cours L2 SID

Cours D’Analyse3 L2 MPCI-SID
2013-2014

Table des mati`eres
1 Int´egrales G´en´eralis´ees 2
1.1 D´efinitionsetexemples............................. 2
1.2 Calcul d’int´egrales g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Utilisation d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Crit`eres de convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Crit`eredeCauchy............................ 8
1.3.2 Int´egrale de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Crit`eres d’´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Convergence absolue et Semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Crit`ered’Abel.............................. 15
1.4.2 Crit`ere de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Exercices..................................... 16
1

Chapitre 1
Int´egrales G´en´eralis´ees
On consid`ere une fonction fint´egrable au sens de Riemann surtout intervalle ferm´e
strict d’un intervalle ouvert ]a, b[(par exemple fcontinue sur ]a, b[) et on se demande si
on peut donner un sens `a la quantit´e Rb
af(x)dx. Cette int´egrale sera appel´ee int´egrale
g´en´eralis´ee de fsur ]a, b[.L’une des bornes aou bpeut ˆetre infini ou les deux en mˆeme
temps. Dans la suite on s’int´eressera `a l’´etude de l’int´egrale g´en´eralis´eE de f.
1.1 D´efinitions et exemples
D´efinition 1.1.1 Soit Iun intervalle quelconque de R.Une fonction num´erique f:
I−→ Rest dite localement int´egrale sur I, si sa restriction `a chaque intervalle ferm´e
de Iest Riemann int´egrable.
D´efinition 1.1.2 1)Soit f:]a, b]−→ R,−∞ ≤ a < b < +∞une fonction localement
int´egrable. On dira que l’int´egrale de fsur ]a, b]est convergente ou fest int´egrable si
la fonction Gd´efinie sur ]a, b]par
G(x) = Rb
xf(t)dt, admet une limite finie lorsque xtend vers a.
En cas d’existence cette limite est appel´ee int´egrale g´en´eralis´ee de fsur ]a, b]et est
not´ee Zb
a
f(t)dt =limx→aZb
x
f(t)dt.
Si cette limite n’existe pas dans R,on dit que l’int´egrale de fsur ]a, b]est divergente.
2)Soit f: [a, b[−→ R,−∞ < a < b ≤+∞une fonction localement int´egrable.
On dira que l’int´egrale de fsur [a, b[est convergente ou fest int´egrable si la fonction
Fd´efinie sur [a, b[par
F(x) = Rx
af(t)dt, admet une limite finie lorsque xtend vers b.
L’int´egrale g´en´eralis´ee de fsur [a, b[est alors le nombre r´eel Rb
af(t)dt =limx→bRx af(t)dt.
2

1.1 D´efinitions et exemples 3
Exemple 1.1.1 Les int´egrales de Riemann
Une famille importante d’int´egrales g´en´eralis´ees est donn´ee par celle des int´egrales de
Riemann.
Th´eor`eme 1.1.1 Soit αun r´eel et fla fonction d´efinie sur ]0,+∞[par :
f:t7→ 1
tα.
1. L’int´egrale de fsur [1,+∞[est convergente si et seulement si, α > 1avec
∀α > 1,Z+∞
1
dt
tα=1 α−1.
2. L’int´egrale de fsur ]0,1] est convergente si et seulement si, α < 1avec
∀α < 1,Z1
0
dt
tα=1 1−α.
Preuve. 1. Pour tout x > 1,Calculons d’abord
Zx
1
dt
tα=1
1−α(1 xα−1−1) si α6= 1,
ln(x)si α= 1,(1.1)
et
limx→+∞Zx
1
f(t)dt =1
1−αsi α > 1
+∞si α≤1(1.2)
De mˆeme pour 0<x<1on a
Z1
x
dt
tα=1
α−1(1 −1 xα−1)si α6= 1,
−ln(x)si α= 1 (1.3)
et
lim
x→0Z1
x
f(t)dt =1
1−αsi α < 1
+∞si α≥1(1.4)
Remarque 1.1.1 En conclusion R+∞
0
dt
tαest divergente quel que soit le r´eel α.
Exemple 1.1.2 Soit `a calculer R+∞
1cos tdt. On a Rx 1cos tdt = [sin t]x
1= sin x−sin1qui
n’a pas de limite lorsque xtend vers +∞.donc R+∞
1cos xdx est une int´egrale divergente.

1.1 D´efinitions et exemples 4
D´efinition 1.1.3 Soit f:]a, b[−→ R,−∞ ≤ a < b ≤+∞une fonction num´erique
localement int´egrale. Soit c∈]a, b[.On dit que l’int´egrale de fsur ]a, b[est convergente si
chacune des int´egrales Rc
af(x)dx et Rb cf(x)dx est convergente et on pose
Zb
a
f(x)dx =Zc
a
f(x)dx +Zb
c
f(x)dx
Remarque 1.1.2 Cette d´efinition est ind´ependante du point c.
Exemple 1.1.3 Soit `a calculer R+∞
−∞
dt
1+t2.
∀c∈]− ∞,+∞[,Rc
−∞
dt
1+t2= [Arctgt]c
−∞ =arctgc +π
2.
R+∞
c
dt
1+t2= [Arctgt]+∞
c=−arctgc +π
2.
On en d´eduit donc que R+∞
−∞
dt
1+t2=Rc
−∞
dt
1+t2+R+∞
c
dt
1+t2=π 2+π 2=π
Proposition 1.1.1 Soit fune fonction localement int´egrable sur ]a, b[.Pour que l’int´egrale
de fsur ]a, b[soit convergente il faut et il suffit que la fonction `a deux variables
h(x, y) = Zy
x
f(t)dt, a < x < y < b
ait une limite finie lorsque (x, y)→(a, b)dans R2et dans ce cas on a
Zb
a
f(t)dt = lim
(x,y)→(a,b)Zy
x
f(t)dt
En particulier si fest localement int´egrable sur ] −∞,+∞[ l’int´egrale R+∞
−∞ f(x)dx existe
´equivaut `a l’existence de limA→+∞,A0→−∞ RA
A0f(t)dt avec Aet A0ind´ependants.
Remarque 1.1.3 Il peut exister lima→+∞Ra
−af(t)dt sans pour autant que R+∞ −∞ f(t)dt
existe.
Pour s’en convaincre consid´erer Ra
−asintdt = 0 et lima→+∞a0→−∞ Ra0 asin tdt qui n’existe
pas
Exercice 1.1.1 1. Montrerque l’int´egrale de f:t7→ e−test convergente sur [0,+∞[et
que R+∞
0e−tdt = 1.
2. Montrer que l’int´egrale de f:t7→ 1
√test convergente sur ]0,1] et R1
0
dt
√t= 2
3. Montrer que l’int´egrale de f:t7→ 1
t2est divergente sur ]0,1]
4. Montrer que l’int´egrale de f:t7→ sin test convergente sur [0,+∞[.
Solution 1.1.1
1. Pour tout x > 0 on a :
F(x) = Zx
0
e−tdt = 1 −e−x→1x→+∞= 1.