Statique des solides indéformables LEFI ABDELLAOUI: INGÉNIEUR DOCTEUR AGRÉGÉ EN GÉNIE MÉCANIQUE IPEIB 2020 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, BLOG: http://lefiabdellaoui.wordpress.com Exercice 1: Système de serrage 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 1: Système de serrage 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 1: Système de serrage ▪ Le système est au repos, ▪ L’action mécanique de l’écrou 5 sur la bride 3 au point D est donnée par le torseur suivant : −𝑆𝑥Ԧ 𝐹 5→3 𝐷= 0 𝑥,𝑦, Ԧ 𝑧Ԧ ▪ Au repos, le système est en équilibre par rapport au repère 𝑅 𝑂, 𝑥, Ԧ 𝑦, Ԧ 𝑧Ԧ supposé Galiléen ; ▪ L’action de la pesanteur est négligée ; ▪ Les liaisons sont supposées parfaites. 𝑨𝑰 = 𝑳𝒙 + 𝒉𝒚, 𝑩𝑱 = −𝑳𝒙 + 𝒉𝒚, 𝑨𝑪 = 𝑩𝑫 = 𝒅𝒙 + 𝑯𝒚 avec 𝑳, 𝒅, 𝑯 𝒆𝒕 𝒉 sont des constantes positives. 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 1. Graphe de liaisons 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 2. Torseur statique 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 1. Torseur statique 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 1. Torseur statique 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 1. Torseur statique 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 1. Torseur statique 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 1. Torseur statique 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 1. Torseur statique 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 1. Torseur statique 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 1. Torseurs statiques 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Remarques Le nombre d’inconnues statiques (inconnues des torseurs d’action mécanique des liaisons) est égal à 28 inconnues ; Pour trouver ces inconnues on a besoin de 28 équations indépendantes déduites à partir du principe fondamental de la statique appliqué sur les pièces (1, 2, 3, 4 et 5). En appliquant le principe fondamental de la statique sur les cinq pièces on aura 30 équations à voir si elles sont indépendantes. 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Remarques Comme donnée du problème, on a le torseur d’action mécanique de l’écrou 5 sur la bride 3 au point D qui est l’opposée du torseur d’action mécanique de la liaison L35. par conséquent on aura le système d’équations suivant : X 35 = S Y35 = 0 Z =0 35 Les inconnues sont : 29/05/2020 Y21 et Y31 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 3. Ecrire les équations qui découlent du théorème de la résultante statique appliqué sur l’ensemble (4 et 5). 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 4. Ecrire les équations qui découlent du théorème du moment statique appliqué au point 𝐴 sur la bride 2 et déduire l’action de la bride 2 sur la pièce 1. 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 4. Ecrire les équations qui découlent du théorème du moment statique appliqué au point 𝐴 sur la bride 2 et déduire l’action de la bride 2 sur la pièce 1. 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 4. Ecrire les équations qui découlent du théorème du moment statique appliqué au point 𝐴 sur la bride 2 et déduire l’action de la bride 2 sur la pièce 1. 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 4. Ecrire les équations qui découlent du théorème du moment statique appliqué au point 𝐴 sur la bride 2 et déduire l’action de la bride 2 sur la pièce 1. 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 4. Ecrire les équations qui découlent du théorème du moment statique appliqué au point 𝐵 sur la bride 3 et déduire l’action de la bride 3 sur la pièce 1. De meme on trouve: 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 4: Passerelle télescopique (CNIM2017) 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 4: Passerelle télescopique (CNIM2017) 𝑧Ԧ0 𝑧Ԧ2 𝑦Ԧ0 𝛽 𝑶 𝟎 𝑺 𝑮 𝑧Ԧ2 ⊙ 𝑦Ԧ2 𝟒 𝑥Ԧ0 𝟔 𝑆𝑜𝑙 𝑩 𝑦Ԧ0 𝑰𝑭 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 4: Passerelle télescopique (CNIM2017) • • • L’angle 𝛼=constante=0°. La passerelle est supposée en équilibre. Dans cette configuration, l’ensemble des deux couloirs (2) et (3) forment un seul solide 𝑆 de masse 𝑀 et de centre d’inertie 𝐺 tel que 𝑂𝐺 = 𝑦𝐺 𝑦Ԧ2 . Le couloir (2) est supposé de masse 𝑚2 et de centre 𝑧Ԧ0 𝑧Ԧ2 𝑶 𝟎 d’inertie 𝐺2 tel que 𝑂𝐺2 = 𝑦2 𝑦Ԧ2 alors que le couloir (3) est supposé de masse 𝑚3 et de centre d’inertie 𝐺3 • 𝑦Ԧ0 𝛽 = L’accélération de la pesanteur est donnée par 𝑔Ԧ = −𝑔𝑧Ԧ0 • On donne : 𝑂𝐵 = 𝑏𝑦Ԧ2 − 𝑎𝑧Ԧ2 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 𝑦Ԧ2 𝟒 𝟔 𝑆𝑜𝑙 𝑩 𝑦Ԧ0 𝐵 • 29/05/2020 𝑧Ԧ2 𝑥Ԧ0 𝐹 𝑧Ԧ2 0 𝑮 ⊙ tel que 𝑂𝐺3 = 𝑦3 𝑦Ԧ2 . Le système du pont élévateur (4) exerce sur l’ensemble 𝑆 une action mécanique représentée par le torseur suivant : 𝐹 4 → 𝑆 𝑺 𝑰𝑭 1. Exprimer 𝑦𝐺 , position du centre d’inertie de l’ensemble 𝑆 formé par les couloirs (2) et (3), en fonction de 𝑚2, 𝑚3, 𝑦2 et 𝑦3. Dans cette configuration, l’ensemble des deux couloirs (2) et (3) forment un seul solide 𝑆 de masse 𝑀 et de centre d’inertie 𝐺 tel que 𝑂𝐺 = 𝑦𝐺 𝑦Ԧ2 . Le couloir (2) est supposé de masse 𝑚2 et de centre d’inertie 𝐺2 tel que 𝑂𝐺2 = 𝑦2 𝑦Ԧ2 alors que le couloir (3) est supposé de masse 𝑚3 et de 𝑂𝐺 = 𝑦𝐺 = centre d’inertie 𝐺3 tel que 𝑂𝐺3 = 𝑦3 𝑦Ԧ2 . 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 1 σ𝑖 𝑚𝑖 σ𝑖 𝑚𝑖 𝑚2 𝑦2 +𝑚3 𝑦3 𝑚2 +𝑚3 𝑂𝐺𝑖 2. Dans la suite de cette partie, on termine les calculs avec 𝒚𝑮. Déterminer, au point 𝑂 et dans la base du repère 𝑅0 , le torseur d’actions mécaniques extérieures à l’ensemble 𝑆. 𝑧Ԧ0 𝑧Ԧ2 ഥ 𝑺 = 𝟎, 𝟒, 𝒈 𝑭 𝟎→𝑺 𝑦Ԧ0 𝛽 𝑶 = 𝑶 𝑿 𝟎 𝒀𝑴 𝒁 𝑵 𝟎 𝑺 𝑮 𝑧Ԧ2 ⊙ 𝑦Ԧ2 𝟒 𝑥Ԧ0 𝑹𝟎 𝟔 𝓜𝑶 𝟒 → 𝑺 = 𝓜𝑩 𝟒 → 𝑺 + 𝓡 𝟒 → 𝑺 ∧ 𝑩𝑶 = 𝑭𝒛𝟐 ∧ 𝒂𝒛𝟐 − 𝒃𝒚𝟐 = 𝒃𝑭𝒙𝟎 𝑭 𝟒→𝑺 = 𝑶 29/05/2020 𝟎 𝒃𝑭 𝑭𝒔𝒊𝒏 𝜷 𝟎 𝑭𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝟎 𝑆𝑜𝑙 𝑩 𝑦Ԧ0 𝑰𝑭 𝑹𝟎 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 2. Dans la suite de cette partie, on termine les calculs avec 𝒚𝑮. Déterminer, au point 𝑂 et dans la base du repère 𝑅0 , le torseur d’actions mécaniques extérieures à l’ensemble 𝑆. 𝑧Ԧ0 𝑧Ԧ2 𝑦Ԧ0 𝛽 𝑶 𝟎 𝑧Ԧ2 ⊙ = 𝑶 𝟎 −𝑴𝒈𝒚𝑮 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝟎 𝟎 −𝑴𝒈 𝟎 𝟔 𝑆𝑜𝑙 𝑹𝟎 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 𝑦Ԧ2 𝟒 𝓜𝑶 𝒈 → 𝑺 = 𝑶𝑮 ∧ 𝑴𝒈 = 𝒚𝑮 𝒚𝟐 ∧ −𝑴𝒈𝒛𝟎 = −𝑴𝒈𝒚𝑮 𝒄𝒐𝒔 𝜷 𝒙𝟎 29/05/2020 𝑮 𝑥Ԧ0 ഥ 𝑺 = 𝟎, 𝟒, 𝒈 𝑭 𝟒→𝑺 𝑺 𝑩 𝑦Ԧ0 𝑰𝑭 2. Dans la suite de cette partie, on termine les calculs avec 𝒚𝑮. Déterminer, au point 𝑂 et dans la base du repère 𝑅0 , le torseur d’actions mécaniques extérieures à l’ensemble 𝑆. 𝑧Ԧ0 𝑧Ԧ2 𝑦Ԧ0 𝛽 𝑶 𝟎 𝑺 𝑮 𝑧Ԧ2 ⊙ 𝑦Ԧ2 𝟒 𝑥Ԧ0 𝟔 . 𝑭 ഥ 𝑺→𝑺 = 𝑶 ……𝑿……… … 𝒃𝑭 − 𝑴𝒈𝒚𝑮 𝒄𝒐𝒔𝜷 … … … 𝒀 + 𝑭𝒔𝒊𝒏 𝜷 … … … ……𝑴…… … … 𝒁 + 𝑭𝒄𝒐𝒔 𝜷 − 𝑴𝒈 … … ……𝑵……… 𝑆𝑜𝑙 𝑹𝟎 𝑩 𝑦Ԧ0 𝑰𝑭 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 2. En appliquant le théorème du moment statique au point 𝑂 en projection sur l’axe 𝑥Ԧ0, Montrer que l’effort 𝐹 qu’exerce (4) sur 𝑆 est 𝑀𝑔𝑦𝐺 cos 𝛽 donné par : 𝐹 = . 𝑏 𝑧Ԧ0 𝑧Ԧ2 𝑦Ԧ0 𝛽 𝑶 𝟎 𝒙𝟎 . 𝓜𝟎 𝑺ത → 𝑺 = 𝟎 𝑧Ԧ2 𝟔 𝑆𝑜𝑙 𝑩 𝑦Ԧ0 𝑰𝑭 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 𝑦Ԧ2 𝟒 𝑥Ԧ0 𝑴𝒈𝒚𝑮 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝒃 29/05/2020 𝑮 ⊙ 𝒃𝑭 − 𝑴𝒈𝒚𝑮 𝒄𝒐𝒔𝜷 = 𝟎 𝑭= 𝑺 3. En appliquant le théorème du moment statique au point 𝑂 en projection sur l’axe 𝑥Ԧ0, Montrer que l’effort 𝐹 qu’exerce (4) sur 𝑆 est 𝑀𝑔𝑦𝐺 cos 𝛽 donné par : 𝐹 = . 𝑏 𝑧Ԧ0 𝑧Ԧ2 𝑦Ԧ0 𝛽 𝑶 𝟎 𝒙𝟎 . 𝓜𝟎 𝑺ത → 𝑺 = 𝟎 𝑧Ԧ2 𝟔 𝑆𝑜𝑙 𝑩 𝑦Ԧ0 𝑰𝑭 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 𝑦Ԧ2 𝟒 𝑥Ԧ0 𝑴𝒈𝒚𝑮 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝒃 29/05/2020 𝑮 ⊙ 𝒃𝑭 − 𝑴𝒈𝒚𝑮 𝒄𝒐𝒔𝜷 = 𝟎 𝑭= 𝑺 4. D’après le cahier des charges, la charge maximale admissible par l’essieu de la passerelle est de 70tonnes. Est-ce que cette condition est respectée sachant que 𝑀 = 60. 103 𝐾𝑔, 𝑔 = 10𝑚𝑠−2 , 𝑦𝐺 = 10𝑚, 𝑏 = 15𝑚 𝑒𝑡 cos 𝛽 ≈ 1. 𝑧Ԧ0 𝑧Ԧ2 𝑦Ԧ0 𝛽 𝑶 𝟎 𝑺 𝑮 𝑧Ԧ2 ⊙ 𝟒 𝑥Ԧ0 𝑭= 𝑴𝒈𝒚𝑮 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝒃 = 𝟔𝟎.𝟏𝟎𝟑 ×𝟏𝟎×𝟏𝟎 𝟏𝟓 = 𝟒. 𝟏𝟎𝟓 𝑵 Le cahier des charges est respecté 29/05/2020 𝟔 = 𝟒𝟎𝒕𝒐𝒏𝒏𝒆𝒔 𝑭 = 𝟒𝟎𝒕𝒐𝒏𝒏𝒆𝒔 < 𝟕𝟎𝒕𝒐𝒏𝒏𝒆𝒔 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM 𝑦Ԧ2 𝑆𝑜𝑙 𝑩 𝑦Ԧ0 𝑰𝑭 Exercice 2: Echelle mobile 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 2: Echelle mobile 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 2: Echelle mobile 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 2: Echelle mobile 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 2: Echelle mobile 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 2: Echelle mobile 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 2: Echelle mobile 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 3: Bouche de climatisation 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 3: Bouche de climatisation 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 3: Bouche de climatisation 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 3: Bouche de climatisation 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 3: Bouche de climatisation 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Exercice 3: Bouche de climatisation 𝐹 1ത → 1 𝑋𝐴 + 𝑋𝑂 + 𝑋21 cos 𝛼 + 𝐹𝑎 + 𝑀𝑔 𝑌𝐴 = 𝑍𝐴 + 𝑍𝑂 + 𝑋21 sin 𝛼 𝑋21 29/05/2020 −2𝑎𝑍𝑂 + 𝑐𝑋21 sin 𝛼 𝑑𝑋21 cos 𝛼 − 𝑓𝐹𝑎 − 𝑀ℎ𝑔 2𝑎𝑋𝑂 − 𝑐𝑋21 sin 𝛼 + 𝑎𝐹𝑎 + 𝑀𝑎𝑔 𝑓𝐹𝑎 + 𝑀ℎ𝑔 = 𝑑 cos 𝛼 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, EMAIL: [email protected], BLOG: HTTP://LEFIABDELLAOUI.WORDPRESS.COM Merci pour votre attention 29/05/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, BLOG: http://lefiabdellaoui.wordpress.com
