Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction Form. C 2 060 − 57
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
___________________________________________________________________________________________________________ RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
7. Portiques
(0)
Tableau 30 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, rectangulaire, symétrique,
avec deux appuis articulés
Valeurs fixes :
N = 2K + 3
Cas de charge
Diagramme
des moments
Réactions
sur appuis
Moments
aux nœuds B et C
pour des valeurs
particulières de K
K
α
K
α
K
α
0 0,666 67 0 0,666 67 0 0,5
0,1 0,625 0,1 0,625 0,1 0,468 75
0,2 0,588 24 0,2 0,588 24 0,2 0,441 18
0,4 0,526 32 0,4 0,526 32 0,4 0,394 74
0,6 0,476 19 0,6 0,476 19 0,6 0,357 14
0,8 0,434 78 0,8 0,434 78 0,8 0,326 09
1 0,4 1 0,4 1 0,3
1,5 0,333 33 1,5 0,333 33 1,5 0,25
2 0,285 71 2 0,285 71 2 0,214 29
2,5 0,25 2,5 0,25 2,5 0,187 5
3 0,222 22 3 0,222 22 3 0,166 67
3,5 0,2 3,5 0,2 3,5 0,15
4 0,181 82 4 0,181 82 4 0,136 36
4,5 0,166 67 4,5 0,166 67 4,5 0,125
5 0,153 85 5 0,153 85 5 0,115 38
6 0,133 33 6 0,133 33 6 0,1
7 0,117 65 7 0,117 65 7 0,088 24
8 0,105 26 8 0,105 26 8 0,078 95
9 0,095 24 9 0,095 24 9 0,071 43
10 0,086 96 10 0,086 96 10 0,065 22
20 0,046 51 20 0,046 51 20 0,034 88
∞0∞0∞0
Kraideur
traverse
raideur
poteau
-----------------------------------------------
I
2
,
------
h
I
1
------
×
= =
RARD
1
2
----- p,= =
Qp,2
4Nh
--------------=
RA
3
8
----- p,=RD
1
8
----- p,=
Qp,2
8Nh
--------------=
RARD
1
2
----- P= =
Q3P,
8Nh
--------------=
MBMC
α
– p
,
2
8
------------
= =
α
2
2
K
3
+
-------------------=
MBMC
α
– p
,
2
16
------------
= =
α
2
2
K
3
+
-------------------=
MBMC
α
– p
,
4
---------
= =
α
3
4
K
6
+
-------------------=
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
Form. C 2 060 − 58 est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX ___________________________________________________________________________________________________________
Cas de charge
Diagramme
des moments
Réactions
sur appuis
Moments
aux nœuds B et C
pour des valeurs
particulières de K
Cas particulier :
K
α
0 0,5
0,1 0,468 75
0,2 0,441 18
0,4 0,394 74
0,6 0,357 14
0,8 0,326 09
1 0,3
1,5 0,25
2 0,214 29
2,5 0,187 5
3 0,166 67
3,5 0,15
4 0,136 36
4,5 0,125
5 0,115 38
6 0,1
7 0,088 24
8 0,078 95
9 0,071 43
10 0,065 22
20 0,034 88
∞0
Tableau 30 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, rectangulaire, symétrique,
avec deux appuis articulés (suite)
RA
Pb
,
---------= RD
Pa
,
---------=
Q3Pab
2N,h
------------------=
RA
R
D
– Ph
,
---------
–= =
Q
A
Q
D
1
2
----- P= =
a1
4
----- ,,=b3
4
----- ,=
MBMC
α
3P,
16
------------
= =
α
3
4K6+
-------------------=
MB
M
C
– 1
2
-----
Ph
= =
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
est strictement interdite.
−
© Techniques de l’Ingénieur, traité Construction
Form. C 2 060
−
59
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
___________________________________________________________________________________________________________
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
(0)
(0)
(0)
Cas de charge
Diagramme
des moments
Réactions
sur appuis
Moments
aux nœuds B et C
pour des valeurs
particulières de
K
K
α β
K
α β
0 0,5 0,5 0 0,5 0,5
0,1 0,492 19 0,507 81 0,1 0,468 75 0,531 25
0,2 0,485 29 0,514 71 0,2 0,441 18 0,558 82
0,4 0,473 68 0,526 32 0,4 0,394 74 0,605 26
0,6 0,464 29 0,535 71 0,6 0,357 14 0,642 66
0,8 0,456 52 0,543 48 0,8 0,326 09 0,673 91
1 0,45 0,55 1 0,3 0,7
1,5 0,437 5 0,562 5 1,5 0,25 0,75
2 0,428 57 0,571 43 2 0,214 29 0,785 71
2,5 0,421 88 0,578 13 2,5 0,187 5 0,812 5
3 0,416 67 0,583 33 3 0,166 67 0,833 33
3,5 0,412 5 0,587 5 3,5 0,15 0,85
4 0,409 09 0,590 91 4 0,136 36 0,863 64
4,5 0,406 25 0,593 75 4,5 0,125 0,875
5 0,403 85 0,596 15 5 0,115 38 0,884 62
6 0,4 0,6 6 0,1 0,9
7 0,397 06 0,602 94 7 0,088 24 0,911 76
8 0,394 74 0,605 26 8 0,078 95 0,921 05
9 0,392 86 0,607 14 9 0,071 43 0,928 57
10 0,391 30 0,608 70 10 0,065 22 0,934 78
20 0,383 72 0,616 28 20 0,034 88 0,965 12
∞
0,375 0,625
∞
0 1
Tableau 30 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, rectangulaire, symétrique,
avec deux appuis articulés
(suite)
RA
R
D
– qh
2
2
,
-------------
–= =
Q
A
11
K
18
+
8
N
--------------------------
qh
=
Q
D
5
K
6
+
8
N
-------------------
qh
=
RA
R
D
– M
,
-------= =
Q 3
M
2
Nh
--------------
–=
MB
α
qh 2
2
------------
=MC
β
– qh
2
2
------------
=
α
3
K
6
+
8
K12+
----------------------=
β
5K6+
8K12+
----------------------=
MB1MC
α
M= = MB2
β
M
–=
α
3
4
K
6
+
-------------------=
β
4K3+
4K6+
-------------------=
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
Form. C 2 060 − 60 est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX ___________________________________________________________________________________________________________
Tableau 31 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, rectangulaire, symétrique,
avec deux appuis encastrés
Valeurs fixes :
N1 = K + 2
N2 = 6K + 1
Cas de charge
Diagramme
des moments
Réactions
et moments
sur appuis
Moments
aux nœuds
A, B, C et D
pour des valeurs
particulières de K
K
α β
K
α β γ δ
0 0,333 33 0,666 67 0 0,083 33 0,916 67 0,416 67 0,583 33
0,1 0,317 46 0,634 92 0,1 0,161 21 0,791 17 0,478 67 0,473 71
0,2 0,303 03 0,606 06 0,2 0,189 39 0,719 70 0,492 42 0,416 67
0,4 0,277 78 0,555 56 0,4 0,204 25 0,629 08 0,482 03 0,351 31
0,6 0,256 41 0,512 82 0,6 0,202 06 0,567 17 0,458 47 0,310 76
0,8 0,238 10 0,476 19 0,8 0,194 99 0,519 29 0,433 09 0,281 20
1 0,222 22 0,444 44 1 0,186 51 0,480 16 0,408 73 0,257 94
1,5 0,190 48 0,380 95 1,5 0,165 48 0,405 95 0,355 95 0,215 48
2 0,166 67 0,333 33 2 0,147 44 0,352 56 0,314 10 0,185 90
2,5 0,148 15 0,296 30 2,5 0,132 52 0,311 92 0,280 67 0,163 77
3 0,133 33 0,266 67 3 0,120 18 0,279 82 0,253 51 0,146 49
3,5 0,121 21 0,242 42 3,5 0,109 85 0,253 79 0,231 06 0,132 58
4 0,111 11 0,222 22 4 0,101 11 0,232 22 0,212 22 0,121 11
4,5 0,102 56 0,205 13 4,5 0,093 64 0,214 06 0,196 20 0,111 49
5 0,095 24 0,190 48 5 0,087 17 0,198 54 0,182 41 0,103 30
6 0,083 33 0,166 67 6 0,076 58 0,173 42 0,159 91 0,090 09
7 0,074 07 0,148 15 7 0,068 26 0,153 96 0,142 33 0,079 89
8 0,066 67 0,133 33 8 0,061 56 0,138 44 0,128 23 0,071 77
9 0,060 61 0,121 21 9 0,056 06 0,125 76 0,116 67 0,065 15
10 0,055 56 0,111 11 10 0,051 46 0,115 21 0,107 01 0,059 65
20 0,030 30 0,060 61 20 0,028 24 0,062 67 0,058 54 0,032 37
∞0 0 ∞0 0 0 0
Kraideur traverse
raideur poteau
-----------------------------------------------
I2
,
------ h
I1
------
×= =
RARD
1
2
----- p,= =
Qp,2
4N1h
-----------------=
MAMD
p,2
12N1
----------------= =
RA
p,
8
--------- 131
4N2
-------------+ 2
=RD
p,
8
--------- 111
4N2
-------------– 2
=
Qp,2
8N1h
-----------------=
MA
p,2
8
------------ 11
3N1
------------- 1
8N2
-------------– 2
=MD
p,2
8
------------ 11
3N1
------------- 1
8N2
-------------+ 2
=
MAMD
α
p,2
8
------------
= =
MBMC
β
– p
,
2
8
------------
= =
α
2
3
K
2
+
( )
------------------------=
β
4
3
K
2
+
( )
-----------------------=
MA
α
p,2
16
------------
=MB
β
– p
,
2
16
------------
= M
C
γ
– p
,
2
16
------------
= M
D
δ
p
,
2
16
------------
=
α
2
3
N
1
-------------
1
4
N
2
-------------–=
β
4
3
N
1
-------------
1
4
N
2
-------------+=
δ
2
3
N
1
-------------
1
4
N
2
-------------+=
γ
4
3N1
------------- 1
4N2
-------------+=
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie
est strictement interdite.
−
© Techniques de l’Ingénieur, traité Construction
Form. C 2 060
−
61
F
O
R
M
U
L
A
I
R
E
___________________________________________________________________________________________________________
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Cas de charge
Diagramme
des moments
Réactions
et moments
sur appuis
Moments
aux nœuds
A, B, C et D
pour des valeurs
particulières de
K
Cas particulier :
K
α β
K
α β γ δ
0 0,25 0,5 0 0 0,75 0,25 0,5
0,1 0,238 10 0,476 19 0,1 0,081 85 0,632 44 0,319 94 0,394 35
0,2 0,227 27 0,454 55 0,2 0,113 64 0,568 18 0,340 91 0,340 91
0,4 0,208 33 0,416 67 0,4 0,134 80 0,490 20 0,343 14 0,281 86
0,6 0,192 31 0,384 62 0,6 0,137 96 0,438 96 0,330 27 0,246 66
0,8 0,178 57 0,357 14 0,8 0,135 47 0,400 25 0,314 04 0,221 67
1 0,166 67 0,333 33 1 0,130 95 0,369 05 0,297 62 0,202 38
1,5 0,142 86 0,285 71 1,5 0,117 66 0,310 71 0,260 71 0,167 86
2 0,125 0,25 2 0,105 77 0,269 23 0,230 77 0,144 23
2,5 0,111 11 0,222 22 2,5 0,095 49 0,237 85 0,206 60 0,126 74
3 0,1 0,2 3 0,086 84 0,213 16 0,186 84 0,113 16
3,5 0,090 91 0,181 82 3,5 0,079 55 0,193 18 0,170 45 0,102 27
4 0,083 33 0,166 67 4 0,073 33 0,176 67 0,156 67 0,093 33
4,5 0,076 92 0,153 85 4,5 0,067 99 0,162 77 0,144 92 0,085 85
5 0,071 43 0,142 86 5 0,063 36 0,150 92 0,134 79 0,079 49
6 0,062 5 0,125 6 0,055 74 0,131 76 0,118 24 0,069 26
7 0,055 56 0,111 11 7 0,049 74 0,116 93 0,105 30 0,061 37
8 0,05 0,1 8 0,044 90 0,105 10 0,094 90 0,055 10
9 0,045 45 0,090 91 9 0,040 91 0,095 45 0,086 36 0,05
10 0,041 67 0,083 33 10 0,037 57 0,087 43 0,079 23 0,045 77
20 0,022 73 0,045 45 20 0,020 66 0,047 52 0,043 39 0,024 79
∞
0 0
∞
0 0 0 0
Tableau 31 – Moments et réactions sur appuis dans un portique à une travée, rectangulaire, symétrique,
avec deux appuis encastrés
(suite)
Q3P,
4N1h
-----------------=
MAMD
P,
8N1
-------------= =
RARD
1
2
----- P= = RAPb
,
----- 1a b a–( )
N2,2
------------------------+= RDPa
,
----- 1b a b–( )
N2,2
------------------------+=
Q3Pab
2N1,h
---------------------=
MA
Pab
,
------------- 11
2N1
------------- b a–
2N2,
-----------------– 2
=MD
Pab
,
------------- 11
2N1
------------- b a–
2N2,
-----------------+ 2
=
MAMD
α
P,
4
---------
= =
MBMC
β
– P
,
4
---------
= =
α
1
2
K
2
+
( )
-----------------------=
β
1
K
2
+
--------------=
a,
4
-----= , b3,
4
--------=
MA
α
3P,
16
------------
=MB
β
– 3
P
,
16
------------
= M
C
γ
– 3
P
,
16
------------
= M
D
δ
3
P
,
16
------------
=
α
1
2
N
1
-------------
1
4
N
2
-------------–=
β
1
N
1
---------
1
4
N
2
-------------+=
δ
1
2
N
1
-------------
1
4
N
2
-------------+=
γ
1
N1
--------- 1
4N2
-------------–=
6
7
8
9
1
/
9
100%