نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد و متجانس ) ⃗⃗
𝑘 (𝑜, 𝑖⃗, 𝑗⃗,النقط D(-4;2;1) ، C(3;1;-2) ، B(2;2;3) ، A(1;0;-1) :
.1بين أن النقط C ، B ، Aتعين مستويا
.2عين شعاعا ناظميا للمستوي )(ABC
.3استنتج معادلة ديكارتية للمستوي )(ABC
.4أثبت أن المثلث ABCقائم
.5أحسب مساحة المثلث ABC
.6عين بعد النقطة Dعن المستوي ) ، (ABCثم احسب حجم رباعي الوجوه DABC
.7عين ωمركز سطح الكرة ) (Sالذي معادلته 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 2𝑦 − 6𝑧 − 15 = 0
.8أحسب بعد النقطة ωعن المستوي )(ABC
.9اعط التمثيل الوسيطي للمستقيم )∆( الذي يشمل النقطة ωو يعامد المستوي )(ABC
.11عيّن طبيعة و خصائص تقاطع المستوي ) (ABCو سطح الكرة )(S
.11ليكن ) (Pالمستوي الذي معادلته .𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 :بيّن ّ
أن المستويين ) (Pو ) (ABCمتعامدان
.12اعط التمثيل الوسيطي للمستقيم ) (∆′تقاطع ) (Pو )(ABC
.13عين بعد النقطة Dعن المستوي ) ، (Pث ّم استنتج المسافة بين Dو )(∆′
.14لتكن 𝑀𝑡′نقطة من المستقيم )(∆′
أ.
عبّر عن المسافة 𝐷𝑀𝑡′بداللة ’t
ب .أدرس اتجاه تغيّر الدالة 𝑓(𝑡 ′ ) = 𝐷𝑀𝑡′
ج .استنتج بطريقة ثانية المسافة بين Dو )(∆′
.15ادرس الوضع النسبي للمستقيمين )∆( و )(∆′
.16اعط المعادلة الديكارتية لـ ) (Qالمستوي المحوري للقطعة ] [MNحيث ) 𝑀(1; 0; 0و )𝑁(−1; 0; 2
.17عيّن تقاطع المستويات الثالث ) (Q) ، (Pو )(ABC
.18عين إحداثيات النقطتين Gو ' Gحيث Gمركز ثقل المثلث ABCو ' Gمرجح الجملة }){(𝐴; 3), (𝐵; −1); (𝐶; 1
.19عيّن في كل حالة من الحاالت التالية مجموعة النقط Mمن الفضاء التي تحقق :
أ.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝐴𝑀‖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 +
𝑀𝐶 ‖ = 6
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
𝐴𝑀‖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 +
𝐴𝑀𝑀𝐶 ‖ = ‖3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 +
ب𝑀𝐶 ‖ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
𝐴𝑀‖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 +
𝐴𝑀𝑀𝐶 ‖ = ‖2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 −
ج𝑀𝐶 ‖ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
𝐴𝑀(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 +
𝐴𝑀𝑀𝐶 )(3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 +
د𝑀𝐶 ) = 0 .
𝐵𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
𝐴𝑀() ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
𝐶𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
ه⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0 .
𝐴𝑀(3
و𝑀𝐴² + 𝑀𝐵² + 𝑀𝐶² = 30 .
تصحيح الموضوع
نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد و متجانس ) ⃗⃗
𝑘 (𝑜, 𝑖⃗, 𝑗⃗,النقط D(-4;2;1) ، C(3;1;-2) ، B(2;2;3) ، A(1;0;-1) :
-1بين أن النقط C ، B ، Aتعين مستويا
1
2
1 2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; )⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2
𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴
𝐵𝐴 ; ≠ ; ) 𝐴𝐶 ( 1
2 1
4
−1
-2عين شعاعا ناظميا للمستوي )(ABC
3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 0
𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 0
{ ; {𝑛⃗⃗. 𝐴𝐵 = 0
{;
𝑎 ; 9𝑎 + 6𝑏 = 0 ; 𝑏 = −
2𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 0
8𝑎 + 4𝑏 − 4𝑐 = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
2
𝐶𝐴 𝑛⃗⃗.
2
3
1
)2𝑎 − 𝑎 − 𝑐 = 0 ; 𝑐 = 𝑎 ; 𝑎 = 2 ; 𝑛⃗⃗ (−3
2
2
1
-3استنتج معادلة ديكارتية للمستوي )(ABC
(𝐴𝐵𝐶): 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 + 𝑑 = 0 ; 𝐴 ∈ (𝐴𝐵𝐶): 2 − 1 + 𝑑 = 0 ; 𝑑 = −1
(𝐴𝐵𝐶): 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
-4أثبت أن المثلث ABCقائم
1
2
𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2) .
𝐵𝐴 ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 1 ) = 2 + 2 − 4 = 0
𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴
4
−1
-5أحسب مساحة المثلث ABC
𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 √1² + 2² + 4² × √2² + 1² + (−1)² √21 × √6
3
=
=
= √14 𝑐𝑚²
2
2
2
2
=𝑆
-6عين بعد النقطة Dعن المستوي ) ، (ABCثم احسب حجم رباعي الوجوه DABC
= √14
14
√14
=
||2(−4) − 3(2) + 1 − 1
√22 + (−3)2 + 12
= ))𝐶𝐵𝐴( 𝑑(𝐷,
1
1 3
14
= 𝑆 × ℎ = . √14. √14
= 7 𝑐𝑚3
3
3 2
2
=𝑉
-7عين ωمركز سطح الكرة ) (Sالذي معادلته 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 2𝑦 − 6𝑧 − 15 = 0
𝑥 2 + (𝑦 + 1)2 − 12 + (𝑧 − 3)2 − 32 − 15 = 0
𝑥 2 + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 − 3)2 = 25 ; 𝑤(0; −1; 3) ; 𝑟 = √25 = 5
-8أحسب بعد النقطة ωعن المستوي )(ABC
5√14
14
=
5
√14
=
||2(0) − 3(−1) + 3 − 1
√22 + (−3)2 + 12
= ))𝐶𝐵𝐴( 𝑑(𝑤,
-9اعط التمثيل الوسيطي للمستقيم )∆( الذي يشمل النقطة ωو يعامد المستوي )(ABC
𝑡𝑥 = 2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅 ∈ 𝑡 ; 𝑡𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ (∆) ; 𝑤𝑀 = 𝑡. 𝑛⃗⃗ ; {𝑦 = −1 − 3
𝑡𝑧 = 3+
-11عيّن طبيعة و خصائص تقاطع المستوي ) (ABCو سطح الكرة )(S
) 𝑑(𝑤, (𝐴𝐵𝐶)) < 𝑟 ; (𝑆) ∩ (𝐴𝐵𝐶) = (𝐶 ′
5
;
14
2(2𝑡) − 3(−1 − 3𝑡) + 3 + 𝑡 − 1 = 0 ; 14𝑡 = −5 ; 𝑡 = −
5
1 37
) ; 𝑤′ (− ; +
7
14 14
25
13
√; 𝑟 = 5
14
14
𝑅² = 𝑑² + 𝑟 2 ; 𝑟 2 = 𝑅² − 𝑑2 = 52 −
-11ليكن ) (Pالمستوي الذي معادلته .𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 :بيّن ّ
أن المستويين ) (Pو ) (ABCمتعامدان
2
1
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ 𝑛⃗⃗ (−3) . 𝑛′ (1) = 2 − 3 + 1 = 0 ; 𝑛⃗⃗
)𝑃(𝑛′ ; (𝐴𝐵𝐶)
1
1
-12اعط التمثيل الوسيطي للمستقيم ) (∆′تقاطع ) (Pو )(ABC
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
; 𝑥 − 4𝑦 = 0 ; 𝑥 = 4𝑦 ; 4𝑦 + 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 ; 𝑧 = −5𝑦 + 1
𝑥+𝑦+𝑧−1=0
𝑥 = 4𝑡′
𝑅 ∈ ; 𝑡′
𝑦 = 𝑡′
𝑧 = 1 − 5𝑡′
{
{ ∶ )(∆′
-13عين بعد النقطة Dعن المستوي ) ، (Pث ّم استنتج المسافة بين Dو )(∆′
2√3
3
=
||−4 + 2 + 1 − 1
√12 + 12 + 12
4 46
46
√138
=
= √ = )); 𝑑(𝐷, (∆′
3
3
3
3
= ))𝑃( 𝑑(𝐷,
𝑑²(𝐷, (∆′)) = 𝑑²(𝐷, (𝐴𝐵𝐶)) + 𝑑²(𝐷, (𝑃)) = 14 +
𝑀𝑡′ -14نقطة من المستقيم ) ، (∆′أي ) 𝑀𝑡 ′ (4𝑡 ′ , 𝑡 ′ , 1 − 5𝑡 ′
أ.
𝐷𝑀𝑡′ = √(4𝑡 ′ + 4)2 + (𝑡 ′ − 2)2 + (−5𝑡 ′ )2 = √42𝑡 ′2 + 28𝑡 ′ + 20
ب.
)2(21t′ +7
+28𝑡 ′ +20
= √42𝑡 ′2
84t′ +28
2√42𝑡 ′2 +28𝑡 ′ +20
1
= ) 𝑓 ′ (𝑡 ′ ) = 0 ⇒ 21t ′ + 7 = 0 ⇒ t ′ = − 3 ، 𝑓′(𝑡 ′
1
1
𝑓′متزايدة ⇒ 𝑓 ′ ; 𝑡 ′ ∈ [− ; +∞[ : 𝑓 ′ (𝑡 ′ ) ≥ 0متناقصة ⇒ 𝑡 ′ ∈ ]−∞; − [ : 𝑓 ′ (𝑡 ′ ) < 0
3
3
ج .م ّما سبق نستنتج ّ
أن المسافة بين Dو ) (∆′هي :
√138
3
= + 20
28
3
42
1
𝑑(𝐷, (∆′)) = 𝑓 (− 3) = √ 9 −
-15ادرس الوضع النسبي للمستقيمين )∆( و )(∆′
4
2
2
3
𝑢 ; ⃗⃗⃗⃗′ ( 1 ) ; ≠ −
𝑢
𝑢 ; )⃗⃗ (−3
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
; 𝑢′
4
1
1
−5
2
)𝑡2𝑡 = 4(−1 − 3
7
{ ; { 2𝑡 = 4𝑡′
{;
1
−1 − 3𝑡 = 𝑡′
−1 − 3𝑡 = 𝑡′
𝑡′ = −
7
𝑡=−
4
1 19
4
1 12
)∆( و ) (∆′ال ينتميان إلى نفس المستوي ; ) ; 𝑀(∆) (− ; − ; ) ; 𝑀′(∆′) (− ; −
7
7 7
7
7 7
-16اعط المعادلة الديكارتية لـ ) (Qالمستوي المحوري للقطعة ] [MNحيث ) 𝑀(1; 0; 0و )𝑁(−1; 0; 2
−2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁 ( 0 ) ; 𝐻(0; 0; 1); (𝑄) ∶ −2𝑥 + 2𝑧 + 𝑑 = 0 ; 𝐻 ∈ (𝑄) ∶ 2 + 𝑑 = 0 ; 𝑑 = −2
2
(𝑄) ∶ −2𝑥 + 2𝑧 − 2 = 0
-17عيّن تقاطع المستويات الثالث ) (Q) ، (Pو )(ABC
(𝑄) ∩ (∆′ ) : − 2(4𝑡 ′ ) + 2(1 − 5𝑡 ′ ) − 2 = 0 ; −18𝑡 ′ = 0 ; 𝑡 ′ = 0
}𝐻{ = })(𝑄) ∩ (𝑃) ∩ (𝐴𝐵𝐶) = {(0; 0; 1
-18عين إحداثيات النقطتين Gو ' Gحيث Gمركز ثقل المثلث ABCو ' Gمرجح الجملة }){(𝐴; 3), (𝐵; −1); (𝐶; 1
𝐶𝑧 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 𝑧𝐴 + 𝑧𝐵 +
(𝐺
;
;
)) ; 𝐺(2; 1; 0
3
3
3
𝐶𝑧 3𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 3𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 3𝑧𝐴 − 𝑧𝐵 +
4
1
8
( 𝐺′
;
;
) ) ; 𝐺′( ; − ; −
3
3
3
3
3
3
-19عيّن في كل حالة من الحاالت التالية مجموعة النقط Mمن الفضاء التي تحقق :
𝐵𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝐺𝑀‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 6 ⇒ 3
𝐺𝑀‖ ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 6
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 2
𝐶𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝐴𝑀‖
مجموعة النقط Mهي سطح كرة مركزها Gو نصف قطرها 2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
𝐺𝑀‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 3
𝐺𝑀‖ ⇒ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′
𝐺𝑀‖ = ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′
𝐴𝑀‖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 +
𝐴𝑀𝑀𝐶 ‖ = ‖3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 +
𝐺𝑀‖𝑀𝐶 ‖ ⇒ 3
مجموعة النقط Mهي المستوي المحوري للقطعة ]'[GG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
𝐵𝐴‖ = ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝐴𝑀‖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 +
𝐴𝑀𝑀𝐶 ‖ = ‖2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 −
𝐺𝑀‖𝑀𝐶 ‖ ⇒ 3
‖ 𝐶𝐴
2
𝐸𝐴‖ = ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐴‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 2
𝐺𝑀‖ ⇒ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐴‖ = ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝑀‖3
3
أن الرباعي ABECمتوازي األضالع ّ ،
بما ّ
فإن النقطة Fهي تقاطع القطرين ) (AEو ) ، (BCأي Fمنتصف ][BC
2
2
5 3 1
5
3 2
1
3√3 2
√
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √3
= )𝐹 ( ; ; ) ⇒ ‖𝐴𝐹 ‖ = ( − 1) + ( ) + ( + 1
𝐹𝐴‖ ⇒
2 2 2
2
2
2
3
2
مجموعة النقط Mهي سطح كرة مركزها Gو نصف قطرها √3
𝐺𝑀 ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(3
𝐵𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0 ⇒ 3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 3𝑀𝐺′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
𝐶𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝐴𝑀(
𝐶𝑀 𝑀𝐵 +
𝑀𝐺′ = 0
مجموعة النقط Mهي سطح كرة قطرها ]'[GG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
𝐴𝑀(3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 +
𝐴𝑀() 𝐶𝑀
𝑀𝐵 ) = 0 ⇒ 3𝑀𝐺′
𝐵𝐴 = 0 ⇒ 𝑀𝐺′
𝐴𝐵 = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
مجموعة النقط Mهي المستوي الذي يشمل ' Gو يعامد AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝐵𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝐺𝑀( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )² +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑀𝐴² + 𝑀𝐵² + 𝑀𝐶² = 30
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴² +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 ² +
𝐺𝑀( ; 𝑀𝐶 ² = 30
𝐺𝑀( 𝐺𝐴)² +
𝐺𝐶 )² = 30
𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +
𝐵𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +
𝐴𝐺( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝐺𝑀3
𝐺𝑀𝐺𝐶 2 + 2
𝐺𝐶 ) = 30
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = 30 −
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
𝐺𝑀3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐴2 −
𝐶𝐺 𝐺𝐵 2 −
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐺 ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = 10
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = 5
𝐵𝐺 ; 𝐺𝐴2 = 3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ² = 4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3
𝐺𝑀 ⇒ 𝑀𝐺 ² = 12
مجموعة النقط Mهي سطح كرة مركزها Gو نصف قطرها 2