N°1 Séries d'exercices Nombres complexes

Y.A.M. https://t.me/mathematiqueyam
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Séries:TSE&TSEXP
SERIESD'EXERCICESSURLESNOMBRESCOMPLEXES
EXERCICE1:
Ondonnelesnombrescomplexes
z
1
=(1–i)(1+2i);
z
2
=
2+6i
3-i
et
z
3
=
4i
i-1
.Ondésignepar
M
1
,
M
2
et
M
3
lespointsimagesrespectivesdecesnombresdansleplancomplexemunid’un
repèreortho-normaldirect
(
O,
⃗
u
,
⃗
v
)
.
1.Déterminerlapartieréelleetlapartieimaginairede
z
1
,
z
2
et
z
3
etplacerlespoints
M
1
,
M
2
et
M
3
.
2.Calculer
z
3
-
z
1
z
2
-
z
1
.Endéduirelanaturedutriangle
M
1
M
2
M
3
.
3.Déterminerl’affixe
z
4
dupoint
M
4
telque
M
1
M
2
M
4
M
3
soitunrectangle..
EXERCICE2:
Onconsidèrelesnombrescomplexesz=-12i
3
+12,z’=-6
3
+6ietu=
z
z'
.
1.Calculerlemoduleetunargumentdezetz’.
2.Écrireusousformealgébriquepuissousformetrigonométrique.
3.Calculer
u
3
;
u
4
;
u
6
etv=
1
u
4
+
1
̅
u
4
.Donnerlerésultatsousformealgébrique.
EXERCICE3:
1.Résoudredansℂleséquationssuivantes:
a)i
z
2
-2
̅
z
+2–i=0; b)
|
z
|
-2z=1-2i; c)4
z
2
+8
|
z
|
2
-3=0.
2.Déterminerlesnombrescomplexesztellsque
|
z
|
=
|
1
z
|
=
|
z-1
|
EXERCICE4:
Onconsidèrelenombrecomplexeu=-3+3i

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1.Déterminerlemoduleetunargumentdeu.
2.Déterminerlenombrecomplexeztelqueuz=6
2
(
cos
17π
12
+isin
17π
12
)
.Endéduireles
valeursdecos
17π
12
etsin
17π
12
.
EXERCICE5:
Soitlafonctiondeℂdansℂdéfinieparf(z)=
1-iz
1+iz
1.Exprimerlapartieréelleetlapartieimaginairedef(z)enfonctiondezetde
̅
z
.
2.Déterminerl’ensembledespointsM duplancomplexed’affixeztelsque:
a)f(z)soitunnombreréel; b)f(z)soitunnombreimaginairepur.
EXERCICE6:
Dansleplancomplexemunidurepèreortho-normaldirect
(
O,
⃗
u
,
⃗
v
)
,soientAetBles
pointsd’affixesrespectivesiet-2ietfl’applicationquiaupointM(z)telquez≠i,associele
pointM’d’affixez’définiepar:z’=
2z-i
iz+1
1.Montrerque(z’+2i)(z–i)=1.
2.Notonsrlemoduleetθunargumentdez–i,demêmenotonsr’etθ’lemoduleetun
argumentde
z’+2i.Exprimerr’etθ’enfonctionderetθ.
2.Soit( )lecercledecentreAetderayon1.MontrerquesiM appartientà( )alorsM’
appartientàuncercle( ’)decentreBquel’onprécisera.
EXERCICE7:
1.Déterminerlemoduleetunargumentdesnombrescomplexessuivants:
a)
z
1
=
1-
e
i
π
3
1+
e
i
π
3
; b)
z
2
=
1-cosα+isinα
1+cosα-isinα
(α∈
[
0;π
[
); c)
z
3
=-2(sinx+icosx);d)
z
4
=-3
e
2π
3
i
2.Onconsidèrelenombrecomplexez=
1+i
3
1-i

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a)Écrirezsousformeexponentielle
b)Déterminerlesentiersnaturelsnpourlesquels
z
n
estunnombreréel.Calculer
z
n
pour
lapluspetitedesvaleursdenobtenues.
c)Déterminerlesentiersnaturelsnpourlesquels
z
n
estunnombreimaginairepur.
EXERCICE8:
Ondonnedansl’ensembleℂdesnombrescomplexesl’équation:
z
3
-(3+2i)
z
2
+(1+5i)z+2–2i=0 ①
1.Vérifierque①admetunesolutionimaginairepure
z
0
puisrésoudrecetteéquation.
2.Montrerquelessolutionssontlestroispremierstermesd’unesuitegéométrique
(
z
n
)
n∈N
depremierterme
z
0
.Déterminerle
15
e
terme.
3.Déterminernpourque
z
n
∈N.
EXERCICE9:
OnconsidèrelepolynômeP(z)=
z
3
+(12-5i)z-15–9i
1.MontrerqueP(z)admetuneracineimaginairepure
z
0
.
2.Déterminerlesautresracines
z
1
et
z
2
deP(z)sachantque
|
z
1
|
<
|
z
2
|
3.Dansleplancomplexemunidurepèreortho-normaldirect
(
O,
⃗
u
,
⃗
v
)
,soientA,BetCles
pointsd’affixesrespectives
z
0
,
z
1
et
z
2
.
a)Déterminerl’affixedubarycentreGdusystème:
{
(
A,-1
)
;
(
B,2
)
;
(
C,2
)
}
.
b)Déterminerl’ensembledespointsM duplantelsque:-
MA
2
+2
MB
2
+2
MC
2
=5.
EXERCICE10:
1.Résoudredansℂl’équation:
z
2
-2zsinα+2(1+cosα)=0oùα∈
]
-π;π
[
.Écrirelessolutions
sousformetrigonométrique.
2.Soitlenombrecomplexez=4
2
(-1+i).
a)Déterminerlesracinescubiquesdezsousformetrigonométrique.
b)Lesécriresousformealgébrique.Endéduirelesvaleursdecos
11π
12
etsin
11π
12
.

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EXERCICE11:
Soitf:ℂ→C
z↦
z
4
+2
z
3
+2
z
2
-2z+1
1.Déterminerlesnombresréelsaetbtelsque:∀z∈
C
*
;f(z)=
z
2
[
(
z-
1
z
)
2
+a
(
z-
1
z
)
+b
]
2.RésoudredansCl’équation:
Z
2
+aZ+b=0puisl’équationf(z)=0.
3.Montrerquelespointsimagesdessolutionsdel’équationf(z)=0sontsurunmême
cercledontonpréciseralecentreetlerayon.
EXERCICE12:
1.Soientlesnombrescomplexeszetudéfinispar:z=
1+
2
+i
2
-1
etu=
z
4
.
Déterminerlesracinesquatrièmesdeusousformetrigonométriquepuissousforme
algébrique.Endéduirelesvaleursdecos
π
8
etsin
π
8
.
2.Calculer
(
1
2
+i
3
)
4
etdéterminerlescouplesdenombresréels(a;b)telsque:
(
a+ib
)
4
=
73
16
-
11
3
2
i
EXERCICE13:
Leplancomplexeestmunidurepèreorthonormaldirect
(
O,
⃗
u
,
⃗
v
)
.
1.OndonnelespointsA(-1-2i)etB(2+i).Déterminerl’affixedupointCdanslescassuivants:
a)ABCestuntrianglerectangleisocèledesensdirect;b)ABCestuntriangleéquilatéralde
sensdirect.
2.SoitPetQdeuxpointsd’affixesrespectivespetq.
a)Démontrerqu’ilexisteununiquepointM dontl’affixezvérifie:
|
z-p
z-q
|
=2etarg
(
z-p
z-q
)
≡-
π
3
[
2π
]
.b)Construirecepointetcalculersonaffixelorsque:p=-4+2ietb=2-i
EXERCICE14:
Dansleplancomplexeestmunidurepèreorthonormaldirect
(
O,
⃗
u
,
⃗
v
)
,soitlespointsAet

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Bd’affixesrespectives1et-1etfl’applicationduplandansluimêmequiàtoutpointM
d’affixeznonnulleassocielepointM’d’affixez’tellequezz’=1.
1.a)Détermineretconstruirel’imageparfdupointCd’affixe1+i.
b)DémontrerquepourtoutpointM etsonimageM’,ladroite(AB)estbissectricedel’angle
̂
MOM'
etqueOM×OM’=
OA
2
.
2.a)Vérifierque:∀z∈
C
*
,
(
z+z'
2
-1
)
(
z+z'
2
+1
)
=
(
z-z'
2
)
2
.
b)SoitIlemilieude
[
MM'
]
.DémontrerqueIA×IB=
IM
2
etquepourtoutpointM distinctde
AetB,ladroite(MM’)estbissectricedel’angle
̂
AIB
.
EXERCICE15:
Leplancomplexeestmunidurepèreorthonormaldirect
(
O,
⃗
u
,
⃗
v
)
.Onconsidère
l’applicationfde
ℂ-{2}dansℂquiàtoutélementdezdeℂ-{2}associelenombrecomplexef(z)=
3iz+1-3i
z-2
.
OnappelleM lepointd’affixez;Alepointd’affixe1+
1
3
ietBlepointd’affixe2.
1.Déterminerl’ensemble(
E
1
)despointsM telsque
|
f(z)
|
=3.
2.Déterminerl’ensemble(
E
2
)despointsM telsquef(z)soitunnombreréel.
3.Déterminerl’ensemble(
E
3
)despointsM telsquef(z)soitunnombreimaginairepur.
4.OndésigneparrlarotationdecentreBetd’angle
π
4
a)Déterminerl’affixedupointC=r(A)puiscelledupointJ=r(I)oùIestlemilieude
[
AB
]
.
b)Déterminerlesimagesrdesensembles(
E
1
)et(
E
2
).
EXERCICE16:
1°/Soitf,l’applicationdeℂdansℂdéfiniepar:f(z)=
z
4
-
2
z
3
-4
2
z–16
a)Trouverlesdeuxnombresréelsaetbtelsquepourtoutnombrecomplexezonait:
f(z)=(
z
2
+4)(
z
2
+az+b)