ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ﻓﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ ﻓﺮدﯾﻮي
اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ
.Iاﻻﺗﺼﺎل ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ – اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل
ﻧﺸﺎط 1ﺻﻔﺤﺔ 13اﻟﻮاﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
continuitè en un point
(1اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ
ﺗﻌﺮﯾﻒ
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح Iو x0ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ . I
fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ lim f ( x ) = f ( x0 ) ⇔ x0
x → x0
ﻣﺜﺎل :
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪوال اﻟﻌﺪدﯾﺔ fو gو hﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ xاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﯾﻠﻲ :
f ( x )= 3x 3 + x − 1
و ) g ( x ) = sin(π x
2x +1
و
x2 − 4
= ) h( x
و
)sin( x − 2
=
;x ≠ 2
) f ( x
x−2
f (2) = 1
أدرس اﺗﺼﺎل ھﺬه اﻟﺪوال ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ . 2
(2اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر continuitè à droite – continuitè à gouche
ﺗﻌﺮﯾﻒ
• ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ اﻟﻨﻮع [ [ x0 ; x0 + αﺣﯿﺚ . α ∈ *+
fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ . lim f ( x ) = f ( x0 ) ⇔ x0
x → x0
x > x0
• ﻟﺘﻜﻦ f
داﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ] ] x0 − α ; x0
ﺣﯿﺚ . α ∈ *+
fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ . lim f ( x ) = f ( x0 ) ⇔ x0
x → x0
x < x0
ﻣﺜﺎل :
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ :
) sin(3x
)f ( x
;x>0
=
x
= f ( x
) 2x + 3 ; x ≤ 0
ﻟﻨﺪرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ و ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ . x0 = 0
) sin(3x
) sin(3x
=
×
=
lim
3
ﻟﺪﯾﻨﺎ 3 :x →0 +
x →0 +
x
3x
-ﻟﺪﯾﻨﺎ ، lim− f ( x ) = lim− 2 x 3 + 3 = 3 = f (0) :و ﻣﻨﮫ اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ . 0
limوﺑﻤﺎ أن f (0) = 3ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ 0
x →0
x →0
ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ، lim f ( x ) = f (0) :إذن اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ . 0
x →0
ﺧﺎﺻﯿﺔ
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح Iو x0ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ . I
ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ x0إذا و ﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ x0
ﺗﻤﺮﯾﻦ 1و 2ﺻﻔﺤﺔ 17اﻟﻮاﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
f ( x )= x + a ; x < 1
ﺗﻤﺮﯾﻦ :ﻟﺘﻜﻦ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ ) 2 x − 3 ; 1 ≤ x ≤ 3 :
= f ( x
= f ( x
) bx + 1 ; x > 3
ﺣﺪد اﻟﻌﺪد aو bﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 1و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ . 3
Page 1
ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ﻓﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ ﻓﺮدﯾﻮي
اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ
(3اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل
ﺗﻌﺮﯾﻒ
• ﻧﻘﻮل إن fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ، Iإذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ . I
• ﻧﻘﻮل إن fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] ، [ a; bإذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [ ]a; bو ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ
اﻟﻨﻘﻄﺔ aو ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ . b
ﻣﻼﺣﻈﺔ :اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ] [ a; bھﻮ ﺧﻂ ﻣﺘﺼﻞ طﺮﻓﺎه اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ) ) A ( a; f ( aو
continuitè sur un intervalle
) ). B ( b; f (b
ﻧﻌﺮف ﺑﺎﻟﻤﺜﻞ اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻻت [ [a; bو ] ]a; bو [∞ [a; +و ] ]−∞;a
•
•
•
•
•
ﺧﺎﺻﯿﺎت
ﻛﻞ داﻟﺔ ﺣﺪودﯾﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ .
ﻛﻞ داﻟﺔ ﺟﺬرﯾﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﯾﻔﮭﺎ.
داﻟﺔ اﻟﺠﯿﺐ x → sin xو داﻟﺔ اﻟﺠﯿﺐ ﺗﻤﺎم x → cos xﻣﺘﺼﻠﺘﺎن ﻓﻲ .
داﻟﺔ اﻟﻈﻞ x → tan xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﯾﻔﮭﺎ.
اﻟﺪاﻟﺔ x → xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ . +
.IIﻋﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ
(1ﺧﺎﺻﯿﺔ 1
ﻟﺘﻜﻦ fو gداﻟﺘﯿﻦ ﻋﺪدﯾﺘﯿﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو αﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ.
• اﻟﺪوال ) ( f + gو α fو f × gﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . I
1
f
و
• إذا ﻛﺎﻧﺖ g ( x ) ≠ 0ﻟﻜﻞ xﻣﻦ ، Iﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ
g
g
ﺗﻤﺮﯾﻦ :
ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮف اﻟﺪاﻟﺔ fو ادرس اﺗﺼﺎﻟﮭﺎ ﻋﻠﻰ D fﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ.
ﻣﺘﺼﻠﺘﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . I
=( f
أx ) 3x 2 + sin(x) -
x
ب-
x +1
x−
=( f
)x
3x − 1
ج-
x
= )f ( x
(2ﻗﺼﻮر داﻟﺔ
ﺗﻌﺮﯾﻒ
إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو gداﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Jﺿﻤﻦ Iﺑﺤﯿﺚ
) ∀x ∈ J ; g ( x ) = f ( xﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . J
ﻧﺘﯿﺠﺔ
إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل Jﻓﺈن gﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . J
ﺗﻤﺮﯾﻦ :ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞ [ −1; +ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ :
= f ( x
)
x ; x >1
3x 2
=
f
(
x
)
; −1 ≤ x ≤ 1
x+2
ﺑﯿﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞. [ −1; +
Page 2
ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ﻓﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ
اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ
اﻟﺤﻞ :
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ ﻓﺮدﯾﻮي
اﻟﺪاﻟﺔ x → xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﯿﺰ ﺗﻌﺮﯾﻔﮭﺎ [∞ [0; +و
[∞]1; +∞[ ⊂ [0; +
و ﻣﻨﮫ اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ [∞. ]1;+
3x 2
اﻟﺪاﻟﺔ
→ xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ } − {−2ﻷﻧﮭﺎ داﻟﺔ ﺟﺬرﯾﺔ و }[ −1;1] ⊂ − {−2
x+2
وﻣﻨﮫ اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ][ −1;1
ﻟﻨﺪرس اﺗﺼﺎل fﻓﻲ 1
ﻟﺪﯾﻨﺎ f (1) = 1
و
=
=lim
f ( x ) lim
x 1
+
+
x →1
x →1
3x 2
lim
=
f
(
x
)
lim
=
و 1
x →1−
x →1− x + 2
=
=
f ( x ) lim
و ﻣﻨﮫ )f ( x ) f (1
lim
+
−
x →1
x →1
إذن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 1
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ [∞. [ −1; +
(3داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﯿﺢ
ﺗﻌﺮﯾﻒ
داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﯿﺢ ھﻲ اﻟﺪاﻟﺔ Eاﻟﺘﻲ ﺗﺮﺑﻂ ﻛﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﺎﻟﻌﺪد اﻟﺼﺤﯿﺢ اﻟﻨﺴﺒﻲ اﻟﻮﺣﯿﺪ nاﻟﺬي ﯾﺤﻘﻖ
n ≤ x < n + 1و ﻧﺮﻣﺰ ﻟﺼﻮرة xﺑﮭﺬه اﻟﺪاﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ). E(x
ﻧﺘﺎﺋﺞ
• ∀n ∈ ; E ( n ) = n
• ∀x ∈ ; E ( x ) ≤ x < E ( x ) + 1
∀n ∈ ; ∀x ∈ ; E ( x +
=
• n) E ( x) + n
اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﯿﺢ
fonction partie entière
ﻟﻜﻞ nﻣﻦ ﻟﺪﯾﻨﺎ:
• داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﯿﺢ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ nو ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ . n
• داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﯿﺢ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ [. [ n; n + 1
• داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﯿﺢ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ . n
Page 3
ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ﻓﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ
.III
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ ﻓﺮدﯾﻮي
اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ
ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ
(1ﺻﻮرة ﻗﻄﻌﺔ – ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل
ﺧﺎﺻﯿﺔ
• ﺻﻮرة ﻗﻄﻌﺔ ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ھﻲ ﻗﻄﻌﺔ
• ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ھﻲ ﻣﺠﺎل
image d'un intervalle par une fonction continue
اﺳﺘﻨﺘﺎج
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ]. [ a; b
] f ([ a; b]) = [ m; Mﺑﺤﯿﺚ mھﻲ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﺪﻧﯿﺎ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] [ a; bو Mھﻲ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻘﺼﻮى
ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]. [ a; b
ﺗﻤﺮﯾﻦ :ﺣﺪد ﺻﻮرة اﻟﻤﺠﺎل Iﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ :
أ -ﺑﯿﻦ أن ] f ( I ) = [1;5ﺑﺤﺚ
=f ( x
) x2 + 1
ب -ﺑﯿﻦ أن ][ −1: 0
x +1
x−2
= ) f ( Iﺑﺤﺚ
(2ﺣﺎﻟﺔ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ
اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ و ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ
اﻟﻤﺠﺎل I
اﻟﻤﺠﺎل ) f ( I
] [ a; b
[[a; b
] ]a ; b
[]a; b
[∞[a; +
[∞]a; +
]]−∞;b
[]−∞;b
])[ f (a ); f (b
f ( a ); lim f (x)
x →b −
lim f (x); f (b)
x →a +
lim f ( x ); lim f ( x )
x →b −
x →a +
f ( a ); lim f (x)
∞x →+
lim f ( x ); lim f ( x )
∞x →+
x →a +
lim f ( x ); f (b)
∞ x→−
lim f ( x ); lim f ( x )
x →b −
∞ x→−
= )f ( x
و
و
][ −1;2
=I
][ −1;1
=I
اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ و ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻗﻄﻌﺎ
اﻟﻤﺠﺎل I
اﻟﻤﺠﺎل ) f ( I
]) [ f (b); f (a
] [ a; b
[[a; b
lim f ( x ); f ( a )
−
x →b
] ]a ; b
f (b); lim f (a)
+
x →a
[]a; b
lim f ( x ); lim f ( x )
−
+
x →a
x →b
[∞[a; +
lim f ( x ); f ( a )
∞ x→+
[∞]a; +
lim f ( x ); lim f ( x )
+
∞→+
x
→
x
a
]]−∞;b
f (b); lim f ( x )
∞x →−
[]−∞;b
lim f ( x ); lim f ( x )
∞x →−
x →b −
(4اﺗﺼﺎل ﻣﺮﻛﺐ داﻟﺘﯿﻦ
ﺧﺎﺻﯿﺔ
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو gداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Jﺑﺤﯿﺚ . f ( I ) ⊂ J
إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ Iو gﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ Jﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ gο fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل . I
=( f
ﻣﺜﺎل :ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ x ) cos( x 2 − 2 x + 3) :
-1ﺣﺪد D fﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﯾﻒ اﻟﺪاﻟﺔ . f
-2أﻛﺘﺐ fﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺮﻛﺐ داﻟﺘﯿﻦ ﺛﻢ أدرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ . D f
Page 4
اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ
ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ﻓﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ ﻓﺮدﯾﻮي
اﻟﺤﻞ :
D f = -1
-2ﻧﻀﻊ u( x ) = x 2 − 2 x + 3
.IV
و ) v ( x ) = cos( xإذن ) f ( x ) = vο u( xﻟﻜﻞ xﻣﻦ
[∞[2, +
uداﻟﺔ ﺣﺪودﯾﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ و [∞) [ 2; +
= u( و vﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ
إذن vο uﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻌﻨﻲ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ .
ﻧﺘﯿﺠﺔ
إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﻮﺟﺒﺔ و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iﻓﺈن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
théorème des valeures intermèdieres
ﻣﺒﺮھﻨﺔ اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻮﺳﻄﯿﺔ
ﺧﺎﺻﯿﺔ
إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻗﻄﻌﺔ ] [ a, bﻓﺈن ﻟﻜﻞ ﻋﺪد kﻣﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ ) f ( aو ) f (bﯾﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ
ﻋﻨﺼﺮ cﻣﻦ ] [ a; bﺑﺤﯿﺚ . f ( c ) = k
ﻧﺘﯿﺠﺔ1
إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] [ a; bو ، f ( a ) × f (b) < 0ﻓﺈن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = 0ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺣﻼ
ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل [. ]a; b
ﻧﺘﯿﺠﺔ 2
إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] [ a; bﻓﺈن ﻟﻜﻞ ﻋﺪد kﻣﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ ) f(aو ) f(bﯾﻮﺟﺪ ﻋﺪد
وﺣﯿﺪ cﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ] [ a;bﺣﯿﺚ . f ( c ) = k
ﻧﺘﯿﺠﺔ 3
إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] [ a; bو ﻛﺎن f ( a ) × f (b) < 0ﻓﺈن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = 0
ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﯿﺪا ﻓﻲ [. ]a;b
= x 5 + 3x 3ﻟﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺣﻼ وﺣﯿﺪا ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ]. [0;1
ﺗﻤﺮﯾﻦ : 1ﺑﯿﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 1
1
1
ﺗﻤﺮﯾﻦ : 2ﺑﯿﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
= cos x
2
2
)( x + 1
ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺣﻼ وﺣﺪا ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ] . [ 2π ;3π
طﺮﯾﻘﺔ اﻟﺘﻔﺮع اﻟﺜﻨﺎﺋﻲ
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] [ a; bﺑﺤﯿﺚ f ( a ). f (b) < 0 :و ﻟﯿﻜﻦ αاﻟﺤﻞ اﻟﻮﺣﯿﺪ
ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = 0
ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ][a; b
a+b
f (a ). f
إذا ﻛﺎن < 0 :
2
a+b
f (b). f
إذا ﻛﺎن < 0 :
2
a+b
b−a
< a < αو ھﺬا اﻟﺘﺄطﯿﺮ ﺳﻌﺘﮫ
ﻓﺈن :
2
2
a + b
ﯾﻤﻜﻦ إﻋﺎدة ھﺬه اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل a; 2
ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺄطﯿﺮ أدق ﻟﻠﻌﺪد α
b−a
a+b
ﻓﺈن < α < b :
و ھﺬا اﻟﺘﺄطﯿﺮ ﺳﻌﺘﮫ
2
2
a + b
ﯾﻤﻜﻦ إﻋﺎدة ھﺬه اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل 2 ; b
ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺄطﯿﺮ أدق ﻟﻠﻌﺪد α
ﻣﻼﺣﻈﺔ :و ھﻜﺬا دواﻟﯿﻚ ﯾﻤﻜﻦ إﻋﺎدة ھﺬه اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ إﻟﻰ أن ﯾﺘﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺄطﯿﺮ ﻟﻠﻌﺪد αﺳﻌﺘﮫ ﻣﺮﻏﻮب ﻓﯿﮭﺎ
Page 5
ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ﻓﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ ﻓﺮدﯾﻮي
اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ
ﺗﻤﺮﯾﻦ : 1ﺑﯿﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ x 3 − 1 =− xﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﯿﺪا αﻓﻲ [. ]0;1
ﺣﺪد ﺗﺄطﯿﺮا ﻟﻠﻌﺪد αﺳﻌﺘﮫ ) 0.25طﺮﯾﻘﺔ اﻟﺘﻔﺮع اﻟﺜﻨﺎﺋﻲ (.
اﻟﺠﻮاب
3
ﻟﺘﻜﻦ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﻞ ] [0;1ﺑﻤﺎ ﻟﻲ f ( x ) = x + x − 1 :
اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] ) [0;1ﻷﻧﮭﺎ ﻗﺼﻮر داﻟﺔ ﺣﺪودﯾﺔ (
ﻟﺪﯾﻨﺎ f (0) = −1و f (1) = 1إذن f (0). f (1) < 0ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮھﻨﺔ اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻮﺳﻄﯿﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
f ( x ) = 0ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺣﻼ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل [. ]0;1
و ﻟﺘﻜﻦ xﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ] [0;1ﻟﺪﻧﺎ f '( x )= 3x 2 + 1 > 0إذن اﻟﺪاﻟﺔ f
ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ][0;1
ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل []0;1
وﻣﻨﮫ :اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = 0ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﺪا α
ﻟﻨﺤﺪد ﺗﺄطﺮا ﻟﻠﻌﺪد αﺳﻌﺘﮫ 0.25ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل طﺮﻗﺔ اﻟﺘﻔﺮع اﻟﺜﻨﺎﺋﻲ.
ﺳﻌﺔ اﻟﻤﺠﺎل ] [0;1ھﻲ . 1
0 +1
1 −3
=f
ﻟﺪﻧﺎ
= f
2
2 8
1
= 1−
ﺳﻌﺔ ھﺬا اﻟﺘﺄطﺮ ھﻲ 0.5 :
2
إذن
1
f <0
2
و ﺑﻤﺎ أن f (1) > 0
1
ﻓﺈن < α < 1
2
1
2 +1
1
3
f
ﻧﻜﺮر ھﺬه اﻟﻌﻤﻠﯿﺔ ﻋﻠﻰ . ,1ﻟﻨﺤﺴﺐ = f
4
2
2
1
3 11
= f و ﺑﻤﺎ أن f < 0
ﻟﺪﻧﺎ > 0 :
4 64
2
3 1
= −
ﺳﻌﺔ ھﺬا اﻟﺘﺄطﺮ ھﻲ 0.25 :
4 2
= x 3 − 6 x 2 + 6ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﯿﺪا αﯾﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]. [0;2
ﺗﻤﺮﯾﻦ : 2أ -ﺑﯿﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0
1
3
< <α
ﻓﺈن
2
4
ب -ﺣﺪد ﺗﺄطﯿﺮا ﻟﻠﻌﺪد βﺳﻌﺘﮫ . 0.25
.Vاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل fonction rèciproque d'une fonction continue
et strictement monotone sur un intervalle
.1ﺧﺎﺻﯿﺔ
إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ، Iﻓﺈن ﻟﻜﻞ yﻣﻦ ) f ( Iاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = yﺗﻘﺒﻞ
ﺣﻼ وﺣﯿﺪا ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ) . Iﻧﻌﺒﺮ ﻋﻦ ھﺬا ﺑﻘﻮﻟﻨﺎ fﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ Iﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ).( f(J
ﻣﺜﺎل :ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ fاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ . f ( x ) = x 3 − 3x − 1 :
أ -ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ .
ب -أﺣﺴﺐ اﻟﻨﮭﺎﯾﺎت lim f ( x ) :و ) . lim f ( x
∞x →+
∞x →−
ج -أدرس إﺷﺎرة ) f ' ( xﺛﻢ ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﯿﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f
ح -ﺑﯿﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) f ( xﺗﻘﺒﻞ ﺛﻼث ﺣﻠﻮل ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ﻓﻲ .
Page 6
اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ
ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ﻓﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ ﻓﺮدﯾﻮي
.2اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ
ﺗﻌﺮﯾﻒ
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ، Iو ﻟﯿﻜﻦ ) . J = f ( I
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺮﺑﻂ ﻛﻞ ﻋﻨﺼﺮ yﻣﻦ Jﺑﺎﻟﻌﻨﺼﺮ اﻟﻮﺣﯿﺪ xﻣﻦ Iﺑﺤﯿﺚ ، f ( x ) = yﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f
و ﻧﺮﻣﺰ ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ . f −1
ﻧﺘﺎﺋﺞ
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو
•
•
•
f :I →J
و
f −1 : J → I
( ∀x ∈ I ) ; f −1ο f ( x ) = x
( ∀x ∈ f ( I ) ) ; f ο f −1 ( x ) = x
ﺑﺤﯿﺚ
f −1داﻟﺘﮭﺎ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ،و ﻟﯿﻜﻦ ) . J = f ( Iﻟﺪﯾﻨﺎ:
f −1 ( x ) = y
f ( y) = x
⇔
y∈I
) x ∈ f (I
ﻣﺜﺎل : 1
f ( x=) x 2 + 1و gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞[0; +
أ -ﺑﯿﻦ أن gﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Jﯾﺠﺐ ﺗﺤﺪﯾﺪه.
ب -ﺣﺪد اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ g −1ﻟﻠﺪاﻟﺔ . g
اﻟﺤﻞ :
أ -اﻟﺪاﻟﺔ gﻣﺘﺼﻠﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﻗﺼﻮر داﻟﺔ ﺣﺪودﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞. [0; +
و ﻟﺪﯾﻨﺎ ﻟﻜﻞ xﻣﻦ [∞، ]0;+
=f ' ( x
) 2x > 0
إذن g :ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞. [0; +
إذن g :داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﻞ [∞[0; +
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ gﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Jﻧﺤﻮ [∞[0; +
=[∞J= f ([0, +
ﺑﺤﯿﺚ [∞) [1, +
ب -اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ g −1ﻟﻠﺪاﻟﺔ gﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل [∞ [1;+ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل [∞. [0; +
ﻟﯿﻜﻦ xﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل [∞ [1;+و yﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل [∞. [0; +
ﻟﺪﯾﻨﺎ x − 1 :
= g −1 ( x ) = y ⇔ g ( y ) = x ⇔ y 2 + 1= x ⇔ y 2 = x − 1 ⇔ y
إذن x − 1 :
)x
= ( g −1ﻟﻜﻞ xﻣﻦ [∞. [1;+
ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻣﺤﻠﻮل ص 29اﻟﻮاﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
.2دراﺳﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ
ﺧﺎﺻﯿﺎت اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ
إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iﻓﺈن :
• f −1ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ) . f ( I
• f −1رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ) f ( Iو ﻟﮭﺎ ﻧﻔﺲ رﺗﺎﺑﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
• ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ f −1ھﻮ ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ fﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ y = xﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ .
Page 7
ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ﻓﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ ﻓﺮدﯾﻮي
اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ
ﺗﻤﺮﯾﻦ : 1
1
ﻟﺘﻜﻦ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ −∞; ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ 1 − 2 x :
2
.1ﺑﯿﻦ أن fﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ f −1ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﯾﺠﺐ ﺗﺤﺪﯾﺪه.
.2ﺣﺪد . f −1
.3ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ أﻧﺸﺊ
=f ( x
)
C f −1ﺛﻢ أﻧﺸﺊ C fﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ .
ﺗﻤﺮﯾﻦ : 2
x
ﻟﺘﻜﻦ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ :
x2 + 1
.1ﺑﯿﻦ أن اﻟﻘﺼﻮر gﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] [ −1;1ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ
= )f ( x
.VI
f −1ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Jﯾﺠﺐ
ﺗﺤﺪﯾﺪه ﺛﻢ ﺣﺪد . f −1
داﻟﺔ اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ n
+
+
n
ﻟﯿﻜﻦ * ، n ∈ ﺑﯿﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ x → xﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ ﻣﻦ ﻧﺤﻮ .
ﺗﻌﺮﯾﻒ
ﻟﯿﻜﻦ nﻋﺪدا ﺻﺤﯿﺤﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻌﺪم .
+
+
اﻟﺪاﻟﺔ g : x → x nﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ ﻧﺤﻮ ،
n
و داﻟﺘﮭﺎ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ، nو ﻧﺮﻣﺰ ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ x
ﻟﻜﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ n x ، +ﯾﻘﺮأ اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ nﻟﻠﻌﺪد . x
ﺧﺎﺻﯿﺔ
ﻟﯿﻜﻦ . n ∈
• اﻟﺪاﻟﺔ x → n xﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ [∞ [0; +و ∞. lim n x = +
∞x →+
• ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ x → n xﻣﻤﺎﺛﻞ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ x → x nﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺼﻒ اﻷول
ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) .ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ( y=x
Page 8
ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ﻓﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ ﻓﺮدﯾﻮي
اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ
ﻣﻼﺣﻈﺔ
x=x
1
،
x= x
،
2
x
ﯾﺴﻤﺎ أﯾﻀﺎ اﻟﺠﺬر اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻟﻠﻌﺪد . 3
3
(1ﺧﺎﺻﯿﺎت اﻟﺪاﻟﺔ x → n x
ﺧﺎﺻﯿﺔ 1
ﻟﻜﻞ ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ ﻣﻮﺟﺒﯿﻦ xو yو ﻟﻜﻞ nﻣﻦ * ﻟﺪﯾﻨﺎ:
x = y ⇔ x= y n
x < n y ⇔x< y
؛
n
n
=
xn x
n
)x
= (
n
n
؛
=⇔ y
x y
=
x
n
n
؛ اﻟﺪاﻟﺔ x → n xﻣﺘﺼﻠﺔ و ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ +
.1أﻣﺜﻠﺔ :ﻟﺤﻞ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ x 5 = 7
؛
x 5 = −7
؛
}{ 7
؛ ∞x = +
،
x 4 = 16
،
1 =1
-
x 5 = −7ﯾﻌﻨﻲ xﻋﺪد ﺳﺎﻟﺐ و ﻣﻨﮫ x 5 = −7 ⇔ ( − x ) = 7 ⇔ − x = 5 7 ⇔ x = − 5 7
3
=S
5
و ﻣﻨﮫ }{−7
-
lim
∞x →+
2x −1 = x
x 5 = 7ﯾﻌﻨﻲ xﻋﺪد ﻣﻮﺟﺐ و ﻣﻨﮫ x 5 = 7 ⇔ x = 5 7و ﻣﻨﮫ
5
n
n
=S
x 4 = 16 ⇔ x = 16 ⇔ x = 4 16 = 4 24 = 2و ﻣﻨﮫ x =2أو x=-2
4
و ﻣﻨﮫ }{−2;2
=S
3 2 x − 1 = xﻣﻌﺮﻓﺔ إذا و ﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن 2 x − 1 ≥ 0و x ≥ 01
ﯾﻌﻨﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ھﻲ . ; +∞
2
( 2 x − 1)2 x 3
= x3 − 4 x2 + 4 x − 1
0
=
⇔
⇔
1
1
x
≥
x ≥ 2
2
.2ﺣﻞ اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ x 6 < 32 :
؛
6
)) ( x
x 5 > 243
Page 9
(
6
3
=
2x −1
x ⇔
1
≥ x
2
=2 x − 1
3
ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ﻓﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ ﻓﺮدﯾﻮي
اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ
ﺧﺎﺻﯿﺔ ) : 2اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺬور ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ( n
ﻟﯿﻜﻦ nو mﻋﻨﺼﺮﯾﻦ ﻣﻦ * و xو yﻋﻨﺼﺮﯾﻦ ﻣﻦ . +ﻟﺪﯾﻨﺎ:
n
x = mn x m
= n xm
m
؛
x = mn x
)( x
أﻣﺜﻠﺔ :ﺑﺴﻂ
n m
x
x
=n
y
y
؛
n
؛
1024 × 5 32
3
3
64 × 3 256 × 18
ﻟﺘﻜﻦ ) ( Eاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 2 x − 1 = x
إذا ﻛﺎن . y ≠ 0
n
) (
9
؛
4
n
n xy
= x×n y
n
5
× 35 × 3 9
3
15
؛ ﻗﺎرن 3
5
5
و 2
3
3
أ -ﺗﺄﻛﺪ أن 1ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ( E
ب -ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ( E
ﺗﻤﺮﯾﻦ 1ص 29اﻟﻜﺘﺎب اﻟﻤﺪرﺳﻲ اﻟﻮاﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت
(2اﻟﻘﻮى اﻟﺠﺪرﯾﺔ ﻟﻌﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ
ﺗﻌﺮﯾﻒ
ﻟﯿﻜﻦ aﻋﺪدا ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ ﻣﻮﺟﺒﺎ ﻗﻄﻌﺎ و rﻋﺪدا ﺟﺬرﯾﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻌﺪم ،ﺣﯿﺚ
p
q
= rو * p ∈ و * . q ∈
ﻧﺴﻤﻲ اﻟﻘﻮة اﻟﺠﺬرﯾﺔ ذات اﻷس rاﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ اﻟﺬي ﻧﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ a rﺑﺤﯿﺚ a p
7
2
؛
أﻣﺜﻠﺔ5 = 57 :
−5
−5
3
3 = 3
3
،
=
16
=
4 2
=
16
4
=16
ﺧﺎﺻﯿﺔ
ﻟﻜﻞ ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ ﻣﻮﺟﺒﯿﻦ ﻗﻄﻌﺎ xو yو ﻟﻜﻞ rو ' rﻣﻦ * ﻟﺪﯾﻨﺎ :
'r
=x r +
'xr × xr
؛
1
= x−r
r
x
؛
r
= xr × yr
) ( xy
؛
xr x
=
y r y
؛
r
) (x
'r r
' = x rr
xr
' = x r −r
'r
x
ﻣﻼﺣﻈﺔ :ﺧﺎﺻﯿﺎت اﻟﻘﻮى اﻟﺠﺬرﯾﺔ ھﻲ اﻣﺘﺪاد ﻟﻠﻘﻮى اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ.
2
ﻣﺜﺎل :ﻟﯿﻜﻦ xﻋﺪدا ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ ﺑﺤﯿﺚ
3
2x − 3
ﻧﻀﻊ
5
2x − 3
ﻣﺜﺎل :
3
>x
= Aأﻛﺘﺐ Aﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻗﻮة أﺳﺎﺳﮭﺎ ﻋﺪد ﺟﺬري ﻣﻮﺟﺐ .
9×3 3×6 9
ﺑﺴﻂ :
5
81
3
4
=A
) (
9
,
5
× 35 × 3 9
3
Page 10
5
1
4
q
15
=. B
p
q
=a= a
r
ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ﻓﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ
.VII
اﻷﺳﺘﺎذ :ﻋﺒﺪ اﻟﻠﻄﯿﻒ ﻓﺮدﯾﻮي
اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﯾﺔ
اﺗﺼﺎل و ﻧﮭﺎﯾﺔ ﻣﺮﻛﺒ ﺔ داﻟﺔ fو داﻟﺔ اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ f ) n
n
(
ﺧﺎﺻﯿﺎت
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو x0ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ Iو nﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ طﺒﯿﻌﻲ.
إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ Iﻓﺈن n fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ . I
إذا ﻛﺎﻧﺖ lim f ( x ) = lﻓﺈن
x → x0
lim n f = n l
x → x0
إذا ﻛﺎﻧﺖ ∞ lim f ( x ) = +ﻓﺈن ∞lim n f ( x ) = +
x → x0
x → x0
ﻣﻼﺣﻈﺔ :اﻟﺨﺎﺻﯿﺘﺎن اﻷﺧﯿﺮﺗﺎن ﺗﻈﻼن ﺻﺎﻟﺤﺘﺎن ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺆول xإﻟﻰ x0ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ أو إﻟﻰ x0ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر
أو إﻟﻰ ∞ ، +أو إﻟﻰ ∞. −
ﻣﺜﺎل :أ -اﻟﺪاﻟﺔ f : x → 3 x 2 + 2 x + 1ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ؛ ﻷن اﻟﺪاﻟﺔ x → x 2 + 2 x + 1ﺣﺪودﯾﺔ
ﻣﺘﺼﻠﺔ و ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ .
؛ ) lim f ( x
ﻟﻨﺤﺴﺐ ) lim f ( x
∞x →+
x →0
f ( x) − 1
؛
x
)f ( x
x
؛
lim
x →0
؛
lim
∞x →+
)f ( x
x −1
ﻣﺜﺎل :أﺣﺴﺐ اﻟﻨﮭﺎﯾﺎت اﻟﺘﺎﻟﺔ:
lim 3 x 3 + x − 2 x (1؛
∞x →+
x3 + x + 1
(2
x
3
lim
∞x →+
؛
x + 2 − 3 x +1
3
x + 1 − 4 x × 12 x
3
x +1 − 3 x
3
x +1 −1
x −2
lim
lim؛
(3
x →1
x →8 x − 8
x
3
،
؛
lim
∞x →+
4
lim
∞x →+
x3 + 1 − x
؛
x+6 −2
lim
x →2 1 − 3 3 − x
3
Page 11
3
lim
∞x →+
x +x− x −x
4
؛
4
4
x +1 −1
lim
x →0
x +1 −1
3
lim
∞x →+
lim+
x →−1