Y. A. M ht t ps : / / t . me/ mat hemat i queyam DEVOI RDEMATHEMATI QUES SERI E:TSEXP EXERCI CE1: π 2 1° /Cal c ul erl esi nt égr al ess ui vant es:A=∫0 3 4x+5 x3 π dxetC=∫0c dx;B=∫2 osxdx 2 x + 3 1+s i nx c osx 1 a b 2° /a)Dét er mi nerl esnombr esr éel saetbt el sque:∀x∈ℝ-{ 1;0} , = + x( x+1) x x+1 1 b)Cal c ul erI=∫2 dx 1 x( x+1) π 4 0 c )Cal c ul erl ’ i nt égr al eK=∫ t anx dx 1+c osx 3° /Enut i l i s antunc hangementdevar i abl eaf f i ne,c al c ul er∫5 0 x dx 3x+1 EXERCI CE2: 1° /Onc ons i dèr el as ui t e( Un) * n∈N 1 déf i ni eparUn=∫1 x nd 0 1+x a) Cal c ul erU1 1 n * b)Mont r erquepourt outnombr er éelpos i t i fx;1.Endédui r equepourt outn∈N ; x≤ n ≤1 1+x 1 1≤Un ≤1etdét er mi nerl al i mi t edel as ui t e( Un) . n∈N n+1 * n nx 2° /Soi tl as ui t e( i ni eparVn =∫ x. Vn) déf nd n∈N 1+x 1 0 * n n1 nx nx a) Enéc r i vant n = x;mont r eràl ’ ai ded’ unei nt égr at i onparpar t i equeVn= n× 1+x 1+x n ∫1 l n21+x) dx. l n ( 0 b)Sac hantquepourt outnombr er éelpos i t i ft ,ona:0≤l n( 1+t )≤t;mont r erque0≤ 1 n ∫1 1+x) dx≤ . l n ( 0 n+1 Endédui r eque l n2 i m Vn =l n→+∞ Devoi rdeMat hémat i quessuj etN°5 Page1 Y. A. M ht t ps : / / t . me/ mat hemat i queyam PROBLÈME: PARTI EA 2 Onc ons i dèr el af onc t i ongdeℝver sℝdéf i ni eparg( x)=2x +1–l nx 1° /Ét udi erl esvar i at i onsdegpui sdr es s ers ont abl eaudevar i at i on.( Onnedemandepasdec al c ul er l esl i mi t es ) 2° /Endédui r el es i gnedeg( x) . PARTI EB l nx Soi tl af onc t i onfdéf i ni es ur] ( x) =2x3+ .Ondés i gnepar( )l ac our be 0; +∞ [parf x r epr és ent at i vedefdansl epl anmunid’ unr epèr eor t honor mé( O,I ,J )d’ uni t égr aphi que2c m. 1° /a) Cal c ul erl al i mi t edefen+∞ b)Dét er mi nerl ( x)pui si nt er pr ét ergr aphi quementl er és ul t at . i m+ f x→0 2° /Démont r erquel adr oi t e( )d’ équat i ony=2x–3es tuneas ympt ot eà( )etpr éc i s erl apos i t i on de( )parr appor tà( ) . 3° /Cal c ul erl adér i véef‘defetvér i f i erquef‘ ( x)= g( x) endédui r el et abl eaudevar i at i ondef . 2, x 4° /Démont r erquel ’ équat i onf ( x)=0admetunes ol ut i onuni queα.J us t i f i erque1, 3≤α≤1, 4. 5° /Tr ac erl adr oi t e( )etl ac our be( ) . 6° /Cal c ul erl ’ ai r e 2 enc apar t i edupl anc ompr i s eent r e( ) ,l adr oi t e( )etl esdr oi t es m del d’ équat i ons x=1etx=e. Devoi rdeMat hémat i quessuj etN°5 Page2