Musique et Mathématiques

MUSIQUE
ET
MATHEMATIQUES
La musique est un exercice caché d'arithmétique
tel que l'esprit ignore qu'il compte (Leibnitz, 1712)
T.E.R. proposé par Christian MAUDUIT
et réalisé par Carine PASCAL et Nathalie TOMAS
Faculté des Sciences de Luminy, Université de la Méditerranée
Année universitaire 1999 - 2000

© 2000 – Carine PASCAL & Nathalie TOMAS
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En 1712, Leibnitz (1646 – 1716) écrivait :
De même qu’on a coutume de dire que les primitifs - en arithmétique - sont
incapables de compter au delà de trois, de même nos oreilles civilisées ne saisissent - en
musique - que des rapports tirés des nombres 1,2,3 et 5 ; si elles étaient mieux exercées, elles
seraient en mesure d’aller jusqu’à 7.
Peut être y parviendront-elles un jour?
Mais en revanche, il y a peu de chances que l’homme puisse jamais accéder
aux nombres 11 et13. Il faut donc penser que la raison des consonances réside dans l’accord
des mouvements vibratoires. La musique est un exercice caché d’arithmétique tel
que l’esprit ignore qu’il compte. Cette ignorance provient du fait qu’il y a, dans les
perceptions confuses ou non sensibles, quelque chose qu’on ne peut saisir distinctement.
Il est faux de prétendre qu’il n’y a rien dans l’âme que la conscience ne
connaisse ; l’âme, lors même qu’elle ne sent pas qu’elle compte, éprouve néanmoins le
résultat de son calcul secret: soit qu’elle se délecte aux consonances, soit qu’elle subisse la
blessure des dissonances, ce qu’elle ressent résulte des rapports numériques.
De même, au XVIIIème siècle, Euler (1707 – 1783) définissait la musique
comme la science de combiner les sons de manière qu’il en résulte une harmonie agréable et
il ajoutait que toute perfection fait naître le plaisir et que les choses dans lesquelles nous
découvrons un manque de perfection ou une imperfection nous déplaisent.
Mais cette conception d’art de l’harmonie remonte en fait à l’Antiquité. En
effet, Pythagore (VIème siècle av. J.C.) en a été l’initiateur, et nombreux sont ceux qui, au fil
des siècles, ont repris et discuté cette notion. On retrouve notamment Zarlino au XVIème siècle
et, bien évidemment, Euler.
A partir de là, il est clair qu’il existe un lien étroit entre la musique et les
mathématiques. En nous appuyant sur leurs études musicales, et en y rattachant divers
résultats mathématiques, nous nous proposons de vous en convaincre.

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I – INTRODUCTION
MUSICALE ET MATHEMATIQUE
1 – Introduction mathématique
a) Les fractions continues…………………………………………………….
Définition
Premiers résultats
b) L’algorithme des fractions continues……………………………………...
Construction
Conséquence
Le cas particulier des logarithmes
c) Propriétés…………………………………………………………………..
2 – Introduction musicale
a) Un petit peu de physique…………………………………………………..
b) Les intervalles……………………………………………………………..
Définition
Notations – Exemples
Propriétés fondamentales
c) La consonance……………………………………………………………..
Définition
Observations
Conclusion
d) Les notes…………………………………………………………………..
Définition
Propriétés fondamentales
Notations
e) Les gammes………………………………………………………………..
Définition
La portée
f) Le tempérament…………………………………………………………….
II – LES GAMMES PYTHAGORICIENNES
1 – Le cycle des quintes ?
a) Le cycle des quintes ascendantes………………………………………….
b) Le cycle des quintes descendantes………………………………………...
c) Le cycle alterné des quintes……………………………………………….
2 – La spirale des quintes !
a) Enoncé du problème………………………………………………………..
b) La solution du musicien……………………………………………………
La gamme diatonique de Pythagore
Généralités
p. 5
p. 6
p. 8
p. 11
p. 11
p. 13
p. 14
p. 16
p. 16
p. 18
p. 20
p. 20
p. 21
p. 22

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c) La solution du mathématicien ……………………………………………..
Minimisation de l’erreur d’approximation
Des quintes ascendantes ou descendantes ?
La notion de comma
Construction d’un groupe quotient
Recherche de représentants de plus petite hauteur
3 – Les gammes de Pythagore
a) Les premières gammes…………………………………………………….
b) La gamme pentatonique…………………………………………………...
c) La gamme chromatique de Pythagore……………………………………..
d) La gamme de Janko……………………………………………………….
e) La gamme de Mercator……………………………………………………
III – LES GAMMES ZARLINIENNES
1 – Une succession d’accords parfaits majeur…
a) L’Accord Parfait Majeur…………………………………………………...
b) Une succession alternée d’accords…………………………………………
Définition
Contrainte
2 – … pour une amélioration qualitative ou quantitative des
gammes pythagoriciennes
a) Enoncé du problème………………………………………………………..
b) La solution du musicien …………………………………………………...
Généralités
Amélioration de la gamme diatonique de Pythagore
c) La solution du mathématicien……………………………………………..
La notion de comma
Construction d’un groupe quotient
Recherche des représentants de plus petite hauteur
3 – Les gammes de Zarlino
a) Amélioration des premières gammes de Pythagore………………………..
b) Amélioration de la gamme pentatonique…………………………………..
c) Amélioration de la gamme chromatique…………………………………...
p. 26
p. 35
p. 36
p. 37
p. 40
p. 40
p. 42
p. 42
p. 44
p. 44
p. 46
p. 52
p. 55
p. 57