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Recherche opérationnelle
Résumé des heuristiques
Et Recueil d’applications pour étudiants en gestion
Jean – Paul TSASA V. Kimbambu
copyright ©jptsasa-mars 2010
Graphe de Vaclav Chvátal −l’Hamiltonien, l’Eulerien, Théorème des 4 couleurs, 4-régulier, conjecture de Grünbaum
pm(X) :=det(XIn-M) : (x - 4)(x - 1)4x2(x + 1)(x + 3)2(x2 + x - 4)
Université Protestante au Congo
Département d’Administration des Affaires
LABORATOIRE D’ANALYSE – RECHERCHE EN ECONOMIE QUANTITATIVE
Avertissements
Ce recueil est en cours de rédaction, mais le besoin croissant chez les étudiants d’un support d’applications
cadrant avec la logique du cours tel qu’enseigné en Administration des affaires, nous a tout de même
poussés à ne mettre en circulation que la face visible de l’iceberg. L’édition complète sera prête qu’au
début de l’année académique 2010-2011.
Le principal souci qui nous anime tout au long de la rédaction de ce manuel est celui de comble un vide :
l’absence quasi-totale, depuis près de cinq années académiques successives, d’un recueil d’applications
pouvant relayer le cours magistral (suivant l’approche adoptée par le Professeur) aux travaux pratiques.
A ces jours, il est universellement admis que les mathématiques jouent un rôle fondamental dans le
développement de notre vie et dans le progrès réalisé par l’humanité, notamment en physique, sciences
sociales, gestion ou informatique.
Cependant, pour nombre d’étudiants, les mathématiques ne rendent pas toujours la vie plus facile. Cela
s’explique par le fait qu’ils s’attardent à voir le côté complexité de calcul, au lieu d’admirer ce qui
constitue sa beauté : le raisonnement mathématique.
Ce manuel n’a pas l’objectif de ne mettre en évidence que la complexité de calculs mathématiques mais
surtout la prééminence du raisonnement mathématique (raisonnement logique et rigoureux) sur la
compréhension des méthodes appliquées en recherche opérationnelle. Un langage simple et simplifié a
été adopté, à cet effet, afin de permettre à l’étudiant d’appréhender les méthodes et techniques de
résolution utilisées dans cette discipline. Par ailleurs, la recette d’applications qui seront proposée, par la
suite, l’aidera certainement à se préparer aux différentes épreuves, notamment, l’examen final. Doter
l’étudiant de la capacité de résoudre, lui – même, les différentes applications constitue donc la clé du
succès et de la réussite.
Jean-Paul Tsasa V., l’auteur.
Kinshasa, 8 mars 2010
 Assistant Jean – Paul TSASA V.
Chercheur co – accompli au Laréq /www.lareq.com /BP 16.626 Kinshasa I
Mail : [email protected]
Recherche opérationnelle
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1
INTRODUCTION
La recherche opérationnelle n’est qu’un des outils d’analyse utilisés en science économique. A cet effet,
elle permet d’assigner de manière efficace les ressources ou activités dans la gestion et l’organisation
des systèmes complexes. A ce titre, la Recherche opérationnelle ne peut qu’intéresser les économistes
étant donné que l’économie se définit comme une discipline des sciences sociales ayant pour objet
d’étude l’allocation optimale des ressources rares et limitées à des fins multiples et concurrentes de
production et de consommation. Le schéma suivant illustre avec beaucoup d’éloquence le discours
précédent.
SCIENCE ECONOMIQUE
C’est P.A Samuelson qui popularisa l’éclatement de l’économie en micro &
macro
MICROECONOMIE
MACROECONOMIE
Macroéconomie microfondée (nouvelle approche développée et popularisée par la NEC)
Outils et méthodes d’analyse :
-
Mathématiques
Statistiques descriptive, mathématique, appliquée, …
Modélisation (théorique, mathématique, économique)
Econométrie (Microéconométrie, Macroéconométrie, …)
Comptabilité nationale
Recherche opérationnelle (programmation, simulation, gestion, …)
I. PROGRAMMATION LINEAIRE ET METHODES DE RESOLUTION
α/ PROGRAMMATION LINEAIRE
La programmation linéaire est un ensemble des techniques rationnelles d’analyse et de résolution de
programmes linéaires. Un programme linéaire ý , terminologie due à G.B. Dantzig, est un problème
d’optimisation consistant à maximiser ou à minimiser une fonction-objectif (fonction économique) de n
variables de décision soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous forme d’équations ou
d’inéquations linéaires. La solution à ce problème correspondra donc à une affectation de valeurs non
négatives aux variables du problème.
Le programme linéaire se présente comme suit :
Avec Z : la fonction-objectif ou fonction économique à optimiser
C : le vecteur de coefficients de la fonction-objectif, de dimension n
X : le vecteur des variables des décisions (inconnues), de dimension n
A : la matrice de coefficients techniques, de dimension mxn
B : le vecteur de ressources (termes constants) de dimension m
ý
Un programme est qualifié de linéaire lorsque la fonction-objectif et les contraintes sont des combinaisons linéaires des
variables du premier degré.
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2
NOTE : l’introduction des variables d’ampleur dans les contraintes fonctionnelles permet de convertir les
inégalités en égalités et donc de passer de la forme canonique, à la forme standard d’un programme
linéaire.
Un programme linéaire peut se mettre sous de multiples formes, toutes équivalentes :
-
Le sens de l’inégalité peut changer ;
-
Le terme constant peut passer de gauche à droite ;
-
Les inégalités peuvent être remplacées par des égalités en introduisant des variables d’écart
et/ou variables artificielles ;
-
Le programme peut également être transposé.
Propriété d’un programme linéaire
En plus de la linéarité, l’autre propriété des éléments du problème est la convexité. La propriété de
convexité est liée à la définition du domaine d’un programme linéaire.
SOLUTION (PROGRAMME) D’UN PROGRAMME LINEAIRE
VIDE
Faisable ou
réalisable
Il n’existe pas de solution faisable ou
réalisable
NON VIDE
Lorsque toutes les contraintes sont
satisfaites.
Bornée : lorsque le problème admet au
moins une solution optimale
Non bornée : lorsque le problème n’admet
pas de solution optimale finie.
Par ailleurs, il faudra distinguer une solution faisable, une solution de base, une solution faisable de base,
une solution faisable de base optimale et une solution faisable de base non dégénérée.
Il découle de la propriété de convexité le théorème suivant :
Dans un ensemble convexe, un optimum (maximum ou minimum) local correspond à un optimum global.
Il est donc clair que ce théorème est très important puisque le programme linéaire se propose de
maximiser ou de minimiser l’objectif fixé dans la fonction économique c’est-à-dire de déterminer soit le
sommet maximum ou minimum, soit les sommets maximum ou minimum et toute combinaison linéaire
convexe de ces sommets. L’étudiant doit dès lors s’habituer aux différents concepts suivants portant sur
les ensembles. Les notions suivantes se rapportent essentiellement à la topologie générale ; le langage a
été simplifié afin de permettrait au débutant de bien déguster la recette scientifique.
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3
Notions à retenir nécessairement !
Combinaison linéaire convexe
:
C’est tout point ou vecteur X d »fini par la relation :
:
Un ensemble S est convexe si, pour toute paire de points a, b de S,
des points ou des vecteurs
Ensemble convexe
S contient aussi le segment le segment ab.
Polyèdre (polygone) convexe
:
Un polyèdre convexe Ρ est un ensemble convexe qui possède un
nombre fini de points extrêmes.
Sommet
d’un
ensemble
:
convexe
Un point frontière d’un ensemble convexe est un sommet si et
seulement si, il n’existe aucun point X1 et X2 (X1≠X2) appartenant à
l’ensemble tels que
appartienne à
l’ensemble.
Minimum local
:
« a » est un minimum local de f s’il existe un voisinage V de a tel
que :
Minimum global
:
« a » est un minimum global de f dans D si et seulement si :
Maximum local
:
« a » est un maximum local de f s’il existe un voisinage V de a tel
que :
Maximum global
:
« a » est un maximum global de f dans D si et seulement si :
Ensemble borné
:
Un ensemble A est borné s’il existe une constante positive majorant
la norme de tous les éléments de A.
Ensemble fermé
:
Est un sous – ensemble d’un espace topologique qui contient tous
ses points limites (frontières).
Ensemble compact
:
D’après le théorème de Borele – Lebesgue, c’est un sous-ensemble
de Rn si et seulement s’il est fermé et borné.
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4
β/ METHODES DE RESOLUTION D’UN PROGRAMME LINEAIRE
Il y a lieu de distinguer plusieurs techniques, méthodes ou algorithme de résolution d’un programme
linéaire. Deux méthodes seront privilégiées et explicitées, à savoir, la méthode graphique et l’algorithme
du simplexe, avant de présenter l’analyse de la sensibilité et la programmation paramétrique. Enfin, une
série d’applications sera reprise à la fin du résumé.
Le choix de méthode et le préalable avant l’application de ces méthodes doivent s’effectuer
intelligemment puisqu’ils diffèrent d’une méthode à une autre. Le schéma ci-dessous est si éloquent à cet
effet.
CRITERE DE CHOIX DE LA METHODE DE RESOLUTION
Programme linéaire avec 2 variables
Programme linéaire avec plus 2 variables
↓
↓
A partir de la forme canonique
Passer de la forme canonique
↓
→ à la forme standard
Résoudre le problème avec la méthode
↓
graphique
Appliquer l’algorithme du simplexe
Résolution d’un programme linéaire par la méthode graphique :
La résolution graphique d’un programme linéaire correspond à une présentation géométrique qui
approche la solution du problème posé.
Dans la résolution de programmes linéaires, l’application de la méthode graphique est généralement
souhaitée lorsque le problème ne comprend que 2 variables principales.
1ère étape : Dérivation des droites limites et des sommets de l’ensemble solution
ème
2
-
Résoudre le système d’inéquations (contraintes fonctionnelles).
étape : Délimitation les domaines d’acceptabilité
Hachurer l’ensemble-solution (la zone qui vérifie l’inéquation correspondante).
3ème étape : Recherche des combinaisons optimales
-
Substituer chaque combinaison (sommet) dans la fonction économique, la combinaison qui
optimise (maximise/minimise selon le cas) la fonction-objectif correspond à la solution
optimale.
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5
Algorithme du simplexe ou méthode de tableaux
George Bernard DANTZIG (1914-2005) : mathématicien américain, inventeur de l'algorithme du simplexe et
considéré comme l’un des principaux contributeurs au développement de la programmation linéaire.
L’invention de la programmation linéaire, indissociable de celle de l’algorithme du simplexe en 1947,
constitue l’un des tours de force mathématiques du vingtième siècle. En plus de ses travaux sur l'algorithme
du simplexe et la programmation linéaire, G.B. Dantzig a aussi travaillé sur la théorie de la décomposition,
la sensitivity analysis, les méthodes de résolution matricielles avec pivot, l'optimisation à grande échelle,
la programmation non-linéaire et le programming under uncertainty.
Un simplexe est un polyèdre, dans l'espace à n dimensions ayant exactement (n + 1) points extrêmes.
L’algorithme du simplexe exige, au départ, une transformation du programme de la forme canonique à la
forme standard ; cela se fait en introduisant les variables d’écart Yj dans les contraintes fonctionnelles.
FORME CANONIQUE
Max Z = C1X1 + C2X2 + … + CnXn
S/C
→
FORME STANDARD
Max Z = C1X1 + C2X2 + … + CnXn + 0Y1 + 0Y2 + … + 0Ys
a11X1 + a12X2 + … + a1nXn
≤
b1
a11X1 + a12X2 + … + a1nXn + Y1
=
b1
a21X1 + a22X2 + … + a2nXn
≤
b2
a21X1 + a22X2 + … + a2nXn
=
b2
=
bm
.
.
.
.
.
.
am1X1 + am2X2 + … + amnXn
≤
bm
+ Y2
am1X1 + am2X2 + … + amnXn
Et Xj ≥ 0
+ Ys
Et Xj ≥ 0, Yj ≥ 0
NOTE : le problème
peut également s’écrire comme suit :
Algorithme primal du simplexe
1ère étape : Passage de la forme canonique à une forme standard.
2ème étape : Construction d’un tableau qui permet d’appliquer le test d’optimalité, de réaliser les
itérations et de quantifier l’objectif à optimiser (initialement Z=0).
X1
a11
a21
.
.
.
am1
-C1
X2
a12
a22
am2
-C2
…
…
Xn
a1n
a23
Y1
1
0
Y2
0
1
amn
-Cn
0
0
0
0
Note : ais
…
…
Ys
0
0
1
b1
b2
1
0
bm
Z
qi=bi/ais
b1/a1s
b2/a2s
.
.
.
bm/ams
ligne pivot
3ème étape : Test d’optimalité
-
La solution courante est optimale si tous les coûts Ci sont non négatifs ;
-
Dans le cas contraire (si au moins un coût est négatif), passer à l’étape 4.
4ème étape : Détermination de la colonne-pivot et de la ligne-pivot :
-
Colonne-pivot : correspond à la colonne contenant le plus petit coût négatif ;
-
Ligne-pivot : correspond à la ligne qui contient le plus petit qi non négatif.
5ème étape : Transformation du tableau (itération) en vue de l’obtention d’un nouveau tableau.
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Le nouveau tableau s’obtient comme suit :
Colonne-pivot : remplacer l’élément pivot par 1 et les autres éléments de la colonne-pivot par
-
0.
Ligne-pivot : diviser tous les éléments de la ligne-pivot par l’élément pivot ars.
-
Pour toutes les autres lignes et colonnes, appliquer ce calcul :
Ancien tableau
Nouveau tableau
e
w
e
e*= ?
0
e*= ?
u
ars
u
u/ ars
1
u/ ars
e
w
e
e*= ?
0
e*= ?
u : élément quelconque sur la ligne-pivot // w : élément quelconque sur la colonne-pivot
ars : élément-pivot
→
: cette formule permet donc d’obtenir les différentes valeurs de aij,
bi, Cj et Z dans le nouveau tableau, soit aij*, bi*, Cj* et Z*.
6ème étape : Reprendre l’étape 2.
Le problème dual
A tout problème de maximisation (ou minimisation), on peut associer un problème de minimisation (ou
maximisation) correspondant. En notant par PRIMAL le problème initial ; le problème correspondant
s'appellera donc DUAL.
Illustration par un exemple la notion de Primal et Dual.
PRIMAL
DUAL
Maximiser π = 36X1 + 24X2
Minimiser C = 32Y1 + 40Y2 + 55Y3
S/C : 5X1 + 8X2 ≤ 32
S/C: 5Y1 + 4Y2 + 7Y3 ≥ 36
4X1 + 6X2 ≤ 40
8Y1 + 6Y2 + 9Y3 ≥ 24
7X1 + 9X2 ≤ 55
Avec X1, X2 ≥ 0
Avec Y1, Y2, Y3 ≥ 0
π : profit et C : coût de production.
Il ressort de cette illustration quelques principes très simples :
* Chaque contrainte primale correspond une variable duale réelle, ainsi, le nombre de variables du dual doit
toujours être égal au nombre de contraintes du primal ; * Chaque variable primale réelle correspond une
contrainte duale; * Le sens de l'optimisation est inversé : si le primal est un problème de maximisation, le
dual est alors un problème de minimisation et vice versa ; * La matrice des coefficients des variables dans
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les contraintes du dual est la matrice transposée des coefficients de variables du primal ; *Les coefficients
économiques des variables duales sont les valeurs figurant au second membre des contraintes primales ; *
Les seconds membres des contraintes du dual sont les coefficients des variables primales ; * Les signes des
inégalités des contraintes du dual sont les signes renversés des constantes du primal, mais la contrainte de
non négativité sur les variables de décision subsiste.
NOTE : Le problème dual est opposé au primal, par conséquent, il possible de dériver la solution de l'un à
partir de celle de l'autre. Comparativement aux notions d’inverse matriciel ou de transposition, le primal est
le dual du dual. Par ailleurs, comme le nombre d'itérations nécessaires pour la solution du simplexe dépend
aussi du nombre d'équations du tableau du simplexe, ainsi, le problème dual ne fournit des opérations plus
simples que le primal lorsque le dual a moins de lignes que le primal.
APPLICATIONS I
APPLICATION 1/
Une entreprise d'assemblage d'automobiles rassemble des voitures et des camions dans
une usine divisée en deux
ateliers. L'atelier I, où s'effectue le travail d'assemblage et de montage, et l'atelier II où s'accomplissent toutes les
opérations de finissage. L'atelier I emploie 10 journées de travail par camion et 4 journées par voiture. L'atelier II emploie 6
journées de travail indifféremment un camion ou une voiture. En raison de limitations de personnel et de machines, l'atelier
I peut disposer de 252 journées de travail par an et l'atelier II 189 journées. Si l'entreprise fait un profit de 450 F par
camion et de 300 F par voiture, combien doit-il produire de chaque type de véhicules pour maximiser son profit ?
APPLICATION 2/
La société minière du KATANGA (la SOMIKA) possède deux puits différents de cobalt. Les puits sont en deux lieux distincts
et n'ont pas la même capacité de production. Le cobalt est d'abord concassé, puis rangé sans l'une des trois qualité suivant
sa teneur : minerais riche, moyen et pauvre. Les trois qualités sont demandées sur le marché.
APPLICATION 3/
La SOMIKA s'est engagée à fournir à une fonderie 150 tonnes de minerai riche, 100 de moyen et 300 tonnes de minerai
pauvre par semaine. L'exploitation du premier puits coûte à la société 1.750 F par jour et celle du deuxième 1.200 F par
jour. En un jour d'exploitation le premier puits produit 30 tonnes en de minerai riche, 10 tonnes de minerai moyen et 20
tonnes de minerai pauvre et le deuxième puits, 10 tonnes de minerai riche, 10 tonnes de minerai moyen et 60 tonnes de
minerai pauvre. Combien de jours par semaines faut-il exploiter chaque mine pour que les engagements soient tenus le
plus économiquement possibles ?
APPLICATION 4/
Soit à transporter les marchandises produites dans les usines P1, P2... Pi...Pm vers les centres de consommation D1, D2 ...,
Dj... Dn. Les quantités produites dans une usine i sont qpi, les quantités demandées dans un centre de consommation j sont
qdj et les coûts de transport cij d'une quantité de marchandises du centre de production Pi vers le centre de consommation
Dj se trouvent dans le tableau ci-dessous :
D1
D2
D3
D4
qpi
P1
15
10
3
8
65
P2
6
6
10
8
78
P3
1
10
10
8
29
qdj
40
45
30
20
Formuler le programme de ce problème.
APPLICATION 5/
AFRIPAINT veut lancer sur le marché deux autres sortes de peintures : Pastel Mauve (PM) et Pastel Pourpre (PP). Ces
peintures sont des mélanges de trois couleurs : le rouge, le bleu et le blanc. Dans une première période, on produira 1.000
kg de PM et 500kg de PP. Le PM doit contenir entre 15% et 25% de rouge et entre 10% et 15% de bleu. La quantité de
blanc, pour le PM, doit être au moins deux fois la quantité de rouge + le bleu. Le PP doit contenir entre 5 et 10% de rouge
et entre 15 et 20% de bleu. Pour le PP, la quantité de la couleur blanche doit être au moins trois fois la quantité de rouge
et le bleu. Le rouge coûte 50 Fr/kg. Le prix du bleu est de 60 Fr/Kg et le blanc coûte 70 Fr le kilo. Le rouge doit être
importé; la licence de la Banque Centrale du Congo pour ce produit est limitée à un maximum de 1.200. AFRIPAINT veut
minimiser le coût. Formuler le programme linéaire de ce problème.
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8
APPLICATION 6/
Hydro-Congo veut lancer deux nouvelles marques d'huile sur le marché. Ces nouvelles huiles sont en fait des mélanges des
huiles importées. Les conditions techniques font que la marque I doit contenir au moins 10% de Shell, au moins 5% de
Fina, au moins 20% de Mobil et au moins 30% de British Petroleum (B.P.). Pour la marque II, le mélange contient au moins
15% de Shell, au moins 50% de Fina, au moins 5% de Mobil et au moins 10% de B.P. L'huile Shell coûte 1,70 F le litre,
l'huile Fina, 1,80 F/litre, l'huile Mobil, 1,70 F/litre et l'huile B.P. 2 F le litre. Les livraisons minimales pour chaque entreprise
pétrolière sont de 300 litres pour Shell, 500 litres pour Fina, 200 litres pour Mobil et 500 litres pour B.P. Toutefois, pour la
marque I, la quantité achetée par Mobil et B.P. est au plus égale à quatre fois celle de Shell plus Fina. Comme Société
d'Etat, Hydro-Congo accepte de vendre à perte, tout en s'efforçant de minimiser le coût. Hydro-Congo doit produire 1.000
litres pour la marque I et 600 litres pour la marque II.
Travail demandé :
a. Formuler le programme linéaire de ce problème;
b. Combien y a-t-il de variables ? De contraintes ?
APPLICATION 7/
Donner la Forme standard des programmes suivants:
a) Maximiser Z = 4x1 + 3x2 - x3 + 2x4 +6x5
S/C :
3x1 + x3 - x5 = 3 ; 2x1 + x2 - 3x4 = -12 ;
Avec xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, 4, 5)
b)
c)
d)
Minimiser Z = 4x1 + 2x2
Soumises aux contraintes :
Maximiser P = x + y
Sous les contraintes :
x2 + x3 + x5 = 4
4x1 + x2 ≥ 20, 2x1 + x2 ≥ 14 ; x1 + 6x2 ≥ 18 et x1, x2 ≥ 0
2y - x + 1 ≥ 0, y - 2x + 5 ≥ 0 ; x ≥ 0 et y ≥ 0
Maximiser Z = -x + 0,5y
Soumises aux contraintes : -2y + x - 1 ≥ 0, y - x - 1 ≥ 0 ;
x ≥ 0 et y ≥ 0
APPLICATION 8/
La compagnie AGRIFOR veut utiliser aux mieux les ressources en bois de ses propriétés forestières. Dans cette région, il y
a une science et une fabrique de contre-plaqués. Le bois coupé peut ainsi être transformé en bois de charpente ou en
contre-plaqué ? Pour produire 100m3 de bois de charpente, il faut 100 m de planches de «Nkamba» et 3.000 m de planche
d'eucalyptus (ces planches ayant une largeur et une épaisseur fixées). Pour produire 1.000 m de planche de contreplaqués, il faut 2.000 m de planches de «Nkamba» et 4.000 m de planches d'eucalyptus. La compagnie peut couper par
période 32.000 m de planches de Nkamba et 72.000 m de planches d'eucalyptus. Les contraintes de vente exige qu'au
moins 400 m3 de bois de charpente et 12.000 m de planches de contre-plaqué soient produits pendant la période. Le profit
est de 400 $ pour 100 m3 de bois de charpente et de 600 $ pour 1.000 m de planches de contre-plaqué. La demande est
suffisante pour absorber toute la production possible de l'AGRIFOR.
Travail demandé :
a) Formuler le problème mathématiquement ;
b) Résoudre le problème graphiquement ;
APPLICATION 9/
Un manufacturier produit des tables et des bureaux. Chaque table requiert 2,5 heures pour l'assemblage, 3 heures pour le
buffing et 1 heure pour le grating. La production de chaque bureau exige 1 heure d'assemblage, 3 heures de buffing et 2
heures de grating. La firme peut utiliser tout au plus 20 heures pour l'assemblage, 30 heures pour le buffing et 16 heures
pour le grating par semaine. Son profit marginal est de 30 $ par table et de 40 $ par bureau. Utiliser la méthode graphique
pour trouver la production qui maximise le profit hebdomadaire de la firme.
APPLICATION 10/
Une société produit deux types d'aciers. Le type 1 exige deux heures de fusion, 4 heures de laminage et 10 heures de
tranchée (coupure). Le type II exige 5 heures de fusion, une heure de laminage et 5 heures de tranchée. 40 heures sont
utilisables pour la fusion, 20 heures pour le laminage et 60 pour la tranchée. Le profit marginal est de 2400 $ pour le type I
et de 800 $ pour le type II. Déterminer la combinaison d'output qui maximise le profit de la firme.
APPLICATION 11/
Un horticulteur souhaite mélanger des fertilisants pourvoyant un minimum de 15 unités de potasse, 20 unités de nitrates et
24 unités de phosphate. La première marque pourvoie 3 unités de potasse, une unité de nitrate et 3 unités de phosphate.
Elle coûte 120 F. La marque II pourvoie 1 unité de potasse, 5 unités de nitrate et 2 unités de phosphate. Elle coûte 60 F.
Déterminer la combinaison de fertilisants que l'horticulteur peut acquérir au moindre coût.
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9
APPLICATION 12/
Utiliser l'algorithme de simplexe pour résoudre le programme linéaire suivant :
Max
P = 3y1 + 4y2
S/C : 2,5y1 + 3y2 ≤ 20, 3y1 + 3y2 ≤ 30
avec y1, y2 ≥ 0
y1 + 2y2 ≤ 16
APPLICATION 13/
Résoudre par l'algorithme du simplexe le PL : Max P = 30x1 + 24x2 + 60x3
S/C :
6x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 30, 2x1 + 2x2 + 10x3 ≤ 50 et x1, x2, x3 ≥ 0
APPLICATION 14/
Soit le problème primal : Minimiser C = 36x1 + 30x2 + 40x3
S/C :
2x1 + 5x2 + 3x3 ≥ 40, 6x1 + 3x2 + 2x3 ≥ 60 et x1, x2, x3 ≥ 0
a)
b)
Formuler le dual;
Résoudre le dual graphiquement, utiliser cette solution pour trouver les valeurs optimales de la fonction
objective du primal et de la variable de décision du primal.
APPLICATION 15/
Etant donné le problème primal suivant : Max P = 5x1 + 3x2
S.C.
6x1 + 2x2 ≤ 36, 5x1 + 5x2 ≤ 40, 2x1 + 4x2 ≤ 28, avec x1, x2 ≥ 0
a)
b)
Formuler le dual ;
b. Résoudre le dual par l'algorithme de simplexe.
APPLICATION 16/
Formuler le dual du programme linéaire suivant :
Max Z = 1,8x1 + 2,4x2 + 6x3 + x4
Avec les contraintes :
2,4x1 + 3,2x2 + 4x3 + 7,2x4 ≤ 21
3,0x1 + 17 x2 + 80x3 + 2,0x4 ≥ 48 avec x1, x2, x3, x4 ≥ 0
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10
II. PROGRAMMES DU TRANSPORT ET D’AFFECTATION
α/ PROBLEME LINEAIRE DU TRANSPORT : les méthodes abrégées
Caractéristiques
-
Un problème de transport est un programme de minimisation du coût de transport.
-
C’est un problème qui s’inscrit dans la lignée de programmes linéaires
Le problème de transport a pour but d’acheminer au moindre des marchandises depuis m origines vers n
destinations.
Autrement, le problème peut s’illustrer comme suit :
Places « »
Zi = Offre de produit Xij
Origine (dépôts, usines)
Note : les places «
colonne.
: quantité des produits transportés de l’origine
destination
.
: coût de transport d’une unité du produit
places
aux places .
à la
Places «
»
Wi = demande de produit Xij
Destination (points de
vente, clients)
de
» se lisent suivant la logique ligne, alors que les places «
» se lisent suivant la logique
La formulation et la résolution d’un programme de transport a pour cible :
-
La minimisation du coût de transport
-
L’obtention d’une demande excédentaire nulle c’est-à-dire satisfaire la demande dans toutes les
places
et éliminer les fournitures dans toutes les places
En conséquence, il y a de souligner qu’avant toute résolution d’un programme de transport, il faut
toujours s’assurer de l’égalité entre l’offre de l’ensemble de toutes les places
des places
et la demande globale
soit :
En cas d’inégalité, inclure dans le problème une place fictive (place additionnelle) avec des valeurs
arbitraires de coûts :
Ajouter une colonne fictive. Cette colonne correspond donc à un
écoulement de surplus
Ajouter une ligne fictive afin de saturer la production.
A partir des cas pratiques, nous allons passer en revue les différentes techniques de résolution d’un
problème de transport. En s’intéressant en un premier temps aux méthodes qui permettent d’obtenir un
plan de transport faisable, et ensuite, au test d’optimalité.
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11
* COMMENT ECRIRE UN PROBLEME DE TRANSPORT
Un problème du transport peut être présenté
Sous forme d’un modèle mathématique :
Optimisation (minimisation du coût) sous contraintes
Sous forme tabulaire :
Matrice, grille ou tableau et vecteur (offre et demande)
Sous forme d’un graphe biparti
Sachant que
, le problème du transport peut donc s’écrire comme suit :
PRINCIPAUX ELEMENTS D’UN MODELE DE TRANSPORT
IDENTIFICATION DE LA MATRICE DE COÛTS DE
TRANSPORT
Explicitement, la matrice de coûts unitaires :
C =[Cij] se présente comme suit :
* Vecteur-colonne d’offres : Z = (Zi) = (Z1, Z2, …, Zm)
Au départ (initialement), la matrice courante est
composée des éléments Xij (pour tout i et j) tel
que Xij=0. Soit :
* Vecteur-ligne de demandes : W = (Wj) = (W1, W2, …, Wn)
Avec I = {1, 2, …, m}
Note :
Avec J= {1, 2, …, n}
L’indice « i » fait toujours référence à la ligne et l’indice « j », à la colonne.
Avant de résoudre un problème de transport, vérifier toujours :
In fine,
les matrices C et X peuvent être représentées dans un tableau (grille) unique. En
conséquence, les données relatives au problème de transport peuvent être disposées comme suit :
Places Ai : Offreurs
du bien Xij 
A1
A2
.
.
.
Am
Places Bj : demandeurs du bien Xij 
B1
B1
…
C11
C12
…
X11
X12
C21
C22
X21
X22
.
.
.
Cm1
Cm2
Xm1
Xm2
…
W1
W2
Bn
C1n
Z1
X1n
C2n
Z2
X2n
.
.
.
Zm
Cmn
I = {1, 2, …, m}
Xmn
…
Wn
J= {1, 2, …, n}
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12
LES METHODES DE RESOLUTION D’UN PROBLEME DU TRANSPORT
Comme il est toujours intéressant pour un guitariste de disposer d’une guitare avec plusieurs cordes, il
en de même pour l’économiste mais pour les méthodes ou technique de recherche. A cet effet, la
Recherche opérationnelle disponibilise plusieurs méthodes pour résoudre les problèmes du transport.
Certaines méthodes ignorent les éléments de la fonction-objectif (méthode du coin nord-ouest ou règle
du coin supérieur gauche), une deuxième catégorie des méthodes considère les coefficients de la
fonction-objectif et enfin, une troisième catégorie permet de tester l’optimalité d’un plan de transport
(méthode de stepping-stone).
Généralement, la résolution d’un problème du transport commence par la détermination d’un plan de
transport faisable qui n’est nécessairement pas optimal. Pour ce faire, il faut un test pour s’assurer de
l’optimalité ou non d’un plan de transport. Le schéma suivant permet de visualiser les différentes méthodes de
résolution d’un programme de transport, de la détermination du plan de transport faisable au test d’optimalité.
1ère étape : DETERMINATION D’UN PLAN DE TRANSPORT FAISABLE (ADMISSIBLE)
Méthodes ignorant les éléments de la fonction-
Méthodes considérant les éléments de la
objectif
fonction-objectif
↓
↓
Méthode du coin nord-ouest
Méthode du minimum de la ligne
Méthode du minimum de la colonne
Méthode du minimum de tableau
Méthode de double préférence
Méthode d’approximation de Vogel
Obtention d’un plan de transport faisable
 Le plan de transport est-il optimal ? 
2ère étape : TEST D’OPTIMALITE OU TECHNIQUES DE VALORISATION
Si le plan n’est pas optimal
Amélioration du plan de transport par l’algorithme du stepping stone jusqu’à l’obtention d’un plan optimal
Source : notre propre conception
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EXPLICITATIONS DES ALGORITHMES SUR LES DIFFERENTES METHODES DE RESOLUTION D’UN
PROBLEME DE TRANSPORT
Les différentes étapes d’une itération pour la méthode de :
COIN NORD-OUEST
MINIMUM DE LA
LIGNE
MINIMUM DE LA
COLONNE
MINIMUM DE LA MATRICE
Initialement X = [Xij]
où xij = 0
Avec I = {i} et J = {j}
Initialement X = [Xij] où
xij = 0
Avec I = {i} et T
Initialement X = [Xij] où
xij = 0
Avec J = {j} et T
Initialement X = [Xij] où xij
=0
Avec I = {i}, J = {j} et T
T : correspond aux différents éléments de la matrice de coût qu’il ne
faudrait pas considérer.
1ère étape :
Déterminer r et s
1ère étape :
Déterminer r
1ère étape :
Déterminer s
1ère étape :
Déterminer s
r = le plus petit indice-ligne I et s = le plus petit indice-colonne J [on sait que I = {1, 2, .., m} et J = {1,
2, …, n}]
2ème étape :
Préciser
et
déterminer
et
tel que:
3ème étape :
Poser
et calculer
les nouvelles valeurs de
pour
les
nouveaux
vecteurs
Z=(Zi) et W=(Wj) :
2ème étape :
Déterminer
(dans ce
cas, c’est la plus petite
valeur
sur
la
ligne
« r ») ;
Et
préciser
«s»
correspondant.
Note :
2ème étape :
Déterminer
(dans ce
cas, c’est la plus petite
valeur sur la colonne
« s ») ;
Et
préciser
«r»
correspondant.
2ème étape :
Déterminer
(dans ce cas,
c’est la plus petite valeur sur
la colonne « s ») ;
Et
préciser
«r»
correspondant.
3ème étape :
* Préciser
3ème étape :
* Préciser
3ème étape :
* Préciser
déterminer
et
et
tel que:
* Poser
et calculer
les nouvelles valeurs de
:
déterminer
et
et
tel que:
* Poser
et calculer
les nouvelles valeurs de
:
déterminer
* Poser
nouvelles
:
et
et
tel que:
et calculer les
valeurs
de
, correspondant à la ligne r et à la colonne s
4ème étape :
La matrice courante X
constitue un un plan de
transport faisable si et
seulement
4ème étape :
La matrice courante X
constitue un un plan de
transport faisable si et
seulement
4ème étape :
La matrice courante X
constitue un un plan de
transport faisable si et
seulement
4ème étape :
La
matrice
courante
constitue un un plan
transport faisable si
seulement
Dans le cas contraire, reprendre les différentes étapes de l’itération.
Note : La méthode du coin nord-ouest est également qualifiée de règle du coin supérieur gauche. Du
point de vue mathématique, cette méthode consiste donc à faire entrer dans la base les variables
par ordre lexicographique croissant sans faire sortir de la base les variables que l’on fait entrer.
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14
X
de
et
Méthode de double préférence :
Initialement
et X = [Xij] avec Xij = 0
1ère étape :
Déterminer :
* l’ensemble Q : Q = {Cis}
* l’ensemble S : S = {Crj}
où Cis est le coût minimum sur chaque ligne
où Crj est le coût minimum sur chaque colonne
2ème étape :
Noter :
M(2) : l’ensemble des Cij appartenant, à la fois, aux ensembles Q et S.
M(1) : l’ensemble des Cij appartenant soit seulement à Q, soit seulement à S.
M(0) : l’ensemble de Cij n’appartenant ni à Q, ni à S.
Et poser k = 1 et l = 2 (indice tournant)
3ème étape :
4ème étape :
*Déterminer
et preciser Zr et Ws
*Si
5ème étape :
Calculer :
6ème étape :
.
Dans le cas contraire, reprendre l’étape 4.
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Méthode d’approximation de Vogel :
Synonyme : heuristique de Balas-Hammer/ méthode de la différence maximale/ méthode la pénalité
unitaire/ méthode des regrets maximaux successifs
Peter Ladislaw HAMMER
(1936-2006)
Mathématicien
américain
d’origine
roumaine. Il est un chercheur prolifique
et influent en mathématiques discrètes
appliquées
et
en
recherche
opérationnelle. Il est considéré comme
le fondateur et le principal contributeur
de la théorie des fonctions booléennes.
Egon
Balas :
Economiste
et
mathématicien
roumain
d’origine
hongroise. Ses recherches portent sur la
programmation
mathématique,
notamment l’optimisation en nombres
entiers et combinatoires. Il est à
l’origine
de
la
programmation
disjonctive, de méthodes polyédrales,
lift-and-project, shiffing heuristic.
La méthode d’approximation de Vogel fournit général une solution très proche de l’optimum, en ce que le
nombre de changement de plan nécessaire pour l’obtention d’une solution optimale est peu élevé.
Initialement
ère
1
et X = [Xij] avec Xij = 0
étape :
*Déterminer sur chaque ligne le coût minimum, noté
, et à chaque fois, avant de passer à la ligne qui
suit, exclure la colonne « s », puis déterminer le coût minimum
*Ensuite, calculer
pour chaque ligne i.
2ème étape :
*Déterminer sur chaque colonne le coût minimum, noté
, et à chaque fois, avant de passer à la
colonne qui suit, exclure la ligne « s », puis déterminer le coût minimum
*Ensuite, calculer
pour chaque ligne j.
3ème étape :
Définir l’ensemble
et prendre, parmi les éléments de cet ensemble, celui qui a la plus grande
valeur, on le note .
4ème étape :
5ème étape :
Calculer :
6ème étape :
.
Dans le cas contraire, reprendre Les différentes étapes de l’itération.
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16
Méthode fréquence :
Cette méthode ne se propose pas de déterminer (à partir de la matrice C) le plan de transport faisable
mais plutôt une matrice, notée , à partir de laquelle il faudra appliquer une de méthodes développées
précédemment pour dégager le plan de transport faisable.
1ère étape :
Déterminer et
:
2ème étape :
Calculer
Et construire la matrice
3ème étape :
4ème étape :
Déterminer dans la matrice , le plus petit coût, noté
Construire la matrice constante K, telle que :
Et calculer
et passer à l’étape 5
5ème étape :
Appliquer une des méthodes développées précédemment pour déterminer le plan de transport faisable.
La démarche à suivre à suivre pour résoudre le problème du transport se résume comme suit :
PROBLEME DE TRANSPORT ; exprimé :
* sous forme tabulaire (matricielle)
1b
* sous forme d’une optimisation sous
Transformer la matrice C par la méthode de
fréquence en matrice
contrainte (programme linéaire)
1a
2b
Appliquer une des 6 méthodes développées
précédemment
2a
Obtention d’un plan de transport
La solution courante est-elle optimale ?
faisable (1ère solution de base)
Si oui, ce que la 1ère solution de base est
optimale.
Si non, appliquer l’algorithme primal-dual
jusqu’à l’obtention du plan optimal.
Source : notre propre conception
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17
APPLICATIONS II
APPLICATION 1/
Soit trois firmes avec le stock de (21, 11, 13) unités et trois places avec la demande de (15, 13, 12) unités. La matrice
des coûts unitaires C est :
7
6
8
12
5
4
9
8
5
Dégagez, par la méthode du coin nord-ouest les quantités à transporter par origine et destination et calculez le coût y
afférant.
APPLICATION 2/
Etablir par la règle du coin supérieur gauche le plan de transport faisable et dégager coût de transport à cet effet,
sachant que la grille des coût unitaires est :
Dépôt 1
Dépôt 2
Dépôt 3
Demande
Client
1
10
10
20
Client
2
20
8
7
Client
3
9
30
10
5
4
6
Production
7
4
4
APPLICATION 3/
La Société TORNQVIST possède trois unités de production où elle fabrique, entre autres, les ampoules ; elle commercialise
ses produits à travers quatre entrepôts situés dans les principales zones de consommation. Le programme ci-après indique
pour chaque unité Ai la capacité de production des ampoules, et pour chaque place Bj la demande des ampoules émanant
de la zone de consommation correspondante ainsi que les coûts de transport unitaires entre chaque usine et chaque
marché. La formulation de ce problème est :
Minimiser C = 64 X11 + 50X12 + 77 X13 + 14 X14 + 37 X21 + 20
+ 48 X34
t.q. X11 + X12 + X13 + X14
=
x21 + x22 + x23 + x24
=
x31 + x32 + x33 + x34
=
x11 + x21 + x31
=
x13 + x22 + x32
=
x13 + x23 + x33
=
x14 + x24 + x34
=
Et Xij ≥0
X22 + 48 X23 + 24 X24 + 25 X31 + 14 X32 + 15 X33
1000
200
400
700
100
300
500
Déterminez par la méthode du minimum de la ligne le plan de transport faisable de base.
APPLICATION 4/
La compagnie sucrière de Kwilu-Ngongo qui produit du sucre qu’elle stocke dans des dépôts à Kinshasa. Elle dispose de
gros clients qui lui passent de façon régulière des commandes et à chacun desquels elle vend du sucre à des prix
intéressants. La sucrière utilise le service de transport de Transbenz. Déteminez la première solution de base de ce
plan de ce transport lorsque la méthode du minimum de la matrice est préférée :
Quantités commandées par les clients
Quantité disponible en dépôts
Les coûts respectifs
:
:
:
500
800
6
7
5
 Assistant Jean – Paul TSASA V.
Chercheur co – accompli au Laréq /www.lareq.com /BP 16.626 Kinshasa I
Mail : [email protected]
100
1 200
3
5
3
800
1 000
3
1
4
Recherche opérationnelle

700
5 000
2
5
5
2
7
5
Licence Administration des affaires
18
APPLICATION 5/
L’entreprise SEP-Congo qui approvisionne en produit pétrolier la RDC, dispose de 4 voies d’approvisionnements :
Banana, Matadi, Mombassa et Lusaka. Les quantités disponibles par ces différentes voies sont : 150 000 par Banana,
345 000 par Matadi, 150 000 par Mombassa et 150 000 par Lusaka.
A partir de ces voies, la société doit fournir du carburant aux villes suivantes dont les besoins s’établissent comme
suit : 350 000 pour Kinshasa, 120 000 pour Kisangani, 80 000 pour Goma, 45 000 pour Kalemie et 200 000 pour
Lubumbashi. La répartition des coûts supportés pour le transport du carburant de lieux d’approvisionnement vers les
principales villes demandeurs est résumée par le tableau suivant :
Banana →
Mombasa →
Kinshasa
:
60
Kisangani
:
Goma
Kalemie
Matadi →
Kinshasa
:
50
150
Kisangani
:
100
:
200
Goma
:
150
:
300
Kalemie
:
250
Lubumbashi
:
180
Lubumbashi
:
120
Kinshasa
:
250
Kinshasa
:
260
Kisangani
:
90
Kisangani
:
300
Goma
:
80
Goma
:
210
Kalemie
:
150
Kalemie
:
100
Lubumbashi
:
200
Lubumbashi
:
60
Lusaka →
Travail demandé :
i/ Répartissez les quantités à transporter par origine et destination par la méthode du coin nord-ouest.
Ii/ Déterminez la matrice et appliquer la méthode de double préférence à partir de cette nouvelle matrice.
APPLICATION 6/
Une société pétrolière dispose de 5 raffineries A, B, C, D et E dont les capacités de traitement respectives (en milliers
des tonnes) sont 50 ; 75 ; 30 ; 25 et 60, les produits pétroliers proviennent de 4 pays étrangers W, X, Y et Z dont les
contingentement d’expédition sont respectivement (en milliers de tonnes ) 60 ; 40 ; 75 et 25. Etablir par la méthode
du minimum de la colonne une solution de base faisable, sachant que les coûts de transport à la tonne sont donnés par
le tableau.
A
B
C
D
E
W
110
120
100
105
115
X
165
155
150
180
175
Y
200
210
203
206
209
Z
130
125
127
132
133
APPLICATION 7/
Déterminez par la méthode de double préférence, le plan de transport (faisable) du programme suivant :
Minimiser C = 4X11 + 3X12 + 5X13 + 6X21
+ 10X23
t.q. X11 + X12 +
X13
X21 + X22 +
X23
X11 + X21
X12 + X22
X13 + X23
Et Xij ≥ 0
 Assistant Jean – Paul TSASA V.
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Mail : [email protected]
+ 7X22
=
24
=
46
=
=
=
40
20
10
Recherche opérationnelle
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Licence Administration des affaires
19
APPLICATION 8/
La société FAMA a des usines à Matete, Lemba et Ngaba dont les capacités sont respectivement : 1000, 200 et 400
unités d’un produit fini quelconque. Elle doit satisfaire la demande de ses quatre principaux clients situés
respectivement à Limete, Kintambo, Djili et Maluku soient 700 ; 100 ; 300 et 500 unités. La direction des études de
recherche de cette entreprise pense que l’usine de Matete peut satisfaire pour 500 la demande de Limete, et 500 celle
de Maluku. L’usine de Lemba a son tour n’alimente que la demande de Limete. Enfin, l’usine de Ngaba consacrera 25%
de sa production pour la demande de Kintambo et le reste à celle de Ndjili. En se basant sur la méthode du coin NordOuest, on vous demande d’apprécier ces affectations par rapport à l’objectif de minimisation de coûts de transports, si
les coûts de transport par unité du lieu de production (usine) au lieu de consommation sont donnés par la matrice cidessous :
Matrice des coûts en USD
Bj →
Limete
Kintambo
Djili
Maluku
Ai ↓
Matete
7
8
10
6
Lemba
5
10
8
3
Ngaba
10
8
9
12
APPLICATION 9/
Les données (en unité monéaire) correspondant à un programme de transport se présentent comme suit :
Matrice
unitaires
4
6
3
des
coûts
5
4
2
Avec Z1 = 5, Z2 = 6 et W2 = 4
Sachant que la somme des éléments du vecteur-colonne est égale à 16 et celle du
vecteur-ligne, égale à 10.
Il vous est demandé de proposer un plan de transport faisable. Utiliser la méthode
d’approximation de Vogel, à cet effet.
APPLICATION 10/
Les données suivantes sont présentées à un étudiant de la licence 1 en Administration des affaires pour la proposition
d’un plan de transport faisable en applicant tout d’abord la méthode de fréquence avant de recourrir à la méthode de
double préférence.
l’inverse de
unitaires →
la
matrice
des
coûts
0.08
- 0.1
- 0.15
0.2
Par ailleurs, les vecteurs d’offre et de demande du bien Xij se présentent comme suit :
APPLICATION 11/
Une société d’import-export dispose dans les ports de Matadi, Pointe noire et Luanda des stocks de minerais,
respectivement de 600 tonnes, 400 tonnes et 1 400 tonnes, pour lesquels elle a reçu des commandes d’importations
de Pretoria (400 tonnes), Pays d’Afrique d’ouest (700 tonnes) et de l’Union européenne (1300 tonnes). Dicers bateaux
se rendent des ports (considérés comme places d’origines) vers les différentes destinations (considérées comme points
de vente). Le coût de transport de ces minerais, sur chaque liaison, est donné par la grille suivante (coûts par tonnes
transportée).
Pretoria
P.A.O
U.E
Matadi
PointeNoire
Luanda
15
20
15
14
17
15
13
18
18
Appliquer la méthode de fréquence et déterminer une solution de coût minimal de ce problème de transport par la
méthode de Balas-Hammer.
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Recherche opérationnelle
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Licence Administration des affaires
20
APPLICATION 12/
Les statistiques déclarées à l’organisation Internationale du Café révelent qu’une quantité importante de café vert se
trouve stockée dans 3 dépôts (en milliers de tonnes) au Brésil (2 356), Viet-nam (831), Colombie (684). On souhaite
approvisionner à moindre coût 3 grandes firmes qui fabrique de produits dérivés du café.
Affectations du stock de C.V.
Nestlé S.A.
45
%
Kraft Foods
30
%
MaxingVest AG
25
%
→ de la quantité disponible
Source : Organisation Internationale du café
En supposant que les seuls coûts à prendre en compte pour l’optimisation soient les coûts de transports. Ceux-ci sont
proportionnels à la quantité transférée et à la distance parcourue.
Nestlé S.A.
Kraft Foods
MaxingVest
AG
Brésil
160
130
150
Viet-Nam
180
200
200
Colombie
140
100
160
APPLICATION 13/
La transposée d’un problème de transport exprimé sous forme tabulaire se présente comme suit :
5
4
3
1
4
5
7
2
3
4
2
5
13
5
7
Appréciez les affectations de ce plan de transport en appliquant la
méthode d’approximation de Vogel.
Le plan obtenu est-il optimal ? Si oui, pourquoi. Si non, déterminez le
plan de transport optimal.
9
8
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21
RESOLUTION DE L’APPLICATION 1
Avant de passer à la résolution d’un programme de transport, il faut toujours s’assurer de l’égalité entre
la somme des composantes Zi du vecteur d’offre Z et la somme des composantes Wj du vecteur de
demande, soit :
En exprimant sous forme matricielle, les données de l’application 1, il se dégage ce qui suit :
Demande 1
X11 = ?
Comme
3
6
X12 = ?
X21 = ?
8
21
X13 = ?
5
X22 = ?
4
11
X23 = ?
9
Firme
3
1
12
Firme
2
Demande
7
Firme
1
Demande
8
5
X31 = ?
X32 = ?
X33 = ?
15
13
12
13
, ajoutons une colone fictive‡. Les valeurs Cij de cette colonne fictive sont prises de
manière arbitraire et doivent être supérieures à toutes les autres Cij.
Demande 1
X11 = ?
3
6
X12 = ?
X21 = ?
X31 = ?
F1 = ?
X23 = ?
X32 = ?
13
20
4
8
15
Etant donné que
X13 = ?
X22 = ?
Fictive
8
5
9
Firme
3
1
12
Firme
2
Demande
7
Firme
1
Demande
20
F2 = ?
5
X33 = ?
20
F3 = ?
12
21
11
13
5
, à présent, la méthode du coin nord-oeust peut être appliquée. Cette
méthode permet d’obtenir les affectations suivantes :
‡
Au cas où
, on ajouterait une ligne fictive.
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Ce résultat peut également se présenter comme suit :
Demande 1
7
Firme
1
Demande 1
15
Demande 3
Fictive
6
8
20
5
4
20
5
20
6
12
Firme
2
7
4
9
Firme
8
3
8
15
13
5
12
21
11
13
5
INTERPRETATIONS DE RESULTATS
Rappelons que le problème du transport est un programme de minimisation. Ainsi, pour minimiser le
coût de transport, d’après les prédictions de la méthode du coin nord-ouest :
La firme 1 qui dispose d’un stock de 21 unités du bien Xij, doit affecter :
-
15 unités de ce bien au premier marché au coût de 105 Francs ;
-
6 unités du bien Xij au deuxième marché au coût de 36 Francs.
La firme 2 qui dispose d’un stock de 11 unités du bien Xij, doit affecter :
-
7 unités du bien Xij au deuxième marché au coût de 35 Francs ;
-
4 unités du bien Xij au troisième marché au coût de 16 Francs.
La firme 3 qui dispose d’un stock de 13 unités du bien Xij, doit disponibiliser 8 unités du bien Xij pour
satisfaire la demande exprimée dans le troisième marché et cela au coût de 40 Francs.
Le coût total est obtenu en sommant les coûts de transport relatifs aux différentes affectations (les
places fictives exclues) ; soit :
Coût total = 15(7) + 6(6) + 7(5) + 4(4) + 8(5) = 232
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23
β/ TECHNIQUE DE FLOOD ET PROBLEME D’AFFECTATION : Méthode hongroise
[Algorithme de Kuhn]
APPLICATIONS III.
APPLICATION 1/
Affecter 5 ouvriers aux 5 postes de manière que tous les ouvriers aient chacun un poste et un seul, ceci de telle sorte que la
valeur totale des affectations soit minimale, la matrice des coûts associée étant donnée par le tableau ci-après.
1
2
3
4
5
1
17,5
15
9
5,5
12
2
16
16,5
10,5
5
10,5
3
12
15,5
14,5
11
5,5
4
4,5
8
14
17,5
13
5
13
9,5
8,5
12
17,5
APPLICATION 2/
Soient 5 ouvriers A, B, C, D, E et 5 postes de travail 1, 2, 3, 4 et 5. Affecter les cinq ouvriers aux cinq postes de telle
sorte que chaque ouvrier ait un poste et un seul et que le coût des affectations soit minimal.
Vous disposez pour cela de la matrice des affectations ci-après où Cij représente le coût que l’entreprise supporte en
affectant l’ouvrier i au poste j.
APPLICATION 3/
La compagnie sucrière de Kwilu Ngongo doit recourir aux services de quatre mécaniciens (M1, M2, M3 et M4) pour la
répartition de ses quatre machines (m1, m2, m3, m4 et m4) tombées en panne, il y a deux mois.
L’entretien avec ces 4 mécaniciens a permis à cette entreprise d’élaborer la matrice suivante indiquant le temps que
chaque mécanicien mettra pour réparer chaque type de machines ainsi que le coût horaire de réparation de chaque
machine.
M1
M2
M3
M4
Coût horaire en $
m1
40’
30’
1h5’
1h5’
m2
1h00’
50’
41h00’
40’
m3
30’
1h20’
45’
1h00’
m4
1h10’
45’
1h00’
30’
T.D. – Faites le plan d’affectation qui minimise les coûts de cette entreprise sachant qu’un mécanicien doit être
affecté à une machine et une seule.
APPLICATION 4/
Le secrétariat académique de l’Université Kongo doit affecter 5 économistes candidats assistants aux cours suivants :
Technique de commerce (C1), Droit fiscal (C2), Mathématique (C3), Ecopol (C4) et Recherche opérationnelle (C5).
L’académique souhaite les affecter en optimisant leurs aptitudes à enseigner ces cours. Il dispose pour cela des
informations sur les différentes côtes qu’ils ont obtenues dans ces 5 cours pendant leur parcours universitaire comme
critère d’affectation.
E1
E2
E3
E4
E5
C1
15
3
6
11
18
C2
9
17
6
2
15
C3
7
4
8
16
3
C4
8
10
7
16
12
C5
2
9
16
11
9
Trouver la meilleure affectation sachant que chacun d’eux doit être affecté à un cours et un seul.
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24
APPLICATION 5/
Une entreprise de construction vient d’ouvrir 4 nouveaux chantiers, situés en A, B, C et D. Ces chantiers nécessitent
l’emploi de grues actuellement situées sur des chantiers qui viennent d’être terminés et situés en V, W, X, Y et Z. Le
tableau suivant donne le nombre d’heures que prendrait le transport de chacune des grues de l’endroit où elle est
située vers chacun des chantiers nouveaux.
V
W
X
Y
Z
A
8
28
17
11
20
B
13
28
4
26
12
C
38
19
18
15
6
D
19
28
24
10
15
[Heures de transport]
L’entreprise désire démarrer le plus vite possible ses nouveaux chantiers. A quel chantier doit–elle affecter ses grues
disponibles ?
APPLICATION 6/
Trois candidats (A, B, et C) ont été présélectionnés pour un programme de bourse organisé dans deux pays : le pays
W où le programme est en anglais et le pays X où le programme est en français. La sélection ne portera que sur
deux d’entre les trois candidats en fonction de leur aptitude à maîtriser les deux langues.
Un test de langue a été organisé à ce propos, les résultats obtenus sont repris dans le tableau ci-dessous où
la cotation est sur 20 points.
A
B
C
W
14
11
13
X
13
8
11
On vous demande d’affecter les deux candidats qui seront sélectionnés de manière à ce que chacun suit un programme
et un seul.
APPLICATION 7/
Au cours des années écoulées, un directeur général a fait circuler ses quatre chefs de vente : DADOU, JUSTIN, BENOIT
et ALAIN dans les différents départements de l’entreprise. A la suite de ses expériences, il a noté que dans des
conditions équivalentes leurs chiffres d’affaires étaient respectivement proportionnels à 20, 19, 17 et 16. Les chiffres
d’affaires qu’on estime être en mesure de réaliser l’année à venir si l’on disposait à la tête de chacun des départements
A, B, C et D un homme de la compétence de Dadou serait : 10, 8, 6 et 5 millions de francs. Le Directeur général
pense que la meilleure formule consiste à affecter les différents départements aux quatre chefs de vente, par ordre
d’importance décroissant en chiffre d’affaires, en correspondance avec la notation ci-dessous :
1)
2)
Le prouver, en correspondance avec la notation ci-dessous ;
En admettant que le développement des chiffres d’affaires doive être le suivant :
Département
Année 1 (à venir)
Année 2
Année 3
Année 4
A
10,00
11,00
12,10
13,31
B
8,00
9,90
12,10
14,64
C
6,00
7,70
8,47
9,72
D
5,00
9,90
13,31
17,30
Et en adoptant un taux d’actualisation de 10% trouver les meilleures rotations à imposer aux chefs de vente pour
obtenir le chiffre d’affaires maximal.
Indications :
1) Etablir une matrice d’efficience des différents chefs de vente supposés affectés à chacun des départements ;
multiplier tous ses éléments par –1 ; appliquer l’algorithme de KUHN.
2) Une représentation graphique sera utile pour la deuxième question.
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25
APPLICATION 8/
Le Chef de Département d’Economie Pure de la FSE (UNIKIN) doit affecter 5 économistes aux cours suivants : Math I, Stat
I, MQE, TPP et Econométrie. Le Chef de Département souhaite affecter ces économistes en optimisant leurs aptitudes à
enseigner les cours souhaités. Ces aptitudes sont mesurées par les cotes obtenues dans ces différentes branches à
l’Université. Elles sont données dans le tableau suivant.
Math
Stat
MQE
TPP
Eco
E1
15
09
07
08
02
E2
03
17
04
10
09
E3
06
06
08
07
16
E4
11
02
16
16
11
E5
18
15
03
12
09
Indication : Etant un problème de maximisation, il est nécessaire, avant d’appliquer la méthode hongroise, de
transformer préalablement les données du tableau 6.10, soit en les multipliant par -1, soit en les retranchant de la
donnée la plus élevée, ici 18. On obtient alors le tableau 6.11.
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26
IV. THEORIE DES GRAPHES
On attribue généralement à Leonhard EULER l’origine de la théorie des graphes puisqu’il fut le
premier à proposer un traitement mathématique de la question, suivi par Alexandre-Théophile
VANDERMONDE. L’article écrit par Euler en 1935 et paru en 1941, à cet effet, se proposait
d’analyser le problème de sept ponts de Königsberg. Le problème consistait à trouver une
promenade à partir d'un point donné qui fasse revenir à ce point en passant une fois et une seule
par chacun des sept ponts de la ville de Königsberg (voir ci-dessous). Euler montra que cette
promenade n’était pas possible.
Leonhard Paul EULER (15 avril 1707-18 septembre 1783), Mathématicien et physicien
suisse. Il est notamment à l’origine de la théorie des graphes et du calcul infinitésimal.
Le problème consistait à trouver une promenade à partir d'un point donné qui fasse revenir à ce point
en passant une fois et une seule par chacun des sept ponts de la ville de Königsberg.
Introduction
La notion de graphe, bien que relativement récente, est devenue, à ce jour, indispensable dans de
nombreux domaines et disciplines, notamment en sciences sociales, en informatique, en optimisation, en
chimie et même en biologie.
L’étude, donc, de la théorie des graphes et de leurs applications apparait comme l’occasion de traiter des
questions très diverses liées, par exemple, à la détermination du nombre de chemins dans un graphe, au
calcul du chemin le plus court et du chemin le plus long avec l’algorithme de Ford ou à l’analyse du
problème de flots dans les réseaux avec l’algorithme de Ford et Fulkerson.
Ce manuel propose des applications très significatives et adaptées, permettant à l’étudiant en
Administration d’appréhender cette théorie.
Par ailleurs, elles (ces applications) demandent peu de pré-requis (que l’étudiant pourra facilement
acquérir en recourant au syllabus du cours) puisque les graphes constituent un sujet d’étude nouveau et
surtout très différent des sujets mathématiques classiquement enseignés, mais exigeant la même
rigueur intellectuelle.
En un langage simple, un graphe est un outil qui permet de représenter la structure, les connexions d’un
ensemble complexe en exprimant les relations entre ses éléments sous forme d’un réseau. Ainsi, les
graphes constituent donc une méthode qui permet de modéliser une grande variété de problèmes en se
ramenant à l’étude de sommets et d’arcs.
In fine, notez que les derniers travaux en théorie des graphes sont souvent effectués par des
informaticiens, du fait de l’importance qu’y revêt l’aspect algorithmique.
 Assistant Jean – Paul TSASA V.
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27
Terminologie
Graphe : c’est un ensemble de points éventuellement reliés par des arcs.
Ordre d’un graphe : l’ordre d’un graphe est le nombre de sommets de ce graphe.
Graphe valué : graphe où des réels sont associés aux arêtes. Dans cet exposé, on ne considérera que des
valuations positives.
Arc : est une ligne orienté qui relie deux nœuds ou sommets.
Arête : est une ligne non orientée équivalant à deux arcs orientés en le sens inverse et reliant deux
nœuds.
Fonction d’incidence :
Boucle : est un arc (ni, nj) particulier où i = j.
Chemin : suite de sommets reliés par des arcs dans un graphe orienté.
Chaîne : suite finie de sommets reliés par les arcs, sans tenir compte de leur sens.
Circuit : chemin fini qui revient à son point de départ, c’est-à-dire un chemin tel que le nœud initial du premier
arc coïncide avec le nœud terminal du dernier.
Cycle : correspond à un circuit dans le graphe non orienté.
Chemin simple : chemin qui n’utilise pas deux fois le même arc.
Chemin élémentaire : chemin qui n’utilise pas deux fois le même sommet
Chemin eulérien : chemin simple, passant par tous les arcs d’un graphe.
Chemin hamiltonien : chemin élémentaire, passant par tous les sommets d’un graphe.
Circuit eulérien : circuit simple, passant par tous les arcs d’un graphe.
Circuit hamiltonien : circuit élémentaire, passant par tous les sommets d’un graphe.
Digraphe : un graphe orienté est également appelé digraphe.
Graphe simple : graphe qui ne contient ni boucle, ni arcs parallèles.
Graphe eulérien : graphe qui possède un cycle eulérien.
Graphe hamiltonien : graphe qui possède un cycle hamiltonien.
Matrice adjacente : est une matrice binaire ou booléenne. Un élément de la matrice d’adjacence est 1 si l’arc
existe et 0 sinon.
Distance entre deux sommets : longueur de la plus courte chaîne joignant ces deux sommets.
Diamètre d’un graphe : maximum des distances entre les sommets d’un graphe.
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28
POUR L’APPREHENSION DES AUTRES CONCEPTS, CONFER NOTE ET ILLUSTRATIONS EFFECTUEES PENDANT
LES SEANCES DE TP.
APPLICATIONS IV.
APPLICATION 1/
Tracer le graphe de la matrice d’adjacence (matrice booléenne) suivante :
APPLICATION 2/
En observant, pendant un mois, les déplacements d’un étudiant de Licence 1 Administration des Affaires de son lieu de
résidence (Lemba) à l’Université Protestante au Congo, on parvient à élaborer le graphe suivant correspondant aux
différentes lignes qu’il a utilisé pendant cette période :
U.P.C
BANDAL
R.P.
VICTOIRE
LEMBA
C. Ville
LIMETE
1/ Proposez une matrice adjacence du graphe ci-dessus où les lettres Q, W, V, X, Y et Z correspondent respectivement
aux nœuds Lemba, Limete, Victoire, Bandal, C. Ville et UPC.
2/ Répondez par vrai ou faux aux propositions ci-après :
a/ Le chemin Lemba-Bandal-UPC-B.Marché-Limete-Victoire est hamiltonien.
b/ L e chemin Lemba-Bandal-UPC-Lemba-Limete est simple.
c/ Le circuit Lemba-Limite-Victoire-UPC-Victoire-Lemba est simple.
d/ Le chemin C.Ville-Lemba-Limete-Victoire-Lemba-Bandal-UPC est élémentaire.
3/ Y a-t-il un chemin eulérien ?
 Assistant Jean – Paul TSASA V.
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29
APPLICATION 3/
Soit le graphe suivant sous forme matricielle :
A
B
C
D
Travail demandé :
A
0
1
1
0
a.
Dérivez le graphe correspondant sous-forme sagittale.
B
1
0
0
1
b.
Déterminer le nombre de chemin de longueur 3 reliant A et
C
0
1
0
0
D
1
0
1
1
C ; B et D ; C et A ; D et C et D et D.
c.
Y a-t-il un sommet pendant dans ce graphe ?
APPLICATION 4/
Soit la circulation routière dans la cité de BENTACOURT reliant 3 quartiers est représenté comme suit :
U
V
W
Travail demandé :
U
0
1
1
a.
Définir les dictionnaires de précédents associés à ce graphe.
V
1
0
1
b.
Y a-t-il une boucle dans ce graphe ?
W
1
1
0
APPLICATION 5/
Soit le graphe ci-dessus correspondant plus ou moins au problème de sept ponts de Königsberg.
P
T
J
V
Travail demandé :
a. Dites si ce graphe est orienté ou non.
b. Si les distances entre J et P ; P et T ; V et T ; T et J ; J et V équivalent respectivement à 2, 1, 3, 4
et 2 heures de marche normale à pied ; déterminez le nombre de chemin de longueur 3 reliant J et
T. Evaluez le temps à effectuer pour parcourir ce chemin.
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30
V. PROGRAMMES NON LINEAIRES
Les méthodes de résolution appliquées en programmation linéaires ne sont pas utilisables en
programmation non linéaire. Des techniques spécifiques ont été développées pour résoudre les
programmes de types non linéaires. Parmi celles-ci, l’on compte la technique de Kuhn-Tucker.
α/ Technique de KUHN et TUCKER
Pour résoudre un problème de programmation classique, on recourt aux conditions du premier ordre
(conditions nécessaires) et à celles du second ordre (conditions suffisantes). Les conditions du premier
ordre pour un extremum local consistent à annuler, en vertu du théorème de Michel Rolle, les dérivées
partielles premières par rapport aux variables-choix de la fonction-objectif et
au Multiplicateur de
Lagrange.
Parallèlement, dans un programme non linéaire, il existe également des conditions du 1er ordre. Ces
conditions sont généralement qualifiées de Conditions de KUHN et TUCKER du nom de deux scientifiques
consacrés aux problèmes de maximisation sous des contraintes en inéquations.
Contrairement aux conditions du premier ordre, dans la programmation classique, qui sont toujours
nécessaires, celles de Kuhn et Tucker ne le sont que sous certaines conditions§. Ainsi, les conditions de Kuhn
et Tucker peuvent être nécessaires, suffisantes ou même nécessaires et suffisantes.
Comme les conditions de Kuhn et Tucker se fondent sur le lagrangien, ainsi, nous rappelons le concept du
lagrangien avant d’illustrer par un cas pratique les conditions de Kuhn-Tucker.
β/ La fonction de LAGRANGE
*Le lagrangien en cas du programme d’une contrainte et de n variables-choix :
Soit w = w(X1, …, Xn)
S/C : h(X1, …, Xn) = c
Avex Xj ≥ 0
Le lagrangien associé à ce programme, noté L, est donc :
L = w(X1, …, Xn) ± λ[c – h(X1, …, Xn)]
Pour déterminer les extremums, Il suffit de dériver la fonction L par rapport aux différentes variables-choix
Xi et par rapport à λ et de résoudre, à cet effet, le système d’équation obtenu. Les conditions du second
ordre permettront de caractériser le type des extremums.
§
Cette condition est connue sous le nom de condition de qualification. Elle impose une certaine restriction sur les fonctions des
contraintes d’un programme non linéaire. De manière générale, les contraintes satisfont une « condition de qualification » en un
point X* (ou les contraintes sont qualifiées en X*) si et seulement si les conditions de Kuhn-Tucker s’avèrent nécessaires pour que X*
soit un extremum.
 Assistant Jean – Paul TSASA V.
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31
*Le lagrangien en cas du programme de m contraintes et de n variables-choix :
Que devient la fonction de Joseph Lagrange en cas d’un programme ayant plusieurs contraintes et n
variables-choix ? Pour répondre à cette interrogation, considérons le programme générique suivant :
Soit w = w(X1, …, Xn)
S/C : h1(X1, …, Xn) = c1, h2(X1, …, Xn) = c2, …, hm(X1, …, Xn) = cm
Avex Xj ≥ 0
Dans ce cas, le lagrangien associé à ce nouveau type de programme, noté Z, s’écrit comme suit :
Z = w(X1, …, Xn) ± λ1[c1 – h1(X1, …, Xn)] ± λ2[c2 – h2(X1, …, Xn)] ± … ± λm[cm – hm(X1, …, Xn)]
Sans ambigüité, l’expression ci-dessus peut également s’écrire :
γ/ Conditions de Kuhn-Tucker
Partant de la fonction Z de Lagrange, les conditions de Kuhn-Tucker** (en considérant en un premier
temps, un problème de maximisation) peuvent donc être dérivées comme suit :
Pout tout i = 1, 2, …, m et j = 1, 2, …, n :
En réaménageant les expressions ci-dessus, on obtient :
Avec Xj ≥ 0
Avec λi ≥ 0
Notons que :
1.
**
De ce qui précède, on peut obtenir les valeurs suivantes :
Les CKT correspondent ainsi aux conditions marginales.
 Assistant Jean – Paul TSASA V.
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32
Si et seulement si :
Donc, il est très clair et logique de noter pout tout j :
2.
Par ailleurs :
Si et seulement si :
De même, il est logique de noter pout tout i :
Ainsi, on obtient, ci-après, les conditions sur la variable quadratique d’écart ou de niveau, appelées
également, relation d’exclusion ou relation de complémentarité, en anglais complementary slackness
conditions :
et
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33
Que devient les conditions de Kuhn et Tucker lorsqu’il s’agit d’un problème de
minimisation ?
Connaissant que maximiser π équivaut à minimiser –π, tout en inversant les inégalités des contraintes
après avoir multiplié chaque terme des contraintes par -1, les conditions de Kuhn-Tucker peuvent donc
d’obtenir comme suit par analogie :
Pout tout i = 1, 2, …, m et j = 1, 2, …, n :
Et par conséquent :
Avec Xj ≥ 0
Avec λi ≥ 0
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34
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 Assistant Jean – Paul TSASA V.
Chercheur co – accompli au Laréq /www.lareq.com /BP 16.626 Kinshasa I
Mail : [email protected]
Recherche opérationnelle

Licence Administration des affaires
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