Transformateurs triphasés Cours et exercices I. Présentation 1. Constitution • Un transformateur triphasé peut être constitué de trois transformateurs monophasés. La figure ci contre représente les enroulements primaires couplés en étoile. Cette solution entraîne un encombrement important et une sous utilisation du fer mais elle est parfois utilisée. • Il est possible de réaliser le circuit magnétique ci­contre (les enroulements primaire et secondaire sont placés sur les colonnes verticales périphériques) : Chaque enroulement primaire comporte n1 spires, le secondaire n2 spires. Le circuit magnétique de chaque enroulement se referme dans la colonne centrale, les flux sont indépendants. V1 = jn1ωΦ1, V2 = jn1ωΦ2 et V3 = jn1ωΦ3 D’où le flux dans la colonne centrale : t =1 2 3 = 1 V V 2 V 3 j n1 1 Si V 1V 2 V 3=0 , il est possible de supprimer la colonne centrale. Ce type de transformateur se rencontre très rarement à cause de la complexité de la construction par rapport au bénéfice obtenu. • Pour simplifier la construction, on réalise des circuits magnétiques coplanaires (un seul enroulement par colonne est représenté sur le schéma ci­contre) : la somme des flux dans chacune des colonnes verticales est nulle ( 1 2 3 =0 ) si les fuites de flux sont négligées. Le circuit magnétique est à flux liés : les différents flux ne peuvent pas s’établir indépendamment les uns des autres. • La liaison des flux ( 1 2 3 =0 ) peut entraîner des inconvénients pour certaines utilisations : pour atténuer la dépendance entre les flux, des colonnes latérales sont ajoutées (ci­dessous à gauche) ou le circuit magnétique est cuirassé (ci­dessous à droite). Colonnes latérales Transformateurs triphasés Circuit magnétique cuirassé Page 1 TS1 ET 2013­2014 2. Représentation symbolique Les enroulements bobinés sur une même colonne du circuit magnétique sont représentés sur le même axe (horizontal ou vertical). X A a1 x1 x2 a2 A Les extrémités des enroulements sont repérées par des lettres majuscules pour la haute tension et minuscules pour la basse tension. X a1 Le schéma ci­contre représente une colonne d’un transformateur triphasé (les deux autres sont identiques). Cette colonne comporte un enroulement haute tension et deux enroulements basse tension. x1 a2 x2 Les enroulements primaires (pas nécessairement haute tension) sont orientés avec la convention récepteur alors que les enroulements secondaires sont orientés avec la convention générateur. Les courants sont orientés pour que les forces magnétomotrices se retranchent (ce qui est différent du transformateur monophasé) : iA(t) X vA(t) va1 (t) ia1(t) A a1 va2(t) ia2 (t) x1 a2 x2 Dans l'exemple ci­dessus, la force magnétomotrice F engendrée par les trois enroulements parcourus par les courants iA(t), ia1(t) et ia2(t) s'écrit F =n1 i A (t)−n2 i a1 ( t)−n 2 i a2 (t) 3. Couplages des enroulements S’il y a trois enroulements (au primaire ou au secondaire), il est possible de les coupler en étoile ou en triangle. S’il y a six enroulements (par exemple deux enroulements par secondaire) un troisième type de couplage appelé « zigzag » est possible. Les transformateurs sont nommés selon les couplages au primaire et au secondaire en respectant les règles suivantes : • lettre majuscule côté haute tension : « Y » pour le couplage étoile, « D » pour le triangle, « Z » pour le zigzag. • lettre minuscule côté basse tension : « y » pour le couplage étoile, « d » pour le triangle, « z » pour le zigzag. Si un neutre existe côté « haute tension », il est indiqué par la lettre « N » après la lettre figurant le couplage « haute tension ». Si le neutre est côté « basse tension », la lettre « n » est utilisée après celle indiquant le couplage « basse tension ». Exemples : Yzn : couplage étoile au primaire (haute tension), Dy : couplage triangle au primaire (haute tension), zigzag au secondaire, neutre sorti au secondaire. étoile au secondaire, pas de neutre. A a B b C c n A a B b C cc II. Équations électriques pour un transformateur parfait Chaque colonne se comporte comme un transformateur monophasé parfait (on parle de « transformateur colonne »). Le flux pour chaque enroulement d’une même colonne est le même que pour les autres enroulements (aux fuites de flux près). Transformateurs triphasés Page 2 TS1 ET 2013­2014 En notant n1 et n2 les nombres de spires au primaire et aux secondaires du transformateur (supposé parfait) pris comme exemple au paragraphe I.2, écrire les relations : • exprimant les tensions secondaires (Va1 et Va2) en fonction de la tension primaire (VA) et du rapport des nombres de spires. • entre les intensités dans le primaire et les secondaires et le rapport du nombre de spires. Si le transformateur fonctionne en régime triphasé équilibré, les équations pour les deux autres colonnes sont identiques (décalage temporel d’un tiers de période). III.Grandeurs caractéristiques 1. Plaque signalétique On y trouve les indications suivantes : • La puissance apparente nominale, • Les valeurs efficaces des tensions primaires et secondaires composées (à vide), • Les intensités efficaces des courants secondaires en ligne, • La valeur du facteur de puissance secondaire qui permet d’obtenir le fonctionnement nominal. 2. Rapport de transformation C’est le rapport des valeurs efficaces, relevées à vide, des tensions secondaires et primaires simples ou des tensions secondaires et primaires composées (il ne faut pas prendre une tension simple pour le primaire et une tension composée pour le secondaire et réciproquement). Cette valeur n’est plus nécessairement égale au rapport du nombre de spires. ➢ Exemple On considère le transformateur représenté ci­contre. Les nombres de spires au primaire (haute tension) et au secondaire sont notées n1 et n2. • Repérer les tensions aux bornes des enroulements par leur nom en fonction de la liaison au réseau (Va, UAB, …). • Écrire la relation entre les nombres complexes associés aux tensions primaires et secondaires pour chaque colonne (une seule équation est nécessaire pour la suite). • Les valeurs efficaces des tensions simples et composées au primaire sont notées V1 et U1 ; celles pour le secondaire sont notées V2 et U2. Déterminer à partir de l'une des équations écrite précédemment la relation entre V1, V2, n1 et n2 puis celle entre U1, U2, n1 et n2. • Déduire l'expression du rapport de transformation. 3. Indice horaire (ou indice de couplage) Selon les couplages primaire et secondaire il peut apparaître un déphasage entre les tensions homologues du primaire et du secondaire (VA et Va sont des tensions homologues, UBC et Ubc aussi). Un système triphasé direct de tensions VA, VB, VC alimentant le primaire d’un transformateur donne naissance à un système triphasé direct au secondaire. Le retard de Va sur VA est noté θ ; c’est aussi le retard de Uab sur UAB. Les valeurs de θ sont toujours des valeurs multiples de 30°. La valeur du déphasage est indiquée par le rapport de θ à 30, ce rapport est appelé indice horaire I : I= avec θ en degrés. 30 Un vecteur « haute tension » pointe le 12 de « l’horloge », le vecteur de la « basse tension » homologue joue le rôle de l’aiguille des heures. Les grandeurs I et θ caractérisent le retard d’une tension « BT » sur une tension « HT » quel que soit le rôle (abaisseur ou élévateur) du transformateur. Dans l’exemple ci­contre, l’indice horaire vaut 1. Transformateurs triphasés Page 3 Grande aiguille IX VA Va Aiguille des heures Vc III VC Vb VB VI TS1 ET 2013­2014 ➢ Exemple 1 ➢ Exemple 2 On considère le transformateur représenté On considère le transformateur représenté ci­dessous. Les nombres de spires au primaire (haute ci­dessous. Les nombres de spires au primaire (haute tension) et au secondaire sont notées n1 et n2. tension) et au secondaire sont notées n1 et n2. • Repérer les tensions aux bornes des enroulements par leur nom en fonction de la liaison au réseau (Va, UAB, …). A a B b C c • Repérer les tensions aux bornes des enroulements par un nom en fonction de leur colonne : VA, Va1, et Va2 pour la colonne supérieure, … • Repérer les tensions simples au secondaire. • Écrire la relation entre les nombres complexes associés aux tensions primaires et secondaires • Établir à partir de la loi des mailles la relation entre Va et les nombres complexes associés aux pour chaque colonne. tensions aux bornes de deux enroulements • Placer les tensions simples côté basse tension sur secondaires. le diagramme ci­dessous et en déduire l'indice • Pour chaque tension aux bornes des enroulements horaire. secondaires du point précédent : écrire la relation entre cette tension et la tension primaire de la même colonne. • Exploiter la loi des mailles et les relations précédentes pour écrire la relation entre les nombres complexes associés à une tension primaire et à une tension secondaire. • Placer les tensions simples côté basse tension sur le diagramme ci­dessous et en déduire l'indice horaire. Transformateurs triphasés Page 4 TS1 ET 2013­2014 Exercice I Répondre aux questions suivantes 1. La puissance active nominale est indiquée sur la plaque signalétique d’un transformateur : vrai ou faux ? 2. La plaque signalétique d’un transformateur triphasé indique 20 kV/ 420 V. Lorsqu’il fonctionne à vide, quelle valeur affiche un voltmètre branché entre un fil de phase et le neutre au primaire ? Au secondaire ? 3. Le transformateur ci­contre fonctionne dans les conditions nominales, laquelle des indications d’ampèremètre doit figurer sur la plaque signalétique ? 4. Calculer les rapports de transformation des deux transformateurs décrits ci­dessous (essais à vide). Transformateur n°1 Transformateur n°2 Valeurs efficaces des tensions Valeurs efficaces des tensions ­ composées primaires 20 kV ­ composées primaires 20 kV ­ simples secondaires 250 V ­ composées secondaires 420 V 5. Déterminer l’indice horaire correspondant au diagramme de Fresnel ci­contre : VA Vc 6. Donner le nom de la tension homologue à Uca. Placer Uca et sa tension homologue sur le diagramme vectoriel. Va VC Vb VB Exercice II Déterminer les rapports de transformation en fonction du rapport du nombre de spires et les indices horaires des transformateurs représentés ci­dessous (on note n1 et n2 le nombre de spires par enroulements primaires et secondaires) : 1. Triangle ­ étoile 2. Étoile ­ étoile A a A a B b B b C c C c 3. Triangle ­ étoile 4. Étoile zigzag A a B b C c Transformateurs triphasés Page 5 A a B b C c TS1 ET 2013­2014 Exercice III On considère le transformateur dont le schéma est donné ci­contre : 1. Déterminer son rapport de transformation en fonction du nombre de spires au primaire (noté n1) et du nombre de spires au secondaire (noté n2). 2. Déterminer son indice horaire. A a B b C c 3. La valeur efficace nominale de la tension aux bornes d’un enroulement primaire est de 11,5 kV. Déterminer le rapport des nombres de spires secondaire et primaire si la tension composée à vide côté secondaire a une valeur efficace de 410 V. 4. Une charge, constituée de trois résistances de 1Ω couplées en étoile, est branchée au secondaire. Déterminer les intensités efficaces des courants primaires et secondaires. Exercice IV On considère le transformateur dont le schéma de câblage est indiqué ci­contre, il est supposé parfait : A a Plaque signalétique B b Puissance apparente : 130 kVA C c Primaire : 20 kV, secondaire : 380 V Secondaire 200 A 1. Indiquer les conditions pour que ce transformateur soit considéré comme parfait. 2. Déterminer son indice horaire. 3. Exprimer le rapport de transformation en fonction de n2 (nombre de spires d’un enroulement secondaire) et n1 (nombre de spires d’un enroulement primaire). 4. Ce transformateur est alimenté par un système direct de tensions triphasées de valeur efficace 20 kV et alimente une charge triphasée constituée de trois résistances de 4 Ω couplées en triangle. a. Représenter le montage. b. Déterminer le courant dans un élément de la charge (module et déphasage par rapport à la tension à ses bornes). c. Déterminer le courant en ligne (module et déphasage par rapport à la tension simple qui lui est associé). 5. Ce transformateur alimente maintenant entre deux phases une charge purement résistive. a. Écrire la loi de compensation des ampères­tours pour chaque colonne. b. En déduire que la somme des courants primaires est nulle. Exercice V 1. Le transformateur représenté sur la figure 1 comporte n1 spires au primaire et n2 au secondaire. Déterminer son indice horaire et son rapport de transformation en fonction de n2 et n1. 2. Le schéma de la figure 2 représente un essai dont les résultats ont donné : • indication du voltmètre V1 : 400 V • indication du voltmètre V2 : 400 V Transformateurs triphasés figure 1 Page 6 TS1 ET 2013­2014 a. Déduire de ces résultats le rapport n2 n1 b. Quelle est la valeur efficace des tensions composées au secondaire si les tensions composées au primaire ont une valeur efficace égale à 690 V ? 3. Une charge monophasée résistive est branchée entre les bornes a et b du secondaire couplé en triangle. a. Représenter le schéma de câblage. Figure 2 b. L’intensité dans la résistance (notée ir(t)) se divise en deux voies dans le transformateur. L’une des voies 2 1 i r t , l’autre est parcourue par i t . Placer ces courants est parcourue par un courant égal à 3 3 r sur le schéma (attention aux orientations). c. En écrivant la loi de compensation des ampères tours pour chaque colonne, montrer qu’il n’y aurait pas de courant dans le neutre du primaire. Exercice VI Un réseau HTA délivre des tensions sinusoïdales formant un système triphasé équilibré direct (UAB = UBC = UCA = U1 = 20 kV). Il alimente le primaire d'un transformateur couplé en triangle au primaire et en étoile avec neutre au secondaire. Le secondaire délivre un système triphasé équilibré direct de tensions de valeur efficace U2 = 400 V. Chaque colonne porte un enroulement primaire de N1 spires et un enroulement secondaire de N2 spires. Le transformateur est supposé parfait. La figure ci­dessous précise la désignation des différents courants et les conventions adoptées. 1. Caractéristiques du transformateur a. Déterminer le rapport de transformation mc par colonne du transformateur. b. Déterminer, en le justifiant, l'indice horaire Ih du transformateur. 2. Premier cas : L'ensemble des récepteurs constitue une charge linéaire triphasée équilibrée. Les courants ia(t), ib(t) et ic(t) sont alors sinusoïdaux. On a ia t = I a 2 sin t avec Ia = 900 A et f = 50 Hz. Exprimer in(t) en fonction de ia(t), ib(t) et ic(t). En déduire la valeur de in(t). 3. Deuxième cas : Les récepteurs constituent une charge non­linéaire triphasée équilibrée. Chaque courant en ligne au secondaire résulte de la superposition d'un courant fondamental de fréquence 50 Hz et de courants harmoniques de fréquences multiples. On ne prend en compte que les harmoniques de rang 3, les autres rangs sont négligés. Le courant ia(t) a alors pour expression i a t=I a1 2 sin tI a3 2 sin3 t , avec Ia1 = 900 A et Ia3 = 130 A (figure à la page suivante). Transformateurs triphasés Page 7 TS1 ET 2013­2014 Le courants ia(t), ib(t) et ic(t) formant toujours un système triphasé équilibré, ib(t) et ic(t) s'obtiennent en 2 4 et par t − . remplaçant respectivement t par t − 3 3 a. Vérifier en exprimant ib(t) et ic(t) que les trois composantes de rang 3 sont en phase, comme le montre la figure ci­dessous. b. Écrire la loi des nœuds au point n. En déduire l'expression de in(t). Tracer son allure sur la figure ci­dessous. Donner sa valeur efficace. c. Établir que les courants dans les enroulements primaires ont pour expression jA(t) = 0,0115 ia(t), jB(t) = 0,0115 ib(t) et jC(t) = 0,0115 ic(t). d. Écrire la loi des nœuds au point A. En déduire l'expression du courant i1(t). e. En déduire l'intérêt de ce couplage pour le réseau HTA. Évolution des courants Transformateurs triphasés Page 8 TS1 ET 2013­2014 Corrigé transformateurs triphasés Cours et exercices Exercice I Répondre aux questions suivantes 1. La puissance active nominale est indiquée sur la plaque signalétique d’un transformateur : vrai ou faux ? C'est faux, c'est la puissance apparente qui est indiquée sur la plaque. 2. La plaque signalétique d’un transformateur triphasé indique 20 kV/ 420 V. Lorsqu’il fonctionne à vide, quelle valeur affiche un voltmètre branché entre un fil de phase et le neutre au primaire ? Au secondaire ? Les indications concernent les tensions composées et ce sont les tensions simples qui sont demandées, il faut donc diviser 20 kV par √ 3 au primaire ce qui donne 11,5 kV et diviser 420 V par √ 3 au secondaire ce qui donne 242 V. 3. Le transformateur ci­contre (ci­dessus à droite) fonctionne dans les conditions nominales, laquelle des indications d’ampèremètre doit figurer sur la plaque signalétique ? La plaque signalétique indique la valeur efficace des courants en ligne c'est à dire 55 A ici. 4. Calculer les rapports de transformation des deux transformateurs décrits ci­dessous (essais à vide). Le rapport de transformation est obtenu en divisant : • la valeur efficace des tensions secondaires simples par la valeur efficace des tensions primaires simples • la valeur efficace des tensions secondaires composées par la valeur efficace des tensions primaires composées Attention : pas de « mélanges » entre les tensions simples et composées. Transformateur n°1 Transformateur n°2 Valeurs efficaces des tensions Valeurs efficaces des tensions ­ composées primaires 20 kV ­ composées primaires 20 kV ­ simples secondaires 250 V ­ composées secondaires 420 V Tensions simples : m= 250 −3 =21,6 .10 20000 √3 ou tensions composées : m= Corrigé transformateurs triphasés 250 √3 =21,6.10−3 20000 Page 1 420 √3 =21,6 .10−3 Tensions simples : m= 20000 √3 ou tensions composées : m= 420 −3 =21,6 .10 20000 TS1 ET 2013­2014 5. Déterminer l’indice horaire correspondant au diagramme de Fresnel ci­contre : Il faut comparer l'angle entre deux tensions homologues : V A est la grande aiguille et V a la petite qui indique 3 heures. 6. Donner le nom de la tension homologue à Uca. Placer Uca et sa tension homologue sur le diagramme vectoriel. La tension homologue à Uca est UCA. Pour les placer, on utilise les relations U CA =V C −V A et U ca=V c−V a VA Vc Uca Va VC Vb VB UCA Exercice II Déterminer les rapports de transformation en fonction du rapport du nombre de spires et les indices horaires des transformateurs représentés ci­dessous (on note n1 et n2 le nombre de spires par enroulements primaires et secondaires) : Corrigé transformateurs triphasés Page 2 TS1 ET 2013­2014 1. Triangle ­ étoile 2. Étoile ­ étoile A a B b C c Pour la colonne supérieure, il est possible d'écrire : Pour la colonne supérieure, il est possible d'écrire : V a= n2 U n1 AB soit pour les valeurs efficaces des tensions composées primaires Up et simples V a= n2 V n1 A soit pour les valeurs efficaces des Vp tensions simples primaires V s : V s= n2 V . n1 p et secondaires V s U s n2 n2 ce qui donne m= = = U p . En remplaçant V p U p n1 n1 Up Vs par ou par Pour l'indice horaire, on utilise la relation U p =√ 3 V p n2 n Us , on obtient V s= 2 V p √ 3 ou V a = n V A : V a est en phase avec V A et V s= 1 n1 √3 l'indice horaire est égal à 0. U s n2 = Up √3 n1 V s Us n ce qui donne m= = =√ 3 2 V p Up n1 secondaires Pour Vs : l'indice V s= horaire, n V a = 2 U AB : V a n1 on utilise la relation est en phase avec U AB . Il faut placer ces deux vecteurs sur un diagramme de Fresnel ( U AB =V A−V B ) pour constater que l'indice horaire est égal à 11 3. Triangle ­ étoile 4. Étoile zigzag A a B b C c On repère les tensions V a sur le schéma : VA , V a1 , V c2 et Pour la colonne supérieure, il est possible d'écrire : V a= n2 U n1 AC soit pour les valeurs efficaces des tensions composées primaires Up et simples La loi des mailles sur la portion de circuit en rouge n2 U p . En remplaçant permet V a − V a1 + V c2 = 0 d’écrire : soit n1 Up Vs par ou par V a = V a1 − V c2 U p =√ 3 V p Les enroulements dont les tensions sont VA et Va1 n U V s= 2 V p √ 3 ou sont sur la même colonne, il en est de même pour V s= s , on obtient n1 √3 ceux dont les tensions sont V et V . Les relations secondaires Vs : V s= C Corrigé transformateurs triphasés Page 3 c2 TS1 ET 2013­2014 U s n2 = U √3 n1 p V a1 n2 V c2 n2 = = et V A n1 V C n1 En remplaçant Va1 et Vc2 par leurs expressions en V s Us n ce qui donne m= = =√ 3 2 fonction de VA et VC, on trouve : V p Up n1 n n n n Pour l'indice horaire, on utilise la relation V a = 2 V A − 2 V C = 2 (V A − V C ) = 2 U AC n1 n1 n1 n1 n V a = 2 U AC : V a est en phase avec U AC . D'après cette relation V est en phase avec a n1 U et l'indice horaire est égal à 1. AC Il faut placer ces deux vecteurs sur un diagramme de n2 Us Fresnel ( U AC =V A−V C ) pour constater que Pour les valeurs efficaces : V s= U p= l'indice horaire est égal à 1. n1 √3 pour les tensions s’écrivent donc m=√ 3 n2 Us = n1 U p Exercice III On considère le transformateur dont le schéma est donné ci­contre : 1. Déterminer son rapport de transformation en fonction du nombre de spires au primaire (noté n1) et du nombre de spires au secondaire (noté n2). Pour la colonne supérieure, il est possible d'écrire : U ab = n2 soit pour les valeurs efficaces des tensions V n1 A composées primaires U p =√ 3 V p m= ou Up Vs et simples secondaires V s= par n2 1 n1 √ 3 Vs : Us , on obtient √3 n2 V . En remplaçant U p par n1 p n n U √ 3V s= 2 V p ou U s= 2 p donc n1 n1 √ 3 U s= 2. Déterminer son indice horaire. Les vecteurs de l’équation U ab = n2 V n1 A sont placés sur un diagramme (voir ci­contre). Les tensions Uab et UAB sont homologues. Uab est en retard de 30° sur UAB, l’indice horaire est égal à 1. (Les soulignements devraient apparaître sur le schéma.) 3. La valeur efficace nominale de la tension aux bornes d’un enroulement primaire est de 11,5 kV. Déterminer le rapport des nombres de spires secondaire et primaire si la tension composée à vide côté secondaire a une valeur efficace de 410 V. La tension aux bornes d’un enroulement primaire correspond à une tension simple : la valeur efficace d’une tension composée au primaire est égale à 11,5 3 ≈ 20 kV. Corrigé transformateurs triphasés Page 4 TS1 ET 2013­2014 D’après ce qui précède m= U ab 1 n2 = U AB √ 3 n1 soit n2 √ 3 U ab √ 3×410 = = =35,5 .10−3 3 n1 U AB 20.10 4. Une charge, constituée de trois résistances de 1Ω couplées en étoile, est branchée au secondaire. Déterminer les intensités efficaces des courants primaires et secondaires. Le transformateur est supposé parfait (l’énoncé ne donne aucune valeur pour les « défauts »). La tension aux bornes d’une résistance est une tension simple au secondaire soit environ 238 V. La loi d’Ohm permet d’écrire que l’intensité efficace est de 238 A. 410 Relation entre les intensités efficaces au primaire et au secondaire : I1 = mI 2 = .238 = 4,87 A 20.103 Exercice IV On considère le transformateur dont le schéma de câblage est indiqué ci­contre, il est supposé parfait : Plaque signalétique Puissance apparente : 130 kVA Primaire : 20 kV, secondaire : 380 V Secondaire 200 A 1. Indiquer les conditions pour que ce transformateur soit considéré comme parfait. Les résistances des enroulements sont nulles (pas de pertes par effet Joule). Il n’y a pas de fuites de flux, la perméabilité du circuit magnétique est infinie donc sa réluctance est nulle. Il n’y a pas de pertes dans le fer. 2. Déterminer son indice horaire. Les enroulements dont les tensions sont VA et Va1 (voir schéma) sont sur la même colonne, il en est de même pour ceux dont les tensions sont VB et Vb2. Les relations pour les tensions s’écrivent V a1 n 2 = V A n1 et V b2 n2 = V B n1 La loi des mailles sur la portion de circuit en rouge permet d’écrire : V a −V a1 +V b2 =0 soit V a =V a1 −V b2 Va1 est en phase avec VA, Vb2 est en phase avec VB. Le vecteur Va est placé à partir de l’équation V a = V a1 − V b2 Indice horaire 11 (transformateur Yz11) Autre méthode : en remplaçant Va1 et Vb2 par leurs expressions en fonction de VA et VB, on obtient l’équation : V a= n2 n n n V A − 2 V B = 2 (V A −V B )= 2 U AB n1 n1 n1 n1 Va est en phase avec UAB, on retrouve l’indice horaire égal à 11. 3. Exprimer le rapport de transformation en fonction de n2 (nombre de spires d’un enroulement secondaire) et n1 (nombre de spires d’un enroulement primaire). Corrigé transformateurs triphasés Page 5 TS1 ET 2013­2014 Va1 et Vb2 sont remplacés par leurs expressions en fonction de VA et VB, on obtient l’équation n2 n n n V A − 2 V B = 2 (V A −V B )= 2 U AB . n1 n1 n1 n1 n2 U ab U ab n Pour les valeurs efficaces : V a = U AB= donc m= =√ 3 2 n1 U AB n1 √3 V a= 4. Ce transformateur est alimenté par un système direct de tensions triphasées de valeur efficace 20 kV et alimente une charge triphasée constituée de trois résistances de 4 Ω couplées en triangle. a. Représenter le montage. b. Déterminer le courant dans un élément de la charge (module et déphasage par rapport à la tension à ses bornes). Les tensions composées au secondaire ont pour valeur efficace 380 V. Une résistance est donc parcourue par 380 =95 A . Le déphasage entre le courant et la tension pour une résistance 4 est en phase avec uac (t) ; il en est de même pour j ba (t) et uba (t ) et pour un courant d’intensité : J 2= j ac (t) j cb (t) et ucb (t ) . étant nul, c. Déterminer le courant en ligne (module et déphasage par rapport à la tension simple qui lui est associé). L’intensité jac(t) (résistance « du haut ») est en phase avec uac(t) (voir le schéma ci­dessus et le diagramme vectoriel de la page suivante). Le vecteur associé à l’intensité ia(t) est placé sur le diagramme de Fresnel. De même que Jac est en phase avec Uac, Jba est en phase avec Uba. La charge triphasée est résistive, les intensités en ligne (ia(t), ib(t) et ic(t)) sont en phase avec les tensions simples (va(t), vb(t) et vc(t)). La puissance active reçue par les résistances peut s’écrire : P = 3.U .J = 3.V .I avec U la valeur efficace des tensions composées et V celle des tensions simples ; J est l’intensité efficace des courants dans les résistances (phase) alors que I est celle dans les secondaires du transformateur (ligne au secondaire). Pour les valeurs efficaces I 2 = 3 J 2 soit I 2 = 3.95 = 164 A Corrigé transformateurs triphasés Page 6 TS1 ET 2013­2014 5. Ce transformateur alimente maintenant entre deux phases une charge purement résistive. a. Écrire la loi de compensation des ampères­tours pour chaque colonne. Pour la colonne « A » : n1 i A (t )=n2 i a1 (t)+n2 i a2 (t) Pour la colonne « B » : n1 i B (t)=n2 i b1(t )+n2 i b2(t ) Pour la colonne « C » : n1 iC (t)=n2 i c1 (t)+n2 i c2 ( t) Définition des intensités ia1(t), ia2(t), … : on affecte l’indice « 2 » à l’enroulement secondaire placé à gauche et l’indice « 1 » à celui placé à droite. Les intensités sont comptées positives si elle « sortent » par les têtes d’enroulement. ia2 (t ) = 0 et ia1 (t ) = ia (t ) ; ib2 (t ) = −ia (t ) et ib1 (t ) = −ia (t ) ; ic2 (t ) = ia (t ) et ic1 (t ) = 0 On obtient finalement : Pour la colonne « A » : n1 i A (t )=n2 i a (t ) Pour la colonne « B » : n1 i B (t )=−n2 i a (t)−n2 i a (t )=−2 n2 ia (t ) Pour la colonne « C » : n1 iC (t )=n2 i a (t) b. En déduire que la somme des courants primaires est nulle. En faisant la somme des ampères tours primaires, on obtient l’équation : n1 i A (t )+ n1 i B (t)+n1 i C (t)=n2 i a (t)−2n2 i a (t)+ n2 i a (t)=0 Corrigé transformateurs triphasés Page 7 TS1 ET 2013­2014 Exercice V 1. Le transformateur représenté sur la figure 1 comporte n1 spires au primaire et n2 au secondaire. Déterminer son indice horaire et son rapport de transformation en fonction de n2 et n1. U ab = Pour la colonne supérieure, on peut écrire n2 V n1 A La tension U ab est en phase avec V A : U ab est en retard de 30° sur U AB , l'indice horaire est donc égal à 1. V p la valeur efficace des tensions n2 n2 primaires, l'équation U ab = V A devient U s= V p pour les valeurs efficaces. Comme n1 n1 n2 U p U s n2 1 Up alors U s= ce qui donne m= = V p= n1 √ 3 U p n1 √ 3 √3 On note Us figure 1 la valeur efficace des tensions secondaires et 2. Le schéma de la figure 2 représente un essai dont les résultats ont donné : • indication du voltmètre V1 : 400 V • indication du voltmètre V2 : 400 V a. Déduire de ces résultats le rapport n2 n1 Pour le transformateur colonne, il est possible d'écrire V 2 n2 n2 = =1 soit V 1 n1 n1 b. Quelle est la valeur efficace des tensions composées au secondaire si les tensions composées au primaire ont une valeur efficace égale à 690 V ? Figure 2 D'après la question 1, U s= m= n2 1 n1 √ 3 et n2 =1 n1 d'après la question précédente soit 1 1 U p= 690=400 V √3 √3 m= 1 . On a donc √3 3. Une charge monophasée résistive est branchée entre les bornes a et b du secondaire couplé en triangle. a. Représenter le schéma de câblage. Corrigé transformateurs triphasés Page 8 TS1 ET 2013­2014 b. L’intensité dans la résistance (notée ir(t)) se divise en deux voies dans le transformateur. L’une des voies 2 1 i t , l’autre est parcourue par i t . Placer ces courants est parcourue par un courant égal à 3 r 3 r sur le schéma (attention aux orientations). Voir le schéma ci­dessus. c. En écrivant la loi de compensation des ampères tours pour chaque colonne, montrer qu’il n’y aurait pas de courant dans le neutre du primaire. Les courants du primaire sont orientés pour « entrer » par les têtes d'enroulement. Colonne du haut : 2 n1 i A (t)= n2 i r (t ) 3 Colonne centrale : 1 n1 i B (t)=− n2 i r (t) 3 Colonne du bas: 1 n1 iC (t)=− n 2 i r (t) 3 La somme des ampères tours primaire est nulle, il n'y aurait donc pas de courant dans le neutre au primaire. Exercice VI Un réseau HTA délivre des tensions sinusoïdales formant un système triphasé équilibré direct (UAB = UBC = UCA = U1 = 20 kV). Il alimente le primaire d'un transformateur couplé en triangle au primaire et en étoile avec neutre au secondaire. Le secondaire délivre un système triphasé équilibré direct de tensions de valeur efficace U2 = 400 V. Chaque colonne porte un enroulement primaire de N1 spires et un enroulement secondaire de N2 spires. Le transformateur est supposé parfait. La figure ci­dessous précise la désignation des différents courants et les conventions adoptées. 1. Caractéristiques du transformateur a. Déterminer le rapport de transformation mc par colonne du transformateur. 400 N2 V Pour la colonne supérieure, on peut écrire V a = U et 3 mc = a = √ =11,5 .10−3 N 1 AB U AB 20000 b. Déterminer, en le justifiant, l'indice horaire Ih du transformateur. V a= Pour la colonne supérieure, on peut écrire U AB . En plaçant les vecteurs Va et N2 U , la tension N 1 AB U AB Va est en phase avec la tension sur un diagramme vectoriel, on détermine un indice horaire égal à 11. Corrigé transformateurs triphasés Page 9 TS1 ET 2013­2014 2. Premier cas : L'ensemble des récepteurs constitue une charge linéaire triphasée équilibrée. Les courants ia(t), ib(t) et ic(t) sont alors sinusoïdaux. On a ia t = I a 2 sin t avec Ia = 900 A et f = 50 Hz. Exprimer in(t) en fonction de ia(t), ib(t) et ic(t). En déduire la valeur de in(t). D'après la loi des nœuds, i a ( t)+ i b (t)+i c (t)+i n (t)=0 soit i n (t)=−i a (t)−i b (t)−i c (t) . Les récepteurs constituant une charge équilibrée, le courant dans le neutre est nul : i n (t)=0 3. Deuxième cas : Les récepteurs constituent une charge non­linéaire triphasée équilibrée. Chaque courant en ligne au secondaire résulte de la superposition d'un courant fondamental de fréquence 50 Hz et de courants harmoniques de fréquences multiples. On ne prend en compte que les harmoniques de rang 3, les autres rangs sont négligés. Le courant ia(t) a alors pour expression i a t=I a1 2 sin tI a3 2 sin3 t , avec Ia1 = 900 A et Ia3 = 130 A (figure à la page suivante). Le courants ia(t), ib(t) et ic(t) formant toujours un système triphasé équilibré, ib(t) et ic(t) s'obtiennent en 2 4 et par t − . remplaçant respectivement t par t − 3 3 a. Vérifier en exprimant ib(t) et ic(t) que les trois composantes de rang 3 sont en phase, comme le montre la figure ci­dessous. D'après l'énoncé i a t=I a1 2 sin tI a3 2 sin3 t et i b (t )=I a1 √ 2 sin(ω t − 2π 2π 2π )+ I a3 √ 2 sin (3ω t −3 )=I a1 √ 2 sin (ω t− )+I a3 √ 2 sin(3 ω t ) 3 3 3 i c (t )=I a1 √ 2 sin (ωt − 4π 4π 4π )+I a3 √ 2 sin(3 ω t−3 )=I a1 √ 2 sin (ω t− )+I a3 √ 2 sin(3 ω t ) 3 3 3 car 3 ω t−3 et 2π 4π =3 ω t −3 =3 ω t 3 3 Les trois composantes de rang 3 I a3 √ 2 sin (3 ω t ) sont donc en phase (elles sont même identiques). b. Écrire la loi des nœuds au point n. En déduire l'expression de in(t). Tracer son allure sur la figure ci­dessous. Donner sa valeur efficace. La loi des nœuds au point n s'écrit toujours i n (t)=−i a (t )−i b (t)−i c (t ) . Les fondamentaux des courants s'annulent, il ne reste que les harmoniques de rang 3 ce qui donne i n (t )=3 I a3 √ 2 sin(3 ω t ) . C'est une sinusoïde dont la fréquence est égale à trois fois celle du réseau (période trois fois plus petite que celle du réseau) et donc la valeur efficace est égale à 3 I a3 =3×130=390 A c. Établir que les courants dans les enroulements primaires ont pour expression jA(t) = 0,0115 ia(t), jB(t) = 0,0115 ib(t) et jC(t) = 0,0115 ic(t). Pour la colonne supérieure, la loi de compensation des ampères­tours s'écrit N 1 j A ( t)=N 2 i a (t ) ce qui j A (t)= donne N2 i (t)=mc i a (t ) N1 a et mc =0,0115 donc j A (t)=0,0115 ia (t ) d'après la première question. Le même raisonnement donne pour la colonne inférieure. j B (t )=0,0115i b (t) pour la colonne centrale et j C (t )=0,0115i c (t) d. Écrire la loi des nœuds au point A. En déduire l'expression du courant i1(t). Au point A : i 1= j A − j C soit i 1=0,0115 i a −0,0115 ic En remplaçant i c (t )=I a1 √ 2 sin (ωt − ia par 4π )+I a3 √ 2 sin(3 ω t ) 3 Corrigé transformateurs triphasés i a t=I a1 2 sin tI a3 2 sin3 t et ic on obtient Page 10 TS1 ET 2013­2014 par i1 (t)=0,0115 (I a1 √ 2 sin ω t−I a1 √ 2 sin (ω t− 4π )) 3 e. En déduire l'intérêt de ce couplage pour le réseau HTA. Les harmoniques de rang 3 des courants secondaires ne se propagent pas sur les lignes du réseau HTA. Évolution des courants Corrigé transformateurs triphasés Page 11 TS1 ET 2013­2014
