Relations dans le triangle

COURS DE MATHEMATIQUES
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Trigonométrie
Relations dans le triangle
Ce cours porte exclusivement sur les principales relations qui peuvent être
établies dans le triangle.
1
L’idée générale
Ethymologiquement, la trigonométrie s’emploie à mesurer les angles d’un
triangle. Le cercle trigonométrique a pour centre (O) un des sommets du
triangle considéré, et pour rayon un des deux côtés issus de O. Le troisième
sommet du triangle est alors n’importe quel point du cercle trigonométrique.
Sur la base de cette construction, la trigonométrie définit des fonctions et
des formules qui permettent de déterminer entre autres la mesure des angles
du triangle considéré.
1
2
La théorie
2.1
L’aire d’un triangle quelconque
Soit ABC un triangle quelconque.
Soient  l’angle en A, B̂ l’angle en B et Ĉ l’angle en C.
La surface S du triangle ABC est donnée par la relation suivante :
1
S = AB AC sin Â
2
2.2
L’égalité des rapports
Soit ABC un triangle quelconque non plat.
Soient  l’angle en A, B̂ l’angle en B et Ĉ l’angle en C.
La relation d’égalité des rapports entre côtés et sinus des angles s’écrit :
AB
sin Ĉ
2.3
=
BC
sin Â
=
CA
sin B̂
La résolution d’un triangle quelconque
Soit ABC un triangle quelconque.
Soient  l’angle en A, B̂ l’angle en B et Ĉ l’angle en C.
La résolution du triangle ABC est donnée par la relation suivante :
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB AC cos Â
3
Par cœur
Toutes les formules doivent être connues par cœur.
2
4
Exercices pratiques
4.1
Exercice 1
Soit ABC un triangle défini par AB = 2, BC = 1, et B̂ =
π
.
3
Déterminer la longueur AC et les angles  et Ĉ.
La résolution d’un triangle quelconque permet d’écrire :
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2AB BC cos B̂
π
1
AC 2 = 22 + 12 − 2 × 2 × 1 × cos = 4 + 1 − 4 × = 3
2
√ 3
AC = 3
L’égalité des rapports permet d’écrire :
AC
=
BC
sin B̂
sin Â
BC
sin B̂
sin  =
AC
√
1
1 3
1
π
sin  = √ sin = √
=
3
2
3
3 2
π
 =
6
La somme des angles d’un triangle quelconque permet d’écrire :
 + B̂ + Ĉ = π
Ĉ = π − Â − B̂
6π π 2π
π
π π
− −
=
Ĉ = π − − =
6
3
6
6
6
2
3
4.2
Exercice 2
√
√
Soit ABC un triangle défini par AB = 2, BC = 2, et AC = 2.
Déterminer la mesure en radians des angles Â, B̂ et Ĉ.
La résolution d’un triangle quelconque permet d’écrire :
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB AC cos Â
AB 2 + AC 2 − BC 2
BC 2 − AB 2 − AC 2
=
cos  =
−2AB √
AC √
2AB √
AC
2
2
2
2 + 2 − 2
4
2
√
cos  =
= √ =
2
2×2× 2
4 2
π
 =
4
L’égalité des rapports permet d’écrire :
AC
=
BC
sin B̂
sin Â
AC
sin B̂ =
sin Â
BC
√
2
π
sin B̂ = √ sin
4
2
π
B̂ =
4
La somme des angles d’un triangle quelconque permet d’écrire :
 + B̂ + Ĉ = π
Ĉ = π − Â − B̂
π π
π
Ĉ = π − − =
4
4
2
4
4.3
Exercice 3
Soit un terrain ABCD comptant quatre côtés droits, défini par ses diago~\
~ = π.
nales AC = 40 mètres et BD = 20 mètres, et par l’angle α = (AC;
BD)
6
Déterminer la surface S du terrain ABCD.
Soit O l’intersection des diagonales AC et BD. L’aire des triangles AOD
et BOC est donnée par la relation suivante :
1
1
SAOD = OA OD sin α et SBOC = OB OC sin α
2
2
L’angle complémentaire de α est l’angle π − α, ce qui permet d’écrire :
1
1
SAOB = OA OB sin(π − α) et SCOD = OC OD sin(π − α)
2
2
1
1
SAOB = OA OB sin α et SCOD = OC OD sin α
2
2
Or, S est la somme des surfaces SAOD , SBOC , SAOB et SCOD , donc on obtient :
1
1
1
1
S = OA OD sin α + OB OC sin α + OA OB sin α + OC OD sin α
2
2
2
2
1
S = sin α(OA OD + OB OC + OA OB + OC OD)
2
1
S = sin α[OA(OB + OD) + OC(OB + OD)]
2
1
S = sin α(OA BD + OC BD)
2
1
S = sin αBD(OA + OC)
2
1
S = sin αAC BD
2
1 1
S = × × 40 × 20 = 200
2 2
La surface du terrain est donc S = 200 mètres carrés.
5
4.4
Exercice 4
Deux bouées A et B, distantes de 50 mètres forment respectivement avec
le haut d’une falaise des angles de α = 26,5o et β = 45o .
H
A
26,5
50 m
45
B
O
Déterminer la hauteur OH de la falaise.
On se place d’abord dans le triangle AOH, on peut alors écrire :
AH sin α = OH et AH cos α = AO = AB + BO
AH sin α
OH
=
AH cos α
AB + BO
OH
tan α =
AB + BO
OH = (AB + BO) tan α
6
On se place maintenant dans le triangle BOH, on peut écrire de même :
AH sin β = OH et AH cos β = BO
AH sin β
OH
=
AH cos β
BO
OH
tan β =
BO
OH
BO =
tan β
Par conséquent, en rassemblant les deux expressions, on obtient :
OH
OH = AB +
tan α
tan β
tan α
= AB tan α
OH 1 −
tan β
AB tan α
OH =
tan α
1−
tan β
1
1
50 ×
50 ×
50 tan 26,5
2 =
2 = 50
=
OH =
tan 26,5
1
1
1−
tan 45
2
1− 2
1
La hauteur OH de la falaise est donc de 50 mètres.
7