Thermodynamique Formulaire

Prof. Nicolas Grandjean
STI (EL, MX, MT)
Exercices de Physique Générale - Thermodynamique
Série 12 : 27 mai 2021
Exercice 1 * (5 min) : Une casserole lente à chauffer
Une casserole de diamètre 20 𝑐𝑐𝑐𝑐 contient 1 𝑐𝑐𝑐𝑐 d’eau chauffée par contact à partir du fond de la casserole. L’eau est
caractérisée par sa conductivité thermique 𝜆𝜆. Supposons la température du fond de la casserole à 100°C et celle de la surface
libre à 20°𝐶𝐶.
En ne considérant que la conduction comme mode de transfert thermique, estimez le flux thermique dans l’eau.
Pour l’eau :
𝜆𝜆 = 0,6 𝑊𝑊 𝑚𝑚−1 𝐾𝐾 −1
Exercice 2 ** (25 min) : Transfert thermique dans une sphère
Nous considérons une sphère creuse en cuivre, de rayon interne 𝑟𝑟1 et de rayon externe 𝑟𝑟2 . A l’intérieur de la sphère se trouve
une source de chaleur (un filament par exemple). En régime stationnaire, les surfaces internes et externes sont respectivement
aux températures 𝑇𝑇1 et 𝑇𝑇2 . On note 𝜆𝜆 la conductivité thermique du cuivre.
a)
D’après la symétrie du problème, que pouvez-vous dire sur 𝐽𝐽���⃗
𝑈𝑈 ? Comment s’écrit la loi de Fourrier dans ce cas ?
b) On pose 𝑇𝑇(𝑟𝑟) la température dans la paroi de la sphère à la distance 𝑟𝑟 de son centre. On note Φ(𝑟𝑟) le flux de chaleur
traversant la sphère à la distance 𝑟𝑟. Exprimez Φ(𝑟𝑟) en fonction de 𝑇𝑇(𝑟𝑟) et des données du problème.
c)
Pourquoi peut-on dire que Φ(𝑟𝑟) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = Φ ? Exprimez la différence de température (𝑇𝑇1 − 𝑇𝑇2 ) en fonction de Φ et
des données du problème.
d) Exprimez la résistance thermique Rth de la sphère en fonction de r1, r2, et λ.
Exercice 3** (50 min) : Le fil et le glaçon (Examen 2017)
Une expérience classique consiste à faire traverser un fil à travers un bloc de glace sous l’effet d’un poids, le bloc de glace
restant intact. Cette expérience a été décrite dès le XIX siècle :
« Nous verrons le fil pénétrer peu à peu dans la glace, la couper
entièrement, pour tomber bientôt au-dessous. Et cependant, quand le fil
de fer aura tout traversé, nous trouverons le bloc de glace entier, d'un seul
morceau, comme auparavant. La pression du fil avait d'abord déterminé
la fusion de la glace. Mais l'eau résultant de la fusion passant au-dessus
du fil, et n'étant plus comprimée, s'est regelée à mesure qu'elle se
produisait, et a ressoudé ainsi les deux morceaux » E. Bouant, LES
GRANDS FROIDS – 1880
Ce phénomène s’explique de la façon suivante : à l’instant 𝑡𝑡, la pression exercée par le fil change localement la température
de fusion de la glace sous le fil. Si la température de la glace est proche de 0°𝐶𝐶, elle peut alors fondre sous le fil à une
température inférieure à 0°𝐶𝐶. L’eau ainsi formée migre au-dessus du fil par les côtés, ce qui induit un déplacement du fil vers
le bas. L’eau n’étant plus comprimée en haut du fil, elle gèle de nouveau. La chaleur latente de solidification diffuse à travers
le fil ce qui entraine la fusion de la glace sous le fil. Le processus recommence à 𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 et ainsi de suite… le fil descend.
Difficulté : * facile, ** moyen, *** difficile
Prof. Nicolas Grandjean
STI (EL, MX, MT)
a
a
Données de l’énoncé :
-
𝑀𝑀 est la masse du poids accroché au fil de masse négligeable, 𝑔𝑔 est le module du champ de pesanteur
Le fil est de section carré et de côtés 𝑎𝑎. Sa conductivité thermique est λ.
Le bloc de glace a une largeur 𝐷𝐷
La pression exercée par le fil sur la glace est homogène sur toute la largeur du bloc de glace
La vitesse 𝑣𝑣 de déplacement du fil est constante
La fusion locale de l’eau à la base du fil a lieu à la température 𝑇𝑇𝐿𝐿 et à la pression 𝑝𝑝𝐿𝐿
La solidification de l’eau en haut du fil a lieu à la température 𝑇𝑇0 et à la pression 𝑝𝑝0
Le flux de chaleur à travers le fil est 𝜙𝜙𝑡𝑡ℎ
- La formule de Clapeyron pour une transition de phase de solide à liquide: 𝐿𝐿 = 𝑇𝑇(𝑣𝑣𝑙𝑙 − 𝑣𝑣𝑠𝑠 )
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
avec 𝐿𝐿 chaleur latente massique de fusion, T température de fusion, 𝑣𝑣𝑙𝑙 et 𝑣𝑣𝑠𝑠 volumes spécifiques des phases liquides et
solides et 𝑝𝑝 la pression de fusion. On notera que 𝑣𝑣𝑙𝑙 − 𝑣𝑣𝑠𝑠 est une constante et 𝑣𝑣𝑙𝑙 < 𝑣𝑣𝑠𝑠 pour l’eau.
- 𝜌𝜌 =
1
𝑣𝑣𝑠𝑠
est la masse volumique de la glace
a) Tracez de façon schématique le diagramme de phase (𝑝𝑝 , 𝑇𝑇) de l’eau. Reportez dans ce diagramme le point triple et le
point critique. Indiquez où se trouvent les phases solide, liquide et gaz.
b) Le fil exerçant une pression sur la glace, comparez 𝑇𝑇𝐿𝐿 à 𝑇𝑇0 . Dans quel sens est le flux de chaleur 𝜙𝜙𝑡𝑡ℎ à travers le fil (du
haut vers le bas ou du bas vers le haut) ?
c) Exprimez le flux de chaleur 𝜙𝜙𝑡𝑡ℎ en fonction de 𝐷𝐷, 𝜆𝜆, 𝑇𝑇𝐿𝐿 et 𝑇𝑇0 .
d) Calculer la différence de pression 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑝𝑝𝐿𝐿 − 𝑝𝑝0 en fonction des données du problème.
e) En considérant un déplacement élémentaire 𝑑𝑑𝑑𝑑 du fil dans la glace, quelle est la quantité de chaleur élémentaire 𝑑𝑑𝑑𝑑
responsable de la fusion de la glace en fonction de L, a, D, vs et dz ?
f) Donnez une expression de la vitesse 𝑣𝑣 en fonction de 𝐿𝐿, 𝜆𝜆, 𝑎𝑎, 𝐷𝐷, 𝑣𝑣𝑙𝑙 , 𝑣𝑣𝑠𝑠 , 𝑀𝑀, 𝑔𝑔 et 𝑇𝑇0 .
Difficulté : * facile, ** moyen, *** difficile