ملخص-شامل-في-الأعداد-المركبة-سنة-3-ثانوي

  
– 

 
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 


 
 
Sin
  

2
 
 
 
   
 
 
 
 
I
 
 
I
 
 Cos 
 
2 Cos
 
 
II
   
 
 
IV
 
 
 
 3    
 
2  2
 Sin 
 
 

 

- ENS -

2017
 
 

BAC 2017
 

 
 
z  x  iy :‫ ﻴﻜﺘﺏ ﺒﺼﻭﺭﺓ ﻭﺤﻴﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‬z ‫ ﻜل ﻋﺩﺩ‬
i 2  1 ‫ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻭ‬y ‫ ﻭ‬x ‫ﺤﻴﺙ‬
z ‫ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﺠﺒﺭﻱ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺏ‬z  x  iy :‫ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ‬
Re(z )  x :‫ ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒــ‬z ‫ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻟــ‬x ‫ ﻴﺴﻤﻰ‬
Im(z )  y :‫ ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒــ‬z ‫ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻟــ‬y ‫ ﻴﺴﻤﻰ‬
‫ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬z :‫ ﻭﻨﻘﻭل ﺃﻥ‬z  x ‫ ﻓﺎﻥ‬، Im(z )  0 : ‫ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬/‫ ﺃ‬
(‫ ﺘﺨﻴﻠﻲ ﺼﺭﻑ )ﺒﺤﺕ‬z :‫ ﻭﻨﻘﻭل ﺃﻥ‬z  y ‫ ﻓﺎﻥ‬، Re(z )  0 :‫ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬/‫ﺏ‬
‫ ﻫﻭ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭ ﺘﺨﻴﻠﻲ ﺼﺭﻑ‬0 ‫ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬، z  0 :‫ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬/‫ﺝ‬
 0
 
z  x  iy :‫ ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺏ‬z  x  iy :‫ﻤﺭﺍﻓﻕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﻜﺏ‬
()
z 1  z 2  z 1  z 2 /3
 
z 1  z 2  z 1  z 2 /2
z  z
k   ، k .z  k .z /6 z 2  0 ،  1   1 /5
z  z
 2
2
n  ، zn  z
n
  
z  z /1
z 1 .z 2  z1 . z 2 /4
k  k
/8 z  0 ‫ ﻭ‬k   ،   
/7
z
  z
z  x  iy :‫ ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ﺤﻴﺙ‬z ‫ﻟﻴﻜﻥ‬ 
z . z  x 2  y 2 /3
z  z  2yi /2
z  z ‫ ﺘﺨﻴﻠﻲ ﺼﺭﻑ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬z /5
2
z  z  2x /1
z  z ‫ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﻜﺎﻓﺊ‬z /4
-  

BAC 2017
  
:‫ ﺤﻴﺙ‬z ‫ ﻋﻤﺩﺓ‬arg(z ) ‫ ﻭ‬z ‫ ﻁﻭﻴﻠﺔ‬r :‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬z  x  iy ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﺭﻜﺏ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬

x
cos  
r    ....  2k  /2 r  z  x 2  y 2 /1
arg(z )    
sin   y

r
 z  



z  r (cos   i sin  )
z  re i
z  x  iy
 
 
 
 
 
Sin 

2
   
 
II
I
 Cos  
0 2 Cos 
III
IV
  2  
‫أو‬
   
   
3  
 
2  2
 Sin 
 
 
3

0
Cos
1
Sin
0

6

4

3
3
2
1
2
2
2
1
2
3
2
2
2

2
3   
 
2  2

0
0
1
1
1
0
-  

BAC 2017
  
  


cos      cos 




cos      cos  sin     sin 




cos      sin  cos       sin 
2

2



sin      sin 




sin      cos  sin      cos 
2

2

4
-  

BAC 2017
 
1
arg     arg(z )  2k  /2
z 
arg(z )   arg(z )  2k  /1
arg(z 1 .z 2 )  arg(z1 )  arg(z 2 ) /4
arg(z )    arg(z ) /3
z 
 ‫ ﻤﻥ‬n ‫ ﺤﻴﺙ‬arg(z n )  n.arg(z )  2k  /6 arg  1   arg(z1 )  arg(z 2 ) /5
z 
 2
 z 2  z1  
z
n
1
 z1
n
/4
z1
z2

z1
z2
/3
1
1

/2
z1
z1
z  z  z /1
z1  z 2  z1  z 2 :‫ ﻭﺃﻴﻀﺎ‬z1  z 2  z1  z 2 
z1  z 2  z 1  z 2 ‫ ﻭ‬z1  z 2  z 1  z 2 :‫ﻭﺍﻟﺼﻭﺍﺏ‬
 (MOIVER) 

z n  (re i )n  r ne n i  r n cos(n )  i sin(n )
‫ ﻋﺩﺩ ﻓﺭﺩﻱ‬    :‫ﻴﻌﻨﻲ‬


‫ﺍﻟﻌﺩ ﺍﻟﻔﺭﺩﻱ ﻴﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‬
‫ ﻋﺩﺩ ﺯﻭﺠﻲ‬   0 :‫ ﻴﻌﻨﻲ‬0 ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺯﻭﺠﻲ ﻴﻜﺎﻓﺊ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‬
:‫ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬z n  r n , n   r n e in
‫ﺘﺨﻴﻠﻲ ﺼﺭﻑ‬
n  2k  1
‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺴﺎﻟﺏ‬
zn

2
zn
n  2k  1
‫ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤﻭﺠﺏ‬
‫ﺤﻘﻴﻘﻲ‬
zn
n  2k 
zn
n  k
 
 
 
k
ke 2 i
1
e 2 i
k
ke  i
1
e i
ki

i
2
ki
5
ke
ke

 i
2

i
i
e
e
3
i
2

i
2
e

 i
2
-  

BAC 2017
n  *  1  


‫ ﻗﻴﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‬/1
n
 ‫ﺼﻭﺭﺘﻪ ﻤﻥ‬
 ‫ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺘﻘﻊ ﻓﻲ‬
n  1
‫ ﻗﻴﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬/2
n
n  1
 ‫ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺘﻘﻊ ﻓﻲ‬
‫ ﻗﻴﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬/3
n

 ‫ ﺼﻭﺭﺘﻪ ﺘﻘﻊ ﻓﻲ‬ ‫ ﻗﻴﺱ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬/4
n
 
 

1


 ()
AB  Z B  Z A
AB
AB ‫ﻻﺤﻘﺔ ﺍﻟﺸـﻌـﺎﻉ‬
Z AB  Z B  Z A
 Z A   Z B   ZC
   
Z  Z B  ZC
ZH  A
3
Z  ZB
ZI  A
2
Z A  ZB
ZC 
 Z B  2 ZC  Z A
2
ZG 
(‫ﺍﻟﻁــﻭل )ﻤﺴــﺎﻓﺔ‬
 A, , B,  , C ,   ‫ﻤﺭﺠﺢ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬
ABC
‫ﻻﺤﻘﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬
‫ ﻤﺭﻜﺯ ﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬H ‫ﻻﺤﻘﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬
AB  ‫ﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬
C
G
I
‫ﻻﺤﻘﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬
‫ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ‬A ‫ ﻨﻅﻴﺭﺓ‬B ‫ﻻﺤﻘﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬
ZM  x  i y  ZM '  Z M  x  i y
‫ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬M ‫ ﻨﻅﻴﺭﺓ‬M ' ‫ﻻﺤﻘﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬
ZM  x  i y  ZM '  x  i y
‫ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬M ‫ ﻨﻅﻴﺭﺓ‬M ' ‫ﻻﺤﻘﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬
ZM  x  i y  ZM '  x  i y
‫ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺒﺩﺃ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬M ‫ ﻨﻅﻴﺭﺓ‬M ' ‫ﻻﺤﻘﺔ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬
AB , AC   arg  ZZ
C
 ZA 

 Z A 
 B
‫ = ﻋﺩﺩﺍﹰ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﹰ‬Z B  Z A
ZC  Z A
‫ = ﻋﺩﺩﺍﹰ ﺘﺨﻴﻠﻴﺎﹰ ﺼﺭﻓﺎﹰ‬Z B  Z A
ZC  Z A
AB , AC 

 A B

 AC

‫ﻗﻴـﺎﺱ ﺍﻟـﺯﺍﻭﻴﺔ ﺍﻟـﻤﻭﺠﻬﺔ‬
‫ ﻋﻠﻰ ﺍﺴﺘﻘﺎﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬C , B , A ‫ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ‬
AB  AC  ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺍﻥ‬
AC ‫ ﻭ‬AB ‫ﺍﻟﺸـﻌـﺎﻋﻴﻥ‬
ZB  ZA
‫ﻁﻭﻴﻠﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ‬
ZC  Z A
ZB  ZA
AB

ZC  Z A
AC
 
6
-  
‫‪‬‬
‫‪BAC 2017‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﯿﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ‪ ،‬ﯾﻜﻮن اﻟﻮﺗﺮ ﻗﻄﺮا ﻟﮭﺬه اﻟﺪاﺋﺮة وﻣﻨﮫ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ھﻮ‬
‫ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻮﺗﺮ وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ھﻮ طﻮل اﻟﻮﺗﺮ ﻋﻠﻰ ‪2‬‬
‫‪ ‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﯿﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع‪ ،‬ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ھﻮ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة‬
‫وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ھﻮ ﺑﻌﺪ اﻟﻤﺮﻛﺰ ﻋﻦ أﺣﺪ رؤوس اﻟﻤﺜﻠﺚ‬
‫‪ ‬إذا ﻛﺎن ‪ z A  z B  zC  z D  r‬ﻓﺎن اﻟﻨﻘﻂ ‪ C ، B ، A‬و ‪ D‬ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﺪاﺋﺮة‬
‫اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻤﺒﺪأ ‪ O‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ‪r‬‬
‫‪ ‬إذا ﻛﺎن ‪ Z A  Z   Z B  Z   ZC  Z   Z D  Z   r‬ﻓﺎن اﻟﻨﻘﻂ ‪ C ، B ، A‬و ‪D‬‬
‫ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﻤﺒﺪأ ‪ ‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮھﺎ ‪r‬‬
‫‪-  ‬‬
‫‪7‬‬

BAC 2017
 2
‫( ﻟﻺﺛﺒﺎت‬2) ‫اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ‬
‫( ﻟﻺﺛﺒﺎت‬1) ‫اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ‬
‫طﺮق اﻹﺛﺒﺎت‬
‫ﻧﻮع اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ‬
‫ﺷ ﻌﺎﻋﺎن ﻣﺘﻘ ﺎﺑﻼن ﻓ ﻲ ﻧﻔ ﺲ اﻟﻘﻄﺮان ﻣﺘﻨﺎﺻﻔﺎن‬
‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‬
Z A  ZC Z B  Z D
 ‫اﻻﺗﺠﺎه‬


  Z  ‫ أي‬AB  DC
2
2
Z AB
DC
‫ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع‬ABCD
Z B  Z A  ZC  Z D :‫ﻣﻌﻨﺎه‬
‫ﺷ ﻌﺎﻋﺎن ﻣﺘﻘ ﺎﺑﻼن ﻓ ﻲ ﻧﻔ ﺲ اﻟﻘﻄﺮان ﻣﺘﻨﺎﺻﻔﺎن وﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‬
:‫أي‬
‫اﻻﺗﺠﺎه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‬
‫ﺿﻠﻌﺎن ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان‬
Z A  ZC Z B  Z D

:‫أي‬
2
2
   
‫ ﻣﻌﻨﺎه‬AC  BD AB  AD ‫ و‬AB  DC
‫ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ‬ABCD
ZC  Z A  Z D  Z B
‫ﺷ ﻌﺎﻋﺎن ﻣﺘﻘ ﺎﺑﻼن ﻓ ﻲ ﻧﻔ ﺲ اﻟﻘﻄﺮان ﻣﺘﻨﺎﺻﻔﺎن وﻣﺘﻌﺎﻣﺪان‬
:‫أي‬
‫اﻻﺗﺠﺎه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‬
‫ﺿﻠﻌﺎن ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‬
Z A  ZC Z B  Z D

:‫أي‬
2
 
 
 2 
AB  AD ‫ و‬AB  DC
AC . BD  0 ‫ ﻣﻌﻨﺎه‬AC  BD
‫ ﻣﻌﯿﻦ‬ABCD
‫ﺷ ﻌﺎﻋﺎن ﻣﺘﻘ ﺎﺑﻼن ﻓ ﻲ ﻧﻔ ﺲ اﻟﻘﻄ ﺮان ﻣﺘﻨﺎﺻ ﻔﺎن وﻣﺘﻌﺎﻣ ﺪان‬
‫وﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن أي‬
‫اﻻﺗﺠﺎه ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‬
Z Z
Z  Z D ‫ﺿ ﻠﻌﺎن ﻣﺘﺘﺎﺑﻌ ﺎن ﻣﺘﺴ ﺎوﯾﺎن‬
‫ و‬A C  B
:‫وﻣﺘﻌﺎﻣﺪان أي‬
‫ ﻣﺮﺑﻊ‬ABCD
2
 
 2 
AC . BD  0 ‫ ﻣﻌﻨ ﺎه‬AC  BD
‫ ﻣﻌﻨﺎه‬AC  BD ‫و‬
   
AB  AD ‫ و‬AB  DC
AB  AD ‫و‬
ZC  Z A  Z D  Z B
8
-  

BAC 2017
   ABC 
zB  zA
3
zC  z A

 z B  z A   2  2k 
z z
z z
‫ و‬B A  1 ‫ ﻓﺎن‬B A  i ‫ إذا ﻛﺎن‬
arg 
  
zC  z A
 zC  z A     2k zC  z A
 2
zB  zA
zB  zA
AB


 1  AB  AC (1) 
zC  z A
AC
zC  z A



 
 
  2k
 z  zA 
AC ; AB   2
(2) ‫ وﻣﻨﮫ‬arg  B

AC
; AB


z

z
 C
A 
   2k 
 2



 A  ABC 21
zB  zA
z  zA
 a  1 ‫ ﻓﺎن‬a  *  1,1 ‫ ﺣﯿﺚ‬B
 ai ‫ إذا ﻛﺎن‬
zC  z A
zC  z A



 z  z A   2  2k , a  0
‫و‬
arg  B
  

z

z
 C
A 
   2k  , a  0
 2
 
zB  zA
zB  zA
AB


 a  1  AB  AC (1) 
zC  z A
AC
zC  z A



 
 
  2k , a  0
 z  zA 
AC ; AB   2
(2) ‫ وﻣﻨﮫ‬arg  B

AC
; AB


z

z
 C
A 
   2k  , a  0
 2



 A  ABC 21

 z B  z A   3  2k 
z z
z z
1
3
‫ و‬B A  1 ‫ ﻓﺎن‬B A  
i ‫ إذا ﻛﺎن‬
arg 
  

z

z
z

z
2
2
z

z
C
A
 C
A 
C
A
  2k 
 3
zB  zA
zB  zA
AB


 1  AB  AC (1) 
zC  z A
AC
zC  z A
9
-  

BAC 2017



 
 
  2k 
 z  zA 
AC ; AB   3
(2) ‫ وﻣﻨﮫ‬arg  B

AC
; AB


z

z
 C
A 
  2k 
 3



 ABC 21
zB  zA
zC  z A
zB  zA
z  zA
  
 1 ‫ ﻓﺎن‬    ;   :‫ ﺣﯿﺚ‬B
 1;   ‫ إذا ﻛﺎن‬
 
zC  z A
2
3
z

z


C
A
 z  zA 
arg  B
    2k  ‫و‬
 zC  z A 
zB  zA
AB


 1  AB  AC (1) 
AC
zC  z A
 
 zB  zA 
arg 
  AC ; AB 
z

z
 C
A 
 
AC ; AB    2k  (2) ‫وﻣﻨﮫ‬




 ABC 21

  M 4
 
z ‫ و‬z B ، z A ‫ ﺛ ﻼث ﻧﻘ ﻂ ﻣ ﻦ اﻟﻤﺴ ﺘﻮي اﻟﻤﺮﻛ ﺐ ﻟﻮاﺣﻘﮭ ﺎ ﻋﻠ ﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿ ﺐ‬M ‫ و‬B ، A
M  B ‫ و‬M  A ‫ﺣﯿﺚ‬
r  k  A M  (E ) : MA  k  0 
M  (E ) : z  z A  z  z B 
z  z A  z  z B  MA  MB 
AB  
 
AB  M  (E ) : MA .MB  0 
M  (E ) : arg(z  z A )    2k  
(E ) : AB  A  A  A 
 
A M  (E ) : arg(z  z A )    k 
  
(E ) : AB  A 
 
z z 
z z
arg  B

MA
; MB  k   B


z

z
z

z
 A

A

10

-  

BAC 2017
 A  AB  M 
 (E ) : AB   A 
 
z z 
z z
arg  B

MA
; MB  2k   B


z

z
z

z
 A

A
AB   AB M


 
 
(E ) : AB  AB  
 
z z 
z z
arg  B

MA
; MB    2k   B


z

z
z

z
 A

A
A  AB  M



(E ) : AB   A ‫ﺑﺎﻟﺘﺮﻣﯿﺰ‬

 
  2k 
 zB  z 
z z
arg 
 B

  MA ; MB   2

z

z
z

z
 A

  2k 
A
 2


 A  AB  M 

zB  z

zA  z
 
 zB  z 

arg 
  MA ; MB   2k 
2
 zA  z 


 A  AB   M 
 MAB 

zB  z

zA  z
 
 zB  z 

arg 
  MA ; MB    2k 
2
 zA  z 


 A  AB   M 
 MAB 
 ‫ ﯾﺘﻐﯿﺮ ) ﯾﻤﺴﺢ ( ﻓﻲ‬ ‫ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ﺗﻤﺎم ) ﻣﻌﻠﻮم( و‬k ‫ ﺣﯿﺚ‬z  z A  ke i 
AM  k ‫ وﻣﻨﮫ‬z  z A  ke i  z  z A  ke i ‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬
 k  z A M 
‫ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﻣﻌﻠﻮم‬ ‫ و‬ ‫ ﯾﺘﻐﯿﺮ ) ﯾﻤﺴﺢ ( ﻓﻲ‬k ‫ ﺣﯿﺚ‬z  z A  ke i 
11
-  

BAC 2017

 
i
  ke ‫ وﻣﻨﮫ‬z  z
u ; AM   ‫ أي‬z AM
 ke i  z  z A  ke i :‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬
A

 z A M 
 

u ; v    v 
 
‫ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﻣﻌﻠﻮم‬ ‫ و‬  ‫ ﯾﺘﻐﯿﺮ ) ﯾﻤﺴﺢ ( ﻓﻲ‬k ‫ ﺣﯿﺚ‬z  z A  ke i 

 
i
  ke ‫ وﻣﻨﮫ‬z  z
u ; AM   ‫ أي‬z AM
 ke i  z  z A  ke i :‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬
A

 z A M 
 

 
 5
 u ; v    v 
 
zC ‫ و‬z B ، z A ‫ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﻤﺮﻛﺐ ﻟﻮاﺣﻘﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬C ‫ و‬B ، A
zH 
z A  z B  zC
:‫ ھﻲ‬ABC ‫ ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬H ‫ ﻻﺣﻘﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬
3
(A,  );(B,  );(C ,  ) ‫ ﻣﺮﺟﺢ اﻟﺠﻤﻠﺔ‬G ‫ ﻻﺣﻘﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬


zG 
 z A   z B   zC
‫ھﻲ‬
  



AM   BM  CM  (°2
      0 




AM   BM  CM  (     )MG : ‫ ﻨﺠﺩ‬G ‫ﺠﺢ‬‫ﺒﺈﺩﺨﺎل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺭ‬
(‫×) ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ‬M ‫ﺠﺢ‬‫ﺍﻟﻤﺭ‬
 
:‫ﻭﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺸﻌﺎﻉ‬C ‫ ﻭ‬B ، A ‫ﺠﺢ ﻟﻠﻨﻘﻁ‬‫ ﻓﻼ ﻴﻭﺠﺩ ﻤﺭ‬      0 ‫ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ 
  
‫ ﻭﻴﺘﻡ ﺘﺤﻭﻴل ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ﺒﺈﺩﺨﺎل‬M ‫ ﺸﻌﺎﻋﺎ ﺜﺎﺒﺘﹰﺎ ﻤﺴﺘﻘﻼ ﻋﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬AM BM  CM
Chasles ‫ﺇﺤﺩﻯ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺔ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻋﻼﻗﺔ ﺸﺎل‬
MA2  MB 2  MC 2  (°3
12
-  

BAC 2017
‫ ﻨﺠﺩ‬G ‫ﺠﺢ‬‫ﺒﺈﺩﺨﺎل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺭ‬
MA2  MB 2  MC 2  (     )MG 2  GA2  GB 2  GC 2
( ‫ [ ×)ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﻤﻌﺎﻤﻼﺕ‬M ‫ﺠﺢ‬‫] ﺍﻟﻤﺭ‬2 + ‫ﺠﺢ‬‫ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺭ‬M ‫ ﺍﺠﻌل ﻤﻜﺎﻥ‬ 
  6
 
M (z ) ‫ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬M (z ) ‫ ﺘﺤﻭﻴل ﻨﻘﻁﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻴﺭﻓﻕ ﺒﻜل ﻨﻘﻁﺔ‬: F
F :   
M (z )  M (z )
a  0 ‫ ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻤﺭﻜﺒﺎﻥ ﻭ‬b ‫ ﻭ‬a ، z   az  b ‫ﻤﻊ‬
  (1
z u  b ‫ ﺍﻨﺴﺤﺎﺏ ﻻﺤﻘﺔ ﺸﻌﺎﻋﻪ‬F ‫ ﻓﺎﻥ‬a  1 ‫ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬
z 
b
‫ ﻭﻻﺤﻘﺔ ﻤﺭﻜﺯﻩ‬a ‫ ﺘﺤﺎﻜﻲ ﻨﺴﺒﺘﻪ‬F ‫ ﻓﺎﻥ‬a   ‫ ﻭ‬a  1 ‫ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬
1a
‫ ﻭﻻﺤﻘﺔ ﻤﺭﻜﺯﻩ‬  arg(a ) ‫ ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺯﺍﻭﻴﺘﻪ‬F ‫ ﻓﺎﻥ‬a  1 ‫ ﻭ‬a   ‫ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬
z 
b
1a
  arg(a ) ‫ ﺘﺸﺎﺒﻪ ﻤﺒﺎﺸﺭ ﺯﺍﻭﻴﺘﻪ‬F ‫ ﻓﺎﻥ‬a  1 ‫ ﻭ‬a   ‫ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬
a ‫ ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ‬z  
b
‫ﻭﻻﺤﻘﺔ ﻤﺭﻜﺯﻩ‬
1a
(z   z )  a(z  z  ) : (  )  (2
z  ‫ ﻭﻻﺤﻘﺔ ﻤﺭﻜﺯﻩ‬k ‫( ﺘﺤﺎﻜﻲ ﻨﺴﺒﺘﻪ‬z   z )  k (z  z  ) 
z  ‫ ﻭﻻﺤﻘﺔ ﻤﺭﻜﺯﻩ‬ ‫( ﺩﻭﺭﺍﻥ ﺯﺍﻭﻴﺘﻪ‬z   z  )  e i (z  z  ) 
k ‫ ﻭﻨﺴﺒﺘﻪ‬z  ‫ ﻭﻻﺤﻘﺔ ﻤﺭﻜﺯﻩ‬ ‫( ﺘﺸﺎﺒﻪ ﻤﺒﺎﺸﺭ ﺯﺍﻭﻴﺘﻪ‬z   z )  ke i (z  z  ) 
13
-  

BAC 2017
D  C  B  A  F (3
a 
z  az A  b (1)
‫( ﻭﺍﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ‬1) ‫ ﺒﻀﺭﺏ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻓﻲ‬ B
: ‫ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬
z

az

b
(2)
z A  zC
C
 D
zB  zD
b ‫( ﻨﺠﺩ‬2) ‫( ﺃﻭ‬1) ‫ ﻓﻲ‬a ‫ﻨﻌﻭﺽ ﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ ﻗﻴﻤﺔ‬
C  B  A  F (4
a 
z  az A  b (1)
‫( ﻭﺍﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ‬1) ‫ ﺒﻀﺭﺏ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻓﻲ‬ B
: ‫ﻨﺤل ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬
z

az

b
(2)
z A  zC
C
 C
z B  zC
b ‫( ﻨﺠﺩ‬2) ‫( ﺃﻭ‬1) ‫ ﻓﻲ‬a ‫ﻨﻌﻭﺽ ﺒﻌﺩ ﺫﻟﻙ ﻗﻴﻤﺔ‬
 (5
‫ ﺒﺎﻟﺘﺤﻭﻴل‬C ‫ ﺼﻭﺭﺓ‬B ‫ ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‬z B  z A  a zC  z A  ‫ ﻓﺎﻥ‬a 
zB  zA
:‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬
zC  z A
a ‫ ﻨﻌﺭﻑ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻟﺘﺤﻭﻴل ﻤﻥ ﺨﻼل‬، A ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻤﺭﻜﺯﻩ‬






 
 

14
-  