72731867-Chatelainpres-Introduction-a-Equation-de-Dirac

Equation de Schr¨odinger
Premi`ere th´eorie relativiste : l’´equation de Klein-Gordon
L’´equation de Dirac
Transformations de Lorentz et spin
Particules/anti-particules
Seconde quantification de la th´eorie de Dirac
Couplage avec l’´electromagn´etisme
Introduction `a l’´equation de Dirac
Ch. Chatelain
Groupe de Phys. Stat., LPM
13 novembre 2008
Ch. Chatelain Introduction `a l’´equation de Dirac

Equation de Schr¨odinger
Premi`ere th´eorie relativiste : l’´equation de Klein-Gordon
L’´equation de Dirac
Transformations de Lorentz et spin
Particules/anti-particules
Seconde quantification de la th´eorie de Dirac
Couplage avec l’´electromagn´etisme
Sommaire
1Equation de Schr¨odinger
1Premi`ere th´eorie relativiste : l’´equation de Klein-Gordon
2L’´equation de Dirac
3Transformations de Lorentz et spin
4Particules/anti-particules
5Seconde quantification de la th´eorie de Dirac
6Couplage avec l’´electromagn´etisme
Ch. Chatelain Introduction `a l’´equation de Dirac

Equation de Schr¨odinger
Premi`ere th´eorie relativiste : l’´equation de Klein-Gordon
L’´equation de Dirac
Transformations de Lorentz et spin
Particules/anti-particules
Seconde quantification de la th´eorie de Dirac
Couplage avec l’´electromagn´etisme
Equation de Schr¨odinger (1926)
−~2
2m∆φ(~
r,t) + V(~ r,t)φ(~ r,t) = i~∂φ
∂t(~
r,t)
L’interpr´etation de Born
ρ(~ r,t) = ||φ(~ r,t)||2
conduit `a la loi de conservation
∂ρ
∂t+div~
j= 0
pour la densit´e de courant
~
j=i~
2mφ~
∇φ∗−φ∗~ ∇φ
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Equation de Schr¨odinger
Premi`ere th´eorie relativiste : l’´equation de Klein-Gordon
L’´equation de Dirac
Transformations de Lorentz et spin
Particules/anti-particules
Seconde quantification de la th´eorie de Dirac
Couplage avec l’´electromagn´etisme
Particule libre :
−~2
2m∆φ(~
r,t) = i~∂φ
∂t(~
r,t)
Par s´eparation des variables, il vient la solution
φ(~ r,t) = 1
√Vei(~
k.
~
r−Et/~)
o`u le vecteur d’onde ~ kest reli´e `a l’´energie par
E=~2k2
2m
Dans l’interpr´etation de de Broglie, ~ p=~~ k
E=p2
2m
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Equation de Schr¨odinger
Premi`ere th´eorie relativiste : l’´equation de Klein-Gordon
L’´equation de Dirac
Transformations de Lorentz et spin
Particules/anti-particules
Seconde quantification de la th´eorie de Dirac
Couplage avec l’´electromagn´etisme
Interm`ede : le formalisme tensoriel
xµ=0
B
B
@
x0=ct
x1=x
x2=y
x3=z
1
C
C
A
,xµ=`x0=ct x1=−x x2=−y x3=−z´
Les formes lin´eaires (vecteurs cotangents, covecteurs ou 1-formes)
permettent de d´efinir un produit scalaire de mani`ere naturelle :
xµxµ=`ct −x−y−z´0
B
B
@
ct
x
y
z
1
C
C
A
=c2t2−x2−y2−z2
invariant de Lorentz. Le choix du dual d´etermine le produit scalaire. A
tout vecteur, on peut associer une 1-forme
`ct −x−y−z´=2
6
6
40
B
B
@
1 0 0 0
0−1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
1
C
C
A0
B
B
@
ct
x
y
z
1
C
C
A3
7
7
5
t
⇔xµ=gµν xν
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