TSEXP Sujet de Math

Y.A.M https://t.me/mathematiqueyam
DevoirdeMathématiquessujetN°5 Page1
DEVOIRDEMATHEMATIQUES
SERIE:TSEXP
EXERCICE1:
1°/Calculerlesintégralessuivantes:A=
∫
π
2
0
cosx
1+
sinx
dx
;B=
∫
2
-2
x
3
-4x+5
x+3
dxetC=
∫
π
0
cos
3
x
dx
2°/a)Déterminerlesnombresréelsaetbtelsque:∀x∈ℝ-{-1;0},
1
x(x+1)
=
a
x
+
b
x+1
b)CalculerI=
∫
2
1
1
x(x+1)
dx
c)Calculerl’intégraleK=
∫
π
4
0
tanx
1+
cosx
dx
3°/Enutilisantunchangementdevariableaffine,calculer
∫
5
0
x
3x+1
dx
EXERCICE2:
1°/Onconsidèrelasuite
(
U
n
)
n∈
N
*
définiepar
U
n
=
∫
1
0
1
1+
x
n
dx
a)Calculer
U
1
b)Montrerquepourtoutnombreréelpositifx;1-
x
n
≤
1
1+
x
n
≤1.Endéduirequepourtoutn∈
N
*
;
1-
1
n+1
≤
U
n
≤1etdéterminerlalimitedelasuite
(
U
n
)
n∈
N
*
.
2°/Soitlasuite
(
V
n
)
n∈
N
*
définiepar
V
n
=
∫
1
0
n
x
n
1+
x
n
dx
.
a)Enécrivant
n
x
n
1+
x
n
=
n
x
n-1
1+
x
n
×x;montreràl’aided’uneintégrationparpartieque
V
n
=
ln2-
∫
1
0
ln (
1+
x
n
)dx.
b)Sachantquepourtoutnombreréelpositift,ona:0≤ln(1+t)≤t;montrerque0≤
∫
1
0
ln (
1+
x
n
)dx≤
1
n+1
.
Endéduireque
lim
n→+∞
V
n
=ln2

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PROBLÈME:
PARTIEA
Onconsidèrelafonctiongdeℝversℝdéfinieparg(x)=
2x
2
+1–lnx
1°/Étudierlesvariationsdegpuisdressersontableaudevariation.(Onnedemandepasdecalculer
leslimites)
2°/Endéduirelesignedeg(x).
PARTIEB
Soitlafonctionfdéfiniesur
]
0;+∞
[
parf(x)=2x-3+
lnx
x
.Ondésignepar( )lacourbe
représentativedefdansleplanmunid’unrepèreorthonormé(O,I,J)d’unitégraphique2cm.
1°/a)Calculerlalimitedefen+∞
b)Déterminer
lim
x→
0
+
f(x)
puisinterprétergraphiquementlerésultat.
2°/Démontrerqueladroite( )d’équationy=2x–3estuneasymptoteà( )etpréciserlaposition
de( )parrapportà( ).
3°/Calculerladérivéef‘defetvérifierquef‘(x)=
g(x)
x
2
,endéduireletableaudevariationdef.
4°/Démontrerquel’équationf(x)=0admetunesolutionuniqueα.Justifierque1,3≤α≤1,4.
5°/Tracerladroite( )etlacourbe( ).
6°/Calculerl’aire en
cm
2
delapartieduplancompriseentre( ),ladroite( )etlesdroites
d’équations
x=1etx=e.