Résolution des Systèmes Linéaires
N.Chaouachi
RIoT1
2020/2021
UVT (RIoT1)
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1
Définition d’un système linéaire
2
Différents types de systèmes linéaires
3
Résolution par la méthode de Cramer
4
Résolution par l’inversion de la matrice du système
5
Résolution par la méthode de Gauss
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Définition d’un système linéaire
Dans ce chapitre, nous allons étudier les systèmes d’équations linéaires.
Définition
Pour n, p ∈ N, un système linéaire (S) de n équations et p inconnues
x1 , x2 , . . . , xp ∈ K est de la forme :
(S)
a11 x1
a21 x1
..
.
a x
n1 1
+a12 x2 + . . .
+a22 x2 + . . .
..
.
+an2 x2 + . . .
+a1p xp = b1
+a2p xp = b2
..
.
.
= ..
+anp xp = bn
(← équation 1)
(← équation 2)
(← équation n)
où, les coefficients aij et bi , pour i = 1, ..., n et j = 1, ..., p, sont dans K.
Tout au long de ce chapitre, K = R ou C.
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Écriture matricielle
Considérons la matrice A de n lignes et p colonnes définie par :
a11 a12 . . .
a
21 a22 . . .
.
..
..
...
.
A=
ai1 ai2 . . .
..
..
.
.
...
an1 an2 . . .
et les vecteurs
a1j
a2j
...
aij
...
anj
...
...
..
.
a1p
a2p
...
aip
...
..
.
...
...
anp
x1
b1
x2
b2
X =
.. , b = .. .
.
.
xp
bn
Ainsi, notre système (S) peut s’écrire sous la forme matricielle AX = b.
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A est appelé : la matrice du système,
X est appelé : l’inconnue,
b est appelé : le second membre du système.
Exemple :
Soit
(S)
x1 + 5x2 − x3 = 1
x + 3x + 5x = −1
1
2
3
2x − x + 10x = 0
1
2
3
S est un système de 3 équations à 3 inconnues,
1 5
La matrice du système est : A = 1 3
2 −1
dont
1
5 .
10
1
Le second membre du système est : b = −1 .
0
x1
Si on pose X = x2 , le système (S) ⇐⇒ AX = b.
x3
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Différents types de systèmes linéaires
Un système linéaire qui n’a aucune solution est dit incompatible.
Un cas particulier important est celui des systèmes homogènes,
pour lesquels b1 = b2 = ... = bn = 0, c’est-à-dire dont le second
membre est nul. De tels systèmes sont toujours compatibles car ils
admettent toujours la solution triviale x1 = x2 = ... = xp = 0.
Deux systèmes linéaires sont dits équivalents s’ils ont le même
ensemble de solutions.
À partir de là, le jeu pour résoudre un système linéaire donné consistera à
le transformer en un système équivalent dont la résolution sera plus simple
que celle du système de départ.
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Théorème
Un système d’équations linéaires n’a
soit aucune solution,
soit une seule solution,
soit une infinité de solutions.
En particulier, si on trouve 2 solutions différentes à un système linéaire,
alors c’est qu’on peut en trouver une infinité !
Corollaire
Tout système homogène d’équations linéaires dont le nombre d’inconnues
est strictement plus grand que le nombre d’équations, a une infinité de
solutions.
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Exemple : Considérons le système homogène
(SH )
⇔
3x1
−x
1
2x1
x1
+ 3x2 − 2x3
− x2 + x3 + 3x4
+ 2x2 − x3 + 2x4
x3 + 8x4
+ x2
x3
x4
− x5
+ x5
+ 2x5
+ 4x5
=0
=0
=0
=0
+ 13x5 = 0
+ 20x5 = 0
− 2x5 = 0
On pose comme variables libres x2 et x5 pour avoir
x1 = −x2 − 13x5 , x3 = −20x5 , x4 = 2x5 ,
et l’ensemble des solutions est :
Sol(SH ) = {(−x2 − 13x5 , x2 , −20x5 , 2x5 , x5 )/x2 , x5 ∈ R}
qui est bien infini.
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Résolution par la méthode de Cramer
Résoudre un système de n équations linéaires à p inconnues revient à
déterminer l’ensemble des x1 , x2 , . . . , xp solutions de ce système.
Définition : Système de Cramer
Un système (S) d’équations linéaires équivalent à l’équation matricielle
AX = b est appelé un système de Cramer lorsque A est une matrice
carrée inversible.
Dans le cas d’un système de Cramer, le nombre d’équations est égal à
celui d’inconnues.
Proposition
Un système de Cramer admet une solution unique.
En effet, AX = b ⇔ X = A−1 b.
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Résolution par la méthode de Cramer
Théorème
La solution unique (x1 , x2 , . . . , xn ) d’un système de Cramer de n équations
à n inconnues est donnée par la formule, dite de Cramer, suivante :
xk =
det(Ak )
,
det(A)
pour tout k = 1, ..., n.
où Ak est la matrice obtenue à partir de A en remplaçant dans la matrice
A la k ème colonne par le vecteur colonne b.
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Exemple :
Considérons le système :
(S)
x1
+2x2 +x3 = 1
+3x2 −x3 = 4 ⇐⇒ AX = b,
+x2 −x3 = 2
2x
1
2x
1
1 2 1
1
où :
A = 2 3 −1 et b = 4 .
2 1 −1
2
On a det(A) = −11 6= 0. En utilisant la règle de Cramer, on obtient
x1 =
1 2 1
4 3 −1
2 1 −1
det(A)
= 0, x2 =
1 1 1
2 4 −1
2 2 −1
det(A)
= 1, x3 =
1 2 1
2 3 4
2 1 2
det(A)
= −1.
Enfin, la solution du système (S) est X = (0, 1, −1).
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Résolution par l’inversion de la matrice du système
Considérons l’équation matricielle AX = b d’un système de n équations
linéaires à n inconnues. Nous avons dit que si A est inversible alors le
système admet une unique solution : X = A−1 b. Il suffit donc de calculer
le produit X = A−1 b pour trouver cette solution.
Exemple :
Soit le système
(S)
x1
+2x2 +x3 = 2
x1 −x2
= −3 ⇐⇒ AX = b,
+5x2 −x3 = 3
avec
1 2
1
A = 1 −1 0 ,
0 5 −1
2
b = −3 .
3
On a det(A) = 8 6= 0 ⇒ A est inversible d’inverse :
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Résolution par l’inversion de la matrice du système
A−1
1 7
1
1
= 1 −1 1 .
8
5 −5 −3
Ainsi,
1 7
1
2 − 21 + 3
2
−2
1
1
−1
A b = 1 −1 1 −3 = 2 + 3 + 3 = 1 .
8
8
5 −5 −3
10 + 15 − 9
3
2
Enfin, la solution du système (S) est X = (−2, 1, 2).
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Opérations sur les lignes d’un système
L’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires ne change
pas :
si on permute deux lignes du système,
si on multiplie les membres d’une ligne par un même réel,
si on ajoute à une ligne, membre à membre, une combinaison linéaire
des autres lignes.
Principe de la méthode de Gauss :
La méthode du pivot de Gauss permet de trouver les solutions de
n’importe quel système linéaire. A partir des propriétés précédentes, cette
méthode consiste à transformer un système d’équations linéaires en un
système dont la matrice est triangulaire supérieure.
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Principe de la méthode de Gauss
Soit (S) un système de n équations linéaires et n inconnues :
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
(S) .
..
a x + a x + ··· + a x = b
n1 1
n2 2
nn n
n
← L1
← L2
← Ln
1er cas : si a11 6= 0
Ce terme est appelé : le pivot.
Pour i = 2, ..., n, on élimine ai1 de la ligne Li et ce, en multipliant les
i1
membres de la ligne L1 par aa11
puis en remplaçant la ligne Li par
ai1
Li − a11 L1 . Ainsi le système (S) sera formé de la ligne L1 et d’un nouveau
système (S1 ) de (n − 1) équations à (n − 1) inconnues x2 , x3 , ..., xn .
On refait le même travail pour le système (S1 ) jusqu’à l’obtention d’un
système dont la matrice est triangulaire supérieure.
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Principe de la méthode de Gauss
2ème cas : si a11 = 0
On choisira un autre pivot ai1 . On permutera les lignes L1 et Li et on
retrouvera le premier cas.
Remarques :
1
Si pour tout i ∈ {1, ..., n}, ai1 = 0, l’inconnue x1 n’apparaît pas dans
le système. On considère l’inconnue suivante x2 et on applique la
même méthode avec a21 .
2
Si au cours de la résolution nous rencontrons une équation de la
forme 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b avec b 6= 0, alors le système n’admet
pas de solutions.
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Exemple : Soit à résoudre le système
(S)
⇔
x1
2x
1
x
1
x1
⇔
x1
⇔
x1
−x2 +x3 = 0
+x2 −x3 = 1
+x2 +3x3 = 2
L1
L2
L3
−x2 +x3 = 0
+3x2 −3x3 = 1
+2x2 +2x3 = 2
L02 = L2 − 2L1
L03 = L3 − L1
−x2 +x3 = 0
3x2 −3x3 = 1
4x3
= 34
L”3 = L03 − 23 L02
x2
x3
=
=
=
1
3
2
3
1
3
Ainsi, la solution du système (S) est X = ( 13 , 32 , 31 ).
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