recherche operation lareq1

Recherche opérationnelle
Résumé des heuristiques
Et Recueil d’applications pour étudiants en gestion
Jean – Paul TSASA V. Kimbambu
copyright ©jptsasa-mars 2010
Graphe de Vaclav Chvátal −l’Hamiltonien, l’Eulerien, Théorème des 4 couleurs, 4-régulier, conjecture de Grünbaum
pm(X) :=det(XIn-M) : (x - 4)(x - 1)4x2(x + 1)(x + 3)2(x2 + x - 4)
Université Protestante au Congo
Département d’Administration des Affaires
LABORATOIRE D’ANALYSE – RECHERCHE EN ECONOMIE QUANTITATIVE

 Assistant Jean – Paul TSASA V. Recherche opérationnelle Licence Administration des affaires 1
Chercheur co – accompli au Laréq /www.lareq.com /BP 16.626 Kinshasa I
Mail : [e-mail]
Avertissements
Ce recueil est en cours de rédaction, mais le besoin croissant chez les étudiants d’un support d’applications
cadrant avec la logique du cours tel qu’enseigné en Administration des affaires, nous a tout de même
poussés à ne mettre en circulation que la face visible de l’iceberg. L’édition complète sera prête qu’au
début de l’année académique 2010-2011.
Le principal souci qui nous anime tout au long de la rédaction de ce manuel est celui de comble un vide :
l’absence quasi-totale, depuis près de cinq années académiques successives, d’un recueil d’applications
pouvant relayer le cours magistral (suivant l’approche adoptée par le Professeur) aux travaux pratiques.
A ces jours, il est universellement admis que les mathématiques jouent un rôle fondamental dans le
développement de notre vie et dans le progrès réalisé par l’humanité, notamment en physique, sciences
sociales, gestion ou informatique.
Cependant, pour nombre d’étudiants, les mathématiques ne rendent pas toujours la vie plus facile. Cela
s’explique par le fait qu’ils s’attardent à voir le côté complexité de calcul, au lieu d’admirer ce qui
constitue sa beauté : le raisonnement mathématique.
Ce manuel n’a pas l’objectif de ne mettre en évidence que la complexité de calculs mathématiques mais
surtout la prééminence du raisonnement mathématique (raisonnement logique et rigoureux) sur la
compréhension des méthodes appliquées en recherche opérationnelle. Un langage simple et simplifié a
été adopté, à cet effet, afin de permettre à l’étudiant d’appréhender les méthodes et techniques de
résolution utilisées dans cette discipline. Par ailleurs, la recette d’applications qui seront proposée, par la
suite, l’aidera certainement à se préparer aux différentes épreuves, notamment, l’examen final. Doter
l’étudiant de la capacité de résoudre, lui – même, les différentes applications constitue donc la clé du
succès et de la réussite.
Jean-Paul Tsasa V., l’auteur.
Kinshasa, 8 mars 2010

 Assistant Jean – Paul TSASA V. Recherche opérationnelle Licence Administration des affaires 2
Chercheur co – accompli au Laréq /www.lareq.com /BP 16.626 Kinshasa I
Mail : [e-mail]
INTRODUCTION
La recherche opérationnelle n’est qu’un des outils d’analyse utilisés en science économique. A cet effet,
elle permet d’assigner de manière efficace les ressources ou activités dans la gestion et l’organisation
des systèmes complexes. A ce titre, la Recherche opérationnelle ne peut qu’intéresser les économistes
étant donné que l’économie se définit comme une discipline des sciences sociales ayant pour objet
d’étude l’allocation optimale des ressources rares et limitées à des fins multiples et concurrentes de
production et de consommation. Le schéma suivant illustre avec beaucoup d’éloquence le discours
précédent.
I. PROGRAMMATION LINEAIRE ET METHODES DE RESOLUTION
α/ PROGRAMMATION LINEAIRE
La programmation linéaire est un ensemble des techniques rationnelles d’analyse et de résolution de
programmes linéaires. Un programme linéaire ý, terminologie due à G.B. Dantzig, est un problème
d’optimisation consistant à maximiser ou à minimiser une fonction-objectif (fonction économique) de n
variables de décision soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous forme d’équations ou
d’inéquations linéaires. La solution à ce problème correspondra donc à une affectation de valeurs non
négatives aux variables du problème.
Le programme linéaire se présente comme suit :
Avec Z : la fonction-objectif ou fonction économique à optimiser
C : le vecteur de coefficients de la fonction-objectif, de dimension n
X : le vecteur des variables des décisions (inconnues), de dimension n
A : la matrice de coefficients techniques, de dimension mxn
B : le vecteur de ressources (termes constants) de dimension m
ý Un programme est qualifié de linéaire lorsque la fonction-objectif et les contraintes sont des combinaisons linéaires des
variables du premier degré.
SCIENCE ECONOMIQUE
C’est P.A Samuelson qui popularisa l’éclatement de l’économie en micro &
macro
Outils et méthodes d’analyse :
- Mathématiques
- Statistiques descriptive, mathématique, appliquée, …
- Modélisation (théorique, mathématique, économique)
- Econométrie (Microéconométrie, Macroéconométrie, …)
- Comptabilité nationale
- Recherche opérationnelle (programmation, simulation, gestion, …)
MICROECONOMIE
MACROECONOMIE
Macroéconomie microfondée (nouvelle approche développée et popularisée par la NEC)

 Assistant Jean – Paul TSASA V. Recherche opérationnelle Licence Administration des affaires 3
Chercheur co – accompli au Laréq /www.lareq.com /BP 16.626 Kinshasa I
Mail : [e-mail]
NOTE : l’introduction des variables d’ampleur dans les contraintes fonctionnelles permet de convertir les
inégalités en égalités et donc de passer de la forme canonique, à la forme standard d’un programme
linéaire.
Un programme linéaire peut se mettre sous de multiples formes, toutes équivalentes :
- Le sens de l’inégalité peut changer ;
- Le terme constant peut passer de gauche à droite ;
- Les inégalités peuvent être remplacées par des égalités en introduisant des variables d’écart
et/ou variables artificielles ;
- Le programme peut également être transposé.
Propriété d’un programme linéaire
En plus de la linéarité, l’autre propriété des éléments du problème est la convexité. La propriété de
convexité est liée à la définition du domaine d’un programme linéaire.
Par ailleurs, il faudra distinguer une solution faisable, une solution de base, une solution faisable de base,
une solution faisable de base optimale et une solution faisable de base non dégénérée.
Il découle de la propriété de convexité le théorème suivant :
Dans un ensemble convexe, un optimum (maximum ou minimum) local correspond à un optimum global.
Il est donc clair que ce théorème est très important puisque le programme linéaire se propose de
maximiser ou de minimiser l’objectif fixé dans la fonction économique c’est-à-dire de déterminer soit le
sommet maximum ou minimum, soit les sommets maximum ou minimum et toute combinaison linéaire
convexe de ces sommets. L’étudiant doit dès lors s’habituer aux différents concepts suivants portant sur
les ensembles. Les notions suivantes se rapportent essentiellement à la topologie générale ; le langage a
été simplifié afin de permettrait au débutant de bien déguster la recette scientifique.
NON VIDE
VIDE
SOLUTION (PROGRAMME) D’UN PROGRAMME LINEAIRE
Faisable ou
réalisable
Bornée : lorsque le problème admet au
moins une solution optimale
Non bornée : lorsque le problème n’admet
pas de solution optimale finie.
Lorsque toutes les contraintes sont
satisfaites.
Il n’existe pas de solution faisable ou
réalisable

 Assistant Jean – Paul TSASA V. Recherche opérationnelle Licence Administration des affaires 4
Chercheur co – accompli au Laréq /www.lareq.com /BP 16.626 Kinshasa I
Mail : [e-mail]
Notions à retenir nécessairement !
Combinaison linéaire convexe
des points ou des vecteurs
:
C’est tout point ou vecteur X d »fini par la relation :
Ensemble convexe
:
Un ensemble S est convexe si, pour toute paire de points a, b de S,
S contient aussi le segment le segment ab.
Polyèdre (polygone) convexe
:
Un polyèdre convexe Ρ est un ensemble convexe qui possède un
nombre fini de points extrêmes.
Sommet d’un ensemble
convexe
:
Un point frontière d’un ensemble convexe est un sommet si et
seulement si, il n’existe aucun point X1 et X2 (X1≠X2) appartenant à
l’ensemble tels que appartienne à
l’ensemble.
Minimum local
:
« a » est un minimum local de f s’il existe un voisinage V de a tel
que :
Minimum global
:
« a » est un minimum global de f dans D si et seulement si :
Maximum local
:
« a » est un maximum local de f s’il existe un voisinage V de a tel
que :
Maximum global
:
« a » est un maximum global de f dans D si et seulement si :
Ensemble borné
:
Un ensemble A est borné s’il existe une constante positive majorant
la norme de tous les éléments de A.
Ensemble fermé
:
Est un sous – ensemble d’un espace topologique qui contient tous
ses points limites (frontières).
Ensemble compact
:
D’après le théorème de Borele – Lebesgue, c’est un sous-ensemble
de Rn si et seulement s’il est fermé et borné.