EXAMEN THÉORIE DES NOMBRES
À RENDRE AVANT LE 25 JUIN 2021
Mention/Niveau: ENS/M1S7
Date : 17 juin 2021
DEVOIRS À TRAITER PAR GROUPE DE 5 ET À
RENDRE PAR MAIL À ANTSA.AV[email protected]
AVANT LE 25 JUIN 2021 À MINUIT
1. Soient K⊆L⊆Mtrois corps tel que M/L soit finie. Montrer que les extensions
M/L et L/K sont aussi finies.
2. Soit L/K une extension de corps, αun elément non nul de L algébrique sur K. Notons
P le polynôme minimal de α. Montrer directement α−1∈K[α].
3. Soit x∈ R tel qu’il existe une constante K >0 et une suite de rationnels (pn
qn)n∈N deux-
‘a-deux distincts tels que|x−pn
qn| ≤ K
qn
n
. Montrer que x est transcendant (sur Q).
4. Soit (an)n∈N une suite bornée d’entiers relatifs, telle que an6= 0 pour une infinité de
n. Soit b∈N, b ≤2. On définit θPn>0
an
bn!. Montrer que θest transcendant.
5. En déduire qu’il existe une famille explicite non dénombrable de nombres transcen-
dants.
6. Soit k un corps de caractéristique p >0. Soit a∈k. Montrer que le polynôme Xp−
X−a∈k[X]est scindé ou irréductible.
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