases théoriques des opérateurs d’ordre fractionnaire
nécessaires pour la conception d’un régulateur PIλ d’ordre fractionnaire pour la commande
de l’onduleur.
Une conclusion générale de ce travail ainsi que des perspectives clôturent ce mémoire.
4
Chapitre I
Etat de l’A
l’Art sur le
Chauffage par Induction
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
1. Introduction
Grâce aux recherches des vingt dernières années, de nombreux procédés industriels
nécessitant des opérations de chauffage font appel à des dispositifs de chauffage par
induction. Les applications sont très nombreuses, qu’il s’agisse de traitement thermique de
surface, de fusion, soudage, brasage, etc.
Le chauffage par induction électromagnétique fait partie des techniques électrothermiques
qui permettent de chauffer un matériau sans contact direct avec une source d’énergie
électrique [Wan01, Pas01, Lab01, Car01]. Quelle que soit la nature des applications
industrielles, le chauffage par induction présente un certain nombre d’avantages
intrinsèques qui explique son développement croissant [Tou01]. Par rapport aux
techniques classiques, le chauffage par induction est précis grâce à un contrôle de la
température, du temps et de la vitesse de chauffage de la pièce à traiter. Cela se traduit par
une amélioration de la qualité et de la productivité.
Dans ce chapitre nous présentons dans un premier temps les éléments qui constituent le
système de chauffage par induction ; à savoir, les matériaux, les différents types
d’inducteurs et leurs schémas équivalents proposés. Nous parlerons brièvement sur les
différentes topologies des onduleurs à résonance destinés au chauffage par induction, leurs
techniques de commande ainsi que leurs méthodes de modélisation. Enfin, nous
évoquerons l’état de l’art des principales lois de commande.
2. Historique
En 1831, Faraday découvre le phénomène d'induction dont les lois sont précisées
par Foucault en 1851. Vers 1860, Maxwell propose une théorie générale de
l’électromagnétisme classique qui pose les fondements de la théorie moderne.
En 1885, les premières recherches sur les effets thermiques commencèrent, mais les
principes de base du chauffage par induction ont été compris et appliqués dans les
processus industriels depuis les années 1920 [Sze01].
A partir de 1925, l’effet de peau due à une concentration périphérique des courants de
Foucault dans les masses métalliques élargit considérablement les applications du
chauffage par induction.
En 1957, les américains ont développé un dispositif d’électronique de puissance à base de
thyristor, marquant le début de la révolution technologique du chauffage par induction.
A partir de 1980 et grâce à l’évolution de la technologie les systèmes de chauffage par
induction sont devenus très complexes et très courants. Aujourd’hui, le recours aux
5
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
techniques de simulations numériques a permis de substituer le calcul à une large part des
essais [Pas01, Car01, Cla01].
3. Classification des techniques de chauffage par induction
Le chauffage par induction est une méthode de chauffage rapide et homogène
destinée à des applications de fabrication qui exigent de coller ou de transformer les
propriétés de métaux ou d’autres matériaux conducteurs. Ce procédé repose sur des
courants électriques induits au sein de la matière en vue de produire de la chaleur. Bien
que les principes de base de l’induction soient bien connus, les récents progrès en matière
de technologie des semi-conducteurs ont transformé le chauffage par induction en une
méthode remarquablement simple et rentable pour les applications de collage, de
traitement, de chauffage ou d’essai de matériaux. En pratique, on distingue deux
techniques de chauffage par induction :
3.1. Le chauffage direct :
Dans ce type de chauffage, le corps à traiter (conducteur de l’électricité et de la
chaleur) est placé dans un champ magnétique variable dont les variations induisent,
d’après la loi de Lenz, une force électromotrice donnant naissance a des courants de
Foucault. Le corps s’échauffe sans contact par l’effet Joule dû aux courants induits.
3.2. Le chauffage indirect :
Dans ce type de chauffage, la pièce à chauffer est peu conductrice de l’électricité
ou de la chaleur. Elle est placée en contact avec un élément sensible à l’induction qui
s’échauffe et lui transmet sa chaleur.
4. Classification des matériaux
Sur la base du comportement en présence d’un champ magnétique d’excitation, il
existe quatre principaux types de matériaux:
Les matériaux diamagnétiques
Les matériaux paramagnétiques
Les matériaux ferrimagnétiques
Les matériaux ferromagnétiques
Les matériaux utilisés pour l’électrotechnique aux fréquences industrielles sont de type
ferromagnétique, à cause de leur susceptibilité et aimantation à saturation élevées. Pour les
fréquences au delà de 10 kHz, les matériaux ferrimagnétiques sont généralement
employés. Bien que ces derniers possèdent une aimantation à saturation plus faible, ils
présentent des pertes magnétiques significativement plus basses, ce qui est important
lorsque la fréquence d’opération augmente. Une classe de matériaux ferromagnétiques
6
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
peut être utilisée aux fréquences élevées, il s’agit des matériaux amorphes qui sont
généralement retrouvés sous forme de tôles très minces. Ils présentent une induction à
saturation intermédiaire entre celle des ferrites et celle des tôles conventionnelles.
Les matériaux magnétiques sont généralement séparés en deux classes : les matériaux
doux et les matériaux durs. Les matériaux magnétiques doux peuvent être aimantés à
l’aide de champs magnétiques faibles. Les matériaux magnétiques durs conservent leur
état d’aimantation initial même lors de l’application d’un champ magnétique relativement
élevé [Wan01, Tou01].
5. Classification des inducteurs
L’inducteur est l’élément principal dans les applications du chauffage par
induction. Il est généralement fabriqué à partir d’un tube de cuivre à haute conductibilité.
La taille et la forme de l’inducteur doivent correspondre à la forme de la pièce à chauffer
et aux variables du procédé. On distingue :
L’inducteur à spires simples
L’inducteur à spires multiple
L’inducteur à spires hélicoïdal
L’inducteur à spires ronds
L’inducteur à spires carrés
Une bonne conception de l’inducteur permet d’obtenir une évolution de la chaleur
adéquate et de maximiser le rendement du générateur de chauffage par induction, et
facilite par ailleurs la mise en place et l’enlèvement de la pièce.
Suivant le type d’application recherché, différents types d’inducteurs seront choisis. La
figure I.1 illustre quelques exemples d’inducteurs utilisés en milieu industriels :
Fig.I.1 : Exemple d’inducteurs utilisés en milieu industriel
7
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
6. Classification des techniques de modélisation de la charge
La modélisation est une technique qui permet d’établir un modèle explicatif d’un
phénomène physique en recensant les variables et l’importance relative de chacune de ces
variables. Ce modèle présente la structure ainsi que les caractéristiques essentielles du
système réel.
Dans la littérature, il existe différentes études faites pour trouver un modèle mathématique
qui représente le comportement dynamique de l’inducteur et la pièce à chauffer. On
distingue:
6.1. La modélisation numérique
Les études portées sur le sujet d’un point de vue numérique sont nombreuses
[Wan01, Pas01, Cla01, Lab01, Car01, Kol01, Blu01]. Il s’agit de coupler les phénomènes
électromagnétiques, la diffusion de la chaleur, ainsi que le comportement mécanique de la
pièce à traiter.
[Pas01] divise le problème type de chauffage par induction en deux parties :
6.1.1. Une partie électromagnétique
Cette partie est régie par les équations de Maxwell. Ces équations traduisent sous
forme
locale
différents
théorèmes
(Gauss,
Ampère,
Faraday)
qui
régissaient
l'électromagnétisme.
6.1.2. Une partie thermique
Cette partie est régie par l’équation de la chaleur et ses conditions aux limites. Le
champ de température est calculé connaissant les sources thermiques issues du problème
électromagnétique. Deux types de transfert de la chaleur sont considérés :
Convection
Rayonnement
De nombreux logiciels ont été développés pour simuler les phénomènes physiques des
systèmes de chauffage par induction parmi lesquels on peut trouver le FLUX2D,
FLUX3D, COMSOL, etc.
6. 2. Modélisation par schéma équivalent simplifié
Les modèles électriques ont été proposés pour simplifier l’analyse mathématique
de l’inducteur et la pièce à chauffer [Kaz01, Kha01, Ahm01, Muc01, Hel02]. La figure
I.2 présente les 03 circuits électriques simplifiés simulant le fonctionnement du chauffage
par induction :
8
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
Fig. I.2 : Schémas équivalents de l’inducteur et la pièce de travail
Dans cette partie, nous présentons les principaux modèles mathématiques proposés dans la
littérature qui vont nous servir par la suite à l’analyse et l’élaboration des algorithmes de
commande.
6.2.1. Modèle équivalent série
Le premier modèle est appelé modèle de tension [Kaz01, Kha01, Pim01].
L’inducteur et la pièce de travail sont représenté par un circuit RL série. Cette formulation
est très importante sur le plan pratique; en effet on maitrise plus facilement et plus
précisément la tension que le courant.
La puissance apparente dans le cas du modèle série est donnée par :
=
+ .
.
.
(I. 1)
Le facteur de puissance est exprimé par :
=
+(
.
)
(I. 2)
6.2.2. Modèle équivalent parallèle
Le deuxième modèle est appelé modèle en courant. [Mur01] représente l’inducteur
et la pièce à chauffer par un circuit RL parallèle. Dans ce cas, la puissance apparente est
égale à :
=
.
1
+
1
. .
(I. 3)
9
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
Et le facteur de puissance devient:
=
.
1
1
+
(I. 4)
1
.
En pratique, pour un cylindre de longueur ℓ et de rayon
!,
les valeurs de
données par les formules approximatives suivantes [Gui01]:
R #$ ≈ ρ. N . (1 − e+
≈
avec,
,.-.
/
10. 6. 78 . 9 . :
9. : + 10. ℓ:
0.
.1.2.
3.ℓ
et
sont
(I. 5)
(I. 6)
9: nombre de spires de l’inducteur
ℓ: : la longueur de l’inducteur
::
le rayon de l’inducteur
6.2.3. Modèle équivalent d’un transformateur
Dans ce modèle l’agencement de l’inducteur et la pièce à chauffer est considéré
comme un transformateur monophasé avec un secondaire court-circuité [Kwo01, Ahm01,
Hel04]. Ahmed à étudier l’intérêt de ce modèle par rapport aux configurations
précédentes. Dans son article [Ahm01] il prend en compte le couplage magnétique entre
l’inducteur et la pièce à chauffer et il calcule le coefficient de couplage et la constante de
temps en fonction des grandeurs mesurées.
L’exploitation de la théorie des transformateurs, l’inducteur et la pièce sont modélisés par
une combinaison RL en série.
7. Topologies des onduleurs utilisés au chauffage par induction
L’électronique de puissance est aujourd’hui une discipline en plein essor,
notamment grâce aux nouveaux champs d’applications liés au développement industriel.
Elle permet une utilisation plus souple et plus adaptée de l’énergie électrique, conforme
aux besoins actuels des utilisateurs.
Le chauffage par induction est une application industrielle qui présente la particularité
d'imposer la fréquence des courants induits en fonction des dimensions et la nature du
matériau à traiter, de sorte que l'utilisation d’un convertisseur électronique est
indispensable.
10
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
7.1. Classification des onduleurs à résonance
Les convertisseurs DC/AC à résonance sont apparus principalement grâce à la
nécessiter de développer des alimentations hautes fréquences qui peuvent être utilisées
pour alimenter les systèmes de chauffage par induction. On distingue trois grandes
familles des onduleurs à résonance:
Les onduleurs en pont en H
Les onduleurs en demi-pont
Les onduleurs à deux circuits oscillants
7.1.1. Les onduleurs en pont en H
Le pont en H est une structure électronique servant à contrôler la polarité aux
bornes de la charge. Il est composé de deux cellules de commutation (K1-D1, K2-D2, K3D3 et K4-D4) généralement disposés schématiquement en une forme de H d'où le nom.
Par un jeu de commutations commandées de manière appropriée, on module la source afin
d'obtenir un signal alternatif de fréquence et de rapport cyclique désirés. On distingue :
a. La configuration RLC série
L’onduleur le plus utilisé dans les applications industrielles du chauffage par
induction est l’onduleur à résonance série en forme en H. L’onduleur est composé de 04
interrupteurs statiques unidirectionnels en tension et bidirectionnels en courant.
La figure I.3 donne le schéma de l’onduleur à résonance série [Hel01, Mol01, Dem01,
Nak01, Gra01, Gay01, Ség01, Ess01, Bur01, Kwo01]:
Fig. I.3 : La configuration RLC série
Les éléments K1, K2, K3 et K4 peuvent êtres des thyristors, des thyristors duaux ou des
transistors (bipolaires, MOSFET, IGBT). R et L sont la résistance et l’inductance
11
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
équivalente de l’inducteur et la pièce à chauffer. C est une capacité ajoutée pour former le
circuit oscillant.
Dans ce type de compensation, La puissance fournie au récepteur varie en fonction de la
fréquence et présente un point maximal pour les valeurs proche de la fréquence de
résonance. De plus, le courant traversant la charge est quasi-sinusoïdal.
Les semi-conducteurs de l’onduleur de tension employé n’ont qu’un type de commutation
à assurer (ZVS). Cela réduit les pertes par commutation, les contraintes électriques et
permet la montée en fréquence.
La compensation série est caractérisée par :
1. Pour
2. Pour
3. Pour
=
< 1, le circuit est capacitif
=
= 1, le circuit est résistif
=
> 1, le circuit est inductif
b. La configuration RLC parallèle
Dans la littérature, nous distinguons plusieurs recherches concernant l'utilisation des
onduleurs de courants dans les applications du chauffage par induction [Mol01, Muc01,
Maj01, Ded01, Jor01]. Elles sont très attractives et permettent d’avoir de bonnes performances
dans une gamme étendue de fréquences. Les auteurs dans [Maj01] utilisent un onduleur de
courant de la figure I.4. Dans ce cas, le circuit oscillant est formé d’une capacité placée
aux bornes d’un circuit RL série.
Fig. I.4 : La configuration RLC parallèle (1ier type)
Ce type de compensation est appelé circuit bouchon. Dans ce cas, l’onduleur est formé de
semi-conducteurs bidirectionnels en courant.
12
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
[Muc01] à proposée une topologie en forme en H formé de semi-conducteurs
unidirectionnels en courant. Cette topologie est représentée sur la figure I.5 :
Fig. I.5 : La configuration parallèle (2ème type)
Dans ce cas, le circuit oscillant est formé d’une combinaison en parallèle d’une capacité
placée aux bornes d’un circuit RL parallèle. Cette topologie emploi la théorie de
l’onduleur à résonance série.
Ces deux topologies présentent la particularité du gain en courant, c-à-d que la charge est
alimenter par un courant différent du courant qui traverse les semi-conducteurs. Autrement
dit qu’au voisinage de la résonance le courant circulant dans l’inducteur est relativement
grand devant le courant traversant les semi-conducteurs cela se traduit par une autoprotection de l’onduleur. Outre, au voisinage de la résonance la tension aux bornes de la
charge est quasi-sinusoïdale.
Les commutateurs de l’onduleur de courant employé n’ont qu’un type de commutation à
assurer (ZCS) Ce qui réduit les pertes par commutation.
Contrairement à la compensation série la compensation parallèle est caractérisée par :
1. Pour
2. Pour
=
=
< 1, le circuit est inductif
> 1, le circuit est capacitif
c. La configuration série-parallèle type LLC
Cette topologie est basée sur un circuit oscillant série-parallèle type LLC formé
d’une inductance série, d’un condensateur de compensation connecté aux bornes de la
charge [Kel01, Chu03, Sai01, Hel05]. La figure I.6 présente la forme générale d’une
topologie LLC en pont en H:
13
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
Fig. I.6 : La configuration série-parallèle type LLC
En pratique, les travaux importants de [Kel01, Zha01] révèlent que la compensation sérieparallèle présente deux points de résonance et regroupe les avantages du circuit RLC série et
circuit bouchon à savoir :
La commutation à zéro de tension (ZVS)
Le gain en courant
L’auto-protection de l’’onduleur
7.1.2. Les onduleurs en pont en demi-pont
Pour réaliser un onduleur de tension monophasé avec une cellule de commutation
(K1-D1, K2-D2), on place à l'entrée un diviseur capacitif asymétrique formé d’une
capacité C ou un diviseur symétrique formé de deux condensateurs de même valeur C0.
a. La configuration RLC série à diviseur capacitif symétrique
La topologie représentée sur la figure I.7 a été utilisée
dans de nombreuses
applications domestiques et industrielles du chauffage par induction [Tia01, Tia02,
San01].
Fig. I.7 : La configuration RLC en demi-pont
14
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
Dans ce montage, on fait l’hypothèse que la capacité C0 des deux condensateurs est
suffisamment grande pour que l’on puisse considérer qu’en régime permanent la tension à
@
leurs bornes reste toujours égale à A .
Les interrupteurs K1 et K2 doivent être complémentaires pour éviter le court-circuit de la
source.
b. La configuration RLC série à diviseur capacitif asymétrique
Cette topologie est souvent utilisée en faible puissance dans les applications
domestiques du chauffage par induction [Ram01]. La figure I.8 illustre le schéma de base
d’on onduleur à résonance à diviseur capacitif.
Fig. I.8 : La configuration RLC série à diviseur asymétrique
Dans cette configuration la tension imposée par l’onduleur prend deux valeurs +B: et 0.
c. La configuration série-parallèle type LCC
Cette topologie est basée sur un onduleur en demi-pont dont Le circuit oscillant est
formé d’une capacité en série C et d’un condensateur de compensation C placé aux
bornes de l’inducteur [Kam01, Has01]. La figure I.9 présente la forme générale d’une
topologie LCC en demi-pont :
Fig. I.9 : La topologie LCC en demi-pont
15
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
Il a été prouvé dans [Kam01] que par un choix approprié des condensateurs série et
parallèle (C , C ) et pour une gamme de fréquences comprises entre 50kHz et 150 kHz, le
rendement de l’application peut atteindre 84% à 100 kHz.
7.1.3. Les onduleurs à deux circuits oscillants
Cette topologie est composée de deux interrupteurs statiques T2 et T4 et deux
circuits oscillants : un circuit principal et circuit auxiliaire (voir la figure I.10) [Wan02].
Fig. I.10 : La configuration LLC à deux circuits oscillants
Le circuit oscillant principal est formé d’une inductance en série
et d’un condensateur
de compensation C placé aux bornes de la charge. Comparer à la topologie en forme de H,
les deux interrupteurs T1 et T3 sont remplacés par deux inductances
DE
et
DF .
Le circuit
oscillant auxiliaire est un circuit d’aide à la commutation douce. Il est formé de deux
amortisseurs de courant (
DE ,
L’emploi d’une inductance,
DE )
H,
et de deux amortisseurs de tension (CD et CDG ).
à l’entrée de l’onduleur élimine le temps mort entre les
interrupteurs statiques T3 et T4.
L’onduleur est employé dans les applications de chauffage par induction qui nécessite des
fréquences très élevées.
8. Classification des techniques de commande des onduleurs à résonance
Pour assurer un chauffage inductif précis, il est nécessaire de pouvoir régler la
puissance fournie au récepteur de façon rapide et continue. Deux stratégies de commande
peuvent être adoptées:
La commande à fréquence fixe
La commande à fréquence variable
16
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
8.1. La commande à fréquence fixe
Plusieurs techniques de commande à fréquence fixe ont été proposées dans la
littérature parmi lesquelles on peut citer:
8.1.1. Commande à rapport cyclique variable
Le rôle de cette commande est de maintenir la puissance fournie à la charge
constante quelles que soient les perturbations. Cette exigence est accomplie en contrôlant
la tension imposée à l’aide d’une commande permettant une variation du rapport cyclique
[Hel01, Imb01, Jai01].
8.1.2. Commande par déphasage symétrique
Le principe de base consiste à déphaser d’un angle I les signaux de commande des
deux bras d’interrupteur de cet onduleur [Kaz01]. Le réglage du transfert de la puissance
s’effectue par variation de l’angle de puissance du palier nul de la tension appliquée aux
bornes de la charge.
8.1.3. Commande par déphasage asymétrique
La sortie de l’onduleur est contrôlée par annulation asymétrique de la tension
appliquée c-à-d par variation de l’angle de puissance du palier nul de la tension imposée
[Bur01]. Cette technique de commande est utilisée dans les applications domestiques du
chauffage par induction.
8.2. La commande à fréquence variables
Les méthodes de commande, précédemment exposées, permettent d'obtenir une
réponse satisfaisante lorsque le convertisseur à résonance est soumis à de faibles
perturbations. En présence de fortes perturbations, ses performances se dégradent. La
stratégie de contrôle adoptée pour résoudre ce problème est la commande à fréquence
variable.
Généralement, dans la plupart des applications récentes du chauffage par induction, la
puissance fournie à la pièce traitée est contrôlée par des systèmes à fréquence variable
parmi lesquels on peut citer :
8.2.1. Commande à rapport cyclique variable et fréquence variable
La commande à rapport cyclique variable et à fréquence variable est une technique
utilisée dans la majorité des applications du chauffage par induction [Hel04, Tia01,
Tia02]. Dans cette approche, deux boucles d’asservissement sont utilisés : une boucle de
puissance et une boucle de fréquence. Le transfert de la puissance est régler par variation
17
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
du rapport cyclique ; la boucle à verrouillage de phase (PLL) est utilisée pour suivre la
variation de la fréquence du système durant la phase de chauffage pour maintenir la
commutation douce (ZVS).
8.2.2. Commande par déphasage symétrique et fréquence variable
Elle a été proposée en 1995 par Grajales [Gra01]. Elle s’agit d’une technique de
commande d’un onduleur à résonance série en pont en H destiné au chauffage par
induction. Le principe de base de cette technique consiste à déphaser d’un angle I les
signaux de commande des deux bras d’interrupteur. On obtient ainsi une onde de sortie
dont la valeur moyenne est indépendante de toute fluctuation de la charge. La régulation
de la puissance est assurée par l’asservissement de deux paramètres, d’une part par l’angle
de déphasage I et d’autre part par la fréquence pour maintenir la commutation douce
(ZVS) durant le processus de chauffage.
8.2.3. Commande par déphasage asymétrique et fréquence variable
Cette technique de commande est employée dans les applications récentes du
chauffage par induction [Sai02, Bur01]. Dans cette approche, la puissance fournie au
récepteur est régler par action sur l’angle de déphasage I du palier nul de la tension. Pour
assurer un fonctionnement stable et précis, la boucle à verrouillage de phase est employée
pour suivre la variation rapide de la fréquence durant la phase de traitement thermique des
pièces.
Contrairement aux techniques précédentes, pour les variations larges de la charge, la
commande à fréquence variable par déphasage asymétrique nécessite une fréquence
minimale pour atteindre la commutation à zéro de tension [Bur01].
9. Classification des techniques de modélisation des onduleurs à résonance
La modélisation est une étape clé quant à l'analyse des caractéristiques dynamiques
et la conception de la commande pour les onduleurs à résonance. Par conséquent, il est
intéressant de déterminer un modèle fiable, pouvant décrire le plus fidèlement possible le
fonctionnement de tels systèmes. Le modèle d'un onduleur à résonance est généralement
élaboré à partir d'une analyse des séquences de fonctionnement, et implique,
généralement, un modèle d'état, continu, non linéaire, multi variables et variant dans le
temps. Les dynamiques d'ordres supérieurs à la fréquence de commutation, dues aux
parasites, aux circuits d'aide à la commutation, aux interférences électromagnétiques, sont
généralement négligées [Bel01]. De diverses approches ont été proposées
parmi
lesquelles on peut citer :
La méthode des générateurs moyens
18
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
La méthode du modèle d’état moyen
Le modèle en petits signaux
9.1. La méthode des générateurs moyens
Elle se base sur les manipulations graphiques qui visent l’obtention d’un circuit
équivalent en régime moyen du convertisseur. Son principe consiste à remplacer les
commutateurs par des générateurs fictifs ayant, en régime moyen, les mêmes
caractéristiques que les commutateurs. Un générateur est soit une source de tension ou
source de courant selon la position topologique du commutateur correspondant. Cette
technique devient excessivement laborieuse pour les topologies complexes des
convertisseurs [Kan01].
9.2. La méthode du modèle d’état moyen
Cette méthode offre une approche systématique plus simple à mettre en œuvre.
Elle consiste à établir, dans un premier temps, les modèles d’états élémentaires
correspondant aux différentes configurations stables du convertisseur. Le modèle d’état
moyen sera dans un deuxième temps déduit par une combinaison linéaire des modèles
précédents. La pondération de chaque modèle élémentaire est liée à sa durée d’apparition
d’une période de commutation. L’avantage de cette technique par rapport à la précédente
réside dans le fait qu’elle est généralisable aux topologies complexes et elle permet de
remplacer la méthode de synthèse graphique par une méthode analytique plus simple pour
envisager une implémentation numérique du problème de modélisation [Kan01].
9.3. La méthode en petits signaux
Les deux techniques précédemment exposés conduisent à des modèles basses
fréquences comparables du convertisseur. Toutefois, ces modèles sont non linéaires vis-àvis des grandeurs d’entrées. Afin de pouvoir appliquer au convertisseur les techniques de
réglage une linéarisation du modèle autour de son point de fonctionnement nominal est
une approche très importante [Kan01, Gra01]. Le modèle obtenu est linéaire invariant
dans le temps, et gouverne le comportement dynamique de l’onduleur dans un régime de
faibles variations autour de son point d'équilibre. Le modèle en petits signaux offre la
possibilité de concevoir diverses méthodes de commande linéaires.
10. Classification des lois de commande
L’évolution de la théorie du système de commande a donné naissances à une
multitude de techniques de régulation de la puissance fournie à la pièce traitée. Cependant,
face aux systèmes non linéaires qui présentent des structures fortement complexes, la
19
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
synthèse des régulateurs exige une étude détaillée de la dynamique du système et en
l’absence d’information à priori sur ce dernier, cette tâche est d’autant plus difficile.
En pratique, la majorité des applications industrielles du chauffage par induction utilisent
un fonctionnement à fréquence variable. Dans ce cas, le système de commande est
composé de deux boucles (voir figure I.11); une boucle dite de puissance et un circuit
PLL. Pour assurer un fonctionnement stable et précis quelque soit les perturbations il est
nécessaire de maintenir constante la puissance fournie à la pièce traitée. Le circuit PLL est
utilisé pour suivre les variations rapides de la fréquence pour maintenir la commutation
douce (ZVS) durant l’étape de chauffage.
Fig.I.11 : boucle de régulation de puissance fournie à la pièce traitée
La boucle à verrouillage de phase (PLL), est un montage électronique permettant
d'asservir la phase instantanée de sortie sur la phase instantanée d'entrée, elle permet aussi
d'asservir une fréquence de sortie sur un multiple de la fréquence d'entrée. Elle contient
trois éléments de base:
Un comparateur de phase
Un filtre passe-bas
Un oscillateur contrôlé en tension
La boucle de puissance comprend essentiellement un comparateur de puissance et un
régulateur.
Dans la littérature, d'innombrables travaux ont été réalisés pour mettre au point des
commandes performantes de l’onduleur à résonance. On distingue :
10.1. Les régulateurs classiques
Les régulateurs classiques les plus utilisée dans les applications du chauffage par
induction sont :
20
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
10.1.1. Le régulateur à action intégrale (I)
Ce type de régulateur est proposé par [Tia01, Tia02] pour contrôler la puissance de
sortie d’un onduleur à résonance série en demi-pont à diviseur capacitif symétrique.
L’action intégrale permet de tenir compte du passé de la régulation en effectuant au cours
du temps l’intégrale de la variation de l’écart entre la puissance mesurée et la consigne.
Son rôle est d’éliminer l’écart résiduel. Son fonction de transfert est donnée par :
C(s) =
k
s
(I. 7)
Dans l’article [Tian01] Tian propose deux boucles de commande ; une boucle de
fréquence à base de circuit PLL et une boucle de puissance basée sur un régulateur à
action intégrale. Pour la synthèse des paramètres de la commande Tian développe un
modèle mathématique linéaire à petits signaux de l’ensemble onduleur et sa commande.
10.1.2. Le régulateur à action proportionnelle-intégrale (PI)
Un des régulateurs industriels les plus utilisés dans les applications de chauffage
par induction [Hel04] est le PI: action proportionnelle, action intégrale. La commande de
ce régulateur est proportionnelle à l'erreur, mais aussi proportionnelle à l'intégrale de
l'erreur. On rajoute donc à la commande généré par le régulateur proportionnel, la somme
des erreurs commises au cours du temps. La fonction de transfert est décrit par:
C(N) = O . P1 +
1
R
Q: . N
(I. 8)
Dans [Hel04] j’ai appliqué une commande similaire à celle proposée par Tian [Tia01] et
j’ai remplacé le régulateur à action intégrale par un régulateur PI. Pour simplifier l’analyse
j’ai proposé un modèle mathématique de l’ensemble onduleur et sa commande basé sur
l’approximation du premier harmonique. Les paramètres du régulateur sont calculés par la
méthode de Ziegler-Nichols.
10.2. Les régulateurs avancés
Les lois de commande classique du type I et PI donnent des résultats satisfaisants
dans le cas des systèmes linéaires à paramètres constants, cependant pour les systèmes non
linéaires, ou ayant des paramètres non constants, ces lois de commande classique peuvent
être insuffisantes car elles sont non robuste surtout lorsque les exigences sur la précision et
autres caractéristiques dynamiques du système sont strictes, on doit faire appel à des lois
de commande insensible aux variations des paramètres, aux perturbations et aux non
linéarités. Parmi les techniques avancées utilisées dans les applications de l’électrothermie
pour la régulation de puissance on peut citer :
21
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
10.2.1. Le régulateur optimal (LQR)
Cette technique de commande a été proposée par [Hel03, Sze01]. Elle est basée sur
la minimisation de la fonction de coût T définie par:
\
T = U(VWX . Y. VW + ZWX . ℛ. ZW )
W]8
(I. 9)
Y et ℛ sont alors les matrices de pondération de V et Z. En pratique, Y doit être semidéfinie positive et ℛ dénie positive.
Le but de cette optimisation est de trouver la valeur de la tension imposée de telle sorte
que la température désirée soit optimale.
Seulement, les contraintes sur l’entrée et la sortie ne sont pas prises en compte dans l’élaboration
de cette loi de commande. Cela n’a pas empêché son utilisation dans de le chauffage par induction.
Cependant, elle ne connaît pas un véritable essor dans le monde industriel à cause de certaines
raisons, dont les plus significatives, sont :
les contraintes ;
les non linéarités du système ;
les incertitudes de modèle ;
le critère de performance ;
10.2.2. La commande robuste (^ \ )
La loi de commande doit être robuste vis-à-vis les incertitudes de modèles
(incertitudes sur les paramètres, dynamiques non modélisées, perturbations). Cette
demande fait apparaître les méthodes dites robustes dans les années 80, telles que la
synthèse H∞. [Sze02] a proposé l’utilisation de cette lois de commande dans les
applications du chauffage par induction. Son objectif est de contrôler la puissance
transmise à la charge et de garantir la stabilité par rapport aux perturbations et aux erreurs
du modèle.
La synthèse par la méthode H∞, ou synthèse convexe conduisent à des correcteurs d’ordres
élevés même si le système est d’ordre réduit en raison des filtres de pondération ajoutés ce
qui complique l’analyse.
10.2.3. La commande par mode glissant
La commande par mode de glissant a connu un grand succès ces dernières années.
Cela est dû à la simplicité de mise en œuvre et la robustesse par rapport aux incertitudes
du système et aux perturbations d’origines externes. [Has01] a proposé l’application de
22
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
cette lois de commande dans les onduleurs à résonance série-parallèle type LCC destiné au
chauffage par induction. Elle consiste à ramener la trajectoire d’état vers la surface de
glissement et de le faire évoluer au dessus avec une certaine dynamique jusqu’au le point
d’équilibre suivant. La conception de cette lois est basée sur :
Le choix de la surface de commutation
La condition de convergence
Le calcul de commande
11. Positionnement de nos travaux par rapport à l’état de l’art
Dans ce chapitre nous avons présentés l’état de l’art sur le chauffage par induction.
Au premier lieu nous avons donnés les 03 circuits qui simulent le fonctionnement de
l’inducteur et la charge et on a dit que le troisième circuit est plus intéressant du point de
vue pratique car il tient en compte le couplage magnétique entre l’inducteur et la pièce à
chauffer. De plus, ce modèle exploite la théorie du transformateur; de ce fait il nous
permet de calculer le coefficient de couplage et la constante de temps du système en
fonction des grandeurs mesurés expérimentalement.
La deuxième partie est consacrée aux études des différentes topologies des onduleurs à
résonance destinés au chauffage par induction. On a regroupé les topologies dans trois
principales classes : les topologies en forme de H, les topologies en demi-pont et les
topologies à deux circuits oscillants.
Pratiquement, l’onduleur à résonance en pont en H est composé de deux cellules de
commutation cela se traduit par une importance de cette topologie sur le plan commande.
Contrairement à la configuration en demi-pont, l’onduleur en pont en H présente la
particularité d’imposé des tensions de différentes formes suivant la technique de
commande MLI employée. De plus, dans le montage en demi-pont, la tension aux bornes
des condensateurs du diviseur capacitif fluctue toujours, ce qui rend difficile l’équilibrage
du pont. En pratique, le montage en pont en H est plus avantageux du fait que l’on dispose
de 02 cellules de commutation ce qui offre plus de possibilités de contrôler la sortie. Dans
ce travail seul le montage en pont en H est considéré pour la suite.
L’ensemble inducteur et la pièce de travail est assimilable à une charge globalement
inductive gourmande en énergie réactive ce qui nécessite de placer une source d’énergie
réactive en série ou en parallèle pour améliorer le facteur de puissance de l’installation.
Ces techniques de compensation présentent des avantages comme elles présentent des
inconvénients. En pratique, de nombreux travaux de recherches ont prouvé que l’emploi
23
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
d’une compensation série-parallèle type LLC regroupe les avantages des deux techniques
de compensation à savoir le gain en courant, la commutation douce, l’auto-protection, etc.
De ce fait, la compensation série-parallèle est considérée dans ce travail.
Arrivée au stade des techniques de commande, la commutation douce (ZVS, ZCS) est une
opération très importante dans les alimentations à résonance destinés au chauffage par
induction. Pour améliorer le rendement par diminution des pertes par commutation et
protéger les semi-conducteurs durant l’étape de chauffage on emploi des techniques de
commande à fréquence fixe ou à fréquence variable. En pratique, Maintenir constante la
fréquence durant l’étape de chauffage ne permet pas de garantir un fonctionnement stable
par le maintien de la commutation douce. Burdio dans son article [Bur01] à démontrer par
la pratique que, pour les variations larges de la charge, la technique de commande à
déphasage asymétrique et à fréquence variable nécessite une fréquence minimale pour
maintenir la commutation douce durant l’étape de chauffage. Cette technique est
considérée dans ce travail.
Finalement, dans de nombreux travaux de recherche dans le domaine de chauffage par
induction plusieurs lois de commande ont été employées. Ces lois peuvent être regroupées
en deux catégories : les lois de commande classiques et les techniques avancées. Sur le
plan performances chaque technique présente des avantages et des inconvénients. Dans
notre travail, nous proposons d’utiliser quelques approches de commande avancée pour
améliorer les performances du système commandé.
12. Conclusion
Dans le circuit de chauffage par induction, L’inducteur et la pièce à chauffer sont
modélisés par une combinaison en série d’une résistance R et d’une inductance L. Son
impédance est en fonction non-linéaire d’une part de la nature et de la géométrie de
l’inducteur et la pièce de travail et d’autre part de la fréquence de la tension imposée. Par
ailleurs, la résistivité électrique _ et la perméabilité magnétique 7` du matériau à traité
sont fonction non-linéaire de la température.
Par conséquent, dans les matériaux
ferromagnétiques, l’impédance du circuit varie durant le cycle de chauffage surtout au
dessus de la température de Curie.
En général, la technique de chauffage par induction nécessite une alimentation haute
fréquence qui permet de transférer la puissance nécessaire à la pièce à traitée. Un nombre
important de topologies ont été développés dans ce domaine. Les onduleurs de tension et
de courant en demi-pont ou en pont en H sont parmi les types les plus couramment
24
Chapitre I
Etat de l’art sur le chauffage par induction
utilisés. L’onduleur à résonance série en pont en H présente la particularité de contrôler le
transfert de puissance par des techniques de commande différentes. Ces techniques de
commande peuvent être classées en deux catégories :
à fréquence fixe
à fréquence variable
Les techniques de commande à fréquence variables sont plus utilisés dans les applications
du chauffage par induction, parce ce qu’elle assure un transfert maximale de la puissance
et un fonctionnement stable de l’onduleur par le maintien de la commutation douce.
Pratiquement, pour les variations larges de la charge durant le processus de chauffage, la
technique de commande à déphasage asymétrique variable et à fréquence variable (AVC
control) nécessite une fréquence minimale pour atteindre la commutation douce.
Ce survol bibliographique nous a également permis de choisir:
L’onduleur en pont en H
La compensation série-parallèle type LLC
La technique de commande à déphasage asymétrique et à fréquence variable
La modélisation en petits signaux
25
Chapitre 2
Théorie du
Chauffage par Induction
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
1. Introduction
Le chauffage par induction est un processus utilisé pour souder, tremper ou revenir
des métaux ou d’autres matériaux conducteurs. Pour les processus de fabrication
modernes, le chauffage par induction offre une combinaison intéressante de vitesse,
consistance, contrôle et efficience énergétique.
Dans une configuration de base de chauffage par induction, une source d’alimentation
envoie un courant alternatif de fréquence variable à la pièce (placée à l’intérieur de
l’inducteur) à travers un inducteur. En pratique, deux grandes familles des sources
d’alimentation utilisées dans les applications domestiques et industrielles. Ils sont
constitués par des circuits oscillants (série ou parallèle) peu amortis dont la fréquence de
fonctionnement est adaptée aux paramètres de la charge de façon à avoir en permanence
un fonctionnement au voisinage de la résonance, ce qui entraîne en particulier que la
grandeur non imposée par la source présente une allure quasi-sinusoïdale.
Dans ce chapitre, nous allons présenter, le principe de base du chauffage par induction, les
caractéristiques des circuits oscillants ainsi que l’analyse de la commutation à zéro de
tension.
2. Description de la charge
La charge utilisée dans cette application du chauffage par induction est un alliage
métallique en chrome vanadium utilisé dans les domaines de la construction métallique et
de la construction mécanique. Il possède les propriétés suivantes :
La trempabilité
La résistance à chaud
La résistance à l’usure
L’acier choisi est constitué d’au moins de deux éléments : le chrome et le vanadium.
Le chrome (Cr) est utilisé dans la plupart des aciers à outils, en quantité allant de 0.5 à
17%, il joue un rôle essentiel dans l'augmentation de la trempabilité.
Le vanadium (V) est un élément d'alliage important dans les aciers rapides pour
l'obtention d'une bonne dureté à chaud et une bonne résistance à l'usure.
L’inducteur est un solénoïde de longueur ℓ formé de
spires en cuivre de haute
conductibilité refroidies par une circulation de l’eau.
26
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
3. Principes physiques
Théoriquement, le chauffage par induction est une technique de chauffage reposant
sur l'induction électromagnétique et l’effet Joule. Toute substance conductrice de
l'électricité plongée dans un champ magnétique variable (créée par l’inducteur) est le siège
de courants électriques induits ou courants de Foucault.
Ces courants dissipent de la chaleur par effet Joule dans la substance où ils ont pris
naissance. Concrètement, l’inducteur (la bobine) et la charge énergétique (la pièce à
traiter) sont les principaux composants d’un système chauffage par induction.
La figure II.1 illustre le principe de chauffage par induction d’une pièce cylindrique
[Car01, Pas01, Gui01, Lab01, Bri01, Tou01]:
Fig.II.1 : Principe de chauffage par induction d’une pièce cylindrique
Il se distingue cependant nettement des autres techniques par la nature des matériaux
chauffés et par la bande de fréquence électrique utilisée, c’est-à-dire par la profondeur de
pénétration et par les densités de puissance de chauffage obtenues.
Afin de transmettre la plus grande partie de l'énergie à la pièce à traiter, plusieurs
paramètres sont à prendre en considération [Adn01]:
la disposition respective des inducteurs et des pièces à chauffer (couplage,
longueurs respectives) ;
la fréquence d'alimentation et l'effet de peau qui caractérisent la répartition des
courants induits dans la pièce ;
les propriétés magnétiques, électriques et thermiques des pièces à chauffer ;
le type d'inducteur (géométrie, nature du conducteur, technologie).
27
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
4. Modélisation des Phénomènes physiques
Nous présentons ici les équations décrivant les phénomènes électromagnétiques et
thermiques d’un système de chauffage par induction [Pas01, Card01, Lab01, Gui01,
Bri01, Cla01]:
4.1. Phénomènes électromagnétiques
Les phénomènes électromagnétiques au sein d'un dispositif quelconque peuvent
être décrits au moyen des équations suivantes:
L’équation locale de Maxwell s’écrit :
=0
(II. 1)
est l’induction magnétique.
où
L’équation de Maxwell-Gauss donne la divergence du champ électrique en fonction de la
densité de la charge électrique :
.
où
=
est le champ électrique,
(II. 2)
densité volumique de charge électrique et
est la
permittivité diélectrique du vide.
L’équation de Maxwell-Faraday traduit le phénomène fondamental d’induction
électromagnétique découvert par Faraday :
.
=−
(II. 3)
Le rotationnel du champ électrique en fonction de la dérivée temporelle du champ
magnétique.
L’équation de Maxwell-Ampère s'écrit en termes de vecteur densité de courant :
.
=
. +
.
.
où densité de courant électrique et
La Loi d’Ohm s’écrit :
= ".
où " est la conductivité électrique.
(II. 4)
est la perméabilité du vide.
(II. 5)
28
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
La relation intrinsèque au milieu s’écrit :
=
où
$
.
$ (%, '). '
est la perméabilité relative du milieu et % la température.
(II. 6)
4.2. Phénomènes thermiques
La simulation des évolutions thermiques au sein de la charge repose sur l'équation
de la chaleur qui découle du principe de conservation de l'énergie. Elle s'écrit sous sa
forme locale pour un matériau [Pas01, Bri01]:
)
.
où
%
+
*).
%
++
,
*).
./ masse volumique [kg.m-3]
%
%
+ = -. ./ .
− 0/
,
(II. 7)
- chaleur spécifique [J.kg-1.K-1]
) conductibilité thermique dépendante de T [w.m.K]
0/ densité volumique de puissance dissipée localement [w.m-3]
Les conditions aux limites s'appliquant sur toute la surface externe de la charge sont
prisent en compte par l'équation :
).
%
= −34 − 3$
2
34 et 3$ : Flux de chaleur perdu par convection et rayonnement
(II. 8)
2 : Vecteur normal unitaire à la surface
4.2.1. Convection thermique
Lorsque le transfert de chaleur s’accompagne d’un transfert de masse, il est appelé
transfert par convection. Ce mode d’échange de chaleur existe au sein des milieux fluides
ou lorsque un fluide circule autour d’un corps solide. On distingue :
la convection naturelle
la convection forcée
La quantité de chaleur perdue par convection avec le milieu extérieur (air, eau) est liée à la
différence entre la température de surface de la charge et celle du fluide. Elle s'exprime
par la relation suivante [Bri01, Lab01]:
29
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
34 = ℎ. (%7 − %8 )
(II. 9)
où :
ℎ: Coefficient de convection [W.:;< . °> ;? ]
%7 : Température de surface de la charge [°>]
%8 : Température de fluide [°>]
4.2.2. Rayonnement
Le rayonnement est une forme particulière de transfert thermique dans laquelle
l'énergie est portée par des ondes électromagnétiques. La quantité de chaleur perdue par
rayonnement peut s'exprimer par la formule [Pas01, Card01, Bri01, Lab01, Cla01]:
3$ = "$ .
@
$ . (%7
− %[email protected] )
"$ : Constante de Stefan [W.:;< . °> ;? ]
$
(II. 10)
: Emissivité
5. Profondeur de pénétration
La profondeur de pénétration A est une notion très importante qui régit le
phénomène de chauffage par induction car elle impose la fréquence des courants
inducteurs et courants induits [Wan01, Gui01, Adn01, Car01, Lab01, Bri01].
La zone de production de la chaleur est concentrée dans une fine couche sous la surface de
la pièce à traiter (voir figure II.2) :
Fig.II.2 : Distribution de la chaleur dans une pièce cylindrique
30
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
En effet, la densité des courants induits décroît de manière exponentielle vers le centre de
la pièce avec la distance à la surface comme il est montré en figure II.3 [Wan01, Card01,
Adn01, Gui01, Lab01, Blu01, Cla01]:
Fig.II.3 : Répartition de la densité de courant depuis la surface
La répartition de la densité de courant est donnée par:
(B) =
DF )
E
. C ;(
(II.11)
En pratique, la profondeur de pénétration δ est définie par le point où la densité de courant
(B) a atteint 37% de sa valeur maximale :
(A) = 0.37.
(II.12)
Pour une charge cylindrique d’un rayon très supérieur à A, la formule théorique (II.13)
permet de connaître l’ordre de grandeur de l’épaisseur de peau:
A=H
I
J.KL .MN .MO
(II.13)
où P7 est la fréquence du courant imposé dans l’inducteur,
pièce considérée et
$
la résistivité électrique de la
sa perméabilité magnétique relative.
Il apparaît que la profondeur de pénétration dépend à la fois des caractéristiques du
matériau à chauffer ( ,
$ ),
et de la fréquence des courants induits P7 .
31
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
5.1. Influence de la fréquence QR
Le tableau I.1 regroupe des ordres de grandeur de A en fonction de plusieurs
matériaux pour différentes fréquences [Adn01]:
Tableau I.1 : Profondeur de pénétration [::]
Matériaux
Acier
Cuivre
Graphite
% = 20°>
= 0.16 Ω. :
$ = 40
% = 900°>
= 0.086 Ω. :
$ =1
100 Hz
3.18
14.76
159.15
1kHz
1.01
4.67
50.33
10kHz
0.32
1.48
15.92
100kHz
0.10
0.47
5.03
1MHz
0.03
0.15
1.59
Fréquence
50 Hz
4.5
20.87
% = 20°>
= 10 Ω. :
$ =1
225.08
La profondeur de pénétration est inversement proportionnelle à la racine carrée de la
fréquence. Alors que la résistivité et la perméabilité magnétique relative sont des
caractéristiques de la pièce à traité, la fréquence est donc un levier de contrôle de la
profondeur de pénétration.
La plage de fréquence souhaitable est déterminée par les dimensions de la pièce à
chauffer, le type de matériau, la disposition entre l’induit et l’inducteur, et la profondeur
de pénétration désirée. En pratique, la plage de fréquence employée est comprise entre la
fréquence industrielle de 50 Hz et quelques mégahertz:
basses fréquences : 50Hz - 500Hz
moyennes fréquences : 500Hz - 50kHz
hautes fréquences : 50kHz - 3MHz
5.2. Influence de la perméabilité relative VW
D’après la formule II.13, il est clair que la profondeur de pénétration est
inversement proportionnelle à la racine carré de la perméabilité magnétique relative
[Adn01].
La valeur de
$
$
varie fortement d’un matériau à un autre. Pour les matériaux non
magnétiques tels que le cuivre ou l’aluminium,
$
= 1, puisque ces matériaux ne facilitent
pas le passage des lignes de forces. Par contre, les matériaux ferromagnétiques ont un
32
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
coefficient de perméabilité beaucoup plus élevé. Ces matériaux offrent donc des
profondeurs de pénétration beaucoup moins importantes.
Chaque matériau est caractérisé par son aptitude à la magnétisation, et cette loi est
applicable aux aciers en chrome vanadium. La figure II.4 représente la dépendance de
de l’acier en fonction du champ ' pour différentes valeurs de la
l’induction
température [Wan01, Adn01]:
1.8
T=20°C
T=200°C
T=400°C
T=600°C
1.6
1.4
1.2
B
[T
]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
Fig. II.4 : L’évolution de
La forme du diagramme
40
$
50
H[kA/m]
60
70
80
90
100
en fonction de ' pour différentes valeurs de %
(') peut varier fortement d'un matériau magnétique à l'autre.
Pour l’acier en Chrome Vanadium choisi, elle varie en fonction de la température et plus
particulièrement en fonction de l'amplitude du champ magnétique imposé.
La perméabilité magnétique des matériaux ferromagnétiques dépend fortement de la
nature du matériau et des conditions imposées (température, intensité du champ
magnétique, saturation). Au-delà de la température de Curie, la perméabilité chute
brutalement à
$
= 1, ce qui engendre une hausse rapide de la profondeur de pénétration.
Autrement dit, la température de Curie, est la température %4 à laquelle le matériau perd
son aimantation spontanée. Dans cette situation, le matériau est dans un état désordonné
dit paramagnétique.
La non-linéarité de la fonction (') a pour effet que la perméabilité relative n'est pas une
constante, mais une fonction du champ magnétique. La figure II.5 illustre l’évolution de la
perméabilité relative de l’acier en fonction de la température et du champ H [Wan01,
Adn01]:
33
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
90
T=20°C
T=200°C
T=400°C
T=600°C
80
P
e
rm
é
a
b
ilitére
la
tived
el'a
cie
r
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
Fig. II.5 : L’évolution de
40
$
50
H[kA/m]
60
70
80
90
100
en fonction de ' pour différentes valeurs de %
Il est à noter que la perméabilité relative de l’acier varie d’une façon non linéaire en
fonction de l’amplitude du champ magnétique et la température du chauffage. Sous l’effet
d’une agitation thermique suffisamment importante (due à une augmentation de
température), les moments magnétiques se désorganisent et la perméabilité magnétique
relative chute à 1.
5.3. Influence de la résistivité X
La profondeur de pénétration est proportionnelle à la racine carrée da la résistivité
électrique
de la pièce à traiter. Celle-ci, pour les métaux, la résistivité est une fonction
non linéaire de la température.
La résistivité électrique de l’acier en chrome vanadium évolue d’une façon non linéaire en
fonction de la température comme il est représenté sur la figure II.6 [Wan01, Adn01]:
-7
10
x 10
résistivitédel'acier [Ohm.m]
9
8
7
6
5
4
3
2
0
100
200
300
400
500
T[°C]
600
700
800
900
Fig. II.6 : La résistivité de l’acier en fonction de la température
34
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
6. Puissance nécessaire au traitement thermique
Comme dans tout problème de chauffage, la puissance nécessaire au type de
traitement thermique recherché est imposée par la masse à chauffer, la température à
atteindre et le temps de chauffe. Cette puissance est calculée par [Gui01]:
0 = :. -.
où :
(Y;YN )
Z
(II.14)
: : la masse de la pièce à chauffer
% : la température ambiante
- : la valeur moyenne de la capacité thermique relative du matériau
: est le temps nécessaire pour le chauffage
7. Calcul simplifié de la puissance dissipée par effet Joule
Dans un cylindre soumis à un champ magnétique axial (voir figure II.7), les lignes
de courants de Foucault sont des anneaux contenus dans un plan de section droite du
cylindre. L'intensité dans un anneau est d'autant plus élevée que l'on s'éloigne de l'axe du
cylindre.
Fig. II.7 : Forme cylindrique d’un acier
Nous supposons que la densité du courant décroit du périphérique de la pièce à traité vers
le cœur selon la loi suivante :
( )=
. C;
O[ \O
]
(II.15)
Nous choisissons comme élément de surface ^ où :
^ = ℓ.
(II.16)
35
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
Par élément
` = ℓ.
−
0. C
, l’intensité du courant est donné par :
a−
A
.
(II.17)
L’intensité totale du courant induit est calculée par :
` = ℓ. . b
$[
C−
.
a−
A
Ce qui donne :
(II.18)
` = ℓ. . A. (1 − C ; ] )
Pour
c
O[
(II.19)
≫ A, l’intensité du courant devienne :
`e = ℓ. . A
(II.20)
Dans cette condition, la répartition du courant est équivalente à un courant d’intensité ` passant
dans une couche d’épaisseur A.
La puissance élémentaire dissipée par effet Joule dans le cylindre est donnée par :
0 = f. ( `)<
où :
f= .
` = ℓ.
2. g.
ℓ.
−
0. C
(II.21)
a−
.
A
En remplaçant f et ` par ces expressions, la puissance élémentaire devienne:
0 = 2. g. . ℓ.
<
. . C ;<.
(O[ \O)
]
.
(II.22)
La puissance totale dissipée par les courants induits a pour expression :
0 = 2. g. . ℓ. 20 . b0 a . C ;<.
Ce qui donne :
0 = < . g. . ℓ.
?
Pour
c
<
(II.23)
. (A < . C ;<. ] − A < + 2. A.
O[
c)
≫ A, la puissance dissipée devienne:
0 = g. . ℓ.
<
. A.
c
Soit en remplaçant
0 = g.
(O[ \O)
]
.
hNi
c. ℓ . j
.
N
par ℓ.E
et A par H
h
$.
. P7
I
J.K.MN .MO
(II.24)
(II.25)
, il vient :
(II.26)
36
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
La puissance dissipée par effet Joule est proportionnelle au carrée de l’intensité du courant
induit.
Pour augmenter la puissance totale dissipée dans la pièce, il faut :
augmenter l’intensité du courant induit
augmenter la fréquence
8. Rendement électrique
Une des grandeurs les plus intéressantes à considérer du point de vue pratique, est
le rendement électrique du chauffage par induction, c-à-d le rapport entre l’énergie
recueillie dans la substance et l’énergie fournie à l’inducteur [Adn01]:
k=
où :
0
0+0
(II. 27)
0 : Puissance transmise à la charge
0 : Puissance dissipée dans l’inducteur
Le rendement électrique dépend fortement du rapport
$[
E
, de la fréquence P7 et de la
conception de l’inducteur. Pour améliorer le rendement d’un système de chauffage par
induction il faut [Adn01]:
utiliser des inducteurs de faibles résistances
minimiser la distance entre les enroulements
limiter l’entrefer
choisir convenablement la fréquence des courants imposés
9. Facteur de puissance
Par définition le facteur de puissance du chauffage par induction est égal au rapport
de la puissance active consommée sur la puissance apparente. L’ensemble constitué de
l’inducteur et la pièce à traiter est caractérisé par un facteur de puissance très faible situé
entre 0,05 et 0,6 [Adn01]. Ce caractère inductif est dû d’une part à l’entrefer et d’autre
part au comportement inductif de la charge elle-même. Une source d’énergie réactive
placée en série ou en parallèle permet de corriger le facteur de puissance de l’installation
du chauffage par induction.
37
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
10. Caractéristique des circuits résonants
La résonance est un phénomène qui se produit lorsqu'un système oscillant est
excité en régime permanent par un signal périodique dont la fréquence est égale à une
fréquence propre du système. Dans ce cas, l'énergie absorbée par le système est maximale.
Les alimentations à résonance utilisent les propriétés des circuits résonants pour aider à la
commutation douce des interrupteurs. D’autre part, ils permettent aussi de faire le contrôle
de la puissance fournie à la charge du fait qu’au moment de changer la fréquence de
fonctionnement il aura une modification respective de l’impédance. La figure II.8 montre
les circuits résonants les plus utilisés pour l’analyse des onduleurs hauts fréquences
[Ess01, Pim01].
Fig.II.8 : circuits RLC série et parallèle
Il existe deux types de circuits RLC série ou parallèle, selon l'interconnexion des trois
types de composants. Le comportement d'un circuit RLC est généralement décrit par une
équation différentielle du second ordre.
Les relations utiles pour l’étude des circuits résonants en régime sinusoïdal sont les
réactances, l’impédance et le déphasage entre le courant et la tension.
Pour une bobine, l’expression de la réactance est telle que :
Xm = j. L. ω
(II.28)
Xq =
(II. 29)
Et pour la réactance du condensateur on a :
1
j. C. ω
Pour le circuit RLC série le module de l’impédance complexe et le déphasage sont
données par :
s7 = tf < + (u. v −
1 <
)
>. v
(II. 30)
38
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
1
u. v −
>.
vy
37 = w2;? x
f
(II. 31)
Dans le cas du circuit parallèle, le module de l’impédance complexe et le déphasage sont
données par :
Z{ =
1
(II. 32)
H 1< + (C. ω − 1 )<
L. ω
R
φ{ = tan;? *−R. •C. ω −
1
‚+
L. ω
(II. 33)
La figure II.9 montre l’évolution des modules des impédances et les déphasages pour les
deux types de circuit :
Bode Diagram
60
Magnitude (dB)
40
20
0
-20
90
Zs
Zp1
Phase (deg)
45
0
-45
-90
5
6
10
7
10
10
8
10
Frequency (rad/s)
Fig.II.9 : l’évolution du déphasage
A noter que à la fréquence de résonance, le module de l’impédance du circuit RLC série
devient minimal (maximal pour le circuit parallèle). Dans les deux cas, Le déphasage
devient nul.
10.1. Fréquence de résonance
La résonance d'un circuit RLC se produit lorsque la partie imaginaire de
l’impédance s'annule (Xq = Xm ). Cette fréquence est définie par:
v =
1
√u. >
(II. 34)
39
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
Toutefois, à cause de la configuration des circuits, la résonance d'un circuit RLC en
parallèle ne produit pas les mêmes effets que celle d'un circuit RLC en série [Ess01].
10.2. Facteur de qualité
En pratique les composants idéaux n'existent pas. On peut représenter un
composant réel comme un composant idéal auquel on a ajouté une résistance en série. Le
facteur de qualité d’un circuit série est définie par [Ess01, Pim01]:
Q… =
L. ω
1
=
R. C. ω
R
(II. 35)
Si on prend le cas de la bobine, on peut s'attendre à ce que le facteur da qualité augmente
avec la fréquence. En fait, à partir d’une certaine fréquence où l'effet de peau se manifeste,
le courant n'a plus une distribution uniforme dans la section du conducteur. Par
conséquent, à partir d'une certaine fréquence, la résistance va augmenter et le facteur Q…
n'augmente plus de façon linéaire, mais a tendance à croître moins vite, puis à chuter.
Dans le circuit RLC parallèle 1, on définie le facteur de qualité par :
Q{ =
R
= R. C. ω
L. ω
(II. 36)
La formule est totalement inversée par rapport au cas précédent.
Par ailleurs, le facteur de qualité peut aussi être appelé facteur de surtension ou facteur de
surintensité selon qu’il s’agisse d’un circuit RLC série ou parallèle.
11. Types de commutation des semi-conducteurs
Les onduleurs de tension utilisent des interrupteurs réversibles en courant formés
de semi-conducteurs commandés à la fermeture et à l’ouverture associés à des diodes
montées en antiparallèle. On utilise:
le MOSFET pour les faibles puissances
l’IGBT pour les courants moyens
le thyristor GTO pour les forts courants.
Une commutation consiste à ouvrir une voie et à transférer le courant qui y passait dans
une autre. Les commutations des semi-conducteurs commandés peuvent être dures ou
douces suivant qu’elles engendrent ou non des pertes par commutation. On distingue 03
types [Seg01]:
40
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
11.1. La commutation dure
Une commutation à l’ouverture ou à la fermeture est dure si le courant dans
l’interrupteur et la tension à ses bornes varient simultanément (voir figure II.10), ce qui
provoque une importante pointe de puissance instantanée dissipée dans l’interrupteur.
Fig.II.10 : la commutation dure
11.2. La commutation dure adoucie
Pour adoucir la commutation dure on ajoute aux interrupteurs des circuits d’aide à
la commutation (voir figure II.11) :
Fig.II.11 : la commutation dure adoucie
une inductance en série avec l’interrupteur à la fermeture ralentit la montée en
courant. Elle protège l’interrupteur contre les pointes de courant.
Un condensateur en parallèle avec l’interrupteur à l’ouverture ralentit la tension.
Elle protège aussi l’interrupteur contre les pics de tension.
11.3. La commutation douce
Une commutation est dite douce si (voir figure II.12) :
Fig. II.12 : La commutation douce (ZVS, ZCS)
41
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
à la fermeture, la montée du courant se fait après l’annulation de la tension (ZVS)
à l’ouverture, la montée de la tension se fait après l’annulation du courant (ZCS)
La commutation douce améliore le rendement et la fiabilité du système en réduisant les
contraintes sur les interrupteurs.
12. Fréquence de commutation
L’augmentation de la fréquence interne des commutations de la plupart des
convertisseurs, a conduit à caractériser la dureté d’une commutation par l’importance des
pertes par commutation engendrées. Ces pertes s’ajoutent aux pertes par conduction. Plus
l’énergie perdue à chaque commutation est importante, plus la possibilité de montée en
fréquence est limitée.
13. Pertes par commutation
La montée en fréquence des convertisseurs statiques entraîne une augmentation des
pertes par commutation dans les interrupteurs. Ces pertes peuvent être réduites, mais
surtout délocalisées par l’adjonction de circuit d’aide à la commutation (CALC) sans
modifier le principe de fonctionnement du convertisseur. Une autre possibilité consiste à
modifier la nature des interrupteurs pour qu’ils réalisent une commutation spontanée, dite
aussi commutation douce car les pertes sont nulles, mais aussi celle des convertisseurs qui
doivent alors créer les conditions de commutations. Ces convertisseurs sont dits
convertisseurs quasi-résonnants.
Théoriquement, les pertes par commutation sont calculées par formule suivante [Ess01,
Pim01]:
04 = < . †4 . `4 . P4 . (
?
Avec :
K
+
e)
(II.37)
04 pertes par commutation
†4 tension de commutation
`4 courant commutation
P4 fréquence de commutation
K
e
temps de fermeture
temps d’ouverture
42
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
14. Justification du choix de la technique de commande
L’onduleur le plus utilisé dans les applications industrielles du chauffage par
induction est l’onduleur à résonance en forme en H. Pour simplifier l’analyse des
techniques de commande de l’onduleur à résonance, on supposera qu’il est alimenté par
une source de tension continue et que les composants électroniques sont parfaits.
14.1. Commande à rapport cyclique variable et fréquence variable
Afin d’obtenir une tension de sortie alternative, l’onduleur connecte la source de
tension continue à la charge, dans un sens puis dans l’autre. Pour réaliser ceci, il suffit de
commander alternativement la fermeture des interrupteurs statiques K1, K4 puis K2, K3. On
obtient aux bornes de la charge la tension ‡ˆ‰ ( ) représentée sur la figure II.13 [Bur01,
Tia01, Tia02]:
Fig.II.13 : formes d’onde de la tension et le courant
La tension de sortie vaut alternativement +† et −† .
La tension périodique ‡ˆ‰ ( ) de fréquence P7 peut décomposer en la somme de sinusoïdes
de fréquence multiples de la fréquence P7 :
43
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
Ž
Œˆ‰• . sin(2. 2. g. P7 . )
‡ˆ‰ ( ) = Š ‹
où :
••?
(II. 38)
†
. jw•< + ’•<
2. g
w•
= w2;?
’•
Œˆ‰• =
‹
∅/•
w• = ” 2 2. (g − •)
’• = 2. (1 + cos n. α)
14.2. Commande par déphasage symétrique et fréquence variable
La commande des interrupteurs K2 et K3 est retardée d’un angle •.
Cette
commande des interrupteurs permet d’obtenir en sortie de l’onduleur la tension ‡ˆ‰ ( )
représentée sur la figure II.14 [Bur01, Gra01]:
Fig. II.14 : formes d’ondes de la tension et du courant
Cette technique de commande présente deux phases de roue libre durant une période de
commutation. La tension de sortie peut prendre les valeurs +† , 0 et −† .
La décomposition en série de Fourier donne :
44
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
Ž
Œˆ‰• . sin(2. 2. g. P7 . )
‡ˆ‰ ( ) = Š ‹
où :
••?
(II. 39)
†
. jw•< + ’•<
2. g
w•
= w2;?
’•
Œˆ‰• =
‹
∅/•
w• = 2. sin n. α
’• = 1 + 2. cos(2. •) − cos (2. g)
14.3. Commande par déphasage asymétrique et fréquence variable
La figure II.15 présente le chronogramme de commande des interrupteurs ainsi que la
forme d’onde de la tension et du courant [Bur01, Sai01]:
Fig.II.15 : Formes d’ondes de la tension et du courant
Contrairement aux techniques précédentes, cette technique de commande présente une
seule phase de roue libre durant une période de commutation.
La décomposition en série de Fourier donne :
45
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
Ž
Œˆ‰• . sin(2. 2. g. P7 . )
‡ˆ‰ ( ) = Š ‹
où :
(II. 40)
••?
†
. jw•< + ’•<
2. g
w•
= w2;?
’•
Œˆ‰• =
‹
∅/•
w• = ” 2 2. •
’• = 2 + cos(2. •) − cos (2. g)
Dans les techniques de commandes ADC et PS, l’amplitude normalisée de la tension
imposée, ‹• , est égale à:
1
‹• = . j2 + 2. cos (•)
2
(II. 41)
Mais dans le cas de la technique AVC,
1
‹• = . j10 + 6. cos (•)
4
(II. 42)
La figure II.16 montre l’évolution de l’amplitude normalisée de la tension imposée aux
bornes de la charge en fonction de l’angle • dans les trois techniques de commande :
2
ADC, PS
AVC
Un
1.5
1
0.5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
alpha [°]
Fig.II.16 : Variation de la tension normalisée en fonction de •
Dans les mêmes conditions, l’augmentation de l’angle de puissance • entraine une
diminution de l’amplitude de la tension imposée. Pour • = g, cette amplitude devienne
46
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
nulle dans le cas des techniques ADC et PS et atteint un demi de sa valeur maximale dans
le cas de la technique AVC.
La figure II.17 illustre la variation de la phase correspondante en fonction de l’angle •
dans les trois techniques de commande [Bur01]:
1.6
ADC, PS
AVC
1.4
phiv [rad]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
alpha [°]
Fig.II.17 : Variation de la phase en fonction de •
L’augmentation de l’angle • entraine une augmentation de la phase d’une façon presque
linéaire dans les deux techniques de commande ADC et PS ce qui complique le contrôle
de la commutation ZVS. Mais dans le cas de la commande AVC cette augmentation est
très faible et devienne nulle pour • = g.
14.4. Taux de distorsion harmonique
Le taux de distorsion, encore appelé distorsion harmonique totale est défini comme
le rapport de la valeur efficace globale des harmoniques à la valeur efficace de la
composante fondamentale. Il peut s’appliquer soit au courant ou à la tension. Dans notre
cas, le taux de distorsion est donné par:
%'™ = 100.
Œ<
H∑Ž
< ‹ˆ‰•
Œˆ‰?
‹
(II. 43)
La figure II.18 illustre la variation du taux de distorsion en fonction de l’angle de
puissance •:
47
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
300
ADC, PS
AVC
250
THD [%]
200
150
100
50
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
alpha [°]
Fig.II.18 : variation du taux de distorsion harmonique en fonction de •
On peut voir que l’augmentation de l’angle de puissance • entraine une augmentation du
taux d’harmonique dans les trois techniques de commandes. Cependant, la valeur du taux
de distorsion dans les deux techniques de commandes à rapport cyclique variable et à
déphasage symétrique (ADC et PS) est relativement grande par rapport à celle calculé
dans le cas d’une commande à déphasage asymétrique (AVC).
14.5. Analyse de la ZVS
Pour analyser la commutation douce dans l’onduleur à résonance série, il faut tenir
compte de la tension ‡ˆ‰ imposé par l’onduleur et l’angle ∆3. Dans la littérature, la forme
générale de cette tension est représentée sur la figure II.19:
Fig.II.19 : forme générale de la tension imposée par l’onduleur
48
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
La décomposition en série de Fourier du signal permet d’écrire:
†
. Hw?< + ’?<
g
w?
∅? = w2;?
’?
Œˆ‰? =
‹
(II. 44)
(II. 45)
Avec :
w? = sin (œ − •? ) + sin œ + sin •<
’? = 1 − - ” (œ − •? ) − cos œ + cos •<
La figure II.20 montre l’évolution de ‹ˆ‰? en fonction de •? et •< pour œ = 180°
[Bur01]:
400
ab
U [v]
300
200
100
0
0
0
50
100
50
100
alpha [°]
150
2
150
200
alpha [°]
200
1
Fig.II.20 : l’évolution de ‹ˆ‰? en fonction de •? et •< pour œ = 180°
En pratique, La condition nécessaire pour un fonctionnement à commutation douce (ZVS)
est :
∆3? > 0
∆3?varie d’une technique de commande à l’autre et égale à :
∆3? = ž7 . (v•< − 1) − w2;?
sin •
1 + cos •
pour (•? = •< = • et = g ) et (•? = •< = 0 et œ = g − •)
et à :
∆3? = ž7 . (v•< − 1) − w2;?
Pour (•? ≠ •< , œ = g).
sin •? + sin •<
2 + cos •? + cos •<
(II. 46)
(II. 47)
(II. 48)
49
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
Afin de satisfaire (II.46), ∆31 peut être augmentée en augmentant la fréquence de
commutation. Cependant, le courant de charge diminue suite à l’augmentation de
l’impédance et les pertes par commutation augmentent. Pour améliorer le rendement et
maintenir la ZVS durant la phase de traitement, le convertisseur doit être fonctionné au
dessus de la fréquence de résonance (v• > 1) et le courant doit être augmenté par
variation de l’angle • pour transférer la même puissance.
A fréquence fixe, ∆3? peut être augmentée en diminuant ∅? par variation des angles de
commande •? et •< . Les figures II.21 et II.22 montrent l’évolution de ∅? en fonction de
•? , •< pour œ = 180°, et œ = 90° respectivement [Bur01]:
100
phi
1
80
60
40
20
0
200
150
200
150
100
alpha [°]
100
50
2
alpha [°]
50
0
1
0
Fig. II.21 : l’évolution de ∅? en fonction de •? et •< pour œ = 180°
200
phi
1
150
100
50
0
100
80
60
alpha2 [°]
40
20
0
0
50
100
150
250
200
300
alpha [°]
1
Fig.II.22 : l’évolution de ∅? en fonction de •? et •< pour œ = 90°
50
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
La stratégie de commande optimale est celle qui minimise la phase ∅? par variation des
angles de commande •? , •< et œ, en tenant compte de la valeur nécessaire de la tension
‹ˆ‰ . En pratique, pour minimiser ∅? on fixe •< = 0 et œ = g et on varie l’angle •? = •.
Dans ce cas ∆3?est exprimée par :
∆3? = ž7 . (v•< − 1) − w2;?
sin •
3 + cos •
(II. 49)
La figure II.23 montre l’évolution de la fréquence normalisée v• en fonction de l’angle de
réglage • :
2
ADC, PS (Qs=1)
AVC (Qs=1)
ADC,PS (Qs=4)
AVC (Qs=4)
1.9
1.8
1.7
wn
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
alpha [°]
Fig. II.23 : variation de v• en fonction de l’angle •
Pour les variations larges de la charge (ž7 = 4), la commande à fréquence fixe par
déphasage asymétrique nécessite une fréquence minimale pour atteindre la commutation à
zéro de tension.
15. Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons exposé le principe de base du chauffage par
induction. Plusieurs paramètres sont à prendre en considération, la répartition des courants
induits et la puissance dissipée dans la pièce ont une grande importance.
La fréquence de commutation a une influence sur le fonctionnement des onduleurs à
résonance employés pour alimenter le système de chauffage par induction, elle offre la
possibilité de contrôler la dissipation de la puissance à l’intérieur du corps à chauffer et de
choisir le chauffage le mieux adapté.
51
Chapitre II
Théorie du chauffage par induction
L’emploi de la technique de commande à déphasage asymétrique et à fréquence variable
pour contrôler la puissance fournie à la pièce traitée offre de nombreux avantages à savoir
la possibilité de maintenir la commutation à zéro de tension (ZVS) à fréquence fixe ou à
fréquence variable.
52
Chapitre 3
Onduleur à Résonance
Résonance
SérieSérie-Parallèle
Type LLC
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
1. Introduction
Le convertisseur à résonance est un dispositif haute fréquence qui permet de faire
le lien entre la source d’énergie est la pièce à chauffer. Son fonctionnement est lié à la
fréquence de commutation de l’onduleur et aux caractéristiques des circuits oscillants série
ou parallèle dans lesquels la résonance est exploité pour minimiser les contraintes
électriques et thermiques sur les interrupteurs, réduire les harmoniques et diminuer les
pertes par commutation [Ess01, Pim01].
L’onduleur à résonance série parallèle type LLC est un onduleur de tension utilisé dans de
nombreux applications industrielles récentes. Il est basé sur un circuit oscillant série
parallèle avec branchement de la charge aux bornes de la capacité de compensation.
Dans ce chapitre, nous allons étudier l’application de cette topologie pour alimenter une
pièce cylindrique en Chrome Vanadium. La Première étape est consacrée à l’analyse de
son fonctionnement durant une période de fonctionnement. Ensuite, nous allons proposer
un schéma équivalent simplifié qui simule son comportement pour différentes valeurs de
la fréquence et du facteur de charge. La dernière étape est réservée à la conception du
circuit LLC par un algorithme composé de 08 étapes.
2. Description de l’onduleur proposé
L’onduleur à résonance série-parallèle type LLC est un onduleur de tension
alimentant un circuit résonant avec branchement du récepteur aux bornes de la capacité.
Ce branchement du récepteur aux bornes du condensateur permet d’utiliser l’onduleur
lorsqu’on veut alimenter une charge très variable. La figure III.1 donne la configuration de
base d’un convertisseur à résonance série-parallèle type LLC pour les applications du
chauffage par induction [Sai01, Sai03, Zha01, Che02, Kel02, Hue01]:
Fig.III.1 : Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
53
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Le convertisseur proposé est constitué d’un pont redresseur à diodes permettant
l’obtention d’une tension continue dont la valeur est fixée en fonction de l’application; et
d’un filtre passif pour améliorer le caractère continu de la tension obtenue. L’onduleur est
basé sur une structure en pont en H, constitué de deux cellules de commutation.
L’onduleur débite sur un circuit oscillant de type série-parallèle, composé d’une
inductance série
, d’un condensateur de compensation
pièce à traiter. Le condensateur de blocage
et l’ensemble inducteur et la
est inséré en série avec le primaire du
transformateur de séparation.
Dans les matériaux ferromagnétiques, la résistivité électrique
magnétique
,
et la perméabilité
du matériau varient en fonction de la température. Par conséquent,
l’impédance du circuit
température de Curie.
varie durant le cycle de chauffage surtout au dessus de la
2.1. Description du redresseur
Le redresseur utilisé dans cette application est un redresseur non commandé de
type PD3 (voir la figure III.2) :
Fig.III.2 : Redresseur triphasé type PD3
fréquence 50
Pour obtenir une tension continue, on redresse un ensemble de 03 tensions alternatives de
équilibré :
#
, d'ordinaire supposées sinusoïdales et formant un système triphasé
= . √2.
= . √2.
= . √2.
.
2. !
%
3
2. !
. +
3
. −
III. 1
54
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Chaque diode conduit pendant un tiers de la période tandis que la tension redressée se
compose de six portions de sinusoïdes par période T. Par conséquent, le montage employé
Un indice de commutation du montage ) = 3
est caractérisé par :
Un indice de pulsation de la tension redressé * = 6
,-./0 ≈ 2.326.
III. 2
Le calcul de la valeur moyenne de la tension redressée se fait à partir de l’expression :
,-233 ≈ 2.302.
La valeur efficace est :
,-233
≈ 1.0009
,-./0
La valeur du facteur de forme caractérise le redresseur est donnée par :
4=
III. 3
III. 4
Ce résultat montre clairement que la forme de la tension redressée est plus proche du
continu.
2.2. Description du filtre 78 98
En sortie du redresseur, la tension n’est pas totalement constante. Afin de réduire
les oscillations, nous allons utiliser un filtre LC (voir la figure III.3):
Fig.III.3 : Le filtre LC
La fonction de transfert du filtre LC est donnée par :
où :
,:
=
:
,-
=
1
1 + 3.
3.
III. 5
: La tension en sortie du redresseur
: La tension en sortie du filtre LC
55
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
1. Analyse harmonique du signal à la sortie du pont redresseur, ;-
Grâce aux séries de Fourrier, nous pouvons calculer la bobine nécessaire par :
2. Détermination de la fréquence de la première harmonique, <=
3. On se fixe le condensateur
3
supportant la tension
:
Ainsi, pour avoir un signal qui se rapproche d’un signal continu, nous devons atténuer le
A la fréquence de résonance <= , nous sommes en présence d’un pic de gain qui va
premier harmonique.
augmenter notre premier harmonique au lieu de le diminuer. L’inductance de la bobine est
1
4. ! . < .
déterminer par :
3
=
avec :
< = 50
III. 6
3
conséquente pour la fréquence <= .
Grâce à cette inductance, la résonance aura lieu à 50hz et l’atténuation sera plus
3. Stratégie de commande à MLI de l’onduleur proposé
puissance basée sur la variation de l’angle de déphasage > du transistor T4 et une boucle
La stratégie de commande proposée est composée de deux boucles : une boucle de
de fréquence (PLL) pour maintenir la ZVS. La figure III.4 donne le schéma complet de la
commande de l’onduleur à résonance type LLC [Sai03]:
Fig.III.4 : Schéma détaillé de la commande utilisée
56
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Le circuit PLL est utilisé pour suivre les variations rapides de la fréquence du système
durant le processus du chauffage par induction. Il est composé d’un capteur de courant,
d’un détecteur de passage à zéro, d’un filtre passe-bas et d’un oscillateur commandé en
tension (VCO).
phase avec la tension, ;? , imposée par l’onduleur. Par conséquent, nous pouvons
Dans les onduleurs de tension, le signal de commande de l’interrupteur statique est en
comparer le signal de commande et le courant traversant la charge,
, pour détecter la
différence de phase. Le signal de sortie du détecteur de phase est filtré pour obtenir une
valeur moyenne proportionnelle à la différence de phase à la charge. Le VCO délivre un
signal périodique dont l’amplitude est constante et dont la fréquence est proportionnelle à
La boucle de puissance est basée sur la comparaison du signal issue du régulateur @ avec
la tension continue appliquée a son entrée.
un signal de dents de scie de fréquence < variable. Cette fréquence est générée par la
commande PLL. La différence entre les deux signaux est appliquée à l'entrée d'un
comparateur fournissant un train d'impulsion (voir la figure III.5).
Fig.III.5 : Principe de la boucle de puissance
deux signaux. Elles peuvent varier en fonction du signal @, et ceci au niveau de
Les durées d'enclenchement et de déclenchement sont définies par les intersections des
l'électronique de contrôle.
4. Analyse de fonctionnement
L’analyse de fonctionnement en régime permanent de l’onduleur à résonance type
LLC est basée sur les hypothèses simplificatrices suivantes :
L’onduleur est alimenté par une source de tension d’amplitude,
Tous les interrupteurs sont idéaux
:,
constante
57
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Généralement, selon les états des interrupteurs T1, D1, T2, D2, T3, D3, T4 et D4, on peut
distinguer trois principales phases de fonctionnement de l’onduleur en pont en H durant
une période de commutation:
Phase active (T1 et T4) ou (T2 et T3)
Phase de restitution (D2 et D3) et (D1 et D4)
Phase de roue libre (T1 et D3), (D1 et T3), (T2 et D4) ou (D2 et T4)
Dans ce cas l’enchaînement des différentes phases de fonctionnement
peut être
représentées par le réseau de Pétri de la figure III.6:
A :; = 1
Transition
C :; = 0
D : ; = −1
E :
=0
1 : (T1, T4),
Places
2 : (D1, D4),
> 0; phase active
< 0; phase restitution
3 : (D1, T3) ou (T2, D4),
4 : (T1, D3) ou (D2, T4),
5 : (T2, T3),
6 : (D2, D3),
< 0; phase roue-libre
> 0; phase roue-libre
< 0; phase active
> 0; phase restitution
Fig.III.6 : Différentes phases de fonctionnement
58
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
L’onduleur proposé présente 08 phases de fonctionnement de topologies différentes,
illustrées par la figure III.7 [Sai03]:
Fig.III.7 : Principales phases de fonctionnement de l’onduleur
59
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Les 08 mailles suivantes correspondent aux possibilités de circulation du courant, selon les
phases de fonctionnement de l'onduleur.
Maille 01 : HI < < HJ
la charge est positive (KLM H = NO ) et le courant négatif circule à travers les diodes D1 et
Dans cette phase, les interrupteurs T2 et T3 sont ouverts. La tension aux bornes de
D4 (OP H < 0). La puissance instantanée est exprimée par:
*
= ;?
.
<0
III. 7
Le transfert d’énergie est de la charge vers la source (voir la figure III.8). Il s’agit d’une
phase de restitution.
Fig.III.8 : Phase 01
=
=−
Le courant traversant les diodes D1 et D4 est donné par :
R
RS
Le courant dans la charge OP H s’annule à l’instant
.
III. 8
Maille 02 : HJ < H < HU
conduisent. La tension aux bornes de la charge et le courant sont positifs (KLM H = NO ,
Dans cette phase, les diodes D1 et D4 sont bloquées et les commutateurs T1 et T4
OP H > 0). De même, la puissance instantanée est positive :
*
= ;?
.
>0
Il y a transfert d’énergie de la source vers la charge. Il s’agit d’une phase active.
III. 9
60
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Fig.III.9 : Phase 02
=
=
Le courant traversant les transistors T1 et T4 est donné par :
V
VS
Durant ce mode de fonctionnement la commutation à zéro de tension est assurée.
III. 10
Maille 03 : HU < H < HW
A
=
, le transistor T4 est bloqué, le courant circule dans la même direction à
travers le transistor T1 et les condensateurs C03 et C04. Durant ce mode la tension ;?
passe de la valeur +Vi à 0.
La tension ;? s’annule à l’instant
=
Fig.III.10 : Phase 03
=
.
Le courant traversant les transistors T1 et T4 est donné par :
V
VS
=0
III. 11
III. 12
61
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Maille 04 : HW < H < HX
#
Pour
< <
S
, T1 est fermé et T2, T3 et T4 sont ouverts. La charge est court-
circuitée KLM H = I). L’intensité du courant dans la charge est positive (OP H > 0). La
puissance consommée par la charge est nulle Y H = KLM H . OP H = I . Il s’agit d’une
phase dite de roue libre.
Fig.III.11 : Phase 04
Maille 05: HX < H < HZ
Le courant positif (OP H > I) continue de circuler par la diode D3 et les deux
Durant ce mode de fonctionnement les interrupteurs T1, T2, T3 et T4 sont ouverts.
condensateurs C01 et C02. La tension décroît linéairement de la valeur I à −NO
Fig.III.12: Phase 05
A =
;?
[,
=−
:
(III.13)
62
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Maille 06: HZ < H < H\
Pour
[
< <
]
les interrupteurs T1, T2, T3 et T4 sont ouverts. La tension aux
bornes de la charge est négative (KLM H = −NO ). Le courant circule à travers les diodes
D2 et D3. Dans ce cas le courant traversant la charge est positif (OP H > I). Il s’agit d’une
phase de restitution de l’énergie.
Fig.III.13 : Phase 06
=
=
Le courant traversant les diodes D2 et D3 est exprimé par :
R
A =
],
R#
le courant dans la charge s’annule.
III. 14
Maille 07: H\ < H < H^
Dans cette phase, le courant dans la charge est négatif (OP H < 0). L’énergie
circule par les interrupteurs T2 et T3: il s’agit d’une phase active. La commutation à zéro
de tension est garantie durant cette phase d’alimentation.
Fig.III.14: Phase 07
63
Chapitre III
=
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
=−
III. 15
Le courant dans les transistors T2 et T3 est donné par :
V
V#
Maille 08: H^ < H < H_
A =
`,
tous les semi-conducteurs sont ouverts. L’énergie emmagasinée circule à
bornes de la charge passe linéairement de −
à + :.
travers les capacités C01, C02, C03 et C04. Durant ce mode de fonctionnement la tension aux
:
Fig.III.15 : Phase 08
Pour simplifier l’analyse mathématique de l’onduleur à résonance type LLC on néglige
l’effet des adoucisseurs de commutation ce qui réduit le nombre de modes de
fonctionnement à cinq [Sai03].
5. Calcul simplifié des courants dans les semi-conducteurs
Afin de déterminer le type d'interrupteur (MOSFET ou IGBT) à utiliser pour les
deux cellules de commutation, il faut évaluer les valeurs efficaces des courants traversant
ces interrupteurs. Le calcul de ces valeurs ne sera pas conduit de façon précise mais
prendra plutôt la forme d'une approximation.
La négligence de l’effet des adoucisseurs de commutation
=
,
=
,
=# ,
et
=S
réduit le
nombre de modes de fonctionnement à cinq (voir la figure III.16) [Sai01, Sai02, Kel02].
64
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Fig.III.16 : La forme d’onde des tensions et courants aux niveaux des interrupteurs
Seule la fondamentale de courant
exprimée par la formule (III.16) contribuera au
calcul des valeurs efficaces des courants dans les semi-conducteurs T1-D1, T2-D2, T3-D3 et
T4-D4 durant un cycle de commutation :
Pour
R
Pour
R
= a . √2.
=
< <
=
#
RS
< <
=
:
=−
S
. −b
:
III. 16
III. 17
III. 18
Ce qui implique que les valeurs efficaces des courants dans les diodes sont les mêmes et
égales à :
aR = aRS
1 V
c
=
.e
d =
.E
L’intégrale de l’expression (III.19) de 0 à b pour d = 2. ! donne :
aR = aR = aRS =
a
√2
.c
b
sin 2. b
−
!
2. !
III. 19
III. 20
65
Chapitre III
Pour
VS
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
< <
:
=
III. 21
La valeur efficace du courant traversant le transistor T4 est calculé par :
1 ijk
aVS = c . e
d lm
Ce qui donne :
aVS =
Pour
R#
a
√2
#
. c1 −
< <
=−
S
III. 22
.E
>+b
1
+
. sin[2. > + b ]
!
2. !
:
III. 23
III. 24
Dans ce cas, la valeur efficace du courant traversant la diode D3 est calculé par :
1 i
aR# = c . e
d ijk
III. 25
.E
Ce qui donne :
aR# =
a
>+b
1
.c
−
. sin[2. > + b ]
!
2. !
√2
III. 26
Finalement, la valeur efficace du courant traversant les semi-conducteurs T1, T2 et T3 est
donnée par :
aV
1 i
= c .e
d lm
.E
III. 27
Ce qui nous donne :
aV = aV = aV# =
a
√2
. c1 −
b
sin 2. b
+
!
2. !
III. 28
66
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
6. Schéma équivalent simplifié de l’onduleur et la pièce à chauffer
L'étude analytique en régime permanent est simplifiée si l'on pose les hypothèses
suivantes:
Les interrupteurs sont idéaux: commutation instantanée, chute de tension nulle
Les éléments réactifs du convertisseur sont idéaux
:
La tension
est constante
L’agencement de l’inducteur et la pièce à chauffer est considéré comme un transformateur
monophasé avec un secondaire court-circuité. La figure III.17 illustre cette
analogie [Ahm01, Hel05]:
Fig. III.17: Transformateur avec secondaire court-circuité
L’analyse du circuit permet d’écrire :
=
p
-:
0 = r. -qm +
.
-:m
-q
.
+ r.
+
-:s
-q
%
-:s
.
(III.29)
-q
La transformée de Laplace du système s’écrit:
a
.
=
−r .
+
.
+
.
.
Pour une excitation harmonique ( = t
t
a t
.r .
+ .
=
+tu
−
III. 30
), l’équation (III.30) devienne :
r . .
+ .
v.
III. 31
On peut représenter l’inducteur et la pièce à chauffer par une combinaison en série d’une
résistance
2w
et d’une inductance
2w
données par :
67
Chapitre III
2w
2w
=
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
.r .
+ .
r . .
−
+ .
=
%
III. 32
Il est intéressant d’exprimer la constante de temps et le coefficient de couplage en fonction
des grandeurs mesurés
2w ,
2w
et
.
Théoriquement, La constante de temps x et le coefficient du couplage y sont exprimés
par :
y=
r
z .
x=
%
III. 33
De (III.4), On peut écrire:
r =
=
2w .
2w .
−
2w
+
.
.
III. 34
On déduit immédiatement l’expression de la constante du temps x , donnée par :
x=
−
2w
En remplaçant
r =
.{
1
.
III. 36
par sa valeur dans (III.34), on obtient:
−
2w |. }
{
+
2w
−
2w |
~
En multipliant l’équation résultante par
y=c
III. 35
.{
−
2w |. }
{
−
2w |
En fonction des paramètres mesurés
•m
+
2w ,
III. 37
, le coefficient de couplage y devient :
~
2w
et
x et le coefficient de couplage y du système étudié.
III. 38
on peut calculer la constante de temps
68
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
En pratique, un transformateur d'adaptation d’impédance est imposé entre l’onduleur et
l’inducteur (voir la figure III.18). Ce transformateur permet l’adaptation de la tension et
l’isolement galvanique.
Fig. III.18: Une charge avec un transformateur d’adaptation
Dans ce cas :
=
=
=
.
.
.
III. 39
2w
III. 40
2w
III. 41
Sous les hypothèses simplificatrices présentées à la section précédente et par la négligence
de la valeur de la capacité
, le circuit de la figure III.1 peut être réduit à la forme
simplifié illustrée sur la figure III.19 où
,
et
sont les éléments du circuit oscillant
transférés au primaire du transformateur de séparation [Sai02, Sai03, Zha01, Wan02].
Fig. III.19: Schéma équivalent simplifié
L'analyse du circuit permet d'établir les tensions et les courants dans les éléments du
circuit de puissance [Kel01, Esp03, Esp04].
69
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Le système est régi par les équations différentielles suivantes:
di… t
+ vˆ t
dt
di t %
vˆ t = R. i t + L.
dt
1
vˆ t = . e i… t − i t dt
C
III. 42
= . .a
+ Œ
=
+ . .a
%
1
=
. [a
−a ]
.
III. 43
u•‚ t = L… .
La transformation de Laplace de ces équations nous permet d’écrire:
‹
,?
Œ
Œ
En écrivant l’impédance vue de la source par:
•q =
. +
. +
1
1
+ .
Le courant traversant l’inductance L… est exprimé par:
I… s =
L… . s +
1
1
1
C. s + R + L. s
. U•‚ s
La tension aux bornes de la capacité C est donnée par :
Vˆ s =
1
1
1 + L… . s. •C. s + R + L. s‘
. U•‚ s
III. 44
III. 45
III. 46
Finalement, la fonction de transfert du courant dans la charge est calculée par:
I s =
1
1
R + L. s . ’1 + L… . s. •C. s + R + L. s‘“
. U•‚ s
III. 47
De (III.45) et (III.47), la fonction de transfert du gain en courant s’écrit:
H• s =
I s
1
=
I… s
1 + R. C. s + L. C. s
III. 48
70
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
De même, la fonction de transfert du gain en tension s’écrit:
Vˆ s
R + L. s
=
U•‚ s
L… . L. C. s# + L… . R. C. s + L… + L . s + R
H– s =
III. 49
7. Analyse de l’impédance totale —H
L'impédance est une grandeur qui généralise la notion de résistance, de réactance
capacitive et de réactance inductive dans le cas des circuits comportant plusieurs éléments
de nature différente. Elle caractérise la manière dont le circuit freine le passage du courant
par t
en donnant le rapport qui existe entre la tension de la source et le courant résultant.
L’impédance complexe du circuit LLC est obtenue en remplaçant
l’équation (III.44):
•q =
. 1−
1
. .
+ t. [
1− . .
+ . −
+ t. . .
. . .
#
]
On caractérise le circuit par :
=
˜ =
™
2
=
√ .
.
III. 52
III. 53
=
•q =
III. 54
+ t. a.
III. 55
L’impédance totale devienne :
avec
2
=
a. =
III. 50
III. 51
1
. .
=
dans
2
1−
˜ .
2.
™.
™
. 1−
™
1−
™
.[
2
1−
+
™
™. [
+
+1 −
1−
™
™
˜
2
2.
+
+1 −
™]
™
˜
2.
™]
− ˜™ . 1 −
.
2.
™
.
71
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Cette fois l'impédance comporte une partie réelle et une partie imaginaire et son module
vaut :
+ a.
On peut en déduire aisément le déphasage de la tension par rapport au courant:
III. 56
b = A
›
III. 57
|•q | = z
2
j
a.
2
œ
Les figure III.20 et III.21 présentent les variations du module et le déphasage en fonction
™
pour différente valeur de ˜ :
450
Q =5
p
400
w1
module(Z)/R
350
Q =9
p
Q =12
p
300
250
Qp=15
200
Q =20
p
w0
150
100
50
0
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
w
n
Fig. III.20: Variation du module de •Ÿ• en fonction de
ž
™
100
Q =5
p
50
Q =9
p
Qp=12
0
phi [°]
de
Q =15
p
-50
Q =20
p
-100
-150
-200
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
w
n
Fig. III.21:Variation de la phase en fonction de
™
72
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Deux points de résonance sont présentés sur la figure III.20. L'impédance, donnée par la
relation (III.55), passe par un maximum pour
<
Pour
et
>
=
=
et par un minimum pour
le circuit est inductive et pour
est capacitive ou inductive [Gao01, Esp02, Hue01, Esp04].
<
<
=
=
=.
le circuit
En pratique, Afin de réduire la circulation de l’énergie réactive entre la source et la charge
et d’augmenter la puissance active nécessaire à la pièce traitée, la plage de fréquence
employé est celle de
≥
=
pour maintenir la commutation à zéro de tension (ZVS).
8. Approximation du premier harmonique
Nous allons d’abord rappeler La forme de la tension ;? imposée par l’onduleur
aux bornes du circuit LLC. La figure III.22 illustre la forme d’onde de la tension appliquée
aux bornes du circuit oscillant durant un cycle de fonctionnement [Bur01, Chu01].
Fig. III.22: Forme d’onde de la tension imposée aux bornes du circuit oscillant
Il est possible de décomposer cette tension en une onde fondamentale et des harmoniques
selon le procédé du développement en série de Fourier :
¢
;? = ¡ ,? ™ . √2. sin
¤?
,
¤?
,
™£=
™
=
=
∅ = A
. ¥A + C
!
¤?
,
:
j
A
C
.
.
III. 58
III. 59
III. 60
III. 61
73
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
où :
A = sin α
C = 3 + cos α
Du développement en série de ;? on peut passer à la valeur du fondamental et des
harmoniques des diverses autres grandeurs et en déduire :
Quelles grandeurs ont peut confondre avec leurs fondamentaux
Dans quelle condition cette approximation est acceptable
La fondamentale du courant délivré par la source est donnée par :
a
=
¥ 1−
2.
c 1−
+
™
1+
+
™
.˜ .
2
™
˜
™
−
2. ˜
.
#
™
La fondamentale a du courant traversant l’inductance
a =
¥ 1−
2.
La fondamentale
Œ
=
¥ 1−
+
™
Œ
2.
1+
1
2
.˜ .
de la tension
™
+
z1 + ˜
1+
2
Œ
™
−
2. ˜
.
.
,?
,?
a pour valeur efficace :
.
#
™
aux bornes de la capacité
™
.˜ .
™
−
2. ˜
.
III. 62
#
™
. ,?
III. 63
est exprimée par :
III. 64
Les figures III.23, III.24 et III.25 montrent, pour quelques valeur de ˜ , les variations des
Ÿ.ª«m
modules de ¬
-®m
Ÿ.ªm
,¬
-®m
¯
et ¬ °m respectivement:
-®m
74
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
0.07
Q =5
p
0.06
Q =9
R.I s1/Uab1
p
0.05
Q =12
0.04
Q =15
p
p
Q =20
0.03
p
0.02
0.01
0
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
w
n
Fig. III.23: Variation du module de
Ÿ.ª«m
¬-®m
en fonction de
™
0.25
Q =5
p
Q =9
0.2
p
R.I 1/Uab1
Q =12
p
0.15
Q =15
p
Q =20
p
0.1
0.05
0
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
w
n
Fig. III.24: Variation du module de
Ÿ.ªm
¬-®m
en fonction de
™
4.5
Q =5
p
4
Q =9
Vc1/Uab1
3.5
p
3
Q =12
2.5
Q =15
2
Q =20
p
p
p
1.5
1
0.5
0
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
w
n
Fig. III.25: Variation du module de
¯°m
¬-®m
en fonction de
™
75
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
L’examen de ces courbes montre que confondre
Ÿ.ª«m
¬-®m
légitime que
plus proche de
avec son fondamental est d’autant plus
est plus faible c'est-à-dire que si ˜ est plus grand (˜ ≫ 1) et si
=.
est
Dans les mêmes conditions, l’hypothèse du premier harmonique est
encore plus légitime pour la tension,
traversant l’inductance .
Œ,
aux bornes de la capacité
et pour le courant,
,
9. Analyse du gain en tension ²³
Le gain en tension est défini comme étant le rapport de la tension vˆ à la tension
imposée par l’onduleur, ;? . Il permet de savoir quelle sera la différence d'amplitude
apportée au signal entre l'entrée et la sortie. La fonction de transfert du gain complexe du
1 + t. ˜ .
circuit LLC est donnée par [Gao01]:
´
=
™
1−
2.
™
+ t. [ 1 +
2
™
.˜ .
™
−
2. ˜
.
III. 65
#
™]
Le module et l’argument du gain en tension sont exprimés par :
|
´
™
b´ = A
|=
j
¥ 1−
2.
{˜ .
− A
™|
+
™
j
z1 + ˜ .
µ
1+
1+
2
2
™
.˜ .
.˜ .
1−
™
™
2.
−
−
™
2. ˜
2. ˜
.
.
III. 66
#
™
#
™
¶
III. 67
Les figures III.26 et III.27 montrent l’évolution du module et l’argument du gain en
tension en fonction de
™
pour différentes valeurs de facteur de charge:
4.5
3.5
Qp=9
Qp=12
2.5
Qp=15
2
Qp=20
V /U
3
ab1
Qp=5
c1
4
1.5
1
0.5
0
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
wn
Fig. III.26: Variation du gain en tension en fonction de
™
76
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
180
Q =5
p
160
Q =9
p
phi (Hv) [°]
140
120
Q =12
100
Q =15
80
Qp=20
p
p
60
40
20
0
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
w
n
Fig. III.27: Variation de la phase du gain en tension en fonction de
™
L’augmentation de la fréquence de commutation entraine une augmentation du gain en
<
tension (
= ).
=
Pour la fréquence de résonance (
valeur maximale et commence à diminuer (
>
= ).
= ),
le gain passe par une
Pour les valeurs (
>
=)
et
(˜ ≫ 1), l’argument devient minimal. L’examen de ces courbes montre que le gain en
tension dépend fortement de la fréquence et le facteur de charge.
La figure III.28 illustre les variations du gain en tension pour différentes valeurs du
rapport des inductances,
2:
70
L =0.5
e
60
L =1
module (Hv)
e
50
L =2
40
L =3
30
L =7
e
e
e
20
10
0
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
w
n
Fig.III.28: L’influence du rapport des inductances sur le gain en tension
L’examen de ces courbes montre la relation existante entre le gain en tension
fréquence de commutation
et le rapport des inductances
2.
´,
la
L’augmentation du rapport
77
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
des inductances entraîne une diminution du gain en tension et le déplacement du point de
fonctionnement. Ceci est justifié par l’importance du choix des inductances pour la
conception convenable de l’onduleur.
10. Analyse du gain en courant ²O
Le gain en courant désigne le rapport entre le courant dans la charge a et le
courant a
traversant l’inductance série. La fonction de transfert du gain complexe du
circuit LLC est donnée par [Ded02, Esp01, Esp02, Gao01]:
:
™
=
1−
1
™
III. 68
+ t. ˜™
1
Le module et l’argument du gain en courant sont exprimés par :
|
:
™
|=
b: = − A
c 1−
j
™
u
˜ . 1−
™
+
™
III. 69
™
˜
v
III. 70
courant en fonction de la fréquence pour différentes valeurs du facteur de qualité ˜ :
Les figures III.29 et III.30 illustrent les variations du module et l’argument du gain en
20
Q =5
p
Q =9
p
module (Hi)
15
Q =12
p
Q =15
p
10
Q =20
p
5
0
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
w
n
Fig. III.29: Variation du gain en courant fonction de
™
78
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
100
Q =5
p
Q =9
p
50
phi(Hi) [°]
Q =12
p
Q =15
p
0
Q =20
p
-50
-100
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
w
n
Fig. III.30: Variation de l’argument du gain en courant en fonction de
™
On remarque que cette courbe n’est pas continûment croissante. Elle atteint une valeur
=
maximale pour (
est minimal.
11. Calcul de ·J et ·I
Pour calculer
) et ˜ = 20. Pour les valeurs (
>
) et (˜ ≫ 1) l’argument
on prend l’équation (III.69). Le calcul de la valeur maximale de
cette équation revient à calculer le minimum de son dénominateur exprimé par [Esp01]:
¸¹º
™
= c 1−
™
+
™
˜
III. 71
La valeur maximale du gain en courant peut être trouvé avec la valeur de
correspondante en supposant que la dérivée première du dénominateur de l’équation
(III.71) est égale à zéro :
E
E
™
¸¹º
™
=0
2
.
˜
III. 72
Ce qui implique que :
−4.
™.
1−
™
−4.
™.
1−
™
+
™
=0
III. 73
Pour les valeurs larges du facteur de qualité (˜ ≫ 1), l’équation (III.73) devienne :
=0
III. 74
79
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
III. 75
La solution retenue est:
™
=1
donc:
=
=
1
III. 76
√ .
=
Pour simplifier le calcul de
a =
Ÿ.ªm
¬-®m
E
=
E
2.
¥ 1−
1+
.˜ .
2
• 1−
».
2 2
+
Ce qui nous donne :
3.
2.
S
™
3.
2.
S
™
+ 2. u
1+
. ˜* .
»
− 2.
2.
1+
− 4. [ 2 . 1 +
2
].
2
˜
2
™
=
passe par un maximum pour
satisfaisant :
™
+
™
1
,?
on prend l’équation (III.63).
v.
−
=.
−
™
+[ 1+
.
3 2‘
+u 1+
2
III. 77
C'est-à-dire, nous devons trouver la valeur de
» . ˜* .
Pour ˜ ≫ 1, L’équation (III.79) devienne :
™
2. ˜
#
™
.
2
=0
− 2.
III. 78
2
˜
v=0
]=0
La résolution de cette équation donne l’expression de la fréquence de résonance
=
1+
=c
2
2
.
III. 79
III. 80
=:
III. 81
12. Calcul de la puissance fournie au récepteur
Dans la configuration LLC, si on confond la tension imposée avec sa
fondamentale, la puissance moyenne fournie au récepteur peut s'écrire [Sai03]:
¼=
1
. 10 + 6. cos > . » ½ ¾
2. !
•q
:
III. 82
80
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Ce qui nous donne :
¼=
2. !
avec :
2 ¿•q À
2 ¿•q À
. 10 + 6. cos > .
:
1−
=
a. ¿•q À =
˜ .
2.
™.
™
. 1−
1−
™
2 ¿•q À
+
™
1−
.[
2
+ a. ¿•q À
™. [
+
™
+1 −
1−
La puissance dissipée dépende de
™
™
™
˜
2
2.
+
+1 −
™]
™
˜
−
2.
™
˜
™]
. 1−
III. 83
.
2.
™
.
et de l’angle de déphasage > du transistor T4.
13. Considérations pratiques
L’onduleur à résonance série-parallèle type LLC est un onduleur de tension qui
regroupe les performances de l’onduleur à résonance série et l’onduleur à résonance
parallèle. A la fréquence de résonance, le courant traversant l’inductance
est amplifié et
le déphasage devient minimal, ce qui diminue la circulation de l’énergie réactive entre la
source et la charge et permettre de chauffer la pièce avec un courant,
très grand devant le courant,
=
Pour
b
|
=
:
=
=,
= A
|=
z
, qui traverse l’inductance
, relativement
[Esp02, Gen01].
le déphasage et le gain en courant sont exprimés par :
j
2
µ
1+
˜
2. ˜
+
2
2
¶
III. 84
III. 85
+˜
La figure III.31 illustre les variations du rapport des inductances
déphasage, b , pour différentes valeurs du facteur de qualité ˜ :
2
en fonction du
81
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
10
Q =5
8
p
Q =9
p
6
Q =12
Le
p
Q =15
p
4
Q =20
p
Q =25
2
p
Q =30
0
p
0
10
20
30
40
50
phi [°]
Fig. III.31: Evolution du rapport
2
60
70
en fonction de b
De même la figure III.32 illustre les variations du gain en courant en fonction du rapport
des inductances pour différentes valeurs du facteur de qualité :
10
Q =5
p
Q =9
module(Hi)
8
p
Q =12
p
6
Q =15
p
Q =20
p
4
Q =25
p
2
Q =30
p
0
0
1
2
3
4
5
L
6
7
8
9
10
e
Fig. III.32: Evolution du rapport gain en courant en fonction de
2
L’augmentation des valeurs du facteur de qualité, ˜ , et le rapport des inductances,
2,
entraine une diminution du déphasage, b et l’augmentation du gain en courant. Pour les
valeurs larges du facteur de qualité (˜ > 20) l’onduleur à résonance série-parallèle
atteint ces performances désirés à savoir: le gain en courant, la commutation à zéro de
tension.
82
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Pour ˜ ≫ 1, le gain en courant devient :
|
:
|≈
=
b =b
2
et le déphasage s’écrit :
.:™
III. 86
III. 87
14. Algorithme de conception du circuit LLC
Cet algorithme est composé de 08 étapes [Esp01]:
Etape 1 : Définition de la nature, la géométrie et les caractéristiques de la pièce traitée
Dans cette étape on définit la nature, les caractéristiques physiques et la géométrie de
la pièce traitée :
La résistivité électrique, , et la perméabilité magnétique relative ÁÂ
Acier 50 Crv 4, XC 40, AISI 1045, Aluminium, etc
La longueur, ℓ, et le rayon, ÄÅ
La masse, Æ de la pièce
Etape 2 : Calcul de la fréquence du courant imposé
<=
La fréquence du courant imposé est calculée par :
!. Á= . ÁÂ . @
où @ est la profondeur de pénétration désirée.
III. 88
Pour calculer les ampères-tours, on précise la température, d, à atteindre ainsi que
Etape 3 : calcul des ampères-tours
le temps, , nécessaire au processus de chauffage. La puissance électrique demandée est
calculée par :
¼ = Æ. D.
III. 89
VjVÇ
q
où d= est la température ambiante et D est la valeur moyenne de la capacité thermique
relative du matériau.
La puissance dissipée par effet Joule est proportionnelle au carrée de l’intensité du courant
traversant l’inducteur:
¼ = !. ÄÅ .
È s .ªms
ℓ
. zÁ= . ÁÂ . . <
III. 90
83
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Si on néglige les pertes dans l’inducteur, les ampères-tours sont calculés par :
É. a = c
Æ. D. d − d= . ℓ
III. 91
!. ÄÅ . . zÁ= . ÁÂ . . <
Etape 4 : Détermination des données nécessaires au problème
Après avoir calculé les ampères-tours et la puissance nécessaire à l’étape de chauffage,
La puissance dissipée, ¼.?Ê
on fixe les valeurs maximales de :
La tension maximale,
Le courant maximal, a
Œ .?Ê ,
.?Ê ,
De plus on détermine la tension,
:,
aux bornes de la capacité
traversant l’inductance
et la résistance,
Etape 5 : Calcul de la valeur efficace de la tension ,?
> par :
,?
La valeur efficace de tension, ,? , est exprimée en fonction de l’angle puissance
=
:
!. √2
. √10 + 6. cos >
III. 92
Pour calculer, ,? , on prend > = 0.
Etape 6 : calcul du rapport des inductances ( 2 )
=
et ˜ ≫ 1, la puissance maximale devienne :
Pour calculer le rapport des inductances on utilise l’expression de la puissance
dissipée. Si
¼.?Ê ≈
:
2. ! . .
=
2
Donc le rapport des inductances,
2
=
=
:
!. z2. . ¼.?Ê
2,
III. 93
est exprimé par :
Etape 7 : calcul du facteur de qualité maximale (˜
.?Ê )
Pour calculer la valeur maximale du facteur de qualité, ˜
III. 94
.?Ê ,
on prend
l’expression du gain en tension. La valeur maximale du gain en tension est calculée par :
84
Chapitre III
|
´.?Ê |
Pour
|
´
=
=
=
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
Œ .?Ê
,?
|=|
=,
l’expression du gain maximal devienne :
´.?Ê |
=
1
2
. c[1 + ˜ . 1 +
1
2
]
III. 95
III. 96
De (III.96), le facteur de qualité maximal est exprimé par :
˜
.?Ê
=c
# |
´.?Ê |
2.
1+
2
−
III. 97
2
˜ .?Ê .
2. !. <
Etape 8 : Calcul des paramètres des éléments
=
=
=
2.
1
2. !. . <. ˜
, »
du circuit oscillant
III. 98
III. 99
III. 100
.?Ê
15. Simulation et discussion
La simulation que nous présentons dans cette section a pour but de valider l'étude
analytique. Le circuit simulé est un onduleur à résonance série-parallèle type LLC à base
de MOSFET.
L’objectif est de concevoir un système d’alimentation pour chauffer une pièce métallique
de forme cylindrique en acier 50 CrV 4.
La fréquence de résonance, <= = 200y
Les valeurs nominales de l’onduleur sont:
La puissance maximale, ¼.?Ê = 3yË
La tension continue,
La résistance,
:
= 310
= 0.18Ω
La tension maximale aux bornes de ,
Le courant maximal, a .?Ê = 20 Ì
Œ.?Ê
= 1000
85
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
La courbe de la figure III.33 est le résultat de simulation pour l’onduleur à résonance
étudié. L’onduleur est employé au voisinage de la fréquence de résonance avec un angle
de puissance nul.
300
uab
200
i
s
100
0
-100
-200
-300
3.7
3.72
3.74
3.76
3.78
3.8
3.82
3.84
3.86
3.88
t[s]
-4
Fig. III.33: Forme d’onde de la tension ;?
x 10
et le courant
La figure III.34 présente le courant traversant l'inductance
condensateur de compensation,
3.9
et la tension aux bornes du
.
600
vc
400
i
200
0
-200
-400
-600
3.7
3.72
3.74
3.76
3.78
3.8
3.82
3.84
3.86
t[s]
Fig. III.34: Formes d’ondes de la tension
3.88
3.9
-4
x 10
Œ
L'examen de la forme d'onde du courant dans l’inductance
et le courant
et la tension aux bornes du
condensateur , montre que pour les fréquences proches de la résonance les allures sont
Quasi-sinusoïdale.
La figure III.35 présente les formes d'onde de la tension et du courant traversant
l'interrupteur T1 :
86
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle
série
type LLC
iT1D1
300
U
T1D1
250
200
150
ZVS
100
50
0
3.7
3.72
3.74
3.76
3.78
3.8
3.82
3.84
3.86
3.88
t[s]
3.9
-4
x 10
Fig.III.35
III.35 : La commutation à zéro de tension
Une comparaison du courant de l'interrupteur avec son signal de commande nous montre
que l’onduleur est employé à commutation à tension nulle. Cela assure que les pertes dans
l'interrupteur sont quasiment inexistantes, ce qui améliore le rendement et minimise les
interférences électromagnétiques.
La figure III.36 montree les formes d’ondes de la tension imposée par l’onduleur, le
courant traversant l’inductance
et les spectres d’harmoniques correspondants pour
différente valeur de l’angle de puissance >.
300
100
200
50
i [A ]
u a b [v ]
100
0
0
-100
-50
-200
-100
-300
3.7
3.72
3.74
3.76
3.78
3.8
t[s]
3.82
3.84
3.86
3.88
3.7
3.9
3.72
3.74
3.76
3.78
3.8
t[s]
-4
x 10
Í
3.82
3.84
3.86
3.88
3.9
-4
x 10
XZ°
87
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle
série
type LLC
100
300
200
50
i [A ]
U a b 1 [v ]
100
0
0
-100
-50
-200
-300
3.7
3.72
3.74
3.76
3.78
3.8
3.82
3.84
3.86
3.88
t [s]
3.9
-100
3.7
3.72
3.74
3.76
3.78
x 10
Í
3.8
3.82
3.84
3.86
3.88
t[s]
-4
3.9
-4
x 10
ÏI°
100
300
200
50
i [A ]
u a b [v ]
100
0
0
-100
-50
-200
-300
3.7
3.72
3.74
3.76
3.78
3.8
3.82
3.84
3.86
t[s]
3.88
3.9
3.72
3.74
3.76
3.78
et
3.8
3.82
3.84
t[s]
x 10
Í
orme d’onde de ;?
Fig.III.36: Forme
-100
3.7
-4
3.86
3.88
3.9
-4
x 10
JWZ°
pour >
45°, >
90 et >
90°
135°
88
Chapitre III
Onduleur à résonance série-parallèle type LLC
L’examen de ces courbes nous montre que l’augmentation de l’angle de puissance entraine
une diminution de l’amplitude du courant dans la charge et l’augmentation de taux de
distorsion harmonique de la tension imposée. Le taux de distorsion harmonique des
courants est relativement très faible et reste constant (2.81%).
16. Conclusion
Ce chapitre est consacré à l’analyse mathématique et la conception de l’onduleur à
résonance série-parallèle type LLC pour les applications industrielles du chauffage par
induction. L’analyse mathématique de l’onduleur proposé confirme que La puissance
dissipée varie en fonction de la fréquence et l’angle de déphasage >. La simulation montre
que l’onduleur proposé regroupe les avantages de l’onduleur à résonance série et
l’onduleur à résonance parallèle à savoir :
La puissance fournie à la charge est maximale au voisinage de la fréquence de
résonance
L’approximation du premier harmonique est acceptable pour ˜ ≫ 1 et
La commutation à zéro de tension et le gain en courant
≈
=
L’emploi de la capacité aux bornes de l’inducteur assure une auto-protection de
l’onduleur
Le choix des inductances joue un rôle capital dans la conception convenable du circuit
LLC.
89
Chapitre 4
Modélisation et
Commande Classique
du Système
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
1. Introduction
L’augmentation de la complexité des convertisseurs à résonance, pour répondre
aux besoins industriels, nécessite des modèles mathématiques capables de représenter les
comportements statiques et dynamiques du convertisseur. De ce fait, la modélisation est
devenue un domaine de recherche très intéressant.
Dans les applications du chauffage par induction, la température de la pièce à traitée a une
forte influence sur l'environnement électromagnétique, comme la profondeur de
pénétration et la densité de puissance. Au-dessus de la température de Curie, cette
influence est fortement non-linéaire ce qui complique relativement la modélisation,
l’analyse et la commande de l’onduleur. En plus, du fait du jeu des interrupteurs,
l’onduleur change plusieurs fois de configurations sur une période de fonctionnement, ce
qui en fait un système à topologie variable.
Concernant la commande des convertisseurs à résonance destinés au chauffage par
induction, plusieurs approches ont été développées dans la littérature. Avec le bon
dimensionnement des éléments du convertisseur, la commande par PI a été largement
adoptée dans l’industrie pour sa simplicité et son faible coût. Cette stratégie de commande
nécessite la connaissance complète du modèle et ne permettent de maintenir les
performances de régulation que dans le cas de petites variations des valeurs nominales des
éléments du système.
La première partie de ce chapitre vise à présenter la méthode de modélisation et les
difficultés qu'elle présente. En effet, elle consiste à transformer le modèle non linéaire à
un modèle à grands signaux puis à linéariser le modèle obtenu autour d'un point de
fonctionnement. Finalement, l'ensemble des modèles théoriques proposés sont vérifiés par
simulation, afin de conclure sur leur précision. La deuxième partie est consacrée à
l’application d’une commande basée sur un régulateur PI. Initialement, la boucle de
fréquence utilisée en boucle fermée du système est brièvement détaillée. En suite nous
présenterons la structure du correcteur PI adoptée. Par la suite, les deux coefficients du
premier régulateur PI sont déterminés à l’aide de la méthode de Ziegler-Nichols.
2. Démarche de construction d’un modèle à petits signaux
Cette technique de modélisation est basée sur la résolution des équations
différentielles non linéaires à second membre périodique. La méthode consiste à
approximer une forme d’onde ( ) de période
à un degré de précision désiré et ce, par
la série de Fourier suivante [Mer01, Cha01, Gra01, His01, Hel04]:
90
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
( )=
⟨ ( )⟩
+
(IV. 1)
où :
est la valeur moyenne de ( ).
La kiéme harmonique de la fonction ( ) est donné par :
⟨ ( )⟩ =
avec :
=
2. !
Les coefficients
=
=
2
2
. )+
. cos( .
#$
et
. sin( .
. )
(IV. 2)
sont calculés à l’aide des expressions suivantes :
. " ( ). sin ( .
. ).%
(IV. 3)
. " ( ). '() ( .
. ).%
(IV. 4)
#$
On utilise la propriété de la transformation suivante:
%
%
⟨ ( )⟩ = +
+ .
%
%
.
, . cos( .
. )++
%
− .
%
.
, . sin( .
. )
Si l’on arrête au premier harmonique, on effectue l’approximation suivante :
⟨ ( )⟩ ≈
. cos(
On suppose ici que
. )+
. sin(
. )
(IV. 5)
(IV. 6)
varie faiblement dans le temps.
Pour un convertisseur à résonance décrit par 1 = 2( , 4), les valeurs efficaces des
courants, des tensions et des harmoniques à la fréquence considérée sont déduites
également des expressions précédentes.
Nous illustrerons par la suite les différentes étapes de la création du modèle à petits
signaux de l’onduleur à résonance série parallèle type LLC. En résumé, nous pouvons dire
que la procédure de développement se fera selon les 08 étapes décrites sur la figure
IV.1 [Mer01, Leh01, Yan01]:
91
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
Fig. IV.1 : Les différentes étapes de la modélisation
2.1. Analyse topologique du convertisseur
La structure du convertisseur étudié est représentée sur la figure IV.2. Ce
convertisseur présente un étage continu et un étage alternatif.
Fig. IV.2: Analyse topologique de l’onduleur
92
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
Nous nous sommes intéressés à l’étude des grandeurs alternatives qui sont le courant 5 ( )
dans l’inductance 6 , la tension 78 ( ) aux bornes du condensateur ainsi que le courant 5( )
dans l’inductance 6. Nous allons déterminer :
Le modèle exact du système étudié
Le modèle à grands signaux
Le modèle à petits signaux
2.2. Modèle exact
Le modèle exact est décrit sous la forme d’équations différentielles à entrée
discontinue et périodique :
%5 ( )
< 4=> ( ) = 6 .
+ 78 ( )
%
:
%5( ) A
78 ( ) = ?. 5( ) + 6.
%
;
1
: ( )
7
= . "(5 ( ) − 5( ))%
9 8
@
1
. ?. 5 D ( )
2
La variable de sortie est la puissance dissipée par effet Joule :
C( ) =
(IV. 7)
(IV. 8)
où 5 ( ), 78 ( ) et 5( ) représentent respectivement le courant dans l’inductance 6 , la
tension aux bornes de la capacité @ et le courant traversant la charge.
L’onduleur impose une tension 4=> ( ) caractérisée par une amplitude constante FG , une
fréquence de commutation
et un angle de déphasage H. ?, 6 et 6 sont les éléments du
circuit résonant série parallèle. Le vecteur d’état du système s’écrit :
( ) = [5 ( ) 78 ( ) 5( )]K
et le vecteur de commande
4( ) = [
( ) H( )]K
(IV. 9)
(IV. 10)
Bien que le modèle de connaissance (IV.7) décrive le comportement dynamique du
convertisseur, il est difficilement utilisable dans la synthèse d’une loi de commande. Il
s’avère nécessaire d’en en déduire une version plus simple mais assez précise.
93
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
2.3. Approximation du premier harmonique
L’approximation du premier harmonique est une technique mathématique utilisée
souvent pour étudier les onduleurs à résonance destiné au chauffage par induction. Elle
permet une analyse approximative des grandeurs de sortie de l’onduleur. Son application
impose de retenir l’harmonique fondamental ; les harmoniques d’ordre supérieurs sont
négligés dans l’analyse [Che03, Dom01, Sta01]. Dans ce travail, les variables d’état du
système peuvent être écris sous la forme :
5 ( )≈
78 ( ) ≈
5( ) ≈
N(
DN (
PN (
). cos(
. )+
). cos(
. )+
). cos(
. )+
O(
DO (
PO (
). sin(
). sin(
). sin(
. )
(IV. 11)
. )
(IV. 12)
. )
Les dérivés de 5 ( ), 78 ( ) et 5( ) sont donnés par :
% N( )
%5 ( )
=+
+
%
%
% DN ( )
%78 ( )
=+
+
%
%
%5( )
% PN ( )
=+
+
%
%
.
.
.
O(
DO (
PO (
N
O
DN
DO
La tension 4=> ( ) s’écrit :
4=> ( ) ≈ 7N ( ). cos(
où
7N ( ) = sin (H( ))
. )+Q
), . cos(
. )+Q
), . cos(
Le vecteur d’état du système devient :
( )=[
%
. )+Q
), . cos(
PN
PO ]
K
. ) + 7O ( ). sin(
. )
%
%
(IV. 13)
O(
%
DO (
%
PO (
%
)
)
−
)
−
−
.
.
.
N(
DN (
PN (
)R . sin(
)R . sin(
)R . sin(
. ) (IV. 14)
. ) (V. 15)
. ) (IV. 16)
(IV. 17)
(IV. 18)
7O ( ) = 3 + '() (H( ))
La sortie s’écrit :
S( ) = C( )
(IV. 19)
2.4. Modèle moyen grands signaux
L’emploi de la méthode du premier harmonique nous permet de passer du modèle
exact (IV.7) au modèle du premier harmonique en remplaçant les variables 5 ( ), 78 ( ) et
94
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
5( ) par ses expressions et H par (!. T). Dans ce cas, le modèle non linéaire à grands
signaux de l’onduleur à résonance série parallèle type LLC s’écrit:
% N
1
FG
<
= − . O + . DN −
. sin(!. T)
!. 6
6
: %
1
FG
:% O
: % = . N + 6 . DO − !. 6 . [3 + cos(!. T)]
:
% DN
1
1
:
= − . DO − . N + . PN
A
%
@
@
% DO
1
1
;
= . DN − . O + . PO
:
@
@
%
:
% PN
1
?
:
= − . PO + . DN − . PN
6
6
%
:
% PO
1
?
:
= . PN + . DN − . PO
9
%
6
6
(IV. 20)
où : 0 < T < 1
La puissance dissipée est donnée par :
1
D
D
. ?. V PN
+ PO
W
(IV. 21)
2
La figure IV.3 représente le modèle à grands signaux du système étudié (voir l’annexe B):
S( ) =
Fig. IV.3 : Modèle à grands signaux
Le modèle à grands signaux est par essence non linéaire. Il ne peut pas être utilisé pour
synthétiser un correcteur linéaire continu ou échantillonné ainsi que pour l’analyse du
système considéré. Dans cette perspective, nous sommes amenés à réaliser un modèle
95
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
linéaire qui est aussi appelé modèle tangent, valable autour d’un point de fonctionnement.
Ce modèle permet de s’affranchir des problèmes de non linéarité. La construction de tel
modèle passe par un développement en séries de Taylor limité au premier ordre [Mer01].
2.5. Validation du modèle moyen à grands signaux
Les principaux outils d'analyse en grands signaux des systèmes, communément
utilisés en littérature, sont la représentation en plan de phase et les réponses temporelles.
La première méthode consiste à vérifier la stabilité en boucle fermée du système pour
différentes conditions initiales, et c’en vérifiant la convergence des courbes dans le plan de
phase vers le point d'équilibre (point de fonctionnement nominal). La seconde méthode
consiste à observer les sorties du système pour différentes variations des entrées, et les
comparer à celles du modèle [Bel01].
Afin de valider notre modèle, nous allons le confronter aux résultats de simulations issus
du fonctionnement du convertisseur précédemment décrit. On compare les dynamiques
temporelles des sorties (5 ( ), 78 ( ), 5( )) du modèle et du convertisseur (voir la figure
IV.4).
27
Circuit
modèle
200
Circuit
modèle
26
25
100
I s [v ]
I [A ]
24
0
23
-100
22
21
-200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t[s]
20
-4
2
2.2
2.4
2.6
2.8
x 10
3
3.2
3.4
3.6
3.8
t[s]
4
-3
x 10
126
850
Circuit
modèle
845
Circuit
modèle
124
840
I [A ]
V c [v ]
122
835
120
830
118
825
116
820
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
t[s]
3.2
3.4
3.6
3.8
4
-3
x 10
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
t[s]
3.2
3.4
3.6
3.8
4
-3
x 10
Fig. IV.4 : Comparaison des réponses temporelles des différentes sorties du système
96
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
D’après la figure IV.4, nous remarquons que l’enveloppe du courant résonant 5( ) met en
évidence la bonne concordance entre notre modèle à grands signaux et le circuit réel.
Les légères différences en amplitude, sont causées par les pertes au niveau du circuit réel
et la considération du premier harmonique des variables d’états. Ceci peut certifier de la
haute précision du modèle à grands signaux proposé.
2.6. Détermination du point d’équilibre XY
Du modèle précédemment défini (IV.20), nous pouvons déduire le point
fonctionnement correspondant au
< −
:
:
: .
:
:
.
N
;
:
:
:
:
:
9
+
−
−
Pour T[ et
=
1
6
O
+
1
.
6
.
.
.
.
1
.
6
DN
−
NZ(K)
NK
= 0 [Zho01, Tian03, His01]:
FG
. sin(!. T) = 0
!. 6
FG
. [3 + cos(!. T)] = 0
!. 6
1
1
DO − .
N + . PN = 0
A
@
@
1
1
+ .
=0
DO − .
@ O @ PO
1
?
PO + . DN − . PN = 0
6
6
1
?
PN + . DN − . PO = 0
6
6
[
DO
−
données et en posant:
=
(IV. 22)
(IV. 23)
1
@
?
P =
6
1
\ =
6
D
de
(IV. 24)
(IV. 25)
(IV. 26)
La résolution du système d’équation nous donne le point de fonctionnement
correspondant:
]DO[ =
.
^ . sin(!. T[ )
− .
_. \ −
\ . [3
`. ^
+ cos (!. T[ )]
(IV. 27)
97
Chapitre IV
]DN[ = −
]
]
N[
O[
=
Modélisation et commande classique du système
. sin(!. T[ ) +
. ]DN[ +
D . ]DO[
` . [3
= − D . ]DN[ +
P . ]DO[
\ . ]DN[
[ . ]PO[
[ . sin(!. T[ )
\.
]PO[ =
]PO[ =
−
P
+
D
P
\
P.
+
+ cos (!. T[ )]
\ . [3
D
[
(IV. 28)
(IV. 29)
(IV. 30)
+ cos (!. T[ )]
(IV. 31)
(IV. 32)
a[ = ?. ]PN[ + ?. ]PO[
où :
=
D
P
=
=
\
P
[
D
D
P
\
=
D.
^
=
.
`
_
−
−
\.
+
= − P.
=
D.
P
P
\.
+
\.
D
P+
P
D
[
[
[
[
D
[
P.
[
D
[
(IV. 33)
D
[
−
[
−
2.7. Perturbation et linéarisation du système
Afin de concevoir des boucles de régulation et d’étudier l’effet des variations
paramétriques sur les performances du système, la modélisation à petits signaux est
utilisée comme un outil mathématique fournissant des modèles d’états linéaires.
Supposons que l’onduleur à résonance série parallèle type LLC fonctionne autour de son
point de fonctionnement [Bel01, Hu01, Hem01]. Afin que notre système se comporte
comme un système linéaire autour de (][ , b[ , a[ ), on introduit les variables d’écarts
suivantes :
( ) = ][ + d(
c4( ) = b[ + 4d(
S( ) = a[ + Sd(
où :
][ = (]
)
)A
)
N[ , ] N[ , ]DN[ , ]DO[ , ]PN[ , ]PO[ ),
(IV. 34)
b[ = (T[ ,
[)
98
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
Au régime permanant, par la perturbation et la linéarisation du modèle non linéaire
(IV.20) autour de son point de fonctionnement, il est possible de passer au modèle à petits
signaux décrit par les équations suivantes :
%e N
1
FG
g
<
= − [ . e O − ] O[ . f + . eDN − . cos(!. T[ ). T
%
6
6
:
1
FG
: %e O
g
: % = [ . e N + ] N[ . f + 6 . eDO + 6 . sin(!. T[ ). T
:
% eDN
1
1
:
= − [ . eDO − ]DN[ . f − . e N + . ePN
A
%
@
@
% eDO
1
1
;
= [ . eDO + ]DO[ . f − . e O + . ePO
:
%
@
@
:
% ePN
1
?
:
= − [ . ePO − ]PO[ . f + . eDN − . ePN
%
6
6
:
% ePO
1
?
:
= [ . ePN + ]PN[ . f + . eDN − . ePO
9
%
6
6
La sortie est donnée par :
Se = ?. ]PN[ . ePN + ?. ]PO[ . ePO
(IV. 35)
(IV. 36)
Le circuit équivalent en petits signaux du système étudié est représenté sur la figure IV.5
(voir l’annexe B):
Fig. IV.5: Modèle à petits signaux
2.8. Modèle à petits signaux
La linéarisation du modèle moyen autour de son point de fonctionnement nominal
est une approche très utilisée pour les onduleurs à résonance. Le modèle obtenu est
linéaire invariant dans le temps, et gouverne le comportement dynamique de l’onduleur
99
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
dans un régime de faibles variations autour de son point de fonctionnement [Sze01, Ift01,
Kel03, Kan01]. Pour la commande en
et T, le système d’équations (IV.35) pouvant
s’écrire de manière compacte e1 = h( e, 4e) de la forme :
% e( )
= i. e( ) + j . 4
k( ) + jD . 4
k(
D )A
c %
Se( ) = @. e( )
(IV. 37)
où:
K
e( ) = [ kN ( ) kO ( ) k
DN ( ) k
DO ( ) k
PN ( ) k
PO ( )]
g( )
4f1 ( ) = T
4
k(
D ) = k( )
o
n
n
n
n
A=n
n
n
n
n
0
1
@
[
−
0
0
0
1
@
m 0
0
o
n
j =n
n
n
m
0
0
[
−
1
6
0
0
1
6
[
0
1
−
6
−
0
FG
. cos (!. T[ )
6
r
FG
. )5s (!. T[ ) q
6
q
q
0
q
0
0
p
0
0
0
1
6
[
0
0
0
−
1
@
0
−
?
6
[
r
0 q
q
q
0 q
1 q
− q
@ q
− [q
q
?
6 p
−
−] O[
]
o N[ r
−]DO[ q
jD = n
n ]DN[ q
n
q
−]PO[
m ]PN[ p
@ = [0 0 0 0 ?. ]PN[ ?. ]PO[ ]
100
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
2.9. Calcul de la fonction de transfert du système
Cette dernière équation (IV.37) définit les différentes fonctions de transfert
régissant les relations entre les différentes entrées et sorties du convertisseur. Le modèle
en petits signaux offre la possibilité de concevoir diverses méthodes de commande
linéaires. Son majeur inconvénient est la négligence des non-linéarités du convertisseur, ce
qui peut se répercuter sur les performances transitoires de l’onduleur. La précision d'un tel
modèle risque de se détériorer pour de fortes déviations par rapport au régime de
fonctionnement nominal [Bel01, Tia01, Tia02]. Les deux
Cg ())
= @. (). u − i)v . j
g
T ())
fonctions de transfert
s’obtiennent de manière classique, elles sont données par les équations suivantes :
t ()) =
tD ()) =
(IV. 38)
wD ())
C
= @. (). u − i)v . jD
k())
(IV. 39)
La Figure IV.6 représente le schéma bloc équivalent du convertisseur dans le domaine
fréquentiel :
Fig. IV.6: Le schéma bloc du convertisseur
2.10. Validation du modèle à petits signaux
Pour les différents modèles proposés, l'étape de validation consiste à comparer la
réponse du circuit à celle du modèle, face aux mêmes excitations sur les entrées. II est
nécessaire de signaler que les essais relatifs à la validation des modèles ne peuvent pas
être élaborés expérimentalement, car ils requièrent des générateurs à amplitude et
fréquence variables [Bel01, Kan01]. On se contente alors de vérifier les fonctions de
transfert en question par simulation.
Les fonctions de transfert
wy ( )
x
g( )
z
et
w{ ( )
x
k$ ( )
|
peuvent être mesurées en injectant une petite
perturbation sinusoïdale dans les signaux d’entrées et on mesure les réponses Cg ()) et
wD ()). Pour vérifier ce modèle, la réponse en fréquence en utilisant le modèle proposé a
C
été comparée à des mesures obtenues à partir du circuit réel. Les résultats obtenus sont
101
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
représentés sur la figure (IV.7.a) pour
wy ( )
x
g( )
z
et sur la figure (IV.7.b) pour
w{ ( )
x
k$ ( )
|
. Les courbes
de couleur noir représentent les mesures du circuit réel et les lignes de couleur rouge sont
les résultats de la simulation calculée à partir du modèle développé.
100
90
circuit
modèle
A m p litu d e [d B ]
70
60
50
40
30
20
80
70
60
50
40
0
2
4
6
8
10
12
w [Hz]
30
14
4
0
2
4
6
x 10
circuit
modèle
200
8
10
12
14
w [Hz]
4
x 10
circuit
modèle
200
100
100
P h a s e [° ]
P h a s e [° ]
circuit
modèle
90
A m p litu d e [d B ]
80
0
-100
0
-100
-200
-200
2
4
6
8
10
12
w [Hz]
14
2
4
4
x 10
(a)
6
8
10
12
w [Hz]
14
4
x 10
(b)
Fig. IV.7: Diagramme de Bode des deux fonctions de transfert
Les légères déviations observées entre les résultats théoriques et les mesures peuvent être
dues aux erreurs de mesure et à l'imperfection du circuit. Cette dernière peut ajouter des
composantes parasites additionnelles, non prises en compte lors de la modélisation.
3. Modèle à petits signaux de la commande proposée
Comme pour toutes les topologies des convertisseurs DC-AC, on vise de la
commande de l’onduleur à résonance série parallèle type LLC les objectifs suivants:
La régulation de la puissance fournie à la charge à une valeur de référence,
Des temps de réponse courts,
Des dépassements en courant et en tension moindres,
102
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
Maintenir la ZVS
Une haute robustesse du convertisseur face aux fortes perturbations et variations
paramétriques côté charge et côté réseau.
Le schéma-bloc illustré par la figure IV.8 représente le modèle à petits signaux de la
commande en fréquence variable et rapport cyclique variable de l’onduleur à résonance
série parallèle type LLC [Tia02]:
Fig. IV.8 : Modèle à petits signaux de la commande proposée
Le système est composé de deux boucles : une boucle de puissance et une boucle de
fréquence pour maintenir la commutation à zéro de tension (ZVS) durant le processus de
chauffage.
3.1. Modélisation de la commande PLL
La boucle à verrouillage de phase est un circuit très utilisé en électronique. Il s'agit
donc comme leur nom l'indique d'un asservissement de phase dont le rôle est d'asservir la
phase d'un oscillateur local à celle d'un signal extérieur. Le schéma de principe d'une
boucle à verrouillage de phase est donné ci-dessous en figure IV.9, il s'agit d’un circuit
composé de 03 éléments: un comparateur de phase, un filtre passe-bas et un oscillateur de
tension [Kod01].
Fig. IV.9 : Schéma bloc de la commande PLL
103
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
g[ est la phase du signal d’entrée
}
où :
~N correspond au facteur de sensibilité du comparateur de phase [v.rad-1]
~• et €• sont les paramètres du filtre
~ correspond au facteur de sensibilité du VCO [rad.s-1.v-1]
g est la phase issue du VCO
}
La fonction de transfert du PLL s’écrit :
tx•• ()) =
~N . ~• . ~ . €• . ) D + ~N . ~• . ~ . )
k
=
w[ €• . ) D + ~N . ~• . ~ . €• . ) + ~N . ~• . ~
}
On a donc une boucle d’ordre 2 caractérisée par une pulsation propre
~N . ~• . ~
ۥ
d’amortissement ξ:
D
‚
=
2. ξ.
‚
(IV. 40)
‚
et un facteur
(IV. 41)
= ~N . ~• . ~
(IV. 42)
A partir de celle-ci, on peut déduire la fonction de transfert du système asservi et donc les
valeurs à attribuer aux coefficients pour obtenir une réponse qui nous satisfasse.
On obtient finalement :
tx•• ()) =
2. „. … . ) D + …D . )
) D + 2. „. … . ) + …D
(IV. 43)
Pour mesurer les constantes comme le temps de montée, temps de réponse et le
dépassement, en fonction de
équations suivantes:
1
…
et ξ , on doit utiliser des abaques qui proviennent des
Temps de montée :
†
=
D
… . ‡1 − „
. V! − '() v („)W
Temps de réponse à ( %) pour „ < 0.7:
‰
=
1
100
. ln ‹
Œ
…. „
Dépassement en % :
T = 100. exp •
!. „
‡1 − „ D
‘
(IV. 44)
(IV. 45)
(IV. 46)
104
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
4. Analyse fréquentielle du système étudié
g ()) et la sortie Cg ()) du système étudié (voir la figure IV.1). Elle permet d’en
l’entrée T
La fonction de transfert G(s) est la représentation mathématique de la relation entre
réaliser l’analyse fréquentielle de manière à concevoir le régulateur adéquat. t()) peut
être écrie sous la forme suivante :
t()) = [t’ ()). tx•• ()). tD ()) + t ())]. “())
(IV. 47)
où :
“()) est la fonction de transfert du filtre de sortie, “()) =
tx•• ()) est la fonction de transfert du circuit PLL
t’ ()) = −!
”.
t ()) et tD ()) sont données par (IV.38) et (IV.39) respectivement.
La réponse fréquentielle du système étudié est illustrée par la figure IV.10 :
Bode Diagram
100
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
540
Phase (deg)
360
180
0
-180
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
Frequency (rad/s)
Fig. IV.10 : La réponse fréquentielle du système en boucle ouverte
Les pôles sont certainement l’une des premières notions les plus importantes à saisir. Ce
sont eux qui déterminent la stabilité, la rapidité et la dynamique d’un système. Les pôles
du système étudié sont les valeurs pour lesquelles le dominateur de t()) s’annule :
105
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
C ,D = (−0.0032 ± –4.4317). 10^
CP,\ = (−0.0013 ± –2.2376). 10^
C`,^ = (−0.0032 ± –0.0439). 10^
C_,— = (−0.0031 ± –0.0032). 10^
C˜ = −2.2380. 10^
Toutes les racines sont à parties réelles négatives, le système est stable.
5. La structure du correcteur PI
La fonction de transfert du régulateur PI que nous utilisons comme base de notre
étude est la suivante :
@()) = ~… . ‹1 +
1
Œ
G. )
où ~… est le gain proportionnel et
G
(IV. 48)
la constante d’intégration.
Un régulateur PI remplit essentiellement deux fonctions :
Il fournit un signal de commande en tenant compte de l'évolution du signal de
sortie par rapport à la consigne.
Il élimine l'erreur statique grâce au terme intégrateur.
Le schéma fonctionnel d'un processus réglé à l'aide d'un tel régulateur est donné à la figure
IV.1. Le réglage d’un PI consiste à trouver les meilleurs coefficients ~… et
G
dans le but
d’obtenir une réponse adéquate du procédé et de la régulation. L’objectif est d’être
robuste, rapide et précis tout en limitant les dépassements.
Ziegler et Nichols ont proposé deux approches heuristiques basées sur leur expérience et
quelques simulations pour ajuster rapidement les paramètres des régulateurs P, PI et PID.
La première méthode nécessite l'enregistrement de la réponse indicielle en boucle ouverte,
alors que la deuxième demande d'amener le système bouclé à sa limite de stabilité.
La méthode du point critique utilisée dans ce travail est basée sur la connaissance du point
critique du processus. Par simulation, on boucle le processus sur un simple régulateur
proportionnel dont on augmente le gain jusqu'à amener le système à osciller de manière
permanente; on se trouve ainsi à la limite de stabilité. Après avoir relevé le gain critique
~‰ du régulateur et la période d'oscillation
‰
de la réponse, on peut calculer les
paramètres du régulateur choisi à l'aide du tableau IV.1 :
106
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
Tableau IV.1: Paramètres des régulateurs obtenus à partir du point critique
~…
Type
G
™. š. ›œ
P
™. •š. ›œ
PI
™. ¡. ›œ
PID
™. žŸ.
™. š.
N
œ
œ
Sur la réponse fréquentielle du processus t()), on a mesuré :
™. ¢£š.
œ
Le gain critique :
~‰ =
1
= 0.0271
t¤
(IV. 49)
La période critique :
‰
=
2. !
¤
= 187.5. 10v—
(IV. 50)
Les paramètres du régulateur PI utilisé dans cette application sont calculés en utilisant la
deuxième ligne du tableau IV.1 :
~… = 0.4. ~‰ = 0.0108205
G
= 0.8.
‰
= 150. 10v—
Pour évaluer les performances du contrôleur PI, on présentera les résultats de régulation
pour une variation de la consigne en échelon. La réponse indicielle du système asservi en
boucle fermée est illustrée à la figure IV.11:
Step Response
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Time (seconds)
1
-4
x 10
Fig. IV.11 : Réponse indicielle du système en boucle fermée
107
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
La réponse indicielle du système présente une oscillation amortie et converge vers une
valeur limite appelée consigne. Dans ce cas, la réponse indicielle possède les
caractéristiques suivantes (tableau IV.2):
Tableau IV.2: Caractéristiques de la réponse indicielle
Dépassement
33%
Temps de réponse
27 µs
Marge de phase
46°
Afin de tester la robustesse de la commande proposée, on a étudié l’influence des
variations des paramètres sur les performances de réglage de la puissance. Les variations
introduites dans les essais ressemblent en pratique aux conditions de travail comme la
variation des caractéristiques de la pièce à chauffer durant l’étape de chauffage et la
variation de la tension à l’entrée de l’onduleur. Deux cas sont considérés :
1. variation de ±30% sur la résistance équivalente, ?
2. variation de ±10% sur la tension continue, FG
Les figures V.12.a et V.12.b représentent les tests de robustesse de la commande avec le
régulateur PI classique vis-à-vis de la variation de la résistance équivalente, ? et la
variation de la tension continue, FG , respectivement. Dans ce cas, les paramètres du
régulateur PI sont déterminés à l’aide de la méthode du gain critique de Ziegler-Nichols.
Step Response
Step Response
1.4
1.4
système
-30% de R
+3% de R
1.2
1
A m p litu d e
1
0.8
A m p litu d e
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
système
-10% de Vi
+10% de Vi
1.2
0
0.5
1
1.5
Time (seconds)
2
2.5
3
0
0
0.5
1
1.5
Time (seconds)
-5
(a)
2
2.5
3
-5
x 10
(b)
x 10
Fig. IV.12 : Test de robustesse
108
Chapitre IV
Modélisation et commande classique du système
La diminution de la résistance ? et la tension continue FG entraine une augmentation du
dépassement et le temps de réponse. On constate que, pour les variations larges et rapides
de la charge, le système présente de fortes oscillations. Cette commande classique devient
non robuste, ce qui provoque une instabilité du système et une divergence de la sortie par
rapport à la référence.
6. Conclusion
Dans la première partie du chapitre, on s'est intéressé à la mise en équations des
différentes relations entrées-sorties régissant le fonctionnement de l’onduleur. Cette étape
a donné naissance à trois modèles (modèle exacte, modèle à grands signaux et modèle à
petits signaux), couvrant différentes régions de fonctionnement. L'étape de validation
atteste bien de la grande précision des modèles proposés. Une fois la stabilité de
l’onduleur est vérifiée, on passe à la synthèse d’une loi de commande.
La deuxième partie est réservée à l’introduction d’une loi de commande classique à base
de régulateur PI. Dans ce cas, les paramètres du régulateur sont déterminés par la méthode
du gain critique de Ziegler-Nichols. La réponse indicielle montre que le système présent
des oscillations amorties face à une perturbation sur son entrée.
109
Chapitre 5
Application des
Techniques de
Commande Avancée
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
1. Introduction
Ce chapitre est consacré à l’étude de quelques méthodes appliquées à la commande
d’un onduleur à résonance série parallèle type LLC afin d'obtenir un système de
commande de haute performance. Tandis que les critères de temps de réponse, de
dépassement et d'erreur statique peuvent être assurés par les techniques de commande
conventionnelles, le critère de robustesse demeure un défi pour les chercheurs. Ce critère
ne peut être satisfait qu'en appliquant des techniques avancées de commande.
Dans la première partie, un Algorithme Génétique est utilisé pour la détermination des
paramètres optimaux du régulateur PI. Le choix d’une telle méthode d’optimisation pour
le calcul des paramètres du régulateur PI, repose sur [Gue01, Cha01]:
La recherche de la solution optimale sur une population de solutions
La recherche des solutions est basée sur une fonction d’adaptation
La recherche utilise des lois de probabilités
La recherche ne nécessite aucune connaissance à priori sur le problème
Ensuite, après avoir donné un bref aperçu sur la commande par logique floue ainsi que la
motivation du choix de la structure du contrôleur, nous synthétisons un contrôleur flou
basé sur le modèle à petits signaux du convertisseur. Il s’agit d’exploiter l’analogie entre
notre contrôleur et le PI classique pour le réglage des gains en utilisant les méthodes de
mise en œuvre de ce dernier.
La dernière partie de ce chapitre couvre l'essentiel de la théorie du calcul fractionnaire.
Cette théorie généralise la notion de dérivée pour les cas où l'ordre de différenciation est
un nombre fractionnaire; en d'autres termes, il donne un sens à l'expression
cas où
( )
dans le
est un nombre fractionnaire. Cette généralisation peut être effectuée de plusieurs
façons, conduisant à des définitions différentes qui ne mènent pas aux mêmes résultats
[Djo01].
Dans les applications récentes de la théorie du calcul fractionnaire, les systèmes
commandés et les correcteurs sont décris par des équations différentielles d'ordre
fractionnaire. Le but principal est d’introduire des opérateurs fractionnaires dans les
algorithmes de commande pour améliorer les performances des systèmes de commande
classique [Bet01].
L’objectif de cette partie est de présenter les bases théoriques des opérateurs d’ordre
fractionnaire nécessaires pour la conception d’un régulateur PI d’ordre fractionnaire pour
110
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
la commande d’un onduleur à résonance type LLC destiné au chauffage par induction,
tout en rappelant les définitions et les principales propriétés des opérateurs d’ordre
fractionnaire.
2. L’approche basée sur les Algorithmes Génétiques
Dans cette section nous traitons du problème d’optimisation des deux paramètres
du régulateur PI basé sur un Algorithme Génétique. Dans un premier temps, nous
introduisons quelques généralités sur l’AG, ses opérateurs de base et les facteurs qui
affectent directement sa convergence. Par la suite, nous décrivons de façon exhaustive la
façon dont laquelle l’AG est utilisé pour le calcul des paramètres du PI.
2.1. Généralités sur les Algorithmes Génétiques
Les Algorithmes Génétiques introduits par John Holland (1975) et ses étudiants à
l'université de Michigan sont fondés sur la théorie de la survie des espèces de Charles
Darwin. Ils sont des algorithmes d'optimisation s'appuyant sur des techniques dérivées de
la génétique et de l'évolution naturelle [Cha01, Gue02, Sou02].
Le principe d’un Algorithme Génétique repose sur l’analogie conceptuelle établie entre
une population d’individus évoluant dans leur milieu naturel et un ensemble de solutions
plus ou moins bonnes d’un problème d’optimisation quelconque. Suivant les règles de
l’évolution énoncées par Darwin, la population d’individus va évoluer de manière à
s’adapter au milieu qui l’entoure : les plus faibles vont disparaître tandis que les mieux
adaptés survivront et se reproduiront [Hed01, Sou02].
Un algorithme génétique réalise une optimisation dans un espace de données. Dans
l’ensemble des solutions d’un problème d’optimisation, une population constituée de N
individus convenablement marquées par une fonction de codage qui les identifie
complètement [Gue02]. Une procédure d’évaluation est nécessaire à la détermination de
l’adaptation de chaque individu de la population. La sélection est une phase de
recombinaison qui génère une nouvelle population d’individus, qui ont de bonnes chances
d’être plus forts que ceux de la génération précédente. De génération en génération, la
force des individus de la population augmente et après un certain nombre d’itérations, la
population est entièrement constituée d’individus tous forts, soit de solutions quasioptimales du problème posé. Le déroulement d'un algorithme génétique se traduit par la
figure V.1 [Gue02, Cha01, Sou01, Hed01, Sou02]:
111
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Fig.V.1: Organigramme d’un Algorithme Génétique
2.1.1. Codage des variables
La première étape dans le fonctionnement de l'algorithme génétique est le codage
de l'ensemble des paramètres à optimiser en une chaîne de caractères de longueur finie. Il
existe principalement deux types de codage : le codage binaire et le codage réel.
a. Codage binaire
Holland et de Jong ont imposé le codage binaire 0,1 de longueur fixe pour un
chromosome qui s'écrit sous la forme d'une chaîne de bits [Sou01, Cha01]:
=
.2
(V. 1)
Ce type de codage est utilisé pour coder toutes sortes de paramètres : réels, entiers
booléens et chaînes de caractère. Cela nécessite simplement l'usage de fonction de codage
et décodage pour passer d'une présentation à l'autre. Ce choix le rend virtuellement
applicable à tous les problèmes dont les solutions sont numériques, c'est-à-dire calculées
par ordinateur. Cette méthode de codage est relativement facile à implanter mais elle
présente l'inconvénient de limiter la précision des paramètres à une valeur correspondante
au nombre de bits utilisé.
b. Codage réel
Pour résoudre le problème de précision inhérent au décodage binaire standard et
améliorer la recherche locale, un codage réel des paramètres est utilisé. L'ensemble des
variables est représenté par un vecteur [Cha01, Gue02, Sou02]:
=( ,
où chaque
,…..,
)
est un nombre réel.
(V. 2)
112
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Avec ce type de codage, la procédure d’évaluation des chromosomes est plus rapide vu
l’absence de l’étape de transcodage (du binaire vers le réel).
2.1.2. Opérateur de croisement
Le croisement utilisé par les algorithmes génétiques est la transposition
informatique du mécanisme qui permet, dans la nature, la production de chromosomes qui
héritent partiellement des caractéristiques des parents. Son rôle fondamental est de
permettre la recombinaison des informations présentes dans le patrimoine génétique de la
population. On distingue [Sou01, Gue02, Haj01]:
a. Croisement en un point
Si le croisement a lieu entre deux chromosomes parents (P1 et P2), constitués de n
gènes, on tire aléatoirement une position de chacun des parents. On échange ensuite les
deux sous chaînes terminales de chacun des chromosomes, ce qui produit deux enfants (C1
et C2) comme indiqué sur la figure V.2 [Hed01, Sou02]:
Fig.V.2 : Croisement standard en un seul point
b. Croisement en deux points
Sur la figure V.3 nous représentons un croisement en deux points, que nous
utiliserons dans la suite de ce travail [Sou01, Cha01, Hed01, Mok]:
Fig.V.3 : Croisement standard en deux points
113
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Ce type de croisement est très efficace et peut s’étendre à n’importe quel type de chaînes.
c. Croisement de type barycentre
Certains chercheurs préfèrent utiliser dans le cas des chaînes réelles, un croisement
de type barycentre. Deux gènes sont sélectionnés dans chacun des parents (P1 et P2) à la
même position i. Ils définissent deux nouveaux gènes (C1 et C2) par combinaison linéaire :
C (i) = α. P (i) + (1 − α). P (i)
#
C (i) = (1 − α). P (i) + α. P (i)
(V. 3)
où % est un paramètre de pondération aléatoire qui prend généralement ses valeurs dans
l’intervalle [−0.5, 1.5] [Hed01, Gue02, Haj01, Sou02].
2.1.3. Opérateur de mutation
La mutation est un opérateur qui joue un rôle perturbateur : il introduit un bruit au
sein de la population. Il modifie de manière aléatoire les caractéristiques d’une solution, ce
qui permet d’introduire et de maintenir la diversité au sein de notre population de
solutions.
L’opérateur de mutation permet aussi d’assurer une recherche aussi bien globale que
locale, selon le poids et le nombre des bits mutés. De plus, elles garantissent
mathématiquement que l’optimum global peut être atteint. La figure V.4 illustre une
représentation schématique d’une mutation dans un chromosome [Cha01, Sou02]:
Fig.V.4: Opérateur de mutation
2.1.4. Fonction d’adaptation
Dans un AG la fonction d’adaptation ), déterminée à partir de la fonction
d’évaluation, mesure la performance d’un individu par rapport à l’ensemble de la
population. Le résultat fourni par cette fonction va permettre de sélectionner ou de
refuser un individu pour ne garder que les individus ayant la meilleure performance
en fonction de la population courante. Le choix de la fonction d’adaptation est
important et dépend du problème à résoudre et de l’espace de recherche qui en
114
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
découle. Son comportement influence la convergence de l’algorithme vers des
solutions optimales pour le problème étudié [Gue02, Hed01, Mok01, Sou01].
2.1.5. Opérateur de sélection
La sélection est un opérateur qui permet d'identifier statistiquement les meilleurs
individus d'une population et d'éliminer les mauvais. Elle doit favoriser les meilleurs
éléments selon le critère à optimiser. On trouve dans la littérature un nombre important de
principes de sélection plus ou moins adaptés aux problèmes qu'ils traitent. Parmi
lesquelles on peut citer [Gue01]:
a. La sélection par roulette artificielle
La sélection des individus par le système de la roulette s'inspire des roues de
loterie. A chacun des individus de la population est associé un secteur d'une roue. L'angle
du secteur étant proportionnel à la qualité de l'individu qu'il représente. Les tirages des
individus sont ainsi pondérés par leur qualité. La figure V.5 illustre une roulette dans
laquelle chaque individu se voit attribuer un secteur dont l'angle est proportionnel à sa
performance donnée par [Cha01, Haj01, Hed01, Sou02]:
* =
)( )
∑ )( )
(V. 4)
où * est la performance de l’individu, ) est la fonction d’adaptation et - est le nombre
d’individus de la population
Fig.V.5 : Roue de sélection naturelle
115
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
L’influence de la pression sélective vis-à-vis de la diversité génétique est énorme. En
effet, cette technique peut favoriser la domination d’un super-individu, ayant une
performance largement supérieure aux autres individus de la population. Cela peut mener
à une convergence prématurée, par sur-sélection de cet individu qui impliquera le blocage
des populations au voisinage de ce point. De même, un ralentissement de l’évolution peut
provenir de l’aplatissement des valeurs de performance au sein de la population, amenant
à des probabilités de sélection quasi uniforme au sein de la population [Mok01].
b. La sélection par rang
La sélection précédente rencontre des problèmes lorsque la valeur d'adaptation des
chromosomes varie énormément. Si la meilleure fonction d'évaluation d'un chromosome
représente 90% de la roulette alors les autres chromosomes auront très peu de chance
d'être sélectionnés et on arriverait à une stagnation de l'évolution. La sélection par rang trie
d'abord la population par fitness. Ensuite, chaque chromosome se voit associé un rang en
fonction de sa position. Ainsi le plus mauvais chromosome aura le rang 1, le suivant 2, et
ainsi de suite jusqu'au meilleur chromosome qui aura le rang N (pour une population de N
chromosomes). La sélection par rang d'un chromosome est la même que par roulette, mais
les proportions sont en relation avec le rang plutôt qu'avec la valeur de l'évaluation
[Sou01, Haj01, Hed01, Mok01].
2.1.6. Critères d’arrêt
Le critère d’arrêt est une caractéristique essentielle des AG. Un critère peu
performant peut en effet conduire à de nombreuses évaluations inutiles de la fonction
d’adaptation. Parmi les critères proposés dans la littérature on peut citer [Haj01, Sou02]:
Nombre maximales de générations
Temps écoulé
2.2. Formulation du problème d’optimisation
Soit le processus modélisé par la fonction de transfert réduite ./ (0) (voir annexe
B) et commandé par le régulateur PI de fonction de transfert 1(0) conformément au
schéma de la figure V.6 :
116
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Fig.V.6 : Système de commande à retour unitaire
La fonction de transfert de l’erreur est donnée par :
2(0) =
où :
3(0)
=
4(0)
56 = : ; .
57 = : ; .
5 = : ;.
5 = : ;.
58 = : ; .
9
6
7
8
= : ;.
= : ;.
= : ;.
= : ;.
= : ;.
56 . 0 6 + 57 . 0 7 + 5 . 0 + 5 . 0 + 58
9
6
7
.0 + .0 +
9. 0 + 6. 0 + 7. 0 +
8
(V. 5)
/6
/7
/
/
/8
/6
/7
+ <=; . : ; . 5/7
/
+ <=; . : ; . 5/ + <=; . 5/
/
/8
+ <=; . : ; . 5/ + <=; . 5/7
+ <=; . : ; . 5/8 + <=; . 5/
= <=; . 5/8
La formulation du problème d’optimisation est basée sur la méthode de Hall-Sartorius
présentée à l’annexe D. La méthode nécessite le calcul de l’integrale >9 sous forme
littérale mettant en évidence les paramètres du système et du correcteur afin de déterminer
les valeurs de ces paramètres minimisant l’intégrale. D’après les propriétés des
transformées de Laplace et conformément à la méthode de Hall-Sartorius l’intégrale >9
peut s’écrire:
1 ∆@
>9 = . A
2 ∆
(V. 6)
117
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
où :
H
G
G 6
∆A
=
CDE
9
G0
G0
F0
8
0
7
9
H
G
∆@
9 = CDE G 6
G0
F0
8
0
0
0
7
9
0
0
8
6
0
0
0
8
6
0
0
0
0
0
9
0
8
7
6
0
0
0
L8
L K
L J
J
L7 J
L6 I
7
9
0
0K
0J
J
J
7J
9I
Les coefficients L8 , L , L , L7 et L6 sont calculés par :
3(0). 3(−0) = L6 . 0 M + L7 . 0 N + L . 0 6 + L . 0 + L8
(V.7)
où :
L6 = 56
L7 = 2. 56 . 5 − 57
L = 2. 56 . 58 − 2. 57 . 5 + 5
L = 2. 58 . 5 − 5
L8 = 58
2.3. Application des AG à l’optimisation des paramètres du PI
L’objectif est toujours de trouver l’ensemble des paramètres optimisés <=; et : ;
de façon à ce que la réponse du système en boucle fermée soit stable et la plus robuste
possible pour toute variation paramétrique. Pour se faire, on doit choisir soigneusement les
valeurs des paramètres régissant l’évolution de la population traitée par cet algorithme
génétique : taille de la population, probabilités de croisement et de mutation. Dans ce
travail, après une série de tests, nous avons opté pour les paramètres du tableau V.1 :
Tableau V.1: Paramètres de l’AG
Paramètre
Taille de la population
Nombre de génération
Probabilité de croisement
Probabilité de mutation
Symbole
Valeur
OQ
50
OP
PR
PS
100
0.65
0.06
118
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
On fixe comme objectif, la minimisation de l’erreur 2(E) entre la sortie et la consigne et le
dépassement. Ces objectifs peuvent être définis par la fonction d’adaptation suivante :
*T<=; , : ; U =
1
1 + >9
(V. 8)
La population initiale basée sur un codage binaire est choisie de façon aléatoire dans un
espace de recherche de solutions. L’intervalle de variation de chaque variable est définit
de la façon suivante :
W = X<=;Y
<=;YZ [ × [: ;Y
: ;YZ ]
(V. 9)
Dans le cadre de cette étude, la méthode de sélection utilisée est la méthode de sélection
géométrique normalisée qui est une méthode de sélection de rang basée sur une
distribution géométrique normalisée. L’influence des probabilités de mutation et de
croisement sur la convergence est testée. Les probabilités ^Y et ^_ sont modifiées en
utilisant le croisement en deux point et la mutation uniforme.
Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau V.2 :
Tableau V.2: Paramètres du régulateur PI
Ziégler-Nichols
Algorithme génétique
`P
0.0108205
0.01853
ab
150. 10
505. 10
M
M
cd
9.8981. 10
5.0617. 10
e
e
2.4. Résultats de simulation
L’objectif du système de commande proposé est de minimiser l’écart 2(E) entre la
sortie du système et la valeur de consigne désirée. Cet écart peut être dû, soit à un
changement de consigne, soit à des perturbations agissant sur le système. Pour choisir le
bon réglage du régulateur, on prend en compte l’amplitude maximum de l’écart et la durée
nécessaire pour qu’il s’annule après une perturbation ou un changement de consigne. Le
critère considéré dans ce cas est donné par [Gee01]:
j
>gh = i 2 (E). CE
8
(V. 10)
Pour comparer les performances de la technique proposée à celles de la technique
classique par simulation, on présentera les résultats de régulation pour une variation de la
consigne en échelon. Les résultats obtenus sont représenté sur la figure V.7 :
119
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Step Response
1.4
PI Z-N
PI G-A
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4 Time (seconds)
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4
x 10
Fig.V.7 : Réponse indicielle du système en boucle fermée
On constate que les résultats obtenus par la technique proposée sont tous a fait différents à
ceux obtenus par la méthode de Ziegler-Nichols. Cela se justifie par le rôle important que
joue les opérateurs génétiques en explorant de nouvelles solutions dans l’espace de
recherche. Les améliorations apportées sont résumé dans le tableau V.3 :
Tableau V.3: Comparaison des caractéristiques obtenues en simulation
Régulateur PI
Ziegler-Nichols
Algorithmes Génétique
Dépassement
33%
11%
Temps de réponse
27 µs
18 µs
46°
79°
Marge de phase
2.5. Test de robustesse
Pour les tests de robustesse de la technique proposée, nous avons étudié l’influence
des variations de la résistance équivalente k et de la tension continue l avec les mêmes
pourcentages que celles introduites pour tester la stratégie de commande classique. Les
résultats obtenus sont donnés sur la figure V.8:
120
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Step Response
Step Response
1.4
1.4
système
-30% de R
+30% de R
1
1
0.8
0.8
A m p litu d e
A m p litu d e
1.2
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.5
1
1.5
2
Time (seconds)
système
-10% de Vi
+10% de Vi
1.2
2.5
3
0
0.5
-5
x 10
(a)
1
1.5
Time (seconds)
2
2.5
3
-5
x 10
(b)
Fig.V.8 : Test de robustesse
Les résultats de simulation montrent clairement les bonnes performances obtenues par
l’application des Algorithmes Génétiques à recherche des paramètres optimaux du
régulateur PI. Ces performances sont traduises par la diminution notable des oscillations,
le dépassement et le temps de stabilisation. On constate que, l’emploi des opérateurs
génétiques à l’exploration de l’espace de recherche rendre cette commande stable en
boucle fermée et robuste aux variations paramétriques.
3. Approche basée sur la logique floue
La logique floue est une théorie qui a connu un grand engouement depuis que le
professeur A. Zadeh a introduit le concept de sous-ensembles flous en 1965. Elle trouve
notamment sa place dans le domaine de la commande pour une large gamme de systèmes
et plus généralement en génie électrique. Ses avantages viennent notamment de ses
capacités à [Gue01, Fau01, Smy01, Bou01]:
formaliser et simuler l’expertise d’un opérateur ou d’un concepteur dans la
conduite et le réglage d’un procédé,
donner une réponse simple pour les procédés dont la modélisation est difficile,
prendre en compte sans discontinuité des cas ou exceptions de natures différentes,
et les intégrer au fur et à mesure dans l’expertise,
prendre en compte plusieurs variables et effectuer de la fusion pondérée des
grandeurs d’influence.
121
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
3.1. Variables linguistiques
Dans la vie quotidienne, la description d’une situation donnée se fait toujours à
l’aide de variables linguistiques qui sont toujours à connotation floue mais qui reste, en
général, très acceptable tels que [Smy01, Gue01]: négative, positive, grand, petit, etc…
3.2. Fonctions d’appartenance
Contrairement à la logique binaire traditionnelle, la logique floue admet des degrés
d’appartenance à un ensemble donné. Le degré d’appartenance à un ensemble flou est
caractérisé par un nombre compris entre 0 et 1. Une valeur précise de la fonction
d’appartenance liée à une valeur de la variable est notée m et appelée facteur
d’appartenance [Bou01, Fau01, Gue01].
Les gabarits de fonctions d’appartenance les plus utilisés sont [Cha01, Smy01]:
Les fonctions d’appartenance triangulaires
Les fonctions d’appartenance trapézoïdales
Les fonctions d’appartenance Gaussiennes
Les fonctions d’appartenance Sigmoïdes
3.3. Sous-ensembles flous
Les sous-ensembles flous ont été introduits afin de modéliser la représentation
humaine des connaissances, et ainsi améliorer les performances des systèmes de décision
qui utilisent cette modélisation.
Soit n un ensemble de référence et soit
un élément quelconque de n. Un sous-ensemble
flou o de n est défini comme l’ensemble des couples [Fau01, Bou01, Oua01]:
o = pT , mq ( )U,
Avec :
∈ ns
mq : représente le degré d’appartenance de
(V. 11)
à o.
Chaque sous-ensemble flou o de n est caractérisé par une fonction d’appartenance mq ( )
qui associe, à chaque point
possibles suivants :
mq ( ) = 0
0 < mq ( ) < 1#
mq ( ) = 1
où :
mq ( ) = 0, si
de n un réel dans l’intervalle [0,1]. On observe les trois cas
(V.12)
n’appartient pas à o.
122
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
0 < mq ( ) < 1, si
mq ( ) = 1, si
appartient partiellement à o.
appartient entièrement à o.
3.4. Opérations sur les sous-ensembles flous
Afin de pouvoir manipuler aisément les ensembles flous, nous redéfinissons les
opérateurs de la théorie des ensembles classiques afin de les adapter aux fonctions
d'appartenance propres à la logique floue permettant des valeurs strictement entre 0 et 1.
Contrairement aux définitions des propriétés des ensembles flous qui sont toujours les
mêmes, la définition des opérateurs sur les ensembles flous est choisie, à l'instar des
fonctions d'appartenance [Gue01]. Voici les opérations les plus utilisées en logique floue :
3.4.1. Egalité
Soit deux ensembles flous o et u dans un univers n. On dit que o et u sont égaux
si leurs fonctions d'appartenance ont la même valeur en tout point
o = u, ∀ ∈ n, mq ( ) = mw ( )
de n.
(V. 13)
3.4.2. Complément
Soit un sous-ensemble flou o de n, son complément o̅ est un sous-ensemble
définit par la fonction d'appartenance suivante:
∀ ∈ n, mq̅ ( ) = 1 − mq ( )
(V. 14)
3.4.3. Inclusion
Soit deux ensembles flous o et u dans un univers n. On dit que o est inclus dans u
noté o ⊂ u si leurs fonctions d'appartenance sont telles que:
o ⊂ u, ∀ ∈ n, mq ( ) ≤ mw ( )
(V. 15)
3.4.4. Union
L'union de deux sous-ensembles flous o et u de n est un sous ensemble flou de n
qui contient tous les éléments appartenant à A ou à B. Formellement, o ∪ u est donné par :
o ∪ u, ∀ ∈ n, mq∪w ( ) = max (mq ( ), mw ( ))
(V. 16)
123
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
3.4.5. Intersection
L'intersection de deux sous- ensembles flous o et u de n est un sous ensemble flou
tel que :
o ∩ u, ∀ ∈ n, mq∩w ( ) = min (mq ( ), mw ( ))
(V. 17)
3.5. Règles floues
L’outil de modélisation en logique floue est la règle floue. Une règle floue est une
assertion logique qui s’exprime en terme de variables linguistiques floues reliées entre
elles par des opérateurs logiques tels ET et OU. Ils existent deux types de règles floues:
Celles formant un critère et ayant la forme générale:
•=[
‚ƒ (
„…
7)
‚ƒ … ] „…
Celles formant des implications et ayant la forme générale :
Si Condition alors Opération
où la condition et l’opération dépendent de variables linguistiques floues.
Le résultat de l'application d'une règle floue dépend donc de trois facteurs [Smy01]:
La définition d'implication floue choisie ;
La définition de la fonction d'appartenance de l'ensemble flou
Le degré de validité des propositions situées en prémisse.
3.6. Inférences floues
L’inférence floue est une relation floue définie entre deux sous-ensembles. La
définition de la relation peut théoriquement faire intervenir n’importe quel opérateur de
combinaison. Dans le cas où des décisions différentes sont à prendre selon les valeurs des
variables linguistiques, plusieurs règles sont nécessaires pour l’inférence. On distingue :
3.6.1. Inférence floue de Mamdani
Le processus d’inférence floue de Mamdani peut être décrit par le schéma suivant
[Gue01, Fau01, Oua01, Smy01, Bou01]:
Règle 1 : si (
Règle 2 : si (
……….
Règle n : si (
est o ) ET….ET (
Y
est o
Y)
Alors († est u )
est o ) ET….ET (
Y
est o
Y)
Alors († est u )
est o ) ET….ET (
Y
est o
Y)
Alors († est u )
124
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Où les conditions dépendent de variables linguistiques floues et sont reliées entre elles par
des opérateurs logiques. Les opérations dépendent aussi d’un certain nombre de variables
linguistiques floues et sont reliées entre elles par des opérateurs logiques. Les règles sont
également reliées entre elles par l’opérateur OU.
3.6.2. Inférence floue de Sugeno
Sugeno a proposé une méthode d’inférence floue qui garantit la continuité de la
sortie. Cette méthode d’inférence s’avère très efficace dans des applications faisant
intervenir à la fois des techniques linéaires, d’optimisation et adaptatives. Dans l’inférence
de Sugeno, les règles floues sont exprimées de la façon suivante :
Règle i : si (
est o ) ET….ET (
Y
est o Y ) Alors † = * ( ,
,….,
Y)
Par rapport à l’inférence de Sugeno, l’inférence de Mamdani est plus intuitive, plus
générale et elle s’adapte particulièrement bien à l’utilisation de connaissances issues d’une
expertise humaine [Gue01, Oua01, Smy01].
3.7. Structure de base d’un régulateur flou
Le régulateur flou, comme tout régulateur, a pour tâche de produire une loi de
commande pour chaque combinaison de ses entrées de sorte que l’erreur tend vers zéro le
plus vite possible. Par rapport à un régulateur classique, le régulateur flou ne traite pas une
relation mathématique bien définie (algorithme de réglage), mais utilise des inférences à
plusieurs règles, se basant sur des variables linguistiques. Ces inférences sont alors traitées
par des opérateurs de la logique floue. La figure V.9 montre la configuration interne d'un
régulateur basé sur la logique floue [Fau01, Chi01, Smy01]:
Fig.V.9 : Configuration interne d’un régulateur flou
125
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
On peut distinguer trois parties :
3.7.1. La fuzzification
Le processus de la fuzzification consiste à attribuer aux différentes variables
linguistiques d’entrée des fonctions d’appartenance convenables. Cette opération est
nécessaire vu que la mesure de la sortie † et la donnée de la référence ou consigne sont
toujours exprimées en des variables qui sont nettes et précises et que le régulateur flou ne
peut traiter que des variables floues. La fuzzification fournit une série de variables floues,
réunies par le vecteur
[Fau01, Gue01].
Dans le cas du réglage par logique floue, on utilise en général des formes trapézoïdales et
triangulaires pour les fonctions d'appartenance [Smy01]. Les grandeurs physiques
(l’erreur, dérivée d'erreur, etc) sont réduites à des grandeurs normalisées
domaine −1 ≤
≤ 1.
varient dans le
En général, on introduit pour une variable x trois, cinq ou sept ensembles, représentés par
des fonctions d'appartenance, comme la montre la figure V.10 [Bou01, Chi01, Oua01]:
Fig.V.10 : Les fonctions d’appartenance
3.7.2. Inférences
Ce bloc exprime la relation qu’il existe entre les variables d’entrée et la variable de
sortie. La formulation concrète des inférences dépend évidemment du comportement
statique et dynamique du système à régler, ainsi que des buts de réglage envisagés. Il n'est
pas possible d'indiquer des règles précises. L'expérience joue un rôle important. Dans le
cas d’une base de règles, chacune des règles donne une caractérisation pour la sortie ou la
126
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
variable de commande dans le cas de la commande floue. Il est donc nécessaire
d’effectuer une synthèse de toutes ces règles pour parvenir à prendre une décision. Il
existe différentes possibilités d'exprimer les inférences [Fau01, Chi01, Ezz01, Mok01]:
Variables linguistiques
Description symbolique
Description par matrice d’interférence
Pour le réglage par logique floue, on utilise en général une des méthodes suivantes:
a. Méthode du Max-Min
La méthode d’inférence Max-Min utilise l’agrégation comme une première étape
pour calculer les ensembles flous de la sortie. La conclusion dans chaque règle, introduite
par ALORS, lie le facteur d'appartenance de la condition avec la fonction d'appartenance
de la variable de sortie par l'opérateur ET, réalisé dans le cas présent par la formation du
minimum. Enfin, l'opérateur OU qui lie les différentes règles est réalisé par la formation
du maximum [Smy01].
Supposons que l’on ait deux entrées ‡ et R‡ et une sortie ˆ, toutes trois définies par les
sous-ensembles suivants (figure V.11) [Fau01, Chi01, Gue01]:
Fig.V.11 : Les fonctions d’appartenance
Supposons que = ‰. ŠŠ , R‡ = −‰. ‹Œ et que dans l’inférence, les deux règles suivantes
aient été activées :
127
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Si (‡ est PG) ET (R‡ est ZE), Alors (ˆ est ZE)
ou
Si (‡ est ZE) OU (R‡ est NG), Alors (ˆ est NG)
La prochaine étape consiste à traduire les opérateurs ET, OU et l’implication par une des
fonctions (Minimum, Maximum) :
Au niveau de la condition :
ET est représenté par la fonction Min
OU est représenté par la fonction Max
Au niveau de la conclusion : ou est représenté par la fonction Max
Alors est représenté par la fonction Min
La figure V.12 représente graphiquement le principe de la méthode d'inférence maxmin [Chi01, Ezz01, Smy01]:
Fig.V.12: Méthode d’interférence Max-Min
La première règle donne :
‡ = ‰. ŠŠ est PG avec •‡ = ‰. ‹Œ et R‡ = −‰. ‹Œ est EZ avec •R‡ = ‰. ŽŽ
(‡ est PG) ET (R‡ est ZE) équivaut à min(‰. ŽŽ, ‰. ‹Œ) ce qui donne ‰. ŽŽ
Tronquer la fonction d'appartenance de (ˆ est ZE) par ‰. ŽŽ
128
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
La deuxième règle donne :
‡ = ‰. ŠŠ est ZE avec •‡ = ‰. ŽŽ et R‡ = −‰. ‹Œ est NG avec •R‡ = ‰. ‹Œ
(‡ est ZE) OU (R‡ est NG) équivaut à max(‰. ŽŽ, ‰. ‹Œ) ce qui donne ‰. ‹Œ
Tronquer la fonction d'appartenance de (ˆ est NG) par ‰. ‹Œ
Une fonction d'appartenance résultante donnée par la surface hachurée [Mok01].
b. Méthode du Max-Prod
Cette méthode réalise en général, au niveau de la condition, l’opérateur OU par la
formation du maximum et l’opérateur ET par la formation du minimum. Par contre, la
conclusion dans chaque règle introduite par Alors, cette dernière est réalisée cette fois par
la formation du produit. L’opérateur OU qui lie les différentes règles est réalisé de
nouveau par la formation du maximum. La figure V.13 montre la réalisation de l’exemple
donné dans la méthode Max- Min par la méthode de Max-Prod [Smy01, Chi01, Mok01]:
Fig.V.13 : Méthode d’interférence Max - Prod
129
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
c. Méthode du Som-Prod
Cette méthode réalise en général, au niveau de la condition, l’opérateur OU par la
formation de la somme et l’opérateur ET par la formation du produit. Par contre,
l’opérateur Alors, qui lie le degré d’appartenance de la condition avec la fonction
d’appartenance de la variable de sortie est réalisé cette fois par la formation du produit.
L’opérateur OU qui lie les différentes règles est réalisé de nouveau par la formation de la
somme. La figure V.14 montre la réalisation de l’exemple donné dans la méthode MaxMin par la méthode de Som-Prod [Chi01, Mok01]:
Fig.V.14 : Méthode d’interférence Som-Prod
3.7.3. La diffuzzification
Le résultat de l’inférence en utilisant une des méthodes d’implication floue est une
valeur floue. Cette information ne peut être utilisée directement. Une transformation doit
être prévue à la sortie du bloc d’inférence pour la convertir en grandeur fixe, cette
transformation étant connue par le terme défuzzification. Il existe plusieurs méthodes de
défuzzification dont les plus utilisées sont [Chi01, Ezz01, Gue01, Mok01, Sou01, Smy01]:
130
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
a. Défuzzification par maximum
Dans cette méthode, la valeur de sortie est estimée par l’abscisse du point
correspondant au centre de l’intervalle pour lequel la fonction d’appartenance est
maximale. Lorsque la fonction d'appartenance résultante est écrêtée, il y a tout un
intervalle de valeurs qui peuvent être utilisées. Afin d'éviter cette indétermination, on
prend la moyenne des abscisses du maximum. La figure V.15 montre le principe de cette
méthode [Smy01, Chi01, Ezz01, Gue01, Gue02, Kou01, Mok01]:
Fig.V.15: Principe de la défuzziffication par valeur maximale
Cependant cette méthode présente un grand inconvénient: le signal de sortie change
brusquement si la dominance change d'une fonction d'appartenance partielle à une autre.
Ce comportement discontinu provoque des à coups sur le signal de commande et conduit à
un mauvais fonctionnement d'un circuit de réglage. Par conséquent, cette méthode de
défuzzification n'est pas recommandée pour un réglage par logique floue [Smy01].
b. Défuzzification par centre de gravité
La méthode de défuzzification la plus utilisée est celle de la détermination du
centre de gravité de la fonction d'appartenance résultante. Dans ce contexte, il suffit de
calculer l'abscisse ˆ du centre de gravité de la fonction d'appartenance résultante de
l'inférence. La figure V.16 montre ce principe de la défuzzification [Bou01, Chi01]:
Fig.V.16: Principe de la défuzziffication par centre de gravité
L'abscisse du centre de gravité peut être déterminée à l'aide de la relation générale:
131
Chapitre V
•=
• m.
Application des techniques de commande avancée
‘. C ‘
• m. C
(V. 18)
‘
Cette méthode procure de bons résultats mais nécessite des calculs longs et complexes.
3.8. Conception du contrôleur floue pour l’onduleur à résonance type LLC
Le premier pas de la conception du régulateur par logique floue est le choix des
variables d'entrées [Smy01]. Le régulateur proposé aura deux variables d'entrée:
L’erreur de la puissance, ‡
La variation de l’erreur de la puissance, R‡
Pour la sortie du régulateur, le choix du rapport cyclique ’ comme variable de sortie. La
figure V.17 montre le schéma bloc de la configuration de la commande proposée :
Fig.V.17 : Schéma bloc de la commande proposée
Les ensembles flous doivent être définis pour chaque variable d'entrée ou de sortie. La
figure montre les fonctions d'appartenance adoptées pour ‡, R‡ et ˆ. Pour les trois
variables, cinq ensembles ont été définis:
Négative grand, NG
Négative grand, NM
Nul, ZE
Positif moyen, PM
Positif grand, PG
Comme on peut le remarquer sur la figure V.18, toutes les fonctions sont définies sur un
intervalle normalisé [−1,1] ce qui nécessitera l'utilisation de facteurs d'échelle pour
chaque variable [Smy01, Gue02].
132
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Fig.V.18: Cinq fonctions d’appartenance
Les règles d'inférence sont obtenues en analysant le comportement du convertisseur. Dans
leur formulation, on doit considérer le fait que l'utilisation de plusieurs règles suivant les
différents points d'opération améliore les performances du régulateur surtout en termes de
réponse dynamique et de robustesse. On a choisi de déterminer les règles en supposant que
le régulateur accomplit les actions proportionnelle et intégrale [Fau01].
La base de connaissance du contrôleur flou peut être synthétisée sous forme d’un tableau
de règles où chaque règle associe sous forme conditionnelle les états des variables
d’entrées à une caractéristique de la variable de sortie [Gue01]. Comme chacune des deux
entrées est fuzzifiée en cinq ensembles, on obtient un jeu de 25 règles. Le tableau V.4
présente le jeu de règles du contrôleur flou proposé :
Tableau V.4 : Description par matrice d’interférence
R‡
‡
NG
NM
ZE
PM
PG
NG
NG
NG
NG
NM
ZE
NM
NG
NG
NM
ZE
PM
ZE
NG
NM
ZE
PM
PG
PM
NM
ZE
PM
PG
PG
PG
ZE
PM
PG
PG
PG
Quant à la défuzzification, c’est la méthode du centre de gravité qui a été préférée pour le
calcul de la sortie qui représente le rapport cyclique du convertisseur proposé.
133
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
3.9. Résultats de simulation
Pour illustrer les performances du réglage par logique floue, nous avons comparé
les résultats obtenus à ceux du régulateur PI classique. Dans ce cas, le régulateur PI
classique est remplacé par un régulateur flou. Les résultats obtenus sont représentés sur la
figure V.19 :
PI Z-N
Flou
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4
x 10
Fig.V.19 : Réponse indicielle du système en boucle fermée
Les caractéristiques obtenues sont résumées dans le tableau V.5 :
Tableau V.5: Comparaison des caractéristiques obtenues en simulation
Régulateur
PI (Z-N)
Flou
Dépassement
33%
8.2%
Temps de réponse
27 µs
5 µs
46°
-
Marge de phase
Le réglage par logique floue peut surpasser le réglage classique en ce qui concerne la
qualité de la réponse dynamique du système. En effet, ce dernier réduit davantage le temps
de réponse (5 µs) en produisant un dépassement limité (8.2%) avec élimination des
oscillations autour de la consigne en régime permanent.
134
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
3.10. Test de robustess
La figure V.20.a et V.20.b présentent les performances de la régulation lors de la
variation des paramètres du convertisseur k et l :
système
-30% de R
+30% de R
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
système
-10% de Vi
+10% de Vi
3
0
0.5
1
1.5
2.5
3
x 10
x 10
(a)
2
-5
-5
(b)
Fig.V.20: Test de robustesse
D’après les résultats de simulation obtenus, on constate que le régulateur flou procure une
très bonne réponse dynamique et un bon rejet de la perturbation par rapport au régulateur
PI classique.
4. Approche basée sur le calcul fractionnaire
Le calcul fractionnaire est un problème purement mathématique connu pendant
prés de trois siècles. Bien qu'ayant une longue histoire, il n'a pas été appliqué à la
physique et l'ingénierie pour une longue période de temps. Cependant, au cours des
dernières années, le calcul fractionnaire a commencé à attirer l'attention croissante des
scientifiques surtout son application dans le domaine de la modélisation des systèmes
dynamiques ainsi que la commande. La modélisation des systèmes physiques par des
équations différentielles à dérivés fractionnaires devient l'objet de nombreuses études. Le
développement des méthodes efficaces pour résoudre numériquement ces équations a reçu
une attention croissante au cours des dernières années. Plusieurs méthodes basées sur
Grünwald-Letnikov, Caputo ou Riemann-Liouville définition ont été proposées et
analysées [Djo01].
135
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
4.1. Définition de Grünwald-Letnikov
En mathématique, La dérivation d’ordre fractionnaire est la généralisation de la
fonction de dérivation entière à des ordres fractionnaires quelconques [Amm01, Bet01].
Parmi de nombreuses définitions de la dérivation d’ordre fractionnaire, la définition de
Grunwald-Letnikov est la plus importante. La nécessité de cette définition pour la
description et l'analyse des systèmes d'ordre fractionnaire est une étape intéressante.
La dérivée première d’une fonction *( ) est donnée par la formule suivante :
*( + ℎ) − *( )
”→8
ℎ
* ′ ( ) = lim
La dérivée seconde est obtenue par :
* ′ ( + ℎ) − * ′ ( )
”→8
ℎ
*( + ℎ + ℎ ) − *( + ℎ )
*( + ℎ ) − *( )
lim
− lim
ℎ
ℎ
”˜ →8
”˜ →8
= lim
”— →8
ℎ
(V. 19)
* ′′ ( ) = lim
(V. 20)
En supposant que ℎ et ℎ convergent de manière synchrone, la formule précédente
devienne:
*( + 2. ℎ) − 2. *( + ℎ) + *( )
”→8
ℎ
* ′′ ( ) = lim
∑8œYœ (−1)Y ™ › *( + (- − š). ℎ)
š
) = lim
”→8
ℎ
En général, nous avons :
*
( )(
Retrait de la restriction que - est un entier positif, il est raisonnable de définir:
1
.
”→8 ℎ•
4• *( ) = lim
ž
(−1)Y ™ › *( + (ž − š). ℎ)
š
8œYœ∞
(V. 21)
(V. 22)
(V. 23)
Ceci définit la dérivée Grünwald-Letnikov [Sal01, Sli01].
Pour simplifier la notation, nous définissons:
∆•” *( ) =
ž
(−1)Y ™ › *( + (ž − š). ℎ)
š
8œYœ∞
(V. 24)
Ainsi, la dérivée Grünwald-Letnikov peut être succinctement s'écrit:
∆•” *( )
”→8
ℎ•
4• *( ) = lim
4.2. Définition de Caputo
(V. 25)
Caputo a introduit une nouvelle définition de la dérivée fractionnaire qui porte
d’ailleurs son nom et qui incorpore les conditions initiales de la fonction à traiter, ainsi
136
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
que ses dérivées entières. Cette approche a été adoptée par Caputo et Mainardi dans leurs
travaux en viscoélasticité. La dérivée fractionnaire au sens de Caputo d’une fonction *(E)
est définie par la relation suivante [Bet01, Bek01, Ham02, Can01, Nar02]:
4ZŸ *( ) =
1
* (E)
.i
( − E)Ÿ
(- − ¡)
Z
¢
. CE
Avec - un entier positif vérifiant l’inégalité - − 1 < ¡ < -
(V. 26)
L’avantage principal de cette approche est que les conditions initiales de la dérivée
fractionnaire au sens de Caputo des équations différentielles fractionnaires prennent la
même forme que dans le cas des équations différentielles d’ordre entier [Bet01].
4.3. Définition de Riemann-Liouville
Cette section généralise l’opérateur 4 pour un ordre réel de la différenciation selon
la définition la plus usuelle Riemann-Liouville. Cette définition généralise deux égalités
de calcul entier dont La premier est la formule de Cauchy [Bek01, idi01]. Rappelant :
4 *( ) = i *(E)CE
(V. 27)
8
Le calcul de la seconde peut être simplifié en échangeant l'ordre d'intégration :
£˜
4 *( ) = i i *(E )CE CE = i *(E). ( − E). CE
8 8
8
(V. 28)
Cette méthode peut être appliquée à plusieurs reprises, aboutissant à la formule générale:
4
*( ) =
1
. i *(E). ( − E)
(- − 1)!
8
. CE
(V. 29)
Maintenant, cette formule peut être facilement généralisée à des valeurs fractionnaires :
4Ÿ *( ) =
1
*(E)
.i
. CE
( − E)Ÿ¢
(−¡)
8
La dérivée de Riemann-Liouville avec la limite inférieure d'intégration 5 serait :
Z4
Ÿ
*( ) =
1
*(E)
.i
. CE
( − E)Ÿ¢
(−¡)
8
(V. 30)
(V. 31)
137
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
4.4. Transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire
La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer
une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette
transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation
algébrique. La transformée de Laplace )(0) d’une fonction *(E) est donnée par la
relation :
j
)(0) = ¥ *(E) = i *(E). D
8
¦£
. CE
(V. 32)
La transformation de Laplace d’une dérivée d'ordre § de la fonction * est donnée
par [Bet01, Amm01]:
)(0) = 0 ¨ . ¥ *(E)
(V. 33)
4.5. Equations différentielles d’ordre fractionnaire et fonctions de transfert
Plusieurs systèmes dynamiques à temps continu peuvent être modélisés par des
équations différentielles à dérivées fractionnaires. Considérons le système décrit par
l’équation différentielle fractionnaire linéaire à coefficients constants suivante [Ham02]:
5 . 4Ÿ© †(E) + 5
=
Où :
. 4 Ÿ©
Y. 4
¨¬
†(E) + ⋯ . +58 . 4 Ÿ« †(E)
•(E) +
•(E) : L’entrée du système
Y
. 4¨¬ •(E) + ⋯ . + 8 . 4¨« •(E)
(V. 34)
†(E) : La sortie du système
5- ,
®
∈k
Les ordres de dérivation ¡8 , ¡ , … . , ¡ et §8 , § , … . , §Y sont supposés réels, positifs et
ordonnés [Djo01]:
¡8 < ¡ < ⋯ . < ¡ et §8 < § < ⋯ . < §Y
Comme dans le cas d’une équation différentielle à dérivées entières, les ordres de
dérivation doivent vérifier la contrainte ¡ > §Y pour que le système soit strictement
propre [Ham02, Amm01].
L’application de la transformée de Laplace nous obtenons une fonction de transfert avec
des puissances d’ordre fractionnaire de la forme :
Y. 0
+ Y . 0 ¨¬ + ⋯ . + 8 . 0 ¨«
.(0) =
5 . 0 Ÿ© + 5 . 0 Ÿ© + ⋯ . +58 . 0 Ÿ«
¨¬
(V. 35)
138
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
4.6. Représentation dans l’espace d’état
La description interne d’un système d’ordre entier cherche toujours à lui faire
correspondre un système d’équation appelé représentation d’état de forme générale:
°
± (E) = *( (E), •(E), E) #
†(E) = ²( (E), •(E), E)
où •(E) et †(E) sont respectivement l’entrée et la sortie du système.
(V. 36)
Dans la représentation par espace d’état, l'état d’un système est décrit par un ensemble
d’équations différentielles du premier ordre exprimées en termes de variables d'état notées
généralement (E). Ces équations sont couplées et peuvent être écrites sous une forme
générale condensée par la notation matricielle suivante:
°
± (E) = o. (E) + u. •(E)#
†(E) = 1. (E) + 4. •(E)
où o, u, 1 et 4 sont des matrices de dimensions appropriées.
(V. 37)
Comme dans le cas entier, une représentation d’état d’ordre fractionnaire comporte deux
équations :
une équation d’état d’ordre fractionnaire dans laquelle le vecteur d’état ne fait plus
l’objet d’une dérivation unitaire mais d’une dérivation d’ordre fractionnaire réel;
une équation d’observation identique à celle du cas entier.
Elle est définie par le système d’équation [Djo01, Ham02, Lad01]:
°
4Ÿ (E) = o. (E) + u. •(E)#
†(E) = 1. (E) + 4. •(E)
où 0 < ¡ < 1
(V. 38)
Dans l’équation (V.38), qui décrit la dynamique d’un système linéaire invariant
monovariable d’ordre fractionnaire, deux cas se présentent et conduisent à deux types de
systèmes : les systèmes commensurables et les systèmes non commensurables [Ham02].
Un système est dit commensurable si tous les ordres de dérivation de l’équation
différentielle fractionnaire qui le régit sont des multiples entiers d’un ordre de base ¡.
C’est à dire dans l’équation (V.35), la condition suivante est remplie [Djo01]:
¡® , §® = ³. ¡, ¡ ∈ k
Un système est dit non commensurable si la condition n’est pas remplie.
139
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Le choix des variables d’état dans la représentation d’état d’un système linéaire n’est pas
unique. Il existe différent choix des variables, dont la forme de commande et la forme
d’observation sont les plus courantes.
4.6.1. Forme canonique commandable
Dans le cas où le transfert fractionnaire est strictement propre, il est possible
d’obtenir une représentation dite Compagne pour la Commande de la forme [Djo01]:
0
1
0
0
0 … …
0
H
K H 0
K H0K
…
…
0
0
0 K H
1
G
J G ⋮
⋮
⋮
⋮
⋮ J G ⋮ J G⋮J
J G
ŸG
# ⋮ J . G ⋮ J + G⋮J . •
⋱ ⋱
⋮ # ⋮
⋮
4 G
(V. 39)
J G
J G J
J=G ⋮
0
0
1
0 J G
J G0J
G
J G 0
0
0
0
1 J G
J G0J
G
J G 0
F
I F1I
−5
−5
−5
−5
F
I
−5
F
I
8
†(E) = [
où
8
−
. 58
−
.5
… …
−
.5
= 0, pour š < ¶ ≤ -
H
G
G
]. G
G
G
F
K
J
J
J+
J
J
I
.•
(V. 40)
4.6.2. Forme canonique observable
Dans le cas où le transfert fractionnaire est strictement propre, il est possible
d’obtenir une représentation dite Compagne d’observation de la forme [Djo01]:
0 0 0
H
K H1 0 1
G ⋮ J G0 1 0
G
ŸG ⋮ J
#
4 G
J = G⋮ ⋮ ⋮
G
J G⋮ ⋮ ⋮
G
J G0 0 0
F
I F0 0 0
†(E) = [0 0
où
…
…
…
⋮
⋮
…
…
…
…
…
⋮
⋮
1
0
0
0
0
⋮
⋮
0
1
H
K
G ⋮ J
G
J
… … 1]. G ⋮ J +
G
J
G
J
F
I
−58
−5
−5
# ⋮
⋮
−5
−5
.•
K H
K H
J G 7 J G
J G ⋮ J G
J.G
J+G
⋮
J G
J G
J G
J G
I F
I F
8
−
−
−
−
−
⋮
⋮
. 58
.5
.5
.5
.5
K
J
J
J.•
J
J
I
(V. 41)
(V. 42)
= 0, pour š < ¶ ≤ -
140
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
4.7. Commandabilité, observabilité
La commandabilité et l’observabilité sont deux concepts développés pour la
représentation d’état des systèmes qui permettent de caractériser respectivement la
possibilité que la commande exerce une influence sur un des états et la possibilité
d’obtenir une certaine information d’un des états. Cependant leur concept peut être utilisé
dans d’autres représentations [Ham02, Djo01, Lad01].
4.7.1. Commandabilité
La commandabilité est une caractéristique d’une représentation d’état d’un
système, ou d’un système en soi même, qui nous indique si une ou plusieurs de ces
dynamiques peuvent être modifiées par les entrées.
Pour que le système fractionnaire soit commandable, il faut que la matrice de
commandabilité [Djo01, Ham01, Ham02]:
1 = [u ou o u … … . . o
soit de rang plein.
u]
(V. 43)
4.7.2. Observabilité
L’observabilité est une caractéristique structurelle complémentaire d’une
représentation d’état d’un système, ou d’un système en soi même, qui nous indique la
capacité pour un système à déterminer l’historique d’un état à partir de la seule
connaissance des variables de sortie mesurées.
Pour que le système fractionnaire soit observable, il faut que la matrice d’observabilité :
1
H 1o
·=G ⋮
G ⋮
F1o
K
J
J
I
(V. 44)
soit de rang plein [Djo01, Ham02].
4.8. Analyse de la stabilité
Dans le cas des systèmes linéaires d’ordre entier représentés par une fonction de
transfert rationnelle, l’analyse des pôles permet de conclure sur la stabilité entrée-sortie
du système. Un système à temps continu est stable si, et seulement si tous ses pôles sont à
partie réelle strictement négative. Dans le cas des systèmes linéaires d’ordre fractionnaire,
141
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
la condition de stabilité dans le sens entrée bornée-sortie bornée est réalisée si la condition
suivante est remplie [Djo01, Ham02]:
»
|arg (^ )| >
2
^ =¼
½Ÿ
,1 ≤ ¶ ≤ -
où ^ sont les pôles du système et ¼ sont les valeurs propres de la matrice o.
(V. 45)
(V. 46)
La figure V.21 représente les régions de stabilité d’un système fractionnaire dans le plan
0Ÿ :
Fig.V.21 : Région de stabilité des systèmes d’ordre fractionnaire
4.9. Méthodes d’approximation des opérateurs d’ordre fractionnaire
La simulation numérique et la réalisation pratique d’un système physique d’ordre
fractionnaire requièrent au préalable son approximation par des fonctions de transfert
d’ordre entier de dimension fini. Durant les dernières années plusieurs algorithmes
d’approximation ont été développés en utilisant les modèles rationnelles continus parmi
lesquelles on trouve [Bet01, Cai01, Idi01, Lad01]:
4.9.1. Méthode de Carlson
La méthode proposée par Carlson est basée sur un processus régulièr de Newton
utilisée pour l’approximation itérative des racines. Le point de départ du procédé
d’approximation est la déclaration des relations suivantes [Idi01, Lad01]:
¾
½Ÿ
(0)
− .(0) = 0
. Ÿ (0) = ¾(0)
On définit ¡ = • et š =
•
(V. 47)
(V. 48)
à chaque itération. A partir de la valeur initiale ¾8 (0) = 1, la
fonction rationnelle approchée obtenue est donnée par :
142
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
¾ (0) = ¾
(0).
(ž − š). ¾
(ž + š). ¾
+ (ž + š). .(0)
+ (ž − š). .(0)
(V. 49)
4.9.2. Méthode de Matsuda
Cette méthode est basée sur l'approximation d'une fonction irrationnelle par une
fonction rationnelle obtenue par la CFE et l'ajustement de la fonction originale dans un
ensemble de points logarithmiquement espacés [Idi01, Lad01]. En supposant que les
points choisis sont :
0® , ³ = 0,1,2, …., l’approximation obtenue est donnée par :
¾(0) = 58 +
où :
5 =
8 (0)
¢
(0 )
(0 − 08 ). (0 − 0 ). (0 − 0 ) … .
5 + 5 + 57 + ⋯ .
(V. 50)
= ¾(0)
0−0
(0) =
(0) − 5
4.9.3. Méthode d'Oustaloup
Dans le but d'implémenter des modèles d'ordre fractionnaire dans le schéma de
commande présenté dans ce travail, nous utiliserons la méthode d’Outsaloup présentée
dans cette section. La méthode est basée sur l'approximation d'une fonction de la forme:
¾(0) = 0 ¿
(V. 51)
par une fonction rationnelle [Ham02, Idi01, Hel05, Nar01]:
@ 1+ 0
Â
À (0) = 1. Á
¾
0
@1+^
(V. 52)
où m ∈ k ¢
En utilisant l'ensemble des formules de synthèse suivantes:
^8 = ¡
8.9
. ÃÄ
Â8 = ¡ 8.9 . ÃÄ
¢
^¢
=
= ¡. Å > 1
Â
^
^¢
=Å>0
Â
(V.53)
(V.54)
(V. 55)
(V. 56)
143
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Â
=¡>0
^
Â
log ( @ )
Â8
3=
log (¡. Å)
m=
(V. 57)
(V. 58)
log (¡)
log (¡. Å)
(V. 59)
ÃÄ = ÇÔ . ÃÈ
où [ÃÈ , Ô ] est la bande de fréquence souhaité.
(V. 60)
4.9.4. Méthode de Charef
La méthode proposée par Charef [Bet01, Ham01, Bek01] est basée sur
l'approximation d'une fonction de la forme :
¾(0) =
1
0
(1 + ^ )Ÿ
où 0 < ¡ < 1
£
(V. 61)
Dans cette méthode la fonction ¾(0) est remplacée par un quotient de polynômes en 0 de
0
∏@ 8 (1 + )
Â
À (0) =
¾
0
∏@ 8(1 + )
^
la forme :
où ^ et  sont les pôles et les zéros de l’approximation.
(V. 62)
Dans le domaine fréquentiel, les coefficients sont calculés pour obtenir un écart maximal
de y dB entre le système original et l’approximation.
On définit les rapports de position en fonction de ¡ et † par:
5 = 10
= 10
Ê
½ 8.(
ʽ
8.Ÿ
5 = 10
Ÿ)
Ê
½ 8.Ÿ.(
Ÿ)
(V. 63)
(V. 64)
(V. 65)
Les pôles et les zéros de la fonction rationnelle approchée sont obtenus en appliquant les
formules suivantes:
^8 = ^£ . √
^ = ^8 . (5 )
 = 5. ^8 . (5 )
(V. 66)
(V. 67)
(V. 68)
144
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Le nombre de pôles et de zéros est lié à la largeur de bande de fréquences souhaitée et le
critère d'erreur utilisé. Sa valeur 3 est par l'expression:
Ã
log ( YZ )
^8
3=Ì
Í+1
log (5 )
(V. 69)
4.10. Le correcteur PIλDδ d’ordre fractionnaire
Les correcteurs utilisés en milieu industriel sont des régulateurs à action
proportionnel, intégral et dérivée (PID). Ils permettent d'engendrer à partir de la sortie du
comparateur un signal proportionnel à l'erreur, à son intégrale et sa dérivée. L'action
Proportionnelle corrige de manière instantanée, tout écart de la grandeur à régler, elle
permet de vaincre les grandes inerties du système. Afin de diminuer l'écart de réglage et
rendre le système plus rapide, on augmente le gain mais, on est limité par la stabilité du
système. L'action intégrale complète l'action proportionnelle. Elle permet d'éliminer
l'erreur résiduelle en régime permanent. La présence de l’action dérivée permet donc
d’augmenter la rapidité du système en augmentant le gain sans être inquiété par la
stabilité. Le comportement du régulateur PID peut être décrit par la fonction de transfert
suivante :
1(0) = <= . Î1 +
1
+ : . 0Ï
:.0
(V. 70)
Les paramètres du correcteur associés à cette structure sont le gain proportionnel <= , la
constante d’intégration : et la constante de dérivation : . Les trois actions possèdent des
caractéristiques différentes et agissent de manière complémentaire.
Pour un système donné, les performances du système bouclé peuvent être améliorées en
insérant dans la boucle de régulation un dispositif visant à corriger les défauts du système
(instabilité, lenteur, erreur statique). Ces dispositifs sont les correcteurs d’ordre
fractionnaire. Ces correcteurs ont pour but de délivrer un signal de commande au système
de manière à préserver les exigences de précision et de stabilité. Le correcteur PIλDδ est
introduit dans la chaîne directe du système, son rôle essentiel consiste à modifier les
performances du système initial suivant le cahier de charges. Sa fonction de transfert est
donnée par [Bet01]:
1Ð (0) = <=Ð +
1
+ : Ð . 0Ò
: Ð. 0Ñ
(V. 71)
145
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
où :
¼ (¼ ≥ 0) et Ô (Ô ≥ 0) sont des nombres réels.
Ce type de correcteur est muni de deux paramètres supplémentaire ¼ et Ô. Ces paramètres
peuvent être employés pour remplir des caractéristiques additionnelles pour l’amélioration
ou l’optimisation des performances ou d’autres conditions intéressantes pour le système à
commander [Bet01, Djo01, Bar01, Che01, Tej01, Yer01, Wan03, Nar01].
Pour ¼ = 1 et Ô = 1, nous obtenons un correcteur PID classique. Les deux cas suivants
(¼ = 1, Ô = 0) et (¼ = 0, Ô = 1) correspondent à des correcteurs PI et PD classiques.
λ
µ
Tous ces types de correcteurs PID classiques sont les cas particuliers du correcteur PI D
d'ordre fractionnaire donné par l’équation (V.71) comme il est indiqué à la figure V.22:
Fig.V.22 : Le correcteur PIλDδ avec les ordres fractionnaires
4.11. Synthèse des paramètres du PIλDδ d’ordre fractionnaire
Les systèmes dynamiques peuvent présenter une précision insuffisante, de
l’instabilité, un temps de réponse trop lent, un dépassement trop important, des vibrations,
une grande sensibilité aux perturbations. Pour cela, il est nécessaire de corriger leurs
comportements à l’aide de l’asservissement. Le rôle de l’ingénieur consiste précisément à
dimensionner un correcteur fractionnaire ayant une fonction de transfert telle que sa
combinaison avec celle du système à asservir assure les performances attendues. Il existe
une multitude de techniques mathématiques qui permettent d’aider à synthétiser un
correcteur d’ordre fractionnaire parmi lesquelles on peut citer :
Méthode basée sur la distribution des pôles [Pet01]
Méthode basée sur la technique de Ziegler-Nichols [Taj01]
Méthode basé sur la minimisation d’un critère de performance [Bet01]
146
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
λ
La méthode proposée pour l’ajustement des paramètres du correcteur PI est basée sur la
minimisation d’un critère de performance. Cette méthode est composée de deux étapes :
Dans la première étape, nous avons utilisés la méthode de Ziegler-Nichols pour
l’ajustement des paramètres <=Ð et : Ð du correcteur PI d’ordre fractionnaire avec ¼ = 1
λ
ce qui signifie l’ajustement des paramètres d'un simple correcteur PI classique. La
deuxième étape consiste à ajuster ¼ minimisant un critère de performance donné par:
j
• = i 2 (E). CE
(V. 72)
8
4.12. Résultat de simulation
Dans cette section, nous présenterons des simulations pour montrer l'efficacité de
λ
la méthode proposée pour le réglage des paramètres de correcteurs PI d’ordre
fractionnaire dans la boucle de commande du système de chauffage par induction.
λ
La fonction de transfert irrationnelle du régulateur PI d’ordre fractionnaire est donné par :
1Ð (0) = <=Ð +
1
: Ð. 0Ñ
(V. 73)
Pour calculer l’intégral complexe • (¼) par l'utilisation de la méthode de Hall-Sartorius
présentée dans l’Annexe D, le signal de l’erreur 2(0) doit être une fonction rationnelle.
Mais la fonction de transfert du correcteur PI d’ordre fractionnaire 1Ð (0) est une fonction
λ
irrationnelle. Pour régler ce problème, La fonction de transfert irrationnelle du correcteur
λ
PI d’ordre fractionnaire est approximée par une fonction rationnelle en utilisant la
méthode d’Oustaloup présentée dans la section 4.10.3.
L’approximation de l’opérateur d’intégration est donnée par :
@ 1+ 0
Â
0 Ñ = 1. Á
0
@1 + ^
(V. 74)
L'approximation de la fonction 1Ð (0), dans une bande de fréquence donnée d'intérêt
pratique [ÃÈ , Ô ], est donnée par:
@ 1+ 0
1
^
1Ð (0) = <=Ð +
.Á
0
1. : Ð
@1+Â
(V. 75)
147
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Pour la tâche de minimisation, nous avons changé les valeurs du paramètre ¼ de 0 à 1 et
pour chaque valeur de ¼ nous calculons l'index correspondant • (¼) de l’intégrale du carré
de l’erreur.
Par utilisation des paramètres <= et : trouvés pour le correcteur PI classique, la fonction
de transfert 1Ð (0) du correcteur PI d’ordre fractionnaire est donnée par :
λ
1Ð (0) = 0.0108205 +
1
1.3863. 10 7 . 0 Ñ
(V. 67)
Le plus petit index • est obtenu pour ¼ = 0.2.
La figure V.23 présente la réponse indicielle du système en boucle fermée :
Step Response
1.4
PI Z-N
PI fractionnaire
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4 Time (seconds)
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4
x 10
Fig.V.23 : Réponse indicielle du système en boucle fermée
Pour la comparaison de l’amélioration des performances du système de commande,
quelques caractéristiques de performance pour le système de commande avec les deux
λ
correcteurs (PI classique, PI ) sont récapitulées dans le tableau V.6 :
Tableau V.6: Comparaison des caractéristiques obtenues en simulation
Régulateur
λ
PI (Z-N)
PI
Dépassement
33%
2.6%
Temps de réponse
27 µs
10 µs
46°
87°
Marge de phase
148
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Nous remarquons que la loi de commande fractionnaire force le système à rejoindre
rapidement les trajectoires de référence malgré la présence des perturbations et la variation
de l’amplitude du signal de référence.
4.13. Test de robustesse
Afin de tester la robustesse du régulateur proposé, on considère une variation de la
charge k et de la tension de ligne l . Les figures V.24.(a) résume les résultats obtenus
quand le système est sujet à une variation de ±30% de la résistance équivalente par
rapport à sa valeur nominale, alors que la figure V.24.(b) présente la réponse du système
vis-à vis d’une variation de la tension d’alimentation de ±10%.
Step Response
système
-30% de R
+30% de R
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0.5
1
1.5
Time (seconds)
2
2.5
système
-10% de Vi
+10% de Vi
1.2
A m p litu d e
A m p litu d e
1.2
0
Step Response
1.4
1.4
3
0
0.5
-5
x 10
(a)
1
1.5
2
Time (seconds)
2.5
3
-5
x 10
(b)
Fig.V.24: Test de robustesse
Dans les deus cas, grâce à sa dynamique rapide, le contrôleur proposé est capable de
forcer le système à revenir rapidement à la consigne imposée avec un temps nécessaire
plus faible et un dépassement négligeable par rapport au PI classique, ce qui prouve que le
contrôleur fractionnaire assure de meilleures performances que le PI en régimes transitoire
et permanent.
5. Conclusion
Dans ce chapitre nous avons présenté trois approches avancées pour améliorer les
performances de la commande d’un onduleur à résonance destiné au chauffage par
induction : la première approche est basée sur les Algorithmes Génétiques, la deuxième
exploite le réglage flou et la dernière utilise la théorie du calcul fractionnaire.
La mise en œuvre de régulateur PI souffre de problèmes de réglage des gains de
différentes actions afin d’obtenir de bonne performances. L’exploitation des Algorithmes
149
Chapitre V
Application des techniques de commande avancée
Génétiques en vue de l’optimisation de ces paramètres permet d’offrir une alternative
intéressante dont l’objectif est de satisfaire les critères de performances désirées.
Le réglage par logique floue est une technique non linéaire ayant des propriétés de
robustesse. Il a la capacité de prendre en charge le traitement des variables imprécises et
de déduire des décisions objectives par une connaissance approximative. Par une
connaissance approximative des sorties et du comportement du système, le régulateur par
logique floue est apte à fournir une commande efficace. Son application à la commande de
l’onduleur limite les oscillations autour de la valeur de référence, assure une stabilité en
boucle fermée et une robustesse face aux variations paramétriques.
λ
La conception du correcteur PI d’ordre fractionnaire est présentée pour l’amélioration de
la qualité de commande et les performances d’un système de commande du système de
chauffage par induction. La méthode de synthèse est basée sur la méthode de ZieglerNichols et la minimisation d’un critère de performance. La formulation de cette méthode
de conception a été dérivée par l’utilisation d’une fonction rationnelle de l’opérateur
d’intégration d’ordre fractionnaire, dans une bande de fréquence donnée. Les résultats de
λ
simulation montrent clairement que le correcteur PI d’ordre fractionnaire améliore les
caractéristiques de fonctionnement du système de commande par minimisation
remarquable du dépassement et élimination des oscillations autour de la valeur de
consigne.
150
Conclusion Générale
Générale
Conclusion générale
Conclusion générale et prespectives
L’objectif visé par notre travail de thèse est la modélisation, la simulation et la
commande d’un système de chauffage par induction alimenté par un onduleur à
résonnance série parallèle type LLC. Cette nouvelle topologie en pont en H rassemble les
avantages de la topologie série et ceux de la topologie parallèle. La première étape de ce
travail permet de présenter la théorie du chauffage par induction. Dans cette partie, nous
avons donné le principe de base du chauffage par induction ainsi que l’action de la
température et l’intensité du champ imposé sur les caractéristiques physiques ( , ) de la
pièce à chauffer. Ensuite, nous avons justifié le choix de la commande MLI employée
pour contrôler la commutation douce durant le processus de chauffage.
Dans la deuxième partie de ce travail, nous avons proposé un schéma équivalent simplifié
simulant le fonctionnement de l’onduleur et la charge série parallèle. Ce modèle est utilisé
pour une analyse mathématique et une exploitation convenable des considérations
pratiques du système étudié.
La troisième partie est réservée à la modélisation dynamique et la commande classique de
l’onduleur proposé. Cette technique de modélisation est basée sur l’approximation du
premier harmonique des variables d’états. Pour améliorer les performances du système
étudié, une loi de commande classique de type proportionnelle intégrale (PI) a été
appliquée. Dans ce cas, les paramètres du régulateur sont déterminés à l’aide de la
méthode du point critique de Ziegler-Nichols.
Pour améliorer les réponses transitoires du système étudié par: augmentation de la
rapidité, limitation du dépassement, une stabilité en boucle fermée, une robustesse aux
perturbations, trois techniques de commande avancée sont introduites. La première est
basée sur l’optimisation des paramètres du régulateur PI par Algorithmes génétiques. La
deuxième technique exploite l’analogie existante entre le régulateur flou et le PI classique.
La dernière approche repose sur la théorie du calcul fractionnaire.
Les résultats obtenus, à partir des différentes simulations numériques, ont permis de
formuler les conclusions suivantes :
La température de la pièce chauffée a une forte influence sur l'environnement
électromagnétique, comme la profondeur de pénétration et la densité de puissance. Audessus de la température de Curie, cette influence est fortement non-linéaire ce qui
complique relativement la modélisation, l’analyse et la commande du système.
151
Conclusion générale
La fréquence de commutation a une influence sur le fonctionnement des onduleurs à
résonance employés pour alimenter le système de chauffage par induction, elle offre la
possibilité de contrôler la dissipation de la puissance à l’intérieur du corps à chauffer et de
choisir le chauffage le mieux adapté.
L’onduleur proposé regroupe les avantages de l’onduleur à résonance série et l’onduleur à
résonance parallèle à savoir : la puissance fournie à la charge est maximale au voisinage
de la fréquence de résonance, l’approximation du premier harmonique est acceptable sous
certains conditions de charge, la commutation à zéro de tension, le gain en courant, etc.
L'étape de validation atteste bien de la grande précision des modèles mathématiques
proposés. Ils peuvent constituer une base solide et fiable pour la conception de lois de
commande robustes et performantes.
Les trois méthodes proposées permettent d'atteindre les objectifs visés, avec des
performances en régime permanent très satisfaisantes et assez comparables : amélioration
des régimes transitoires du convertisseur suite à de fortes perturbations, atténuation des
dépassements et amélioration des temps de réponses.
Les lois de commande basée sur la minimisation d’un critère de performance donnent des
résultats satisfaisants. Néanmoins, ces performances ne peuvent être atteintes que dans le
cas d’une bonne connaissance du système, ce qui rend son application dans le cas des
applications du chauffage par induction très difficile du fait que ses paramètres varient
rapidement dans le temps et peuvent présenter des incertitudes.
Finalement et toujours, avec l’intention de réaliser des performances plus satisfaisantes, on
a ouvert la voie aux chercheurs pour aborder les points suivants :
Utiliser des techniques de commande adaptatives (PI adaptatif, …)
Utiliser les algorithmes génétiques pour extraire les règles de l’adaptation floue
Employer une technique de commande basée sur les réseaux de neurones
152
Annexes
Annexes
Annexe A : Paramètres de simulation
Tableau A.1: Paramètres de simulation [Esp01]
Symboles
valeurs
.
.
%&
%(
)
)
)
)
)
)
&
(
&
(
&
(
.
.
.
.
−
−
−
.
.
−! .
"# /
.
.
.
!
.
! +
!
+
+
+
153
Annexes
Annexe B : Représentation des éléments de base
Le tableau B.1 présente les éléments de base utilisés dans la représentation
graphique des modèles à grands signaux et des modèles à petits signaux [Tia03]:
Tableau B.1 : Représentation des éléments de base
Modèle exact
Axe d
Modèle à
grands
signaux
Axe q
Axe d
Modèle à
petits
signaux
Axe q
La résistance prend la même représentation dans les trois modèles.
154
Annexes
Annexe C : Réduction de l’ordre du système étudié
Les méthodes de réduction de l’ordre des modèles ont été développées afin de
réduire la complexité d’un modèle tout en préservant au mieux son comportement entréessorties. Le but de la réduction de l'ordre des modèles est d'obtenir un nouveau modèle
d'ordre est inférieur au modèle initial tel que:
l'erreur d'approximation soit faible
les propriétés (stabilité) soient préservées,
la procédure de réduction soit stable
Dans notre cas, la fonction de transfert d’ordre 4 du système réduit est obtenu en
appliquons l’algorithme de Safonov proposé dans [Saf01]. Cette fonction est donnée par :
,- ./0 =
2-3 . / 3 + 2-5 . / 5 + 2-6 . / + 2-7
8-9 . / 9 + 8-3 . / 3 + 8-5 . / 5 + 8-6 . / + 8-7
Les pôles du système sont donnés par:
:6,5 = .−0.3169 ± B4.38800. 109
:3,9 = .−0.3086 ± B0.31440. 109
La figure C.1 donne une comparaison des réponses indicielles du modèle original et du
modèle réduit :
Step Response
1400
1200
1000
Amplitude
800
600
400
200
0
-200
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time (seconds)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-3
x 10
Fig. C.1 : Comparaison de la réponse du système original et le système réduit
La principale observation est la grande ressemblance entre le système réel et le système
réduit.
155
Annexes
Annexe D : Méthode de Hall-Sartorius
La méthode de Hall-Sartorius consiste pour un système consiste, pour un système
linéaire, à rechercher un asservissement minimisant l’intégrale du carré de l’erreur d’un
système bouclé, pour une entrée en échelon (figure D.1) [Bet01]:
Fig. C.1: Réponse indicielle d’un système en boucle fermée
H
E = F G 5 .I0. JI
7
La méthode nécessite le calcul de E sous forme littérale mettant en évidence les paramètres
du système et du régulateur afin de déterminer les valeurs de ces paramètres minimisant
l’intégrale.
D’après les propriétés de la transformée de Laplace, E peut s’écrire :
MH
1
E=
. F G./0. G.−/0. J/
2. L. B NMH
où :
G./0 =
O./0
P./0
O./0 = 87 + 86 . / + 85 . / 5 + ⋯ . . +8RN6 . / RN6
P./0 = 27 + 26 . / + 25 . / 5 + ⋯ . . +2R . / R
Sous forme complexe, l’intégrale devient :
SR =
MH
1
O./0. O.−/0
.F
. J/
2. L. B NMH P./0. P.−/0
où :
O./0. O.−/0 = T7 + T6 . / 5 + T5 . / 9 + ⋯ . . +TRN6 . / 5.RN60
156
Annexes
Il vient la formule générale :
SR =
.−10RN6 ∆V
R
. W
2
∆R
avec :
27
[2
5
Z2
Z 9
∆W
=
JXI
R
Z
Z
Z
Y
26
23
25
⋮
26
27
⋯
⋱
⋯
2R
2RN6
⋮
2RN5
2R
2RN3
2RN6
`
_
_
_
2RN9 _
2RN5 _
2R ^
W
∆V
R .a × a0 s’obtient en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de ∆R .a +
10 × .a + 10 et en remplaçant la colonne de la matrice ainsi obtenue par le vecteur cV :
cV = [T7 T6 T5 … … … . . TRN6 ]g
157
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172
Résumé :
Dans le cadre de cette thèse, on s'intéresse plus particulièrement à l’analyse,
modélisation et la commande d’un onduleur à résonance utilisé pour chauffer une pièce
cylindrique en Chrome Vanadium (50CrV4). Le fonctionnement adéquat du système
implique la parfaite régulation de la puissance fournie à la pièce, un chauffage efficace et
un rendement énergétique élevé par minimisation des contraintes électriques et thermiques
sur les interrupteurs durant l’étape de chauffage. Ces performances doivent être
maintenues pour diverses conditions de fonctionnement (variations paramétriques,
variation de la tension continue, etc). Le schéma de commande proposé comprend une
boucle de puissance et un circuit PLL. Pour améliorer les dynamiques transitoires du
système étudié, trois lois de commande avancées sont alors proposées. La première
stratégie est basée sur l’optimisation des paramètres du régulateur PI minimisant
l’intégrale du carré de l’erreur par Algorithmes Génétiques. La deuxième approche
consiste à exploiter l’analogie pouvant exister entre le régulateur flou et le PI classique. La
dernière technique utilise la théorie du calcul d’ordre fractionnaire pour la synthèse des
paramètres du régulateur PIλ. Finalement les performances des régulateurs proposés sont
comparées avec celles d'un PI classique. Les résultats de simulations montrent l'efficacité
des algorithmes de commande proposés.
Mots-clés: Onduleur à résonance, chauffage par induction, régulateur PI, circuit PLL, les
Algorithmes Génétiques, la logique floue, régulateur PIλ fractionnaire
Abstract:
This thesis presents the description, analysis and modeling of a new LLC resonant
inverter for induction heating applications by using asymmetrical voltage cancellation
control. The output power of the proposed inverter has to be controlled by adjusting the
duty cycle of the switches using a power loop circuit. A Phased Locked Loop (PLL) is
used as frequency tracking control to maintain ZVS during the heating process. To
achieve good closed-loop system performance three of robust control techniques are
proposed. In the first one, the PI parameters are optimized by Genetic Algorithm. To
obtain the desired system response, fuzzy logic controller design involves manipulating
parameters is discussed in the second approach. In the last strategy, fractional PIλ
controller is proposed. This controller had three parameters to be tuned in comparison
with the conventional PI. The complete closed loop control model is obtained using small
signal analysis. The validity of proposed controls is verified by numerical simulation.
Results of this simulation are compared to those obtained by using a PI controller. They
show that the improved controllers exhibit a much better behavior.
Keywords: Induction heating, resonant inverter, PLL, PI controller, Genetics Algorithms,
Fuzzy logic controller, fractional PIλ controller