12UST030 systouverts 2018

1 Les systèmes ouverts 1
Les expressions du travail moteur
H. Jeanmart
1 Les systèmes ouverts
Jusqu’à présent, l’étude des systèmes thermodynamiques a été faite uniquement dans le cadre
des systèmes fermés avec comme illustrations principales le moteur à combustion interne.
Ce choix a été dicté par la simplicité des expressions mathématiques obtenues grâce à cette
hypothèse d’absence d’échange de matière entre le système et l’environnement. Notamment,
la conservation de l’énergie s’écrit
dU =dQ −pdV , (1)
grâce au premier principe de la thermodynamique. Cette équation exprime le fait que le
contenu énergétique du système évolue indifféremment en fonction de l’échange de chaleur et
du travail fourni ou reçu par le système. Cette expression peut s’écrire pour un kilogramme
de fluide présent dans le système en divisant les différentes grandeurs par la masse du
système. On passe de cette manière de grandeurs extensives (dont la valeur dépend de la
masse présente) à des grandeurs intensives (dont la valeur ne dépend pas de la masse) tout
en gardant une expression identique,
du =dq −pdv , (2)
où vest le volume massique, c’est-à-dire le volume qu’occupe un kilogramme de fluide
(l’inverse de la masse volumique, ρ, qui est la masse par unité de volume). Les unités
de cette expression sont des Joules par kilogramme, J/kg, alors que celles de l’expression
précédente étaient des Joules, J. Le passage à une expression sous forme intensive sera
exploité plus ci-après.
Cependant, de nombreux systèmes sont le lieu d’un ou plusieurs échanges de masse avec
l’environnement. Ils correspondent aux hypothèses des systèmes ouverts et non plus à celles
des systèmes fermés. Il est légitime dans ce cas de se poser la question de la pertinence des
expressions précédentes et de la manière de les modifier pour prendre en compte l’échange
de masse. C’est l’objectif de cette section d’aboutir à une ou plusieurs expressions pour les
systèmes ouverts équivalentes à celles formulées ci-dessus pour les systèmes fermés.
En plus de travailler avec des systèmes ouverts, il est nécessaire de formuler deux hy-
pothèses pour nous aider dans notre développement. En considérant les machines les plus
courantes, pompes, compresseurs, turbines, etc. on constate que celles-ci ont toutes un con-
duit d’admission de fluide et un conduit de refoulement de fluide. Les systèmes les plus
courant ont donc une entrée que nous noterons par l’indice 1 et une sortie que nous noterons
par l’indice 2. Nous prendrons exemple sur ces machines et nous développeront l’expression
de conservation d’énergie uniquement dans le cas des systèmes ouverts ayant une entrée
et une sortie. Nous considérons également un régime permanent. Les états du fluide à la
section 1, à l’intérieur du système et à la section 2 ne dépendent pas du temps. Il n’est donc
pas nécessaire de tenir compte d’une évolution temporelle des grandeurs. La conséquence
de cette seconde hypothèse est que le débit massique est le même aux sections 1 et 2. On
ne peut pas accumuler ou perdre du fluide dans le système.
2 Bilan d’énergie des systèmes ouverts
L’expression mathématique donnée ci-dessus, Eq. (2), exprime la conservation de l’énergie.
Dans le cas des systèmes fermés, l’énergie est celle contenue dans le système. L’ensemble

2 Bilan d’énergie des systèmes ouverts 2
du système, et donc son énergie, évolue d’état en état. Dans le cas des systèmes ouverts,
le contenu énergétique total du système n’a pas d’intérêt car il n’évolue pas (hypothèse du
régime permanent évoquée ci-avant). Dans un système ouvert, il est préférable de chercher
à savoir comment le fluide évolue d’un point de vue énergétique entre l’entrée et la sortie.
Le fluide a-t-il gagné ou perdu de l’énergie en parcourant le système de la section 1 d’entrée
à la section 2 de sortie? Nous cherchons donc à exprimer la différence d’énergie entre les
sections 1 et 2. Sous forme mathématique, cela s’exprime pour l’énergie interne par,
u2−u1=· · · ,(3)
où il faut encore compléter le membre de droite qui contient les termes qui influence le
contenu énergétique du fluide. On note que c’est la grandeur intensive qui a été utilisée et
non la grandeur extensive. En effet, la section d’entrée a un volume nul (c’est une surface).
L’énergie associée à cette section est nulle. Par contre, si du fluide passe par cette section,
il y a un débit d’énergie, on dira un flux d’énergie, et donc une puissance associée. Cette
puissance est le produit du débit en kg/s et de l’énergie sous forme intensive en J/kg. Pour
la section 1, l’expression est
P1= ˙mu1.(4)
Le bilan de puissance entre l’entrée et la sortie s’écrit
˙m(u2−u1) = · · · .(5)
Ce n’est donc pas l’énergie dont on suit l’évolution mais le flux d’énergie au travers des
sections d’entrée et de sortie. Comme le débit est le même dans tout le système (voir
hypothèses ci-avant), ont le met en évidence. On peut le simplifier de toutes les expressions
menant à l’expression Eq (3).
Afin de déterminer le second membre de l’expression Eq (3), il est nécessaire de con-
naître la manière dont l’énergie peut être échangée entre le fluide parcourant le système
et l’environnement. Nous savons déjà que deux modes coexistent: l’échange de chaleur et
l’échange de travail. L’apport de chaleur par unité de masse de fluide (pour correspondre
à un grandeur intensive) se traite de manière identique à celle pratiquée pour les systèmes
fermés. Par contre, la notation du travail est adaptée pour tenir compte du fait que l’on
suit l’évolution du fluide entre deux points précis. L’expression de la conservation d’énergie
s’écrit
u2−u1=q+wm,(6)
où qest la chaleur apportée par kilogramme de fluide entre les points 1 et 2 (par exemple, par
une résistance électrique) et wmle travail moteur échangé entre le fluide et l’environnement
entre les sections 1 et 2 (par exemple, au moyen d’une hélice). La nature du travail est
différente de celle du travail d’expansion présent dans les systèmes fermés. Cela sera discuté
ci-après une fois les expressions complètes obtenues
Le bilan écrit ci-dessus n’est pas satisfaisant car plusieurs termes ont été oubliés. Le
fluide possède une certaine énergie cinétique puisqu’il circule dans le système. Cette forme
d’énergie n’apparaissait pas dans les systèmes fermés puisque le volume était fermé et que
le système était supposé à l’équilibre et sans mouvement moyen. A présent, la différence
d’énergie cinétique entre l’entrée et la sortie doit être prise en compte. L’expression
∆k=c2
2
2−c2
1
2,(7)
n’est pas nulle en toute généralité. Comme il s’agit d’une forme d’énergie au même titre
que l’énergie interne, ce terme sera pris en compte dans le membre de gauche de l’expression

2 Bilan d’énergie des systèmes ouverts 3
Eq (6). A nouveau l’énergie cinétique est calculée pour une masse de un kilogramme et
mc2/2devient c2/2.cest utilisé pour représenter la vitesse car vest utilisé pour le volume
massique. Puisque l’énergie cinétique joue à présent un rôle, il est logique que l’énergie
potentielle apparaisse également. L’expression,
g∆z=g(z2−z1),(8)
où gest l’accélération due à la gravité et zl’altitude, doit également être prise en compte
dans le membre de gauche. pour les notations, zest préféré à hqui représente l’enthalpie.
Le bilan complet devient
∆u+ ∆k+g∆z=q+wm,(9)
où ∆u=u2−u1. Cette relation exprime que la somme de toutes les formes d’énergie (interne
+ cinétique + potentielle) évolue de la section 1 à la section 2 suite aux échanges de chaleur
ou de travail moteur. Cette relation est à présent plus cohérente (nous devrons encore la
compléter ultérieurement). Comme la grandeur d’intérêt reste le travail échangé (puisque
c’est lui que l’on doit fournir pour faire circuler le fluide ou c’est lui que l’on récupère en
diminuant l’énergie du fluide), on réécrit l’expression en isolant le terme de travail,
wm=−q+ ∆u+ ∆k+g∆z . (10)
Illustrons cette expression pour un ventilateur par exemple. Dans le cas d’un ventilateur,
il n’y a pas de variation de hauteur du fluide. Le terme de gravité est donc nul. Il n’y a pas
non plus une modification importante de l’énergie interne (la température de l’air évolue peu
dans le système). Finalement, on ne chauffe pas volontairement l’air dans un ventilateur.
L’expression du travail moteur peut donc se simplifier fortement,
wm= ∆k . (11)
Un ventilateur est donc un système qui absorbe du travail moteur pour accélérer de l’air. Si
la vitesse finale est 5 m/s et la vitesse initiale de l’air très faible, le travail par kilogramme
de fluide vaut,
wm≈c2
2−0
2= 12.5J/kg . (12)
Pour un ventilateur ayant un diamètre de 0.4 m, la section de passage du fluide est de 0.126
m2et le débit (produit de la vitesse de sortie et de la section) est de 0.63 m3/s. La masse
volumique du fluide étant proche de 1.2 kg/m3, le débit masse vaut 0.75 kg/s. La puissance
nécessaire pour mettre l’air en mouvement est de seulement 10 Wenviron. Cette puissance
est très faible par rapport à la réalité car beaucoup d’irréversibilités devraient encore être
prises en compte. Le ventilateur illustre très bien la nature particulière du travail moteur qui
apporte de l’énergie mécanique (énergie cinétique) au fluide et non pas de l’énergie interne.
Réalisons le même exercice pour un pompe travaillant avec de l’eau. De nouveau, on ne
cherche pas à faire varier la hauteur du fluide puisque la pompe est relativement compacte.
La température de l’eau évolue peu. On ne cherche pas à chauffer le fluide. Finalement, en
ajustant les diamètres des conduites d’entrée et sortie (en les choisissant égaux), le terme
d’énergie cinétique est nul également. L’expression devient après simplification,
wm= 0 .(13)
Le travail d’une pompe serait donc toujours nul. C’est impossible. Il manque sans doute un
terme dans notre expression du travail moteur.

3 Expression énergétique du travail moteur 4
3 Expression énergétique du travail moteur
Effectivement, nous avons oublié un élément important. L’échange d’énergie entre le système
et l’environnement se fait aux frontières entre les deux. Or les sections d’entrée et de sortie
du fluide font partie des frontières. En plus du travail et de la chaleur échangés, un autre
terme de travail prenant en compte les échanges aux sections 1 et 2 doit être ajouté aux
expressions. Situons-nous à la section d’entrée 1. Le fluide qui rentre dans le système subit la
pression du fluide qui est en amont et donc en dehors du système. En considérant l’ensemble
de la section 1 de surface A1, on obtient une force F1qui agit sur le fluide en mouvement
dans la direction de son mouvement. Cette force engendre un travail sur le fluide. Ce travail
augmente le contenu énergétique du fluide. Pour obtenir le travail par unité de masse de
fluide circulant dans le système, il faut considérer le déplacement, l, engendré par le passage
d’un kilogramme de fluide par la section 1. Ce déplacement est
l=v1
A1
.(14)
Il s’exprime logiquement en m/kg. Le travail exercé sur le fluide est le produit de la force
par la distance,
w1=F1l=p1A1
v1
A1
=p1v1.(15)
A la sortie, le même échange est réalisé. A présent, le fluide doit fournir un travail pour
sortir. Il se déplace dans le sens opposé à celui de la force exercée par le fluide se situant à
l’extérieur du système. Il perd donc de l’énergie. L’expression est identique avec un signe
opposé,
w2=−p2v2.(16)
En additionnant les deux termes, on obtient l’expression du travail échangé aux sections
d’entrée et de sortie du fluide,
w=p1v1−p2v2.(17)
L’expression finale (car tous les termes sont maintenant connus) du travail moteur devient
(normalement, les termes wm,qet p1v1−p2v2devraient être dans le même membre car ils
représentent tous un échange d’énergie entre le système et l’environnement qui va modifier
le contenu énergétique du fluide dont le bilan serait dans l’autre membre de l’égalité)
wm=−q+ ∆u+ ∆k+g∆z+p2v2−p1v1.(18)
Lorsque l’on simplifie, avec les mêmes hypothèses, cette expression pour la pompe, on ob-
tient,
wm=p2v2−p1v1.(19)
Dès que la pression variera dans un liquide, il y aura un travail d’introduction et d’extraction
associé. Par exemple, pour faire passer un liquide de la pression atmosphérique à 100 bar, le
travail par kilogramme est obtenu directement puisque le fluide est supposé incompressible
et que son volume massique est constant (0.001 m3/kg pour l’eau),
wm= 100.105.0.001 −1.105.0.001 ≈100.102= 10000J/kg . (20)
Le travail est très faible puisqu’il s’établit à 10 kJ/kg.
En se rappelant que l’enthalpie est définie comme la somme de l’énergie interne, u, et
du produit pv,h=u+pv, l’expression du travail moteur se réécrit
wm=−q+ ∆h+ ∆k+g∆z . (21)
Cette dernière expression est importante car elle exprime le bilan d’énergie totale (in-
terne+cinétique+potentielle) pour un fluide parcourant un système d’une section 1 à une
section 2.

4 Expression mécanique du travail moteur 5
4 Expression mécanique du travail moteur
En couplant l’expression ci-avant Eq. (18) avec celle du premier principe, Eq. (2) intégrée
entre les sections 1 et 2, une expression équivalente du travail moteur est obtenue,
wm= ∆k+g∆z+p2v2−p1v1−Z2
1
pdv . (22)
Or la relation suivante se vérifie aisément (équivalent d’une intégrale par partie),
p2v2−p1v1−Z2
1
pdv =Z2
1
vdp . (23)
L’expression du travail s’écrit après simplification
wm=Z2
1
vdp + ∆k+g∆z , 1(24)
où tant l’énergie interne que la chaleur ont disparu. Ce bilan porte donc uniquement sur
l’énergie mécanique (cinétique + potentielle). Pour une pompe, avec les mêmes simplifica-
tions que précédemment, on obtient,
wm=Z2
1
vdp . (25)
Puisque l’eau est incompressible, la masse volumique est constante et peut sortir de l’intégrale
qui devient,
wm=v∆p . (26)
L’expression est bien identique à celle obtenue ci-dessus (Eq. (19)) à partir de l’autre ex-
pression puisque v=v1=v2.
5 Autre approche pour établir les deux expressions
Une autre manière de considérer ces bilans d’énergie est illustrée à la figure suivante, Fig.
1.
En considérant uniquement l’énergie mécanique, on obtient le bilan suivant :
∆k+g∆z=wm+p1v1−p2v2+Z2
1
pdv −wf,(27)
où les deux derniers termes du membre de droite correspondent à des conversions d’énergie
interne en énergie mécanique et réciproquement. Le terme wfa une flèche dans un seul
sens car il est toujours positif. en mettant en évidence, dans le membre de gauche, le travail
moteur, on obtient l’expression déjà obtenue ci-avant Eq. (22). De même, en considérant
l’ensemble de l’énergie (cinétique, potentielle et interne), on retrouve le bilan de l’expression
énergétique du travail moteur Eq. (21).
1Cette expression s’écrit de manière complète wm=R2
1vdp + ∆k+g∆z+wfcar une partie de l’énergie
mécanique peut être dissipée en chaleur. Le terme wfexprime cette dissipation. Il est toujours positif en
accord avec le second principe. Ce terme n’apparaît pas dans le bilan d’énergie totale, 18 car les dissipations
transforment de l’énergie ordonnée en énergie désordonnée mais ne change pas le contenu énergétique du
système.