Telechargé par Said m

360798527-Formulaire-RDM-Portiques

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___________________________________________________________________________________________________________
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
7. Portiques
(0)
Tableau 30 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, rectangulaire, symétrique,
avec deux appuis articulés
Valeurs fixes :
I2 h
raideur traverse
K = ----------------------------------------------- = ------ × -----I1
,
raideur poteau
N = 2K + 3
Cas de charge
Diagramme
des moments
Réactions
sur appuis
1
R A = R D = ----- p ,
2
p, 2
Q = -------------4 Nh
p, 2
M B = M C = – α -----------8
2
α = ------------------2K + 3
K
Moments
aux nœuds B et C
pour des valeurs
particulières de K
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
7
8
9
10
20
∞
α
0,666 67
0,625
0,588 24
0,526 32
0,476 19
0,434 78
0,4
0,333 33
0,285 71
0,25
0,222 22
0,2
0,181 82
0,166 67
0,153 85
0,133 33
0,117 65
0,105 26
0,095 24
0,086 96
0,046 51
0
3
R A = ----- p ,
8
1
R D = ----- p ,
8
p, 2
Q = -------------8 Nh
p, 2
M B = M C = – α -----------16
2
α = ------------------2K + 3
1
R A = R D = ----- P
2
3P ,
Q = -------------8 Nh
p,
M B = M C = – α --------4
3
α = ------------------4K + 6
K
α
K
α
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
7
8
9
10
20
0,666 67
0,625
0,588 24
0,526 32
0,476 19
0,434 78
0,4
0,333 33
0,285 71
0,25
0,222 22
0,2
0,181 82
0,166 67
0,153 85
0,133 33
0,117 65
0,105 26
0,095 24
0,086 96
0,046 51
0
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
7
8
9
10
20
0,5
0,468 75
0,441 18
0,394 74
0,357 14
0,326 09
0,3
0,25
0,214 29
0,187 5
0,166 67
0,15
0,136 36
0,125
0,115 38
0,1
0,088 24
0,078 95
0,071 43
0,065 22
0,034 88
0
∞
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction
∞
Form. C 2 060 − 57
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
___________________________________________________________________________________________________________
Tableau 30 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, rectangulaire, symétrique,
avec deux appuis articulés (suite)
Cas de charge
Diagramme
des moments
Pb
R A = --------,
Pa
R D = --------,
3 Pab
Q = -----------------2N ,h
Réactions
sur appuis
Ph
R A = – R D = – --------,
1
Q A = Q D = ----- P
2
1
3
Cas particulier : a = ----- ,, b = ----- ,
4
4
3P,
M B = M C = α -----------16
3
α = ------------------4K + 6
Moments
aux nœuds B et C
pour des valeurs
particulières de K
K
α
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
7
8
9
10
20
0,5
0,468 75
0,441 18
0,394 74
0,357 14
0,326 09
0,3
0,25
0,214 29
0,187 5
0,166 67
0,15
0,136 36
0,125
0,115 38
0,1
0,088 24
0,078 95
0,071 43
0,065 22
0,034 88
0
∞
Form. C 2 060 − 58
1
M B = – M C = ----- Ph
2
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction
___________________________________________________________________________________________________________
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Tableau 30 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, rectangulaire, symétrique,
avec deux appuis articulés (suite)
Cas de charge
Diagramme
des moments
Réactions
sur appuis
QA
qh 2
R A = – R D = – ------------2,
11 K + 18
5K + 6
= -------------------------- qh
Q D = ------------------- qh
8N
8N
qh 2
M B = α -----------2
3K + 6
α = ---------------------8 K + 12
K
Moments
aux nœuds B et C
pour des valeurs
particulières de K
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
7
8
9
10
20
∞
α
0,5
0,492 19
0,485 29
0,473 68
0,464 29
0,456 52
0,45
0,437 5
0,428 57
0,421 88
0,416 67
0,412 5
0,409 09
0,406 25
0,403 85
0,4
0,397 06
0,394 74
0,392 86
0,391 30
0,383 72
0,375
qh 2
M C = – β -----------2
5K + 6
β = ---------------------8 K + 12
M
R A = – R D = ------,
3M
Q = – -------------2 Nh
M B1 = M C = α M
3
α = ------------------4K + 6
M B2 = – β M
4K + 3
β = ------------------4K + 6
β
K
α
β
0,5
0,507 81
0,514 71
0,526 32
0,535 71
0,543 48
0,55
0,562 5
0,571 43
0,578 13
0,583 33
0,587 5
0,590 91
0,593 75
0,596 15
0,6
0,602 94
0,605 26
0,607 14
0,608 70
0,616 28
0,625
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
7
8
9
10
20
0,5
0,468 75
0,441 18
0,394 74
0,357 14
0,326 09
0,3
0,25
0,214 29
0,187 5
0,166 67
0,15
0,136 36
0,125
0,115 38
0,1
0,088 24
0,078 95
0,071 43
0,065 22
0,034 88
0
0,5
0,531 25
0,558 82
0,605 26
0,642 66
0,673 91
0,7
0,75
0,785 71
0,812 5
0,833 33
0,85
0,863 64
0,875
0,884 62
0,9
0,911 76
0,921 05
0,928 57
0,934 78
0,965 12
1
∞
(0)
(0)
(0)
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction
Form. C 2 060 − 59
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
___________________________________________________________________________________________________________
Tableau 31 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, rectangulaire, symétrique,
avec deux appuis encastrés
Valeurs fixes :
I2 h
raideur traverse
K = ----------------------------------------------- = ------ × -----,
I1
raideur poteau
N1 = K + 2
N2 = 6 K + 1
Cas de charge
Diagramme
des moments
1
p,
1
R A = --------- 3 + ------------8
4N 2
1
R A = R D = ----- p ,
2
p, 2
Q = ----------------4 N1 h
p, 2
M A = M D = ---------------12 N 1
Réactions
et moments
sur appuis
2
1
p, 2
1
1
M A = ------------ ------------- – ------------8
3N 1 8N 2
2
p, 2
M B = – β -----------16
2
1
α = ------------- – ------------3 N1 4 N2
p, 2
M A = α -----------16
1
p, 2
1
1
M D = ------------ ------------- + ------------8
3N 1 8N 2
2
p, 2
p, 2
M C = – γ -----------M D = δ -----------16
16
4
1
β = ------------- + ------------3 N1 4 N2
2
1
δ = ------------- + ------------3 N1 4 N2
4
1
γ = ------------- + ------------3 N1 4 N2
K
α
β
K
α
β
γ
δ
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
7
8
9
10
20
0,333 33
0,317 46
0,303 03
0,277 78
0,256 41
0,238 10
0,222 22
0,190 48
0,166 67
0,148 15
0,133 33
0,121 21
0,111 11
0,102 56
0,095 24
0,083 33
0,074 07
0,066 67
0,060 61
0,055 56
0,030 30
0
0,666 67
0,634 92
0,606 06
0,555 56
0,512 82
0,476 19
0,444 44
0,380 95
0,333 33
0,296 30
0,266 67
0,242 42
0,222 22
0,205 13
0,190 48
0,166 67
0,148 15
0,133 33
0,121 21
0,111 11
0,060 61
0
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
7
8
9
10
20
0,083 33
0,161 21
0,189 39
0,204 25
0,202 06
0,194 99
0,186 51
0,165 48
0,147 44
0,132 52
0,120 18
0,109 85
0,101 11
0,093 64
0,087 17
0,076 58
0,068 26
0,061 56
0,056 06
0,051 46
0,028 24
0
0,916 67
0,791 17
0,719 70
0,629 08
0,567 17
0,519 29
0,480 16
0,405 95
0,352 56
0,311 92
0,279 82
0,253 79
0,232 22
0,214 06
0,198 54
0,173 42
0,153 96
0,138 44
0,125 76
0,115 21
0,062 67
0
0,416 67
0,478 67
0,492 42
0,482 03
0,458 47
0,433 09
0,408 73
0,355 95
0,314 10
0,280 67
0,253 51
0,231 06
0,212 22
0,196 20
0,182 41
0,159 91
0,142 33
0,128 23
0,116 67
0,107 01
0,058 54
0
0,583 33
0,473 71
0,416 67
0,351 31
0,310 76
0,281 20
0,257 94
0,215 48
0,185 90
0,163 77
0,146 49
0,132 58
0,121 11
0,111 49
0,103 30
0,090 09
0,079 89
0,071 77
0,065 15
0,059 65
0,032 37
0
∞
Form. C 2 060 − 60
1
p,
1
R D = --------- 1 – ------------8
4N 2
p, 2
Q = ----------------8 N1 h
p, 2
M A = M D = α -----------8
p, 2
M B = M C = – β -----------8
2
4
α = -----------------------β = ----------------------3(K + 2)
3(K + 2)
Moments
aux nœuds
A, B, C et D
pour des valeurs
particulières de K
2
∞
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction
___________________________________________________________________________________________________________
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Tableau 31 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, rectangulaire, symétrique,
avec deux appuis encastrés (suite)
Cas de charge
Diagramme
des moments
b
a (b – a)
R A = P ----- 1 + ----------------------,
N2 , 2
1
R A = R D = ----- P
2
3P,
Q = ----------------4 N1 h
P,
M A = M D = ------------8 N1
Réactions
et moments
sur appuis
Q =
MA
P,
M A = M D = α --------4
P,
M B = M C = – β --------4
1
1
α = ----------------------β = -------------2(K + 2)
K+2
Moments
aux nœuds
A, B, C et D
pour des valeurs
particulières de K
1
Pab
1
b–a
= ------------- ------------- – ----------------,
2 N1 2 N2 ,
3P,
M A = α -----------16
α
δ
2
a
b (a – b)
R D = P ----- 1 + -----------------------,
N2 , 2
3 Pab
--------------------2 N1 , h
Pab
1
b–a
M D = ------------- ------------- + ----------------,
2 N1 2 N2 ,
1
,
3,
Cas particulier : a = ----- , b = -------4
4
3P,
3P,
3P,
M B = – β ------------ M C = – γ ------------ M D = δ -----------16
16
16
1
1
1
1
= ------------- – ------------β = --------- + ------------2 N1 4 N2
N1 4 N2
1
1
1
1
γ = --------- – ------------= ------------- + ------------N1 4 N2
2 N1 4 N2
K
α
β
K
α
β
γ
δ
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
7
8
9
10
20
0,25
0,238 10
0,227 27
0,208 33
0,192 31
0,178 57
0,166 67
0,142 86
0,125
0,111 11
0,1
0,090 91
0,083 33
0,076 92
0,071 43
0,062 5
0,055 56
0,05
0,045 45
0,041 67
0,022 73
0
0,5
0,476 19
0,454 55
0,416 67
0,384 62
0,357 14
0,333 33
0,285 71
0,25
0,222 22
0,2
0,181 82
0,166 67
0,153 85
0,142 86
0,125
0,111 11
0,1
0,090 91
0,083 33
0,045 45
0
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
7
8
9
10
20
0
0,081 85
0,113 64
0,134 80
0,137 96
0,135 47
0,130 95
0,117 66
0,105 77
0,095 49
0,086 84
0,079 55
0,073 33
0,067 99
0,063 36
0,055 74
0,049 74
0,044 90
0,040 91
0,037 57
0,020 66
0
0,75
0,632 44
0,568 18
0,490 20
0,438 96
0,400 25
0,369 05
0,310 71
0,269 23
0,237 85
0,213 16
0,193 18
0,176 67
0,162 77
0,150 92
0,131 76
0,116 93
0,105 10
0,095 45
0,087 43
0,047 52
0
0,25
0,319 94
0,340 91
0,343 14
0,330 27
0,314 04
0,297 62
0,260 71
0,230 77
0,206 60
0,186 84
0,170 45
0,156 67
0,144 92
0,134 79
0,118 24
0,105 30
0,094 90
0,086 36
0,079 23
0,043 39
0
0,5
0,394 35
0,340 91
0,281 86
0,246 66
0,221 67
0,202 38
0,167 86
0,144 23
0,126 74
0,113 16
0,102 27
0,093 33
0,085 85
0,079 49
0,069 26
0,061 37
0,055 10
0,05
0,045 77
0,024 79
0
∞
∞
2
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction
Form. C 2 060 − 61
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
___________________________________________________________________________________________________________
Tableau 31 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, rectangulaire, symétrique,
avec deux appuis encastrés (suite)
Cas de charge
Diagramme
des moments
Réactions
et moments
sur appuis
3 PhK
R A = – R D = – -----------------N2 ,
1
Q A = Q D = ----- P
2
3K + 1
M A = – M D = – Ph -------------------2 N2
M A = – M D = – α Ph
M B = – M C = β Ph
3K + 1
α = -------------------2 N2
Moments
aux nœuds
A, B, C et D
pour des valeurs
particulières de K
3K
β = ------------2 N2
qh 2 K
R A = – R D = – -----------------N2 ,
qh 6 K + 13
qh 2 K + 3
Q A = --------- ----------------------- Q D = --------- -------------------4
2 N1
4
2 N1
qh 2 K + 3 4 K + 1
M A = – ------------- ---------------- + -------------------4
6 N1
N2
2
qh 2 K + 3 4 K + 1
= – ------------- ---------------- – -------------------4
6 N1
N2
2
1
MD
1
qh 2
M A = – α ------------2
qh 2
M C = – γ ------------2
4K + 1 K + 3
α = -------------------- + ---------------2 N2
12 N 1
qh 2
M B = β ------------2
qh 2
M D = δ ------------2
K
K
β = ------- – -------------N 2 12 N 1
4K + 1 K + 3
δ = -------------------- – ---------------2 N2
12 N 1
MA
6 MK
R A = – R D = – --------------N2 ,
3M
Q = – -----------------2 N1 h
M
M
M
M
= – ----------- + ----------M D = – ----------- – -----------2 N1 2 N2
2 N1 2 N2
MA = α M
M B1 = β 1 M
M B2 = – β 2 M
MD = – δ M
MC = – γ M
1
1
1
1
α = ----------- + ----------- β 1 = ------- + ----------- β 2 = 1 – β 1
N1 2 N2
2 N1 2 N2
1
1
γ = --------- – ------------N1 2 N2
K
K
γ = --------- + ---------------N 2 12 N 1
1
1
δ = ------------- + ------------2 N1 2 N2
K
α
β
α
β
γ
δ
α
β1
β2
γ
δ
0
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
6
7
8
9
10
20
0,5
0,406 25
0,363 64
0,323 53
0,304 35
0,293 10
0,286 71
0,275
0,269 23
0,265 63
0,263 16
0,261 36
0,26
0,258 93
0,258 06
0,256 76
0,255 81
0,255 10
0,254 55
0,254 10
0,252 07
0,25
0
0,093 75
0,136 36
0,176 47
0,195 65
0,206 90
0,214 29
0,225
0,230 77
0,234 38
0,236 84
0,238 64
0,24
0,241 07
0,241 94
0,243 24
0,244 19
0,244 90
0,245 45
0,245 90
0,247 93
0,25
0,625
0,560 52
0,530 30
0,500 41
0,484 95
0,475 16
0,468 25
0,457 14
0,450 32
0,445 60
0,442 11
0,439 39
0,437 22
0,435 44
0,433 95
0,431 59
0,429 80
0,428 40
0,427 27
0,426 34
0,421 83
0,416 67
0
0,058 53
0,083 33
0,103 76
0,111 20
0,114 12
0,115 08
0,114 29
0,112 18
0,109 95
0,107 89
0,106 06
0,104 44
0,103 02
0,101 77
0,099 66
0,097 98
0,096 60
0,095 45
0,094 49
0,089 53
0,083 33
0
0,066 47
0,098 48
0,131 54
0,149 67
0,161 74
0,170 63
0,185 71
0,195 51
0,202 55
0,207 89
0,212 12
0,215 56
0,218 41
0,220 81
0,224 66
0,227 61
0,229 93
0,231 82
0,233 38
0,241 05
0,25
0,375
0,314 48
0,287 88
0,264 30
0,254 18
0,248 97
0,246 03
0,242 86
0,241 99
0,241 90
0,242 11
0,242 42
0,242 78
0,243 13
0,243 47
0,244 09
0,244 62
0,245 07
0,245 45
0,245 79
0,247 59
0,25
0,25
0,074 40
0
– 0,061 27
– 0,083 61
– 0,092 36
– 0,095 24
– 0,092 86
– 0,086 54
– 0,079 86
– 0,073 67
– 0,068 18
– 0,063 33
– 0,059 07
– 0,055 30
– 0,048 99
– 0,043 93
– 0,039 80
– 0,036 36
– 0,033 47
– 0,018 60
0
1
0,788 69
0,681 82
0,563 73
0,493 31
0,443 35
0,404 76
0,335 71
0,288 46
0,253 47
0,226 32
0,204 55
0,186 67
0,171 70
0,158 99
0,138 51
0,122 74
0,110 20
0,1
0,091 53
0,049 59
0
0
0,211 31
0,318 18
0,436 27
0,506 69
0,556 65
0,595 24
0,664 29
0,711 54
0,746 53
0,773 68
0,795 45
0,813 33
0,828 30
0,841 01
0,861 49
0,877 26
0,889 80
0,9
0,908 47
0,950 41
1
0
0,163 69
0,227 27
0,269 61
0,275 92
0,270 94
0,261 90
0,235 71
0,211 54
0,190 97
0,173 68
0,159 09
0,146 67
0,135 99
0,126 73
0,111 49
0,099 48
0,089 60
0,081 82
0,075 14
0,041 32
0
0,75
0,550 60
0,454 55
0,355 39
0,301 00
0,264 78
0,238 10
0,192 86
0,163 46
0,142 36
0,126 32
0,113 64
0,103 33
0,094 78
0,087 56
0,076 01
0,067 18
0,060 20
0,054 55
0,049 86
0,026 86
0
∞
Form. C 2 060 − 62
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction
___________________________________________________________________________________________________________
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Tableau 32 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, symétrique, à deux rampants
et béquilles verticales sur deux articulations
Valeurs fixes :
I2 h
raideur rampant
K = ----------------------------------------------- = ------- × -----S
I1
raideur béquille
ϕ = f /h ; ∆ = K + 3 + 3ϕ + ϕ 2
Cas de charge
Diagramme
des moments
Réactions
et moments
sur appuis
Moments
aux nœuds
B, C et D
pour des valeurs
particulières de K
et de w
K
0
∞
P,
P,
M B = M D = – β --------- M C = γ --------4
4
3 + 2ϕ
(1 + ϕ) (3 + 2ϕ)
β = ------------------- γ = 1 – ------------------------------------------2∆
2∆
γ
β
γ
β
γ
0,333 33
0,171 05
0,071 43
– 0,038 46
– 0,25
0,666 67
0,552 63
0,464 29
0,346 15
0
0,333 33
0,171 05
0,071 43
– 0,038 46
– 0,25
0,5
0,421 05
0,357 14
0,269 23
0
0,5
0,368 42
0,285 71
0,192 31
0
0,645 16
0,541 24
0,457 75
0,343 51
0
0,354 84
0,188 14
0,084 51
– 0,030 53
– 0,25
0,645 16
0,541 24
0,457 75
0,343 51
0
0,354 84
0,188 14
0,084 51
– 0,030 53
– 0,25
0,483 87
0,412 37
0,352 11
0,267 18
0
0,516 13
0,381 44
0,295 77
0,198 47
0
0,571 43
0,5
0,433 33
0,333 33
0
0,428 57
0,25
0,133 33
0
– 0,25
0,571 43
0,5
0,433 33
0,333 33
0
0,428 57
0,25
0,133 33
0
– 0,25
0,428 57
0,380 95
0,333 33
0,259 26
0
0,571 43
0,428 57
0,333 33
0,222 22
0
0,5
0,456 52
0,406 25
0,321 43
0
0,5
0,315 22
0,187 5
0,035 71
– 0,25
0,5
0,456 52
0,406 25
0,321 43
0
0,5
0,315 22
0,187 5
0,035 71
– 0,25
0,375
0,347 83
0,312 5
0,25
0
0,625
0,478 26
0,375
0,25
0
0,4
0,388 89
0,361 11
0,3
0
0,6
0,416 67
0,277 78
0,1
– 0,25
0,4
0,388 89
0,361 11
0,3
0
0,6
0,416 67
0,277 78
0,1
– 0,25
0,3
0,296 30
0,277 78
0,233 33
0
0,7
0,555 56
0,444 44
0,3
0
∞
0,153 85
0,177 97
0,191 18
0,195 65
0
0,846 15
0,733 05
0,617 65
0,413 04
– 0,25
0,153 85
0,177 97
0,191 18
0,195 65
0
0,846 15
0,733 05
0,617 65
0,413 04
– 0,25
0,115 38
0,135 59
0,147 06
0,152 17
0
0,884 62
0,796 61
0,705 88
0,543 48
0
99
0
1
0
1
0
1
0
0,5
1
2
0
0,5
1
2
0
0,5
1
2
0
0,5
1
2
∞
10
P, 3 + 2ϕ
Q = --------- ------------------8∆
h
β
∞
2
p, 2
p, 2
M B = M D = – β ------------ M C = γ -----------16
16
8 + 5ϕ
(1 + ϕ) (8 + 5ϕ)
β = ------------------- γ = 1 – ------------------------------------------∆
4∆
1
R A = R E = ----- P
2
0,666 67
0,552 63
0,464 29
0,346 15
0
∞
1
p, 2
p, 2
M B = M D = – β ------------ M C = γ -----------8
8
8 + 5ϕ
(1 + ϕ) (8 + 5ϕ)
β = ------------------- γ = 1 – ------------------------------------------4∆
4∆
3
1
p, 2 8 + 5ϕ
R A = ----- p , R E = ----- p , Q = ------------ ------------------64 ∆
8
8
h
0
0,5
1
2
∞
0,5
p, 2 8 + 5ϕ
Q = ------------ ------------------32 ∆
h
ϕ
∞
0,1
1
R A = R E = ----- p ,
2
0
0,5
1
2
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction
Form. C 2 060 − 63
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
___________________________________________________________________________________________________________
Tableau 32 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, symétrique, à deux rampants
et béquilles verticales sur deux articulations (suite)
Cas de charge
Diagramme
des moments
Réactions
et moments
sur appuis
QA
M B = β Ph
Moments
aux nœuds
B, C et D
pour des valeurs
particulières de K
et de w
K
0
2
10
∞
1
1
ϕ (3 + 2ϕ)
ϕ (3 + 2ϕ)
β = ----- 1 + ---------------------------δ = ----- 1 – ---------------------------2
2
∆
∆
ϕ
(1 + ϕ) (3 + 2ϕ)
γ = ----- 1 – ------------------------------------------2
2∆
Q B = qf – Q A
qf 2
qfh
M D = – δ -----------M C = – γ -----------2
2
ϕ (4 + 3ϕ)
ϕ (4 + 3ϕ)
β = 1 + ---------------------------δ = 1 – ---------------------------8∆
8∆
1 (1 + ϕ) (4 + 3ϕ)
γ = ----- – ------------------------------------------2
8∆
qfh
M B = β -----------2
β
γ
δ
β
γ
δ
0,5
0,605 26
0,678 57
0,769 23
1
0
0,092 11
0,142 86
0,192 31
0,25
0,5
0,394 74
0,321 43
0,230 77
0
1
1,072 37
1,125
1,192 31
1,375
0,333 33
0,282 89
0,25
0,211 54
0,125
1
0,927 63
0,875
0,807 69
0,625
0,5
0,603 09
0,676 06
0,767 18
1
0
0,095 36
0,147 89
0,198 47
0,25
0,5
0,396 91
0,323 94
0,232 82
0
1
1,070 88
1,123 24
1,190 84
1,375
0,338 71
0,287 37
0,253 52
0,213 74
0,125
1
0,929 12
0,876 76
0,809 16
0,625
0,5
0,595 24
0,666 67
0,759 26
1
0
0,107 14
0,166 67
0,222 22
0,25
0,5
0,404 76
0,333 33
0,240 74
0
1
1,065 48
1,116 67
1,185 19
1,375
0,357 14
0,303 57
0,266 67
0,222 22
0,125
1
0,934 52
0,883 33
0,814 81
0,625
∞
0,5
0,586 96
0,656 25
0,75
1
0
0,119 57
0,187 5
0,25
0,25
0,5
0,413 04
0,343 75
0,25
0
1
1,059 78
1,109 38
1,178 57
1,375
0,375
0,320 65
0,281 25
0,232 14
0,125
1
0,940 22
0,890 63
0,821 43
0,625
0
0,5
1
2
0,5
0,574 07
0,638 89
0,733 33
∞
1
0
0,138 89
0,222 22
0,3
0,25
0,5
0,425 93
0,361 11
0,266 67
0
1
1,050 93
1,097 22
1,166 67
1,375
0,4
0,347 22
0,305 56
0,25
0,125
1
0,949 07
0,904 78
0,833 33
0,625
∞
0,5
0,533 90
0,573 53
0,652 17
1
0
0,199 15
0,352 94
0,543 48
0,25
0,5
0,466 10
0,426 47
0,347 83
0
1
1,023 31
1,051 47
1,108 70
1,375
0,461 54
0,430 08
0,397 06
0,336 96
0,125
1
0,976 69
0,948 53
0,891 30
0,625
99
0,5
ϕ /2
0,5
1
0,5
1
0
0,5
1
2
0
0,5
1
2
∞
1
M D = – δ Ph
1
ϕ (4 + 3ϕ)
Q A = ----- qf 1 + ---------------------------2
8∆
0
0,5
1
2
∞
0,5
M C = – γ Ph
qfh ( 2 + ϕ )
R A = – R E = – -------------------------------2,
ϕ
∞
0,1
Ph
R A = – R E = – --------,
P
ϕ (3 + 2ϕ)
= ----- 1 + ---------------------------QB = P – QA
2
2∆
0
0,5
1
2
0
0,5
1
2
Form. C 2 060 − 64
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est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction
___________________________________________________________________________________________________________
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Tableau 32 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, symétrique, à deux rampants
et béquilles verticales sur deux articulations (suite)
Cas de charge
Diagramme
des moments
Réactions
et moments
sur appuis
Moments
aux nœuds
B, C et D
pour des valeurs
particulières de K
et de w
K
0
∞
3(ϕ + 2)
β 1 = ----------------------4∆
Mc = γ M
β2 = 1 – β1
3(1 + ϕ) (2 + ϕ) 1
γ = -------------------------------------------- – ----2
∆
β1
β2
γ
0
0,5
1
2
0,5
0,605 26
0,678 57
0,769 23
1
0
0,092 11
0,142 86
0,192 31
0,25
0,5
0,394 74
0,321 43
0,230 77
0
0,5
0,394 74
0,321 43
0,230 77
0
0,5
0,605 26
0,678 57
0,769 23
1
0
0,092 11
0,142 86
0,192 31
0,25
0,495 97
0,600 52
0,674 30
0,766 22
1
0,004 03
0,099 23
0,151 41
0,201 34
0,25
0,504 03
0,399 48
0,325 70
0,233 78
0
0,483 87
0,386 60
0,316 90
0,229 01
0
0,516 13
0,613 40
0,683 10
0,770 99
1
– 0,016 13
0,079 90
0,133 80
0,187 02
0,25
0,482 14
0,583 33
0,658 33
0,754 63
1
0,017 86
0,125
0,183 33
0,236 11
0,25
0,517 86
0,416 67
0,341 67
0,245 37
0
0,428 57
0,357 14
0,3
0,222 22
0
0,571 43
0,642 86
0,7
0,777 78
1
– 0,071 43
0,035 71
0,1
0,166 67
0,25
0,468 75
0,565 22
0,640 63
0,741 07
1
0,031 25
0,152 17
0,218 75
0,276 79
0,25
0,531 25
0,434 78
0,359 38
0,258 93
0
0,375
0,326 09
0,281 25
0,214 29
0
0,625
0,673 91
0,718 75
0,785 71
1
– 0,125
– 0,010 87
0,062 5
0,142 86
0,25
0,45
0,537 04
0,611 11
0,716 67
1
0,05
0,194 44
0,277 78
0,35
0,25
0,55
0,462 96
0,388 89
0,283 33
0
0,3
0,277 78
0,25
0,2
0
0,7
0,722 22
0,75
0,8
1
– 0,2
– 0,083 33
0
0,1
0,25
∞
0,403 85
0,449 15
0,5
0,597 83
1
0,096 15
0,326 27
0,5
0,706 52
0,25
0,596 15
0,550 85
0,5
0,402 17
0
0,115 38
0,127 12
0,132 35
0,130 43
0
0,884 62
0,872 88
0,867 65
0,869 57
1
– 0,384 62
– 0,309 32
– 0,235 29
– 0,108 70
0,25
ϕ
0,375
0
1
0
0,5
1
2
0
0,5
1
2
0
0,5
1
2
0
0,5
1
2
∞
10
M B2 = – β2 M
δ
∞
2
M B 1 = M D = – β1 M
2
γ
∞
1
qh 2
qh 2
M C = – γ ------------- M D = – δ ------------2
2
5 K + 12 + 6 ϕ
β = 1 – δ δ = -----------------------------------8∆
( 1 + ϕ ) ( 5 K + 12 + 6 ϕ ) 1
γ = ------------------------------------------------------------- – ----2
8∆
1
β
∞
0,5
qh 2
M B = β ------------2
M
R A = – R E = ------,
3M 2 + ϕ
Q = – ----------- --------------h
4∆
ϕ
∞
0,1
QA
qh 2
R A = – R E = – ------------2,
qh 5 K + 12 + 6 ϕ
= qh – Q E
Q E = --------- -----------------------------------2
8∆
0
0,5
1
2
1
----- ( 1 + 5 ϕ )
8
0,625
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– 0,5
Form. C 2 060 − 65
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
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