Classe de Troisième Mathématiques Fiches de révisions pour le Brevet Version 2019 L. De Buyzer 1 Sommaire N° 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Titre Pour commencer, quelques conseils … Nombres relatifs Fractions Puissances Racines carrées Arithmétique Statistiques Probabilités Pourcentages Vitesse Calcul littéral Equations Inéquations Fonctions, fonction linéaire, fonction affine Utilisation du tableur Pythagore Thalès Trigonométrie dans un triangle rectangle Rappels de géométrie plane Triangles égaux Agrandissements-réductions, triangles semblables symétries, translation, rotation, homothétie Géométrie dans l’espace Algorithmique Formulaires : périmètres, aires, volumes Formulaire : conversions page 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-16 17-18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2 Pour commencer, quelques conseils … Tout au long de l’année Comprendre ➢ Ecouter, être attentif et participer en classe Apprendre ➢ S’entrainer Apprendre régulièrement ses leçons ➢ ➢ Faire ses exercices Faire les DM sérieusement Se corriger ➢ Corriger ses erreurs (Exercices, interro, DM, DS, DC, Brevet Blanc) Retenir ➢ Faire des fiches de révisions avec les formules, les méthodes, des exemples Lors des révisions (tout le mois de juin minimum) • Faire un planning de révisions pour bien répartir son temps entre les matières • Acheter des annales de brevet et faire au moins un exercice par jour. Si tu as besoin de retourner dans ton cahier de leçons à ce moment-là, écris en rouge dans ton exercice ce que tu ne dois pas oublier. • Poser des questions sur les notions qu’on ne comprend pas encore tout à fait. Début des épreuves … 1) Avant l’épreuve : Vérifier son sac la veille, arriver à l’avance pour éviter le stress… 2) Au début de l’épreuve : • Remplir l’entête de la copie • Parcourir tout le sujet pour repérer les thèmes abordés (mettre un titre à chaque exercice). Les exercices étant indépendants, ils peuvent être traités dans le désordre. Commence par le plus facile pour toi ! 3) Pendant l’épreuve : • Soigner sa copie : écriture, préciser le numéro des exercices et des questions traités, encadrer les résultats • Lire l’énoncé de l’exercice en entier : repérer les données numériques et les informations importantes (tu peux mettre du fluo sur l’énoncé), faire un schéma si besoin. • Résolution : justifier grâce à des calculs ou des propriétés puis répondre à l’aide de phrases (sauf si aucune justification n’est demandée, ex : certains QCM) Remarque : au moment de conclure, relire la question • Rédaction : - en algèbre : introduire les inconnues utilisées, aller à la ligne et aligner les signes "=" dans les calculs - en géométrie : « Je sais que … Or … Donc … », penser à mettre les unités et à bien arrondir les résultats. • Figures ou courbes demandés : propre, au crayon de papier peu appuyé, traits de construction apparents • Calculatrice : penser aux parenthèses, touche "S D", arrondis 4) A la fin de l’épreuve : • Numéroter les pages (par exemple si tu as rempli 5 pages il faut écrire 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 et 5/5) • Vérifier que tu as rendu toutes tes copies, ainsi que la page annexe s’il y en a une. • Vérifier les entêtes. BON COURAGE ET BONNE CHANCE ! 3 Fiche de révisions : Nombres relatifs 1) Simplification d’écriture • On supprime le signe + des nombres positifs. • On supprime les parenthèses du premier nombre d’un calcul. • On supprime les parenthèses autour des autres nombres en appliquant la règle des signes : + lorsque deux même signes se suivent – lorsque deux signes différents se suivent Exemples : 𝐴 = (+14) + (−7) = 14 − 7 mêmes signes : signes différents : 𝐵 = (−8) − (−5) = −8 + 5 +(+ … ) = + … −( + … ) = − … 𝐶 = (−20) + (+8) = −20 + 8 −( − … ) = + … + (− … ) = − … 𝐷 = 12 − (+10) = 12 − 10 2) Les 4 opérations 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑎×𝑏 𝑎: 𝑏 = 𝑎 𝑏 Même signe : On garde le signe commun et on ajoute les parties numériques. 𝐴 = (+3) + (+7) = 3 + 7 = 10 Signes différents : On garde le signe du nombre qui a la plus grande partie numérique et on soustrait les parties numériques. 𝐶 = (+5) + (−8) = 5 − 8 = −3 On simplifie d’abord les écritures pour retrouver une addition 𝐸 = (−10) − (−1) = −10 + 1 = −9 On applique la règle des signes et on multiplie les parties numériques. 𝐺 = 6 × 7 = 42 (+ ⋯ ) × (+ ⋯ ) = + ⋯ (+ ⋯ ) × (− ⋯ ) = − ⋯ (− ⋯ ) × (− ⋯ ) = + ⋯ (− ⋯ ) × (+ ⋯ ) = − ⋯ On applique la règle des signes et on divise les parties numériques. +… +… = +⋯ −… −… = +⋯ +… −… = −⋯ −… +… 𝐵 = (−4) + (−5) = −4 − 5 = −9 𝐷 = (−1,5) + (+6) = −1,5 + 6 = 4,5 𝐹 = (+2) − (+7) = 2 − 7 = −5 𝐻 = 9 × (−3) = −27 𝐼 = (−1) × (−11) = 11 𝐽 = (−5) × 10 = −50 𝐾 = 15: 5 = 3 𝐿 = (−8): 2 = −4 𝑀 = 147: (−10) = −14,7 = −⋯ 𝑁 = (−90): (−9) = 10 16 𝑃 = −2 = −8 3) Priorités opératoires 1. On commence par effectuer les calculs qui sont entre parenthèses. 2. On calcule les puissances s’il y en a. 3. On effectue les multiplications et les divisions : elles sont prioritaires ! 4. On effectue les additions et les soustractions Exemple : 𝐴 = 3 + 2 × (10 − 4 × 52 ) 𝐴 = 3 + 2 × (10 − 4 × 25) 𝐴 = 3 + 2 × (10 − 100) 𝐴 = 3 + 2 × (−90) 𝐴 = 3 − 180 𝐴 = −177 4 Fiche de révisions : fractions Addition, soustraction Pour additionner (ou soustraire) des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. Ensuite on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun. Multiplication Division Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser deux nombres relatifs en écriture fractionnaire (le deuxième doit être non nul), on multiplie le premier nombre par l’inverse du deuxième nombre (on échange le numérateur et le dénominateur). exemple : exemple : 𝐶 =3− 1 5 3 𝐶= 3×5 1 −5 1×5 𝐶= 𝐶= 15 5 𝐵= 15 1 𝐵= 15×8 1×9 1 𝐶 =1−5 𝐶= − exemple : 8 𝐵 = 15 × 9 1 5 15−1 5 5×3×8 𝐵 = 1×3×3 𝐵= 5×8 1×3 𝐵= 40 3 14 5 exemple : 1 4 3 1 4×3 𝐴 =7+7×8 𝐴 = 7 + 7×8 1 7 𝐴= + 1 4×3 7×4×2 3 𝐴 = 7 + 7×2 1 7 𝐴= + 𝐴= 3 14 on simplifie avant d’effectuer le produit 8 𝐴 = −9 𝐴=− Enoncé : C’est le goûter, trois enfants entament une tablette de chocolat. Le premier prend le tiers de la tablette et le deuxième enfant prend le quart. Le troisième prend les deux cinquièmes de ce qu’il reste après que le premier et le deuxième se soient servis. Quelle est la part du troisième enfant ? 1 • 1er enfant : • 2ème enfant : • part des deux premiers enfants : 1 3 • 1 4 1×4 1×3 4 3 7 + 4 = 3×4 + 4×3 = 12 + 12 = 12 reste après les deux premiers enfants : 12 12 • 1 3 7 5 − 12 = 12 troisième enfant : 2 5 5 12 2 5 5 8 9 Résoudre un problème 2 𝐴 = 14 2 −3 4×2 On calcule × 3 4 3 𝐴 = 3×(−3) 1×2 3 + 7×2 14 𝐴 = 14 + 14 −3 2 𝐴= × Priorité dans les calculs - On commence par effectuer les calculs entre parenthèses - La multiplication et la division sont prioritaires. 4 𝐴=3∶ 8 ×9 5 2×5 2 2 5 du reste c'est-à-dire 2×1 2 5 de 5 12 . 1 × 12 = 5×12 = 12 = 2×6 = 6 Conclusion : Le troisième enfant mange un sixième de la tablette de chocolat. 5 Fiche de révisions : puissances • puissances d’un nombre à savoir 𝑎0 = 1 exemples 30 = 1 𝑎𝑛 = ⏟ 𝑎 ×𝑎 ×…× 𝑎 (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = 4 × (−2) = −8 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑎−𝑛 = 1 1 = 𝑛 𝑎 𝑎 × 𝑎 × …×𝑎 ⏟ 7−2 = 1 1 1 = = 2 7 7 × 7 49 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑎𝑛 × 𝑎𝑝 = 𝑎𝑛+𝑝 : on ajoute les exposants 𝑎𝑛 𝑎𝑝 52 × 57 = 52+7 = 59 (−8)4 = (−8)4−6 = (−8)−2 (−8)6 = 𝑎𝑛−𝑝 : on soustrait les exposants (𝑎𝑛 )𝑝 = 𝑎𝑛×𝑝 : on multiplie les exposants. 𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛 = (𝑎 × 𝑏)𝑛 (35 )2 = 35×2 = 310 53 × 23 = (5 × 2)3 = 103 = 10 × 10 × 10 = 1 000 𝑎𝑛 𝑎 𝑛 = ( ) 𝑏𝑛 𝑏 • 12−2 3−2 12 −2 =( ) 3 = 4−2 puissances de 10 nanon 10−9 micro𝝁 10−6 millim 10−3 centic 10−2 décid 10−1 década 101 hectoh 102 à savoir 10 = 1 ⏟ 0…0 kilok 103 mégaM 106 gigaG 109 exemples 𝑛 7 10 = 10 000 000 𝑛 𝑧é𝑟𝑜𝑠 10−𝑛 = ⏟ 0, … 0 1 10−4 = 0,0001 𝑛 𝑧é𝑟𝑜𝑠 𝑛 𝑝 10 × 10 = 10 𝑛+𝑝 107 × 10−4 = 107+(−4) = 103 : on ajoute les exposants = 10𝑛−𝑝 : on soustrait les exposants 105 = 105−(−6) = 105+6 = 1011 10−6 (10𝑛 )𝑝 = 10𝑛×𝑝 : on multiplie les exposants. (10−3 )8 = 10−3×8 = 10−24 10𝑛 10𝑝 multiplier un nombre par 10𝑛 revient à déplacer la virgule de 𝑛 rang(s) vers la droite . multiplier un nombre par 10−𝑛 revient à déplacer la virgule de 𝑛 rang(s) vers la gauche L’écriture (ou notation) scientifique d'un nombre relatif est l'écriture de ce nombre sous la forme 𝑎 × 10𝑛 où 𝑛 est un nombre entier relatif et 𝑎 un nombre relatif dont la distance à zéro est un nombre entre 1 et 10, 10 exclu. 7,415 × 106 = 7 415 000 −18 025,48 × 10−3 = −18,02548 𝐴 = 26 000 = 2,6 × 104 𝐵 = 0,0089 = 8,9 × 10−3 𝐶 = 105 × 104 = 1,05 × 102 × 104 = 1,05 × 106 𝐷= 4×104 ×45×106 9×108 = = 4×45 × 9 4×9×5 9 104 ×106 × 108 1010 108 = 4 × 5 × 1010−8 = 20 × 102 = 2,0 × 101 × 102 = 2 × 103 6 Fiche de révisions : racines carrées Carré : Racine carré : 𝑎2 = 𝑎 × 𝑎 √𝑎 (𝑎 est un nombre positif) 02 = 0 √0 = 0 12 = 1 √1 = 1 22 = 4 √4 = 2 32 = 9 √9 = 3 42 = 16 √16 = 4 52 = 25 √25 = 5 62 = 36 √36 = 6 72 = 49 √49 = 7 82 = 64 √64 = 8 92 = 81 √81 = 9 102 = 100 √100 = 10 112 = 121 √121 = 11 122 = 144 √144 = 12 Propriétés sur les racines carrées Sous le symbole √ il y a toujours un nombre positif Exemples √3 existe √−3 n’existe pas ! Le résultat d’une racine carrée est un nombre positif √3 ≈ 1,73 > 0 1) Le nombre positif 𝑥 tel que 𝑥 2 = 25 est : Pour trouver le nombre positif 𝑥 tel que 𝑥 2 = 𝑎, 𝑥 = √25 = 5 2) Le nombre positif 𝑥 tel que 𝑥 2 = 81 est : 𝑥 = √81 = 9 on calcule la racine carrée de 𝑎 : 𝑥 = √𝑎 3) Le nombre positif 𝑥 tel que 𝑥 2 = 20 est : 𝑥 = √20 ≈ 4,5 4) Le nombre positif 𝑥 tel que 𝑥 2 = 6,7 est : 𝑥 = √6,7 ≈ 2,6 2 2 Si 𝑎 est un nombre positif : (√𝑎) = 𝑎 (√3) = 3 Si 𝑎 est un nombre positif : √ 𝑎2 = 𝑎 √ 32 = 3 7 Fiche de révisions : arithmétique • Vocabulaire : méthode : 12 est-il un diviseur de 84 ? 60 = 6 × 10. On dit alors que : 84 ∶ 12 = 7 6 et 10 sont des diviseurs de 60 nombre entier 6 et 10 divisent 60 donc 12 est un diviseur de 84 et 7 est un autre diviseur de 84. 60 est un multiple de 6 et de 10 60 est divisible par 6 et par 10 • Nombres premiers Un nombre premier est un nombre entier qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Exemple : 19 est-il un nombre premier ? 19 = 1 x 19 . Les diviseurs de 19 sont 1 et 19. Le nombre 19 n’a que deux diviseurs donc 19 est un nombre premier. Nombres premiers inférieurs à 20 : 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 - 17 – 19. • Décomposition d’un nombre entier en facteurs premiers Méthode : On divise le nombre par un nombre premier, puis le résultat obtenu par un nombre premier, et ainsi de suite jusqu’à obtenir 1. On trouve la décomposition à partir de la liste des diviseurs premiers utilisés. Exemples : Décomposer en facteurs premiers les nombres suivants 1) Le nombre 84 84 : 2 = 42 2) Le nombre 135 135 : 3 = 45 Donc 84 = 2 x 2 x 3 x 7 42 : 2 = 21 45 : 3 = 15 21 : 3 = 7 15 : 3 =5 7 : 7 =1 5 : 5 =1 • 84 = 2² x 3 x 7 Donc 135 = 3 x 3 x 3 x 5 135 = 33 x 5 Fraction irréductible Méthode : Pour rendre une fraction irréductible, on décompose son numérateur et son dénominateur en un produit de facteurs premiers puis on simplifie cette fraction par tous les facteurs communs. Exemple : Rendre irréductible la fraction 204 : 2 = 102 102 : 2 = 51 51 17 : 3 = 17 : 17 = 1 Donc 204 = 2 x 2 x 3 x 17 𝟐𝟎𝟒 𝟕𝟐 72 : 2 = 36 36 : 2 = 18 18 : 2 = 9 9 :3 =3 3 :3 =1 Ainsi : 204 72 = 2×2×3×17 2×2×2×3×3 = 17 2×3 = 17 6 Donc 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 8 Fiche de révisions : statistiques la série est donnée sous forme de liste Exemple : Voici les notes obtenues par Julie en maths : 12 ; 5 ; 18 ; 10 ; 15 ; 9 ; 11 étendue = « Max - Min » moyenne Exemple : Le tableau concerne le nombre de sports pratiqués par les 28 élèves d’une classe. Nombre de sports pratiqués Effectifs 0 1 2 3 4 2 12 8 5 1 meilleure note : 18 moins bonne note : 5 donc l’étendue est e = 18 - 5 = 13 plus grande valeur : 4 plus petite valeur : 0 donc l’étendue est e = 4 - 0 = 4 Interprétation : les notes sont dispersées. Interprétation : les valeurs sont dispersées. on additionne toutes les valeurs et on divise par l’effectif total pour chaque colonne du tableau, on multiplie la valeur par l’effectif, on additionne les résultats et on divise le tout par l’effectif total 𝑚 = (12 + 5 + 18 + 10 + 15 + 9 + 11) ∶ 7 𝑚 = 80 ∶ 7 ≈ 11,4 médiane la série est donnée sous forme de tableau avec effectifs 𝑚= 0×2+1×12+2×8+3×5+4×1 28 47 = 28 ≈ 1,7 La moyenne de maths de Julie est de 11,4 environ Ils pratiquent environ 1,7 sports en moyenne on range les valeurs dans l’ordre croissant. - Si l’effectif total est impair la médiane est la valeur centrale. - Si l’effectif total est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales. Pour trouver la position de la valeur centrale, on divise l’effectif total par 2 on ajoute la ligne des effectifs cumulés croissants (ECC). - Si l’effectif total est impair la médiane est la valeur centrale. - Si l’effectif total est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales. Pour trouver la position de la valeur centrale, on divise l’effectif total par 2 puis on regarde dans la ligne des ECC. valeurs dans l’ordre croissant : 5 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 15 ; 18 L’effectif total est 7. 7: 2 = 3,5 donc la médiane est la 4e valeur, c'est-à-dire 𝑀𝑒 = 11 interprétation : Julie a autant de notes inférieures ou égales à 11 que de notes supérieures ou égales à 11. Nombre de sports pratiqués Effectifs ECC 0 1 2 3 4 total 2 2 12 14 8 22 5 27 1 28 28 L’effectif total est 28. 28: 2 = 14 donc la médiane est la moyenne entre la 14e valeur (1) et la 15e valeur (2), c'est-à-dire 1+2 𝑀𝑒 = = 1,5 2 interprétation : il y a autant d’élèves qui pratiquent moins de 1,5 sports que d’élèves qui pratiquent plus de 1,5 sports. 9 Fiche de révisions : probabilités mot de vocabulaire expérience aléatoire définition du mot expérience liée au hasard, on ne peut pas prévoir quel sera le résultat exemple on lance un dé à 6 faces équilibré (non pipé) et on regarde le nombre de points inscrits sur sa face supérieure. issues résultats possibles d’une expérience aléatoire événement impossible événement qui ne peut pas se réaliser événement certain événement qui se réalise toujours événement élémentaire événement qui n’a qu’une seule issue événements incompatibles événements contraires événements qui ne peuvent pas se réaliser en même temps lorsque l’évenement A ne se réalise pas, l’événement contraire de A (noté « non A ») se réalise il y a 6 issues : « obtenir 1 » « obtenir 4 » « obtenir 2 » « obtenir 5 » « obtenir 3 » « obtenir 6 » « obtenir 0 » est un événement impossible « obtenir un nombre entier entre 1 et 6 » est un événement certain. l’événement « obtenir un nombre pair supérieur à 5 » est réalisé par une seule issue « obtenir 6 ». « obtenir 1 » et « obtenir 3 » sont deux événements incompatibles. « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair » sont deux événements contraires Différence entre fréquence et probabilité : Exemple : Un dé cubique a 6 faces peintes : une en bleue, une en rouge, une en jaune, une en verte et deux en noir. 1) On jette ce dé cent fois et on note à chaque fois la couleur de la face obtenue. Le schéma ci-contre donne la répartition des couleurs obtenues lors de ces cent lancers. Calculs de probabilités : attention, une probabilité est un nombre entre 0 et 1 Exemple : Voici la composition de la classe de 25 élèves de 3e . 1) Compléter le tableau ci-dessous Garçon Externes 2 Demi-pensionnaire 9 Total 11 2) On choisit un élève au hasard a) Calculer la probabilité de l’événement F fille ». Il y a 14 filles sur 25 élèves donc 𝑝(𝐹) = Fille Total 3 11 14 5 20 25 : « cet élève est une 14 25 b) Définir par une phrase l’événement (non F) et calculer sa probabilité. non F : « cet élève n’est pas une fille ». autrement dit : non F : « cet élève est un garçon ». 14 25 14 11 𝑝(𝑛𝑜𝑛𝐹) = 1 − 𝑝(𝐹) = 1 − = − = 25 25 25 25 Déterminer la fréquence d’apparition de la couleur jaune. Lors de l’expérience on a obtenue 20 fois la couleur jaune sur les 100 lancers donc la fréquence d’apparition de la couleur 20 jaune est = 0,2 100 2) On suppose que le dé est équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir la couleur jaune ? Il y a une face jaune sur les 6 faces du dé donc la probabilité 1 d’obtenir la couleur jaune est ≈ 0,17 6 3) Expliquer l’écart entre la fréquence obtenue à la question 1 et la probabilité trouvée à la question 2. D’après le cours, plus il y a de lancers plus la fréquence se rapproche de la probabilité. Dans la question 1, on effectue seulement 100 lancers, ce n’est pas assez important, ce qui explique l’écart entre les fréquences et les probabilités. Expérience à deux épreuves, arbre de probabilités : Exemple : On joue à Pile (P) ou Face (F) avec une pièce bien équilibrée. Ensuite, on fait tourner la roue bien équilibrée ci-dessous et on relève le numéro du secteur qui s'arrête face au repère 𝑝(𝑃; 1) = 1 1 1 × = 2 6 12 1 2 2 × = 2 6 12 1 3 3 𝑝(𝑃; 3) = × = 2 6 12 𝑝(𝑃; 2) = 𝑝(𝐹; 1) = 1 1 1 × = 2 6 12 1 2 2 × = 2 6 12 1 3 3 𝑝(𝐹; 3) = × = 2 6 12 𝑝(𝐹; 2) = il y a 6 issues : (P ;1) (P ;2) (P ;3) (F ;1) (F ;2) et (F ;3) Par exemple la probabilité d’obtenir face puis le n°3 est 3 12 1 =4 10 Fiche de révisions : pourcentages Appliquer un pourcentage • Méthode : Si on veut calculer 𝑎 % d’une quantité on effectue le calcul suivant 𝑎 100 × 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡é Exemple : Une citerne ayant une capacité de 8 500 L est remplie d’eau à 60 %. Quelle quantité d’eau contient cette citerne ? 60 × 100 8500 = 0,6 × 8500 = 5 100. Il y a 5 100 L d’eau dans cette citerne. Calculer un pourcentage • Méthode : On effectue le calcul suivant 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡é 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡é 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 × 100 Exemple : Le tableau ci-dessous présente les notes (sur 20) obtenues par une classe de 3 e lors du dernier devoir surveillé Note Effectif 1 1 3 1 5 2 6 1 8 2 9 3 10 5 11 1 12 1 14 2 18 1 19 1 20 1 Déterminer le pourcentage d’élèves, arrondi à l’unité, ayant eu au plus 10/20 à ce devoir surveillé. - Nombre d’élèves ayant eu une note inférieure ou égale à 10 : 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 5 = 15 - Nombre d’élèves au total : 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 22 - Pourcentage : 15 22 × 100 ≈ 68 Ainsi, environ 68 % des élèves de cette classe a eu au plus 10/20 à ce devoir surveillé. Augmentation et diminution en pourcentage • Augmenter un nombre de 𝑡 % revient à le multiplier par 𝑡 Diminuer un nombre de 𝑡 % revient à le multiplier par 𝑡 (1 + 100) (1 − 100) Exemple : L’effectif d’un club sportif de 350 membres augmente de 4 %. Quel est le nouvel effectif de ce club sportif ? Exemple : Un article qui coûtait 125 € est soldé et son prix diminue de 35 %. Quel est le prix de cet article lors des soldes ? 350 × (1 + 4 100 ) = 350 × (1 + 0,04) = 350 × 1,04 = 364 35 ) = 125 × (1 − 0,35) = 125 × 0,65 = 81,25 Il y a maintenant 364 membres dans ce club sportif. 125 × (1 − Calculer la valeur initiale, avant augmentation ou diminution Calculer le pourcentage d’augmentation ou de diminution On divise le résultat par (1 + augmentation ou par (1 − 𝑡 100 𝑡 100 289: (1 − 15 100 Lors des soldes, cet article coûte 81,25 €. 𝑎𝑢𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑢 𝑑𝑖𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 × 100 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 ) si c’est une ) si c’est une diminution. Exemple : La population d’un village a diminué de 15 % en trente ans. Il compte aujourd’hui 289 habitants. Quelle était sa population il y a trente ans ? ) = 289: (1 − 0,15) = 289: 0,85 = 340 . Ainsi il y avait 340 habitants dans ce village il y a 30 ans. 100 Exemple : Le réseau autoroutier français est passé de 4 862 km en 1980 à 10 843 km en 2006. De quel pourcentage a-t-il augmenté entre 1980 et 2006 ? Arrondir à l’unité 10843−4862 4862 5981 = 4862 × 100 ≈ 123 . Le réseau autoroutier français a augmenté de 123 % environ entre 1980 et 2006. 11 Fiche de révisions : vitesse Rappel de conversions de durée : 1 an ≈ 365 jours ; 1 jour = 24 h • ; 1 h = 60 min ; 1 min = 60 s Calculer une vitesse 𝑣= vitesse moyenne 𝑑 distance parcourue 𝑡 durée du parcours Exemple : Lorsque Nicole part de Paris à 9h00, le compteur kilométrique de sa voiture indique 23 245 km. Elle arrive au Havre à 11h30 et le compteur indique 23 425 km. A quelle vitesse moyenne a-t-elle roulé ? - distance parcourue : 𝑑 = 23 425 − 23 245 = 180 𝑘𝑚 1 - durée du parcours : 𝑡 = 11ℎ30 − 9ℎ00 = 2ℎ30 = 2ℎ + 30𝑚𝑖𝑛 = 2ℎ + ℎ = 2ℎ + 0,5ℎ = 2,5ℎ 2 D’où 𝑣= 𝑑 𝑡 = 180 2,5 = 72 𝑘𝑚/ℎ Nicole a roulé à la vitesse moyenne de 72 km/h. • Calculer une distance Exemple : Un cycliste effectue un trajet de 48 min avec une vitesse moyenne de 23 km/h. Quelle distance parcourt-il ? La vitesse moyenne du cycliste étant de 23 km/h, le vélo parcourt 23 km en une heure, autrement dit il parcours 23 km en 60 min. On a le tableau de proportionnalité suivant : D’après l’égalité des produits en croix • 23×48 𝑑= 60 = distance (en km) 23 𝑑 temps (en min) 60 48 1104 60 = 18,4. Le cycliste parcourt 18,4 km en 48 min. Calculer une durée Exemple : Une girafe peut courir à la vitesse de 50 km/h. Combien de temps, en s, met-elle pour parcourir 250 m à cette vitesse ? La vitesse moyenne de la girafe étant de 50 km/h, elle parcourt 50 km en une heure, autrement dit elle parcourt 50 000 m en 60 min ou en 60 × 60 = 3600 𝑠 distance (en m) On a le tableau de proportionnalité suivant : D’après l’égalité des produits en croix, • 𝑡= temps (en s) 3600×250 50 000 = 900 000 50 000 = 18. 50 000 250 3600 𝑡 La girafe parcourt 250 m en 18 s. Changer d’unité de vitesse Exemple 1 : Convertir 72 km/h en m/s distance temps 72 km 1h 72 000 m 1h 72 000 m 3600 s 20 m 1s 46,8 km 3600 s 46,8 km 1h Donc 72𝑘𝑚/ℎ = 20𝑚/𝑠 Exemple 2 : Convertir 13 m/s en km/h distance temps 13 m 1s 0,013 km 1s Donc 13𝑚/𝑠 = 46,8𝑘𝑚/ℎ 12 Fiche de révisions : calcul littéral Développer • • • La simple distributivité : 𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘 × 𝑎 + 𝑘 × 𝑏 ex : Factoriser exemple 1 : 𝐴 = 5(𝑥 − 3) 𝐴 =5×𝑥−5×3 𝐴 = 5𝑥 − 15 La double distributivité : 𝐴 = 𝑥² − 3𝑥 𝐴 =𝑥×𝑥−3×𝑥 𝐴 = 𝑥(𝑥 − 3) exemple 2 : (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎 × 𝑐 + 𝑎 × 𝑑 + 𝑏 × 𝑐 + 𝑏 × 𝑑 𝐵 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 5) + (𝑥 + 2)(3𝑥 − 1) 𝐵 = (𝑥 + 2)[(𝑥 − 5) + (3𝑥 − 1)] 𝐵 = (𝑥 + 2)[𝑥 − 5 + 3𝑥 − 1] 𝐵 = (𝑥 + 2)(4𝑥 − 6) 𝐵 = (3 + 𝑥)(𝑥 − 2) 𝐵 = 3 × 𝑥 + 3 × (−2) + 𝑥 × 𝑥 + 𝑥 × (−2) 𝐵 = 3𝑥 − 6 + 𝑥² − 2𝑥 𝐵 = 𝑥² + 𝑥 − 6 ex : • • 1 | (𝑎 + 𝑏) = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² 𝐶 = (𝑥 + 4)² 𝐶 = 𝑥² + 2 × 𝑥 × 4 + 4² 𝐶 = 𝑥² + 8𝑥 + 16 2 | (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² ex : En utilisant une identité remarquable : Les identités remarquables : 2 ex : Avec un facteur commun : 𝐷 = (2𝑥 − 3)² 𝐷 = (2𝑥)2 − 2 × 2𝑥 × 3 + 3² 𝐷 = 4𝑥² − 12𝑥 + 9 avec la 1ère identité remarquable : 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)2 ex : 𝐶 = 𝑥² + 2𝑥 + 1 𝐶 = 𝑥² + 2 × 𝑥 × 1 + 1² 𝐶 = (𝑥 + 1)2 avec la 2e identité remarquable : 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 − 𝑏)2 ex : 𝐷 = 𝑥² − 6𝑥 + 9 𝐷 = 𝑥² − 2 × 𝑥 × 3 + 3² 𝐷 = (𝑥 − 3)² 3 | (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑏² ex : 𝐸 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 5) 𝐸 = 𝑥² − 5² 𝐸 = 𝑥² − 25 avec la 3e identité remarquable : 𝑎² − 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) exemple 1 : 𝐸 𝐸 𝐸 𝐸 𝐸 = (𝑥 + 3)2 − 16 = (𝑥 + 3)2 − 4² = [(𝑥 + 3) + 4] [(𝑥 + 3) − 4] = [𝑥 + 3 + 4][𝑥 + 3 − 4] = (𝑥 + 7)(𝑥 − 1) exemple 2 : 𝐹 = (2𝑥 + 3)2 − (𝑥 + 1)² 𝐹 = [(2𝑥 + 3) + (𝑥 + 1)] [(2𝑥 + 3) − (𝑥 + 1)] 𝐹 = [2𝑥 + 3 + 𝑥 + 1][2𝑥 + 3 − 𝑥 − 1] 𝐹 = (3𝑥 + 4)(𝑥 + 2) Quand on supprime des parenthèses précédées d’un signe « moins » alors on doit changer les signes ! 13 Fiche de révisions : équations Solution d’une équation • exemple : le nombre 2,4 est-il solution de l’équation 10𝑥 − 7 = 5(𝑥 + 1) ? D’une part pour 𝑥 = 2,4 on a 10𝑥 − 7 = 10 × 2,4 − 7 = 24 − 7 = 17 D’autre part pour 𝑥 = 2,4 on a 5(𝑥 + 1) = 5 × (2,4 + 1) = 5 × 3,4 = 17 Comme on obtient le même résultat, le nombre 2,4 est solution de l’équation 10𝑥 − 7 = 5(𝑥 + 1) Equations du premier degré • Règle : On peut ajouter ou soustraire un nombre, multiplier ou diviser par un même nombre non nul, les deux membres d’une égalité, cette égalité reste vraie. Exemple : Résoudre l’équation 5𝑥 + 17 = 3𝑥 + 20 5𝑥 + 17 = 3𝑥 + 20 5𝑥 − 3𝑥 + 17 = 3𝑥 + 20 − 3𝑥 2𝑥 + 17 = 20 2𝑥 + 17 − 17 = 20 − 17 2𝑥 = 3 2𝑥 2 3 =2 𝑥 = 1,5 L’équation 5𝑥 + 17 = 3𝑥 + 20 admet une solution : 𝑥 = 1,5. • • Equations produit nul Si 𝑎 > 0 il y a Exemple : Résoudre l’équation (2𝑥 − 8)(5𝑥 + 3) = 0 2 solutions : (2𝑥 − 8)(5𝑥 + 3) = 0 𝑥 = √𝑎 et 𝑥 = −√𝑎 Si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul. On a donc : 2𝑥 − 8 = 0 2𝑥 − 8 + 8 = 0 + 8 2𝑥 = 8 2𝑥 2 ou 8 =2 𝑥=4 Si 𝑎 = 0 il y a 5𝑥 + 3 = 0 5𝑥 + 3 − 3 = 0 − 3 5𝑥 = −3 5𝑥 5 = une solution : 𝑥=0 Exemple : 𝑥 2 = 5 admet 2 solutions 𝑥 = √5 et 𝑥 = −√5 Exemple : 𝑥 2 = 0 admet une solution 𝑥=0 −3 Si 𝑎 < 0 il n’y a 5 3 𝑥 = −5 L’équation (2𝑥 − 8)(5𝑥 + 3) = 0 admet deux solutions : 𝑥 = 4 et • Equations du type 𝒙² = 𝒂 pas de solution 3 𝑥 = −5 Exemple : 𝑥 2 = −3 n’admet pas de solution (car un carré est toujours positif) Mettre un problème en équation Etapes pour résoudre un problème grâce à une équation : 1° Choix de l’inconnue 2° Mise en équation 3° Résolution de l’équation 4° Vérification 5° Conclusion 14 Fiche de révisions : inéquations Solutions d’une inéquation • Exemple : Le nombre −1 est-il solution de l’inéquation 3𝑥 + 12 > 1 − 2𝑥 ? D’une part pour 𝑥 = −1 on a 3𝑥 + 12 = 3 × (−1) + 12 = −3 + 12 = 9 D’autre part pour 𝑥 = −1 on a 1 − 2𝑥 = 1 − 2 × (−1) = 1 + 2 = 3 Comme 9 > 3, le nombre −1 est solution de l’inéquation 3𝑥 + 12 > 1 − 2𝑥 . Résoudre une inéquation • Règle : On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on : • additionne ou soustrait un même nombre aux 2 membres de l’inégalité. • multiplie ou divise par un même nombre strictement positif les 2 membres de l’inégalité. On change le sens d’une inégalité lorsqu’on : • multiplie ou divise par un même nombre strictement négatif les 2 membres de l’inégalité Exemple : Résoudre −8𝑥 + 6 ≤ −7𝑥 + 2 −8𝑥 + 6 − 6 ≤ −7𝑥 + 2 − 6 −8𝑥 ≤ −7𝑥 − 4 −8𝑥 + 7𝑥 ≤ −7𝑥 − 4 + 7𝑥 −1𝑥 ≤ −4 −1𝑥 −1 −4 ≥ −1 on a divisé par un nombre négatif donc on doit changer le sens de l’inégalité. 𝑥≥4 Représenter graphiquement les solutions d’une inéquation • 𝒙≥𝟏 𝒙≤𝟏 𝒙>𝟏 𝒙<1 Règle : Dans la représentation des solutions d’une inéquation sur une droite graduée : Si un nombre fait partie des solutions alors le crochet est tourné vers les solutions. Si un nombre ne fait pas partie des solutions alors le crochet n’est pas tourné vers les solutions. • • Exemple : Résoudre l’inéquation 6𝑥 − 2 < −14 et représenter graphiquement les solutions. 6𝑥 − 2 < −14 6𝑥 − 2 + 2 < −14 + 2 6𝑥 < −12 6𝑥 6 < Représentation graphique : −12 6 𝑥 < −2 15 Fiche de révisions : fonctions • Définition Une fonction est une « machine » mathématique qui à un nombre fait correspondre un seul autre nombre. nombre obtenu 𝑓(𝑥) fonction 𝑓 nombre initial 𝑥 exemple : 𝑓 est la fonction qui, à un nombre, fait correspondre le carré de ce nombre augmenté de 1. Si on choisit le nombre 𝑥 on obtient 𝑥 2 + 1. • On note : 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑥 2 + 1 ou 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 Image et antécédent (Un nombre n’a qu’une seule image mais il peut y avoir plusieurs antécédents) 𝑓: 3 ⟼ 10 𝑓(3) = 10 l’image de 3 par la fonction 𝑓 est 10. (ou 10 est l’image de 3 par 𝑓) un antécédent de 10 par la fonction 𝑓 est 3 (ou 3 est un antécédent de 10 par 𝑓) Un nombre qui a pour image 10 par 𝑓 est 3 (ou un nombre dont l’image est 10 par 𝑓 est 3) Un nombre 𝑥 tel que 𝑓(𝑥) = 10 est 3. avec le calcul avec un tableau de valeur On considère la fonction ℎ: 𝑥 ⟼ 𝑥 + 5 Calcul de l’image de 3 : -> On remplace 𝑥 par 3 On considère la fonction 𝑔 dont un tableau de valeurs est donné cidessous : 𝑥 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) = 𝑥 + 5 ℎ(3) = 3 + 5 ℎ(3) = 8 Donc l’image de 3 par la fonction ℎ est 8. avec un graphique 0 -3 1 0 2 4 3 1 On considère la fonction 𝑓 représentée ci-dessous 4 0 - L’image de 1 par la fonction 𝑔 est 0 - Un antécédent de 0 par la fonction 𝑔 est 1. Calcul de l’antécédent de 0 : -> On résout l’équation ℎ(𝑥) = 0 pour trouver 𝑥 ℎ(𝑥) = 0 𝑥+5=0 𝑥+5−5=0−5 𝑥 = −5 Donc l’antécédent de 0 par la fonction ℎ est -5. - L’image de 2 par la fonction 𝑓 est 3 - Un antécédent de 3 par la fonction 𝑓 est 2 Fiche de révisions : fonctions linéaires Définition : Une fonction linéaire de coefficient 𝑎 est définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎 × 𝑥 Représentation graphique : C’est une droite qui passe par l’origine du repère. Le nombre 𝑎 est le coefficient directeur (ou la pente) de la droite. Situation de proportionnalité : Une fonction linéaire représente une situation de proportionnalité. Le nombre 𝑎 est le coefficient de proportionnalité. Exemple : Représenter la fonction linéaire 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 1,5𝑥. Le coefficient de la fonction 𝑥 𝑓(𝑥) 0 0 2 3 𝑓(2) = 1,5 × 2 = 3 linéaire est 1,5 16 Déterminer graphiquement une fonction linéaire : On place un point 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ) sur la droite et on calcule : abscisse 𝑎= 𝑦𝐴 𝑥𝐴 ordonnée Exemple : Déterminer l’expression de la fonction linéaire 𝑓 représentée ci-contre Le point 𝐴(3; −2) appartient à la droite représentant la fonction 𝑓 donc 𝑓(3) = −2. 𝑥𝐴 𝑦𝐴 𝑓 est une fonction linéaire donc 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 avec L’expression de 𝑓 est : 𝑓(𝑥) = −2 3 𝑦 𝑎 = 𝑥𝐴 = −2 𝐴 3 𝑥 Fiche de révisions : fonctions affines Définition : Une fonction affine est définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎 × 𝑥 + 𝑏 Représentation graphique : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Le nombre 𝑎 est le coefficient directeur (ou la pente) de la droite. Le nombre 𝑏 est l’ordonnée à l’origine. Exemple : Tracer la courbe représentative de la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 0,5𝑥 + 2 et préciser l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur. 𝑓: 𝑥 ⟼ 0,5𝑥 + 2 est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite de coefficient directeur 𝑎 = 0,5 et d’ordonnée à l’origine 𝑏 = 2 𝑥 0 6 𝑓(𝑥) 2 5 𝑓(0) = 0,5 × 0 + 2 = 2 𝑓(6) = 0,5 × 6 + 2 = 3 + 2 = 5 Déterminer graphiquement une fonction affine : Exemple : Déterminer l’expression de la fonction affine 𝑓 représentée ci-dessous • Les points A(1 ;1) et B(3 ; -3) appartiennent à (d) Le coefficient directeur de la droite est : 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 −3 − 1 −4 𝑎= = = = −2 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 3−1 2 𝑦𝐴 𝑥𝐵 • La droite coupe l’axe des ordonnées au point D(0 ; 3) donc l’ordonnée à l’origine est 𝑏 = 3 𝑥𝐴 • Ainsi 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3 𝑦𝐵 17 Fiche de révisions : utilisation du tableur Rappel : une formule tableur commence par le signe = • Programmes de calcul On considère les deux programmes de calculs suivants : Programme A ▪ ▪ ▪ Programme B Choisir un nombre Calculer le triple du nombre choisi Ajouter 5 au résultat ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ Choisir un nombre Ajouter 3 à ce nombre Calculer le double du résultat Soustraire 1 Ajouter à ce nouveau résultat le nombre choisi au départ. On a utilisé un tableur pour calculer des résultats de ces deux programmes. Voici ce qu’on a obtenu : Quelles formules a-t-on saisie dans les cellule B2 et C2 puis recopiée vers le bas ? Dans la cellule B2 on a entré : = 3 ∗ 𝐴2 + 5 Dans la cellule C2 on a entré : • = (𝐴2 + 3) ∗ 2 − 1 + 𝐴2 Problèmes concrets Quelle formule faut-il écrire dans la cellule B3 puis recopier à droite pour calculer l’IMC ? Il faut écrire la formule = 𝐵2/(𝐵1^2) 18 • Calcul littéral On considère l’expression 𝐴 = (2𝑥 + 1)2 − 3(7 − 5𝑥). Stevens développe et réduit A. Il obtient 𝐴 = 4𝑥 2 − 11𝑥 − 20. Il réalise alors la feuille de calcul ci-dessous pour contrôler son résultat. 1) Quelle formule a-t-il écrite en cellule B2 et étendue à la cellule B10 ? On a entré la formule = (2 ∗ 𝐴2 + 1)^2 − 3 ∗ (7 ∗ 5 ∗ 𝐴2) 2) Quelle formule a-t-il écrite en cellule C2 et étendue à la cellule C10 ? On a entré la formule = 4 ∗ 𝐴2^2 − 11 ∗ 𝐴2 − 20 3) Observer cette feuille de calcul. Que penser de la réponse de Stevens ? Stevens a dû se tromper en développant l’expression A, sinon on obtiendrait les mêmes résultats dans les colonnes B et C 4) Développer et réduire l’expression initiale de 𝐴 𝐴 = (2𝑥 + 1)2 − 3(7 − 5𝑥) 𝐴 = (2𝑥)2 + 2 × 2𝑥 × 1 + 1² − 3 × 7 − 3 × (−5𝑥) 𝐴 = 4𝑥² + 2𝑥 + 1 − 21 + 15𝑥 𝐴 = 4𝑥² + 17𝑥 − 20 • Fonctions, équations La copie d’écran ci-dessous montre le travail qu’a effectué Camille à l’aide d’un tableur à propos des fonctions 𝑔 et ℎ définies par 𝑔(𝑥) = 5𝑥² + 𝑥 − 7 et ℎ(𝑥) = 2𝑥 − 7 1) Donner un nombre qui a pour image -1 par la fonction 𝑔 D’après le tableau (dans les cellules E1 et E2) 𝑔(1) = −1 donc le nombre 1 a pour image -1 par la fonction 𝑔 2) Quelles formules Camille a-t-elle saisie dans les cellules B2 et B3 puis recopiées vers la droite ? Dans la cellule B2, Camille a saisi la formule = 5 ∗ 𝐵1^2 + 𝐵1 − 7 Dans la cellule B3, Camille a saisi la formule = 2 ∗ 𝐵1 − 7 3) Déduire du tableau, une solution de l’équation 5𝑥² + 𝑥 − 7 = 2𝑥 − 7 On voit dans la cellule D2 que lorsque 𝑥 = 0, 5𝑥² + 𝑥 − 7 = −7 On voit dans la cellule D3 que lorsque 𝑥 = 0, 2𝑥 − 7 = −7 Donc −7 est une solution de l’équation 5𝑥² + 𝑥 − 7 = 2𝑥 − 7 • Statistiques Tom lance 50 fois deux dés à six faces parfaitement équilibrés. Il note dans une feuille de calcul les sommes obtenues à chaque lancer. Il obtient le tableau suivant : 1) Quelle formule a-t-il saisie dans la cellule 𝑀2 pour vérifier qu’il a bien relevé 50 résultats ? Il doit écrire = 𝑆𝑂𝑀𝑀𝐸(𝐵2: 𝐿2) On rappelle que le symbole : signifie « jusqu’à » sur le tableur. 2) Tom a saisi dans la cellule B3 la formule = 𝐵2/𝑀2. Il obtient un message d’erreur quand il étire la formule dans la cellule C3. Pourquoi ? Il aurait dû écrire la formule = 𝐵2/$𝑀$2, le symbole $ permet de fixer la cellule. Sans ce symbole en étirant la formule entrée dans B3, vers la droite, on obtient dans la cellule C3 la formule = 𝐶2/𝑁2 mais il n’y a rien dans la cellule N2, le tableur ne peut pas effectuer l’opération. 19 Fiche de révisions : Pythagore • Calculer une longueur dans un triangle rectangle Ex 1 : On considère un triangle MNP rectangle en M tel que MN=4,2cm et MP=5,6cm. Calculer NP Je sais que MNP est un triangle rectangle en M Or, d’après le théorème de Pythagore, 𝑁𝑃2 = 𝑀𝑁 2 + 𝑀𝑃2 • • • • Donc en remplaçant par les longueurs données on a : 𝑁𝑃2 = 4,22 + 5,62 𝑁𝑃2 = 17,64 + 31,36 On commence toujours par l’hypoténuse. 𝑁𝑃2 = 49 𝑁𝑃 = √49 • 𝑁𝑃 = 7 𝑐𝑚 Ex 2 : On considère un triangle ABC rectangle en B tel que 𝐴𝐶 = 8 𝑐𝑚 et 𝐵𝐶 = 5 𝑐𝑚. Faire une figure à main levée et calculer la longueur AB arrondie au mm. Je sais que le triangle ABC est rectangle en B Or, d’après le théorème de Pythagore 𝐴𝐶² = 𝐴𝐵² + 𝐵𝐶² Donc, en remplaçant par les longueurs données on a : 8² = 𝐴𝐵² + 5² 64 = 𝐴𝐵² + 25 𝐴𝐵² = 64 − 25 𝐴𝐵² = 39 • 𝐴𝐵 = √39 𝑐𝑚 valeur exacte 𝐴𝐵 ≈ 6,2 𝑐𝑚 valeur arrondie au mm. Démontrer qu’un triangle est rectangle Le triangle MNP est-il rectangle ? Le démontrer Dans le triangle 𝑀𝑁𝑃, [𝑀𝑃] est le plus grand côté. - D’une part 𝑀𝑃² = 132 = 169 - D’autre part 𝑀𝑁 2 + 𝑁𝑃2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 Comme 𝑀𝑃2 = 𝑀𝑁 2 + 𝑁𝑃2 , alors le triangle 𝑀𝑁𝑃 est rectangle en 𝑁 d’après la réciproque du théorème de Pythagore, • Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle Le triangle RST est-il rectangle ? Le démontrer Dans le triangle 𝑅𝑆𝑇, [𝑆𝑇] est le plus grand côté. - D’une part 𝑆𝑇 2 = 4,32 = 18,49 - D’autre part 𝑅𝑇 2 + 𝑅𝑆 2 = 2,52 + 3,52 = 6,25 + 12,25 = 18,5 Comme 𝑆𝑇 2 ≠ 𝑅𝑇 2 + 𝑅𝑆 2 , le triangle 𝑅𝑆𝑇 n’est pas rectangle d’après la contraposée du théorème de Pythagore. 20 Fiche de révisions : Thalès • Calculer une longueur quand des droites sont parallèles Ex 1 : • • Ex 2 : Je sais que : - les droites (FI) et (GJ) sont sécantes en E. - les droites (IJ) et (FG) sont parallèles. Je sais que : - les droites (VR) et (SU) sont sécantes en T. - les droites (RS) et (UV) sont parallèles. • Or, d’après le théorème de Thalès on a : 𝑇𝑅 𝑇𝑆 𝑅𝑆 = = Or, d’après le théorème de Thalès on a : 𝐸𝐼 𝐸𝐽 𝐼𝐽 = = 𝐸𝐹 • • 𝐸𝐺 𝐹𝐺 Donc, en remplaçant par les longueurs données 2,4 3 𝐼𝐽 on a : = = 6 𝐸𝐺 𝑇𝑉 𝐹𝐺 Comme 𝐸𝐺 = 6 6×3 2,4 = = 3 𝐸𝐺 18 2,4 alors = 7,5 𝑐𝑚 Comme 𝑇𝑉 𝑇𝑉 = • 𝑉𝑈 Donc, en remplaçant par les longueurs données 10,5 𝑇𝑆 9,8 on a : = = • 2,4 𝑇𝑈 Démontrer que des droites sont parallèles Démontrer que les droites (AB) et (FT) sont parallèles. 𝑇𝑈 10,5 = 𝑇𝑉 10,5×7,6 9,8 7,6 9,8 alors 7,6 79,8 = 9,8 ≈ 8,1 𝑐𝑚 • Démontrer que des droites ne sont pas parallèles Les droites (IJ) et (FG) sont-elles parallèles ? Je sais que les droites (FB) et (AT) sont sécantes en S. D’une part 𝑆𝐴 𝑆𝑇 D’autre part 2 1×2 1 Je sais que les droites (FI) et (GJ) sont sécantes en = 6 = 3×2 = 3 𝑆𝐵 𝑆𝐹 1,5 1,5×2 3 1×3 1 = 4,5 = 4,5×2 = 9 = 3×3 = 3 𝑆𝐴 𝑆𝑇 𝑆𝐵 = 𝑆𝐹 et que les points A,S,T sont alignés dans le même ordre que les points 𝐵, 𝑆, 𝐹 alors les droites (AB) et (TF) sont parallèles d’après la réciproque du théorème de Thalès. • 𝐸𝐼 𝐸𝐹 D’autre part Comme • D’une part Comme 𝐸𝐼 𝐸𝐹 = 𝐸𝐽 𝐸𝐺 5,3 6 ≈ 0,883 5,6 = 6,3 ≈ 0,889 𝐸𝐽 ≠ 𝐸𝐺 alors les droites (IJ) et (FG) ne sont pas parallèles d’après la contraposée du théorème de Thalès. 21 Fiche de révisions : Trigonométrie dans un triangle rectangle Cosinus = 𝐀djacent Sinus = 𝐎pposé Tangente = 𝐎pposé 𝐇ypoténuse 𝐇ypoténuse 𝐀djacent Calculer une longueur • méthode : on effectue un produit en croix On considère un triangle EFG rectangle en F tel que ̂ = 27°. Calculer EG. 𝐸𝐹 = 6𝑚 et 𝐹𝐸𝐺 On donnera une valeur arrondie au cm près. • Calculer un angle méthode : on utilise arccos, arcsin, arctan sur la calculatrice On considère un triangle KIJ rectangle en K tel que ̂. 𝐾𝐼 = 3,2𝑐𝑚 et 𝐼𝐽 = 7𝑐𝑚. Calculer 𝑲𝑱𝑰 On donnera une valeur arrondie au degré près. Dans le triangle EFG rectangle en F, on a ̂ ) = 𝐸𝐹 cos(𝐹𝐸𝐺 𝐸𝐺 6 Dans le triangle KIJ rectangle en K, on a cos(27°) = 𝐸𝐺 ̂ ) = 𝐼𝐾 sin(𝐾𝐽𝐼 𝐼𝐽 cos(27°) 1 ̂ ) = 3,2 sin(𝐾𝐽𝐼 7 6 = 𝐸𝐺 1×6 D’où 𝐸𝐺 = cos(27°) 𝐸𝐺 = 6 cos(27°) 𝐸𝐺 ≈ 6,7339 𝑚 ̂ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (3,2) D’où 𝐾𝐽𝐼 7 ̂ ≈ 27,2° 𝐾𝐽𝐼 ̂ ≈ 27° Donc 𝐾𝐽𝐼 Donc 𝐸𝐺 ≈ 6,73𝑚 22 Fiche de révisions : rappels de géométrie plane • Démontrer que des droites sont parallèles en utilisant une propriété vue en 6 e : Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles. Données : (𝑑1 ) ⊥ (𝑑3 ) (𝑑2 ) ⊥ (𝑑3 ) • Conclusion : (𝑑1 ) // (𝑑2 ) Calculer la mesure d’un angle dans un triangle en utilisant une propriété vue en 5 e : Propriété : Dans un triangle la somme des mesures des trois angles est égale à 180°. • Quadrilatères et triangles particuliers : 23 Fiche de révisions : triangles égaux 1) Qu’est-ce que des triangles égaux ? Définition : Deux triangles sont égaux si leurs côtés sont respectivement de la même longueur. Exemple : Comme 𝐴𝐵 = 𝐴’𝐵’, 𝐴𝐶 = 𝐴’𝐶’ et 𝐵𝐶 = 𝐵’𝐶’ alors les triangles ABC et A’B’C’ sont égaux. Propriété : Des triangles égaux sont des triangles superposables : ils ont la même aire et leurs angles ont la même mesure. Exemple : Les triangles ABC et DEF ci-contre sont égaux donc : • 𝒜(𝐴𝐵𝐶) = 𝒜(𝐷𝐸𝐹) • ̂ = 𝐷𝐹𝐸 ̂ 𝐵𝐴𝐶 • ̂ = 𝐸𝐷𝐹 ̂ 𝐴𝐵𝐶 • ̂ = 𝐷𝐸𝐹 ̂ 𝐴𝐶𝐵 2) Démontrer que deux triangles sont égaux Propriété 1 : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur alors ils sont égaux. Exemple : Démontrer que les triangles BAC et HJI ci-dessous sont égaux. ̂ = 𝐻𝐽𝐼 ̂ et que 𝐴𝐶 = 𝐽𝐼 et 𝐴𝐵 = 𝐽𝐻 Je sais que 𝐶𝐴𝐵 Or Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur alors ils sont égaux. Donc les triangles BAC et HJI sont égaux. Propriété 2 : Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure alors ils sont égaux. Exemple : Démontrer que les triangles ACB et LMK ci-dessous sont égaux. ̂ = 𝑀𝐿𝐾 ̂ = 𝐿𝐾𝑀 ̂ et 𝐶𝐵𝐴 ̂ Je sais que 𝐴𝐵 = 𝐿𝐾 et que 𝐶𝐴𝐵 Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure alors ils sont égaux. Donc les triangles ACB et LMK sont égaux. 24 Fiche de révisions : Agrandissements-réductions, triangles semblables • Agrandissements, réductions - coefficient d’agrandissement : 𝑘 > 1 - coefficient de réduction : 0 < 𝑘 < 1 Pour trouver le coefficient d’agrandissement ou de réduction : 𝑘= 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 = ℓ′ ℓ Longueurs : En notant ℓ la longueur initiale et ℓ′ la longueur agrandie ou réduite, on a la relation : Aires : En notant 𝓐 l’aire initiale et 𝓐′ l’aire de la figure agrandie ou réduite, on a la relation : • ℓ′ = ℓ × 𝑘 𝓐′ = 𝓐 × 𝒌² Triangles semblables Deux triangles sont semblables si leurs angles sont respectivement de la même mesure. ̂ , 𝐴𝐵𝐶 ̂ et 𝐴𝐶𝐵 ̂ alors les triangles ABC et A’B’C’ semblables. ̂ = 𝐵′𝐴′𝐶′ ̂ = 𝐴′𝐵′𝐶′ ̂ = 𝐴′𝐶′𝐵′ Exemple : Comme 𝐵𝐴𝐶 Lorsque deux triangles sont semblables Propriété : Si deux triangles ABC et 𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ sont semblables alors leurs côtés respectifs sont proportionnels : 𝐴′ 𝐵′ 𝐴𝐵 = 𝐵′ 𝐶 ′ 𝐵𝐶 = 𝐴′ 𝐶 ′ 𝐴𝐶 = 𝑘 où 𝑘 est le coefficient de proportionnalité. Exemple : Déterminer les longueurs EF et DF. ̂ 𝐸̂ 𝐷 Comme = = 𝐴̂ 𝐵̂ 𝐹̂ = 𝐶̂ Démontrer que deux triangles sont semblables Propriété : Si deux triangles ont leurs côtés respectifs proportionnels alors ils sont semblables Exemple : Démontrer que les triangles HIK et MON sont semblables. Les longueurs données sont en cm. alors les triangles DEF et ABC sont semblables On a donc : 𝐸𝐷 𝐴𝐵 = 𝐷𝐹 𝐵𝐶 = 𝐸𝐹 𝐴𝐶 En remplaçant par les longueurs données on a : Comme Comme 3 2 3 2 = = 𝐷𝐹 4 𝐸𝐹 3 on a : on a : 𝐷𝐹 = 𝐸𝐹 = 3×4 2 3×3 2 = 12 2 3 2 = 𝐷𝐹 4 = 𝐸𝐹 3 • 𝑀𝑁 • 𝑁𝑂 • 𝑀𝑂 = 6 𝑐𝑚 9 = 2 = 4,5 𝑐𝑚 3 DEF est un agrandissement de ABC de coefficient 𝑘 = = 1,5. 2 𝐻𝐾 𝐾𝐼 𝐻𝐼 2,6 = 6,5 = 0,4 1,4 = 3,5 = 0,4 2 = 5 = 0,4 Comme les quotients sont égaux, les côtés respectifs des triangles sont proportionnels donc les triangles HIK et MNO sont semblables. Remarque : Dans une configuration de Thalès, on a deux triangles semblables. 25 Fiche de révisions : symétries, translation, rotation, homothéties Symétrie axiale Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la symétrie d’axe (d) Symétrie centrale Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la symétrie de centre O. Translation Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la translation de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑨′ (ou qui transforme A en A’) Rotation Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la rotation de centre O et d’angle 60° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens anti-horaire) Homothéties Si 𝒌 > 𝟎 : 𝑶𝑨′ = 𝒌 × 𝑶𝑨 (si 𝟎 < 𝒌 < 𝟏 c’est une réduction, si 𝒌 > 𝟏 c’est un agrandissement) Si 𝒌 < 𝟎 : 𝑶𝑨′ = −𝒌 × 𝑶𝑨 (si -1< 𝒌 < 𝟎 c’est une réduction, si 𝒌 < −𝟏 c’est un agrandissement) Le triangle A’B’C est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport k=2 (c’est un agrandissement de coefficient 2) Le triangle A’B’C est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport k=-0.5 (c’est une réduction de coefficient 0,5) 26 Fiche de révisions : Géométrie dans l’espace • Sections de solides • Sections de solides et agrandissements, réduction Volumes : En notant 𝒱 le volume initial et 𝒱′ le volume du solide agrandi ou réduit, on a la relation : 𝟑 𝓥′ = 𝓥 × 𝒌 Exemple : Volume du grand cône : 𝒱 = 𝜋×𝑟²×ℎ 3 Le coefficient de réduction est : 𝑘 = = 𝜋×7²×𝑆𝐴 3 𝑆𝐴′ 𝑆𝐴 = 3 𝜋×49×12 3 3×1 = 12 = 3×4 = = 𝜋×49×4×3 3 = 𝜋 × 196 = 196 𝜋 𝑐𝑚3 1 4 Volume du petit cône : 1 3 4 𝒱 ′ = 𝒱 × 𝑘 3 = 196 𝜋 × ( ) = 196 𝜋 × 1 64 = 196𝜋 64 = 3,0625 𝜋 𝑐𝑚3 (valeur exacte) 𝒱 ′ ≈ 10 𝑐𝑚3 (valeur arrondie au cm3) • Se repérer dans l’espace Sur un parallélépipède rectangle Autres points : B (2 ; 6 ; 0) E (2 ; 0 ; 3 ) F (2 ; 6 ; 3) G (0 ; 6 ; 3 ) sur une sphère Origine du repère : D (0 ; 0 ; 0) Point sur l’axe des abscisses : A (2 ; 0 ; 0) Point sur l’axe des ordonnées : C (0 ; 6 ; 0) Point sur l’axe des cotes : H (0 ; 0 ; 3) 27 Fiche de révisions : Algorithmique Variables Mouvement « Si … alors …» et « si … alors … sinon … » Répéter Une boucle permet de répéter des instructions : - soit un nombre de fois prévu à l’avance permet d’exécuter certaines instructions lorsqu’une condition est vraie permet d’exécuter deux instructions : une si la condition est vraie et l’autre si la condition est fausse. - soit jusqu’à ce qu’une condition soit vraie. Exemple : Brevet, France, juin 2017 On donne le programme suivant qui permet de tracer plusieurs triangles équilatéraux de tailles différentes. Ce programme comporte une variable nommée « côté ». Les longueurs sont données en pixels. 1) Quelles sont les coordonnées du point de départ du tracé ? (-200 ; -100) 2) Combien de triangles sont dessinés par le script ? 5 triangles. 3) a) Quelle est la longueur (en pixels) du côté du 2e triangle tracé ? 100-20= 80 pixels b) Tracer à main levée l’allure de la figure obtenue quand on exécute le script. 4) On modifie le script initial pour obtenir la figure ci-contre. Indiquer le numéro d’une instruction du script après laquelle on peut placer l’instruction Il faut la placer après l’instruction n°8 28 Formulaire de géométrie plane (périmètre et aire) CERCLE / DISQUE RECTANGLE CARRE périmètre du cercle : périmètre : 𝒫 =2×𝜋×𝑅 𝒫 = 2×𝐿+2×ℓ périmètre : 𝒫 =4×𝑐 aire du disque : 𝒜 = 𝜋 × 𝑅² aire : 𝒜 = 𝑐² aire : 𝒜 =𝐿×ℓ TRIANGLE aire : 𝒜 = 𝑏×ℎ 2 PARALLELOGRAMME aire : 𝒜 = 𝑏 × ℎ POUR UN TRIANGLE RECTANGLE : aire : 𝒜 = 𝐿×ℓ 2 Formulaire de géométrie dans l’espace (volumes) PAVE DROIT ET CUBE parallélépipède rectangle (ou pavé droit) : PRISME DROIT ET CYLINDRE DE REVOLUTION prisme droit : 𝑉 = ℬ × ℎ où ℬ est l’aire de la base PYRAMIDE ET CONE DE REVOLUTION pyramide : 𝑉= SPHERE / BOULE ℬ×ℎ 3 où ℬ est l’aire de la base 𝑉 =𝐿×𝑙×ℎ aire d’une sphère : 𝒜 = 4 × 𝜋 × 𝑟² cylindre de révolution : 𝑉 = 𝜋 × 𝑟² × ℎ cube : 𝑉 = 𝑐3 cône de révolution : 𝜋 × 𝑟² × ℎ 𝑉= 3 volume d’une boule : 𝑉= 4 × 𝜋 × 𝑟3 3 29 Formulaire de conversions • Masses t tonne q quintal kg hg dag g dg cg mg 1 tonne = 1 000 kg • Capacités hL • dL cL hm dam m dm cm mm hm² dam² m² dm² cm² mm² hm3 dam3 m3 Volumes km3 dm3 hL • mL Aires km² • L Longueurs km • daL daL cm3 L dL cL mm3 mL Conversions L/m3 1 𝐿 = 1 𝑑𝑚3 1 000 𝐿 = 1𝑚3 • Durées 1 𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑠 1 ℎ = 60 𝑚𝑖𝑛 1 𝑗𝑜𝑢𝑟 = 24 ℎ 1 𝑎𝑛 ≈ 365 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 30
