MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE MOHAMED BOUDIAF ORAN FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE THESE Présentée par : HELAIMI M’HAMED Pour obtenir le diplôme DOCTORAT EsEs-Science Spécialité : Electrotechnique Option : Commande électrique THEME CONTRIBUTION A LA COMMANDE D’UN ONDULEUR A RÉSONANCE DESTINE AU CHAUFFAGE PAR INDUCTION Soutenue le : 19/06/2014 devant le jury composé de : Mr. M. BOURAHLA Professeur MB-UST Oran Président Mr. B. BELMADANI Professeur UHB Chlef Encadreur Mr. A. MANSOURI Professeur ENP Oran Examinateur Mr. K. M. ZEMELACHE MCA MB-UST Oran Examinateur Mr. M. CHENAFA MCA ENP Oran Examinateur Mr. G. BACHIR MCA MB-UST Oran Examinateur Année universitaire : 2013-2014 Je tiens à adresser mes plus sincères remerciements aux membres du jury: le Professeur M. BOURAHLA, BOURAHLA le Professeur A. MANSOURI, MANSOURI le Docteur M. CHENAFA, CHENAFA le Docteur G. BACHIR et le Docteur K. M. ZEMELACHE ZEMELACHE. EMELACHE Je remercie tout particulièrement Monsieur Bachir BELMADANI, Professeur à l’Université de Chlef, de m'avoir encadré durant ces années de Doctorat en étant toujours disponible et encourageant, pour son aide et conseils et pour ses grandes valeurs humaines. J’associe à ces remerciements Monsieur Mustapha BENGHANEM BENGHANEM, Docteur à l’université des sciences et de la technologie d’Oran, pour sa disponibilité lors des nombreux échanges de vues qui ont contribué à l’aboutissement de cette thèse. Je voudrais exprimer mes remerciements les plus sincères à Professeur Maamar BETTAYEB, professeur à l’université de Sharjah pour ses directives fort intéressantes et son soutien considérable, qu'il soit scientifique ou moral. Je tiens également à saluer son grand professionnalisme d'encadrement, ainsi que son talent à gérer les divergences d'opinions. Je voudrais dédier cette thèse aux êtres qui me sont les plus chers au monde, les membres de ma famille, mon père, ma mère « allah yarhameha», mes frères et mes sœurs, sœurs ma femme et plus spécialement à mes enfants Abderahmane et Amouna sans oublier ma femme « allah yarhameha » pour sa patience et les sacrifices qu’elle a consentis pendant la préparation de la thèse. Finalement,je remrci beacoup mes amis : Djillali, Djillali Ghanem Ghanem,Kamel em Kamel, Kamel, Latroche, Djamel, Sofiane, Sofiane, Hadj,… Hadj,…. ,…. Liste des symboles Liste des symboles L’induction magnétique Le champ électrique La densité volumique de charge électrique La permittivité diélectrique du vide La densité de courant électrique La perméabilité du vide La conductivité électrique La perméabilité relative du milieu La température La masse volumique La chaleur spécifique La conductibilité thermique La densité volumique de puissance dissipée localement Le flux de chaleur perdu par convection Le flux de chaleur perdu par rayonnement Le vecteur normal unitaire à la surface Le coefficient de convection La température de surface de la charge La température de fluide La constante de Stefan L’émissivité La fréquence du courant imposé dans l’inducteur La résistivité électrique de la pièce considérée La profondeur de pénétration La masse de la pièce à chauffer Liste des symboles La température ambiante La capacité thermique relative du matériau Le temps nécessaire pour le chauffage Le rayon de la pièce à chauffer La longueur de la pièce à chauffer La puissance transmise à la charge La puissance dissipée dans l’inducteur Le rendement électrique , La pulsation " Le facteur de qualité d’un circuit résonant série "# Le facteur de qualité d’un circuit résonant parallèle Les pertes par commutation $ La tension de commutation % Le courant de commutation La fréquence de commutation Le temps de fermeture & Le temps d’ouverture '() ( ) La tension imposée par l’onduleur ,, , , ,- Les angles du palier nul de la tension ( et ) Les coefficients de Fourier . L’amplitude de la tension imposée /0 Le taux de distorsion harmonique Le déphasage 1 La valeur du facteur de forme 2 L’inductance du filtre 3 La capacité du filtre .4 La tension en sortie du redresseur Liste des symboles $ La tension en sortie du filtre LC ( ) ( ) 0( Le courant traversant l’inductance série Le courant traversant l’inducteur ) ( ) Le courant qui traverse la diode Le courant qui traverse le transistor L’inductance mutuelle 5 6 La résistance équivalente 2 6 L’inductance équivalente 7 Le coefficient du couplage 8 La constante de temps 2 L’inductance ramenée au primaire du transformateur 5 La résistance ramenée au primaire du transformateur 3 La capacité ajoutée ( ) La tension aux bornes de la capacité 9 L’impédance totale / Le gain en courant / Le gain en tension # La pulsation du circuit parallèle Le rapport des pulsations 2 Le rapport des inductances 5 La partie réelle de l’impédance totale % La partie imaginaire de l’impédance totale Le déphasage du courant par rapport à la tension : Le nombre de spires de l’inducteur ;( ) Le vecteur d’état '( ) Le vecteur de commande <( ) Le vecteur de sortie Liste des symboles 0 Le rapport cyclique = ,. ,> Le point d’équilibre ?( ) ; Le vecteur d’état perturbé ?( ) ' Le vecteur de commande perturbé ?( ) < Le vecteur de sortie perturbé A @ La phase du signal d’entrée B4 Le facteur de sensibilité du comparateur de phase B ,8 Les paramètres du filtre B Le facteur de sensibilité du VCO A @ La phase issue du VCO C 22 ( ) La fonction de transfert du circuit PLL Le temps de montée D L’amortissement Le temps de réponse 0 Le dépassement , # La pulsation propre C( ) La fonction de transfert du système étudié C ( ) La fonction de transfert du système réduit B' Le gain critique ' B# La période critique Le gain proportionnel La constante d’intégration B#& & B#1 1 Le gain proportionnel optimal La constante d’intégration optimale Le gain proportionnel La constante d’intégration Liste des figures Liste des figures Fig. I.1 : Exemple d’inducteurs utilisés en milieu industriel 1 Fig. I.2 : Schémas équivalents de l’inducteur et la pièce de travail 9 Fig. I.3 : La configuration RLC série 11 ier Fig. I.4 : La configuration RLC parallèle (1 type) 12 Fig. I.5 : La configuration parallèle (2ème type) 13 Fig. I.6 : La configuration série-parallèle type LLC 14 Fig. I.7 : La configuration RLC en demi-pont 14 Fig. I.8 : La configuration RLC série à diviseur asymétrique 15 Fig. I.9 : La topologie LCC en demi-pont 15 Fig. I.10 : La configuration LLC à deux circuits oscillants 16 Fig. I.11 : boucle de régulation de puissance fournie à la pièce traitée 20 Fig. II.1 : Principe de chauffage par induction d’une pièce cylindrique 27 Fig. II.2 : Distribution de la chaleur dans une pièce cylindrique 30 Fig. II.3 : Répartition de la densité de courant depuis la surface 31 Fig. II.4 : L’évolution de en fonction de pour différentes valeurs de 33 Fig. II.5 : L’évolution de en fonction de pour différentes valeurs de 34 Fig. II.6 : La résistivité de l’acier en fonction de la température 34 Fig. II.7 : Forme cylindrique d’un acier 35 Fig. II.8 : Circuits RLC série et parallèle 38 Fig. II.9 : L’évolution du déphasage 39 Fig. II.10 : La commutation dure 41 Fig. II.11 : La commutation dure adoucie 41 Fig. II.12 : La commutation douce (ZVS, ZCS) 41 Fig. II.13 : Formes d’onde de la tension et le courant 43 Fig. II.14 : Formes d’ondes de la tension et du courant 44 Fig. II.15 : Formes d’ondes de la tension et du courant 45 Fig. II.16 : Variation de la tension normalisée en fonction de 46 Fig. II.17 : Variation de la phase en fonction de 47 Fig. II.18 : Variation du taux de distorsion harmonique en fonction de 48 Liste des figures Fig. II.19 : Forme générale de la tension imposée par l’ordinateur Fig. II.20 : L’évolution de Fig. II.21 : L’évolution de ∅ en fonction de et pour = 180° 50 Fig. II.22 : L’évolution de ∅ en fonction de et pour = 90° 50 Fig. II.23 : Variation de Fig. III.1 : Onduleur à résonance série-parallèle type LLC 53 Fig. III.2 : Redresseur triphasé type PD3 54 Fig. III.3 : Le filtre LC 55 Fig. III.4 : Schéma détaillé de la commande utilisée 56 Fig. III.5 : Principe de la boucle de puissance 57 Fig. III.6 : Différentes phases de fonctionnement 58 Fig. III.7 : Principales phases de fonctionnement de l’onduleur 59 Fig. III.8 : Phase 01 60 Fig. III.9 : Phase 02 61 Fig. III.10 : Phase 03 61 Fig. III.11 : Phase 04 62 Fig. III.12 : Phase 05 62 Fig. III.13 : Phase 06 63 Fig. III.14 : Phase 07 63 Fig. III.15 : Phase 08 64 Fig. III.16 Forme d’onde des Tensions et courants aux niveaux des interrupteurs 65 Fig. III.17 : Transformateur avec secondaire court-circuité 67 Fig. III.18 : Une charge avec un transformateur d’adaptation 69 Fig. III.19 : Schéma équivalent simplifié 69 Fig. III.20 : Variation du module de 72 Fig. III.21 : Variation de la phase en fonction de 72 Fig. III.22 : Forme d’onde de la tension imposée aux bornes du circuit oscillant 73 Fig. III.23 : Variation du module de Fig. III.24 : Variation du module de Fig. III.25 : Variation du module de en fonction de et pour = 180° en fonction de l’angle en fonction de . . 48 49 51 en fonction de 75 en fonction de 75 en fonction de 75 Liste des figures Fig. III.26 : Variation du gain en tension en fonction de 76 Fig. III.27 : Variation de la phase du gain en tension en fonction de 77 Fig. III.28 : L’influence du rapport des inductances sur le gain en tension 77 Fig. III.29 : Variation du gain en courant fonction de 78 Fig. III.30 : Variation de l’argument du gain en courant en fonction de 79 Fig. III.31 : Evolution du rapport !" en fonction de # 82 Fig. III.32 : Evolution du rapport gain en courant en fonction de !" 82 Fig. III.33 : Forme d’onde de la tension $ (&) et le courant () (&) 86 Fig. III.34 : Formes d’ondes de la tension *+ (&) et le courant ((&) 86 Fig. III.35 : La commutation à zéro de tension 87 Fig. III.36 : Forme d’onde de : $ (&) et ((&) pour Fig. IV.1 : Les différentes étapes de la modélisation 92 Fig. IV.2 : Analyse topologique de l’onduleur 92 Fig. IV.3 : Modèle à grands signaux 95 Fig. IV.4 : Comparaison des réponses des différentes sorties du système 96 Fig. IV.5 : Modèle à petits signaux 99 Fig. IV.6 : Le schéma bloc du convertisseur 101 Fig. IV.7 : Diagramme de Bode des deux fonctions de transfert 102 Fig. IV.8 : Modèle à petits signaux de la commande proposée 103 Fig. IV.9 : Schéma bloc de la commande PLL 103 Fig. IV.10 : La réponse fréquentielle du système en boucle ouverte 105 Fig. IV.11 : Réponse indicielle du système en boucle fermée 107 Fig. IV.12 : Test de robustesse 108 Fig. V.1 : Organigramme d’un Algorithme Génétique 112 Fig. V.2 : Croisement standard en un seul point 113 Fig. V.3 : Croisement standard en deux points 113 Fig. V.4 : Opérateur de mutation 114 Fig. V.5 : Roue de sélection naturelle 115 Fig. V.6 : Système de commande à retour unitaire 117 Fig. V.7 : Réponse indicielle du système en boucle fermée 120 = 45°, = 90°, = 135° 88 Liste des figures Fig. V.8 : Test de robustesse 121 Fig. V.9 : Configuration interne d’un régulateur flou 125 Fig. V.10 : Les fonctions d’appartenance 126 Fig. V.11 : Les fonctions d’appartenance 127 Fig. V.12 : Méthode d’interférence Max-Min 128 Fig. V.13 : Méthode d’interférence Max-Prod 129 Fig. V.14 : Méthode d’interférence Som-Prod 130 Fig. V.15 : Principe de la défuzziffication par valeur maximale 131 Fig. V.16 : Principe de la défuzziffication par centre de gravité 131 Fig. V.17 : Schéma bloc de la commande proposée 132 Fig. V.18 : Cinq fonctions d’appartenance 133 Fig. V.19 : Réponse indicielle du système en boucle fermée 134 Fig. V.20 : Test de robustesse 135 Fig. V.21 : Région de stabilité des systèmes d’ordre fractionnaire 142 Fig. V.22 : Le correcteur PIλDδ avec les ordres fractionnaires 146 Fig. V.23 : Réponse indicielle du système en boucle fermée 148 Fig. V.24 : Test de robustesse 149 Fig. C.1 : Comparaison de la réponse du système original et le système réduit 155 Fig. D.1 : Réponse indicielle d’un système en boucle fermée 156 Liste des tableaux Liste des tableaux Tableau I.1 : Profondeur de pénétration [ ] Tableau IV.1 : Paramètres des régulateurs obtenus à partir du point critique 107 Tableau IV.2 : Caractéristiques de la réponse indicielle 108 Tableau V.1 : Paramètres de l’AG 118 Tableau V.2 : Paramètres du régulateur PI 119 Tableau V.3 : Comparaison des caractéristiques obtenues en simulation 120 Tableau V.4 : Description par matrice d’interférence 133 Tableau V.5 : Comparaison des caractéristiques obtenues en simulation 134 Tableau V.6 : Comparaison des caractéristiques obtenues en simulation 148 Tableau A.1 : Paramètres de simulation 153 Tableau B.1 : Représentation des éléments de base 154 32 Tables des matières Table des matières Introduction générale 1 Chapitre I : Etat de l’art sur le chauffage par induction 1. Introduction 5 2. Historique 5 3. Classification des techniques de chauffage par induction 6 3.1. Le chauffage direct 6 3.2. Le chauffage indirect 6 4. Classification des matériaux 6 5. Classification des inducteurs 7 6. Classification des techniques de modélisation de la charge 8 6.1. La modélisation numérique 8 6.1.1. Une partie électromagnétique 8 6.1.2. Une partie thermique 8 6. 2. Modélisation par schéma équivalent simplifié 8 6.2.1. Modèle équivalent série 9 6.2.2. Modèle équivalent parallèle 9 6.2.3. Modèle équivalent d’un transformateur 10 7. Topologies des onduleurs utilisés au chauffage par induction 7.1. Classification des onduleurs à résonances 7.1.1. Les onduleurs en pont en H 10 11 11 a. La configuration RLC série 11 b. La configuration RLC parallèle 12 c. La configuration série-parallèle type LLC 13 7.1.2. Les onduleurs en pont en demi-pont 14 a. La configuration RLC série à diviseur capacitif symétrique 14 b. La configuration RLC série à diviseur capacitif asymétrique 15 c. La configuration série-parallèle type LCC 15 Tables des matières 7.1.3. Les onduleurs à deux circuits oscillants 8. Classification des techniques de commande des onduleurs à résonance 8.1. La commande à fréquence fixe 16 16 17 8.1.1. Commande à rapport cyclique variable 17 8.1.2. Commande par déphasage symétrique 17 8.1.3. Commande par déphasage asymétrique 17 8.2. La commande à fréquence variables 17 8.2.1. Commande à rapport cyclique variable et fréquence variable 17 8.2.2. Commande par déphasage symétrique et fréquence variable 18 8.2.3. Commande par déphasage asymétrique et fréquence variable 18 9. Classification des techniques de modélisation des onduleurs à résonance 18 9.1. La méthode des générateurs moyens 19 9.2. La méthode du modèle d’état moyen 19 9.3. La méthode en petits signaux 19 10. Classification des lois de commande 19 10.1. Les régulateurs classiques 20 10.1.1. Le régulateur à action intégrale (I) 21 10.1.2. Le régulateur à action proportionnelle-intégrale (PI) 21 10.2. Les régulateurs avancés 21 10.2.1. Le régulateur optimal (LQR) 10.2.2. La commande robuste ( ∞ ) 10.2.3. La commande par mode glissant 22 22 22 11. Positionnement de nos travaux par rapport à l’état de l’art 23 12. Conclusion 24 Chapitre II : Théorie du chauffage par induction 1. Introduction 26 2. Description de la charge 26 3. Principes physiques 27 4. Modélisation des Phénomènes physiques 28 4.1. Phénomènes électromagnétiques 28 Tables des matières 4.2. Phénomènes thermiques 29 4.2.1. Convection thermique 29 4.2.2. Rayonnement 30 5. Profondeur de pénétration 30 5.1. Influence de la fréquence 32 5.2. Influence de la perméabilité relative 32 5.3. Influence de la résistivité 34 6. Puissance nécessaire au traitement thermique 35 7. Calcul simplifié de la puissance dissipée par effet Joule 35 8. Rendement électrique 37 9. Facteur de puissance 37 10. Caractéristique des circuits résonants 38 10.1. Fréquence de résonance 39 10.2. Facteur de qualité 40 11. Types de commutation des semi-conducteurs 40 11.1. La commutation dure 41 11.2. La commutation dure adoucie 41 11.3. La commutation douce 41 12. Fréquence de commutation 42 13. Pertes par commutation 42 14. Justification du choix de la technique de commande 43 14.1. Commande à rapport cyclique variable et fréquence variable 43 14.2. Commande par déphasage symétrique et fréquence variable 44 14.3. Commande par déphasage asymétrique et fréquence variable 45 14.4. Taux de distorsion harmonique 47 14.5. Analyse de la ZVS 48 15. Conclusion 51 Chapitre III : Onduleur à résonance type LLC 1. Introduction 53 2. Description de l’onduleur proposé 53 Tables des matières 2.1. Description du redresseur 54 2.2. Description du filtre 55 3. Stratégie de commande à MLI de l’onduleur proposé 56 4. Analyse de fonctionnement 57 5. Calcul simplifié des courants dans les semi-conducteurs 64 6. Schéma équivalent simplifié de l’onduleur et la pièce à chauffer 67 7. Analyse de l’impédance totale 71 8. Approximation du premier harmonique 73 9. Analyse du gain en tension 76 10. Analyse du gain en courant 78 11. Calcul de 79 et 12. Calcul de la puissance fournie au récepteur 80 13. Considérations pratiques 81 14. Algorithme de conception du circuit LLC 83 15. Simulation et discussion 85 16. Conclusion 89 Chapitre IV: Modélisation et commande classique du système 1. Introduction 90 2. Démarche de construction d’un modèle à petits signaux 90 2.1. Analyse topologique du convertisseur 92 2.2. Modèle exact 93 2.3. Approximation du premier harmonique 94 2.4. Modèle moyen grands signaux 94 2.5. Validation du modèle moyen à grands signaux 96 2.6. Détermination du point d’équilibre 97 2.7. Perturbation et linéarisation du système 98 2.8. Modèle à petits signaux 99 2.9. Calcul de la fonction de transfert du système 101 2.10. Validation du modèle à petits signaux 101 3. Modèle à petits signaux de la commande proposée 102 Tables des matières 3.1. Modélisation de la commande PLL 103 4. Analyse fréquentielle du système étudié 105 5. La structure du correcteur PI 106 6. Conclusion 109 Chapitre V : Application des techniques de commande avancée 1. Introduction 110 2. L’approche basée sur les Algorithmes Génétiques 111 2.1. Généralités sur les Algorithmes Génétiques 111 2.1.1. Codage des variables 112 a. Codage binaire 112 b. Codage réel 112 2.1.2. Opérateur de croisement 113 a. Croisement en un point 113 b. Croisement en deux points 113 c. Croisement de type barycentre 114 2.1.3. Opérateur de mutation 114 2.1.4. Fonction d’adaptation 114 2.1.5. Opérateur de sélection 115 a. La sélection par roulette artificielle 115 b. La sélection par rang 116 2.1.6. Critères d’arrêt 116 2.2. Formulation du problème d’optimisation 116 2.3. Application des AG à l’optimisation des paramètres du PI 118 2.4. Résultats de simulation 119 2.5. Test de robustesse 120 3. Approche basée sur la logique floue 121 3.1. Variables linguistiques 122 3.2. Fonctions d’appartenance 122 3.3. Sous-ensembles flous 122 3.4. Opérations sur les sous-ensembles flous 123 Tables des matières 3.4.1. Egalité 123 3.4.2. Complément 123 3.4.3. Inclusion 123 3.4.4. Union 123 3.4.5. Intersection 124 3.5. Règles floues 124 3.6. Inférences floues 124 3.6.1. Inférence floue de Mamdani 124 3.6.2. Inférence floue de Sugeno 125 3.7. Structure de base d’un régulateur flou 125 3.7.1. La fuzzification 126 3.7.2. Inférences 126 a. Méthode du Max-Min 127 b. Méthode du Max-Prod 129 c. Méthode du Som-Prod 130 3.7.3. La diffuzzification 130 a. Défuzzification par maximum 131 b. Défuzzification par centre de gravité 131 3.8. Conception du contrôleur floue pour l’onduleur à résonance type LLC 132 3.9. Résultats de simulation 134 3.10. Test de robustesse 135 4. Approche basée sur le calcul fractionnaire 135 4.1. Définition de Grünwald-Letnikov 136 4.2. Définition de Caputo 136 4.3. Définition de Riemann-Liouville 137 4.4. Transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire 138 4.5. Equations différentielles d’ordre fractionnaire et fonctions de transfert 138 4.6. Représentation dans l’espace d’état 139 4.6.1. Forme canonique commandable 140 4.6.2. Forme canonique observable 140 4.7. Commandabilité, observabilité 141 4.7.1. Commandabilité 141 4.7.2. Observabilité 141 Tables des matières 4.8. Analyse de la stabilité 141 4.9. Méthodes d’approximation des opérateurs d’ordre fractionnaire 142 4.9.1. Méthode de Carlson 142 4.9.2. Méthode de Matsuda 143 4.9.3. Méthode d'Oustaloup 143 4.9.4. Méthode de Charef 144 4.10. Le correcteur PIλDδ d’ordre fractionnaire 145 4.11. Synthèse des paramètres du correcteur PIλDδ d’ordre fractionnaire 146 4.12. Résultat de simulation 147 4.13. Test de robustesse 149 5. Conclusion 149 Conclusion générale 151 Annexes 153 Références 158 Introduction Générale Générale Introduction générale Introduction générale Le chauffage par induction est un phénomène physique très utilisé en milieu industriel pour le préchauffage des pièces métalliques conductrices de l’électricité avant mise en forme à chaud, pour les traitements thermiques ou encore pour les opérations de soudure entre pièces métalliques. Son principe est basé sur l’application directe de deux lois physiques la loi de Lenz et l’effet Joule. Par rapport aux techniques classiques, le chauffage par induction présente de nombreux avantages, entre autres [Lab01]: Une vitesse de chauffage très élevée, un coût très faible, une meilleure distribution de la chaleur, une possibilité de contrôler la zone de chauffage, une grande souplesse d'utilisation par le choix des températures de traitement et une réponse parfaite aux exigences industrielles. Généralement, le système comprend essentiellement: une source d’alimentation haute fréquence, un ou plusieurs inducteurs de chauffage, un transformateur d’adaptation et un système de commande et de régulation de la puissance transmise à la charge. Le développement de la conversion d’énergie électrique, nourri par l’apparition puis l’amélioration des semi-conducteurs hautes fréquences, les onduleurs à résonance tiennent une place importante dans les applications du chauffage thermique. Ce sont des montages électroniques à circuit oscillant série ou parallèle dans lesquels la résonance est exploitée pour minimiser les contraintes électriques et thermiques sur les interrupteurs, réduire les harmoniques et minimiser les pertes par commutation [Ess01]. Ces onduleurs demeurent parmi les convertisseurs les plus délicats à mettre en œuvre du fait de leur structure particulière. On peut distinguer : L’onduleur de tension et l’onduleur de courant. La technologie des onduleurs de tension est la plus utilisée dans la plupart des systèmes industriels. Dans cette structure l’inducteur et la pièce à traiter sont placés en série avec le condensateur de compensation. Pour contrôler la puissance fournie à la pièce à traiter de manière rapide et précise, plusieurs techniques de commande à MLI ont été adoptées. Ces techniques de commande peuvent être regroupées en deux familles : La commande à fréquence fixe et la commande à fréquence variable. La deuxième famille est la plus utilisée en milieu industriel. Elle assure un fonctionnement stable par le maintien de la commutation douce durant l’étape de chauffage. Trois techniques de commande peuvent être classées dans cette famille: La commande à rapport cyclique variable et fréquence variable, la commande par déphasage symétrique et fréquence variable et la commande par déphasage asymétrique et fréquence 1 Introduction générale variable. Des études théoriques et pratiques révèlent que la troisième technique de commande nécessite une fréquence de commutation minimale pour assurer la ZVS [Bur01]. Dans ce cas, le contrôle de la puissance fournie à la charge se fait par action sur l’angle du palier nul de la tension imposée par l’onduleur et par action sur la fréquence de commutation. Problématique et contribution Dans les applications du chauffage par induction, la résistivité électrique perméabilité magnétique relative et la de la pièce à traiter dépendent fortement de la nature du matériau et des conditions imposées (température, intensité du champ magnétique). Au-dessus de la température de Curie, cette influence est fortement non-linéaire ce qui entraine une variation de la profondeur de pénétration et la densité de puissance. Les onduleurs à résonance sont des systèmes à structure variable, de ce fait, leur comportement est fortement non linéaire ce qui complique relativement leur analyse, modélisation et commande. Dans ce travail, on s’intéresse aux problèmes d’analyse, modélisation et commande d’une nouvelle classe des onduleurs à résonance en pont en H destiné au chauffage par induction. Cette topologie basée sur un circuit oscillant série-parallèle type LLC regroupe les avantages de l’alimentation à résonance série et le circuit bouchon. Si le modèle mathématique développé est tout à fait convenable pour simuler le fonctionnement du système il est, du fait de sa complexité, loin d’être approprié à la synthèse des lois de commande. Par conséquent, des versions simplifiées, mais assez précises, en ont été proposées dans la littérature. La version retenue dans ce travail est celle qui découle d’un développement harmonique au premier ordre du modèle de connaissance. Le problème de régulation de la puissance fournie à la pièce traitée a fait l’objet de nombreuses études, allant des plus simples (PI) aux plus évoluées (H ∞ ). Ces contributions s’appuient sur l’hypothèse que la charge du convertisseur est invariante et connue, ce qui n’est généralement pas le cas. Dans ce travail, nous développerons un schéma de commande à retour de sortie pour réguler la puissance fournie à la charge d’un convertisseur à résonance série-parallèle type LLC tout en préservant la stabilité en boucle fermée et la commutation douce. Ce schéma comprend deux boucles : une boucle de puissance est un circuit PLL. Pour améliorer les performances transitoires du système en boucle fermée trois approches avancées ont été introduites. La première approche est basée sur les Algorithmes Génétiques. Cette technique est employée pour optimiser les 2 Introduction générale paramètres du régulateur PI minimisant un critère quadratique. Ce critère est déterminé par la méthode de Hall-Sartorius mettant en évidence les paramètres du système et du régulateur PI. La deuxième approche est basée sur l’intelligence artificielle. Dans cette technique un régulateur basé sur la logique floue est employé. Il est composé de trois blocs distincts : La fuzzification, l’interférence et la défuzzification. Ce contrôleur est un candidat idéal pour la commande des systèmes de chauffage par induction, malheureusement il n'existe pas de méthodes précises pour la détermination de la stratégie de réglage. Cette dernière doit être construite par tâtonnement à l'aide des tests sur le système à régler. D'un autre côté, cette approche présente une bonne robustesse aux variations paramétriques et aux bruits de mesure, leurs conditions informatiques, le temps d'élaboration et le besoin de la connaissance expert du système, limitent les applications actuelles à une gamme limitée et parfois bien spécifique. La dernière approche porte essentiellement sur la contribution au développement d’une loi de commande de type PIλ en utilisant les concepts de la théorie du calcul d’ordre fractionnaire. L'intérêt de ce type de correcteur est justifié par une meilleure flexibilité, puisqu'il a un paramètre supplémentaire λ. Dans ce cas, la stratégie d’ajustement adoptée est basée sur la minimisation d’un critère de performance. Présentation des chapitres Dans notre travail, nous proposons la modélisation, simulation et la commande d’un onduleur à résonance série-parallèle type LLC destiné au chauffage par induction. Le travail est composé de 05 chapitres : Dans le chapitre 1 nous avons présenté dans un premier temps les éléments qui constituent le système de chauffage par induction; à savoir, les matériaux, les différents types d’inducteurs et leurs schémas équivalents proposés dans la littérature. On a parlé brièvement sur les différentes topologies des onduleurs à résonance destinés au chauffage par induction, leurs techniques de commande ainsi que leurs démarches de modélisation. Enfin, nous avons évoqué l’état de l’art des principales lois de commande. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation du principe de base du chauffage par induction et les paramètres qui caractérisent son fonctionnement à savoir la profondeur de pénétration, la fréquence de commutation, la puissance nécessaire, etc. Ensuite, nous avons montré la dépendance des paramètres de la pièce utilisée dans cette application en 3 Introduction générale fonction de la température de chauffage et l’intensité du champ magnétique imposé. Après avoir rappelé la théorie des circuits oscillants utilisée pour étudier les onduleurs à résonance, nous avons justifié le choix de la technique de commande par une analyse détaillée de la commutation à zéro de tension dans les onduleurs à résonance série. Dans le troisième chapitre, nous avons proposé une nouvelle classe des onduleurs à résonance destiné au chauffage par induction. Cette topologie est basée sur un circuit oscillant série-parallèle type LLC. Après avoir analysé son fonctionnement durant une période de fonctionnement, nous avons proposé un schéma équivalent simplifié qui permet de simuler le fonctionnement de l’onduleur ainsi que son analyse mathématique. Enfin, nous avons donné un algorithme de conception du circuit LLC. La première partie du chapitre 4 vise à présenter la méthode de modélisation et les difficultés qu'elle présente. En effet, elle consiste à transformer le modèle non linéaire à un modèle à grands signaux puis à linéariser le modèle obtenu autour d'un point de fonctionnement. Finalement, l'ensemble des modèles théoriques proposés sont vérifiés par simulation, afin de conclure sur leur précision. La deuxième partie de ce chapitre est réservée à la synthèse d’une loi de commande classique de type PI. Initialement, la boucle de fréquence (PLL) utilisée en boucle fermée du système est brièvement détaillée. Ensuite nous avons analysé la stabilité du système obtenu. Enfin, les deux coefficients du régulateur PI sont déterminés à l’aide de la méthode de Ziegler-Nichols. Le dernier chapitre est consacré à l’étude de quelques méthodes appliquées à la commande de l’onduleur afin d'obtenir un système de commande de haute performance. Dans la première partie, un Algorithme Génétique est utilisé pour optimiser les paramètres du régulateur PI minimisant l’intégrale du carré de l’erreur. Ensuite, après avoir donné la théorie de la logique floue ainsi que la motivation du choix de la structure interne du contrôleur, nous synthétisons un contrôleur flou basé sur le modèle à petits signaux du convertisseur. Il s’agit d’exploiter l’analogie entre notre contrôleur et le PI classique pour le réglage des gains en utilisant les méthodes de mise en œuvre de ce dernier. La dernière partie de ce chapitre couvre les bases théoriques des opérateurs d’ordre fractionnaire nécessaires pour la conception d’un régulateur PIλ d’ordre fractionnaire pour la commande de l’onduleur. Une conclusion générale de ce travail ainsi que des perspectives clôturent ce mémoire. 4 Chapitre I Etat de l’A l’Art sur le Chauffage par Induction Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction 1. Introduction Grâce aux recherches des vingt dernières années, de nombreux procédés industriels nécessitant des opérations de chauffage font appel à des dispositifs de chauffage par induction. Les applications sont très nombreuses, qu’il s’agisse de traitement thermique de surface, de fusion, soudage, brasage, etc. Le chauffage par induction électromagnétique fait partie des techniques électrothermiques qui permettent de chauffer un matériau sans contact direct avec une source d’énergie électrique [Wan01, Pas01, Lab01, Car01]. Quelle que soit la nature des applications industrielles, le chauffage par induction présente un certain nombre d’avantages intrinsèques qui explique son développement croissant [Tou01]. Par rapport aux techniques classiques, le chauffage par induction est précis grâce à un contrôle de la température, du temps et de la vitesse de chauffage de la pièce à traiter. Cela se traduit par une amélioration de la qualité et de la productivité. Dans ce chapitre nous présentons dans un premier temps les éléments qui constituent le système de chauffage par induction ; à savoir, les matériaux, les différents types d’inducteurs et leurs schémas équivalents proposés. Nous parlerons brièvement sur les différentes topologies des onduleurs à résonance destinés au chauffage par induction, leurs techniques de commande ainsi que leurs méthodes de modélisation. Enfin, nous évoquerons l’état de l’art des principales lois de commande. 2. Historique En 1831, Faraday découvre le phénomène d'induction dont les lois sont précisées par Foucault en 1851. Vers 1860, Maxwell propose une théorie générale de l’électromagnétisme classique qui pose les fondements de la théorie moderne. En 1885, les premières recherches sur les effets thermiques commencèrent, mais les principes de base du chauffage par induction ont été compris et appliqués dans les processus industriels depuis les années 1920 [Sze01]. A partir de 1925, l’effet de peau due à une concentration périphérique des courants de Foucault dans les masses métalliques élargit considérablement les applications du chauffage par induction. En 1957, les américains ont développé un dispositif d’électronique de puissance à base de thyristor, marquant le début de la révolution technologique du chauffage par induction. A partir de 1980 et grâce à l’évolution de la technologie les systèmes de chauffage par induction sont devenus très complexes et très courants. Aujourd’hui, le recours aux 5 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction techniques de simulations numériques a permis de substituer le calcul à une large part des essais [Pas01, Car01, Cla01]. 3. Classification des techniques de chauffage par induction Le chauffage par induction est une méthode de chauffage rapide et homogène destinée à des applications de fabrication qui exigent de coller ou de transformer les propriétés de métaux ou d’autres matériaux conducteurs. Ce procédé repose sur des courants électriques induits au sein de la matière en vue de produire de la chaleur. Bien que les principes de base de l’induction soient bien connus, les récents progrès en matière de technologie des semi-conducteurs ont transformé le chauffage par induction en une méthode remarquablement simple et rentable pour les applications de collage, de traitement, de chauffage ou d’essai de matériaux. En pratique, on distingue deux techniques de chauffage par induction : 3.1. Le chauffage direct : Dans ce type de chauffage, le corps à traiter (conducteur de l’électricité et de la chaleur) est placé dans un champ magnétique variable dont les variations induisent, d’après la loi de Lenz, une force électromotrice donnant naissance a des courants de Foucault. Le corps s’échauffe sans contact par l’effet Joule dû aux courants induits. 3.2. Le chauffage indirect : Dans ce type de chauffage, la pièce à chauffer est peu conductrice de l’électricité ou de la chaleur. Elle est placée en contact avec un élément sensible à l’induction qui s’échauffe et lui transmet sa chaleur. 4. Classification des matériaux Sur la base du comportement en présence d’un champ magnétique d’excitation, il existe quatre principaux types de matériaux: Les matériaux diamagnétiques Les matériaux paramagnétiques Les matériaux ferrimagnétiques Les matériaux ferromagnétiques Les matériaux utilisés pour l’électrotechnique aux fréquences industrielles sont de type ferromagnétique, à cause de leur susceptibilité et aimantation à saturation élevées. Pour les fréquences au delà de 10 kHz, les matériaux ferrimagnétiques sont généralement employés. Bien que ces derniers possèdent une aimantation à saturation plus faible, ils présentent des pertes magnétiques significativement plus basses, ce qui est important lorsque la fréquence d’opération augmente. Une classe de matériaux ferromagnétiques 6 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction peut être utilisée aux fréquences élevées, il s’agit des matériaux amorphes qui sont généralement retrouvés sous forme de tôles très minces. Ils présentent une induction à saturation intermédiaire entre celle des ferrites et celle des tôles conventionnelles. Les matériaux magnétiques sont généralement séparés en deux classes : les matériaux doux et les matériaux durs. Les matériaux magnétiques doux peuvent être aimantés à l’aide de champs magnétiques faibles. Les matériaux magnétiques durs conservent leur état d’aimantation initial même lors de l’application d’un champ magnétique relativement élevé [Wan01, Tou01]. 5. Classification des inducteurs L’inducteur est l’élément principal dans les applications du chauffage par induction. Il est généralement fabriqué à partir d’un tube de cuivre à haute conductibilité. La taille et la forme de l’inducteur doivent correspondre à la forme de la pièce à chauffer et aux variables du procédé. On distingue : L’inducteur à spires simples L’inducteur à spires multiple L’inducteur à spires hélicoïdal L’inducteur à spires ronds L’inducteur à spires carrés Une bonne conception de l’inducteur permet d’obtenir une évolution de la chaleur adéquate et de maximiser le rendement du générateur de chauffage par induction, et facilite par ailleurs la mise en place et l’enlèvement de la pièce. Suivant le type d’application recherché, différents types d’inducteurs seront choisis. La figure I.1 illustre quelques exemples d’inducteurs utilisés en milieu industriels : Fig.I.1 : Exemple d’inducteurs utilisés en milieu industriel 7 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction 6. Classification des techniques de modélisation de la charge La modélisation est une technique qui permet d’établir un modèle explicatif d’un phénomène physique en recensant les variables et l’importance relative de chacune de ces variables. Ce modèle présente la structure ainsi que les caractéristiques essentielles du système réel. Dans la littérature, il existe différentes études faites pour trouver un modèle mathématique qui représente le comportement dynamique de l’inducteur et la pièce à chauffer. On distingue: 6.1. La modélisation numérique Les études portées sur le sujet d’un point de vue numérique sont nombreuses [Wan01, Pas01, Cla01, Lab01, Car01, Kol01, Blu01]. Il s’agit de coupler les phénomènes électromagnétiques, la diffusion de la chaleur, ainsi que le comportement mécanique de la pièce à traiter. [Pas01] divise le problème type de chauffage par induction en deux parties : 6.1.1. Une partie électromagnétique Cette partie est régie par les équations de Maxwell. Ces équations traduisent sous forme locale différents théorèmes (Gauss, Ampère, Faraday) qui régissaient l'électromagnétisme. 6.1.2. Une partie thermique Cette partie est régie par l’équation de la chaleur et ses conditions aux limites. Le champ de température est calculé connaissant les sources thermiques issues du problème électromagnétique. Deux types de transfert de la chaleur sont considérés : Convection Rayonnement De nombreux logiciels ont été développés pour simuler les phénomènes physiques des systèmes de chauffage par induction parmi lesquels on peut trouver le FLUX2D, FLUX3D, COMSOL, etc. 6. 2. Modélisation par schéma équivalent simplifié Les modèles électriques ont été proposés pour simplifier l’analyse mathématique de l’inducteur et la pièce à chauffer [Kaz01, Kha01, Ahm01, Muc01, Hel02]. La figure I.2 présente les 03 circuits électriques simplifiés simulant le fonctionnement du chauffage par induction : 8 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction Fig. I.2 : Schémas équivalents de l’inducteur et la pièce de travail Dans cette partie, nous présentons les principaux modèles mathématiques proposés dans la littérature qui vont nous servir par la suite à l’analyse et l’élaboration des algorithmes de commande. 6.2.1. Modèle équivalent série Le premier modèle est appelé modèle de tension [Kaz01, Kha01, Pim01]. L’inducteur et la pièce de travail sont représenté par un circuit RL série. Cette formulation est très importante sur le plan pratique; en effet on maitrise plus facilement et plus précisément la tension que le courant. La puissance apparente dans le cas du modèle série est donnée par : = + . . . (I. 1) Le facteur de puissance est exprimé par : = +( . ) (I. 2) 6.2.2. Modèle équivalent parallèle Le deuxième modèle est appelé modèle en courant. [Mur01] représente l’inducteur et la pièce à chauffer par un circuit RL parallèle. Dans ce cas, la puissance apparente est égale à : = . 1 + 1 . . (I. 3) 9 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction Et le facteur de puissance devient: = . 1 1 + (I. 4) 1 . En pratique, pour un cylindre de longueur ℓ et de rayon !, les valeurs de données par les formules approximatives suivantes [Gui01]: R #$ ≈ ρ. N . (1 − e+ ≈ avec, ,.-. / 10. 6. 78 . 9 . : 9. : + 10. ℓ: 0. .1.2. 3.ℓ et sont (I. 5) (I. 6) 9: nombre de spires de l’inducteur ℓ: : la longueur de l’inducteur :: le rayon de l’inducteur 6.2.3. Modèle équivalent d’un transformateur Dans ce modèle l’agencement de l’inducteur et la pièce à chauffer est considéré comme un transformateur monophasé avec un secondaire court-circuité [Kwo01, Ahm01, Hel04]. Ahmed à étudier l’intérêt de ce modèle par rapport aux configurations précédentes. Dans son article [Ahm01] il prend en compte le couplage magnétique entre l’inducteur et la pièce à chauffer et il calcule le coefficient de couplage et la constante de temps en fonction des grandeurs mesurées. L’exploitation de la théorie des transformateurs, l’inducteur et la pièce sont modélisés par une combinaison RL en série. 7. Topologies des onduleurs utilisés au chauffage par induction L’électronique de puissance est aujourd’hui une discipline en plein essor, notamment grâce aux nouveaux champs d’applications liés au développement industriel. Elle permet une utilisation plus souple et plus adaptée de l’énergie électrique, conforme aux besoins actuels des utilisateurs. Le chauffage par induction est une application industrielle qui présente la particularité d'imposer la fréquence des courants induits en fonction des dimensions et la nature du matériau à traiter, de sorte que l'utilisation d’un convertisseur électronique est indispensable. 10 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction 7.1. Classification des onduleurs à résonance Les convertisseurs DC/AC à résonance sont apparus principalement grâce à la nécessiter de développer des alimentations hautes fréquences qui peuvent être utilisées pour alimenter les systèmes de chauffage par induction. On distingue trois grandes familles des onduleurs à résonance: Les onduleurs en pont en H Les onduleurs en demi-pont Les onduleurs à deux circuits oscillants 7.1.1. Les onduleurs en pont en H Le pont en H est une structure électronique servant à contrôler la polarité aux bornes de la charge. Il est composé de deux cellules de commutation (K1-D1, K2-D2, K3D3 et K4-D4) généralement disposés schématiquement en une forme de H d'où le nom. Par un jeu de commutations commandées de manière appropriée, on module la source afin d'obtenir un signal alternatif de fréquence et de rapport cyclique désirés. On distingue : a. La configuration RLC série L’onduleur le plus utilisé dans les applications industrielles du chauffage par induction est l’onduleur à résonance série en forme en H. L’onduleur est composé de 04 interrupteurs statiques unidirectionnels en tension et bidirectionnels en courant. La figure I.3 donne le schéma de l’onduleur à résonance série [Hel01, Mol01, Dem01, Nak01, Gra01, Gay01, Ség01, Ess01, Bur01, Kwo01]: Fig. I.3 : La configuration RLC série Les éléments K1, K2, K3 et K4 peuvent êtres des thyristors, des thyristors duaux ou des transistors (bipolaires, MOSFET, IGBT). R et L sont la résistance et l’inductance 11 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction équivalente de l’inducteur et la pièce à chauffer. C est une capacité ajoutée pour former le circuit oscillant. Dans ce type de compensation, La puissance fournie au récepteur varie en fonction de la fréquence et présente un point maximal pour les valeurs proche de la fréquence de résonance. De plus, le courant traversant la charge est quasi-sinusoïdal. Les semi-conducteurs de l’onduleur de tension employé n’ont qu’un type de commutation à assurer (ZVS). Cela réduit les pertes par commutation, les contraintes électriques et permet la montée en fréquence. La compensation série est caractérisée par : 1. Pour 2. Pour 3. Pour = < 1, le circuit est capacitif = = 1, le circuit est résistif = > 1, le circuit est inductif b. La configuration RLC parallèle Dans la littérature, nous distinguons plusieurs recherches concernant l'utilisation des onduleurs de courants dans les applications du chauffage par induction [Mol01, Muc01, Maj01, Ded01, Jor01]. Elles sont très attractives et permettent d’avoir de bonnes performances dans une gamme étendue de fréquences. Les auteurs dans [Maj01] utilisent un onduleur de courant de la figure I.4. Dans ce cas, le circuit oscillant est formé d’une capacité placée aux bornes d’un circuit RL série. Fig. I.4 : La configuration RLC parallèle (1ier type) Ce type de compensation est appelé circuit bouchon. Dans ce cas, l’onduleur est formé de semi-conducteurs bidirectionnels en courant. 12 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction [Muc01] à proposée une topologie en forme en H formé de semi-conducteurs unidirectionnels en courant. Cette topologie est représentée sur la figure I.5 : Fig. I.5 : La configuration parallèle (2ème type) Dans ce cas, le circuit oscillant est formé d’une combinaison en parallèle d’une capacité placée aux bornes d’un circuit RL parallèle. Cette topologie emploi la théorie de l’onduleur à résonance série. Ces deux topologies présentent la particularité du gain en courant, c-à-d que la charge est alimenter par un courant différent du courant qui traverse les semi-conducteurs. Autrement dit qu’au voisinage de la résonance le courant circulant dans l’inducteur est relativement grand devant le courant traversant les semi-conducteurs cela se traduit par une autoprotection de l’onduleur. Outre, au voisinage de la résonance la tension aux bornes de la charge est quasi-sinusoïdale. Les commutateurs de l’onduleur de courant employé n’ont qu’un type de commutation à assurer (ZCS) Ce qui réduit les pertes par commutation. Contrairement à la compensation série la compensation parallèle est caractérisée par : 1. Pour 2. Pour = = < 1, le circuit est inductif > 1, le circuit est capacitif c. La configuration série-parallèle type LLC Cette topologie est basée sur un circuit oscillant série-parallèle type LLC formé d’une inductance série, d’un condensateur de compensation connecté aux bornes de la charge [Kel01, Chu03, Sai01, Hel05]. La figure I.6 présente la forme générale d’une topologie LLC en pont en H: 13 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction Fig. I.6 : La configuration série-parallèle type LLC En pratique, les travaux importants de [Kel01, Zha01] révèlent que la compensation sérieparallèle présente deux points de résonance et regroupe les avantages du circuit RLC série et circuit bouchon à savoir : La commutation à zéro de tension (ZVS) Le gain en courant L’auto-protection de l’’onduleur 7.1.2. Les onduleurs en pont en demi-pont Pour réaliser un onduleur de tension monophasé avec une cellule de commutation (K1-D1, K2-D2), on place à l'entrée un diviseur capacitif asymétrique formé d’une capacité C ou un diviseur symétrique formé de deux condensateurs de même valeur C0. a. La configuration RLC série à diviseur capacitif symétrique La topologie représentée sur la figure I.7 a été utilisée dans de nombreuses applications domestiques et industrielles du chauffage par induction [Tia01, Tia02, San01]. Fig. I.7 : La configuration RLC en demi-pont 14 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction Dans ce montage, on fait l’hypothèse que la capacité C0 des deux condensateurs est suffisamment grande pour que l’on puisse considérer qu’en régime permanent la tension à @ leurs bornes reste toujours égale à A . Les interrupteurs K1 et K2 doivent être complémentaires pour éviter le court-circuit de la source. b. La configuration RLC série à diviseur capacitif asymétrique Cette topologie est souvent utilisée en faible puissance dans les applications domestiques du chauffage par induction [Ram01]. La figure I.8 illustre le schéma de base d’on onduleur à résonance à diviseur capacitif. Fig. I.8 : La configuration RLC série à diviseur asymétrique Dans cette configuration la tension imposée par l’onduleur prend deux valeurs +B: et 0. c. La configuration série-parallèle type LCC Cette topologie est basée sur un onduleur en demi-pont dont Le circuit oscillant est formé d’une capacité en série C et d’un condensateur de compensation C placé aux bornes de l’inducteur [Kam01, Has01]. La figure I.9 présente la forme générale d’une topologie LCC en demi-pont : Fig. I.9 : La topologie LCC en demi-pont 15 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction Il a été prouvé dans [Kam01] que par un choix approprié des condensateurs série et parallèle (C , C ) et pour une gamme de fréquences comprises entre 50kHz et 150 kHz, le rendement de l’application peut atteindre 84% à 100 kHz. 7.1.3. Les onduleurs à deux circuits oscillants Cette topologie est composée de deux interrupteurs statiques T2 et T4 et deux circuits oscillants : un circuit principal et circuit auxiliaire (voir la figure I.10) [Wan02]. Fig. I.10 : La configuration LLC à deux circuits oscillants Le circuit oscillant principal est formé d’une inductance en série et d’un condensateur de compensation C placé aux bornes de la charge. Comparer à la topologie en forme de H, les deux interrupteurs T1 et T3 sont remplacés par deux inductances DE et DF . Le circuit oscillant auxiliaire est un circuit d’aide à la commutation douce. Il est formé de deux amortisseurs de courant ( DE , L’emploi d’une inductance, DE ) H, et de deux amortisseurs de tension (CD et CDG ). à l’entrée de l’onduleur élimine le temps mort entre les interrupteurs statiques T3 et T4. L’onduleur est employé dans les applications de chauffage par induction qui nécessite des fréquences très élevées. 8. Classification des techniques de commande des onduleurs à résonance Pour assurer un chauffage inductif précis, il est nécessaire de pouvoir régler la puissance fournie au récepteur de façon rapide et continue. Deux stratégies de commande peuvent être adoptées: La commande à fréquence fixe La commande à fréquence variable 16 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction 8.1. La commande à fréquence fixe Plusieurs techniques de commande à fréquence fixe ont été proposées dans la littérature parmi lesquelles on peut citer: 8.1.1. Commande à rapport cyclique variable Le rôle de cette commande est de maintenir la puissance fournie à la charge constante quelles que soient les perturbations. Cette exigence est accomplie en contrôlant la tension imposée à l’aide d’une commande permettant une variation du rapport cyclique [Hel01, Imb01, Jai01]. 8.1.2. Commande par déphasage symétrique Le principe de base consiste à déphaser d’un angle I les signaux de commande des deux bras d’interrupteur de cet onduleur [Kaz01]. Le réglage du transfert de la puissance s’effectue par variation de l’angle de puissance du palier nul de la tension appliquée aux bornes de la charge. 8.1.3. Commande par déphasage asymétrique La sortie de l’onduleur est contrôlée par annulation asymétrique de la tension appliquée c-à-d par variation de l’angle de puissance du palier nul de la tension imposée [Bur01]. Cette technique de commande est utilisée dans les applications domestiques du chauffage par induction. 8.2. La commande à fréquence variables Les méthodes de commande, précédemment exposées, permettent d'obtenir une réponse satisfaisante lorsque le convertisseur à résonance est soumis à de faibles perturbations. En présence de fortes perturbations, ses performances se dégradent. La stratégie de contrôle adoptée pour résoudre ce problème est la commande à fréquence variable. Généralement, dans la plupart des applications récentes du chauffage par induction, la puissance fournie à la pièce traitée est contrôlée par des systèmes à fréquence variable parmi lesquels on peut citer : 8.2.1. Commande à rapport cyclique variable et fréquence variable La commande à rapport cyclique variable et à fréquence variable est une technique utilisée dans la majorité des applications du chauffage par induction [Hel04, Tia01, Tia02]. Dans cette approche, deux boucles d’asservissement sont utilisés : une boucle de puissance et une boucle de fréquence. Le transfert de la puissance est régler par variation 17 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction du rapport cyclique ; la boucle à verrouillage de phase (PLL) est utilisée pour suivre la variation de la fréquence du système durant la phase de chauffage pour maintenir la commutation douce (ZVS). 8.2.2. Commande par déphasage symétrique et fréquence variable Elle a été proposée en 1995 par Grajales [Gra01]. Elle s’agit d’une technique de commande d’un onduleur à résonance série en pont en H destiné au chauffage par induction. Le principe de base de cette technique consiste à déphaser d’un angle I les signaux de commande des deux bras d’interrupteur. On obtient ainsi une onde de sortie dont la valeur moyenne est indépendante de toute fluctuation de la charge. La régulation de la puissance est assurée par l’asservissement de deux paramètres, d’une part par l’angle de déphasage I et d’autre part par la fréquence pour maintenir la commutation douce (ZVS) durant le processus de chauffage. 8.2.3. Commande par déphasage asymétrique et fréquence variable Cette technique de commande est employée dans les applications récentes du chauffage par induction [Sai02, Bur01]. Dans cette approche, la puissance fournie au récepteur est régler par action sur l’angle de déphasage I du palier nul de la tension. Pour assurer un fonctionnement stable et précis, la boucle à verrouillage de phase est employée pour suivre la variation rapide de la fréquence durant la phase de traitement thermique des pièces. Contrairement aux techniques précédentes, pour les variations larges de la charge, la commande à fréquence variable par déphasage asymétrique nécessite une fréquence minimale pour atteindre la commutation à zéro de tension [Bur01]. 9. Classification des techniques de modélisation des onduleurs à résonance La modélisation est une étape clé quant à l'analyse des caractéristiques dynamiques et la conception de la commande pour les onduleurs à résonance. Par conséquent, il est intéressant de déterminer un modèle fiable, pouvant décrire le plus fidèlement possible le fonctionnement de tels systèmes. Le modèle d'un onduleur à résonance est généralement élaboré à partir d'une analyse des séquences de fonctionnement, et implique, généralement, un modèle d'état, continu, non linéaire, multi variables et variant dans le temps. Les dynamiques d'ordres supérieurs à la fréquence de commutation, dues aux parasites, aux circuits d'aide à la commutation, aux interférences électromagnétiques, sont généralement négligées [Bel01]. De diverses approches ont été proposées parmi lesquelles on peut citer : La méthode des générateurs moyens 18 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction La méthode du modèle d’état moyen Le modèle en petits signaux 9.1. La méthode des générateurs moyens Elle se base sur les manipulations graphiques qui visent l’obtention d’un circuit équivalent en régime moyen du convertisseur. Son principe consiste à remplacer les commutateurs par des générateurs fictifs ayant, en régime moyen, les mêmes caractéristiques que les commutateurs. Un générateur est soit une source de tension ou source de courant selon la position topologique du commutateur correspondant. Cette technique devient excessivement laborieuse pour les topologies complexes des convertisseurs [Kan01]. 9.2. La méthode du modèle d’état moyen Cette méthode offre une approche systématique plus simple à mettre en œuvre. Elle consiste à établir, dans un premier temps, les modèles d’états élémentaires correspondant aux différentes configurations stables du convertisseur. Le modèle d’état moyen sera dans un deuxième temps déduit par une combinaison linéaire des modèles précédents. La pondération de chaque modèle élémentaire est liée à sa durée d’apparition d’une période de commutation. L’avantage de cette technique par rapport à la précédente réside dans le fait qu’elle est généralisable aux topologies complexes et elle permet de remplacer la méthode de synthèse graphique par une méthode analytique plus simple pour envisager une implémentation numérique du problème de modélisation [Kan01]. 9.3. La méthode en petits signaux Les deux techniques précédemment exposés conduisent à des modèles basses fréquences comparables du convertisseur. Toutefois, ces modèles sont non linéaires vis-àvis des grandeurs d’entrées. Afin de pouvoir appliquer au convertisseur les techniques de réglage une linéarisation du modèle autour de son point de fonctionnement nominal est une approche très importante [Kan01, Gra01]. Le modèle obtenu est linéaire invariant dans le temps, et gouverne le comportement dynamique de l’onduleur dans un régime de faibles variations autour de son point d'équilibre. Le modèle en petits signaux offre la possibilité de concevoir diverses méthodes de commande linéaires. 10. Classification des lois de commande L’évolution de la théorie du système de commande a donné naissances à une multitude de techniques de régulation de la puissance fournie à la pièce traitée. Cependant, face aux systèmes non linéaires qui présentent des structures fortement complexes, la 19 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction synthèse des régulateurs exige une étude détaillée de la dynamique du système et en l’absence d’information à priori sur ce dernier, cette tâche est d’autant plus difficile. En pratique, la majorité des applications industrielles du chauffage par induction utilisent un fonctionnement à fréquence variable. Dans ce cas, le système de commande est composé de deux boucles (voir figure I.11); une boucle dite de puissance et un circuit PLL. Pour assurer un fonctionnement stable et précis quelque soit les perturbations il est nécessaire de maintenir constante la puissance fournie à la pièce traitée. Le circuit PLL est utilisé pour suivre les variations rapides de la fréquence pour maintenir la commutation douce (ZVS) durant l’étape de chauffage. Fig.I.11 : boucle de régulation de puissance fournie à la pièce traitée La boucle à verrouillage de phase (PLL), est un montage électronique permettant d'asservir la phase instantanée de sortie sur la phase instantanée d'entrée, elle permet aussi d'asservir une fréquence de sortie sur un multiple de la fréquence d'entrée. Elle contient trois éléments de base: Un comparateur de phase Un filtre passe-bas Un oscillateur contrôlé en tension La boucle de puissance comprend essentiellement un comparateur de puissance et un régulateur. Dans la littérature, d'innombrables travaux ont été réalisés pour mettre au point des commandes performantes de l’onduleur à résonance. On distingue : 10.1. Les régulateurs classiques Les régulateurs classiques les plus utilisée dans les applications du chauffage par induction sont : 20 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction 10.1.1. Le régulateur à action intégrale (I) Ce type de régulateur est proposé par [Tia01, Tia02] pour contrôler la puissance de sortie d’un onduleur à résonance série en demi-pont à diviseur capacitif symétrique. L’action intégrale permet de tenir compte du passé de la régulation en effectuant au cours du temps l’intégrale de la variation de l’écart entre la puissance mesurée et la consigne. Son rôle est d’éliminer l’écart résiduel. Son fonction de transfert est donnée par : C(s) = k s (I. 7) Dans l’article [Tian01] Tian propose deux boucles de commande ; une boucle de fréquence à base de circuit PLL et une boucle de puissance basée sur un régulateur à action intégrale. Pour la synthèse des paramètres de la commande Tian développe un modèle mathématique linéaire à petits signaux de l’ensemble onduleur et sa commande. 10.1.2. Le régulateur à action proportionnelle-intégrale (PI) Un des régulateurs industriels les plus utilisés dans les applications de chauffage par induction [Hel04] est le PI: action proportionnelle, action intégrale. La commande de ce régulateur est proportionnelle à l'erreur, mais aussi proportionnelle à l'intégrale de l'erreur. On rajoute donc à la commande généré par le régulateur proportionnel, la somme des erreurs commises au cours du temps. La fonction de transfert est décrit par: C(N) = O . P1 + 1 R Q: . N (I. 8) Dans [Hel04] j’ai appliqué une commande similaire à celle proposée par Tian [Tia01] et j’ai remplacé le régulateur à action intégrale par un régulateur PI. Pour simplifier l’analyse j’ai proposé un modèle mathématique de l’ensemble onduleur et sa commande basé sur l’approximation du premier harmonique. Les paramètres du régulateur sont calculés par la méthode de Ziegler-Nichols. 10.2. Les régulateurs avancés Les lois de commande classique du type I et PI donnent des résultats satisfaisants dans le cas des systèmes linéaires à paramètres constants, cependant pour les systèmes non linéaires, ou ayant des paramètres non constants, ces lois de commande classique peuvent être insuffisantes car elles sont non robuste surtout lorsque les exigences sur la précision et autres caractéristiques dynamiques du système sont strictes, on doit faire appel à des lois de commande insensible aux variations des paramètres, aux perturbations et aux non linéarités. Parmi les techniques avancées utilisées dans les applications de l’électrothermie pour la régulation de puissance on peut citer : 21 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction 10.2.1. Le régulateur optimal (LQR) Cette technique de commande a été proposée par [Hel03, Sze01]. Elle est basée sur la minimisation de la fonction de coût T définie par: \ T = U(VWX . Y. VW + ZWX . ℛ. ZW ) W]8 (I. 9) Y et ℛ sont alors les matrices de pondération de V et Z. En pratique, Y doit être semidéfinie positive et ℛ dénie positive. Le but de cette optimisation est de trouver la valeur de la tension imposée de telle sorte que la température désirée soit optimale. Seulement, les contraintes sur l’entrée et la sortie ne sont pas prises en compte dans l’élaboration de cette loi de commande. Cela n’a pas empêché son utilisation dans de le chauffage par induction. Cependant, elle ne connaît pas un véritable essor dans le monde industriel à cause de certaines raisons, dont les plus significatives, sont : les contraintes ; les non linéarités du système ; les incertitudes de modèle ; le critère de performance ; 10.2.2. La commande robuste (^ \ ) La loi de commande doit être robuste vis-à-vis les incertitudes de modèles (incertitudes sur les paramètres, dynamiques non modélisées, perturbations). Cette demande fait apparaître les méthodes dites robustes dans les années 80, telles que la synthèse H∞. [Sze02] a proposé l’utilisation de cette lois de commande dans les applications du chauffage par induction. Son objectif est de contrôler la puissance transmise à la charge et de garantir la stabilité par rapport aux perturbations et aux erreurs du modèle. La synthèse par la méthode H∞, ou synthèse convexe conduisent à des correcteurs d’ordres élevés même si le système est d’ordre réduit en raison des filtres de pondération ajoutés ce qui complique l’analyse. 10.2.3. La commande par mode glissant La commande par mode de glissant a connu un grand succès ces dernières années. Cela est dû à la simplicité de mise en œuvre et la robustesse par rapport aux incertitudes du système et aux perturbations d’origines externes. [Has01] a proposé l’application de 22 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction cette lois de commande dans les onduleurs à résonance série-parallèle type LCC destiné au chauffage par induction. Elle consiste à ramener la trajectoire d’état vers la surface de glissement et de le faire évoluer au dessus avec une certaine dynamique jusqu’au le point d’équilibre suivant. La conception de cette lois est basée sur : Le choix de la surface de commutation La condition de convergence Le calcul de commande 11. Positionnement de nos travaux par rapport à l’état de l’art Dans ce chapitre nous avons présentés l’état de l’art sur le chauffage par induction. Au premier lieu nous avons donnés les 03 circuits qui simulent le fonctionnement de l’inducteur et la charge et on a dit que le troisième circuit est plus intéressant du point de vue pratique car il tient en compte le couplage magnétique entre l’inducteur et la pièce à chauffer. De plus, ce modèle exploite la théorie du transformateur; de ce fait il nous permet de calculer le coefficient de couplage et la constante de temps du système en fonction des grandeurs mesurés expérimentalement. La deuxième partie est consacrée aux études des différentes topologies des onduleurs à résonance destinés au chauffage par induction. On a regroupé les topologies dans trois principales classes : les topologies en forme de H, les topologies en demi-pont et les topologies à deux circuits oscillants. Pratiquement, l’onduleur à résonance en pont en H est composé de deux cellules de commutation cela se traduit par une importance de cette topologie sur le plan commande. Contrairement à la configuration en demi-pont, l’onduleur en pont en H présente la particularité d’imposé des tensions de différentes formes suivant la technique de commande MLI employée. De plus, dans le montage en demi-pont, la tension aux bornes des condensateurs du diviseur capacitif fluctue toujours, ce qui rend difficile l’équilibrage du pont. En pratique, le montage en pont en H est plus avantageux du fait que l’on dispose de 02 cellules de commutation ce qui offre plus de possibilités de contrôler la sortie. Dans ce travail seul le montage en pont en H est considéré pour la suite. L’ensemble inducteur et la pièce de travail est assimilable à une charge globalement inductive gourmande en énergie réactive ce qui nécessite de placer une source d’énergie réactive en série ou en parallèle pour améliorer le facteur de puissance de l’installation. Ces techniques de compensation présentent des avantages comme elles présentent des inconvénients. En pratique, de nombreux travaux de recherches ont prouvé que l’emploi 23 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction d’une compensation série-parallèle type LLC regroupe les avantages des deux techniques de compensation à savoir le gain en courant, la commutation douce, l’auto-protection, etc. De ce fait, la compensation série-parallèle est considérée dans ce travail. Arrivée au stade des techniques de commande, la commutation douce (ZVS, ZCS) est une opération très importante dans les alimentations à résonance destinés au chauffage par induction. Pour améliorer le rendement par diminution des pertes par commutation et protéger les semi-conducteurs durant l’étape de chauffage on emploi des techniques de commande à fréquence fixe ou à fréquence variable. En pratique, Maintenir constante la fréquence durant l’étape de chauffage ne permet pas de garantir un fonctionnement stable par le maintien de la commutation douce. Burdio dans son article [Bur01] à démontrer par la pratique que, pour les variations larges de la charge, la technique de commande à déphasage asymétrique et à fréquence variable nécessite une fréquence minimale pour maintenir la commutation douce durant l’étape de chauffage. Cette technique est considérée dans ce travail. Finalement, dans de nombreux travaux de recherche dans le domaine de chauffage par induction plusieurs lois de commande ont été employées. Ces lois peuvent être regroupées en deux catégories : les lois de commande classiques et les techniques avancées. Sur le plan performances chaque technique présente des avantages et des inconvénients. Dans notre travail, nous proposons d’utiliser quelques approches de commande avancée pour améliorer les performances du système commandé. 12. Conclusion Dans le circuit de chauffage par induction, L’inducteur et la pièce à chauffer sont modélisés par une combinaison en série d’une résistance R et d’une inductance L. Son impédance est en fonction non-linéaire d’une part de la nature et de la géométrie de l’inducteur et la pièce de travail et d’autre part de la fréquence de la tension imposée. Par ailleurs, la résistivité électrique _ et la perméabilité magnétique 7` du matériau à traité sont fonction non-linéaire de la température. Par conséquent, dans les matériaux ferromagnétiques, l’impédance du circuit varie durant le cycle de chauffage surtout au dessus de la température de Curie. En général, la technique de chauffage par induction nécessite une alimentation haute fréquence qui permet de transférer la puissance nécessaire à la pièce à traitée. Un nombre important de topologies ont été développés dans ce domaine. Les onduleurs de tension et de courant en demi-pont ou en pont en H sont parmi les types les plus couramment 24 Chapitre I Etat de l’art sur le chauffage par induction utilisés. L’onduleur à résonance série en pont en H présente la particularité de contrôler le transfert de puissance par des techniques de commande différentes. Ces techniques de commande peuvent être classées en deux catégories : à fréquence fixe à fréquence variable Les techniques de commande à fréquence variables sont plus utilisés dans les applications du chauffage par induction, parce ce qu’elle assure un transfert maximale de la puissance et un fonctionnement stable de l’onduleur par le maintien de la commutation douce. Pratiquement, pour les variations larges de la charge durant le processus de chauffage, la technique de commande à déphasage asymétrique variable et à fréquence variable (AVC control) nécessite une fréquence minimale pour atteindre la commutation douce. Ce survol bibliographique nous a également permis de choisir: L’onduleur en pont en H La compensation série-parallèle type LLC La technique de commande à déphasage asymétrique et à fréquence variable La modélisation en petits signaux 25 Chapitre 2 Théorie du Chauffage par Induction Chapitre II Théorie du chauffage par induction 1. Introduction Le chauffage par induction est un processus utilisé pour souder, tremper ou revenir des métaux ou d’autres matériaux conducteurs. Pour les processus de fabrication modernes, le chauffage par induction offre une combinaison intéressante de vitesse, consistance, contrôle et efficience énergétique. Dans une configuration de base de chauffage par induction, une source d’alimentation envoie un courant alternatif de fréquence variable à la pièce (placée à l’intérieur de l’inducteur) à travers un inducteur. En pratique, deux grandes familles des sources d’alimentation utilisées dans les applications domestiques et industrielles. Ils sont constitués par des circuits oscillants (série ou parallèle) peu amortis dont la fréquence de fonctionnement est adaptée aux paramètres de la charge de façon à avoir en permanence un fonctionnement au voisinage de la résonance, ce qui entraîne en particulier que la grandeur non imposée par la source présente une allure quasi-sinusoïdale. Dans ce chapitre, nous allons présenter, le principe de base du chauffage par induction, les caractéristiques des circuits oscillants ainsi que l’analyse de la commutation à zéro de tension. 2. Description de la charge La charge utilisée dans cette application du chauffage par induction est un alliage métallique en chrome vanadium utilisé dans les domaines de la construction métallique et de la construction mécanique. Il possède les propriétés suivantes : La trempabilité La résistance à chaud La résistance à l’usure L’acier choisi est constitué d’au moins de deux éléments : le chrome et le vanadium. Le chrome (Cr) est utilisé dans la plupart des aciers à outils, en quantité allant de 0.5 à 17%, il joue un rôle essentiel dans l'augmentation de la trempabilité. Le vanadium (V) est un élément d'alliage important dans les aciers rapides pour l'obtention d'une bonne dureté à chaud et une bonne résistance à l'usure. L’inducteur est un solénoïde de longueur ℓ formé de spires en cuivre de haute conductibilité refroidies par une circulation de l’eau. 26 Chapitre II Théorie du chauffage par induction 3. Principes physiques Théoriquement, le chauffage par induction est une technique de chauffage reposant sur l'induction électromagnétique et l’effet Joule. Toute substance conductrice de l'électricité plongée dans un champ magnétique variable (créée par l’inducteur) est le siège de courants électriques induits ou courants de Foucault. Ces courants dissipent de la chaleur par effet Joule dans la substance où ils ont pris naissance. Concrètement, l’inducteur (la bobine) et la charge énergétique (la pièce à traiter) sont les principaux composants d’un système chauffage par induction. La figure II.1 illustre le principe de chauffage par induction d’une pièce cylindrique [Car01, Pas01, Gui01, Lab01, Bri01, Tou01]: Fig.II.1 : Principe de chauffage par induction d’une pièce cylindrique Il se distingue cependant nettement des autres techniques par la nature des matériaux chauffés et par la bande de fréquence électrique utilisée, c’est-à-dire par la profondeur de pénétration et par les densités de puissance de chauffage obtenues. Afin de transmettre la plus grande partie de l'énergie à la pièce à traiter, plusieurs paramètres sont à prendre en considération [Adn01]: la disposition respective des inducteurs et des pièces à chauffer (couplage, longueurs respectives) ; la fréquence d'alimentation et l'effet de peau qui caractérisent la répartition des courants induits dans la pièce ; les propriétés magnétiques, électriques et thermiques des pièces à chauffer ; le type d'inducteur (géométrie, nature du conducteur, technologie). 27 Chapitre II Théorie du chauffage par induction 4. Modélisation des Phénomènes physiques Nous présentons ici les équations décrivant les phénomènes électromagnétiques et thermiques d’un système de chauffage par induction [Pas01, Card01, Lab01, Gui01, Bri01, Cla01]: 4.1. Phénomènes électromagnétiques Les phénomènes électromagnétiques au sein d'un dispositif quelconque peuvent être décrits au moyen des équations suivantes: L’équation locale de Maxwell s’écrit : =0 (II. 1) est l’induction magnétique. où L’équation de Maxwell-Gauss donne la divergence du champ électrique en fonction de la densité de la charge électrique : . où = est le champ électrique, (II. 2) densité volumique de charge électrique et est la permittivité diélectrique du vide. L’équation de Maxwell-Faraday traduit le phénomène fondamental d’induction électromagnétique découvert par Faraday : . =− (II. 3) Le rotationnel du champ électrique en fonction de la dérivée temporelle du champ magnétique. L’équation de Maxwell-Ampère s'écrit en termes de vecteur densité de courant : . = . + . . où densité de courant électrique et La Loi d’Ohm s’écrit : = ". où " est la conductivité électrique. (II. 4) est la perméabilité du vide. (II. 5) 28 Chapitre II Théorie du chauffage par induction La relation intrinsèque au milieu s’écrit : = où $ . $ (%, '). ' est la perméabilité relative du milieu et % la température. (II. 6) 4.2. Phénomènes thermiques La simulation des évolutions thermiques au sein de la charge repose sur l'équation de la chaleur qui découle du principe de conservation de l'énergie. Elle s'écrit sous sa forme locale pour un matériau [Pas01, Bri01]: ) . où % + *). % ++ , *). ./ masse volumique [kg.m-3] % % + = -. ./ . − 0/ , (II. 7) - chaleur spécifique [J.kg-1.K-1] ) conductibilité thermique dépendante de T [w.m.K] 0/ densité volumique de puissance dissipée localement [w.m-3] Les conditions aux limites s'appliquant sur toute la surface externe de la charge sont prisent en compte par l'équation : ). % = −34 − 3$ 2 34 et 3$ : Flux de chaleur perdu par convection et rayonnement (II. 8) 2 : Vecteur normal unitaire à la surface 4.2.1. Convection thermique Lorsque le transfert de chaleur s’accompagne d’un transfert de masse, il est appelé transfert par convection. Ce mode d’échange de chaleur existe au sein des milieux fluides ou lorsque un fluide circule autour d’un corps solide. On distingue : la convection naturelle la convection forcée La quantité de chaleur perdue par convection avec le milieu extérieur (air, eau) est liée à la différence entre la température de surface de la charge et celle du fluide. Elle s'exprime par la relation suivante [Bri01, Lab01]: 29 Chapitre II Théorie du chauffage par induction 34 = ℎ. (%7 − %8 ) (II. 9) où : ℎ: Coefficient de convection [W.:;< . °> ;? ] %7 : Température de surface de la charge [°>] %8 : Température de fluide [°>] 4.2.2. Rayonnement Le rayonnement est une forme particulière de transfert thermique dans laquelle l'énergie est portée par des ondes électromagnétiques. La quantité de chaleur perdue par rayonnement peut s'exprimer par la formule [Pas01, Card01, Bri01, Lab01, Cla01]: 3$ = "$ . @ $ . (%7 − %[email protected] ) "$ : Constante de Stefan [W.:;< . °> ;? ] $ (II. 10) : Emissivité 5. Profondeur de pénétration La profondeur de pénétration A est une notion très importante qui régit le phénomène de chauffage par induction car elle impose la fréquence des courants inducteurs et courants induits [Wan01, Gui01, Adn01, Car01, Lab01, Bri01]. La zone de production de la chaleur est concentrée dans une fine couche sous la surface de la pièce à traiter (voir figure II.2) : Fig.II.2 : Distribution de la chaleur dans une pièce cylindrique 30 Chapitre II Théorie du chauffage par induction En effet, la densité des courants induits décroît de manière exponentielle vers le centre de la pièce avec la distance à la surface comme il est montré en figure II.3 [Wan01, Card01, Adn01, Gui01, Lab01, Blu01, Cla01]: Fig.II.3 : Répartition de la densité de courant depuis la surface La répartition de la densité de courant est donnée par: (B) = DF ) E . C ;( (II.11) En pratique, la profondeur de pénétration δ est définie par le point où la densité de courant (B) a atteint 37% de sa valeur maximale : (A) = 0.37. (II.12) Pour une charge cylindrique d’un rayon très supérieur à A, la formule théorique (II.13) permet de connaître l’ordre de grandeur de l’épaisseur de peau: A=H I J.KL .MN .MO (II.13) où P7 est la fréquence du courant imposé dans l’inducteur, pièce considérée et $ la résistivité électrique de la sa perméabilité magnétique relative. Il apparaît que la profondeur de pénétration dépend à la fois des caractéristiques du matériau à chauffer ( , $ ), et de la fréquence des courants induits P7 . 31 Chapitre II Théorie du chauffage par induction 5.1. Influence de la fréquence QR Le tableau I.1 regroupe des ordres de grandeur de A en fonction de plusieurs matériaux pour différentes fréquences [Adn01]: Tableau I.1 : Profondeur de pénétration [::] Matériaux Acier Cuivre Graphite % = 20°> = 0.16 Ω. : $ = 40 % = 900°> = 0.086 Ω. : $ =1 100 Hz 3.18 14.76 159.15 1kHz 1.01 4.67 50.33 10kHz 0.32 1.48 15.92 100kHz 0.10 0.47 5.03 1MHz 0.03 0.15 1.59 Fréquence 50 Hz 4.5 20.87 % = 20°> = 10 Ω. : $ =1 225.08 La profondeur de pénétration est inversement proportionnelle à la racine carrée de la fréquence. Alors que la résistivité et la perméabilité magnétique relative sont des caractéristiques de la pièce à traité, la fréquence est donc un levier de contrôle de la profondeur de pénétration. La plage de fréquence souhaitable est déterminée par les dimensions de la pièce à chauffer, le type de matériau, la disposition entre l’induit et l’inducteur, et la profondeur de pénétration désirée. En pratique, la plage de fréquence employée est comprise entre la fréquence industrielle de 50 Hz et quelques mégahertz: basses fréquences : 50Hz - 500Hz moyennes fréquences : 500Hz - 50kHz hautes fréquences : 50kHz - 3MHz 5.2. Influence de la perméabilité relative VW D’après la formule II.13, il est clair que la profondeur de pénétration est inversement proportionnelle à la racine carré de la perméabilité magnétique relative [Adn01]. La valeur de $ $ varie fortement d’un matériau à un autre. Pour les matériaux non magnétiques tels que le cuivre ou l’aluminium, $ = 1, puisque ces matériaux ne facilitent pas le passage des lignes de forces. Par contre, les matériaux ferromagnétiques ont un 32 Chapitre II Théorie du chauffage par induction coefficient de perméabilité beaucoup plus élevé. Ces matériaux offrent donc des profondeurs de pénétration beaucoup moins importantes. Chaque matériau est caractérisé par son aptitude à la magnétisation, et cette loi est applicable aux aciers en chrome vanadium. La figure II.4 représente la dépendance de de l’acier en fonction du champ ' pour différentes valeurs de la l’induction température [Wan01, Adn01]: 1.8 T=20°C T=200°C T=400°C T=600°C 1.6 1.4 1.2 B [T ] 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 Fig. II.4 : L’évolution de La forme du diagramme 40 $ 50 H[kA/m] 60 70 80 90 100 en fonction de ' pour différentes valeurs de % (') peut varier fortement d'un matériau magnétique à l'autre. Pour l’acier en Chrome Vanadium choisi, elle varie en fonction de la température et plus particulièrement en fonction de l'amplitude du champ magnétique imposé. La perméabilité magnétique des matériaux ferromagnétiques dépend fortement de la nature du matériau et des conditions imposées (température, intensité du champ magnétique, saturation). Au-delà de la température de Curie, la perméabilité chute brutalement à $ = 1, ce qui engendre une hausse rapide de la profondeur de pénétration. Autrement dit, la température de Curie, est la température %4 à laquelle le matériau perd son aimantation spontanée. Dans cette situation, le matériau est dans un état désordonné dit paramagnétique. La non-linéarité de la fonction (') a pour effet que la perméabilité relative n'est pas une constante, mais une fonction du champ magnétique. La figure II.5 illustre l’évolution de la perméabilité relative de l’acier en fonction de la température et du champ H [Wan01, Adn01]: 33 Chapitre II Théorie du chauffage par induction 90 T=20°C T=200°C T=400°C T=600°C 80 P e rm é a b ilitére la tived el'a cie r 70 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 Fig. II.5 : L’évolution de 40 $ 50 H[kA/m] 60 70 80 90 100 en fonction de ' pour différentes valeurs de % Il est à noter que la perméabilité relative de l’acier varie d’une façon non linéaire en fonction de l’amplitude du champ magnétique et la température du chauffage. Sous l’effet d’une agitation thermique suffisamment importante (due à une augmentation de température), les moments magnétiques se désorganisent et la perméabilité magnétique relative chute à 1. 5.3. Influence de la résistivité X La profondeur de pénétration est proportionnelle à la racine carrée da la résistivité électrique de la pièce à traiter. Celle-ci, pour les métaux, la résistivité est une fonction non linéaire de la température. La résistivité électrique de l’acier en chrome vanadium évolue d’une façon non linéaire en fonction de la température comme il est représenté sur la figure II.6 [Wan01, Adn01]: -7 10 x 10 résistivitédel'acier [Ohm.m] 9 8 7 6 5 4 3 2 0 100 200 300 400 500 T[°C] 600 700 800 900 Fig. II.6 : La résistivité de l’acier en fonction de la température 34 Chapitre II Théorie du chauffage par induction 6. Puissance nécessaire au traitement thermique Comme dans tout problème de chauffage, la puissance nécessaire au type de traitement thermique recherché est imposée par la masse à chauffer, la température à atteindre et le temps de chauffe. Cette puissance est calculée par [Gui01]: 0 = :. -. où : (Y;YN ) Z (II.14) : : la masse de la pièce à chauffer % : la température ambiante - : la valeur moyenne de la capacité thermique relative du matériau : est le temps nécessaire pour le chauffage 7. Calcul simplifié de la puissance dissipée par effet Joule Dans un cylindre soumis à un champ magnétique axial (voir figure II.7), les lignes de courants de Foucault sont des anneaux contenus dans un plan de section droite du cylindre. L'intensité dans un anneau est d'autant plus élevée que l'on s'éloigne de l'axe du cylindre. Fig. II.7 : Forme cylindrique d’un acier Nous supposons que la densité du courant décroit du périphérique de la pièce à traité vers le cœur selon la loi suivante : ( )= . C; O[ \O ] (II.15) Nous choisissons comme élément de surface ^ où : ^ = ℓ. (II.16) 35 Chapitre II Théorie du chauffage par induction Par élément ` = ℓ. − 0. C , l’intensité du courant est donné par : a− A . (II.17) L’intensité totale du courant induit est calculée par : ` = ℓ. . b $[ C− . a− A Ce qui donne : (II.18) ` = ℓ. . A. (1 − C ; ] ) Pour c O[ (II.19) ≫ A, l’intensité du courant devienne : `e = ℓ. . A (II.20) Dans cette condition, la répartition du courant est équivalente à un courant d’intensité ` passant dans une couche d’épaisseur A. La puissance élémentaire dissipée par effet Joule dans le cylindre est donnée par : 0 = f. ( `)< où : f= . ` = ℓ. 2. g. ℓ. − 0. C (II.21) a− . A En remplaçant f et ` par ces expressions, la puissance élémentaire devienne: 0 = 2. g. . ℓ. < . . C ;<. (O[ \O) ] . (II.22) La puissance totale dissipée par les courants induits a pour expression : 0 = 2. g. . ℓ. 20 . b0 a . C ;<. Ce qui donne : 0 = < . g. . ℓ. ? Pour c < (II.23) . (A < . C ;<. ] − A < + 2. A. O[ c) ≫ A, la puissance dissipée devienne: 0 = g. . ℓ. < . A. c Soit en remplaçant 0 = g. (O[ \O) ] . hNi c. ℓ . j . N par ℓ.E et A par H h $. . P7 I J.K.MN .MO (II.24) (II.25) , il vient : (II.26) 36 Chapitre II Théorie du chauffage par induction La puissance dissipée par effet Joule est proportionnelle au carrée de l’intensité du courant induit. Pour augmenter la puissance totale dissipée dans la pièce, il faut : augmenter l’intensité du courant induit augmenter la fréquence 8. Rendement électrique Une des grandeurs les plus intéressantes à considérer du point de vue pratique, est le rendement électrique du chauffage par induction, c-à-d le rapport entre l’énergie recueillie dans la substance et l’énergie fournie à l’inducteur [Adn01]: k= où : 0 0+0 (II. 27) 0 : Puissance transmise à la charge 0 : Puissance dissipée dans l’inducteur Le rendement électrique dépend fortement du rapport $[ E , de la fréquence P7 et de la conception de l’inducteur. Pour améliorer le rendement d’un système de chauffage par induction il faut [Adn01]: utiliser des inducteurs de faibles résistances minimiser la distance entre les enroulements limiter l’entrefer choisir convenablement la fréquence des courants imposés 9. Facteur de puissance Par définition le facteur de puissance du chauffage par induction est égal au rapport de la puissance active consommée sur la puissance apparente. L’ensemble constitué de l’inducteur et la pièce à traiter est caractérisé par un facteur de puissance très faible situé entre 0,05 et 0,6 [Adn01]. Ce caractère inductif est dû d’une part à l’entrefer et d’autre part au comportement inductif de la charge elle-même. Une source d’énergie réactive placée en série ou en parallèle permet de corriger le facteur de puissance de l’installation du chauffage par induction. 37 Chapitre II Théorie du chauffage par induction 10. Caractéristique des circuits résonants La résonance est un phénomène qui se produit lorsqu'un système oscillant est excité en régime permanent par un signal périodique dont la fréquence est égale à une fréquence propre du système. Dans ce cas, l'énergie absorbée par le système est maximale. Les alimentations à résonance utilisent les propriétés des circuits résonants pour aider à la commutation douce des interrupteurs. D’autre part, ils permettent aussi de faire le contrôle de la puissance fournie à la charge du fait qu’au moment de changer la fréquence de fonctionnement il aura une modification respective de l’impédance. La figure II.8 montre les circuits résonants les plus utilisés pour l’analyse des onduleurs hauts fréquences [Ess01, Pim01]. Fig.II.8 : circuits RLC série et parallèle Il existe deux types de circuits RLC série ou parallèle, selon l'interconnexion des trois types de composants. Le comportement d'un circuit RLC est généralement décrit par une équation différentielle du second ordre. Les relations utiles pour l’étude des circuits résonants en régime sinusoïdal sont les réactances, l’impédance et le déphasage entre le courant et la tension. Pour une bobine, l’expression de la réactance est telle que : Xm = j. L. ω (II.28) Xq = (II. 29) Et pour la réactance du condensateur on a : 1 j. C. ω Pour le circuit RLC série le module de l’impédance complexe et le déphasage sont données par : s7 = tf < + (u. v − 1 < ) >. v (II. 30) 38 Chapitre II Théorie du chauffage par induction 1 u. v − >. vy 37 = w2;? x f (II. 31) Dans le cas du circuit parallèle, le module de l’impédance complexe et le déphasage sont données par : Z{ = 1 (II. 32) H 1< + (C. ω − 1 )< L. ω R φ{ = tan;? *−R. •C. ω − 1 ‚+ L. ω (II. 33) La figure II.9 montre l’évolution des modules des impédances et les déphasages pour les deux types de circuit : Bode Diagram 60 Magnitude (dB) 40 20 0 -20 90 Zs Zp1 Phase (deg) 45 0 -45 -90 5 6 10 7 10 10 8 10 Frequency (rad/s) Fig.II.9 : l’évolution du déphasage A noter que à la fréquence de résonance, le module de l’impédance du circuit RLC série devient minimal (maximal pour le circuit parallèle). Dans les deux cas, Le déphasage devient nul. 10.1. Fréquence de résonance La résonance d'un circuit RLC se produit lorsque la partie imaginaire de l’impédance s'annule (Xq = Xm ). Cette fréquence est définie par: v = 1 √u. > (II. 34) 39 Chapitre II Théorie du chauffage par induction Toutefois, à cause de la configuration des circuits, la résonance d'un circuit RLC en parallèle ne produit pas les mêmes effets que celle d'un circuit RLC en série [Ess01]. 10.2. Facteur de qualité En pratique les composants idéaux n'existent pas. On peut représenter un composant réel comme un composant idéal auquel on a ajouté une résistance en série. Le facteur de qualité d’un circuit série est définie par [Ess01, Pim01]: Q… = L. ω 1 = R. C. ω R (II. 35) Si on prend le cas de la bobine, on peut s'attendre à ce que le facteur da qualité augmente avec la fréquence. En fait, à partir d’une certaine fréquence où l'effet de peau se manifeste, le courant n'a plus une distribution uniforme dans la section du conducteur. Par conséquent, à partir d'une certaine fréquence, la résistance va augmenter et le facteur Q… n'augmente plus de façon linéaire, mais a tendance à croître moins vite, puis à chuter. Dans le circuit RLC parallèle 1, on définie le facteur de qualité par : Q{ = R = R. C. ω L. ω (II. 36) La formule est totalement inversée par rapport au cas précédent. Par ailleurs, le facteur de qualité peut aussi être appelé facteur de surtension ou facteur de surintensité selon qu’il s’agisse d’un circuit RLC série ou parallèle. 11. Types de commutation des semi-conducteurs Les onduleurs de tension utilisent des interrupteurs réversibles en courant formés de semi-conducteurs commandés à la fermeture et à l’ouverture associés à des diodes montées en antiparallèle. On utilise: le MOSFET pour les faibles puissances l’IGBT pour les courants moyens le thyristor GTO pour les forts courants. Une commutation consiste à ouvrir une voie et à transférer le courant qui y passait dans une autre. Les commutations des semi-conducteurs commandés peuvent être dures ou douces suivant qu’elles engendrent ou non des pertes par commutation. On distingue 03 types [Seg01]: 40 Chapitre II Théorie du chauffage par induction 11.1. La commutation dure Une commutation à l’ouverture ou à la fermeture est dure si le courant dans l’interrupteur et la tension à ses bornes varient simultanément (voir figure II.10), ce qui provoque une importante pointe de puissance instantanée dissipée dans l’interrupteur. Fig.II.10 : la commutation dure 11.2. La commutation dure adoucie Pour adoucir la commutation dure on ajoute aux interrupteurs des circuits d’aide à la commutation (voir figure II.11) : Fig.II.11 : la commutation dure adoucie une inductance en série avec l’interrupteur à la fermeture ralentit la montée en courant. Elle protège l’interrupteur contre les pointes de courant. Un condensateur en parallèle avec l’interrupteur à l’ouverture ralentit la tension. Elle protège aussi l’interrupteur contre les pics de tension. 11.3. La commutation douce Une commutation est dite douce si (voir figure II.12) : Fig. II.12 : La commutation douce (ZVS, ZCS) 41 Chapitre II Théorie du chauffage par induction à la fermeture, la montée du courant se fait après l’annulation de la tension (ZVS) à l’ouverture, la montée de la tension se fait après l’annulation du courant (ZCS) La commutation douce améliore le rendement et la fiabilité du système en réduisant les contraintes sur les interrupteurs. 12. Fréquence de commutation L’augmentation de la fréquence interne des commutations de la plupart des convertisseurs, a conduit à caractériser la dureté d’une commutation par l’importance des pertes par commutation engendrées. Ces pertes s’ajoutent aux pertes par conduction. Plus l’énergie perdue à chaque commutation est importante, plus la possibilité de montée en fréquence est limitée. 13. Pertes par commutation La montée en fréquence des convertisseurs statiques entraîne une augmentation des pertes par commutation dans les interrupteurs. Ces pertes peuvent être réduites, mais surtout délocalisées par l’adjonction de circuit d’aide à la commutation (CALC) sans modifier le principe de fonctionnement du convertisseur. Une autre possibilité consiste à modifier la nature des interrupteurs pour qu’ils réalisent une commutation spontanée, dite aussi commutation douce car les pertes sont nulles, mais aussi celle des convertisseurs qui doivent alors créer les conditions de commutations. Ces convertisseurs sont dits convertisseurs quasi-résonnants. Théoriquement, les pertes par commutation sont calculées par formule suivante [Ess01, Pim01]: 04 = < . †4 . `4 . P4 . ( ? Avec : K + e) (II.37) 04 pertes par commutation †4 tension de commutation `4 courant commutation P4 fréquence de commutation K e temps de fermeture temps d’ouverture 42 Chapitre II Théorie du chauffage par induction 14. Justification du choix de la technique de commande L’onduleur le plus utilisé dans les applications industrielles du chauffage par induction est l’onduleur à résonance en forme en H. Pour simplifier l’analyse des techniques de commande de l’onduleur à résonance, on supposera qu’il est alimenté par une source de tension continue et que les composants électroniques sont parfaits. 14.1. Commande à rapport cyclique variable et fréquence variable Afin d’obtenir une tension de sortie alternative, l’onduleur connecte la source de tension continue à la charge, dans un sens puis dans l’autre. Pour réaliser ceci, il suffit de commander alternativement la fermeture des interrupteurs statiques K1, K4 puis K2, K3. On obtient aux bornes de la charge la tension ‡ˆ‰ ( ) représentée sur la figure II.13 [Bur01, Tia01, Tia02]: Fig.II.13 : formes d’onde de la tension et le courant La tension de sortie vaut alternativement +† et −† . La tension périodique ‡ˆ‰ ( ) de fréquence P7 peut décomposer en la somme de sinusoïdes de fréquence multiples de la fréquence P7 : 43 Chapitre II Théorie du chauffage par induction Ž Œˆ‰• . sin(2. 2. g. P7 . ) ‡ˆ‰ ( ) = Š ‹ où : ••? (II. 38) † . jw•< + ’•< 2. g w• = w2;? ’• Œˆ‰• = ‹ ∅/• w• = ” 2 2. (g − •) ’• = 2. (1 + cos n. α) 14.2. Commande par déphasage symétrique et fréquence variable La commande des interrupteurs K2 et K3 est retardée d’un angle •. Cette commande des interrupteurs permet d’obtenir en sortie de l’onduleur la tension ‡ˆ‰ ( ) représentée sur la figure II.14 [Bur01, Gra01]: Fig. II.14 : formes d’ondes de la tension et du courant Cette technique de commande présente deux phases de roue libre durant une période de commutation. La tension de sortie peut prendre les valeurs +† , 0 et −† . La décomposition en série de Fourier donne : 44 Chapitre II Théorie du chauffage par induction Ž Œˆ‰• . sin(2. 2. g. P7 . ) ‡ˆ‰ ( ) = Š ‹ où : ••? (II. 39) † . jw•< + ’•< 2. g w• = w2;? ’• Œˆ‰• = ‹ ∅/• w• = 2. sin n. α ’• = 1 + 2. cos(2. •) − cos (2. g) 14.3. Commande par déphasage asymétrique et fréquence variable La figure II.15 présente le chronogramme de commande des interrupteurs ainsi que la forme d’onde de la tension et du courant [Bur01, Sai01]: Fig.II.15 : Formes d’ondes de la tension et du courant Contrairement aux techniques précédentes, cette technique de commande présente une seule phase de roue libre durant une période de commutation. La décomposition en série de Fourier donne : 45 Chapitre II Théorie du chauffage par induction Ž Œˆ‰• . sin(2. 2. g. P7 . ) ‡ˆ‰ ( ) = Š ‹ où : (II. 40) ••? † . jw•< + ’•< 2. g w• = w2;? ’• Œˆ‰• = ‹ ∅/• w• = ” 2 2. • ’• = 2 + cos(2. •) − cos (2. g) Dans les techniques de commandes ADC et PS, l’amplitude normalisée de la tension imposée, ‹• , est égale à: 1 ‹• = . j2 + 2. cos (•) 2 (II. 41) Mais dans le cas de la technique AVC, 1 ‹• = . j10 + 6. cos (•) 4 (II. 42) La figure II.16 montre l’évolution de l’amplitude normalisée de la tension imposée aux bornes de la charge en fonction de l’angle • dans les trois techniques de commande : 2 ADC, PS AVC Un 1.5 1 0.5 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 alpha [°] Fig.II.16 : Variation de la tension normalisée en fonction de • Dans les mêmes conditions, l’augmentation de l’angle de puissance • entraine une diminution de l’amplitude de la tension imposée. Pour • = g, cette amplitude devienne 46 Chapitre II Théorie du chauffage par induction nulle dans le cas des techniques ADC et PS et atteint un demi de sa valeur maximale dans le cas de la technique AVC. La figure II.17 illustre la variation de la phase correspondante en fonction de l’angle • dans les trois techniques de commande [Bur01]: 1.6 ADC, PS AVC 1.4 phiv [rad] 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 alpha [°] Fig.II.17 : Variation de la phase en fonction de • L’augmentation de l’angle • entraine une augmentation de la phase d’une façon presque linéaire dans les deux techniques de commande ADC et PS ce qui complique le contrôle de la commutation ZVS. Mais dans le cas de la commande AVC cette augmentation est très faible et devienne nulle pour • = g. 14.4. Taux de distorsion harmonique Le taux de distorsion, encore appelé distorsion harmonique totale est défini comme le rapport de la valeur efficace globale des harmoniques à la valeur efficace de la composante fondamentale. Il peut s’appliquer soit au courant ou à la tension. Dans notre cas, le taux de distorsion est donné par: %'™ = 100. Œ< H∑Ž < ‹ˆ‰• Œˆ‰? ‹ (II. 43) La figure II.18 illustre la variation du taux de distorsion en fonction de l’angle de puissance •: 47 Chapitre II Théorie du chauffage par induction 300 ADC, PS AVC 250 THD [%] 200 150 100 50 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 alpha [°] Fig.II.18 : variation du taux de distorsion harmonique en fonction de • On peut voir que l’augmentation de l’angle de puissance • entraine une augmentation du taux d’harmonique dans les trois techniques de commandes. Cependant, la valeur du taux de distorsion dans les deux techniques de commandes à rapport cyclique variable et à déphasage symétrique (ADC et PS) est relativement grande par rapport à celle calculé dans le cas d’une commande à déphasage asymétrique (AVC). 14.5. Analyse de la ZVS Pour analyser la commutation douce dans l’onduleur à résonance série, il faut tenir compte de la tension ‡ˆ‰ imposé par l’onduleur et l’angle ∆3. Dans la littérature, la forme générale de cette tension est représentée sur la figure II.19: Fig.II.19 : forme générale de la tension imposée par l’onduleur 48 Chapitre II Théorie du chauffage par induction La décomposition en série de Fourier du signal permet d’écrire: † . Hw?< + ’?< g w? ∅? = w2;? ’? Œˆ‰? = ‹ (II. 44) (II. 45) Avec : w? = sin (œ − •? ) + sin œ + sin •< ’? = 1 − - ” (œ − •? ) − cos œ + cos •< La figure II.20 montre l’évolution de ‹ˆ‰? en fonction de •? et •< pour œ = 180° [Bur01]: 400 ab U [v] 300 200 100 0 0 0 50 100 50 100 alpha [°] 150 2 150 200 alpha [°] 200 1 Fig.II.20 : l’évolution de ‹ˆ‰? en fonction de •? et •< pour œ = 180° En pratique, La condition nécessaire pour un fonctionnement à commutation douce (ZVS) est : ∆3? > 0 ∆3?varie d’une technique de commande à l’autre et égale à : ∆3? = ž7 . (v•< − 1) − w2;? sin • 1 + cos • pour (•? = •< = • et = g ) et (•? = •< = 0 et œ = g − •) et à : ∆3? = ž7 . (v•< − 1) − w2;? Pour (•? ≠ •< , œ = g). sin •? + sin •< 2 + cos •? + cos •< (II. 46) (II. 47) (II. 48) 49 Chapitre II Théorie du chauffage par induction Afin de satisfaire (II.46), ∆31 peut être augmentée en augmentant la fréquence de commutation. Cependant, le courant de charge diminue suite à l’augmentation de l’impédance et les pertes par commutation augmentent. Pour améliorer le rendement et maintenir la ZVS durant la phase de traitement, le convertisseur doit être fonctionné au dessus de la fréquence de résonance (v• > 1) et le courant doit être augmenté par variation de l’angle • pour transférer la même puissance. A fréquence fixe, ∆3? peut être augmentée en diminuant ∅? par variation des angles de commande •? et •< . Les figures II.21 et II.22 montrent l’évolution de ∅? en fonction de •? , •< pour œ = 180°, et œ = 90° respectivement [Bur01]: 100 phi 1 80 60 40 20 0 200 150 200 150 100 alpha [°] 100 50 2 alpha [°] 50 0 1 0 Fig. II.21 : l’évolution de ∅? en fonction de •? et •< pour œ = 180° 200 phi 1 150 100 50 0 100 80 60 alpha2 [°] 40 20 0 0 50 100 150 250 200 300 alpha [°] 1 Fig.II.22 : l’évolution de ∅? en fonction de •? et •< pour œ = 90° 50 Chapitre II Théorie du chauffage par induction La stratégie de commande optimale est celle qui minimise la phase ∅? par variation des angles de commande •? , •< et œ, en tenant compte de la valeur nécessaire de la tension ‹ˆ‰ . En pratique, pour minimiser ∅? on fixe •< = 0 et œ = g et on varie l’angle •? = •. Dans ce cas ∆3?est exprimée par : ∆3? = ž7 . (v•< − 1) − w2;? sin • 3 + cos • (II. 49) La figure II.23 montre l’évolution de la fréquence normalisée v• en fonction de l’angle de réglage • : 2 ADC, PS (Qs=1) AVC (Qs=1) ADC,PS (Qs=4) AVC (Qs=4) 1.9 1.8 1.7 wn 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 alpha [°] Fig. II.23 : variation de v• en fonction de l’angle • Pour les variations larges de la charge (ž7 = 4), la commande à fréquence fixe par déphasage asymétrique nécessite une fréquence minimale pour atteindre la commutation à zéro de tension. 15. Conclusion Dans ce chapitre, nous avons exposé le principe de base du chauffage par induction. Plusieurs paramètres sont à prendre en considération, la répartition des courants induits et la puissance dissipée dans la pièce ont une grande importance. La fréquence de commutation a une influence sur le fonctionnement des onduleurs à résonance employés pour alimenter le système de chauffage par induction, elle offre la possibilité de contrôler la dissipation de la puissance à l’intérieur du corps à chauffer et de choisir le chauffage le mieux adapté. 51 Chapitre II Théorie du chauffage par induction L’emploi de la technique de commande à déphasage asymétrique et à fréquence variable pour contrôler la puissance fournie à la pièce traitée offre de nombreux avantages à savoir la possibilité de maintenir la commutation à zéro de tension (ZVS) à fréquence fixe ou à fréquence variable. 52 Chapitre 3 Onduleur à Résonance Résonance SérieSérie-Parallèle Type LLC Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC 1. Introduction Le convertisseur à résonance est un dispositif haute fréquence qui permet de faire le lien entre la source d’énergie est la pièce à chauffer. Son fonctionnement est lié à la fréquence de commutation de l’onduleur et aux caractéristiques des circuits oscillants série ou parallèle dans lesquels la résonance est exploité pour minimiser les contraintes électriques et thermiques sur les interrupteurs, réduire les harmoniques et diminuer les pertes par commutation [Ess01, Pim01]. L’onduleur à résonance série parallèle type LLC est un onduleur de tension utilisé dans de nombreux applications industrielles récentes. Il est basé sur un circuit oscillant série parallèle avec branchement de la charge aux bornes de la capacité de compensation. Dans ce chapitre, nous allons étudier l’application de cette topologie pour alimenter une pièce cylindrique en Chrome Vanadium. La Première étape est consacrée à l’analyse de son fonctionnement durant une période de fonctionnement. Ensuite, nous allons proposer un schéma équivalent simplifié qui simule son comportement pour différentes valeurs de la fréquence et du facteur de charge. La dernière étape est réservée à la conception du circuit LLC par un algorithme composé de 08 étapes. 2. Description de l’onduleur proposé L’onduleur à résonance série-parallèle type LLC est un onduleur de tension alimentant un circuit résonant avec branchement du récepteur aux bornes de la capacité. Ce branchement du récepteur aux bornes du condensateur permet d’utiliser l’onduleur lorsqu’on veut alimenter une charge très variable. La figure III.1 donne la configuration de base d’un convertisseur à résonance série-parallèle type LLC pour les applications du chauffage par induction [Sai01, Sai03, Zha01, Che02, Kel02, Hue01]: Fig.III.1 : Onduleur à résonance série-parallèle type LLC 53 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Le convertisseur proposé est constitué d’un pont redresseur à diodes permettant l’obtention d’une tension continue dont la valeur est fixée en fonction de l’application; et d’un filtre passif pour améliorer le caractère continu de la tension obtenue. L’onduleur est basé sur une structure en pont en H, constitué de deux cellules de commutation. L’onduleur débite sur un circuit oscillant de type série-parallèle, composé d’une inductance série , d’un condensateur de compensation pièce à traiter. Le condensateur de blocage et l’ensemble inducteur et la est inséré en série avec le primaire du transformateur de séparation. Dans les matériaux ferromagnétiques, la résistivité électrique magnétique , et la perméabilité du matériau varient en fonction de la température. Par conséquent, l’impédance du circuit température de Curie. varie durant le cycle de chauffage surtout au dessus de la 2.1. Description du redresseur Le redresseur utilisé dans cette application est un redresseur non commandé de type PD3 (voir la figure III.2) : Fig.III.2 : Redresseur triphasé type PD3 fréquence 50 Pour obtenir une tension continue, on redresse un ensemble de 03 tensions alternatives de équilibré : # , d'ordinaire supposées sinusoïdales et formant un système triphasé = . √2. = . √2. = . √2. . 2. ! % 3 2. ! . + 3 . − III. 1 54 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Chaque diode conduit pendant un tiers de la période tandis que la tension redressée se compose de six portions de sinusoïdes par période T. Par conséquent, le montage employé Un indice de commutation du montage ) = 3 est caractérisé par : Un indice de pulsation de la tension redressé * = 6 ,-./0 ≈ 2.326. III. 2 Le calcul de la valeur moyenne de la tension redressée se fait à partir de l’expression : ,-233 ≈ 2.302. La valeur efficace est : ,-233 ≈ 1.0009 ,-./0 La valeur du facteur de forme caractérise le redresseur est donnée par : 4= III. 3 III. 4 Ce résultat montre clairement que la forme de la tension redressée est plus proche du continu. 2.2. Description du filtre 78 98 En sortie du redresseur, la tension n’est pas totalement constante. Afin de réduire les oscillations, nous allons utiliser un filtre LC (voir la figure III.3): Fig.III.3 : Le filtre LC La fonction de transfert du filtre LC est donnée par : où : ,: = : ,- = 1 1 + 3. 3. III. 5 : La tension en sortie du redresseur : La tension en sortie du filtre LC 55 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC 1. Analyse harmonique du signal à la sortie du pont redresseur, ;- Grâce aux séries de Fourrier, nous pouvons calculer la bobine nécessaire par : 2. Détermination de la fréquence de la première harmonique, <= 3. On se fixe le condensateur 3 supportant la tension : Ainsi, pour avoir un signal qui se rapproche d’un signal continu, nous devons atténuer le A la fréquence de résonance <= , nous sommes en présence d’un pic de gain qui va premier harmonique. augmenter notre premier harmonique au lieu de le diminuer. L’inductance de la bobine est 1 4. ! . < . déterminer par : 3 = avec : < = 50 III. 6 3 conséquente pour la fréquence <= . Grâce à cette inductance, la résonance aura lieu à 50hz et l’atténuation sera plus 3. Stratégie de commande à MLI de l’onduleur proposé puissance basée sur la variation de l’angle de déphasage > du transistor T4 et une boucle La stratégie de commande proposée est composée de deux boucles : une boucle de de fréquence (PLL) pour maintenir la ZVS. La figure III.4 donne le schéma complet de la commande de l’onduleur à résonance type LLC [Sai03]: Fig.III.4 : Schéma détaillé de la commande utilisée 56 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Le circuit PLL est utilisé pour suivre les variations rapides de la fréquence du système durant le processus du chauffage par induction. Il est composé d’un capteur de courant, d’un détecteur de passage à zéro, d’un filtre passe-bas et d’un oscillateur commandé en tension (VCO). phase avec la tension, ;? , imposée par l’onduleur. Par conséquent, nous pouvons Dans les onduleurs de tension, le signal de commande de l’interrupteur statique est en comparer le signal de commande et le courant traversant la charge, , pour détecter la différence de phase. Le signal de sortie du détecteur de phase est filtré pour obtenir une valeur moyenne proportionnelle à la différence de phase à la charge. Le VCO délivre un signal périodique dont l’amplitude est constante et dont la fréquence est proportionnelle à La boucle de puissance est basée sur la comparaison du signal issue du régulateur @ avec la tension continue appliquée a son entrée. un signal de dents de scie de fréquence < variable. Cette fréquence est générée par la commande PLL. La différence entre les deux signaux est appliquée à l'entrée d'un comparateur fournissant un train d'impulsion (voir la figure III.5). Fig.III.5 : Principe de la boucle de puissance deux signaux. Elles peuvent varier en fonction du signal @, et ceci au niveau de Les durées d'enclenchement et de déclenchement sont définies par les intersections des l'électronique de contrôle. 4. Analyse de fonctionnement L’analyse de fonctionnement en régime permanent de l’onduleur à résonance type LLC est basée sur les hypothèses simplificatrices suivantes : L’onduleur est alimenté par une source de tension d’amplitude, Tous les interrupteurs sont idéaux :, constante 57 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Généralement, selon les états des interrupteurs T1, D1, T2, D2, T3, D3, T4 et D4, on peut distinguer trois principales phases de fonctionnement de l’onduleur en pont en H durant une période de commutation: Phase active (T1 et T4) ou (T2 et T3) Phase de restitution (D2 et D3) et (D1 et D4) Phase de roue libre (T1 et D3), (D1 et T3), (T2 et D4) ou (D2 et T4) Dans ce cas l’enchaînement des différentes phases de fonctionnement peut être représentées par le réseau de Pétri de la figure III.6: A :; = 1 Transition C :; = 0 D : ; = −1 E : =0 1 : (T1, T4), Places 2 : (D1, D4), > 0; phase active < 0; phase restitution 3 : (D1, T3) ou (T2, D4), 4 : (T1, D3) ou (D2, T4), 5 : (T2, T3), 6 : (D2, D3), < 0; phase roue-libre > 0; phase roue-libre < 0; phase active > 0; phase restitution Fig.III.6 : Différentes phases de fonctionnement 58 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC L’onduleur proposé présente 08 phases de fonctionnement de topologies différentes, illustrées par la figure III.7 [Sai03]: Fig.III.7 : Principales phases de fonctionnement de l’onduleur 59 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Les 08 mailles suivantes correspondent aux possibilités de circulation du courant, selon les phases de fonctionnement de l'onduleur. Maille 01 : HI < < HJ la charge est positive (KLM H = NO ) et le courant négatif circule à travers les diodes D1 et Dans cette phase, les interrupteurs T2 et T3 sont ouverts. La tension aux bornes de D4 (OP H < 0). La puissance instantanée est exprimée par: * = ;? . <0 III. 7 Le transfert d’énergie est de la charge vers la source (voir la figure III.8). Il s’agit d’une phase de restitution. Fig.III.8 : Phase 01 = =− Le courant traversant les diodes D1 et D4 est donné par : R RS Le courant dans la charge OP H s’annule à l’instant . III. 8 Maille 02 : HJ < H < HU conduisent. La tension aux bornes de la charge et le courant sont positifs (KLM H = NO , Dans cette phase, les diodes D1 et D4 sont bloquées et les commutateurs T1 et T4 OP H > 0). De même, la puissance instantanée est positive : * = ;? . >0 Il y a transfert d’énergie de la source vers la charge. Il s’agit d’une phase active. III. 9 60 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Fig.III.9 : Phase 02 = = Le courant traversant les transistors T1 et T4 est donné par : V VS Durant ce mode de fonctionnement la commutation à zéro de tension est assurée. III. 10 Maille 03 : HU < H < HW A = , le transistor T4 est bloqué, le courant circule dans la même direction à travers le transistor T1 et les condensateurs C03 et C04. Durant ce mode la tension ;? passe de la valeur +Vi à 0. La tension ;? s’annule à l’instant = Fig.III.10 : Phase 03 = . Le courant traversant les transistors T1 et T4 est donné par : V VS =0 III. 11 III. 12 61 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Maille 04 : HW < H < HX # Pour < < S , T1 est fermé et T2, T3 et T4 sont ouverts. La charge est court- circuitée KLM H = I). L’intensité du courant dans la charge est positive (OP H > 0). La puissance consommée par la charge est nulle Y H = KLM H . OP H = I . Il s’agit d’une phase dite de roue libre. Fig.III.11 : Phase 04 Maille 05: HX < H < HZ Le courant positif (OP H > I) continue de circuler par la diode D3 et les deux Durant ce mode de fonctionnement les interrupteurs T1, T2, T3 et T4 sont ouverts. condensateurs C01 et C02. La tension décroît linéairement de la valeur I à −NO Fig.III.12: Phase 05 A = ;? [, =− : (III.13) 62 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Maille 06: HZ < H < H\ Pour [ < < ] les interrupteurs T1, T2, T3 et T4 sont ouverts. La tension aux bornes de la charge est négative (KLM H = −NO ). Le courant circule à travers les diodes D2 et D3. Dans ce cas le courant traversant la charge est positif (OP H > I). Il s’agit d’une phase de restitution de l’énergie. Fig.III.13 : Phase 06 = = Le courant traversant les diodes D2 et D3 est exprimé par : R A = ], R# le courant dans la charge s’annule. III. 14 Maille 07: H\ < H < H^ Dans cette phase, le courant dans la charge est négatif (OP H < 0). L’énergie circule par les interrupteurs T2 et T3: il s’agit d’une phase active. La commutation à zéro de tension est garantie durant cette phase d’alimentation. Fig.III.14: Phase 07 63 Chapitre III = Onduleur à résonance série-parallèle type LLC =− III. 15 Le courant dans les transistors T2 et T3 est donné par : V V# Maille 08: H^ < H < H_ A = `, tous les semi-conducteurs sont ouverts. L’énergie emmagasinée circule à bornes de la charge passe linéairement de − à + :. travers les capacités C01, C02, C03 et C04. Durant ce mode de fonctionnement la tension aux : Fig.III.15 : Phase 08 Pour simplifier l’analyse mathématique de l’onduleur à résonance type LLC on néglige l’effet des adoucisseurs de commutation ce qui réduit le nombre de modes de fonctionnement à cinq [Sai03]. 5. Calcul simplifié des courants dans les semi-conducteurs Afin de déterminer le type d'interrupteur (MOSFET ou IGBT) à utiliser pour les deux cellules de commutation, il faut évaluer les valeurs efficaces des courants traversant ces interrupteurs. Le calcul de ces valeurs ne sera pas conduit de façon précise mais prendra plutôt la forme d'une approximation. La négligence de l’effet des adoucisseurs de commutation = , = , =# , et =S réduit le nombre de modes de fonctionnement à cinq (voir la figure III.16) [Sai01, Sai02, Kel02]. 64 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Fig.III.16 : La forme d’onde des tensions et courants aux niveaux des interrupteurs Seule la fondamentale de courant exprimée par la formule (III.16) contribuera au calcul des valeurs efficaces des courants dans les semi-conducteurs T1-D1, T2-D2, T3-D3 et T4-D4 durant un cycle de commutation : Pour R Pour R = a . √2. = < < = # RS < < = : =− S . −b : III. 16 III. 17 III. 18 Ce qui implique que les valeurs efficaces des courants dans les diodes sont les mêmes et égales à : aR = aRS 1 V c = .e d = .E L’intégrale de l’expression (III.19) de 0 à b pour d = 2. ! donne : aR = aR = aRS = a √2 .c b sin 2. b − ! 2. ! III. 19 III. 20 65 Chapitre III Pour VS Onduleur à résonance série-parallèle type LLC < < : = III. 21 La valeur efficace du courant traversant le transistor T4 est calculé par : 1 ijk aVS = c . e d lm Ce qui donne : aVS = Pour R# a √2 # . c1 − < < =− S III. 22 .E >+b 1 + . sin[2. > + b ] ! 2. ! : III. 23 III. 24 Dans ce cas, la valeur efficace du courant traversant la diode D3 est calculé par : 1 i aR# = c . e d ijk III. 25 .E Ce qui donne : aR# = a >+b 1 .c − . sin[2. > + b ] ! 2. ! √2 III. 26 Finalement, la valeur efficace du courant traversant les semi-conducteurs T1, T2 et T3 est donnée par : aV 1 i = c .e d lm .E III. 27 Ce qui nous donne : aV = aV = aV# = a √2 . c1 − b sin 2. b + ! 2. ! III. 28 66 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC 6. Schéma équivalent simplifié de l’onduleur et la pièce à chauffer L'étude analytique en régime permanent est simplifiée si l'on pose les hypothèses suivantes: Les interrupteurs sont idéaux: commutation instantanée, chute de tension nulle Les éléments réactifs du convertisseur sont idéaux : La tension est constante L’agencement de l’inducteur et la pièce à chauffer est considéré comme un transformateur monophasé avec un secondaire court-circuité. La figure III.17 illustre cette analogie [Ahm01, Hel05]: Fig. III.17: Transformateur avec secondaire court-circuité L’analyse du circuit permet d’écrire : = p -: 0 = r. -qm + . -:m -q . + r. + -:s -q % -:s . (III.29) -q La transformée de Laplace du système s’écrit: a . = −r . + . + . . Pour une excitation harmonique ( = t t a t .r . + . = +tu − III. 30 ), l’équation (III.30) devienne : r . . + . v. III. 31 On peut représenter l’inducteur et la pièce à chauffer par une combinaison en série d’une résistance 2w et d’une inductance 2w données par : 67 Chapitre III 2w 2w = Onduleur à résonance série-parallèle type LLC .r . + . r . . − + . = % III. 32 Il est intéressant d’exprimer la constante de temps et le coefficient de couplage en fonction des grandeurs mesurés 2w , 2w et . Théoriquement, La constante de temps x et le coefficient du couplage y sont exprimés par : y= r z . x= % III. 33 De (III.4), On peut écrire: r = = 2w . 2w . − 2w + . . III. 34 On déduit immédiatement l’expression de la constante du temps x , donnée par : x= − 2w En remplaçant r = .{ 1 . III. 36 par sa valeur dans (III.34), on obtient: − 2w |. } { + 2w − 2w | ~ En multipliant l’équation résultante par y=c III. 35 .{ − 2w |. } { − 2w | En fonction des paramètres mesurés •m + 2w , III. 37 , le coefficient de couplage y devient : ~ 2w et x et le coefficient de couplage y du système étudié. III. 38 on peut calculer la constante de temps 68 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC En pratique, un transformateur d'adaptation d’impédance est imposé entre l’onduleur et l’inducteur (voir la figure III.18). Ce transformateur permet l’adaptation de la tension et l’isolement galvanique. Fig. III.18: Une charge avec un transformateur d’adaptation Dans ce cas : = = = . . . III. 39 2w III. 40 2w III. 41 Sous les hypothèses simplificatrices présentées à la section précédente et par la négligence de la valeur de la capacité , le circuit de la figure III.1 peut être réduit à la forme simplifié illustrée sur la figure III.19 où , et sont les éléments du circuit oscillant transférés au primaire du transformateur de séparation [Sai02, Sai03, Zha01, Wan02]. Fig. III.19: Schéma équivalent simplifié L'analyse du circuit permet d'établir les tensions et les courants dans les éléments du circuit de puissance [Kel01, Esp03, Esp04]. 69 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Le système est régi par les équations différentielles suivantes: di… t + vˆ t dt di t % vˆ t = R. i t + L. dt 1 vˆ t = . e i… t − i t dt C III. 42 = . .a + Œ = + . .a % 1 = . [a −a ] . III. 43 u•‚ t = L… . La transformation de Laplace de ces équations nous permet d’écrire: ‹ ,? Œ Œ En écrivant l’impédance vue de la source par: •q = . + . + 1 1 + . Le courant traversant l’inductance L… est exprimé par: I… s = L… . s + 1 1 1 C. s + R + L. s . U•‚ s La tension aux bornes de la capacité C est donnée par : Vˆ s = 1 1 1 + L… . s. •C. s + R + L. s‘ . U•‚ s III. 44 III. 45 III. 46 Finalement, la fonction de transfert du courant dans la charge est calculée par: I s = 1 1 R + L. s . ’1 + L… . s. •C. s + R + L. s‘“ . U•‚ s III. 47 De (III.45) et (III.47), la fonction de transfert du gain en courant s’écrit: H• s = I s 1 = I… s 1 + R. C. s + L. C. s III. 48 70 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC De même, la fonction de transfert du gain en tension s’écrit: Vˆ s R + L. s = U•‚ s L… . L. C. s# + L… . R. C. s + L… + L . s + R H– s = III. 49 7. Analyse de l’impédance totale —H L'impédance est une grandeur qui généralise la notion de résistance, de réactance capacitive et de réactance inductive dans le cas des circuits comportant plusieurs éléments de nature différente. Elle caractérise la manière dont le circuit freine le passage du courant par t en donnant le rapport qui existe entre la tension de la source et le courant résultant. L’impédance complexe du circuit LLC est obtenue en remplaçant l’équation (III.44): •q = . 1− 1 . . + t. [ 1− . . + . − + t. . . . . . # ] On caractérise le circuit par : = ˜ = ™ 2 = √ . . III. 52 III. 53 = •q = III. 54 + t. a. III. 55 L’impédance totale devienne : avec 2 = a. = III. 50 III. 51 1 . . = dans 2 1− ˜ . 2. ™. ™ . 1− ™ 1− ™ .[ 2 1− + ™ ™. [ + +1 − 1− ™ ™ ˜ 2 2. + +1 − ™] ™ ˜ 2. ™] − ˜™ . 1 − . 2. ™ . 71 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Cette fois l'impédance comporte une partie réelle et une partie imaginaire et son module vaut : + a. On peut en déduire aisément le déphasage de la tension par rapport au courant: III. 56 b = A › III. 57 |•q | = z 2 j a. 2 œ Les figure III.20 et III.21 présentent les variations du module et le déphasage en fonction ™ pour différente valeur de ˜ : 450 Q =5 p 400 w1 module(Z)/R 350 Q =9 p Q =12 p 300 250 Qp=15 200 Q =20 p w0 150 100 50 0 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 w n Fig. III.20: Variation du module de •Ÿ• en fonction de ž ™ 100 Q =5 p 50 Q =9 p Qp=12 0 phi [°] de Q =15 p -50 Q =20 p -100 -150 -200 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 w n Fig. III.21:Variation de la phase en fonction de ™ 72 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Deux points de résonance sont présentés sur la figure III.20. L'impédance, donnée par la relation (III.55), passe par un maximum pour < Pour et > = = et par un minimum pour le circuit est inductive et pour est capacitive ou inductive [Gao01, Esp02, Hue01, Esp04]. < < = = =. le circuit En pratique, Afin de réduire la circulation de l’énergie réactive entre la source et la charge et d’augmenter la puissance active nécessaire à la pièce traitée, la plage de fréquence employé est celle de ≥ = pour maintenir la commutation à zéro de tension (ZVS). 8. Approximation du premier harmonique Nous allons d’abord rappeler La forme de la tension ;? imposée par l’onduleur aux bornes du circuit LLC. La figure III.22 illustre la forme d’onde de la tension appliquée aux bornes du circuit oscillant durant un cycle de fonctionnement [Bur01, Chu01]. Fig. III.22: Forme d’onde de la tension imposée aux bornes du circuit oscillant Il est possible de décomposer cette tension en une onde fondamentale et des harmoniques selon le procédé du développement en série de Fourier : ¢ ;? = ¡ ,? ™ . √2. sin ¤? , ¤? , ™£= ™ = = ∅ = A . ¥A + C ! ¤? , : j A C . . III. 58 III. 59 III. 60 III. 61 73 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC où : A = sin α C = 3 + cos α Du développement en série de ;? on peut passer à la valeur du fondamental et des harmoniques des diverses autres grandeurs et en déduire : Quelles grandeurs ont peut confondre avec leurs fondamentaux Dans quelle condition cette approximation est acceptable La fondamentale du courant délivré par la source est donnée par : a = ¥ 1− 2. c 1− + ™ 1+ + ™ .˜ . 2 ™ ˜ ™ − 2. ˜ . # ™ La fondamentale a du courant traversant l’inductance a = ¥ 1− 2. La fondamentale Œ = ¥ 1− + ™ Œ 2. 1+ 1 2 .˜ . de la tension ™ + z1 + ˜ 1+ 2 Œ ™ − 2. ˜ . . ,? ,? a pour valeur efficace : . # ™ aux bornes de la capacité ™ .˜ . ™ − 2. ˜ . III. 62 # ™ . ,? III. 63 est exprimée par : III. 64 Les figures III.23, III.24 et III.25 montrent, pour quelques valeur de ˜ , les variations des Ÿ.ª«m modules de ¬ -®m Ÿ.ªm ,¬ -®m ¯ et ¬ °m respectivement: -®m 74 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC 0.07 Q =5 p 0.06 Q =9 R.I s1/Uab1 p 0.05 Q =12 0.04 Q =15 p p Q =20 0.03 p 0.02 0.01 0 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 w n Fig. III.23: Variation du module de Ÿ.ª«m ¬-®m en fonction de ™ 0.25 Q =5 p Q =9 0.2 p R.I 1/Uab1 Q =12 p 0.15 Q =15 p Q =20 p 0.1 0.05 0 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 w n Fig. III.24: Variation du module de Ÿ.ªm ¬-®m en fonction de ™ 4.5 Q =5 p 4 Q =9 Vc1/Uab1 3.5 p 3 Q =12 2.5 Q =15 2 Q =20 p p p 1.5 1 0.5 0 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 w n Fig. III.25: Variation du module de ¯°m ¬-®m en fonction de ™ 75 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC L’examen de ces courbes montre que confondre Ÿ.ª«m ¬-®m légitime que plus proche de avec son fondamental est d’autant plus est plus faible c'est-à-dire que si ˜ est plus grand (˜ ≫ 1) et si =. est Dans les mêmes conditions, l’hypothèse du premier harmonique est encore plus légitime pour la tension, traversant l’inductance . Œ, aux bornes de la capacité et pour le courant, , 9. Analyse du gain en tension ²³ Le gain en tension est défini comme étant le rapport de la tension vˆ à la tension imposée par l’onduleur, ;? . Il permet de savoir quelle sera la différence d'amplitude apportée au signal entre l'entrée et la sortie. La fonction de transfert du gain complexe du 1 + t. ˜ . circuit LLC est donnée par [Gao01]: ´ = ™ 1− 2. ™ + t. [ 1 + 2 ™ .˜ . ™ − 2. ˜ . III. 65 # ™] Le module et l’argument du gain en tension sont exprimés par : | ´ ™ b´ = A |= j ¥ 1− 2. {˜ . − A ™| + ™ j z1 + ˜ . µ 1+ 1+ 2 2 ™ .˜ . .˜ . 1− ™ ™ 2. − − ™ 2. ˜ 2. ˜ . . III. 66 # ™ # ™ ¶ III. 67 Les figures III.26 et III.27 montrent l’évolution du module et l’argument du gain en tension en fonction de ™ pour différentes valeurs de facteur de charge: 4.5 3.5 Qp=9 Qp=12 2.5 Qp=15 2 Qp=20 V /U 3 ab1 Qp=5 c1 4 1.5 1 0.5 0 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 wn Fig. III.26: Variation du gain en tension en fonction de ™ 76 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC 180 Q =5 p 160 Q =9 p phi (Hv) [°] 140 120 Q =12 100 Q =15 80 Qp=20 p p 60 40 20 0 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 w n Fig. III.27: Variation de la phase du gain en tension en fonction de ™ L’augmentation de la fréquence de commutation entraine une augmentation du gain en < tension ( = ). = Pour la fréquence de résonance ( valeur maximale et commence à diminuer ( > = ). = ), le gain passe par une Pour les valeurs ( > =) et (˜ ≫ 1), l’argument devient minimal. L’examen de ces courbes montre que le gain en tension dépend fortement de la fréquence et le facteur de charge. La figure III.28 illustre les variations du gain en tension pour différentes valeurs du rapport des inductances, 2: 70 L =0.5 e 60 L =1 module (Hv) e 50 L =2 40 L =3 30 L =7 e e e 20 10 0 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 w n Fig.III.28: L’influence du rapport des inductances sur le gain en tension L’examen de ces courbes montre la relation existante entre le gain en tension fréquence de commutation et le rapport des inductances 2. ´, la L’augmentation du rapport 77 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC des inductances entraîne une diminution du gain en tension et le déplacement du point de fonctionnement. Ceci est justifié par l’importance du choix des inductances pour la conception convenable de l’onduleur. 10. Analyse du gain en courant ²O Le gain en courant désigne le rapport entre le courant dans la charge a et le courant a traversant l’inductance série. La fonction de transfert du gain complexe du circuit LLC est donnée par [Ded02, Esp01, Esp02, Gao01]: : ™ = 1− 1 ™ III. 68 + t. ˜™ 1 Le module et l’argument du gain en courant sont exprimés par : | : ™ |= b: = − A c 1− j ™ u ˜ . 1− ™ + ™ III. 69 ™ ˜ v III. 70 courant en fonction de la fréquence pour différentes valeurs du facteur de qualité ˜ : Les figures III.29 et III.30 illustrent les variations du module et l’argument du gain en 20 Q =5 p Q =9 p module (Hi) 15 Q =12 p Q =15 p 10 Q =20 p 5 0 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 w n Fig. III.29: Variation du gain en courant fonction de ™ 78 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC 100 Q =5 p Q =9 p 50 phi(Hi) [°] Q =12 p Q =15 p 0 Q =20 p -50 -100 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 w n Fig. III.30: Variation de l’argument du gain en courant en fonction de ™ On remarque que cette courbe n’est pas continûment croissante. Elle atteint une valeur = maximale pour ( est minimal. 11. Calcul de ·J et ·I Pour calculer ) et ˜ = 20. Pour les valeurs ( > ) et (˜ ≫ 1) l’argument on prend l’équation (III.69). Le calcul de la valeur maximale de cette équation revient à calculer le minimum de son dénominateur exprimé par [Esp01]: ¸¹º ™ = c 1− ™ + ™ ˜ III. 71 La valeur maximale du gain en courant peut être trouvé avec la valeur de correspondante en supposant que la dérivée première du dénominateur de l’équation (III.71) est égale à zéro : E E ™ ¸¹º ™ =0 2 . ˜ III. 72 Ce qui implique que : −4. ™. 1− ™ −4. ™. 1− ™ + ™ =0 III. 73 Pour les valeurs larges du facteur de qualité (˜ ≫ 1), l’équation (III.73) devienne : =0 III. 74 79 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC III. 75 La solution retenue est: ™ =1 donc: = = 1 III. 76 √ . = Pour simplifier le calcul de a = Ÿ.ªm ¬-®m E = E 2. ¥ 1− 1+ .˜ . 2 • 1− ». 2 2 + Ce qui nous donne : 3. 2. S ™ 3. 2. S ™ + 2. u 1+ . ˜* . » − 2. 2. 1+ − 4. [ 2 . 1 + 2 ]. 2 ˜ 2 ™ = passe par un maximum pour satisfaisant : ™ + ™ 1 ,? on prend l’équation (III.63). v. − =. − ™ +[ 1+ . 3 2‘ +u 1+ 2 III. 77 C'est-à-dire, nous devons trouver la valeur de » . ˜* . Pour ˜ ≫ 1, L’équation (III.79) devienne : ™ 2. ˜ # ™ . 2 =0 − 2. III. 78 2 ˜ v=0 ]=0 La résolution de cette équation donne l’expression de la fréquence de résonance = 1+ =c 2 2 . III. 79 III. 80 =: III. 81 12. Calcul de la puissance fournie au récepteur Dans la configuration LLC, si on confond la tension imposée avec sa fondamentale, la puissance moyenne fournie au récepteur peut s'écrire [Sai03]: ¼= 1 . 10 + 6. cos > . » ½ ¾ 2. ! •q : III. 82 80 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Ce qui nous donne : ¼= 2. ! avec : 2 ¿•q À 2 ¿•q À . 10 + 6. cos > . : 1− = a. ¿•q À = ˜ . 2. ™. ™ . 1− 1− ™ 2 ¿•q À + ™ 1− .[ 2 + a. ¿•q À ™. [ + ™ +1 − 1− La puissance dissipée dépende de ™ ™ ™ ˜ 2 2. + +1 − ™] ™ ˜ − 2. ™ ˜ ™] . 1− III. 83 . 2. ™ . et de l’angle de déphasage > du transistor T4. 13. Considérations pratiques L’onduleur à résonance série-parallèle type LLC est un onduleur de tension qui regroupe les performances de l’onduleur à résonance série et l’onduleur à résonance parallèle. A la fréquence de résonance, le courant traversant l’inductance est amplifié et le déphasage devient minimal, ce qui diminue la circulation de l’énergie réactive entre la source et la charge et permettre de chauffer la pièce avec un courant, très grand devant le courant, = Pour b | = : = =, = A |= z , qui traverse l’inductance , relativement [Esp02, Gen01]. le déphasage et le gain en courant sont exprimés par : j 2 µ 1+ ˜ 2. ˜ + 2 2 ¶ III. 84 III. 85 +˜ La figure III.31 illustre les variations du rapport des inductances déphasage, b , pour différentes valeurs du facteur de qualité ˜ : 2 en fonction du 81 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC 10 Q =5 8 p Q =9 p 6 Q =12 Le p Q =15 p 4 Q =20 p Q =25 2 p Q =30 0 p 0 10 20 30 40 50 phi [°] Fig. III.31: Evolution du rapport 2 60 70 en fonction de b De même la figure III.32 illustre les variations du gain en courant en fonction du rapport des inductances pour différentes valeurs du facteur de qualité : 10 Q =5 p Q =9 module(Hi) 8 p Q =12 p 6 Q =15 p Q =20 p 4 Q =25 p 2 Q =30 p 0 0 1 2 3 4 5 L 6 7 8 9 10 e Fig. III.32: Evolution du rapport gain en courant en fonction de 2 L’augmentation des valeurs du facteur de qualité, ˜ , et le rapport des inductances, 2, entraine une diminution du déphasage, b et l’augmentation du gain en courant. Pour les valeurs larges du facteur de qualité (˜ > 20) l’onduleur à résonance série-parallèle atteint ces performances désirés à savoir: le gain en courant, la commutation à zéro de tension. 82 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Pour ˜ ≫ 1, le gain en courant devient : | : |≈ = b =b 2 et le déphasage s’écrit : .:™ III. 86 III. 87 14. Algorithme de conception du circuit LLC Cet algorithme est composé de 08 étapes [Esp01]: Etape 1 : Définition de la nature, la géométrie et les caractéristiques de la pièce traitée Dans cette étape on définit la nature, les caractéristiques physiques et la géométrie de la pièce traitée : La résistivité électrique, , et la perméabilité magnétique relative Á Acier 50 Crv 4, XC 40, AISI 1045, Aluminium, etc La longueur, ℓ, et le rayon, ÄÅ La masse, Æ de la pièce Etape 2 : Calcul de la fréquence du courant imposé <= La fréquence du courant imposé est calculée par : !. Á= . Á . @ où @ est la profondeur de pénétration désirée. III. 88 Pour calculer les ampères-tours, on précise la température, d, à atteindre ainsi que Etape 3 : calcul des ampères-tours le temps, , nécessaire au processus de chauffage. La puissance électrique demandée est calculée par : ¼ = Æ. D. III. 89 VjVÇ q où d= est la température ambiante et D est la valeur moyenne de la capacité thermique relative du matériau. La puissance dissipée par effet Joule est proportionnelle au carrée de l’intensité du courant traversant l’inducteur: ¼ = !. ÄÅ . È s .ªms ℓ . zÁ= . Á . . < III. 90 83 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Si on néglige les pertes dans l’inducteur, les ampères-tours sont calculés par : É. a = c Æ. D. d − d= . ℓ III. 91 !. ÄÅ . . zÁ= . Á . . < Etape 4 : Détermination des données nécessaires au problème Après avoir calculé les ampères-tours et la puissance nécessaire à l’étape de chauffage, La puissance dissipée, ¼.?Ê on fixe les valeurs maximales de : La tension maximale, Le courant maximal, a Œ .?Ê , .?Ê , De plus on détermine la tension, :, aux bornes de la capacité traversant l’inductance et la résistance, Etape 5 : Calcul de la valeur efficace de la tension ,? > par : ,? La valeur efficace de tension, ,? , est exprimée en fonction de l’angle puissance = : !. √2 . √10 + 6. cos > III. 92 Pour calculer, ,? , on prend > = 0. Etape 6 : calcul du rapport des inductances ( 2 ) = et ˜ ≫ 1, la puissance maximale devienne : Pour calculer le rapport des inductances on utilise l’expression de la puissance dissipée. Si ¼.?Ê ≈ : 2. ! . . = 2 Donc le rapport des inductances, 2 = = : !. z2. . ¼.?Ê 2, III. 93 est exprimé par : Etape 7 : calcul du facteur de qualité maximale (˜ .?Ê ) Pour calculer la valeur maximale du facteur de qualité, ˜ III. 94 .?Ê , on prend l’expression du gain en tension. La valeur maximale du gain en tension est calculée par : 84 Chapitre III | ´.?Ê | Pour | ´ = = = Onduleur à résonance série-parallèle type LLC Œ .?Ê ,? |=| =, l’expression du gain maximal devienne : ´.?Ê | = 1 2 . c[1 + ˜ . 1 + 1 2 ] III. 95 III. 96 De (III.96), le facteur de qualité maximal est exprimé par : ˜ .?Ê =c # | ´.?Ê | 2. 1+ 2 − III. 97 2 ˜ .?Ê . 2. !. < Etape 8 : Calcul des paramètres des éléments = = = 2. 1 2. !. . <. ˜ , » du circuit oscillant III. 98 III. 99 III. 100 .?Ê 15. Simulation et discussion La simulation que nous présentons dans cette section a pour but de valider l'étude analytique. Le circuit simulé est un onduleur à résonance série-parallèle type LLC à base de MOSFET. L’objectif est de concevoir un système d’alimentation pour chauffer une pièce métallique de forme cylindrique en acier 50 CrV 4. La fréquence de résonance, <= = 200y Les valeurs nominales de l’onduleur sont: La puissance maximale, ¼.?Ê = 3yË La tension continue, La résistance, : = 310 = 0.18Ω La tension maximale aux bornes de , Le courant maximal, a .?Ê = 20 Ì Œ.?Ê = 1000 85 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC La courbe de la figure III.33 est le résultat de simulation pour l’onduleur à résonance étudié. L’onduleur est employé au voisinage de la fréquence de résonance avec un angle de puissance nul. 300 uab 200 i s 100 0 -100 -200 -300 3.7 3.72 3.74 3.76 3.78 3.8 3.82 3.84 3.86 3.88 t[s] -4 Fig. III.33: Forme d’onde de la tension ;? x 10 et le courant La figure III.34 présente le courant traversant l'inductance condensateur de compensation, 3.9 et la tension aux bornes du . 600 vc 400 i 200 0 -200 -400 -600 3.7 3.72 3.74 3.76 3.78 3.8 3.82 3.84 3.86 t[s] Fig. III.34: Formes d’ondes de la tension 3.88 3.9 -4 x 10 Œ L'examen de la forme d'onde du courant dans l’inductance et le courant et la tension aux bornes du condensateur , montre que pour les fréquences proches de la résonance les allures sont Quasi-sinusoïdale. La figure III.35 présente les formes d'onde de la tension et du courant traversant l'interrupteur T1 : 86 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle série type LLC iT1D1 300 U T1D1 250 200 150 ZVS 100 50 0 3.7 3.72 3.74 3.76 3.78 3.8 3.82 3.84 3.86 3.88 t[s] 3.9 -4 x 10 Fig.III.35 III.35 : La commutation à zéro de tension Une comparaison du courant de l'interrupteur avec son signal de commande nous montre que l’onduleur est employé à commutation à tension nulle. Cela assure que les pertes dans l'interrupteur sont quasiment inexistantes, ce qui améliore le rendement et minimise les interférences électromagnétiques. La figure III.36 montree les formes d’ondes de la tension imposée par l’onduleur, le courant traversant l’inductance et les spectres d’harmoniques correspondants pour différente valeur de l’angle de puissance >. 300 100 200 50 i [A ] u a b [v ] 100 0 0 -100 -50 -200 -100 -300 3.7 3.72 3.74 3.76 3.78 3.8 t[s] 3.82 3.84 3.86 3.88 3.7 3.9 3.72 3.74 3.76 3.78 3.8 t[s] -4 x 10 Í 3.82 3.84 3.86 3.88 3.9 -4 x 10 XZ° 87 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle série type LLC 100 300 200 50 i [A ] U a b 1 [v ] 100 0 0 -100 -50 -200 -300 3.7 3.72 3.74 3.76 3.78 3.8 3.82 3.84 3.86 3.88 t [s] 3.9 -100 3.7 3.72 3.74 3.76 3.78 x 10 Í 3.8 3.82 3.84 3.86 3.88 t[s] -4 3.9 -4 x 10 ÏI° 100 300 200 50 i [A ] u a b [v ] 100 0 0 -100 -50 -200 -300 3.7 3.72 3.74 3.76 3.78 3.8 3.82 3.84 3.86 t[s] 3.88 3.9 3.72 3.74 3.76 3.78 et 3.8 3.82 3.84 t[s] x 10 Í orme d’onde de ;? Fig.III.36: Forme -100 3.7 -4 3.86 3.88 3.9 -4 x 10 JWZ° pour > 45°, > 90 et > 90° 135° 88 Chapitre III Onduleur à résonance série-parallèle type LLC L’examen de ces courbes nous montre que l’augmentation de l’angle de puissance entraine une diminution de l’amplitude du courant dans la charge et l’augmentation de taux de distorsion harmonique de la tension imposée. Le taux de distorsion harmonique des courants est relativement très faible et reste constant (2.81%). 16. Conclusion Ce chapitre est consacré à l’analyse mathématique et la conception de l’onduleur à résonance série-parallèle type LLC pour les applications industrielles du chauffage par induction. L’analyse mathématique de l’onduleur proposé confirme que La puissance dissipée varie en fonction de la fréquence et l’angle de déphasage >. La simulation montre que l’onduleur proposé regroupe les avantages de l’onduleur à résonance série et l’onduleur à résonance parallèle à savoir : La puissance fournie à la charge est maximale au voisinage de la fréquence de résonance L’approximation du premier harmonique est acceptable pour ˜ ≫ 1 et La commutation à zéro de tension et le gain en courant ≈ = L’emploi de la capacité aux bornes de l’inducteur assure une auto-protection de l’onduleur Le choix des inductances joue un rôle capital dans la conception convenable du circuit LLC. 89 Chapitre 4 Modélisation et Commande Classique du Système Chapitre IV Modélisation et commande classique du système 1. Introduction L’augmentation de la complexité des convertisseurs à résonance, pour répondre aux besoins industriels, nécessite des modèles mathématiques capables de représenter les comportements statiques et dynamiques du convertisseur. De ce fait, la modélisation est devenue un domaine de recherche très intéressant. Dans les applications du chauffage par induction, la température de la pièce à traitée a une forte influence sur l'environnement électromagnétique, comme la profondeur de pénétration et la densité de puissance. Au-dessus de la température de Curie, cette influence est fortement non-linéaire ce qui complique relativement la modélisation, l’analyse et la commande de l’onduleur. En plus, du fait du jeu des interrupteurs, l’onduleur change plusieurs fois de configurations sur une période de fonctionnement, ce qui en fait un système à topologie variable. Concernant la commande des convertisseurs à résonance destinés au chauffage par induction, plusieurs approches ont été développées dans la littérature. Avec le bon dimensionnement des éléments du convertisseur, la commande par PI a été largement adoptée dans l’industrie pour sa simplicité et son faible coût. Cette stratégie de commande nécessite la connaissance complète du modèle et ne permettent de maintenir les performances de régulation que dans le cas de petites variations des valeurs nominales des éléments du système. La première partie de ce chapitre vise à présenter la méthode de modélisation et les difficultés qu'elle présente. En effet, elle consiste à transformer le modèle non linéaire à un modèle à grands signaux puis à linéariser le modèle obtenu autour d'un point de fonctionnement. Finalement, l'ensemble des modèles théoriques proposés sont vérifiés par simulation, afin de conclure sur leur précision. La deuxième partie est consacrée à l’application d’une commande basée sur un régulateur PI. Initialement, la boucle de fréquence utilisée en boucle fermée du système est brièvement détaillée. En suite nous présenterons la structure du correcteur PI adoptée. Par la suite, les deux coefficients du premier régulateur PI sont déterminés à l’aide de la méthode de Ziegler-Nichols. 2. Démarche de construction d’un modèle à petits signaux Cette technique de modélisation est basée sur la résolution des équations différentielles non linéaires à second membre périodique. La méthode consiste à approximer une forme d’onde ( ) de période à un degré de précision désiré et ce, par la série de Fourier suivante [Mer01, Cha01, Gra01, His01, Hel04]: 90 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système ( )= 〈 ( )〉 + (IV. 1) où : est la valeur moyenne de ( ). La kiéme harmonique de la fonction ( ) est donné par : 〈 ( )〉 = avec : = 2. ! Les coefficients = = 2 2 . )+ . cos( . #$ et . sin( . . ) (IV. 2) sont calculés à l’aide des expressions suivantes : . " ( ). sin ( . . ).% (IV. 3) . " ( ). '() ( . . ).% (IV. 4) #$ On utilise la propriété de la transformation suivante: % % 〈 ( )〉 = + + . % % . , . cos( . . )++ % − . % . , . sin( . . ) Si l’on arrête au premier harmonique, on effectue l’approximation suivante : 〈 ( )〉 ≈ . cos( On suppose ici que . )+ . sin( . ) (IV. 5) (IV. 6) varie faiblement dans le temps. Pour un convertisseur à résonance décrit par 1 = 2( , 4), les valeurs efficaces des courants, des tensions et des harmoniques à la fréquence considérée sont déduites également des expressions précédentes. Nous illustrerons par la suite les différentes étapes de la création du modèle à petits signaux de l’onduleur à résonance série parallèle type LLC. En résumé, nous pouvons dire que la procédure de développement se fera selon les 08 étapes décrites sur la figure IV.1 [Mer01, Leh01, Yan01]: 91 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système Fig. IV.1 : Les différentes étapes de la modélisation 2.1. Analyse topologique du convertisseur La structure du convertisseur étudié est représentée sur la figure IV.2. Ce convertisseur présente un étage continu et un étage alternatif. Fig. IV.2: Analyse topologique de l’onduleur 92 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système Nous nous sommes intéressés à l’étude des grandeurs alternatives qui sont le courant 5 ( ) dans l’inductance 6 , la tension 78 ( ) aux bornes du condensateur ainsi que le courant 5( ) dans l’inductance 6. Nous allons déterminer : Le modèle exact du système étudié Le modèle à grands signaux Le modèle à petits signaux 2.2. Modèle exact Le modèle exact est décrit sous la forme d’équations différentielles à entrée discontinue et périodique : %5 ( ) < 4=> ( ) = 6 . + 78 ( ) % : %5( ) A 78 ( ) = ?. 5( ) + 6. % ; 1 : ( ) 7 = . "(5 ( ) − 5( ))% 9 8 @ 1 . ?. 5 D ( ) 2 La variable de sortie est la puissance dissipée par effet Joule : C( ) = (IV. 7) (IV. 8) où 5 ( ), 78 ( ) et 5( ) représentent respectivement le courant dans l’inductance 6 , la tension aux bornes de la capacité @ et le courant traversant la charge. L’onduleur impose une tension 4=> ( ) caractérisée par une amplitude constante FG , une fréquence de commutation et un angle de déphasage H. ?, 6 et 6 sont les éléments du circuit résonant série parallèle. Le vecteur d’état du système s’écrit : ( ) = [5 ( ) 78 ( ) 5( )]K et le vecteur de commande 4( ) = [ ( ) H( )]K (IV. 9) (IV. 10) Bien que le modèle de connaissance (IV.7) décrive le comportement dynamique du convertisseur, il est difficilement utilisable dans la synthèse d’une loi de commande. Il s’avère nécessaire d’en en déduire une version plus simple mais assez précise. 93 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système 2.3. Approximation du premier harmonique L’approximation du premier harmonique est une technique mathématique utilisée souvent pour étudier les onduleurs à résonance destiné au chauffage par induction. Elle permet une analyse approximative des grandeurs de sortie de l’onduleur. Son application impose de retenir l’harmonique fondamental ; les harmoniques d’ordre supérieurs sont négligés dans l’analyse [Che03, Dom01, Sta01]. Dans ce travail, les variables d’état du système peuvent être écris sous la forme : 5 ( )≈ 78 ( ) ≈ 5( ) ≈ N( DN ( PN ( ). cos( . )+ ). cos( . )+ ). cos( . )+ O( DO ( PO ( ). sin( ). sin( ). sin( . ) (IV. 11) . ) (IV. 12) . ) Les dérivés de 5 ( ), 78 ( ) et 5( ) sont donnés par : % N( ) %5 ( ) =+ + % % % DN ( ) %78 ( ) =+ + % % %5( ) % PN ( ) =+ + % % . . . O( DO ( PO ( N O DN DO La tension 4=> ( ) s’écrit : 4=> ( ) ≈ 7N ( ). cos( où 7N ( ) = sin (H( )) . )+Q ), . cos( . )+Q ), . cos( Le vecteur d’état du système devient : ( )=[ % . )+Q ), . cos( PN PO ] K . ) + 7O ( ). sin( . ) % % (IV. 13) O( % DO ( % PO ( % ) ) − ) − − . . . N( DN ( PN ( )R . sin( )R . sin( )R . sin( . ) (IV. 14) . ) (V. 15) . ) (IV. 16) (IV. 17) (IV. 18) 7O ( ) = 3 + '() (H( )) La sortie s’écrit : S( ) = C( ) (IV. 19) 2.4. Modèle moyen grands signaux L’emploi de la méthode du premier harmonique nous permet de passer du modèle exact (IV.7) au modèle du premier harmonique en remplaçant les variables 5 ( ), 78 ( ) et 94 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système 5( ) par ses expressions et H par (!. T). Dans ce cas, le modèle non linéaire à grands signaux de l’onduleur à résonance série parallèle type LLC s’écrit: % N 1 FG < = − . O + . DN − . sin(!. T) !. 6 6 : % 1 FG :% O : % = . N + 6 . DO − !. 6 . [3 + cos(!. T)] : % DN 1 1 : = − . DO − . N + . PN A % @ @ % DO 1 1 ; = . DN − . O + . PO : @ @ % : % PN 1 ? : = − . PO + . DN − . PN 6 6 % : % PO 1 ? : = . PN + . DN − . PO 9 % 6 6 (IV. 20) où : 0 < T < 1 La puissance dissipée est donnée par : 1 D D . ?. V PN + PO W (IV. 21) 2 La figure IV.3 représente le modèle à grands signaux du système étudié (voir l’annexe B): S( ) = Fig. IV.3 : Modèle à grands signaux Le modèle à grands signaux est par essence non linéaire. Il ne peut pas être utilisé pour synthétiser un correcteur linéaire continu ou échantillonné ainsi que pour l’analyse du système considéré. Dans cette perspective, nous sommes amenés à réaliser un modèle 95 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système linéaire qui est aussi appelé modèle tangent, valable autour d’un point de fonctionnement. Ce modèle permet de s’affranchir des problèmes de non linéarité. La construction de tel modèle passe par un développement en séries de Taylor limité au premier ordre [Mer01]. 2.5. Validation du modèle moyen à grands signaux Les principaux outils d'analyse en grands signaux des systèmes, communément utilisés en littérature, sont la représentation en plan de phase et les réponses temporelles. La première méthode consiste à vérifier la stabilité en boucle fermée du système pour différentes conditions initiales, et c’en vérifiant la convergence des courbes dans le plan de phase vers le point d'équilibre (point de fonctionnement nominal). La seconde méthode consiste à observer les sorties du système pour différentes variations des entrées, et les comparer à celles du modèle [Bel01]. Afin de valider notre modèle, nous allons le confronter aux résultats de simulations issus du fonctionnement du convertisseur précédemment décrit. On compare les dynamiques temporelles des sorties (5 ( ), 78 ( ), 5( )) du modèle et du convertisseur (voir la figure IV.4). 27 Circuit modèle 200 Circuit modèle 26 25 100 I s [v ] I [A ] 24 0 23 -100 22 21 -200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t[s] 20 -4 2 2.2 2.4 2.6 2.8 x 10 3 3.2 3.4 3.6 3.8 t[s] 4 -3 x 10 126 850 Circuit modèle 845 Circuit modèle 124 840 I [A ] V c [v ] 122 835 120 830 118 825 116 820 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 t[s] 3.2 3.4 3.6 3.8 4 -3 x 10 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 t[s] 3.2 3.4 3.6 3.8 4 -3 x 10 Fig. IV.4 : Comparaison des réponses temporelles des différentes sorties du système 96 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système D’après la figure IV.4, nous remarquons que l’enveloppe du courant résonant 5( ) met en évidence la bonne concordance entre notre modèle à grands signaux et le circuit réel. Les légères différences en amplitude, sont causées par les pertes au niveau du circuit réel et la considération du premier harmonique des variables d’états. Ceci peut certifier de la haute précision du modèle à grands signaux proposé. 2.6. Détermination du point d’équilibre XY Du modèle précédemment défini (IV.20), nous pouvons déduire le point fonctionnement correspondant au < − : : : . : : . N ; : : : : : 9 + − − Pour T[ et = 1 6 O + 1 . 6 . . . . 1 . 6 DN − NZ(K) NK = 0 [Zho01, Tian03, His01]: FG . sin(!. T) = 0 !. 6 FG . [3 + cos(!. T)] = 0 !. 6 1 1 DO − . N + . PN = 0 A @ @ 1 1 + . =0 DO − . @ O @ PO 1 ? PO + . DN − . PN = 0 6 6 1 ? PN + . DN − . PO = 0 6 6 [ DO − données et en posant: = (IV. 22) (IV. 23) 1 @ ? P = 6 1 \ = 6 D de (IV. 24) (IV. 25) (IV. 26) La résolution du système d’équation nous donne le point de fonctionnement correspondant: ]DO[ = . ^ . sin(!. T[ ) − . _. \ − \ . [3 `. ^ + cos (!. T[ )] (IV. 27) 97 Chapitre IV ]DN[ = − ] ] N[ O[ = Modélisation et commande classique du système . sin(!. T[ ) + . ]DN[ + D . ]DO[ ` . [3 = − D . ]DN[ + P . ]DO[ \ . ]DN[ [ . ]PO[ [ . sin(!. T[ ) \. ]PO[ = ]PO[ = − P + D P \ P. + + cos (!. T[ )] \ . [3 D [ (IV. 28) (IV. 29) (IV. 30) + cos (!. T[ )] (IV. 31) (IV. 32) a[ = ?. ]PN[ + ?. ]PO[ où : = D P = = \ P [ D D P \ = D. ^ = . ` _ − − \. + = − P. = D. P P \. + \. D P+ P D [ [ [ [ D [ P. [ D [ (IV. 33) D [ − [ − 2.7. Perturbation et linéarisation du système Afin de concevoir des boucles de régulation et d’étudier l’effet des variations paramétriques sur les performances du système, la modélisation à petits signaux est utilisée comme un outil mathématique fournissant des modèles d’états linéaires. Supposons que l’onduleur à résonance série parallèle type LLC fonctionne autour de son point de fonctionnement [Bel01, Hu01, Hem01]. Afin que notre système se comporte comme un système linéaire autour de (][ , b[ , a[ ), on introduit les variables d’écarts suivantes : ( ) = ][ + d( c4( ) = b[ + 4d( S( ) = a[ + Sd( où : ][ = (] ) )A ) N[ , ] N[ , ]DN[ , ]DO[ , ]PN[ , ]PO[ ), (IV. 34) b[ = (T[ , [) 98 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système Au régime permanant, par la perturbation et la linéarisation du modèle non linéaire (IV.20) autour de son point de fonctionnement, il est possible de passer au modèle à petits signaux décrit par les équations suivantes : %e N 1 FG g < = − [ . e O − ] O[ . f + . eDN − . cos(!. T[ ). T % 6 6 : 1 FG : %e O g : % = [ . e N + ] N[ . f + 6 . eDO + 6 . sin(!. T[ ). T : % eDN 1 1 : = − [ . eDO − ]DN[ . f − . e N + . ePN A % @ @ % eDO 1 1 ; = [ . eDO + ]DO[ . f − . e O + . ePO : % @ @ : % ePN 1 ? : = − [ . ePO − ]PO[ . f + . eDN − . ePN % 6 6 : % ePO 1 ? : = [ . ePN + ]PN[ . f + . eDN − . ePO 9 % 6 6 La sortie est donnée par : Se = ?. ]PN[ . ePN + ?. ]PO[ . ePO (IV. 35) (IV. 36) Le circuit équivalent en petits signaux du système étudié est représenté sur la figure IV.5 (voir l’annexe B): Fig. IV.5: Modèle à petits signaux 2.8. Modèle à petits signaux La linéarisation du modèle moyen autour de son point de fonctionnement nominal est une approche très utilisée pour les onduleurs à résonance. Le modèle obtenu est linéaire invariant dans le temps, et gouverne le comportement dynamique de l’onduleur 99 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système dans un régime de faibles variations autour de son point de fonctionnement [Sze01, Ift01, Kel03, Kan01]. Pour la commande en et T, le système d’équations (IV.35) pouvant s’écrire de manière compacte e1 = h( e, 4e) de la forme : % e( ) = i. e( ) + j . 4 k( ) + jD . 4 k( D )A c % Se( ) = @. e( ) (IV. 37) où: K e( ) = [ kN ( ) kO ( ) k DN ( ) k DO ( ) k PN ( ) k PO ( )] g( ) 4f1 ( ) = T 4 k( D ) = k( ) o n n n n A=n n n n n 0 1 @ [ − 0 0 0 1 @ m 0 0 o n j =n n n m 0 0 [ − 1 6 0 0 1 6 [ 0 1 − 6 − 0 FG . cos (!. T[ ) 6 r FG . )5s (!. T[ ) q 6 q q 0 q 0 0 p 0 0 0 1 6 [ 0 0 0 − 1 @ 0 − ? 6 [ r 0 q q q 0 q 1 q − q @ q − [q q ? 6 p − −] O[ ] o N[ r −]DO[ q jD = n n ]DN[ q n q −]PO[ m ]PN[ p @ = [0 0 0 0 ?. ]PN[ ?. ]PO[ ] 100 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système 2.9. Calcul de la fonction de transfert du système Cette dernière équation (IV.37) définit les différentes fonctions de transfert régissant les relations entre les différentes entrées et sorties du convertisseur. Le modèle en petits signaux offre la possibilité de concevoir diverses méthodes de commande linéaires. Son majeur inconvénient est la négligence des non-linéarités du convertisseur, ce qui peut se répercuter sur les performances transitoires de l’onduleur. La précision d'un tel modèle risque de se détériorer pour de fortes déviations par rapport au régime de fonctionnement nominal [Bel01, Tia01, Tia02]. Les deux Cg ()) = @. (). u − i)v . j g T ()) fonctions de transfert s’obtiennent de manière classique, elles sont données par les équations suivantes : t ()) = tD ()) = (IV. 38) wD ()) C = @. (). u − i)v . jD k()) (IV. 39) La Figure IV.6 représente le schéma bloc équivalent du convertisseur dans le domaine fréquentiel : Fig. IV.6: Le schéma bloc du convertisseur 2.10. Validation du modèle à petits signaux Pour les différents modèles proposés, l'étape de validation consiste à comparer la réponse du circuit à celle du modèle, face aux mêmes excitations sur les entrées. II est nécessaire de signaler que les essais relatifs à la validation des modèles ne peuvent pas être élaborés expérimentalement, car ils requièrent des générateurs à amplitude et fréquence variables [Bel01, Kan01]. On se contente alors de vérifier les fonctions de transfert en question par simulation. Les fonctions de transfert wy ( ) x g( ) z et w{ ( ) x k$ ( ) | peuvent être mesurées en injectant une petite perturbation sinusoïdale dans les signaux d’entrées et on mesure les réponses Cg ()) et wD ()). Pour vérifier ce modèle, la réponse en fréquence en utilisant le modèle proposé a C été comparée à des mesures obtenues à partir du circuit réel. Les résultats obtenus sont 101 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système représentés sur la figure (IV.7.a) pour wy ( ) x g( ) z et sur la figure (IV.7.b) pour w{ ( ) x k$ ( ) | . Les courbes de couleur noir représentent les mesures du circuit réel et les lignes de couleur rouge sont les résultats de la simulation calculée à partir du modèle développé. 100 90 circuit modèle A m p litu d e [d B ] 70 60 50 40 30 20 80 70 60 50 40 0 2 4 6 8 10 12 w [Hz] 30 14 4 0 2 4 6 x 10 circuit modèle 200 8 10 12 14 w [Hz] 4 x 10 circuit modèle 200 100 100 P h a s e [° ] P h a s e [° ] circuit modèle 90 A m p litu d e [d B ] 80 0 -100 0 -100 -200 -200 2 4 6 8 10 12 w [Hz] 14 2 4 4 x 10 (a) 6 8 10 12 w [Hz] 14 4 x 10 (b) Fig. IV.7: Diagramme de Bode des deux fonctions de transfert Les légères déviations observées entre les résultats théoriques et les mesures peuvent être dues aux erreurs de mesure et à l'imperfection du circuit. Cette dernière peut ajouter des composantes parasites additionnelles, non prises en compte lors de la modélisation. 3. Modèle à petits signaux de la commande proposée Comme pour toutes les topologies des convertisseurs DC-AC, on vise de la commande de l’onduleur à résonance série parallèle type LLC les objectifs suivants: La régulation de la puissance fournie à la charge à une valeur de référence, Des temps de réponse courts, Des dépassements en courant et en tension moindres, 102 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système Maintenir la ZVS Une haute robustesse du convertisseur face aux fortes perturbations et variations paramétriques côté charge et côté réseau. Le schéma-bloc illustré par la figure IV.8 représente le modèle à petits signaux de la commande en fréquence variable et rapport cyclique variable de l’onduleur à résonance série parallèle type LLC [Tia02]: Fig. IV.8 : Modèle à petits signaux de la commande proposée Le système est composé de deux boucles : une boucle de puissance et une boucle de fréquence pour maintenir la commutation à zéro de tension (ZVS) durant le processus de chauffage. 3.1. Modélisation de la commande PLL La boucle à verrouillage de phase est un circuit très utilisé en électronique. Il s'agit donc comme leur nom l'indique d'un asservissement de phase dont le rôle est d'asservir la phase d'un oscillateur local à celle d'un signal extérieur. Le schéma de principe d'une boucle à verrouillage de phase est donné ci-dessous en figure IV.9, il s'agit d’un circuit composé de 03 éléments: un comparateur de phase, un filtre passe-bas et un oscillateur de tension [Kod01]. Fig. IV.9 : Schéma bloc de la commande PLL 103 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système g[ est la phase du signal d’entrée } où : ~N correspond au facteur de sensibilité du comparateur de phase [v.rad-1] ~• et €• sont les paramètres du filtre ~ correspond au facteur de sensibilité du VCO [rad.s-1.v-1] g est la phase issue du VCO } La fonction de transfert du PLL s’écrit : tx•• ()) = ~N . ~• . ~ . €• . ) D + ~N . ~• . ~ . ) k = w[ €• . ) D + ~N . ~• . ~ . €• . ) + ~N . ~• . ~ } On a donc une boucle d’ordre 2 caractérisée par une pulsation propre ~N . ~• . ~ €• d’amortissement ξ: D ‚ = 2. ξ. ‚ (IV. 40) ‚ et un facteur (IV. 41) = ~N . ~• . ~ (IV. 42) A partir de celle-ci, on peut déduire la fonction de transfert du système asservi et donc les valeurs à attribuer aux coefficients pour obtenir une réponse qui nous satisfasse. On obtient finalement : tx•• ()) = 2. „. … . ) D + …D . ) ) D + 2. „. … . ) + …D (IV. 43) Pour mesurer les constantes comme le temps de montée, temps de réponse et le dépassement, en fonction de équations suivantes: 1 … et ξ , on doit utiliser des abaques qui proviennent des Temps de montée : † = D … . ‡1 − „ . V! − '() v („)W Temps de réponse à ( %) pour „ < 0.7: ‰ = 1 100 . ln ‹ Œ …. „ Dépassement en % : T = 100. exp • !. „ ‡1 − „ D ‘ (IV. 44) (IV. 45) (IV. 46) 104 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système 4. Analyse fréquentielle du système étudié g ()) et la sortie Cg ()) du système étudié (voir la figure IV.1). Elle permet d’en l’entrée T La fonction de transfert G(s) est la représentation mathématique de la relation entre réaliser l’analyse fréquentielle de manière à concevoir le régulateur adéquat. t()) peut être écrie sous la forme suivante : t()) = [t’ ()). tx•• ()). tD ()) + t ())]. “()) (IV. 47) où : “()) est la fonction de transfert du filtre de sortie, “()) = tx•• ()) est la fonction de transfert du circuit PLL t’ ()) = −! ”. t ()) et tD ()) sont données par (IV.38) et (IV.39) respectivement. La réponse fréquentielle du système étudié est illustrée par la figure IV.10 : Bode Diagram 100 Magnitude (dB) 50 0 -50 -100 -150 540 Phase (deg) 360 180 0 -180 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 Frequency (rad/s) Fig. IV.10 : La réponse fréquentielle du système en boucle ouverte Les pôles sont certainement l’une des premières notions les plus importantes à saisir. Ce sont eux qui déterminent la stabilité, la rapidité et la dynamique d’un système. Les pôles du système étudié sont les valeurs pour lesquelles le dominateur de t()) s’annule : 105 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système C ,D = (−0.0032 ± –4.4317). 10^ CP,\ = (−0.0013 ± –2.2376). 10^ C`,^ = (−0.0032 ± –0.0439). 10^ C_,— = (−0.0031 ± –0.0032). 10^ C˜ = −2.2380. 10^ Toutes les racines sont à parties réelles négatives, le système est stable. 5. La structure du correcteur PI La fonction de transfert du régulateur PI que nous utilisons comme base de notre étude est la suivante : @()) = ~… . ‹1 + 1 Œ G. ) où ~… est le gain proportionnel et G (IV. 48) la constante d’intégration. Un régulateur PI remplit essentiellement deux fonctions : Il fournit un signal de commande en tenant compte de l'évolution du signal de sortie par rapport à la consigne. Il élimine l'erreur statique grâce au terme intégrateur. Le schéma fonctionnel d'un processus réglé à l'aide d'un tel régulateur est donné à la figure IV.1. Le réglage d’un PI consiste à trouver les meilleurs coefficients ~… et G dans le but d’obtenir une réponse adéquate du procédé et de la régulation. L’objectif est d’être robuste, rapide et précis tout en limitant les dépassements. Ziegler et Nichols ont proposé deux approches heuristiques basées sur leur expérience et quelques simulations pour ajuster rapidement les paramètres des régulateurs P, PI et PID. La première méthode nécessite l'enregistrement de la réponse indicielle en boucle ouverte, alors que la deuxième demande d'amener le système bouclé à sa limite de stabilité. La méthode du point critique utilisée dans ce travail est basée sur la connaissance du point critique du processus. Par simulation, on boucle le processus sur un simple régulateur proportionnel dont on augmente le gain jusqu'à amener le système à osciller de manière permanente; on se trouve ainsi à la limite de stabilité. Après avoir relevé le gain critique ~‰ du régulateur et la période d'oscillation ‰ de la réponse, on peut calculer les paramètres du régulateur choisi à l'aide du tableau IV.1 : 106 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système Tableau IV.1: Paramètres des régulateurs obtenus à partir du point critique ~… Type G ™. š. ›œ P ™. •š. ›œ PI ™. ¡. ›œ PID ™. žŸ. ™. š. N œ œ Sur la réponse fréquentielle du processus t()), on a mesuré : ™. ¢£š. œ Le gain critique : ~‰ = 1 = 0.0271 t¤ (IV. 49) La période critique : ‰ = 2. ! ¤ = 187.5. 10v— (IV. 50) Les paramètres du régulateur PI utilisé dans cette application sont calculés en utilisant la deuxième ligne du tableau IV.1 : ~… = 0.4. ~‰ = 0.0108205 G = 0.8. ‰ = 150. 10v— Pour évaluer les performances du contrôleur PI, on présentera les résultats de régulation pour une variation de la consigne en échelon. La réponse indicielle du système asservi en boucle fermée est illustrée à la figure IV.11: Step Response 1.4 1.2 Amplitude 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Time (seconds) 1 -4 x 10 Fig. IV.11 : Réponse indicielle du système en boucle fermée 107 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système La réponse indicielle du système présente une oscillation amortie et converge vers une valeur limite appelée consigne. Dans ce cas, la réponse indicielle possède les caractéristiques suivantes (tableau IV.2): Tableau IV.2: Caractéristiques de la réponse indicielle Dépassement 33% Temps de réponse 27 µs Marge de phase 46° Afin de tester la robustesse de la commande proposée, on a étudié l’influence des variations des paramètres sur les performances de réglage de la puissance. Les variations introduites dans les essais ressemblent en pratique aux conditions de travail comme la variation des caractéristiques de la pièce à chauffer durant l’étape de chauffage et la variation de la tension à l’entrée de l’onduleur. Deux cas sont considérés : 1. variation de ±30% sur la résistance équivalente, ? 2. variation de ±10% sur la tension continue, FG Les figures V.12.a et V.12.b représentent les tests de robustesse de la commande avec le régulateur PI classique vis-à-vis de la variation de la résistance équivalente, ? et la variation de la tension continue, FG , respectivement. Dans ce cas, les paramètres du régulateur PI sont déterminés à l’aide de la méthode du gain critique de Ziegler-Nichols. Step Response Step Response 1.4 1.4 système -30% de R +3% de R 1.2 1 A m p litu d e 1 0.8 A m p litu d e 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 système -10% de Vi +10% de Vi 1.2 0 0.5 1 1.5 Time (seconds) 2 2.5 3 0 0 0.5 1 1.5 Time (seconds) -5 (a) 2 2.5 3 -5 x 10 (b) x 10 Fig. IV.12 : Test de robustesse 108 Chapitre IV Modélisation et commande classique du système La diminution de la résistance ? et la tension continue FG entraine une augmentation du dépassement et le temps de réponse. On constate que, pour les variations larges et rapides de la charge, le système présente de fortes oscillations. Cette commande classique devient non robuste, ce qui provoque une instabilité du système et une divergence de la sortie par rapport à la référence. 6. Conclusion Dans la première partie du chapitre, on s'est intéressé à la mise en équations des différentes relations entrées-sorties régissant le fonctionnement de l’onduleur. Cette étape a donné naissance à trois modèles (modèle exacte, modèle à grands signaux et modèle à petits signaux), couvrant différentes régions de fonctionnement. L'étape de validation atteste bien de la grande précision des modèles proposés. Une fois la stabilité de l’onduleur est vérifiée, on passe à la synthèse d’une loi de commande. La deuxième partie est réservée à l’introduction d’une loi de commande classique à base de régulateur PI. Dans ce cas, les paramètres du régulateur sont déterminés par la méthode du gain critique de Ziegler-Nichols. La réponse indicielle montre que le système présent des oscillations amorties face à une perturbation sur son entrée. 109 Chapitre 5 Application des Techniques de Commande Avancée Chapitre V Application des techniques de commande avancée 1. Introduction Ce chapitre est consacré à l’étude de quelques méthodes appliquées à la commande d’un onduleur à résonance série parallèle type LLC afin d'obtenir un système de commande de haute performance. Tandis que les critères de temps de réponse, de dépassement et d'erreur statique peuvent être assurés par les techniques de commande conventionnelles, le critère de robustesse demeure un défi pour les chercheurs. Ce critère ne peut être satisfait qu'en appliquant des techniques avancées de commande. Dans la première partie, un Algorithme Génétique est utilisé pour la détermination des paramètres optimaux du régulateur PI. Le choix d’une telle méthode d’optimisation pour le calcul des paramètres du régulateur PI, repose sur [Gue01, Cha01]: La recherche de la solution optimale sur une population de solutions La recherche des solutions est basée sur une fonction d’adaptation La recherche utilise des lois de probabilités La recherche ne nécessite aucune connaissance à priori sur le problème Ensuite, après avoir donné un bref aperçu sur la commande par logique floue ainsi que la motivation du choix de la structure du contrôleur, nous synthétisons un contrôleur flou basé sur le modèle à petits signaux du convertisseur. Il s’agit d’exploiter l’analogie entre notre contrôleur et le PI classique pour le réglage des gains en utilisant les méthodes de mise en œuvre de ce dernier. La dernière partie de ce chapitre couvre l'essentiel de la théorie du calcul fractionnaire. Cette théorie généralise la notion de dérivée pour les cas où l'ordre de différenciation est un nombre fractionnaire; en d'autres termes, il donne un sens à l'expression cas où ( ) dans le est un nombre fractionnaire. Cette généralisation peut être effectuée de plusieurs façons, conduisant à des définitions différentes qui ne mènent pas aux mêmes résultats [Djo01]. Dans les applications récentes de la théorie du calcul fractionnaire, les systèmes commandés et les correcteurs sont décris par des équations différentielles d'ordre fractionnaire. Le but principal est d’introduire des opérateurs fractionnaires dans les algorithmes de commande pour améliorer les performances des systèmes de commande classique [Bet01]. L’objectif de cette partie est de présenter les bases théoriques des opérateurs d’ordre fractionnaire nécessaires pour la conception d’un régulateur PI d’ordre fractionnaire pour 110 Chapitre V Application des techniques de commande avancée la commande d’un onduleur à résonance type LLC destiné au chauffage par induction, tout en rappelant les définitions et les principales propriétés des opérateurs d’ordre fractionnaire. 2. L’approche basée sur les Algorithmes Génétiques Dans cette section nous traitons du problème d’optimisation des deux paramètres du régulateur PI basé sur un Algorithme Génétique. Dans un premier temps, nous introduisons quelques généralités sur l’AG, ses opérateurs de base et les facteurs qui affectent directement sa convergence. Par la suite, nous décrivons de façon exhaustive la façon dont laquelle l’AG est utilisé pour le calcul des paramètres du PI. 2.1. Généralités sur les Algorithmes Génétiques Les Algorithmes Génétiques introduits par John Holland (1975) et ses étudiants à l'université de Michigan sont fondés sur la théorie de la survie des espèces de Charles Darwin. Ils sont des algorithmes d'optimisation s'appuyant sur des techniques dérivées de la génétique et de l'évolution naturelle [Cha01, Gue02, Sou02]. Le principe d’un Algorithme Génétique repose sur l’analogie conceptuelle établie entre une population d’individus évoluant dans leur milieu naturel et un ensemble de solutions plus ou moins bonnes d’un problème d’optimisation quelconque. Suivant les règles de l’évolution énoncées par Darwin, la population d’individus va évoluer de manière à s’adapter au milieu qui l’entoure : les plus faibles vont disparaître tandis que les mieux adaptés survivront et se reproduiront [Hed01, Sou02]. Un algorithme génétique réalise une optimisation dans un espace de données. Dans l’ensemble des solutions d’un problème d’optimisation, une population constituée de N individus convenablement marquées par une fonction de codage qui les identifie complètement [Gue02]. Une procédure d’évaluation est nécessaire à la détermination de l’adaptation de chaque individu de la population. La sélection est une phase de recombinaison qui génère une nouvelle population d’individus, qui ont de bonnes chances d’être plus forts que ceux de la génération précédente. De génération en génération, la force des individus de la population augmente et après un certain nombre d’itérations, la population est entièrement constituée d’individus tous forts, soit de solutions quasioptimales du problème posé. Le déroulement d'un algorithme génétique se traduit par la figure V.1 [Gue02, Cha01, Sou01, Hed01, Sou02]: 111 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Fig.V.1: Organigramme d’un Algorithme Génétique 2.1.1. Codage des variables La première étape dans le fonctionnement de l'algorithme génétique est le codage de l'ensemble des paramètres à optimiser en une chaîne de caractères de longueur finie. Il existe principalement deux types de codage : le codage binaire et le codage réel. a. Codage binaire Holland et de Jong ont imposé le codage binaire 0,1 de longueur fixe pour un chromosome qui s'écrit sous la forme d'une chaîne de bits [Sou01, Cha01]: = .2 (V. 1) Ce type de codage est utilisé pour coder toutes sortes de paramètres : réels, entiers booléens et chaînes de caractère. Cela nécessite simplement l'usage de fonction de codage et décodage pour passer d'une présentation à l'autre. Ce choix le rend virtuellement applicable à tous les problèmes dont les solutions sont numériques, c'est-à-dire calculées par ordinateur. Cette méthode de codage est relativement facile à implanter mais elle présente l'inconvénient de limiter la précision des paramètres à une valeur correspondante au nombre de bits utilisé. b. Codage réel Pour résoudre le problème de précision inhérent au décodage binaire standard et améliorer la recherche locale, un codage réel des paramètres est utilisé. L'ensemble des variables est représenté par un vecteur [Cha01, Gue02, Sou02]: =( , où chaque ,….., ) est un nombre réel. (V. 2) 112 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Avec ce type de codage, la procédure d’évaluation des chromosomes est plus rapide vu l’absence de l’étape de transcodage (du binaire vers le réel). 2.1.2. Opérateur de croisement Le croisement utilisé par les algorithmes génétiques est la transposition informatique du mécanisme qui permet, dans la nature, la production de chromosomes qui héritent partiellement des caractéristiques des parents. Son rôle fondamental est de permettre la recombinaison des informations présentes dans le patrimoine génétique de la population. On distingue [Sou01, Gue02, Haj01]: a. Croisement en un point Si le croisement a lieu entre deux chromosomes parents (P1 et P2), constitués de n gènes, on tire aléatoirement une position de chacun des parents. On échange ensuite les deux sous chaînes terminales de chacun des chromosomes, ce qui produit deux enfants (C1 et C2) comme indiqué sur la figure V.2 [Hed01, Sou02]: Fig.V.2 : Croisement standard en un seul point b. Croisement en deux points Sur la figure V.3 nous représentons un croisement en deux points, que nous utiliserons dans la suite de ce travail [Sou01, Cha01, Hed01, Mok]: Fig.V.3 : Croisement standard en deux points 113 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Ce type de croisement est très efficace et peut s’étendre à n’importe quel type de chaînes. c. Croisement de type barycentre Certains chercheurs préfèrent utiliser dans le cas des chaînes réelles, un croisement de type barycentre. Deux gènes sont sélectionnés dans chacun des parents (P1 et P2) à la même position i. Ils définissent deux nouveaux gènes (C1 et C2) par combinaison linéaire : C (i) = α. P (i) + (1 − α). P (i) # C (i) = (1 − α). P (i) + α. P (i) (V. 3) où % est un paramètre de pondération aléatoire qui prend généralement ses valeurs dans l’intervalle [−0.5, 1.5] [Hed01, Gue02, Haj01, Sou02]. 2.1.3. Opérateur de mutation La mutation est un opérateur qui joue un rôle perturbateur : il introduit un bruit au sein de la population. Il modifie de manière aléatoire les caractéristiques d’une solution, ce qui permet d’introduire et de maintenir la diversité au sein de notre population de solutions. L’opérateur de mutation permet aussi d’assurer une recherche aussi bien globale que locale, selon le poids et le nombre des bits mutés. De plus, elles garantissent mathématiquement que l’optimum global peut être atteint. La figure V.4 illustre une représentation schématique d’une mutation dans un chromosome [Cha01, Sou02]: Fig.V.4: Opérateur de mutation 2.1.4. Fonction d’adaptation Dans un AG la fonction d’adaptation ), déterminée à partir de la fonction d’évaluation, mesure la performance d’un individu par rapport à l’ensemble de la population. Le résultat fourni par cette fonction va permettre de sélectionner ou de refuser un individu pour ne garder que les individus ayant la meilleure performance en fonction de la population courante. Le choix de la fonction d’adaptation est important et dépend du problème à résoudre et de l’espace de recherche qui en 114 Chapitre V Application des techniques de commande avancée découle. Son comportement influence la convergence de l’algorithme vers des solutions optimales pour le problème étudié [Gue02, Hed01, Mok01, Sou01]. 2.1.5. Opérateur de sélection La sélection est un opérateur qui permet d'identifier statistiquement les meilleurs individus d'une population et d'éliminer les mauvais. Elle doit favoriser les meilleurs éléments selon le critère à optimiser. On trouve dans la littérature un nombre important de principes de sélection plus ou moins adaptés aux problèmes qu'ils traitent. Parmi lesquelles on peut citer [Gue01]: a. La sélection par roulette artificielle La sélection des individus par le système de la roulette s'inspire des roues de loterie. A chacun des individus de la population est associé un secteur d'une roue. L'angle du secteur étant proportionnel à la qualité de l'individu qu'il représente. Les tirages des individus sont ainsi pondérés par leur qualité. La figure V.5 illustre une roulette dans laquelle chaque individu se voit attribuer un secteur dont l'angle est proportionnel à sa performance donnée par [Cha01, Haj01, Hed01, Sou02]: * = )( ) ∑ )( ) (V. 4) où * est la performance de l’individu, ) est la fonction d’adaptation et - est le nombre d’individus de la population Fig.V.5 : Roue de sélection naturelle 115 Chapitre V Application des techniques de commande avancée L’influence de la pression sélective vis-à-vis de la diversité génétique est énorme. En effet, cette technique peut favoriser la domination d’un super-individu, ayant une performance largement supérieure aux autres individus de la population. Cela peut mener à une convergence prématurée, par sur-sélection de cet individu qui impliquera le blocage des populations au voisinage de ce point. De même, un ralentissement de l’évolution peut provenir de l’aplatissement des valeurs de performance au sein de la population, amenant à des probabilités de sélection quasi uniforme au sein de la population [Mok01]. b. La sélection par rang La sélection précédente rencontre des problèmes lorsque la valeur d'adaptation des chromosomes varie énormément. Si la meilleure fonction d'évaluation d'un chromosome représente 90% de la roulette alors les autres chromosomes auront très peu de chance d'être sélectionnés et on arriverait à une stagnation de l'évolution. La sélection par rang trie d'abord la population par fitness. Ensuite, chaque chromosome se voit associé un rang en fonction de sa position. Ainsi le plus mauvais chromosome aura le rang 1, le suivant 2, et ainsi de suite jusqu'au meilleur chromosome qui aura le rang N (pour une population de N chromosomes). La sélection par rang d'un chromosome est la même que par roulette, mais les proportions sont en relation avec le rang plutôt qu'avec la valeur de l'évaluation [Sou01, Haj01, Hed01, Mok01]. 2.1.6. Critères d’arrêt Le critère d’arrêt est une caractéristique essentielle des AG. Un critère peu performant peut en effet conduire à de nombreuses évaluations inutiles de la fonction d’adaptation. Parmi les critères proposés dans la littérature on peut citer [Haj01, Sou02]: Nombre maximales de générations Temps écoulé 2.2. Formulation du problème d’optimisation Soit le processus modélisé par la fonction de transfert réduite ./ (0) (voir annexe B) et commandé par le régulateur PI de fonction de transfert 1(0) conformément au schéma de la figure V.6 : 116 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Fig.V.6 : Système de commande à retour unitaire La fonction de transfert de l’erreur est donnée par : 2(0) = où : 3(0) = 4(0) 56 = : ; . 57 = : ; . 5 = : ;. 5 = : ;. 58 = : ; . 9 6 7 8 = : ;. = : ;. = : ;. = : ;. = : ;. 56 . 0 6 + 57 . 0 7 + 5 . 0 + 5 . 0 + 58 9 6 7 .0 + .0 + 9. 0 + 6. 0 + 7. 0 + 8 (V. 5) /6 /7 / / /8 /6 /7 + <=; . : ; . 5/7 / + <=; . : ; . 5/ + <=; . 5/ / /8 + <=; . : ; . 5/ + <=; . 5/7 + <=; . : ; . 5/8 + <=; . 5/ = <=; . 5/8 La formulation du problème d’optimisation est basée sur la méthode de Hall-Sartorius présentée à l’annexe D. La méthode nécessite le calcul de l’integrale >9 sous forme littérale mettant en évidence les paramètres du système et du correcteur afin de déterminer les valeurs de ces paramètres minimisant l’intégrale. D’après les propriétés des transformées de Laplace et conformément à la méthode de Hall-Sartorius l’intégrale >9 peut s’écrire: 1 ∆@ >9 = . A 2 ∆ (V. 6) 117 Chapitre V Application des techniques de commande avancée où : H G G 6 ∆A = CDE 9 G0 G0 F0 8 0 7 9 H G ∆@ 9 = CDE G 6 G0 F0 8 0 0 0 7 9 0 0 8 6 0 0 0 8 6 0 0 0 0 0 9 0 8 7 6 0 0 0 L8 L K L J J L7 J L6 I 7 9 0 0K 0J J J 7J 9I Les coefficients L8 , L , L , L7 et L6 sont calculés par : 3(0). 3(−0) = L6 . 0 M + L7 . 0 N + L . 0 6 + L . 0 + L8 (V.7) où : L6 = 56 L7 = 2. 56 . 5 − 57 L = 2. 56 . 58 − 2. 57 . 5 + 5 L = 2. 58 . 5 − 5 L8 = 58 2.3. Application des AG à l’optimisation des paramètres du PI L’objectif est toujours de trouver l’ensemble des paramètres optimisés <=; et : ; de façon à ce que la réponse du système en boucle fermée soit stable et la plus robuste possible pour toute variation paramétrique. Pour se faire, on doit choisir soigneusement les valeurs des paramètres régissant l’évolution de la population traitée par cet algorithme génétique : taille de la population, probabilités de croisement et de mutation. Dans ce travail, après une série de tests, nous avons opté pour les paramètres du tableau V.1 : Tableau V.1: Paramètres de l’AG Paramètre Taille de la population Nombre de génération Probabilité de croisement Probabilité de mutation Symbole Valeur OQ 50 OP PR PS 100 0.65 0.06 118 Chapitre V Application des techniques de commande avancée On fixe comme objectif, la minimisation de l’erreur 2(E) entre la sortie et la consigne et le dépassement. Ces objectifs peuvent être définis par la fonction d’adaptation suivante : *T<=; , : ; U = 1 1 + >9 (V. 8) La population initiale basée sur un codage binaire est choisie de façon aléatoire dans un espace de recherche de solutions. L’intervalle de variation de chaque variable est définit de la façon suivante : W = X<=;Y <=;YZ [ × [: ;Y : ;YZ ] (V. 9) Dans le cadre de cette étude, la méthode de sélection utilisée est la méthode de sélection géométrique normalisée qui est une méthode de sélection de rang basée sur une distribution géométrique normalisée. L’influence des probabilités de mutation et de croisement sur la convergence est testée. Les probabilités ^Y et ^_ sont modifiées en utilisant le croisement en deux point et la mutation uniforme. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau V.2 : Tableau V.2: Paramètres du régulateur PI Ziégler-Nichols Algorithme génétique `P 0.0108205 0.01853 ab 150. 10 505. 10 M M cd 9.8981. 10 5.0617. 10 e e 2.4. Résultats de simulation L’objectif du système de commande proposé est de minimiser l’écart 2(E) entre la sortie du système et la valeur de consigne désirée. Cet écart peut être dû, soit à un changement de consigne, soit à des perturbations agissant sur le système. Pour choisir le bon réglage du régulateur, on prend en compte l’amplitude maximum de l’écart et la durée nécessaire pour qu’il s’annule après une perturbation ou un changement de consigne. Le critère considéré dans ce cas est donné par [Gee01]: j >gh = i 2 (E). CE 8 (V. 10) Pour comparer les performances de la technique proposée à celles de la technique classique par simulation, on présentera les résultats de régulation pour une variation de la consigne en échelon. Les résultats obtenus sont représenté sur la figure V.7 : 119 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Step Response 1.4 PI Z-N PI G-A 1.2 Amplitude 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (seconds) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -4 x 10 Fig.V.7 : Réponse indicielle du système en boucle fermée On constate que les résultats obtenus par la technique proposée sont tous a fait différents à ceux obtenus par la méthode de Ziegler-Nichols. Cela se justifie par le rôle important que joue les opérateurs génétiques en explorant de nouvelles solutions dans l’espace de recherche. Les améliorations apportées sont résumé dans le tableau V.3 : Tableau V.3: Comparaison des caractéristiques obtenues en simulation Régulateur PI Ziegler-Nichols Algorithmes Génétique Dépassement 33% 11% Temps de réponse 27 µs 18 µs 46° 79° Marge de phase 2.5. Test de robustesse Pour les tests de robustesse de la technique proposée, nous avons étudié l’influence des variations de la résistance équivalente k et de la tension continue l avec les mêmes pourcentages que celles introduites pour tester la stratégie de commande classique. Les résultats obtenus sont donnés sur la figure V.8: 120 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Step Response Step Response 1.4 1.4 système -30% de R +30% de R 1 1 0.8 0.8 A m p litu d e A m p litu d e 1.2 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 0 0.5 1 1.5 2 Time (seconds) système -10% de Vi +10% de Vi 1.2 2.5 3 0 0.5 -5 x 10 (a) 1 1.5 Time (seconds) 2 2.5 3 -5 x 10 (b) Fig.V.8 : Test de robustesse Les résultats de simulation montrent clairement les bonnes performances obtenues par l’application des Algorithmes Génétiques à recherche des paramètres optimaux du régulateur PI. Ces performances sont traduises par la diminution notable des oscillations, le dépassement et le temps de stabilisation. On constate que, l’emploi des opérateurs génétiques à l’exploration de l’espace de recherche rendre cette commande stable en boucle fermée et robuste aux variations paramétriques. 3. Approche basée sur la logique floue La logique floue est une théorie qui a connu un grand engouement depuis que le professeur A. Zadeh a introduit le concept de sous-ensembles flous en 1965. Elle trouve notamment sa place dans le domaine de la commande pour une large gamme de systèmes et plus généralement en génie électrique. Ses avantages viennent notamment de ses capacités à [Gue01, Fau01, Smy01, Bou01]: formaliser et simuler l’expertise d’un opérateur ou d’un concepteur dans la conduite et le réglage d’un procédé, donner une réponse simple pour les procédés dont la modélisation est difficile, prendre en compte sans discontinuité des cas ou exceptions de natures différentes, et les intégrer au fur et à mesure dans l’expertise, prendre en compte plusieurs variables et effectuer de la fusion pondérée des grandeurs d’influence. 121 Chapitre V Application des techniques de commande avancée 3.1. Variables linguistiques Dans la vie quotidienne, la description d’une situation donnée se fait toujours à l’aide de variables linguistiques qui sont toujours à connotation floue mais qui reste, en général, très acceptable tels que [Smy01, Gue01]: négative, positive, grand, petit, etc… 3.2. Fonctions d’appartenance Contrairement à la logique binaire traditionnelle, la logique floue admet des degrés d’appartenance à un ensemble donné. Le degré d’appartenance à un ensemble flou est caractérisé par un nombre compris entre 0 et 1. Une valeur précise de la fonction d’appartenance liée à une valeur de la variable est notée m et appelée facteur d’appartenance [Bou01, Fau01, Gue01]. Les gabarits de fonctions d’appartenance les plus utilisés sont [Cha01, Smy01]: Les fonctions d’appartenance triangulaires Les fonctions d’appartenance trapézoïdales Les fonctions d’appartenance Gaussiennes Les fonctions d’appartenance Sigmoïdes 3.3. Sous-ensembles flous Les sous-ensembles flous ont été introduits afin de modéliser la représentation humaine des connaissances, et ainsi améliorer les performances des systèmes de décision qui utilisent cette modélisation. Soit n un ensemble de référence et soit un élément quelconque de n. Un sous-ensemble flou o de n est défini comme l’ensemble des couples [Fau01, Bou01, Oua01]: o = pT , mq ( )U, Avec : ∈ ns mq : représente le degré d’appartenance de (V. 11) à o. Chaque sous-ensemble flou o de n est caractérisé par une fonction d’appartenance mq ( ) qui associe, à chaque point possibles suivants : mq ( ) = 0 0 < mq ( ) < 1# mq ( ) = 1 où : mq ( ) = 0, si de n un réel dans l’intervalle [0,1]. On observe les trois cas (V.12) n’appartient pas à o. 122 Chapitre V Application des techniques de commande avancée 0 < mq ( ) < 1, si mq ( ) = 1, si appartient partiellement à o. appartient entièrement à o. 3.4. Opérations sur les sous-ensembles flous Afin de pouvoir manipuler aisément les ensembles flous, nous redéfinissons les opérateurs de la théorie des ensembles classiques afin de les adapter aux fonctions d'appartenance propres à la logique floue permettant des valeurs strictement entre 0 et 1. Contrairement aux définitions des propriétés des ensembles flous qui sont toujours les mêmes, la définition des opérateurs sur les ensembles flous est choisie, à l'instar des fonctions d'appartenance [Gue01]. Voici les opérations les plus utilisées en logique floue : 3.4.1. Egalité Soit deux ensembles flous o et u dans un univers n. On dit que o et u sont égaux si leurs fonctions d'appartenance ont la même valeur en tout point o = u, ∀ ∈ n, mq ( ) = mw ( ) de n. (V. 13) 3.4.2. Complément Soit un sous-ensemble flou o de n, son complément o̅ est un sous-ensemble définit par la fonction d'appartenance suivante: ∀ ∈ n, mq̅ ( ) = 1 − mq ( ) (V. 14) 3.4.3. Inclusion Soit deux ensembles flous o et u dans un univers n. On dit que o est inclus dans u noté o ⊂ u si leurs fonctions d'appartenance sont telles que: o ⊂ u, ∀ ∈ n, mq ( ) ≤ mw ( ) (V. 15) 3.4.4. Union L'union de deux sous-ensembles flous o et u de n est un sous ensemble flou de n qui contient tous les éléments appartenant à A ou à B. Formellement, o ∪ u est donné par : o ∪ u, ∀ ∈ n, mq∪w ( ) = max (mq ( ), mw ( )) (V. 16) 123 Chapitre V Application des techniques de commande avancée 3.4.5. Intersection L'intersection de deux sous- ensembles flous o et u de n est un sous ensemble flou tel que : o ∩ u, ∀ ∈ n, mq∩w ( ) = min (mq ( ), mw ( )) (V. 17) 3.5. Règles floues L’outil de modélisation en logique floue est la règle floue. Une règle floue est une assertion logique qui s’exprime en terme de variables linguistiques floues reliées entre elles par des opérateurs logiques tels ET et OU. Ils existent deux types de règles floues: Celles formant un critère et ayant la forme générale: •=[ ‚ƒ ( „… 7) ‚ƒ … ] „… Celles formant des implications et ayant la forme générale : Si Condition alors Opération où la condition et l’opération dépendent de variables linguistiques floues. Le résultat de l'application d'une règle floue dépend donc de trois facteurs [Smy01]: La définition d'implication floue choisie ; La définition de la fonction d'appartenance de l'ensemble flou Le degré de validité des propositions situées en prémisse. 3.6. Inférences floues L’inférence floue est une relation floue définie entre deux sous-ensembles. La définition de la relation peut théoriquement faire intervenir n’importe quel opérateur de combinaison. Dans le cas où des décisions différentes sont à prendre selon les valeurs des variables linguistiques, plusieurs règles sont nécessaires pour l’inférence. On distingue : 3.6.1. Inférence floue de Mamdani Le processus d’inférence floue de Mamdani peut être décrit par le schéma suivant [Gue01, Fau01, Oua01, Smy01, Bou01]: Règle 1 : si ( Règle 2 : si ( ………. Règle n : si ( est o ) ET….ET ( Y est o Y) Alors († est u ) est o ) ET….ET ( Y est o Y) Alors († est u ) est o ) ET….ET ( Y est o Y) Alors († est u ) 124 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Où les conditions dépendent de variables linguistiques floues et sont reliées entre elles par des opérateurs logiques. Les opérations dépendent aussi d’un certain nombre de variables linguistiques floues et sont reliées entre elles par des opérateurs logiques. Les règles sont également reliées entre elles par l’opérateur OU. 3.6.2. Inférence floue de Sugeno Sugeno a proposé une méthode d’inférence floue qui garantit la continuité de la sortie. Cette méthode d’inférence s’avère très efficace dans des applications faisant intervenir à la fois des techniques linéaires, d’optimisation et adaptatives. Dans l’inférence de Sugeno, les règles floues sont exprimées de la façon suivante : Règle i : si ( est o ) ET….ET ( Y est o Y ) Alors † = * ( , ,…., Y) Par rapport à l’inférence de Sugeno, l’inférence de Mamdani est plus intuitive, plus générale et elle s’adapte particulièrement bien à l’utilisation de connaissances issues d’une expertise humaine [Gue01, Oua01, Smy01]. 3.7. Structure de base d’un régulateur flou Le régulateur flou, comme tout régulateur, a pour tâche de produire une loi de commande pour chaque combinaison de ses entrées de sorte que l’erreur tend vers zéro le plus vite possible. Par rapport à un régulateur classique, le régulateur flou ne traite pas une relation mathématique bien définie (algorithme de réglage), mais utilise des inférences à plusieurs règles, se basant sur des variables linguistiques. Ces inférences sont alors traitées par des opérateurs de la logique floue. La figure V.9 montre la configuration interne d'un régulateur basé sur la logique floue [Fau01, Chi01, Smy01]: Fig.V.9 : Configuration interne d’un régulateur flou 125 Chapitre V Application des techniques de commande avancée On peut distinguer trois parties : 3.7.1. La fuzzification Le processus de la fuzzification consiste à attribuer aux différentes variables linguistiques d’entrée des fonctions d’appartenance convenables. Cette opération est nécessaire vu que la mesure de la sortie † et la donnée de la référence ou consigne sont toujours exprimées en des variables qui sont nettes et précises et que le régulateur flou ne peut traiter que des variables floues. La fuzzification fournit une série de variables floues, réunies par le vecteur [Fau01, Gue01]. Dans le cas du réglage par logique floue, on utilise en général des formes trapézoïdales et triangulaires pour les fonctions d'appartenance [Smy01]. Les grandeurs physiques (l’erreur, dérivée d'erreur, etc) sont réduites à des grandeurs normalisées domaine −1 ≤ ≤ 1. varient dans le En général, on introduit pour une variable x trois, cinq ou sept ensembles, représentés par des fonctions d'appartenance, comme la montre la figure V.10 [Bou01, Chi01, Oua01]: Fig.V.10 : Les fonctions d’appartenance 3.7.2. Inférences Ce bloc exprime la relation qu’il existe entre les variables d’entrée et la variable de sortie. La formulation concrète des inférences dépend évidemment du comportement statique et dynamique du système à régler, ainsi que des buts de réglage envisagés. Il n'est pas possible d'indiquer des règles précises. L'expérience joue un rôle important. Dans le cas d’une base de règles, chacune des règles donne une caractérisation pour la sortie ou la 126 Chapitre V Application des techniques de commande avancée variable de commande dans le cas de la commande floue. Il est donc nécessaire d’effectuer une synthèse de toutes ces règles pour parvenir à prendre une décision. Il existe différentes possibilités d'exprimer les inférences [Fau01, Chi01, Ezz01, Mok01]: Variables linguistiques Description symbolique Description par matrice d’interférence Pour le réglage par logique floue, on utilise en général une des méthodes suivantes: a. Méthode du Max-Min La méthode d’inférence Max-Min utilise l’agrégation comme une première étape pour calculer les ensembles flous de la sortie. La conclusion dans chaque règle, introduite par ALORS, lie le facteur d'appartenance de la condition avec la fonction d'appartenance de la variable de sortie par l'opérateur ET, réalisé dans le cas présent par la formation du minimum. Enfin, l'opérateur OU qui lie les différentes règles est réalisé par la formation du maximum [Smy01]. Supposons que l’on ait deux entrées ‡ et R‡ et une sortie ˆ, toutes trois définies par les sous-ensembles suivants (figure V.11) [Fau01, Chi01, Gue01]: Fig.V.11 : Les fonctions d’appartenance Supposons que = ‰. ŠŠ , R‡ = −‰. ‹Œ et que dans l’inférence, les deux règles suivantes aient été activées : 127 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Si (‡ est PG) ET (R‡ est ZE), Alors (ˆ est ZE) ou Si (‡ est ZE) OU (R‡ est NG), Alors (ˆ est NG) La prochaine étape consiste à traduire les opérateurs ET, OU et l’implication par une des fonctions (Minimum, Maximum) : Au niveau de la condition : ET est représenté par la fonction Min OU est représenté par la fonction Max Au niveau de la conclusion : ou est représenté par la fonction Max Alors est représenté par la fonction Min La figure V.12 représente graphiquement le principe de la méthode d'inférence maxmin [Chi01, Ezz01, Smy01]: Fig.V.12: Méthode d’interférence Max-Min La première règle donne : ‡ = ‰. ŠŠ est PG avec •‡ = ‰. ‹Œ et R‡ = −‰. ‹Œ est EZ avec •R‡ = ‰. ŽŽ (‡ est PG) ET (R‡ est ZE) équivaut à min(‰. ŽŽ, ‰. ‹Œ) ce qui donne ‰. ŽŽ Tronquer la fonction d'appartenance de (ˆ est ZE) par ‰. ŽŽ 128 Chapitre V Application des techniques de commande avancée La deuxième règle donne : ‡ = ‰. ŠŠ est ZE avec •‡ = ‰. ŽŽ et R‡ = −‰. ‹Œ est NG avec •R‡ = ‰. ‹Œ (‡ est ZE) OU (R‡ est NG) équivaut à max(‰. ŽŽ, ‰. ‹Œ) ce qui donne ‰. ‹Œ Tronquer la fonction d'appartenance de (ˆ est NG) par ‰. ‹Œ Une fonction d'appartenance résultante donnée par la surface hachurée [Mok01]. b. Méthode du Max-Prod Cette méthode réalise en général, au niveau de la condition, l’opérateur OU par la formation du maximum et l’opérateur ET par la formation du minimum. Par contre, la conclusion dans chaque règle introduite par Alors, cette dernière est réalisée cette fois par la formation du produit. L’opérateur OU qui lie les différentes règles est réalisé de nouveau par la formation du maximum. La figure V.13 montre la réalisation de l’exemple donné dans la méthode Max- Min par la méthode de Max-Prod [Smy01, Chi01, Mok01]: Fig.V.13 : Méthode d’interférence Max - Prod 129 Chapitre V Application des techniques de commande avancée c. Méthode du Som-Prod Cette méthode réalise en général, au niveau de la condition, l’opérateur OU par la formation de la somme et l’opérateur ET par la formation du produit. Par contre, l’opérateur Alors, qui lie le degré d’appartenance de la condition avec la fonction d’appartenance de la variable de sortie est réalisé cette fois par la formation du produit. L’opérateur OU qui lie les différentes règles est réalisé de nouveau par la formation de la somme. La figure V.14 montre la réalisation de l’exemple donné dans la méthode MaxMin par la méthode de Som-Prod [Chi01, Mok01]: Fig.V.14 : Méthode d’interférence Som-Prod 3.7.3. La diffuzzification Le résultat de l’inférence en utilisant une des méthodes d’implication floue est une valeur floue. Cette information ne peut être utilisée directement. Une transformation doit être prévue à la sortie du bloc d’inférence pour la convertir en grandeur fixe, cette transformation étant connue par le terme défuzzification. Il existe plusieurs méthodes de défuzzification dont les plus utilisées sont [Chi01, Ezz01, Gue01, Mok01, Sou01, Smy01]: 130 Chapitre V Application des techniques de commande avancée a. Défuzzification par maximum Dans cette méthode, la valeur de sortie est estimée par l’abscisse du point correspondant au centre de l’intervalle pour lequel la fonction d’appartenance est maximale. Lorsque la fonction d'appartenance résultante est écrêtée, il y a tout un intervalle de valeurs qui peuvent être utilisées. Afin d'éviter cette indétermination, on prend la moyenne des abscisses du maximum. La figure V.15 montre le principe de cette méthode [Smy01, Chi01, Ezz01, Gue01, Gue02, Kou01, Mok01]: Fig.V.15: Principe de la défuzziffication par valeur maximale Cependant cette méthode présente un grand inconvénient: le signal de sortie change brusquement si la dominance change d'une fonction d'appartenance partielle à une autre. Ce comportement discontinu provoque des à coups sur le signal de commande et conduit à un mauvais fonctionnement d'un circuit de réglage. Par conséquent, cette méthode de défuzzification n'est pas recommandée pour un réglage par logique floue [Smy01]. b. Défuzzification par centre de gravité La méthode de défuzzification la plus utilisée est celle de la détermination du centre de gravité de la fonction d'appartenance résultante. Dans ce contexte, il suffit de calculer l'abscisse ˆ du centre de gravité de la fonction d'appartenance résultante de l'inférence. La figure V.16 montre ce principe de la défuzzification [Bou01, Chi01]: Fig.V.16: Principe de la défuzziffication par centre de gravité L'abscisse du centre de gravité peut être déterminée à l'aide de la relation générale: 131 Chapitre V •= • m. Application des techniques de commande avancée ‘. C ‘ • m. C (V. 18) ‘ Cette méthode procure de bons résultats mais nécessite des calculs longs et complexes. 3.8. Conception du contrôleur floue pour l’onduleur à résonance type LLC Le premier pas de la conception du régulateur par logique floue est le choix des variables d'entrées [Smy01]. Le régulateur proposé aura deux variables d'entrée: L’erreur de la puissance, ‡ La variation de l’erreur de la puissance, R‡ Pour la sortie du régulateur, le choix du rapport cyclique ’ comme variable de sortie. La figure V.17 montre le schéma bloc de la configuration de la commande proposée : Fig.V.17 : Schéma bloc de la commande proposée Les ensembles flous doivent être définis pour chaque variable d'entrée ou de sortie. La figure montre les fonctions d'appartenance adoptées pour ‡, R‡ et ˆ. Pour les trois variables, cinq ensembles ont été définis: Négative grand, NG Négative grand, NM Nul, ZE Positif moyen, PM Positif grand, PG Comme on peut le remarquer sur la figure V.18, toutes les fonctions sont définies sur un intervalle normalisé [−1,1] ce qui nécessitera l'utilisation de facteurs d'échelle pour chaque variable [Smy01, Gue02]. 132 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Fig.V.18: Cinq fonctions d’appartenance Les règles d'inférence sont obtenues en analysant le comportement du convertisseur. Dans leur formulation, on doit considérer le fait que l'utilisation de plusieurs règles suivant les différents points d'opération améliore les performances du régulateur surtout en termes de réponse dynamique et de robustesse. On a choisi de déterminer les règles en supposant que le régulateur accomplit les actions proportionnelle et intégrale [Fau01]. La base de connaissance du contrôleur flou peut être synthétisée sous forme d’un tableau de règles où chaque règle associe sous forme conditionnelle les états des variables d’entrées à une caractéristique de la variable de sortie [Gue01]. Comme chacune des deux entrées est fuzzifiée en cinq ensembles, on obtient un jeu de 25 règles. Le tableau V.4 présente le jeu de règles du contrôleur flou proposé : Tableau V.4 : Description par matrice d’interférence R‡ ‡ NG NM ZE PM PG NG NG NG NG NM ZE NM NG NG NM ZE PM ZE NG NM ZE PM PG PM NM ZE PM PG PG PG ZE PM PG PG PG Quant à la défuzzification, c’est la méthode du centre de gravité qui a été préférée pour le calcul de la sortie qui représente le rapport cyclique du convertisseur proposé. 133 Chapitre V Application des techniques de commande avancée 3.9. Résultats de simulation Pour illustrer les performances du réglage par logique floue, nous avons comparé les résultats obtenus à ceux du régulateur PI classique. Dans ce cas, le régulateur PI classique est remplacé par un régulateur flou. Les résultats obtenus sont représentés sur la figure V.19 : PI Z-N Flou 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -4 x 10 Fig.V.19 : Réponse indicielle du système en boucle fermée Les caractéristiques obtenues sont résumées dans le tableau V.5 : Tableau V.5: Comparaison des caractéristiques obtenues en simulation Régulateur PI (Z-N) Flou Dépassement 33% 8.2% Temps de réponse 27 µs 5 µs 46° - Marge de phase Le réglage par logique floue peut surpasser le réglage classique en ce qui concerne la qualité de la réponse dynamique du système. En effet, ce dernier réduit davantage le temps de réponse (5 µs) en produisant un dépassement limité (8.2%) avec élimination des oscillations autour de la consigne en régime permanent. 134 Chapitre V Application des techniques de commande avancée 3.10. Test de robustess La figure V.20.a et V.20.b présentent les performances de la régulation lors de la variation des paramètres du convertisseur k et l : système -30% de R +30% de R 1.2 1.2 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 système -10% de Vi +10% de Vi 3 0 0.5 1 1.5 2.5 3 x 10 x 10 (a) 2 -5 -5 (b) Fig.V.20: Test de robustesse D’après les résultats de simulation obtenus, on constate que le régulateur flou procure une très bonne réponse dynamique et un bon rejet de la perturbation par rapport au régulateur PI classique. 4. Approche basée sur le calcul fractionnaire Le calcul fractionnaire est un problème purement mathématique connu pendant prés de trois siècles. Bien qu'ayant une longue histoire, il n'a pas été appliqué à la physique et l'ingénierie pour une longue période de temps. Cependant, au cours des dernières années, le calcul fractionnaire a commencé à attirer l'attention croissante des scientifiques surtout son application dans le domaine de la modélisation des systèmes dynamiques ainsi que la commande. La modélisation des systèmes physiques par des équations différentielles à dérivés fractionnaires devient l'objet de nombreuses études. Le développement des méthodes efficaces pour résoudre numériquement ces équations a reçu une attention croissante au cours des dernières années. Plusieurs méthodes basées sur Grünwald-Letnikov, Caputo ou Riemann-Liouville définition ont été proposées et analysées [Djo01]. 135 Chapitre V Application des techniques de commande avancée 4.1. Définition de Grünwald-Letnikov En mathématique, La dérivation d’ordre fractionnaire est la généralisation de la fonction de dérivation entière à des ordres fractionnaires quelconques [Amm01, Bet01]. Parmi de nombreuses définitions de la dérivation d’ordre fractionnaire, la définition de Grunwald-Letnikov est la plus importante. La nécessité de cette définition pour la description et l'analyse des systèmes d'ordre fractionnaire est une étape intéressante. La dérivée première d’une fonction *( ) est donnée par la formule suivante : *( + ℎ) − *( ) ”→8 ℎ * ′ ( ) = lim La dérivée seconde est obtenue par : * ′ ( + ℎ) − * ′ ( ) ”→8 ℎ *( + ℎ + ℎ ) − *( + ℎ ) *( + ℎ ) − *( ) lim − lim ℎ ℎ ”˜ →8 ”˜ →8 = lim ”— →8 ℎ (V. 19) * ′′ ( ) = lim (V. 20) En supposant que ℎ et ℎ convergent de manière synchrone, la formule précédente devienne: *( + 2. ℎ) − 2. *( + ℎ) + *( ) ”→8 ℎ * ′′ ( ) = lim ∑8œYœ (−1)Y ™ › *( + (- − š). ℎ) š ) = lim ”→8 ℎ En général, nous avons : * ( )( Retrait de la restriction que - est un entier positif, il est raisonnable de définir: 1 . ”→8 ℎ• 4• *( ) = lim ž (−1)Y ™ › *( + (ž − š). ℎ) š 8œYœ∞ (V. 21) (V. 22) (V. 23) Ceci définit la dérivée Grünwald-Letnikov [Sal01, Sli01]. Pour simplifier la notation, nous définissons: ∆•” *( ) = ž (−1)Y ™ › *( + (ž − š). ℎ) š 8œYœ∞ (V. 24) Ainsi, la dérivée Grünwald-Letnikov peut être succinctement s'écrit: ∆•” *( ) ”→8 ℎ• 4• *( ) = lim 4.2. Définition de Caputo (V. 25) Caputo a introduit une nouvelle définition de la dérivée fractionnaire qui porte d’ailleurs son nom et qui incorpore les conditions initiales de la fonction à traiter, ainsi 136 Chapitre V Application des techniques de commande avancée que ses dérivées entières. Cette approche a été adoptée par Caputo et Mainardi dans leurs travaux en viscoélasticité. La dérivée fractionnaire au sens de Caputo d’une fonction *(E) est définie par la relation suivante [Bet01, Bek01, Ham02, Can01, Nar02]: 4ZŸ *( ) = 1 * (E) .i ( − E)Ÿ (- − ¡) Z ¢ . CE Avec - un entier positif vérifiant l’inégalité - − 1 < ¡ < - (V. 26) L’avantage principal de cette approche est que les conditions initiales de la dérivée fractionnaire au sens de Caputo des équations différentielles fractionnaires prennent la même forme que dans le cas des équations différentielles d’ordre entier [Bet01]. 4.3. Définition de Riemann-Liouville Cette section généralise l’opérateur 4 pour un ordre réel de la différenciation selon la définition la plus usuelle Riemann-Liouville. Cette définition généralise deux égalités de calcul entier dont La premier est la formule de Cauchy [Bek01, idi01]. Rappelant : 4 *( ) = i *(E)CE (V. 27) 8 Le calcul de la seconde peut être simplifié en échangeant l'ordre d'intégration : £˜ 4 *( ) = i i *(E )CE CE = i *(E). ( − E). CE 8 8 8 (V. 28) Cette méthode peut être appliquée à plusieurs reprises, aboutissant à la formule générale: 4 *( ) = 1 . i *(E). ( − E) (- − 1)! 8 . CE (V. 29) Maintenant, cette formule peut être facilement généralisée à des valeurs fractionnaires : 4Ÿ *( ) = 1 *(E) .i . CE ( − E)Ÿ¢ (−¡) 8 La dérivée de Riemann-Liouville avec la limite inférieure d'intégration 5 serait : Z4 Ÿ *( ) = 1 *(E) .i . CE ( − E)Ÿ¢ (−¡) 8 (V. 30) (V. 31) 137 Chapitre V Application des techniques de commande avancée 4.4. Transformée de Laplace de la dérivée fractionnaire La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. La transformée de Laplace )(0) d’une fonction *(E) est donnée par la relation : j )(0) = ¥ *(E) = i *(E). D 8 ¦£ . CE (V. 32) La transformation de Laplace d’une dérivée d'ordre § de la fonction * est donnée par [Bet01, Amm01]: )(0) = 0 ¨ . ¥ *(E) (V. 33) 4.5. Equations différentielles d’ordre fractionnaire et fonctions de transfert Plusieurs systèmes dynamiques à temps continu peuvent être modélisés par des équations différentielles à dérivées fractionnaires. Considérons le système décrit par l’équation différentielle fractionnaire linéaire à coefficients constants suivante [Ham02]: 5 . 4Ÿ© †(E) + 5 = Où : . 4 Ÿ© Y. 4 ¨¬ †(E) + ⋯ . +58 . 4 Ÿ« †(E) •(E) + •(E) : L’entrée du système Y . 4¨¬ •(E) + ⋯ . + 8 . 4¨« •(E) (V. 34) †(E) : La sortie du système 5- , ® ∈k Les ordres de dérivation ¡8 , ¡ , … . , ¡ et §8 , § , … . , §Y sont supposés réels, positifs et ordonnés [Djo01]: ¡8 < ¡ < ⋯ . < ¡ et §8 < § < ⋯ . < §Y Comme dans le cas d’une équation différentielle à dérivées entières, les ordres de dérivation doivent vérifier la contrainte ¡ > §Y pour que le système soit strictement propre [Ham02, Amm01]. L’application de la transformée de Laplace nous obtenons une fonction de transfert avec des puissances d’ordre fractionnaire de la forme : Y. 0 + Y . 0 ¨¬ + ⋯ . + 8 . 0 ¨« .(0) = 5 . 0 Ÿ© + 5 . 0 Ÿ© + ⋯ . +58 . 0 Ÿ« ¨¬ (V. 35) 138 Chapitre V Application des techniques de commande avancée 4.6. Représentation dans l’espace d’état La description interne d’un système d’ordre entier cherche toujours à lui faire correspondre un système d’équation appelé représentation d’état de forme générale: ° ± (E) = *( (E), •(E), E) # †(E) = ²( (E), •(E), E) où •(E) et †(E) sont respectivement l’entrée et la sortie du système. (V. 36) Dans la représentation par espace d’état, l'état d’un système est décrit par un ensemble d’équations différentielles du premier ordre exprimées en termes de variables d'état notées généralement (E). Ces équations sont couplées et peuvent être écrites sous une forme générale condensée par la notation matricielle suivante: ° ± (E) = o. (E) + u. •(E)# †(E) = 1. (E) + 4. •(E) où o, u, 1 et 4 sont des matrices de dimensions appropriées. (V. 37) Comme dans le cas entier, une représentation d’état d’ordre fractionnaire comporte deux équations : une équation d’état d’ordre fractionnaire dans laquelle le vecteur d’état ne fait plus l’objet d’une dérivation unitaire mais d’une dérivation d’ordre fractionnaire réel; une équation d’observation identique à celle du cas entier. Elle est définie par le système d’équation [Djo01, Ham02, Lad01]: ° 4Ÿ (E) = o. (E) + u. •(E)# †(E) = 1. (E) + 4. •(E) où 0 < ¡ < 1 (V. 38) Dans l’équation (V.38), qui décrit la dynamique d’un système linéaire invariant monovariable d’ordre fractionnaire, deux cas se présentent et conduisent à deux types de systèmes : les systèmes commensurables et les systèmes non commensurables [Ham02]. Un système est dit commensurable si tous les ordres de dérivation de l’équation différentielle fractionnaire qui le régit sont des multiples entiers d’un ordre de base ¡. C’est à dire dans l’équation (V.35), la condition suivante est remplie [Djo01]: ¡® , §® = ³. ¡, ¡ ∈ k Un système est dit non commensurable si la condition n’est pas remplie. 139 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Le choix des variables d’état dans la représentation d’état d’un système linéaire n’est pas unique. Il existe différent choix des variables, dont la forme de commande et la forme d’observation sont les plus courantes. 4.6.1. Forme canonique commandable Dans le cas où le transfert fractionnaire est strictement propre, il est possible d’obtenir une représentation dite Compagne pour la Commande de la forme [Djo01]: 0 1 0 0 0 … … 0 H K H 0 K H0K … … 0 0 0 K H 1 G J G ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ J G ⋮ J G⋮J J G ŸG # ⋮ J . G ⋮ J + G⋮J . • ⋱ ⋱ ⋮ # ⋮ ⋮ 4 G (V. 39) J G J G J J=G ⋮ 0 0 1 0 J G J G0J G J G 0 0 0 0 1 J G J G0J G J G 0 F I F1I −5 −5 −5 −5 F I −5 F I 8 †(E) = [ où 8 − . 58 − .5 … … − .5 = 0, pour š < ¶ ≤ - H G G ]. G G G F K J J J+ J J I .• (V. 40) 4.6.2. Forme canonique observable Dans le cas où le transfert fractionnaire est strictement propre, il est possible d’obtenir une représentation dite Compagne d’observation de la forme [Djo01]: 0 0 0 H K H1 0 1 G ⋮ J G0 1 0 G ŸG ⋮ J # 4 G J = G⋮ ⋮ ⋮ G J G⋮ ⋮ ⋮ G J G0 0 0 F I F0 0 0 †(E) = [0 0 où … … … ⋮ ⋮ … … … … … ⋮ ⋮ 1 0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 1 H K G ⋮ J G J … … 1]. G ⋮ J + G J G J F I −58 −5 −5 # ⋮ ⋮ −5 −5 .• K H K H J G 7 J G J G ⋮ J G J.G J+G ⋮ J G J G J G J G I F I F 8 − − − − − ⋮ ⋮ . 58 .5 .5 .5 .5 K J J J.• J J I (V. 41) (V. 42) = 0, pour š < ¶ ≤ - 140 Chapitre V Application des techniques de commande avancée 4.7. Commandabilité, observabilité La commandabilité et l’observabilité sont deux concepts développés pour la représentation d’état des systèmes qui permettent de caractériser respectivement la possibilité que la commande exerce une influence sur un des états et la possibilité d’obtenir une certaine information d’un des états. Cependant leur concept peut être utilisé dans d’autres représentations [Ham02, Djo01, Lad01]. 4.7.1. Commandabilité La commandabilité est une caractéristique d’une représentation d’état d’un système, ou d’un système en soi même, qui nous indique si une ou plusieurs de ces dynamiques peuvent être modifiées par les entrées. Pour que le système fractionnaire soit commandable, il faut que la matrice de commandabilité [Djo01, Ham01, Ham02]: 1 = [u ou o u … … . . o soit de rang plein. u] (V. 43) 4.7.2. Observabilité L’observabilité est une caractéristique structurelle complémentaire d’une représentation d’état d’un système, ou d’un système en soi même, qui nous indique la capacité pour un système à déterminer l’historique d’un état à partir de la seule connaissance des variables de sortie mesurées. Pour que le système fractionnaire soit observable, il faut que la matrice d’observabilité : 1 H 1o ·=G ⋮ G ⋮ F1o K J J I (V. 44) soit de rang plein [Djo01, Ham02]. 4.8. Analyse de la stabilité Dans le cas des systèmes linéaires d’ordre entier représentés par une fonction de transfert rationnelle, l’analyse des pôles permet de conclure sur la stabilité entrée-sortie du système. Un système à temps continu est stable si, et seulement si tous ses pôles sont à partie réelle strictement négative. Dans le cas des systèmes linéaires d’ordre fractionnaire, 141 Chapitre V Application des techniques de commande avancée la condition de stabilité dans le sens entrée bornée-sortie bornée est réalisée si la condition suivante est remplie [Djo01, Ham02]: » |arg (^ )| > 2 ^ =¼ ½Ÿ ,1 ≤ ¶ ≤ - où ^ sont les pôles du système et ¼ sont les valeurs propres de la matrice o. (V. 45) (V. 46) La figure V.21 représente les régions de stabilité d’un système fractionnaire dans le plan 0Ÿ : Fig.V.21 : Région de stabilité des systèmes d’ordre fractionnaire 4.9. Méthodes d’approximation des opérateurs d’ordre fractionnaire La simulation numérique et la réalisation pratique d’un système physique d’ordre fractionnaire requièrent au préalable son approximation par des fonctions de transfert d’ordre entier de dimension fini. Durant les dernières années plusieurs algorithmes d’approximation ont été développés en utilisant les modèles rationnelles continus parmi lesquelles on trouve [Bet01, Cai01, Idi01, Lad01]: 4.9.1. Méthode de Carlson La méthode proposée par Carlson est basée sur un processus régulièr de Newton utilisée pour l’approximation itérative des racines. Le point de départ du procédé d’approximation est la déclaration des relations suivantes [Idi01, Lad01]: ¾ ½Ÿ (0) − .(0) = 0 . Ÿ (0) = ¾(0) On définit ¡ = • et š = • (V. 47) (V. 48) à chaque itération. A partir de la valeur initiale ¾8 (0) = 1, la fonction rationnelle approchée obtenue est donnée par : 142 Chapitre V Application des techniques de commande avancée ¾ (0) = ¾ (0). (ž − š). ¾ (ž + š). ¾ + (ž + š). .(0) + (ž − š). .(0) (V. 49) 4.9.2. Méthode de Matsuda Cette méthode est basée sur l'approximation d'une fonction irrationnelle par une fonction rationnelle obtenue par la CFE et l'ajustement de la fonction originale dans un ensemble de points logarithmiquement espacés [Idi01, Lad01]. En supposant que les points choisis sont : 0® , ³ = 0,1,2, …., l’approximation obtenue est donnée par : ¾(0) = 58 + où : 5 = 8 (0) ¢ (0 ) (0 − 08 ). (0 − 0 ). (0 − 0 ) … . 5 + 5 + 57 + ⋯ . (V. 50) = ¾(0) 0−0 (0) = (0) − 5 4.9.3. Méthode d'Oustaloup Dans le but d'implémenter des modèles d'ordre fractionnaire dans le schéma de commande présenté dans ce travail, nous utiliserons la méthode d’Outsaloup présentée dans cette section. La méthode est basée sur l'approximation d'une fonction de la forme: ¾(0) = 0 ¿ (V. 51) par une fonction rationnelle [Ham02, Idi01, Hel05, Nar01]: @ 1+ 0  À (0) = 1. Á ¾ 0 @1+^ (V. 52) où m ∈ k ¢ En utilisant l'ensemble des formules de synthèse suivantes: ^8 = ¡ 8.9 . ÃÄ Â8 = ¡ 8.9 . ÃÄ Â¢ ^¢ = = ¡. Å > 1  ^ ^¢ =Å>0  (V.53) (V.54) (V. 55) (V. 56) 143 Chapitre V Application des techniques de commande avancée  =¡>0 ^  log ( @ ) Â8 3= log (¡. Å) m= (V. 57) (V. 58) log (¡) log (¡. Å) (V. 59) ÃÄ = ÇÔ . ÃÈ où [ÃÈ , Ô ] est la bande de fréquence souhaité. (V. 60) 4.9.4. Méthode de Charef La méthode proposée par Charef [Bet01, Ham01, Bek01] est basée sur l'approximation d'une fonction de la forme : ¾(0) = 1 0 (1 + ^ )Ÿ où 0 < ¡ < 1 £ (V. 61) Dans cette méthode la fonction ¾(0) est remplacée par un quotient de polynômes en 0 de 0 ∏@ 8 (1 + )  À (0) = ¾ 0 ∏@ 8(1 + ) ^ la forme : où ^ et  sont les pôles et les zéros de l’approximation. (V. 62) Dans le domaine fréquentiel, les coefficients sont calculés pour obtenir un écart maximal de y dB entre le système original et l’approximation. On définit les rapports de position en fonction de ¡ et † par: 5 = 10 = 10 Ê ½ 8.( ʽ 8.Ÿ 5 = 10 Ÿ) Ê ½ 8.Ÿ.( Ÿ) (V. 63) (V. 64) (V. 65) Les pôles et les zéros de la fonction rationnelle approchée sont obtenus en appliquant les formules suivantes: ^8 = ^£ . √ ^ = ^8 . (5 )  = 5. ^8 . (5 ) (V. 66) (V. 67) (V. 68) 144 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Le nombre de pôles et de zéros est lié à la largeur de bande de fréquences souhaitée et le critère d'erreur utilisé. Sa valeur 3 est par l'expression: à log ( YZ ) ^8 3=Ì Í+1 log (5 ) (V. 69) 4.10. Le correcteur PIλDδ d’ordre fractionnaire Les correcteurs utilisés en milieu industriel sont des régulateurs à action proportionnel, intégral et dérivée (PID). Ils permettent d'engendrer à partir de la sortie du comparateur un signal proportionnel à l'erreur, à son intégrale et sa dérivée. L'action Proportionnelle corrige de manière instantanée, tout écart de la grandeur à régler, elle permet de vaincre les grandes inerties du système. Afin de diminuer l'écart de réglage et rendre le système plus rapide, on augmente le gain mais, on est limité par la stabilité du système. L'action intégrale complète l'action proportionnelle. Elle permet d'éliminer l'erreur résiduelle en régime permanent. La présence de l’action dérivée permet donc d’augmenter la rapidité du système en augmentant le gain sans être inquiété par la stabilité. Le comportement du régulateur PID peut être décrit par la fonction de transfert suivante : 1(0) = <= . Î1 + 1 + : . 0Ï :.0 (V. 70) Les paramètres du correcteur associés à cette structure sont le gain proportionnel <= , la constante d’intégration : et la constante de dérivation : . Les trois actions possèdent des caractéristiques différentes et agissent de manière complémentaire. Pour un système donné, les performances du système bouclé peuvent être améliorées en insérant dans la boucle de régulation un dispositif visant à corriger les défauts du système (instabilité, lenteur, erreur statique). Ces dispositifs sont les correcteurs d’ordre fractionnaire. Ces correcteurs ont pour but de délivrer un signal de commande au système de manière à préserver les exigences de précision et de stabilité. Le correcteur PIλDδ est introduit dans la chaîne directe du système, son rôle essentiel consiste à modifier les performances du système initial suivant le cahier de charges. Sa fonction de transfert est donnée par [Bet01]: 1Ð (0) = <=Ð + 1 + : Ð . 0Ò : Ð. 0Ñ (V. 71) 145 Chapitre V Application des techniques de commande avancée où : ¼ (¼ ≥ 0) et Ô (Ô ≥ 0) sont des nombres réels. Ce type de correcteur est muni de deux paramètres supplémentaire ¼ et Ô. Ces paramètres peuvent être employés pour remplir des caractéristiques additionnelles pour l’amélioration ou l’optimisation des performances ou d’autres conditions intéressantes pour le système à commander [Bet01, Djo01, Bar01, Che01, Tej01, Yer01, Wan03, Nar01]. Pour ¼ = 1 et Ô = 1, nous obtenons un correcteur PID classique. Les deux cas suivants (¼ = 1, Ô = 0) et (¼ = 0, Ô = 1) correspondent à des correcteurs PI et PD classiques. λ µ Tous ces types de correcteurs PID classiques sont les cas particuliers du correcteur PI D d'ordre fractionnaire donné par l’équation (V.71) comme il est indiqué à la figure V.22: Fig.V.22 : Le correcteur PIλDδ avec les ordres fractionnaires 4.11. Synthèse des paramètres du PIλDδ d’ordre fractionnaire Les systèmes dynamiques peuvent présenter une précision insuffisante, de l’instabilité, un temps de réponse trop lent, un dépassement trop important, des vibrations, une grande sensibilité aux perturbations. Pour cela, il est nécessaire de corriger leurs comportements à l’aide de l’asservissement. Le rôle de l’ingénieur consiste précisément à dimensionner un correcteur fractionnaire ayant une fonction de transfert telle que sa combinaison avec celle du système à asservir assure les performances attendues. Il existe une multitude de techniques mathématiques qui permettent d’aider à synthétiser un correcteur d’ordre fractionnaire parmi lesquelles on peut citer : Méthode basée sur la distribution des pôles [Pet01] Méthode basée sur la technique de Ziegler-Nichols [Taj01] Méthode basé sur la minimisation d’un critère de performance [Bet01] 146 Chapitre V Application des techniques de commande avancée λ La méthode proposée pour l’ajustement des paramètres du correcteur PI est basée sur la minimisation d’un critère de performance. Cette méthode est composée de deux étapes : Dans la première étape, nous avons utilisés la méthode de Ziegler-Nichols pour l’ajustement des paramètres <=Ð et : Ð du correcteur PI d’ordre fractionnaire avec ¼ = 1 λ ce qui signifie l’ajustement des paramètres d'un simple correcteur PI classique. La deuxième étape consiste à ajuster ¼ minimisant un critère de performance donné par: j • = i 2 (E). CE (V. 72) 8 4.12. Résultat de simulation Dans cette section, nous présenterons des simulations pour montrer l'efficacité de λ la méthode proposée pour le réglage des paramètres de correcteurs PI d’ordre fractionnaire dans la boucle de commande du système de chauffage par induction. λ La fonction de transfert irrationnelle du régulateur PI d’ordre fractionnaire est donné par : 1Ð (0) = <=Ð + 1 : Ð. 0Ñ (V. 73) Pour calculer l’intégral complexe • (¼) par l'utilisation de la méthode de Hall-Sartorius présentée dans l’Annexe D, le signal de l’erreur 2(0) doit être une fonction rationnelle. Mais la fonction de transfert du correcteur PI d’ordre fractionnaire 1Ð (0) est une fonction λ irrationnelle. Pour régler ce problème, La fonction de transfert irrationnelle du correcteur λ PI d’ordre fractionnaire est approximée par une fonction rationnelle en utilisant la méthode d’Oustaloup présentée dans la section 4.10.3. L’approximation de l’opérateur d’intégration est donnée par : @ 1+ 0  0 Ñ = 1. Á 0 @1 + ^ (V. 74) L'approximation de la fonction 1Ð (0), dans une bande de fréquence donnée d'intérêt pratique [ÃÈ , Ô ], est donnée par: @ 1+ 0 1 ^ 1Ð (0) = <=Ð + .Á 0 1. : Ð @1+ (V. 75) 147 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Pour la tâche de minimisation, nous avons changé les valeurs du paramètre ¼ de 0 à 1 et pour chaque valeur de ¼ nous calculons l'index correspondant • (¼) de l’intégrale du carré de l’erreur. Par utilisation des paramètres <= et : trouvés pour le correcteur PI classique, la fonction de transfert 1Ð (0) du correcteur PI d’ordre fractionnaire est donnée par : λ 1Ð (0) = 0.0108205 + 1 1.3863. 10 7 . 0 Ñ (V. 67) Le plus petit index • est obtenu pour ¼ = 0.2. La figure V.23 présente la réponse indicielle du système en boucle fermée : Step Response 1.4 PI Z-N PI fractionnaire 1.2 Amplitude 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Time (seconds) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -4 x 10 Fig.V.23 : Réponse indicielle du système en boucle fermée Pour la comparaison de l’amélioration des performances du système de commande, quelques caractéristiques de performance pour le système de commande avec les deux λ correcteurs (PI classique, PI ) sont récapitulées dans le tableau V.6 : Tableau V.6: Comparaison des caractéristiques obtenues en simulation Régulateur λ PI (Z-N) PI Dépassement 33% 2.6% Temps de réponse 27 µs 10 µs 46° 87° Marge de phase 148 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Nous remarquons que la loi de commande fractionnaire force le système à rejoindre rapidement les trajectoires de référence malgré la présence des perturbations et la variation de l’amplitude du signal de référence. 4.13. Test de robustesse Afin de tester la robustesse du régulateur proposé, on considère une variation de la charge k et de la tension de ligne l . Les figures V.24.(a) résume les résultats obtenus quand le système est sujet à une variation de ±30% de la résistance équivalente par rapport à sa valeur nominale, alors que la figure V.24.(b) présente la réponse du système vis-à vis d’une variation de la tension d’alimentation de ±10%. Step Response système -30% de R +30% de R 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 0.5 1 1.5 Time (seconds) 2 2.5 système -10% de Vi +10% de Vi 1.2 A m p litu d e A m p litu d e 1.2 0 Step Response 1.4 1.4 3 0 0.5 -5 x 10 (a) 1 1.5 2 Time (seconds) 2.5 3 -5 x 10 (b) Fig.V.24: Test de robustesse Dans les deus cas, grâce à sa dynamique rapide, le contrôleur proposé est capable de forcer le système à revenir rapidement à la consigne imposée avec un temps nécessaire plus faible et un dépassement négligeable par rapport au PI classique, ce qui prouve que le contrôleur fractionnaire assure de meilleures performances que le PI en régimes transitoire et permanent. 5. Conclusion Dans ce chapitre nous avons présenté trois approches avancées pour améliorer les performances de la commande d’un onduleur à résonance destiné au chauffage par induction : la première approche est basée sur les Algorithmes Génétiques, la deuxième exploite le réglage flou et la dernière utilise la théorie du calcul fractionnaire. La mise en œuvre de régulateur PI souffre de problèmes de réglage des gains de différentes actions afin d’obtenir de bonne performances. L’exploitation des Algorithmes 149 Chapitre V Application des techniques de commande avancée Génétiques en vue de l’optimisation de ces paramètres permet d’offrir une alternative intéressante dont l’objectif est de satisfaire les critères de performances désirées. Le réglage par logique floue est une technique non linéaire ayant des propriétés de robustesse. Il a la capacité de prendre en charge le traitement des variables imprécises et de déduire des décisions objectives par une connaissance approximative. Par une connaissance approximative des sorties et du comportement du système, le régulateur par logique floue est apte à fournir une commande efficace. Son application à la commande de l’onduleur limite les oscillations autour de la valeur de référence, assure une stabilité en boucle fermée et une robustesse face aux variations paramétriques. λ La conception du correcteur PI d’ordre fractionnaire est présentée pour l’amélioration de la qualité de commande et les performances d’un système de commande du système de chauffage par induction. La méthode de synthèse est basée sur la méthode de ZieglerNichols et la minimisation d’un critère de performance. La formulation de cette méthode de conception a été dérivée par l’utilisation d’une fonction rationnelle de l’opérateur d’intégration d’ordre fractionnaire, dans une bande de fréquence donnée. Les résultats de λ simulation montrent clairement que le correcteur PI d’ordre fractionnaire améliore les caractéristiques de fonctionnement du système de commande par minimisation remarquable du dépassement et élimination des oscillations autour de la valeur de consigne. 150 Conclusion Générale Générale Conclusion générale Conclusion générale et prespectives L’objectif visé par notre travail de thèse est la modélisation, la simulation et la commande d’un système de chauffage par induction alimenté par un onduleur à résonnance série parallèle type LLC. Cette nouvelle topologie en pont en H rassemble les avantages de la topologie série et ceux de la topologie parallèle. La première étape de ce travail permet de présenter la théorie du chauffage par induction. Dans cette partie, nous avons donné le principe de base du chauffage par induction ainsi que l’action de la température et l’intensité du champ imposé sur les caractéristiques physiques ( , ) de la pièce à chauffer. Ensuite, nous avons justifié le choix de la commande MLI employée pour contrôler la commutation douce durant le processus de chauffage. Dans la deuxième partie de ce travail, nous avons proposé un schéma équivalent simplifié simulant le fonctionnement de l’onduleur et la charge série parallèle. Ce modèle est utilisé pour une analyse mathématique et une exploitation convenable des considérations pratiques du système étudié. La troisième partie est réservée à la modélisation dynamique et la commande classique de l’onduleur proposé. Cette technique de modélisation est basée sur l’approximation du premier harmonique des variables d’états. Pour améliorer les performances du système étudié, une loi de commande classique de type proportionnelle intégrale (PI) a été appliquée. Dans ce cas, les paramètres du régulateur sont déterminés à l’aide de la méthode du point critique de Ziegler-Nichols. Pour améliorer les réponses transitoires du système étudié par: augmentation de la rapidité, limitation du dépassement, une stabilité en boucle fermée, une robustesse aux perturbations, trois techniques de commande avancée sont introduites. La première est basée sur l’optimisation des paramètres du régulateur PI par Algorithmes génétiques. La deuxième technique exploite l’analogie existante entre le régulateur flou et le PI classique. La dernière approche repose sur la théorie du calcul fractionnaire. Les résultats obtenus, à partir des différentes simulations numériques, ont permis de formuler les conclusions suivantes : La température de la pièce chauffée a une forte influence sur l'environnement électromagnétique, comme la profondeur de pénétration et la densité de puissance. Audessus de la température de Curie, cette influence est fortement non-linéaire ce qui complique relativement la modélisation, l’analyse et la commande du système. 151 Conclusion générale La fréquence de commutation a une influence sur le fonctionnement des onduleurs à résonance employés pour alimenter le système de chauffage par induction, elle offre la possibilité de contrôler la dissipation de la puissance à l’intérieur du corps à chauffer et de choisir le chauffage le mieux adapté. L’onduleur proposé regroupe les avantages de l’onduleur à résonance série et l’onduleur à résonance parallèle à savoir : la puissance fournie à la charge est maximale au voisinage de la fréquence de résonance, l’approximation du premier harmonique est acceptable sous certains conditions de charge, la commutation à zéro de tension, le gain en courant, etc. L'étape de validation atteste bien de la grande précision des modèles mathématiques proposés. Ils peuvent constituer une base solide et fiable pour la conception de lois de commande robustes et performantes. Les trois méthodes proposées permettent d'atteindre les objectifs visés, avec des performances en régime permanent très satisfaisantes et assez comparables : amélioration des régimes transitoires du convertisseur suite à de fortes perturbations, atténuation des dépassements et amélioration des temps de réponses. Les lois de commande basée sur la minimisation d’un critère de performance donnent des résultats satisfaisants. Néanmoins, ces performances ne peuvent être atteintes que dans le cas d’une bonne connaissance du système, ce qui rend son application dans le cas des applications du chauffage par induction très difficile du fait que ses paramètres varient rapidement dans le temps et peuvent présenter des incertitudes. Finalement et toujours, avec l’intention de réaliser des performances plus satisfaisantes, on a ouvert la voie aux chercheurs pour aborder les points suivants : Utiliser des techniques de commande adaptatives (PI adaptatif, …) Utiliser les algorithmes génétiques pour extraire les règles de l’adaptation floue Employer une technique de commande basée sur les réseaux de neurones 152 Annexes Annexes Annexe A : Paramètres de simulation Tableau A.1: Paramètres de simulation [Esp01] Symboles valeurs . . %& %( ) ) ) ) ) ) & ( & ( & ( . . . . − − − . . −! . "# / . . . ! . ! + ! + + + 153 Annexes Annexe B : Représentation des éléments de base Le tableau B.1 présente les éléments de base utilisés dans la représentation graphique des modèles à grands signaux et des modèles à petits signaux [Tia03]: Tableau B.1 : Représentation des éléments de base Modèle exact Axe d Modèle à grands signaux Axe q Axe d Modèle à petits signaux Axe q La résistance prend la même représentation dans les trois modèles. 154 Annexes Annexe C : Réduction de l’ordre du système étudié Les méthodes de réduction de l’ordre des modèles ont été développées afin de réduire la complexité d’un modèle tout en préservant au mieux son comportement entréessorties. Le but de la réduction de l'ordre des modèles est d'obtenir un nouveau modèle d'ordre est inférieur au modèle initial tel que: l'erreur d'approximation soit faible les propriétés (stabilité) soient préservées, la procédure de réduction soit stable Dans notre cas, la fonction de transfert d’ordre 4 du système réduit est obtenu en appliquons l’algorithme de Safonov proposé dans [Saf01]. Cette fonction est donnée par : ,- ./0 = 2-3 . / 3 + 2-5 . / 5 + 2-6 . / + 2-7 8-9 . / 9 + 8-3 . / 3 + 8-5 . / 5 + 8-6 . / + 8-7 Les pôles du système sont donnés par: :6,5 = .−0.3169 ± B4.38800. 109 :3,9 = .−0.3086 ± B0.31440. 109 La figure C.1 donne une comparaison des réponses indicielles du modèle original et du modèle réduit : Step Response 1400 1200 1000 Amplitude 800 600 400 200 0 -200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time (seconds) 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -3 x 10 Fig. C.1 : Comparaison de la réponse du système original et le système réduit La principale observation est la grande ressemblance entre le système réel et le système réduit. 155 Annexes Annexe D : Méthode de Hall-Sartorius La méthode de Hall-Sartorius consiste pour un système consiste, pour un système linéaire, à rechercher un asservissement minimisant l’intégrale du carré de l’erreur d’un système bouclé, pour une entrée en échelon (figure D.1) [Bet01]: Fig. C.1: Réponse indicielle d’un système en boucle fermée H E = F G 5 .I0. JI 7 La méthode nécessite le calcul de E sous forme littérale mettant en évidence les paramètres du système et du régulateur afin de déterminer les valeurs de ces paramètres minimisant l’intégrale. D’après les propriétés de la transformée de Laplace, E peut s’écrire : MH 1 E= . F G./0. G.−/0. J/ 2. L. B NMH où : G./0 = O./0 P./0 O./0 = 87 + 86 . / + 85 . / 5 + ⋯ . . +8RN6 . / RN6 P./0 = 27 + 26 . / + 25 . / 5 + ⋯ . . +2R . / R Sous forme complexe, l’intégrale devient : SR = MH 1 O./0. O.−/0 .F . J/ 2. L. B NMH P./0. P.−/0 où : O./0. O.−/0 = T7 + T6 . / 5 + T5 . / 9 + ⋯ . . +TRN6 . / 5.RN60 156 Annexes Il vient la formule générale : SR = .−10RN6 ∆V R . W 2 ∆R avec : 27 [2 5 Z2 Z 9 ∆W = JXI R Z Z Z Y 26 23 25 ⋮ 26 27 ⋯ ⋱ ⋯ 2R 2RN6 ⋮ 2RN5 2R 2RN3 2RN6 ` _ _ _ 2RN9 _ 2RN5 _ 2R ^ W ∆V R .a × a0 s’obtient en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de ∆R .a + 10 × .a + 10 et en remplaçant la colonne de la matrice ainsi obtenue par le vecteur cV : cV = [T7 T6 T5 … … … . . TRN6 ]g 157 Références Références Références [Adn01] B. ADNANI, « Modélisation et contrôle des onduleurs à résonance», Thèse de Magister, Université de Batna, Algérie, Janvier 2010. [Ahm01] N. A. AHMED, «Three-phase High frequency AC conversion circuit with dual mode PWM/PDM control strategy for high power IH applications», Proceedings of World Academy of Science Engineering & Technology PWASET, vol. 35, pp.371-377, November 2008. [Amm01] A. S. AMMOUR, « Contribution a la commande par modes glissants d'ordre fractionnaire», Thèse de Doctorat, Université de Mouloud Maameri, TiziOuzou, Algérie, 2011. [Bar01] R. S. BARBOSA, J. A. T. MACHADO and I. M. FERREIRA, « A fractional calculus perspective of PID tuning», ASME 2003 Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference Chicago, Illinois, USA, September 2-6, 2003. [Bel01] N. Y. BELHADJ, « Modélisation et commande des redresseurs triphasés fonctionnant à haut rendement et à faible taux de distorsion harmonique: application au redresseur triphasé de vienne», Thèse de Doctorat, Ecole de Technologie Supérieur, Université du Québec, Montréal, Canada, Décembre 2007. [Bek01] H. BEKKOUCHE, «La commande des systèmes d'ordre fractionnaire basée sur la fonction de transfert idéale de Bode», Thèse de Magister, Université de Mantouri, Constantine, Algérie, 2008. [Bet01] K. BETTOU, «Analyse et réalisation de correcteurs analogiques d’ordre fractionnaire», Thèse de Doctorat, Université de Mantouri, Constantine, Algérie, 2011. 158 Références [Blu01] G. BLUT, « Effet de la géométrie sur les paramètres du générateur et le profil de dureté lors d’une chauffe par induction : expérience et simulation», Mémoire de Maîtrise, École de Technologie Supérieure, Canada, Aout 2010. [Bou01] A. BOUAFIA, « Techniques de commande prédictive et floue pour les systèmes d’électronique de puissance: application aux redresseurs a MLI», Thèse de Doctorat, Université FERHAT Abbas Sétif, Algérie, 2010. [Bri01] P. BRISTIEL, «Modélisation magnétothermique, métallurgique et mécanique de la trempe superficielle après chauffage par induction appliquée aux vilebrequins», Thèse de Doctorat, Ecole National Supérieur d’Arts et Métiers, Bordeaux, France, 2001. [Bur01] J. M. BURDIO, L. A. BARRAGAN, F. MONTERDE, D. NAVARRO and J. ACERO, «Asymmetrical voltage-cancellation control for full-bridge series resonant inverters», IEEE Transactions on Power Electronics, Vol.19, N°02, pp. 461-469, 2004. [Cai01] X. CAI and F. LIU, « Numerical simulation of the fractional-order control system», Journal Applied Mathematics and Computing, Vol. 23, N°01, pp. 229-241, 2007. [Can01] S. KANAT, «Contribution à la modélisation dynamique d’ordre non entier de la machine asynchrone à cage », Thèse de Doctorat, Institut National Polytechnique de Toulouse, France, Juillet 2005. [Car01] D. CARDINAUX, « Etude et Modélisation Numérique 3D par Eléments Finis d’un Procédé de Traitement Thermique de Tôles Embouties après Chauffage par Induction : application a un renfort de pied central automobile », Thèse de Doctorat, Ecole national des mines de paris, France, 2008. [Cha01] T. CHAARI, « Un algorithme génétique pour l’ordonnancement robuste: application au problème du flow shop hybride », Thèse de Doctorat, Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis, France, Mars 2010. 159 Références [Cha02] C. H. CHANG ; E. C. CHANG ; C. A. CHENG and H. L. CHENG, «Small Signal Modeling of LLC Resonant Converters Based on Extended Describing Function», International Symposium on Computer, Consumer and Control, pp. 365 - 368, Taichung , Taiwan, 4-6 June 2012. [Che01] Y. Q. CHEN, H. DOU, B. M. VINAGRE and C. A. Monje, «A robust tuning method for fractional order PI controllers», 2nd IFAC, Workshop on Fractional Differentiation and its Applications, Porto, Portugal, July 19-21, 2006. [Che02] C. H. CHENG, « Design of Fuzzy Controller for Induction Heating Using DSP», 5th IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications, pp. 2276-2280, Taichung, Taiwan, 15-17 June 2010. [Che03] K. CHENGCHAN, «Small Signal Model of Series Parallel Resonant DC-DC Converter with Capacitive Output Filter», the 2nd International Science, Social Science, Engineering and Energy Conference I-SEEC’2011, Vol. 08, pp. 42– 46, Thailand, 2011. [Chi01] A. CHIKHI, « Conception d’une commande floue directe du couple (FDTC) de la machine asynchrone basée sur la SVM », Thèse de DOCTORAT, Université de Batna, Algérie, 2013. [Chu01] S. CHUDJUARJEEN, A. SANGSWANG, and C. KOOMPAI, «LLC resonant inverter for induction heating with asymmetrical voltage-cancellation control», IEEE International Symposium on Circuits Systems, pp. 2874–2877, Taipei, Taiwan, May 2009. [Cla01] S. CLAIN, « Analyse mathématique et numérique d'un modèle de chauffage par induction », Thèse École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse, 1994. [Ded01] E. J. DEDE. , J. JORDAN, J. V. GONZALEZ and J. LINARES, «Conception and Design of a Parallel Resonant Converter for Induction heating», 6th 160 Références Applied Power Electronics Conference and Exposition APEC’91, pp. 38-44, Dallas TX, USA 1991. [Ded02] E. J. DEDE, J. M. ESPI, J. JORDAN and A. FERRERES, « Design considerations for transformerless series resonant inverters for induction heating», International Conference on Power Electronics and Drive Systems, Vol.01, pp. 334 – 339, 26-29 may 1997. [Djo01] A. DJOUAMBI, «Contribution a la commande Crone», Thèse de Doctorat, Université de Mantouri, Constantine, Algérie, 2008. [Dom01] A. DOMINGUEZ, A. OTIN, L. A. BARRAGÁN and O. Lucia, «Modeling of resonant inverters with high harmonic content using the extended describing function method», 38th Annual Conference on IEEE Industrial Electronics Society, pp. 5949 - 5954, Montréal, Canada, 25-28 Oct. 2012. [Esp01] J. M. ESPI, E.J. DEDE, A. FERRERES and R. GARCIA, «Steady-state frequency analysis of the LLC resonant inverter for induction heating», International Power Electronics Congress, Technical Proceedings, pp. 22-28 CIEP’96, Cuernavaca, Mexico, October 14 – 17, 1996. [Esp02] J. M. ESPI, E. J. DEDE, E. NAVARRO, E. SANCHIS and A. FERRERES, «Features and Design of the Voltage-Fed L-LC Resonant Inverter for Induction Heating», 30th Annual IEEE Power Electronics Specialists Conference PESC’99, Vol.02, pp.1126 -1131, Charleston, USA, 1999. [Esp03] J. M. ESPI and E. J. DEDE, « Design considerations for three element L-LC resonant inverters for induction heating», International Journal of Electronics, Vol. 86, N° 10, pp. 1205-1216, 1999. [Esp04] J. M. ESPI, A. E. NAVARRO, J. MAICAS, J. EJEA and S. CASANS, «Control circuit design of the L-LC resonant inverter for induction heating», 31st IEEE, Power Electronics Specialists Conference PESC’2000, Vol.03, pp.1430 - 1435, Galway, Ireland, 2000. 161 Références [Ess01] J. ESSADAOUI, « Commande d'un onduleur de puissance destiné au Chauffage par induction par la modulation de densité d'impulsions avec Amélioration du Facteur de Puissance», Mémoire de Maîtrise, Université du Québec à TroisRivières, Canada, Novembre 2003. [Ezz01] N. EZZIANI, « Commande adaptative floue backstepping d’une machine asynchrone avec et sans capteur mécanique », Thèse de Doctorat, Université de Reims Champagne Ardenne, France, 2010. [Fau01] J. FAUCHER, « Les plans d’expériences pour le réglage de commandes à base de logique floue », Thèse de Doctorat, Institut national polytechnique de Toulouse, France, 2006. [Gao01] Z. GAO and Y. ZHOU, « Research on Switching Losses for Induction Heating Power Supply with LLC Resonant Load», International Conference on Electronic & Mechanical Engineering and Information Technology, pp. 24742477, Seoul Olympic Parktel, Seoul, Korea, August 12-14, 2011. [Gay01] K. GAYATHRI, S. DEVI, V. HEMAAND and A. SURESH, «Analysis of Series Resonant Inverters with PWM and PDM Techniques for Industrial Heating Applications», International Journal of Power Control Signal and Computation, Vol. 04, No. 02, pp. 61-65, April- June -2012. [Gee01] E. D. GEEST, « Méthodes d'optimisation pour le réglage de contrôleurs PID », Travail de Fin d'Etudes, Université de Liège, Belgique, 2001. [Gen01] N. GENC, « Hybrid resonant inverter-based induction heating converter with CFPDM», International Journal of Electronics, Vol. 98, N° 12, pp. 1687-1698, Dec. 2011. [Gra01]: L. GRAJALES and F.C. LEE, « Control system design and small-signal analysis of a phase-shift-controlled series-resonant inverter for induction heating”, Power Electronics Specialists Conference PESC'95, Record, 26th Annual IEEE, Vol. 01, pp. 450-456, Juin 1995. 162 Références [Gue01] K. GUESMI, « Contribution à la commande floue d’un convertisseur statique », Thèse de Doctorat, Université de Reims Champagne Ardenne, France, 2006. [Gue02] O. GUENOUNOU, « Méthodologie de conception de contrôleurs intelligents par l'approche génétique-application à un bioprocédé », Thèse de Doctorat, Université de Toulouse, France, 2009. [Gui01] M. S. GUILLERMO, « Induction heating converter’s design, control and modeling applied to continuous wire heating», doctoral thesis, Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona, Spain, June 2012. [Haj01] O. HAJJI, « Contribution au développement de méthodes d’optimisation stochastiques. Application à la conception des dispositifs électrotechniques », Thèse de Doctorat, Ecole Nationale d’Ingénieur de Monastir, Tunisie, 2003. [Ham01] K. HAMDAOUI, « Implémentation analogique et numérique de dérivateur et intégrateur d’ordre fractionnaire », Thèse de Magister, Université de Mantouri, Constantine, Algérie, 2006. [Ham02] S. HAMMOUCHE, « Identification d’un modèle fractionnaire à l’aide des réseaux de neurones », Thèse de Magister, Université de Mouloud Maameri, Tizi-ouzou, Algérie, 2012. [Has01] T. K. HASSAN and E. A. ALI, «Power control of series-parallel resonant inverter for induction heating using buck converter», Journal of Engineering & Technology, Vol.28, N°10, pp. 1934-1959, 2010. [Hed01] C. HEDIBLE, «Algorithme Génétique pour l'affectation de cellules à des commutateurs dans les réseaux mobiles », Mémoire de Maîtrise, Ecole Polytechnique de Montréal, Canada, Septembre 2000. [Hel01] M. HELAIMI, M.BENGHANEM and B. BELMADANI, «A control power scheme of class D inverter for induction cooking application: analysis and 163 Références simulation», Conférence en Génie Electrique CGE’06, 13-14 Avril, EMP, Algerie, 2009. [Hel02] M. HELAIMI, M. BENGHANEM and B. BELMADANI, « Robust PILike Fuzzy Logic Controllers for High Frequency Inverter for Induction Heating Application», International Review of Automatic Control, Vol. 02, N° 05, September 2009. [Hel03] M. HELAIMI, M. BENGHANEM, M.BETTAYEB and B. BELMADANI, «Optimal Regulator Based Control Of APWM Class-D Inverter For Induction Cooking Appication», 4th International Conference on Electrotechnics, ICEL’09, Oran, Ageria, Nov. 2009. [Hel04] M. HELAIMI, M. BENGHANEM, B. BELMADANI, «Control system design and small signal analysis of APWM resonant inverter for induction heating», International Conference on Electric Power and Energy Conversion Systems, EPECS '09, Sharjah, UAE, Nov. 2009. [Hel05] M. HELAIMI, M. BENGHANEM, B. BELMADANI, « An Improved PIλ Controller for Resonant Inverter Induction Heating under Load and Line Variations», Studies in Informatics and Control, Vol. 21, N°04, pp. 423429, 2012. [Hem01] Z. HEMAIZIA, N. SENGOUGA & M. MISSOUS, «Small-signal modeling of phemts and analysis of their microwave performance», Courier du Savoir, N°10, pp.59-64, April 2010. [His01] M. HISSEM, « modélisation des convertisseurs à résonance par la méthode d'espace d'état moyenné et par la méthode d'injection de courant», Mémoire de Maîtrise, Université du Québec à Trois-Rivieres, Canada, Octobre 1995. [Hue01] J. M. E. HUERTA, J. D. G. S. ENRIQUE, G. G. RAFAEL and C. M. JAIME, «Design of the L-LC Resonant Inverter for Induction Heating Based on Its 164 Références Equivalent SRI», IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 54, N°06, pp. 3178-3187, December 2007. [Hu01] M. HU, N. FRÖHLEKE and J. BÖCKER, « Small-Signal Model and Control Design of LCC Resonant Converter with a Capacitive Load Applied in Very Low Frequency High Voltage Test System», Energy Conversion Congress and Exposition ECCE’2009, pp.2972-2979, 2009. [Ift01] M. U. IFTIKHAR, «Contribution à la modélisation des convertisseurs continu/continu dans une perspective de commande Influence du filtre d’entrée», Thèse de Doctorat, Université Paris-sud 11, France, 2008. [Imb01] P. IMBERTSON and N. MOHAN, « Asymmetrical duty cycle permits zero switching loss in PWM circuits with no conduction loss penalty», IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 29, N° 01, pp. 121-125, January February 1993. [Idi01] D. IDIOU, « Implémentation analogique de dérivateur et d’intégrateur d'ordre fractionnaire variable», Thèse de Magister, Université de Université de Mantouri, Constantine, Algérie, 2008. [Jai01] P. K. JAIN, A. St-MARTIN and G. EDWARDS, «Asymmetrical pulse-widthmodulated resonant DC/DC converter topologies», IEEE Transactions on Power Electronics, Vol. 11, N° 03, pp. 413-422, May 1996. [Jor01] J. JORDAN, J. M. MAGRANER, C. CASES and V. ESTEVE, «Short-Circuit Critical Frequency for Induction Heating Parallel Resonant Inverters», 13th European Conference on Power Electronics and Applications, pp. 1-9, Barcelona, Spain 2009. [Kam01] M. KAMLI, S. Yamamoto and M. ABE, «A 50-150 kHz half-bridge inverter for induction heating applications», IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 43, N°01, pp. 163-172, 1996. 165 Références [Kan01] H. KANAAN, « Contribution à la modélisation et au réglage des redresseurs triphasés non polluants unidirectionnels de type élévateur et à fréquence de commutation fixe», Thèse de Doctorat, Ecole de Technologie Supérieur, Université du Québec, Montréal, Canada, Mars 2002. [Kaz01] S. KAZUKI, T. ITO, Y. ISHIMARU, K. MATSUSE and M. TSUKAHARA, «Adjustable High Frequency Quasi-Resonant Inverter for Induction Heating», Journal of International Council on Electrical Engineering Vol.01, N°01, pp. 104-109, 2011. [Kel01] A. KELEMEN and N. KUTASI, «Lyaponov-based frequency-shift power control of induction heating converter with hybrid load», Acta Universitatis Sapientiae, Electrical and Mechanical Engineering, pp.41-52, 2009. [Kel02] A. KELEMEN, I. SZEKELY, N. KUTASI and C. GASPAR, «Minimum transistor loss control of an induction heating inverter with LLC resonant load», IEEE International Conference on Intelligent Engineering Systems INES’2004, pp. 509-514, Romania. [Kel03] A. KELEMEN and N. KUTASI, «Describing function analysis of the voltage source resonant inverter with pulse amplitude modulation», Acta Electrotechnica, Vol.48, N°03, pp.223-229, 2007. [Kha01] F. KHAIRY, S. K. KWON and M. NAKAOKA, «Advanced Induction Heating Equipment using Dual Mode PWM-PDM Controlled Series Load Resonant Tank High Frequency Inverters», Journal of Power Electronics, Vol. 07, No. 03, pp. 246-256, July 2007. [Kod01] M. KODRNJA, « Etude des oscillateurs contrôlés en tension pour les circuits à fréquence intermédiaire analyse et simulation des bruits », Thèse de Doctorat, Institut National Polytechnique de Grenoble, France, 1992. [Kol01] J. KOLAŃSKA-PŁUSKA, J. BARGLIK, B. BARON and Z. PIĄTEK, « Computation of induced current density in a cylindrical work 166 Références piece heated by induction with an internal inductor using FLUX3D software package», Przegląd Elektrotechniczny (Electrical Review), pp. 147-149, 2012 [Kou01] K. KOUZI, « Contribution des techniques de la logique floue pour la commande d'une machine a induction sans transducteur rotatif », Thèse de DOCTORAT, Université de Batna, Algérie, 2008. [Kwo01] Y. S. KWON , S. B. YOO, D. S. HYUN, «Half-bridge series resonant inverter for induction heating applications with load-adaptive PFM control strategy», 14th Applied Power Electronics Conference and Exposition APEC’99, pp.575581, Dallas TX, USA, 14-18 Mars 1999. [Lab01] V. LABBÉ, « Modélisation numérique du chauffage par induction: approche éléments finis et calcul parallèle », Thèse de Doctorat, École Nationale Supérieure des Mines de Paris, France, 2002. [Lad01] S. LADACI, « Contribution a la commande adaptative d'ordre fractionnaire», Thèse de Doctorat, Université de Université de Mantouri, Constantine, Algérie, 2007. [Leh01] P. W. LEHN and S. PODRUCKY, « Small Signal modeling of Power Electronics Converters with Resonant Controllers », International Conference on Power Systems Transients IPST’2009, Kyoto, Japan June 3-6, 2009 [Maj01] N. MAJID, A. SHOULAIE, «Power control in current source inverter with a constant output frequency supplying variable load», International Journal of Science and Advanced Technology, Vol.01, N°09, pp. 145-150, 2011. [Mer01] A. MERDASSI, « Outil d'aide à la modélisation moyenne de convertisseurs statiques pour la simulation de systèmes mécatroniques », Thèse de Doctorat, Institut National Polytechnique de Grenoble, France, Octobre 2009. 167 Références [Mok01] D. MOKEDDEM, « Contrôle flou des processus biotechnologiques à base d’Algorithmes Génétiques», Thèse de Doctorat, Université FERHAT Abbas Sétif, Algérie, 2010. [Mol01] S. V. MOLLOV, M. THEODORIDIS and A. J. FORSYTH, «High Frequency Voltage-fed Inverter with Phase-Shift Control for Induction Heating», IEE Proceeding Electronic Power Application, Vol. 151 , N°01, pp. 12-18, 2004. [Muc01] J. MUĆKO, «Parallel Resonant Inverter with non Dissipative Snubber used for Induction Heating», Przegląd Elektrotechniczny (Electrical review), pp. 61-64, 2012. [Nak01] O. EL-NAKEEB, M. I. MAREI and A. A. EL-SATTAR, « A High Frequency Modular Resonant Converter for the Induction Heating», International Journal of Emerging Technology and Advanced Engineering, Vol. 03, N° 02, pp. 432438, February 2013. [Nar01] A. NARANG, S. L. SHAH and T. CHEN, « Tuning of fractional PI controllers for fractional order system models with and without time delays», American Control Conference, ACC’2010, pp. 6674-6679, Baltimore, MD, USA, June 30-July 02, 2010. [Nar02] A. NARANG, « Identification and control of fractional and integer order systems», Ph. D. Thesis, University of Alberta, Canada, 2012. [Oua01] H. OUAKKA, « Contribution à l'identification et la commande floue d'une Classe de Systèmes Non Linéaires», Thèse de Doctorat, Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fes, Maroc, 2009. [Pas01] R. PASCAL, « Modélisation du traitement thermique superficiel par induction », Thèse de Doctorat, Ecole Centrale de Lyon, France, 2003. [Pet01] I. PETRAS, «A review of tuning methods for fractional PIDs», An International Journal of Theory and Application, Vol. 15, N°02, pp. 282-303, 2012. 168 Références [Pim01] D. PIMENTEL, «Implantation d'un contrôle de Puissance pour onduleur à modulation de densité d'impulsions et optimisation des séquences de modulation à l'aide d'Algorithmes Génétiques», Mémoire de Maîtrise, Université du Québec à Trois-Rivières, Canada, Juillet 2006 [Ram01] R. RAMA and A. SURESH, «Frequency Modulation Based Series Resonant Inverter for Induction Heating Applications», Indian Streams Research Journal, Vol.01, N° 12, pp.1-4, January 2012. [Sai01] C SAICHOL and V. HATHAIRATSIRI, «Series and Parallel Resonant Inverter for Induction Heating application», International Conference on Science, Technology and Innovation for Sustainable Well-Being (STISWB), 23-24 July 2009, Mahasarakham University, Thailand. [Sai02] C. SAICHOL, S. ANAWACH and K. CHAYANT, «An Improved LLC Resonant Inverter for Induction-Heating Applications with Asymmetrical Control», IEEE International Symposium on Industrial Electronics ISIE’2009, pp. 1612-1617, Seoul Olympic Parktel, Seoul, Korea, July 5-8, 2009. [Sai03] C. SAICHOL, S. ANAWACH and K. CHAYANT, «An Improved LLC Resonant Inverter for Induction-Heating Applications with Asymmetrical Control», IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 58, N°07, pp. 2915-2925, July 2011. [Saf01] M.G. SAFONOV, E.A. JONCKHEERE, M. VERMA and D.J.N. LIMEBEER, «Synthesis of Positive Real Multivariable Feedback Systems», International Journal of Control, Vol. 45, N°03, pp. 817-842, 1987. [Sal01] A. M. SALAH, «Les systèmes chaotiques à dérives fractionnaires», Thèse de Magister, Université de Mantouri, Constantine, Algérie, 2009. [San01] V. SANDANYOYE, « Analyse de régime transitoire des convertisseurs continu-continu à résonance fonctionnant à haute fréquence », Mémoire de Maîtrise, Université du Québec à Trois-Rivieres, Canada, Novembre1989. 169 Références [San02] N. SANAJIT and A. JANGWANITLERT, «A Series-Resonant Half-Bridge Inverter for Induction-Iron Appliances», 9th IEEE International Conference on Power Electronics and Drive Systems PEDS’2011, pp.46-50, Singapore, 5 - 8 December 2011. [Ség01] F. LABRIQUE, G. SEGUIER and R. BAUSIERE, « Les convertisseurs de l'électronique de puissance Volume 4: La conversion continu-alternatif », Lavoisier, Paris, 1995. [Smy01] M. SMYEJ, « Conception d'un correcteur par logique floue pour un convertisseur CC/CC », Mémoire de Maîtrise, Université du Québec à TroisRivières, Canada, 2000. [Sou01] A. SOUKKOU, A. KHELLAF et S. LEULMI, « Supervision neuro-floue a apprentissage génétique d’un PID robuste », Sciences & Technologie, N°23, pp. 95-106, Juin 2005. [Sou02] M. A. T. F. de SOUSA, « Contribution à la conception de lois de commande à caractère robuste pour une machine synchrone entraînant une charge élastique à inertie variable », Thèse de Doctorat, Institut National Polytechnique de Toulouse, France, Septembre 2007. [Sta01] J. STAHL and T. DUERBAUM, «Steady state and small signal modeling of resonant converters - practical validation», 13th Workshop on Control and Modeling for Power Electronics COMPEL’2012, pp. 1 - 6, Kyoto, Japan, 1013 June 2012. [Sze01] T. SZELITZKY, I. INOAN, M. TULBURE, A.O. NEAGA, «Complex model of a series load induction heating inverter», Acta Technica Napocensis, Electronics and Communications, Vol.52, N° 01, pp. 23-27, 2011. [Sze02] T. SZELITZKY, I. INOAN and D.C. DUMITRACHE, «Advantages of Robust Control for Series Load Frequency Controlled Induction Heating Inverters», Journal of Control Engineering and Applied Informatics, Vol. 13, No. 01, pp. 62-68, 2011 170 Références [Sze03] T. SZELITZKY, «Contributions à la théorie optimal robuste avec les applications aux onduleurs de haute fréquence de puissance pour le chauffage», Thèse de Doctorat, Université Technique de Cluj, Roumanie, 2012. [Taj01] M. TAJJUDIN, M. H. F. RAHIMAN, N. M. ARSHAD, and R. ADNAN, « Robust Fractional-Order PI Controller with Ziegler-Nichols Rules», World Academy of Science, Engineering and Technology, pp. 1541-1548, 2013. [Tej01] I. TEJADO, S. H. HOSSEINNIA and B. M. VINAGRE, « Comparing Fractional Order PI Controllers with Variable Gain and Gain-Order for the Networked Control of a Servomotor», IFAC Conference on Advances in PID Control, PID'12, Brescia, Italy, March 28-30, 2012. [Tia01] J. TIAN, J. PETZOLDT, T. REIMANN, M. SCHERF and G. BERGER, «Modeling of asymmetrical pulse width modulation with frequency tracking control using phasor transformation for half-bridge series resonant induction cookers», European Conference on Power Electronics and Applications, Dresden, Germany, 2005. [Tia02] J. TIAN, J. PETZOLDT, T. REIMANN, M. SCHERF and G. BERGER, «Control system analysis and design of a resonant inverter with the variable frequency variable duty cycle scheme», 37th IEEE Specialists Conference in Power Electronics PESC'06, pp. 1-5, Jeju, Korea, June 2006. [Tia03] J. TIAN, S.J. PETZOLDT, T. REIMANNT, M. SCHERF, G. DEBOY, M. MAERZ and G. BERGER, «Envelope model for resonant converters and application in LLC converters», European Conference on Power Electronics and Applications, pp. 1-7, Aalborg, Danemark, 2-5 September 2007. [Tou01] M. TOUMI, « Application des onduleurs multi-niveaux dans les systèmes de chauffage par induction. Analyse, Modélisation et Commande», Thèse de Magister, Université de Batna, Algérie, Juin 2012. 171 Références [Wan01] S. WANSER, « Simulation des phénomènes de chauffage par induction. Application à la trempe superficielle», Thèse de Doctorat, Ecole Centrale de Lyon, France, 1995. [Wan02] Z. WANG, Z. LOU and H. CHEN, «A Novel Dual-LLC Resonant Soft Switching Converter for Super High Frequency Induction Heating Power Supplies», Power Electronics Specialists Conference PESC 2007, pp. 25612566, Orlando FL, USA, June 2007. [Wan03] D. WANG and J. ZHANG, « A graphical tuning of PIλ¸ controllers for fractional-delay systems», Journal Control Theory Application, Vol.09, N°04, pp. 599–603, 2011. [Yan01] E. X. YANG, F. C. LEE and M. M. JOVANOVIC, «Small-signal modeling of LCC resonant converter», 23rd Annual IEEE Power Electronics Specialists Conference PESC’1992, pp. 941-948, Toledo, USA, 29 June-03 July 1992. [Yer01] C. YEROGLU, C. ONAT and N. TAN, «A New Tuning Method for PIλDµ controller», In Proceeding of Electrical and Electronics Engineering, pp.312316, 2009. [Zha01] T. ZHANGYIN, Y. ZHOU and N. ZHANG, «Study of control for induction heating power supply with LLC resonant load based on DSP», 2nd International Conference on Consumer Electronics, Communications and Networks CECN’2012, pp. 1313-1316, Yichang, China, 21-23 April 2012. [Zho01] Y. ZHONGMING, P. K. JAIN, P. C. SEN, «Phasor-Domain Modeling of Resonant Inverters for High-Frequency AC Power Distribution Systems», IEEE Transactions on Power Electronics, Vol. 24, N°04, pp. 911 – 923, April 2009. 172 Résumé : Dans le cadre de cette thèse, on s'intéresse plus particulièrement à l’analyse, modélisation et la commande d’un onduleur à résonance utilisé pour chauffer une pièce cylindrique en Chrome Vanadium (50CrV4). Le fonctionnement adéquat du système implique la parfaite régulation de la puissance fournie à la pièce, un chauffage efficace et un rendement énergétique élevé par minimisation des contraintes électriques et thermiques sur les interrupteurs durant l’étape de chauffage. Ces performances doivent être maintenues pour diverses conditions de fonctionnement (variations paramétriques, variation de la tension continue, etc). Le schéma de commande proposé comprend une boucle de puissance et un circuit PLL. Pour améliorer les dynamiques transitoires du système étudié, trois lois de commande avancées sont alors proposées. La première stratégie est basée sur l’optimisation des paramètres du régulateur PI minimisant l’intégrale du carré de l’erreur par Algorithmes Génétiques. La deuxième approche consiste à exploiter l’analogie pouvant exister entre le régulateur flou et le PI classique. La dernière technique utilise la théorie du calcul d’ordre fractionnaire pour la synthèse des paramètres du régulateur PIλ. Finalement les performances des régulateurs proposés sont comparées avec celles d'un PI classique. Les résultats de simulations montrent l'efficacité des algorithmes de commande proposés. Mots-clés: Onduleur à résonance, chauffage par induction, régulateur PI, circuit PLL, les Algorithmes Génétiques, la logique floue, régulateur PIλ fractionnaire Abstract: This thesis presents the description, analysis and modeling of a new LLC resonant inverter for induction heating applications by using asymmetrical voltage cancellation control. The output power of the proposed inverter has to be controlled by adjusting the duty cycle of the switches using a power loop circuit. A Phased Locked Loop (PLL) is used as frequency tracking control to maintain ZVS during the heating process. To achieve good closed-loop system performance three of robust control techniques are proposed. In the first one, the PI parameters are optimized by Genetic Algorithm. To obtain the desired system response, fuzzy logic controller design involves manipulating parameters is discussed in the second approach. In the last strategy, fractional PIλ controller is proposed. This controller had three parameters to be tuned in comparison with the conventional PI. The complete closed loop control model is obtained using small signal analysis. The validity of proposed controls is verified by numerical simulation. Results of this simulation are compared to those obtained by using a PI controller. They show that the improved controllers exhibit a much better behavior. Keywords: Induction heating, resonant inverter, PLL, PI controller, Genetics Algorithms, Fuzzy logic controller, fractional PIλ controller