Mémo 1ère année OM = r .ur + z .uz avec r≥0; 0 ≤ ≤ 2 et z ∈ . • • • dOM v (M ) = = r .ur + r .θ .uθ + z .uz dt dv (M ) d 2OM γ (M ) = = dt dt 2 •• •2 • • •• •• = (r − r .θ ).ur + (2. r .θ + r .θ ).uθ + z .uz MECANIQUE DU POINT MATERIEL Cinématique du point matériel Repérage du point dans le plan : a) Coordonnées cartésiennes • M' y + dy M y uy •• •2 1 d (r 2 .θ ) •• = (r − r .θ ).ur + ).uθ + z .uz r dt OM = x .ux + y.uy avec (x , y ) ∈ 2 dOM dx dy v (M ) = = .ux + .uy dt dt dt 2 dv (M ) d OM d 2 x d 2y γ (M ) = = = 2 .ux + 2 .uy dt dt 2 dt dt • x •• x • •• y y c) Coordonnées sphériques z O z ux x + dx x M M r r θ b) Coordonnées polaires M' d Mr uy r dθ •• •2 • • •• dv (M ) d 2OM γ (M ) = = = (r − r .θ ).ur + (2. r .θ + r .θ ).uθ dt dt 2 O • •• •2 1 d (r 2 .θ ) = (r − r .θ ).ur + ).uθ r dt ux O ur uϕ ur OM = r .ur avec r≥0 et 0 ≤ ≤ 2 • • du dOM d (r .ur ) dr v (M ) = = = .ur + r . r = r .ur + r .θ .uθ dt dt dt dt u θ r uθ θ y O uθ m uθ Dans le plan OMm ϕ x m uϕ OM = r .ur avec r ≥ 0 ; 0 ≤ θ ≤ et 0 ≤ φ ≤ 2π • • • dOM v(t ) = = r .ur + r .θ .uθ + r .sin θ . ϕ .uϕ dt Dynamique du point matériel Repérage du point dans l’espace : a) Coordonnées cartésiennes Notions de forces : a) Interaction gravitationnelle OM = x .ux + y.uy + z .uz avec (x , y , z ) ∈ 3 dOM dx dy dz v (M ) = = .ux + .uy + .uz dt dt dt dt 2 dv (M ) d OM d 2x d 2y d 2z γ (M ) = = = . u .uy + 2 .uz x + dt dt 2 dt 2 dt 2 dt z M uz ux O uy y M1(m1) u r M2(m2) G.m1 .m 2 F1/2 = − .u r2 b) Poids G .m .M t G .m .M t P =− .u ≈ − .u = m.g r2 Rt 2 où g est un vecteur constant, dirigé vers le centre de la terre. Il u = uz P M(m) correspond au champ de gravitation de la terre à sa surface. x Surface de la terre c) Force de rappel élastique b) Coordonnées cylindriques Mémo 1ère année - MECANIQUE page 1/8 Mémo 1ère année - MECANIQUE page 2/8 Energie du point matériel ux k, L0 M(m) F = −k .(L − L0 ).ux Puissance d’une force Puissance instantanée de la force référentiel ℜ : F s’exerçant sur le point matériel M animé d’une vitesse v (M , ℜ) dans un P = F .v (M , ℜ) c) Réaction du support R = Rn + Rt Rn réaction normale au support Rn ; réaction tangente au support Rt caractérisant les frottements solides entre le système et le support. Rt d) Poussée d’Archimède La résultante des forces de pression exercée par un fluide au repos sur un corps immergé est égale à l’opposé du poids du volume de fluide déplacé. On tire alors : Travail d’une force Travail élémentaire : dW = F .dr (P Travail d’une force entre deux points A et B sur la courbe (C) : W = Ec = e) Modélisation de la résistance de l’air : la traînée On modélise la résistance du fluide sur le corps en mouvement par une action F traînée de direction opposée à la vitesse du corps et d’intensité : 1 F traînée = ρfluide .C .S .V 2 2 Où : ρfluide = masse volumique du fluide (ρfluide varie avec la température et la pression) ; S = surface de référence ; C = coefficient aérodynamique ; V = Vitesse de déplacement du corps f) Modélisation des frottements visqueux aux faibles vitesses Pour les faibles vitesses, on utilise souvent la loi linéaire de frottement visqueux : F = −hV . Où h est un coefficient de frottement visqueux. ∫ B A(C ) F .dr 1 .m.v 2 (M , ℜ) 2 Théorème de la puissance cinétique dW (F ) d (Ec ) = P(F ) = dt dt Théorème de l’énergie cinétique ∆Ec = Ec(B) – Ec(A) = Energie potentielle WA →B Le travail d’une force conservative F ne dépend pas du chemin sur lequel on le calcule. Une force conservative F a la propriété de dériver d’une énergie potentielle Ep, fonction des coordonnées décrivant la position du point matériel. On définit et on calcule l’énergie potentielle dont dérive la force conservative par la relation différentielle : Energie potentielle élastique : E p (z ) = Lois de Newton : 1 2 .k. (L − L0 ) + cste 2 Energie mécanique Deuxième loi : le principe fondamental de la dynamique Dans un référentiel galiléen ( ℜ ), ∑ F = résul tan te des forces = m.γ (M , ℜ) FM 2 →M1 Em = Ec + Ep Théorème de l’énergie mécanique Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces non conservatives : ∆Em = ∑W ( f j ) j Conservation de l’énergie mécanique : intégrale première de l’énergie Système qui n’est soumis qu’à des forces conservatives dans un référentiel galiléen Troisième loi : le principe des actions réciproques Mémo 1ère année - MECANIQUE dW = dEp = - dW Energie potentielle de pesanteur : E p (z ) = m .g.z + cste (avec g = −g .u z ) Première loi : le principe d’inertie Le principe d’inertie proposé par Newton introduit l’idée d’une classe particulière de référentiels appelés référentiels inertiels ou plus communément référentiels galiléens dans lesquels un corps isolé ou pseudo-isolé a un mouvement rectiligne uniforme. M1 B A(C ) Energie cinétique On en déduit que le point d’application de la poussée d’Archimède se situe au niveau du barycentre du fluide déplacé. Ce point c est appelé le centre de poussée. ∫ Travail du poids W = −m .g.(z B − z A ) 1 Travail de la force élastique W = − .k .(xB2 − x A2 ) 2 π = − ρfluide .Vcorps .g FM1 →M 2 dr dW = ) dt dt = F .v (M ) = F . M2 ℜ ( fj = 0 ⇒ W ( fi ) = 0 ). ⇔ dEm = 0 FM1 →M 2 = - FM2 →M1 ⇔ Em = cste page 3/8 Mémo 1ère année - MECANIQUE page 4/8 Moment cinétique O (m0) er r FO / M M (m) G.m0 .m FO /M = − .er = m .g (M ) r2 Moment d’une force par rapport à un point fixe O Point matériel M sur lequel s’exerce la force F et un point O fixe. G .m Avec g (M ) = − 2 0 .er r MO (F ) = OM ∧ F Moment d’une force par rapport à un axe fixe Point matériel M sur lequel s’exerce la force F et un axe fixe et orienté, passant par le point O et de vecteur directeur unitaire u ∆ . M ( F ) = MO (F ).u ∆ = OM ∧ F .u ∆ = ±d . F ( ) Energie potentielle : E p (r ) = − r→ ∞) Force électrostatique entre deux charges O (q0) La distance d est appelée le bras de levier. Le moment est positif si la force a tendance à faire tourner le point matériel dans le sens trigonométrique autour de l’axe (voir figure ci-contre); Le moment est négatif si la force a tendance à faire tourner le point matériel dans le sens rétrograde autour de l’axe . Moment cinétique par rapport à un point fixe O Point matériel M de masse m animé d’une vitesse V (M , R) dans le référentiel R. O point fixe dans R. σ (M , R) = m.OM ∧ V (M , R) er r FO / M M (q) FO /M = q 0 .q .er = q.E (M ) 4πε 0 .r 2 Avec E (M ) = q0 .er 4πε 0 .r 2 Cette force peut être attractive (si le produit des charges q0.q < 0) ou répulsive (si q0.q > 0). q .q Energie potentielle d’une charge q dans un champ électrostatique : E p (r ) = 0 + cste 4πε 0r (cste = 0 en choisissant l’origine des énergies potentielles pour r → ∞ ) Conservation du moment cinétique σ O = OM ∧ mV = mr 2θ.u z = cte cste ≠ 0 ⇒ le mouvement est plan cste = 0 ⇒ le mouvement est rectiligne dS ⇒ loi des aires : r 2θ = C = 2 où C est la constante des aires. dt Moment cinétique par rapport à un axe fixe Point matériel M de masse m animé d’une vitesse V (M , R) dans le référentiel R. ∆ axe fixe et orienté, passant par un point O et de vecteur directeur unitaire u ∆ . σΔ(M,R) = σ O (M , R).u ∆ = m.OM ∧ V (M , R) .u ∆ ( G.m0 .m + cste (cste = 0 en choisissant l’origine des énergies potentielles pour r Conservation de l’énergie dEm = 0 ⇔ Em = cste = Em (t = 0) dt •2 •2 •2 1 1 1 C2 ⇔ Em = Ec + Ep = .m.(r + r 2 .θ ) +Ep(r) = .m . r + .m. 2 +Ep(r) 2 2 2 r 1 C2 On pose :Epeff(r) = .m . 2 + Ep(r), l’énergie potentielle effective du point matériel. 2 r ) Système conservatif ⇔ Théorème du moment cinétique par rapport à un point fixe O dσ (M , R) = MO (F ) = OM ∧ F dt Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe dσ (M , R) dσ (M , R).u ∆ dσ ∆ (M , R) = = M ( F ) = MO (F ).u ∆ = OM ∧ F .u ∆ .u ∆ = dt dt dt ( ) Champ de forces centrales newtonien k Force : F = − 2 .er (force attractive ⇔ k >0 ; force répulsive ⇔ k < 0) r k Energie potentielle : E p (r ) = − r Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives Force centrale F = F (r ).er avec OM = r .er Deux cas peuvent se présenter : F(r) > 0 : la force est répulsive ; F(r) < 0 : la force est attractive. M er r O Les forces centrales sont des forces conservatives. On peut ainsi définir la fonction énergie potentielle associée Ep définie par la relation : Etude graphique : états liés, états de diffusion Prenons par exemple l’interaction colombienne entre deux charges q0 et q concentrées en deux points O et M. L’énergie potentielle effective s’écrit dans ce cas : q .q 1 C2 Epeff(r) = .m. 2 + 0 2 r 4πε 0r dEp =-F(r).dr Force gravitationnelle entre deux masses Mémo 1ère année - MECANIQUE page 5/8 Mémo 1ère année - MECANIQUE page 6/8 Trajectoire elliptique (figure ci-contre) Deux situations peuvent alors se présenter. 1er cas : les deux charges sont de même signe (q0.q > 0) et le mouvement est alors répulsif ; 2nd cas : les deux charges sont de charges opposées (q0.q < 0) et le mouvement est alors attractif. On trace la fonction Epeff(r) pour ces deux situations. point P position la plus proche de O (distance minimale entre les deux corps) = périastre.(ou périgée ou périhélie) point A position la plus éloignée de O = apoastre (ou apogée ou apohélie). grand axe de l'ellipse CA = CP = a. L’énergie mécanique du point matériel sur sa trajectoire elliptique peut s’écrire : k Em = − 2.a • cas du mouvement répulsif. L’énergie potentielle effective est toujours positive. On en déduit alors que l’énergie mécanique conservative du système est une grandeur positive. Plaçons sur le graphique précédent la valeur de l’énergie mécanique Em = E1 > 0. Comme le terme de l’énergie cinétique radiale •2 1 .m.r > 0 , le mouvement du point matériel ne peut alors 2 se faire qu’entre les positions rmin, correspondant à Epeff(rmin) = E1, et l’infini. Le mouvement est non borné : on parle d’état de diffusion. • On généralise la loi de Képler pour les trajectoires elliptiques : Lois de Képler (1609): 1ère loi : ″Les centres des planètes décrivent des ellipses dont l’un des foyers est occupé par le soleil″. 2ème loi : ″Les rayons vecteurs balaient en des durées égales des aires égales″ = Loi des aires cas du mouvement attractif : l’énergie mécanique du système peut être négative ou positive. Pour Em > 0, on se retrouve dans les mêmes conditions que précédemment : le mouvement est non borné. Il s’agit, là encore d’un état de diffusion. Pour Em = E2 < 0, on constate graphiquement que le mouvement du point matériel est compris entre les deux positions rmin et rmax caractérisées par la relation : Epeff(r) = E2. On parle alors d’état lié. 3ème loi : ″Les rapports des carrés des périodes de révolution sur les cubes des demi-grands axes sont indépendant de la planète″ a3 k = = cste T 2 4.π 2 .m Vitesse de libération La vitesse de libération v est la vitesse minimale qu’il faudrait apporter au point matériel M, à la distance r0 du centre O, pour qu’il se libère de l’attraction de ce dernier. Cette vitesse s’ écrit : v = 2.k m .r0 Trajectoires dans un champ de force newtonien Trajectoire circulaire La trajectoire circulaire est caractérisée par : - le rayon r0 de la trajectoire circulaire : r = r0 = cste k - l’énergie mécanique Em = − 2r0 k - l’énergie potentielle Ep = − = 2.Em ⇒ Ec = Em – Ep = -Em = k r0 2.r0 - la vitesse de norme constante sur la trajectoire circulaire : - la troisième loi de Képler pour la trajectoire circulaire : Mémo 1ère année - MECANIQUE 1 k .m.v 02 = k ⇔ v 0 = 2 m .r0 2.a r03 k = = cste T 2 4.π 2 .m page 7/8 Mémo 1ère année - MECANIQUE page 8/8
