Relations dans le triangle

COURS DE MATHEMATIQUES
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Trigonom´etrie
Relations dans le triangle
Ce cours porte exclusivement sur les principales relations qui peuvent ˆetre
´etablies dans le triangle.
1 L’id´ee g´en´erale
Ethymologiquement, la trigonom´etrie s’emploie `a mesurer les angles d’un
triangle. Le cercle trigonom´etrique a pour centre (O) un des sommets du
triangle consid´er´e, et pour rayon un des deux cˆot´es issus de O. Le troisi`eme
sommet du triangle est alors n’importe quel point du cercle trigonom´etrique.
Sur la base de cette construction, la trigonom´etrie d´efinit des fonctions et
des formules qui permettent de d´eterminer entre autres la mesure des angles
du triangle consid´er´e.
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2 La th´eorie
2.1 L’aire d’un triangle quelconque
Soit ABC un triangle quelconque.
Soient ˆ Al’angle en A,ˆ Bl’angle en Bet ˆ Cl’angle en C.
La surface Sdu triangle ABC est donn´ee par la relation suivante :
S=1
2AB AC sin ˆ
A
2.2 L’´egalit´e des rapports
Soit ABC un triangle quelconque non plat.
Soient ˆ Al’angle en A,ˆ Bl’angle en Bet ˆ Cl’angle en C.
La relation d’´egalit´e des rapports entre cˆot´es et sinus des angles s’´ecrit :
AB
sin ˆ C=BC sin ˆ A=CA sin ˆ B
2.3 La r´esolution d’un triangle quelconque
Soit ABC un triangle quelconque.
Soient ˆ Al’angle en A,ˆ Bl’angle en Bet ˆ Cl’angle en C.
La r´esolution du triangle ABC est donn´ee par la relation suivante :
BC2=AB2+AC2−2AB AC cos ˆ A
3 Par cœur
Toutes les formules doivent ˆetre connues par cœur.
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4 Exercices pratiques
4.1 Exercice 1
Soit ABC un triangle d´efini par AB = 2, BC = 1, et ˆ B=π
3.
D´eterminer la longueur AC et les angles ˆ Aet ˆ C.
La r´esolution d’un triangle quelconque permet d’´ecrire :
AC2=AB2+BC2−2AB BC cos ˆ B
AC2= 22+ 12−2×2×1×cos π
3= 4 + 1 −4×1 2= 3
AC =√3
L’´egalit´e des rapports permet d’´ecrire :
AC
sin ˆ B=BC sin ˆ A
sin ˆ A=BC
AC sin ˆ
B
sin ˆ A=1
√3sin π
3=1
√3
√3
2=1 2
ˆ
A=π
6
La somme des angles d’un triangle quelconque permet d’´ecrire :
ˆ
A+ˆ B+ˆ C=π
ˆ
C=π−ˆ A−ˆ B
ˆ
C=π−π
6−π 3=6π 6−π 6−2π 6=π 2
3

4.2 Exercice 2
Soit ABC un triangle d´efini par AB = 2, BC =√2, et AC =√2.
D´eterminer la mesure en radians des angles ˆ A,ˆ Bet ˆ C.
La r´esolution d’un triangle quelconque permet d’´ecrire :
BC2=AB2+AC2−2AB AC cos ˆ A
cos ˆ A=BC2−AB2−AC2
−2AB AC =AB2+AC2−BC2 2AB AC
cos ˆ A=22+√22
−√22
2×2×√2=4 4√2=√2
2
ˆ
A=π
4
L’´egalit´e des rapports permet d’´ecrire :
AC
sin ˆ B=BC sin ˆ A
sin ˆ B=AC
BC sin ˆ
A
sin ˆ B=√2
√2sin π
4
ˆ
B=π
4
La somme des angles d’un triangle quelconque permet d’´ecrire :
ˆ
A+ˆ B+ˆ C=π
ˆ
C=π−ˆ A−ˆ B
ˆ
C=π−π
4−π 4=π 2
4

4.3 Exercice 3
Soit un terrain ABCD comptant quatre cˆot´es droits, d´efini par ses diago-
nales AC = 40 m`etres et BD = 20 m`etres, et par l’angle α= (
\
~
AC;~ BD) = π
6.
D´eterminer la surface Sdu terrain ABCD.
Soit Ol’intersection des diagonales AC et BD. L’aire des triangles AOD
et BOC est donn´ee par la relation suivante :
SAOD =1
2OA OD sin αet SBOC =1 2OB OC sin α
L’angle compl´ementaire de αest l’angle π−α, ce qui permet d’´ecrire :
SAOB =1
2OA OB sin(π−α) et SCOD =1 2OC OD sin(π−α)
SAOB =1
2OA OB sin αet SC OD =1 2OC OD sin α
Or, Sest la somme des surfaces SAOD,SBOC ,SAOB et SCOD, donc on obtient :
S=1
2OA OD sin α+1 2OB OC sin α+1 2OA OB sin α+1 2OC OD sin α
S=1
2sin α(OA OD +OB OC +OA OB +OC OD)
S=1
2sin α[OA(OB +OD) + OC(OB +OD)]
S=1
2sin α(OA BD +OC BD)
S=1
2sin αBD(OA +OC)
S=1
2sin αAC BD
S=1
2×1 2×40 ×20 = 200
La surface du terrain est donc S= 200 m`etres carr´es.
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