EXAMEN THÉORIE DES NOMBRES À RENDRE AVANT LE 25 JUIN 2021 Mention/Niveau: ENS/M1S7 Date : 17 juin 2021 DEVOIRS À TRAITER PAR GROUPE DE 5 ET À RENDRE PAR MAIL À [email protected] AVANT LE 25 JUIN 2021 À MINUIT 1. Soient K ⊆ L ⊆ M trois corps tel que M/L soit finie. Montrer que les extensions M/L et L/K sont aussi finies. 2. Soit L/K une extension de corps, α un elément non nul de L algébrique sur K. Notons P le polynôme minimal de α. Montrer directement α−1 ∈ K[α]. 3. Soit x ∈ R tel qu’il existe une constante K >0 et une suite de rationnels ( pqnn )n∈N deux‘a-deux distincts tels que|x − pqnn | ≤ qKn . Montrer que x est transcendant (sur Q). n 4. Soit (an )n∈N une suite bornée d’entiers relatifs, telle que an 6= 0 pour une infinité de P n. Soit b ∈ N, b ≤ 2. On définit θ n>0 ban!n . Montrer que θ est transcendant. 5. En déduire qu’il existe une famille explicite non dénombrable de nombres transcendants. 6. Soit k un corps de caractéristique p >0. Soit a ∈ k. Montrer que le polynôme X p − X − a ∈ k[X] est scindé ou irréductible. Page 1
