TP3Preparation

Universit´ e Paris–Sud Introduction au calcul scientifique
Licence de Math´ ematiques S4 UE Math209 - Ann´ ee 2016-2017
©J.-B. A. K. <jean-baptiste[email protected]>
Fiche : pr´ eparation au TP 3
Cette fiche porte sur la m´ ethode du point fixe. Elle introduit des notions que nous aborderons dans la s´ eance de TP 3.
Il est donc vivement conseill´ e de travailler enti` erement cette fiche (tout au moins le Th` eme 1) avant la prochaine s´ eance
de TP, afin d’ˆ etre ` a jour par rapport au cours.
Cette fiche est form´ ee de trois parties :
— Th` eme 1 porte sur la m´ ethode du point fixe et son application ` a la recherche de z´ eros de fonctions. L’objectif vis´ e
ici est la compr´ ehension du cours.
— Th` eme 2 porte sur une application ` a un probl` eme concret.
— Th` eme 3 porte sur des utilitaires. Ici des scripts sont fournis pour aider dans les mises en oeuvre.
Toutes les fonctions fournies dans les exercices sont identifi´ ees ` a leur prolongement par continuit´ e (aux points
d’ind´ etermination s’il y en a). Il en est de mˆ eme de leurs d´ eriv´ ees.
Th` eme - 1Autour de la m´ ethode du point fixe
Th` eme - 1- 1 La m´ ethode et son analyse
La m´ ethode du point fixe construit une suite (xn)approchant le point fixe ld’une fonction φ, par :
un+1 =φ(un), n = 0,1, . . .
u0donn´ e(1)
Dans cette m´ ethode, la fonction φest appel´ ee fonction d’it´ eration et la valeur ltelle que l=φ(l)est appel´ ee
limite de la suite (1) ou solution.
Note 1 (M´ ethode du point fixe).
Dans les exercices qui suivent, nous allons observer le comportement de cette m´ ethode suivant la valeur que prend la
d´ eriv´ ee de la fonction d’it´ eration au point fixe. On rappelle qu’en pratique on ne dispose pas de ces informations. Mais
celles-ci nous permettent de mieux comprendre le comportement de la m´ ethode.
Exercice-1: Cas o` u|φ0(l)|>1
On consid` ere la fonction φ(x) = x2−1sur [0,2]
Q-1: Existence.
Repr´ esenter sur une mˆ eme figure les courbes x7→ φ(x)et x7→ x. Repr´ esenter aussi le point de coordonn´ ees (1+√5
2,1+√5 2).
Conclure que la fonction φadmet un point fixe ldans [0,2].
1

Q-2: Analyse.
Q-2-1:Essayer d’appliquer la m´ ethode du point fixe pour d´ eterminer le point fixe lde φ. On prendra comme
param` etre u0= 1,ε= 10−3,iterMax = 100.
On pourra utiliser la fonction poinFixe voir Listing 2
Q-2-2:La m´ ethode converge-t-elle ? V´ erifier avec plusieurs valeurs de u06=1+√5
2.
Q-2-3:Calculer φ0(1+√5
2)et justifier le comportement observ´
e.
Exercice-2: Cas o` u0<|φ0(l)|<1(Ce qui importe ici c’est le fait que φ0(l)6= 0).
On consid` ere la fonction φ(x) = x2−x+xlog(x)
x−1 + xlog(x)d´
efinie sur [1
2,2].
Q-1: Existence.
En repr´ esentant sur une mˆ eme figure les courbes y=xet y=f(x)d´ eduire que cette fonction admet un point fixe l= 1.
Q-2: Analyse.
Q-2-1:En utilisant la m´ ethode du point-fixe, d´ eterminer ce point fixe et estimer la vitesse de convergence pour ce
probl` eme. On prendra comme param` etre u0= 1.25,ε= 10−6,iterMax = 100.
(On pourra utiliser ` a cette fin la fonction traquerOrdreSuite voir Listing 3).
Q-2-2:Repr´ esenter sur un mˆ eme graphique la suite |un+1 −l|
|un−l|et la droite horizontale d’´
equation y=|φ0(l)|.
Justifier alors l’ordre de convergence observ´ e ci-dessus.
Exercice-3: Cas ou φ0(l)=0et φ00(l)6= 0
Dans cette partie on consid´ erera l’une des fonctions suivantes :
•φ(x) = 2x3+ 2x2+ 20
3x2+ 4x+ 10 , sur l’intervalle [1,2].
•φ(x) = x2−x+x(2 −x)log(x)
x−1 + xlog(x), sur l’intervalle [1
2,2].
Q-1: Existence.
Repr´ esenter sur le mˆ eme graphique la courbe x7→ φ(x)et la courbe x7→ x, et conclure que la fonction φadmet un
point fixe dans l’intervalle consid´ er´ e.
Q-2: Analyse.
Q-2-1:En utilisant la fonction pointFixe, calculer la valeur approch´ ee du point fixe lde φ, ainsi que la suite
(un)des it´ er´ es g´ en´ er´ es par la m´ ethode. On prendra comme param` etre u0= 1.5,ε= 10−6,iterMax = 100.
Q-2-2:La m´ ethode du point fixe converge-t-elle pour ce probl` eme ? Si oui donner l’ordre de convergence observ´ e.
(On pourra utiliser ` a cette fin la fonction traquerOrdreSuite.)
Q-2-3:Calculer φ0(l)et φ00(l).
Q-2-4:Repr´ esenter sur un mˆ eme figure les suites |un+1 −l|
|un−l|et |un+1 −l| |un−l|2.
Q-2-5:Repr´ esenter sur la figure pr´ ec´ edente les droites horizontales y=|φ0(l)|et y=1
2|φ00(l)|.
Q-2-6:Commenter le graphique obtenu. Les observations ´ etaient-elles pr´ evisibles ?
2

Th` eme - 1- 2 Application de la m´ ethode ` a la recherche de z´ eros de fonctions
On souhaite appliquer la m´ ethode du point fixe pour d´ eterminer une racine ld’une fonction f(c’est-` a-dire
un point ltel que f(l)=0).
Il existe des solutions ` a ce probl` eme. On peut les classifier selon l’ordre de d´ erivation de fqu’elles utilisent.
Nous supposons dans ce qui suit, que nous disposons de l’expression de f0et souhaitons tirer partie de ce
qui a ´ et´ e fait pr´ ec´ edemment.
Nous optons alors pour la m´ ethode du point fixe (1), dans laquelle la fonction d’it´ eration est donn´ ee par :
φ(x) = x−f(x)
f0(x).(2)
On peut ainsi impl´ ementer cette m´ ethode sous Python en utilisant la m´ ethode du point fixe :
def zeroParPointFixe(f,df,u0,epsi,iterMax,stockage):
# df est la derivee de f
g=lambda x: (x-f(x)/df(x) )
return poinFixe(g, u0, epsi, iterMax, stockage)
Note 2 (M´ ethode du point fixe et z´ eros de fonctions).
Exercice-4: Prise en main
Q-1: Identification de la m´ ethode.
Q-1-1:En vous servant de votre cours identifier la m´ ethode d´ ecrite dans la Note2 et appliqu´ ee ` a la d´ etermination
d’un z´ ero de f.
Q-1-2:Exprimer φ0(l)et φ00(l)en fonction de f(l), f 0(l), f 00(l). Conclure en vous inspirant de l’Exercice 3
ci-dessus que cette m´ ethode convergera le plus souvent ` a d’ordre 2.
Q-1-3:Aura-t-on encore l’ordre 2 si f0(l) = 0 ?
Q-2: Une impl´ ementation.
Impl´ ementer cette m´ ethode ` a travers une fonction Python Newton de prototype
Listing 1 – fichier Newton.py
def Newton(f,df,u0,epsi,iterMax,stockage)
o` udf d´ esigne la d´ eriv´ ee f0de fet les autres param` etres sont comme dans la m´ ethode pointFixe voir Listing 2.
(On peut si on le veut utiliser la consigne de la Note2)
Exercice-5: Validations.
Q-1: Validations I : un z´ ero de l’´ equation de Fibonacci voir TP2
On pose f(x) = x3+ 2x2+ 10x−20
Q-1-1:Repr´ esenter sur [1,2] la courbe de fet en d´ eduire que fadmet un z´ ero ldans cet intervalle.
Q-1-2:En utilisant la m´ ethode de Newton d´ ecrite ci-dessus, d´ eterminer lainsi que la vitesse de convergence de
cette m´ ethode pour ce probl` eme.
Q-1-3:Calculer φ00(l)et justifier l’ordre de convergence observ´ e.
3

Q-2: Validations II : ordre lorsque f0(l)=0.
On pose cette fois f(x)=(x−1)log(x)sur [1
2,2].
Q-2-1:Montrer que l= 1 est z´ ero double de f.
Q-2-2:Appliquer la m´ ethode de Newton d´ ecrite ci-dessus sur ce probl` eme et v´ erifier qu’elle est convergente
d’ordre 1 seulement !
Q-2-3: Tentative de correction
Reprendre la question pr´ ec´ edente en remplac¸ant la fonction d’it´ eration par φ(x) = x−2f(x)
f0(x).
Cela revient ` a remplacer sous Python l’appel
l0, n, u =Newton(f,df,u0,epsi,iterMax,stockage)
par le suivant
l0, n, u =Newton(lambda x:2*f(x), df, u0, epsi, iterMax, stockage)
Qu’observez-vous ?
Q-3: Validations III : importance de la donn´ ee initiale u0: convergence/divergence.
On pose cette fois f(x) = x
1 + x2sur [−1,8]
Q-3-1:Repr´ esenter graphiquement la courbe de fsur cet intervalle.
Q-3-2:Appliquer la m´ ethode de Newton pour d´ eterminer le z´ ero l= 0 avec les param` etres suivants : u0= 2,
ε= 10−6,iterMax = 20. Qu’observez-vous ?
Q-3-3:Reprendre la question pr´ ec´ edente avec u0=1
2,ε= 10−6,iterMax = 20. Qu’observez-vous ?
Q-4: Validations IV : importance de la donn´ ee initiale u0: compr´ ehension de la m´ ethode.
On consid` ere l’´ equation f(x)=0, avec f(x) = x(x2−1).
Q-4-1:Repr´ esenter graphiquement la courbe de la fonction fsur [−2,2].
Q-4-2:On souhaite utiliser la m´ ethode de Newton pour d´ eterminer la racine x= 1 de cette ´ equation. Expliquer
comment choisir u06= 1 pour que cette m´ ethode converge en une seule it´ eration. V´ erifier le r´ esultat num´ eriquement.
Q-4-3:De la question pr´ ec´ edente, expliquer comment choisir u06= 1 pour que cette m´ ethode converge en
exactement deux it´ erations. V´ erifier le r´ esultat num´ eriquement.
Th` eme - 2Application ` a un probl` eme concret : Estimation de la vitesse limite de chute d’une balle de base-ball
Le pr´ esent exercice montre un exemple d’application de la m´ ethode de Newton. Il n’est pas obligatoire pour
la s´ eance de TP.
Note 3 (Attention !!!).
On consid` ere une sph` ere de masse met de diam` etre den chute dans un champ de pesanteur de constante gen pr´ esence
des frottements non n´ egligeables de l’air. On s’int´ eresse alors ` a sa vitesse limite vsuppos´ ee positive.
En appliquant le principe fondamental de la dynamique du point, on montre que la vitesse limite de la sph` ere est donn´ ee
par l’´ equation :
v2=2mg
ρScD
(3)
4

o` uρest la densit´ e de l’air, S=πd2/4la surface frontale de la sph` ere, cDle coefficient de traˆ ın´ ee, obtenu exp´ erimentalement
et qui pour une sph` ere a l’expression :
cD=24
Re +6
1 + √Re +2
5(4)
o` uRe appel´ enombre de Reynolds s’exprime en terme de la vitesse par la formule :
Re =ρvd/µ (5)
µ´ etant la viscosit´ e dynamique de l’air.
En combinant ces expressions on obtient une ´ equation sur Re dont la r´ esolution permet de d´ eterminer la vitesse v.
Dans la suite on prendra pour les diff´ erentes constantes les valeurs suivantes (donn´ ees dans le Syst` eme International
d’unit´ es) :
— pour l’air µ= 1.8×10−5, ρ = 1.2, g = 9.8
— pour un ballon de base-ball : d= 0.075,m= 0.14
Exercice-1: Existence de solution
Q-1:Montrer que (3) peut se mettre sous la forme : (Re)2cD=αo` uαest ind´ ependante de vou Re.
Q-2:En d´ eduire l’´ equation f(Re) = 0 ` a r´ esoudre pour d´ eterminer Re. Expliquer comment d´ eterminer vune fois
cette ´ equation r´ esolue.
Q-3:En remarquant que l’´ equation ci-dessus aurait pu aussi s’´ ecrire cDRe =α
Re , repr´
esenter graphiquement
sur une mˆ eme figure les courbes associ´ ees ` a chaque membre de cette derni` ere ´ equation et en d´ eduire que le probl` eme
consid´ er´ e admet une solution Re situ´ ee dans l’intervalle ]0,α
24 [.
Exercice-2: R´ esolution num´ erique
On souhaite r´ esoudre l’´ equation f(Re) = 0 par la m´ ethode de Newton.
Q-1:A la lueur des graphiques de l’exercice pr´ ec´ edent, expliquer comment choisir le point de d´ epart.
Q-2:R´
esoudre l’´ equation en utilisant la m´ ethode de Newton. Puis d´ eterminer la vitesse limite v.
Q-3:Comparer la vitesse obtenue ` a celle du record dans le circuit professionnel de base-ball. (Recherche Google
avec mot cl´ efastball)
Th` eme - 3Quelques Scripts
Listing 2 – fichier pointFixe.py
def pointFixe(g, u0, epsi, iterMax, stockage):
"""
ENTREES :
g : fonction dont on cherche le point fixe
u0 : point de depart de la methode du point fixe
epsi : tolerance. On n'arrete les calculs si |u_n+1 -u_n| < epsi
iterMax : nombre maximum d'iterations autorisees
Stocake : si different de 0, on stocke tous les u_n
SORTIES :
u_iter : la limite
n_iter : le nombre d'iterations effectuees
u : la liste des u_n si stockage different de 0
"""
# Initialisation
u_iter =u0 # iterateur: donnee
num_iter =0# iterateur: indice
u= [u_iter]# stockage
conv =False # test d'arret
# Iterations
while (not(conv)):
# Chargement des donnees
u_in =u_iter
# Calcul
5