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PS20-2014A-FS01-01

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EXAMEN FINAL PS20 – A2014
mercredi 14 janvier 2014 – site de Sevenans
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NOM : ________________________
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Prénom : ________________________
Consignes
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
Durée : 2 heures
Aucun document admis – calculatrice admise
Les explications intermédiaires sont nécessaires.
Le candidat prendra le soin de référencer correctement les différents exercices.
 Exercice n°1 : QCM (4 points)
(+1 point par bonne réponse, ‐0,5 point par mauvaise réponse, 0 point pour absence de réponse)




  
Les vecteurs normés e1 , e2 et e3 constituent une base B ( e1 , e2 , e3 ) orthonormée directe si :
 Au moins deux des trois vecteurs sont perpendiculaires entre eux.




e1  e2 = e3





 En amenant e1 sur e2 en tournant dans le sens horaire, on obtient e3 .

 En amenant e1 sur e2 en tournant dans le sens trigonométrique, on obtient e3 .
 Aucune réponse n’est correcte.

Un mouvement est uniforme si :
 Sa vitesse est constante.
 Son vecteur vitesse est constant.
 Son vecteur accélération est constant.
 Son accélération est nulle.
 Aucune réponse n’est correcte.

L’énergie mécanique d’un système est définie comme :
 La dérivée de l’énergie potentielle du système.
 La somme de l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système.
 La dérivée de l’énergie cinétique du système.
 Constante quel que soit les forces appliquées au système.
 Aucune réponse n’est correcte.

Pour un oscillateur mécanique non amorti :
 L’énergie cinétique est constante.
 L’énergie potentielle est constante.
 L’énergie mécanique est constante.
 Les forces appliquées sur le système sont toutes conservatives.
 Aucune réponse n’est correcte.
 Exercice n°2 : repère cylindropolaire (2 points)
Q1) Démontrez, en détaillant les calculs et en partant de l'expression de la trajectoire, que l'accélération d'un point ayant une
  
trajectoire
quelconque
s'exprime,
dans
le
repère
 d2r
d 
dr d d2  
d2z 
a [
 r( )2 ]er  [2
r
]e  
ez
dt
dt dt
dt2
dt2
dt2
1
cylindropolaire
R
(O, er , e , ez ),
suivant
:
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 Exercice n°3 : trajectoire cartésienne (3 points)
  
Dans le repère cartésien R' (O, ex , e y , ez ), les équations paramétriques du mouvement d'un point sont données par :
x(t)  3  t2  1


2
y(t)  t  1
z(t)  0

Q1) Montrer que la trajectoire du point est rectiligne en calculant l'équation implicite y = f(x).
Q2) Déterminer le vecteur vitesse et le vecteur accélération, à tout instant t.
Q3) Quelle est l'expression de l'abscisse curviligne correspondante (en fonction du temps) ? A quel instant t le point aura‐t‐il
parcouru une distance de 15 m ?
 Exercice n°4 : trajectoire cylindropolaire (4 points)
  
Dans un repère cylindropolaire R (O, er , e , ez ), les coordonnées paramétrique d'un point varient de la manière suivante :
r=2
θ = 2t
z=0
Q1) Déterminer le vecteur vitesse et le vecteur accélération, en fonction du temps, dans le repère cylindropolaire.
Q2) Déterminer l'expression de l'accélération tangente et de l'accélération normale.
Q3) Déterminer l'expression de l'abscisse curviligne s(t) et du rayon de courbure ρ(t).
Q4) Représenter graphiquement la trajectoire.
  
Q5) Quelle est l'expression de cette trajectoire dans le repère cartésien R' (O, ex , e y , ez ) associé ?
 Exercice n°5 : projectile lancé verticalement (4 points)
Une masse ponctuelle m = 200 g est lancée vers le haut (verticalement) depuis un point initial A avec une vitesse initiale : VA = 10
m.s−1. Une force de frottement dans l'air s'oppose au mouvement de la masse ponctuelle avec une intensité constante : F = 0,50
N
Q1) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la masse ?
Q2) Quelle est la vitesse V'A atteinte par la masse lorsqu'elle repasse, à la descente, par le point de lancement ?
DONNEES) g = 10 m.s‐2
SUGGESTION) Orienter l'axe Oz verticalement vers le haut.
 Exercice n°6 : travail (3 points)
Un homme pesant 75 kg grimpe un escalier haut de 3 m en 5 s.
Q1) Calculer la puissance minimum dépensée.
Q2) Calculer l’énergie correspondante.
Sur une canette de soda d’une marque très célèbre est indiquée la quantité d’énergie qu'elle contient assimilable par
l’organisme : 150103 J.
Q3) Quelle hauteur doit monter l’homme pour "dépenser" cette énergie.
DONNEES) g = 10 m.s‐2
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L’énergie nécessaire pour monter l’escalier est de : E = mgh = 75.10.3 = 2250 J.
La puissance vaut : P = E/t = 2250/5 = 450 W.
La hauteur est donnée par : h = Ecanette / mg = 180 103/750 = 240 m. Si l’on admet qu’un étage
d’un immeuble mesure 2,40 m, cette hauteur correspond à 10 étages.
4) Un point matériel de masse m est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse
l’air est de la forme
; la résistance de
où K est une constante.
a) Quel est le temps mis pour atteindre l’altitude maximale
maximale.
b) Quelle est l’expression de la vitesse
a)

Soit
avec
? Donner l’expression de cette altitude
du point lorsqu’il repasse dans le plan
dans le mouvement linéaire ascendant.

Soit
avec
En intégrant, compte tenu des conditions aux limites, on obtient :
a)

Soit
avec
dans le mouvement linéaire ascendant.

3
?
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Soit
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avec
En intégrant, compte tenu des conditions aux limites, on obtient :
b) On reprend la méthodologie de la question a) en changeant le sens de l'axe vertical et en plaçant l'origine
au point maximal.
On obtient :

4
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