MECANIQUE du point MPSI

Mémo 1
ère
année - MECANIQUE page 1/8
Mémo 1
ère
année
MECANIQUE DU POINT MATERIEL
Cinématique du point matériel
 Repérage du point dans le plan :
a) Coordonnées cartésiennes
. .
x y
OM x u y u
= +
avec
2
( , )x y ∈
( ) . .
x y
dOM dx dy
v M u u
dt dt dt
= = +
2 2 2
2 2 2
( )
( ) . .
x y
dv M d OM d x d y
M u u
dt dt dt dt
γ = = = +
b) Coordonnées polaires
.
r
OM r u
=
avec r≥0 et 0 ≤ ≤ 2
( . )
( ) . .
r r
r
d r u du
dOM dr
v M u r
dt dt dt dt
= = = +
=
. . .
r
r u r u
θ
θ
• •
+
2
2
( )
( ) dv M
d OM
M
dt dt
γ = =
2
( . ). (2. . . ).
r
r r u r r u
θ
θ θ θ
•• • • • ••
= − + +
2
( . ).
r
r r u
θ
•• •
= −
2
( . )
1
).
d r
u
r dt
θ
θ
•
+
 Repérage du point dans l’espace :
a) Coordonnées cartésiennes
. . .
x y z
OM x u y u z u
= + +
avec
3
( , , )x y z ∈
( ) . . .
x y z
dOM dx dy dz
v M u u u
dt dt dt dt
= = + +
2 2 2 2
2 2 2 2
( )
( ) . . .
x y z
dv M
d OM d x d y d z
M u u u
dt dt dt dt dt
γ = = = + +
b) Coordonnées cylindriques
O
u
x
u
y
M
x
y
x + dx
y + dy M'
•
x
•
y
••
x
••
y
O
u
x
u
y
M
r
θ
M'
d
r
d
θ
u
r
u
θ
u
x
O
u
y
u
z
M
y
z
x
Mémo 1
ère
année - MECANIQUE page 2/8
. .
r z
OM r u z u
= +
avec r ≥ 0; 0 ≤ ≤ 2 et z
∈
.
( ) . . . .
r z
dOM
v M r u r u z u
dt
θ
θ
• • •
= = + +
2
2
( )
( ) dv M
d OM
M
dt dt
γ = =
2
( . ). (2. . . ).
r
r r u r r u
θ
θ θ θ
•• • • • ••
= − + +
.
z
z u
••
+
2
2( . )
1
( . ). ).
r
d r
r r u u
r dt
θ
θ
θ
•
•• •
= − +
.
z
z u
••
+
c) Coordonnées sphériques
.
r
OM r u
=
avec r ≥ 0 ; 0 ≤ θ ≤ et 0 ≤ φ ≤ 2π
( )
dOM
v t
dt
=
. . . .sin . .
r
r u r u r u
θ ϕ
θ θ ϕ
• • •
= + +
Dynamique du point matériel
 Notions de forces :
a) Interaction gravitationnelle
b) Poids
2 2
. . . .
. . .
t t
t
G m M G m M
P u u m g
r R
= − ≈ − =
où g est un vecteur constant, dirigé vers le centre de la terre. Il
correspond au champ de gravitation de la terre à sa surface.
c) Force de rappel élastique
u
ϕ
u
θ
r
u
M
m
O
θ
ϕ
r
z
x
y
u
ϕ
u
θ
r
u
M
m
O
θ
r
z
Dans le plan OMm
M
2
(m
2
)
M
1
(m
1
)
r
u
Surface de la terre
M(m)
P
u =
z
u
1 2
1/2 2
. .
.
G m m
F u
r
= −

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année - MECANIQUE page 3/8
0
.( ).
x
F k L L u
= − −
c) Réaction du support
réaction normale au support
n
R
;
réaction tangente au support
t
R
caractérisant les frottements solides entre
le système et le support.
d) Poussée d’Archimède
La résultante des forces de pression exercée par un fluide au repos sur un corps immergé est égale à
l’opposé du poids du volume de fluide déplacé.
On tire alors :
π
=
. .
fluide corps
V g
ρ −
On en déduit que le point d’application de la poussée d’Archimède se situe au niveau du barycentre du fluide
déplacé. Ce point c est appelé le centre de poussée.
e) Modélisation de la résistance de l’air : la traînée
On modélise la résistance du fluide sur le corps en mouvement par une action
traînée
F de direction opposée à la
vitesse du corps et d’intensité :
2
1
. . .
2
traînée fluide
F C S V
ρ =
Où : ρ
fluide
= masse volumique du fluide ( ρ
fluide
varie avec la température et la pression) ;
S = surface de référence ;
C = coefficient aérodynamique ;
V = Vitesse de déplacement du corps
f) Modélisation des frottements visqueux aux faibles vitesses
Pour les faibles vitesses, on utilise souvent la loi linéaire de frottement visqueux :
.
F hV
= −
Où h est un coefficient de frottement visqueux.
 Lois de Newton :
Première loi : le principe d’inertie
Le principe d’inertie proposé par Newton introduit l’idée d’une classe particulière de référentiels appelés référentiels
inertiels ou plus communément référentiels galiléens dans lesquels un corps isolé ou pseudo-isolé a un mouvement
rectiligne uniforme.
Deuxième loi : le principe fondamental de la dynamique
Dans un référentiel galiléen (
ℜ
),
tan . ( , )
F résul te des forces m M γ
= = ℜ
∑
Troisième loi : le principe des actions réciproques
M
1
21
MM
F→
12
MM
F→
M
2
1 2
M M
F
→
= -
2 1
M M
F
→
k, L
0
x
u
M(m)
n
R
t
R
tn
RRR +=
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ère
année - MECANIQUE page 4/8
Energie du point matériel
 Puissance d’une force
Puissance instantanée de la force
F
s’exerçant sur le point matériel M animé d’une vitesse
( , )
v M
ℜ
dans un
référentiel
ℜ
:
P =
. ( , )
F v M
ℜ
 Travail d’une force
Travail élémentaire : dW =
.
F dr
(P = . ( ) .
dr dW
F v M F
dt dt
= = )
Travail d’une force entre deux points A et B sur la courbe (C) :
( ) ( )
.
B B
A C A C
W dW F dr
= =
∫ ∫
Travail du poids W =
. .( )
B A
m g z z
− −
Travail de la force élastique W =
2 2
1
. .( )
2
B A
k x x
− −
 Energie cinétique
E
c
=
2
1
. . ( , )
2
m v M
ℜ
 Théorème de la puissance cinétique
( )
( )
( )
c
dW F
dE P F
dt dt
= =
 Théorème de l’énergie cinétique
∆ E
c
= E
c
(B) – E
c
(A) =
BA
W→
 Energie potentielle
Le travail d’une force conservative
F
ne dépend pas du chemin sur lequel on le calcule. Une force conservative
F
a la propriété de dériver d’une énergie potentielle E
p
, fonction des coordonnées décrivant la position du point
matériel.
On définit et on calcule l’énergie potentielle dont dérive la force conservative par la relation différentielle :
dE
p
= - dW
Energie potentielle de pesanteur :
( ) . .
p
E z m g z cste
= +
(avec
.
z
g g u
= −
)
Energie potentielle élastique :
( )
2
0
1
( ) . .
2
p
E z k L L cste
= − +
 Energie mécanique
E
m
= E
c
+ E
p
 Théorème de l’énergie mécanique
Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces non
conservatives : ∆ E
m
=
( )
j
j
W f
∑
 Conservation de l’énergie mécanique : intégrale première de l’énergie
Système qui n’est soumis qu’à des forces conservatives dans un référentiel galiléen
ℜ
(
0 ( ) 0
j i
f W f
= ⇒ =
).
⇔
dE
m
= 0
⇔
E
m
= cste

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Moment cinétique
 Moment d’une force par rapport à un point fixe O
Point matériel M sur lequel s’exerce la force
F
et un point O fixe.
( )
O
M F OM F
= ∧
 Moment d’une force par rapport à un axe fixe
Point matériel M sur lequel s’exerce la force
F
et un axe fixe et orienté, passant par le point O et de vecteur
directeur unitaire
u
∆
.
M (
F
) =
(
)
( ). .
O
M F u OM F u
∆ ∆
= ∧
=
.
d F
±
La distance d est appelée le bras de levier.
Le moment est positif si la force a tendance à faire tourner le point matériel dans le sens trigonométrique
autour de l’axe (voir figure ci-contre);
Le moment est négatif si la force a tendance à faire tourner le point matériel dans le sens rétrograde autour
de l’axe .
 Moment cinétique par rapport à un point fixe O
Point matériel M de masse m animé d’une vitesse
( , )
V M R
dans le référentiel R.
O point fixe dans R.
( , ) . ( , )
M R m OM V M R
σ = ∧
 Moment cinétique par rapport à un axe fixe
Point matériel M de masse m animé d’une vitesse
( , )
V M R
dans le référentiel R.
∆ axe fixe et orienté, passant par un point O et de vecteur directeur unitaire
u
∆
.
σ
Δ
(M,R) =
(
)
( , ). . ( , ) .
O
M R u m OM V M R u
σ
∆ ∆
= ∧
 Théorème du moment cinétique par rapport à un point fixe O
( , )
d M R
dt
σ
=
( )
O
M F OM F
= ∧
 Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe
( , ). d M R u
dt
σ
∆
=
( , ).d M R u
dt
σ
∆
=
( , )
d M R
dt
σ
∆
=
M (
F
) =
(
)
( ). .
O
M F u OM F u
∆ ∆
= ∧
Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives
 Force centrale
( ).
r
F F r e
=
avec
.
r
OM r e
=
Deux cas peuvent se présenter :
 F(r) > 0 : la force est répulsive ;
 F(r) < 0 : la force est attractive.
Les forces centrales sont des forces conservatives. On peut ainsi définir la fonction énergie potentielle associée E
p
définie par la relation :
dE
p
=-F(r).dr
 Force gravitationnelle entre deux masses
O
M
r
e r
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0
/2
. .
.
O M r
G m m
F e
r
= −
=
. ( )
m g M
Avec
0
2
.
( ) .
r
G m
g M e
r
= −
Energie potentielle :
0
. .
( )
p
G m m
E r r = −
+ cste (cste = 0 en choisissant l’origine des énergies potentielles pour
r
∞
→
)
 Force électrostatique entre deux charges
0
/2
0
.
.
4 .
O M r
q q
F e
r πε
= =
. ( )
q E M
Avec
0
2
0
( ) .
4 .
r
q
E M e
r πε
=
Cette force peut être attractive (si le produit des charges q
0
.q < 0) ou répulsive (si q
0
.q > 0).
Energie potentielle d’une charge q dans un champ électrostatique :
0
0
.
( ) 4
p
q q
E r
r
πε
= + cste
(cste = 0 en choisissant l’origine des énergies potentielles pour r
∞
→
)
 Conservation du moment cinétique
2.z
O
OM mV mr u cte
σ θ = ∧ = =
cste
0
≠
⇒ le mouvement est plan
cste = 0 ⇒ le mouvement est rectiligne
⇒ loi des aires :
22
dS
r C
dt
θ = = où C est la constante des aires.
 Conservation de l’énergie
Système conservatif
⇔
0 ( 0)
m
m m
dE E cste E t
dt
= ⇔ = = =
⇔
E
m
= E
c
+ E
p
=
2 2
2
1
. .( . )
2
m r r
θ
• •
+ +E
p
(r) =
2
2
2
1 1
. . . .
2 2
C
m r m
r
•
+ +E
p
(r)
On pose :E
peff
(r) =
2
2
1
. .
2
C
m
r
+ E
p
(r), l’énergie potentielle effective du point matériel.
 Champ de forces centrales newtonien
Force :
2
.
r
k
F e
r
= − (force attractive ⇔ k >0 ; force répulsive ⇔ k < 0)
Energie potentielle : ( )
p
k
E r
r
= −
 Etude graphique : états liés, états de diffusion
Prenons par exemple l’interaction colombienne entre deux charges q
0
et q concentrées en deux points O et M.
L’énergie potentielle effective s’écrit dans ce cas :
E
peff
(r) =
2
2
1
. .
2
C
m
r
+
0
0
.
4
q q
r
πε
M
(m)
O (m
0
)
r
r
e
M/O
F
M
(q)
O (q
0
)
r
r
e
M/O
F

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ère
année - MECANIQUE page 7/8
Deux situations peuvent alors se présenter.
1
er
cas : les deux charges sont de même signe (q
0
.q
> 0) et le mouvement est alors répulsif ;
2
nd
cas : les deux charges sont de charges opposées
(q
0
.q < 0) et le mouvement est alors attractif.
On trace la fonction E
peff
(r) pour ces deux
situations.
• cas du mouvement répulsif.
L’énergie potentielle effective est toujours positive. On en
déduit alors que l’énergie mécanique conservative du
système est une grandeur positive. Plaçons sur le
graphique précédent la valeur de l’énergie mécanique E
m
=
E
1
> 0. Comme le terme de l’énergie cinétique radiale
2
1
. . 0
2
m r
•
>
, le mouvement du point matériel ne peut alors
se faire qu’entre les positions r
min
, correspondant à
E
peff
(r
min
) = E
1
, et l’infini. Le mouvement est non borné :
on parle d’état de diffusion.
• cas du mouvement attractif : l’énergie mécanique du système peut être négative ou positive.
Pour E
m
> 0, on se retrouve dans les mêmes conditions que précédemment : le mouvement est non
borné. Il s’agit, là encore d’un état de diffusion.
Pour E
m
= E
2
< 0, on constate graphiquement
que le mouvement du point matériel est compris
entre les deux positions r
min
et r
max
caractérisées
par la relation : E
peff
(r) = E
2
. On parle alors
d’état lié.
Trajectoires dans un champ de force newtonien
Trajectoire circulaire
La trajectoire circulaire est caractérisée par :
- le rayon r
0
de la trajectoire circulaire : r = r
0
= cste
- l’énergie mécanique E
m
= −
0
2
k
r
- l’énergie potentielle E
p
= − =
0
2.
m
k
E
r
⇒
E
c
= E
m
– E
p
= -E
m =
0
2.
k
r
- la vitesse de norme constante sur la trajectoire circulaire :
2
0
1
. .
2
m v
2.
k
a
=0
0
.
k
v
m r
⇔ =
- la troisième loi de Képler pour la trajectoire circulaire :
3
0
2 2
4. .
rk
cste
T m π
= =
Mémo 1
ère
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Trajectoire elliptique (figure ci-contre)
point P position la plus proche de O (distance minimale entre
les deux corps) = périastre.(ou périgée ou périhélie)
point A position la plus éloignée de O = apoastre (ou apogée
ou apohélie).
grand axe de l'ellipse CA = CP = a.
L’énergie mécanique du point matériel sur sa trajectoire
elliptique peut s’écrire :
E
m
=
2.
k
a
−
On généralise la loi de Képler pour les trajectoires elliptiques :
Lois de Képler (1609):
1
ère
loi : ″Les centres des planètes décrivent des ellipses dont l’un des foyers est occupé par le soleil″.
2
ème
loi : ″Les rayons vecteurs balaient en des durées égales des aires égales″ = Loi des aires
3
ème
loi : ″Les rapports des carrés des périodes de révolution sur les cubes des demi-grands axes sont indépendant
de la planète″
3
2 2
4. .
a k
cste
T m π
= =
Vitesse de libération
La vitesse de libération
v
est la vitesse minimale qu’il faudrait apporter au point matériel M, à la distance r
0
du
centre O, pour qu’il se libère de l’attraction de ce dernier. Cette vitesse s’ écrit :
0
2.
.
k
v
m r
=