Y. A. M. ht t ps: / / t . me/ mat hemat i queyam Séri es:TSE&TSEXP SERI ESD' EXERCI CESSURLESNOMBRESCOMPLEXES EXERCI CE1: 2+6i 4i Ondonnel esnombr esc ompl exesz1=( 1–i ) ( 1+2i );z2= etz3= .Ondés i gneparM1, 3i i 1 M2etM3l espoi nt si magesr es pec t i vesdec esnombr esdansl epl anc ompl exemunid’ un ( ) ⃗⃗ r epèr eor t honor maldi r ec tO,u, v. 1.Dét er mi nerl apar t i er éel l eetl apar t i ei magi nai r edez1,z2etz3etpl ac erl espoi nt sM1,M2 etM3. zz 2.Cal c ul er 3 1 .Endédui r el anat ur edut r i angl eM1M2M3. z2z1 3.Dét er mi nerl ’ af f i xez4dupoi ntM4t elqueM1M2M4M3s oi tunr ec t angl e. . EXERCI CE2: z Onc ons i dèr el esnombr esc ompl exesz=12i3+12,z’=6 3+6ietu= . z' 1.Cal c ul erl emodul eetunar gumentdezetz’ . 2. Éc r i r eus ousf or meal gébr i quepui ss ousf or met r i gonomét r i que. 1 1 4 3 6 3.Cal c ul eru ;u ;u etv= 4 + 4.Donnerl er és ul t ats ousf or meal gébr i que. u ̅ u EXERCI CE3: 1.Rés oudr edansℂl eséquat i onss ui vant es: 2 ̅ a)i z-2z+2–i=0; b)|z|2z=12i ; 2 c )4z+8|z|2-3=0. || 2.Dét er mi nerl esnombr esc ompl exeszt el l sque|z|= 1 =|z1| z EXERCI CE4: Onc ons i dèr el enombr ec ompl exeu=3+3i YouchaAMAI GA Page1 Y. A. M. ht t ps: / / t . me/ mat hemat i queyam 1.Dét er mi nerl emodul eetunar gumentdeu. ( ) 17π 17π 2.Dét er mi nerl enombr ec ompl exezt elqueuz=6 2c os +i s i n .Endédui r el es 12 12 17π 17π val eur sdec os ets i n . 12 12 EXERCI CE5: 1i z Soi tl af onc t i ondeℂdansℂdéf i ni eparf ( z)= 1+i z ̅ 1.Expr i merl apar t i er éel l eetl apar t i ei magi nai r edef ( z)enf onc t i ondezetde z. 2.Dét er mi nerl ’ ens embl edespoi nt sM dupl anc ompl exed’ af f i xezt el sque: a)f ( z)s oi tunnombr er éel; b)f ( z)s oi tunnombr ei magi nai r epur . EXERCI CE6: ( ) ⃗⃗ Dansl epl anc ompl exemunidur epèr eor t honor maldi r ec tO,u, oi entAetBl es v ,s poi nt sd’ af f i xesr es pec t i vesiet2ietfl ’ appl i c at i onquiaupoi ntM( z)t elquez≠i ,as s oc i el e 2zi poi ntM’d’ af f i xez’déf i ni epar:z’= i z+1 1.Mont r erque( z’+2i ) ( z–i )=1. 2.Not onsrl emodul eetθunar gumentdez–i ,demêmenot onsr ’etθ’l emodul eetun ar gumentde z’+2i .Expr i merr ’etθ’enf onc t i onderetθ. 2.Soi t( )l ec er c l edec ent r eAetder ayon1.Mont r erques iM appar t i entà( )al or sM’ appar t i entàunc er c l e( ’ )dec ent r eBquel ’ onpr éc i s er a. EXERCI CE7: 1.Dét er mi nerl emodul eetunar gumentdesnombr esc ompl exess ui vant s: π i 3 2π i 1c os α+i s i nα a)z1= ; b)z2= ( α∈ [ ) ; c )z3=2( s i nx+i c os x) ;d)z4=3e3 0; π[ π i 1+c os αi s i nα 1+e3 1e 1+i3 2.Onc ons i dèr el enombr ec ompl exez= 1i YouchaAMAI GA Page2 Y. A. M. ht t ps: / / t . me/ mat hemat i queyam a)Éc r i r ezs ousf or meexponent i el l e n n b)Dét er mi nerl esent i er snat ur el snpourl esquel sz es tunnombr er éel .Cal c ul erz pour l apl uspet i t edesval eur sdenobt enues . n c )Dét er mi nerl esent i er snat ur el snpourl esquel sz es tunnombr ei magi nai r epur . EXERCI CE8: Ondonnedansl ’ ens embl eℂdesnombr esc ompl exesl ’ équat i on: 3 2 z-( z+( 3+2i ) 1+5i ) z+2–2i=0 ① 1.Vér i f i erque① admetunes ol ut i oni magi nai r epur ez0pui sr és oudr ec et t eéquat i on. () 2.Mont r erquel ess ol ut i onss ontl est r oi spr emi er st er mesd’ unes ui t egéomét r i que zn e n∈N depr emi ert er mez0.Dét er mi nerl e15t er me. 3.Dét er mi nernpourquezn ∈N. EXERCI CE9: 3 Onc ons i dèr el epol ynômeP( z)=z+( 125i ) z15–9i 1.Mont r erqueP( z)admetuner ac i nei magi nai r epur ez0. 2.Dét er mi nerl esaut r esr ac i nesz1etz2deP( z)s ac hantque|z1|<|z2| ( ) ⃗⃗ 3.Dansl epl anc ompl exemunidur epèr eor t honor maldi r ec tO,u, oi entA,BetCl es v ,s poi nt sd’ af f i xesr es pec t i vesz0, z1etz2. a)Dét er mi nerl ’ af f i xedubar yc ent r eGdus ys t ème: . ; B, 2) ;( C, 2) A, 1) { ( } ( 2 2 2 b)Dét er mi nerl ’ ens embl edespoi nt sM dupl ant el sque:MA +2MB +2MC =5. EXERCI CE10: 2 1.Rés oudr edansℂl ’ équat i on:z 2zs i nα+2( 1+c os α)=0oùα∈ ] .Éc r i r el ess ol ut i ons π; π[ s ousf or met r i gonomét r i que. 2.Soi tl enombr ec ompl exez=4 2(1+i ) . a) Dét er mi nerl esr ac i nesc ubi quesdezs ousf or met r i gonomét r i que. 11π 11π b)Leséc r i r es ousf or meal gébr i que.Endédui r el esval eur sdec os ets i n . 12 12 YouchaAMAI GA Page3 Y. A. M. ht t ps: / / t . me/ mat hemat i queyam EXERCI CE11: Soi tf:ℂ→C 4 3 2 z↦ z +2z +2z2z+1 [( ) ( ) ] 2 1 1 1.Dét er mi nerl esnombr esr éel saetbt el sque:∀z∈C ;f ( z)=z z- +az- +b z z 2 * 2 2.Rés oudr edansCl ’ équat i on:Z+aZ+b=0pui sl ’ équat i onf ( z)=0. 3.Mont r erquel espoi nt si magesdess ol ut i onsdel ’ équat i onf ( z)=0s onts urunmême c er c l edontonpr éc i s er al ec ent r eetl er ayon. EXERCI CE12: 4 1.Soi entl esnombr esc ompl exeszetudéf i ni spar:z= 1+ 2+i 21etu=z. Dét er mi nerl esr ac i nesquat r i èmesdeus ousf or met r i gonomét r i quepui ss ousf or me π π al gébr i que.Endédui r el esval eur sdec os ets i n . 8 8 ( ) 4 1 2.Cal c ul er +i3 etdét er mi nerl esc oupl esdenombr esr éel s( a;b)t el sque: 2 73 11 3 i 16 2 4 ( = a+i b) EXERCI CE13: ( ) ⃗⃗ Lepl anc ompl exees tmunidur epèr eor t honor maldi r ec tO,u, v. 1.Ondonnel espoi nt sA( 12i )etB( 2+i ) .Dét er mi nerl ’ af f i xedupoi ntCdansl esc ass ui vant s: a)ABCes tunt r i angl er ec t angl ei s oc èl edes ensdi r ec t;b)ABCes tunt r i angl eéqui l at ér alde s ensdi r ec t . 2.Soi tPetQdeuxpoi nt sd’ af f i xesr es pec t i vespetq. | | a) Démont r erqu’ i lexi s t eununi quepoi ntM dontl ’ af f i xezvér i f i e: () zp zp =2etar g zq zq π ≡- [ .b) Cons t r ui r ec epoi ntetc al c ul ers onaf f i xel or s que:p=4+2ietb=2-i 2π] 3 EXERCI CE14: ( ) ⃗⃗ Dansl epl anc ompl exees tmunidur epèr eor t honor maldi r ec tO,u, oi tl espoi nt sAet v ,s YouchaAMAI GA Page4 Y. A. M. ht t ps: / / t . me/ mat hemat i queyam Bd’ af f i xesr es pec t i ves1et1etfl ’ appl i c at i ondupl andansl uimêmequiàt outpoi ntM d’ af f i xeznonnul l eas s oc i el epoi ntM’d’ af f i xez’t el l equezz’=1. 1. a)Dét er mi neretc ons t r ui r el ’ i mageparfdupoi ntCd’ af f i xe1+i . b)Démont r erquepourt outpoi ntM ets oni mageM’ ,l adr oi t e( AB)es tbi s s ec t r i c edel ’ angl e ̂ 2 etqueOM×OM’=OA. MOM' ( )( ) ( ) 2 z+z' z+z' zz' 2. a) Vér i f i erque:∀z∈C, . 1 +1 = 2 2 2 * 2 ] b)Soi tIl emi l i eude[ .Démont r erqueI A×I B=I outpoi ntM di s t i nc tde M etquepourt MM' ̂ AetB,l adr oi t e( MM’ )es tbi s s ec t r i c edel ’ angl eAI B. EXERCI CE15: ( ) ⃗⃗ Lepl anc ompl exees tmunidur epèr eor t honor maldi r ec tO,u, Onc ons i dèr e v. l ’ appl i c at i onfde 3i z+13i ℂ{ 2}dansℂquiàt outél ementdezdeℂ{ 2}as s oc i el enombr ec ompl exef ( z)= . z2 1 Onappel l eM l epoi ntd’ af f i xez;Al epoi ntd’ af f i xe1+ ietBl epoi ntd’ af f i xe2. 3 |=3. 1.Dét er mi nerl ’ ens embl e( E1)despoi nt sM t el sque|f ( z) 2.Dét er mi nerl ’ ens embl e( E2)despoi nt sM t el squef ( z)s oi tunnombr er éel . 3.Dét er mi nerl ’ ens embl e( E3)despoi nt sM t el squef ( z)s oi tunnombr ei magi nai r epur . π 4.Ondés i gneparrl ar ot at i ondec ent r eBetd’ angl e 4 a) Dét er mi nerl ’ af f i xedupoi ntC=r ( A)pui sc el l edupoi ntJ=r ( I )oùIes tl emi l i eude[ . AB] b)Dét er mi nerl esi magesrdesens embl es( E1)et ( E2) . EXERCI CE16: 4 3 1° /Soi tf ,l ’ appl i c at i ondeℂdansℂdéf i ni epar:f ( z)=z -2z4 2z–16 a) Tr ouverl esdeuxnombr esr éel saetbt el squepourt outnombr ec ompl exezonai t: 2 2 f ( z)=( (z+az+b) z+4) YouchaAMAI GA Page5 Y. A. M. ht t ps: / / t . me/ mat hemat i queyam b)Endédui r el ’ ens embl edess ol ut i onsdansℂdel ’ équat i onf ( z)=0 ( ) ⃗⃗ c ) Pl ac erdansl epl anc ompl exer appor t éaur epèr eor t honor médi r ec tO,u, esi mages vl A,B,C,Ddess ol ut i onsdel ’ équat i onpr éc édent e,pui smont r erquec espoi nt ss onts urun mêmec er c l edontonpr éc i s er al ec ent r eetl er ayon. 2° /Soi tl as ui t edespoi nt sMn dupl anc ompl exe,d’ af f i xesr es pec t i vesdéf i ni espar:z0=8et 1+i3 pourt outn∈N,zn+1= z 4 n 1+i3 a) Cal c ul erl emodul eetunar gumentdez= 4 b)Cal c ul erz1,z2,z3etvér i f i erquez3es tr éel .Pl ac erdansl epl anmunid’ unr epèr e ( ) ⃗⃗ or t honor malO,e1, espoi nt sM0,M1,M2etM3. e2 l z z c ) Cal c ul erl er appor t n+1 n.Endédui r equel et r i angl eOMnMn+1es tr ec t angl eetque zn+1 |z z|= 3|zn+1|. n+1 n EXERCI CE17: 1° /a)Dét er mi ners ousf or meal gébr i quel esr ac i ness i xi èmesdel ’ uni t é,c ’ es t àdi r el es 6 nombr esc ompl exesut el squeu =1. 6 b)Cal c ul er( 1i ). c ) Enut i l i s antl esques t i onsa)etb)donnerl af or meal gébr i quedess ol ut i onsdel ’ équat i on d’ i nc onnuez: 6 8z+i=0. 2 z 2 2° /Onc ons i dèr el enombr eZdéf i niparZ= oùz=x+yi ,avec( x,y)∈R z+i 2 a) Onnot eZ=X+Yi ,( X,Y)∈R.Ec r i r eXetYenf onc t i ondexety. b)Aunombr ec ompl exezonas s oc i el epoi ntM( x,y)d’ unpl anr appor t éàunr epèr e ⃗⃗ or t honor mé O,u, er mi nerl ’ ens embl e( Γ)despoi nt sM dupl ant el squeZs oi t v .Dét ( ) i magi nai r epurnonnul . 2 c ) Rés oudr edansℂl ’ équat i onz+2i z–2=0.Mont r erquel esi magesdess ol ut i onsdec et t e équat i onappar t i ennentàl ’ ens embl e( Γ) . YouchaAMAI GA Page6 Y. A. M. ht t ps: / / t . me/ mat hemat i queyam EXERCI CE18: Dansl ’ ens embl eℂdesnombr esc ompl exesonc ons i dèr el ’ équat i on ( F):z 2z( 3+2 3) 4z( 2+ 3) +8=0. 1+ 3)+2z( 4 3 2 1° /Démont r erques il ec ompl exez0es ts ol ut i ondel ’ équat i on( F)al or si lenes tdemême ̅ ̅ pours onc onj uguéz0 ( c ’ es t àdi r ez0 es taus s iunes ol ut i onde( F) ) 2° /Vér i f i erquez0=1+ies ts ol ut i ondel ’ équat i on( F) .Endédui r eunes ec ondes ol ut i onz1de l ’ équat i on 3° /Dét er mi nerl esdeuxaut r ess ol ut i onsz2etz3del ’ équat i on( F) . 4° /Repr és ent erdansl epl anc ompl exel espoi nt si magesdesquat r es ol ut i onsdel ’ équat i on ( F) .( Lepl anes tr appor t éàunr epèr eor t honor méd’ uni t égr aphi que1c m) 2 5° /Dét er mi nerl anat ur eduquadr i l at èr eai ns iobt enupui sc al c ul erenc ’ ai r edes a m l s ur f ac e. EXERCI CE19: ( ) ⃗⃗ 1° /Lepl anc ompl exees tr appor t éaudur epèr eor t honor maldi r ec tO,u, tl epoi nt v .Aes d’ af f i xe1;Bl epoi ntd’ af f i xe2ietCl epoi ntd’ af f i xez. | | ( ) a) Quer epr és ent entgéomét r i quement: z2i z2i etar g ? 12i 12i ( ) ̂ ⃗ ⃗ 2 b)Dansl as ui t e,ons uppos equel epoi ntCd’ af f i xezes tdéf i nipar:BC= ×BAetBA, BC= 5 αoùα∈ ] os α= π; 0]etc 1 . Cal c ul ers i nα. 10 z2i 13i c ) Démont r erque: = .Endédui r el enombr ec ompl exezetvér i f i erquel et r i angl e 12i 5 ABCes ti s oc èl e.Onf er aunef i gur e. 4 2° / zét antunnombr ec ompl exe,onc ons i dèr el ’ équat i on( E):z=7+4i2 a) Vér i f i erqueu= 2+ies tunes ol ut i onde( E) . b)Dét er mi ners ousf or meal gébr i quel esr ac i nesquat r i èmesdel ’ uni t é.Endédui r edans l ’ ens embl eℂdesnombr esc ompl exest out esl ess ol ut i onsde( E)s ousf or meal gébr i que. YouchaAMAI GA Page7 Y. A. M. ht t ps: / / t . me/ mat hemat i queyam EXERCI CE20: ( ) ⃗⃗ Dansl epl anc ompl exemunidur epèr eor t honor malO,u, er mi neretr epr és ent er v ,dét l ’ ens embl edespoi nt sM( z)t el sque: | | π ̅ ̅ ̅ ̅ a)z+zg( 3i z) ≡0[ )ar g(z3+i )≡ [ ;d)zz+i ( z-z)3=0; 1 =4;b)ar 2π];c 2π] 4 2 ̅2 ̅ ̅ 2 2 ̅ 2 e)( ) ( z1i ) (z1+i )=5; g)z-( zz)-zz-6=0;f 12i )= z -( 1+2i ) EXERCI CE21: z+z' 1° /Démont r erques izetz’s ontdeuxnombr esc ompl exesdemodul e1,al or sZ= es t 1+zz' unnombr er éel .Lar éc i pr oquees t el l evr ai e? ( ) ⃗⃗ 2° /Lepl anc ompl exees tmunidur epèr eor t honor malO,u, outpoi ntM dupl an v .At 1 1 d’ af f i xez( z≠0) ,onas s oc i el epoi ntM’d’ af f i xez’= ( z+ ) . 2 z 2 a) Onpos equez=x+i y;( x,y)∈R.Expr i merenf onc t i ondexetdeyl apar t i er éel l ex’etl a par t i ei magi nai r ey’dez’ . b)Dét er mi nerl ’ ens embl e( )despoi nt sM t el squeM’s oi ts url ’ axedesr éel s . c ) Ons uppos equeM d’ éc r i tl ec er c l edec ent r eOetder ayon2.Mont r erquezs ’ éc r i ts ousl a i t f or mez=2e oùt∈ [ .Expr i merx’ety’enf onc t i ondet . 0; 2π[ EXERCI CE22: ( ) ⃗⃗ Dansl epl anc ompl exemunidur epèr eor t honor malO,e1, oi tAl epoi ntd’ af f i xe2ietf e2 ,s l ’ appl i c at i ondupl anpr i védeAdansl ui mêmequiàt outpoi ntM d’ af f i xezas s oc i el epoi nt 2i z5 M’d’ af f i xez’t el l eque:z’= . z2i 1.Démont r erquefadmetdeuxpoi nt si nvar i ant s . 2.Démont r erquefes tbi j ec t i veetdét er mi ners abi j ec t i onr éc i pr oque. ( ) ⃗ 3.Démont r erquel adr oi t e O,e2 pr i véedeAes tgl obal ementi nvar i ant eparf . ||z|=9. 4. a)Démont r erque:|z' 2i 2i b)Endédui r el ’ i mageparfduc er c l e( )dec ent r eAetder ayonr .Dét er mi nerrpourque YouchaAMAI GA Page8 Y. A. M. ht t ps: / / t . me/ mat hemat i queyam ( )s oi tgl obal ementi nvar i antparf . EXERCI CE23: 12 1° /Rés oudr edansℂl ’ équat i on:z =1.Donnerl ess ol ut i onss ousf or met r i gonomét r i que. n+1 2° /udés i gnantunnombr ec ompl exedi f f ér entde1,c al c ul erenf onc t i ondeu etul a s omme: n 2 1+u+u +...+u 8 4 3° /Donnerl ess ol ut i onsdel ’ équat i on:z+z+1=0enut i l i s antl esques t i onspr éc édent es . EXERCI CE24: 1° /At outnombr ec ompl exez,onas s oc i el enombr ec ompl exeZ = z2+4i . z+12i a) Dét er mi nerl ’ ens embl edesval eur sdezpourl esquel l esZes tdéf i ni . b)Dét er mi nerl esens embl esdespoi nt sM dontl ’ af f i xezvér i f i el esc ondi t i onss ui vant es: |Z|=1 Zs oi tunnombr er éel Zs oi tunnombr ei magi nai r epur PROBLÈME Onpos eE=ℂ{ i }oùℂes tl ’ ens embl edesnombr esc ompl exes;fes tl ’ appl i c at i onde dans i z ℂdéf i ni eparf ( z)= .Soi tM l epoi ntd’ af f i xezdansl epl anc ompl exemunidur epèr e z+i ⃗⃗ or t honor malO,u, v. ( ) a) Dét er mi nerl esc oor donnéesdupoi ntBd’ af f i xez0t el l equef ( z0)=1+2i b)Soi tzunél émentdeE.Ondés i gneparrl emodul edez+ietθunemes ur edes on ar gument .Expr i merl af or met r i gonomét r i quedef ( z)–ienf onc t i onderetdeθ c ) Soi tAl epoi ntd’ af f i xe–i . Dét er mi nerl ’ ens embl eCdespoi nt sM dontl ’ af f i xezvér i f i e|f ( z)–i|= 2et π l ’ ens embl eDdespoi nt sM d’ af f i xezt el sque s oi tunemes ur edel ’ ar gumentf ( z)–i . 4 Mont r erqueBappar t i entàCetD.Cons t r ui r eCetD. YouchaAMAI GA Page9