Chap3-RSL-20-21

Résolution des Systèmes Linéaires
N.Chaouachi
RIoT1
2020/2021
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1Définition d’un système linéaire
2Différents types de systèmes linéaires
3Résolution par la méthode de Cramer
4Résolution par l’inversion de la matrice du système
5Résolution par la méthode de Gauss
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Définition d’un système linéaire
Dans ce chapitre, nous allons étudier les systèmes d’équations linéaires.
Définition
Pour n,p∈N, un système linéaire (S)de néquations et pinconnues
x1,x2,...,xp∈Kest de la forme :
(S)
a11x1+a12x2+. . . +a1pxp=b1(←équation 1)
a21x1+a22x2+. . . +a2pxp=b2(←équation 2)
.
.
..
.
..
.
.=.
.
.
an1x1+an2x2+. . . +anpxp=bn(←équation n)
où, les coefficients aij et bi, pour i=1, ..., net j=1, ..., p, sont dans K.
Tout au long de ce chapitre, K=Rou C.
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Écriture matricielle
Considérons la matrice Ade nlignes et pcolonnes définie par :
A=
a11 a12 . . . a1j. . . a1p
a21 a22 . . . a2j. . . a2p
.
.
.. . . .
.
.. . . .
.
.. . .
ai1ai2. . . aij . . . aip
.
.
.. . . .
.
.. . . .
.
.. . .
an1an2. . . anj . . . anp
et les vecteurs
X=
x1
x2
.
.
.
xp
,b=
b1
b2
.
.
.
bn
.
Ainsi, notre système (S)peut s’écrire sous la forme matricielle AX =b.
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Aest appelé : la matrice du système,
Xest appelé : l’inconnue,
best appelé : le second membre du système.
Exemple :
Soit
(S)
x1+5x2−x3=1
x1+3x2+5x3=−1
2x1−x2+10x3=0
Sest un système de 3 équations à 3 inconnues, dont
La matrice du système est : A=
1 5 1
1 3 5
2−1 10
.
Le second membre du système est : b=
1
−1
0
.
Si on pose X=
x1
x2
x3
, le système (S)⇐⇒ AX =b.
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