Chapitre 3 systeme mecanique

CHAPITRE V : ACTIONS MECANIQUES & STATIQUE
I. Représentation mathématique des actions mécaniques
I.1. Définition
Nous appelons action mécanique toute cause susceptible de maintenir un corps au repos,
ou de créer un mouvement ou de déformer un corps.
I.2. Classification
On distingue deux sortes d’action mécaniques :
• Les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, champ électromagnétique,
etc.)
• Les actions mécaniques de contact (liaisons surfaciques, etc.)
On peut avoir des actions mécaniques dites extérieures et des actions mécaniques dites
intérieures à un ensemble de corps.
Exemple
On considère les trois solides (S1), (S2) et
(S3) et le système
{}
)S(),S( 21 =Σ .
• L’action mécanique de (S3) sur (S2)
et extérieure au système Σ.
• L’action mécanique de (S2) sur (S1)
est intérieure à Σ.
(S1)(S2)
(S3)
Chapitre 3
Statique

Cette dernière classification est nécessaire pour appliquer le principe fondamental de la
statique ou de la dynamique d’un ensemble de corps.
I.3. Premier principe de la statique
Enoncé du principe
Toute action mécanique est entièrement caractérisée d’un point de vue mécanique par un
torseur.
L’action mécanique de (S1) sur (S2) sera notée par :
{}
A
12
12
A
)SS(
)SS(
A
21 )A(mR
)A(mR
)SS(
21
21 ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=→
→
→
τr
r
r
r
.
• 12
R
r est la résultante générale du torseur d’action mécanique de (S1) sur (S2).
• )A(m12
r
est le moment résultant au point (A) du torseur d’action mécanique de (S1)
sur (S2).
Le torseur d’action mécanique possède toutes les propriétés du torseur (voir chapitre II).
II. Modélisation des actions mécaniques à distance : Application au
champ de pesanteur
Nous considérons que le champ de
pesanteur est uniforme en tout point d’une
région localisée dans l’espace. Il est orienté
suivant la verticale descendante.
Soit R(O,x,y,z)
r
r
r
un repère lié à la terre,
tel que l’axe )z,O(
r
soit dirigé suivant la
verticale ascendante.
P
(E)
x
r
y
r
z
r
O
dm
g
r
L’action mécanique du champ de pesanteur en chaque point P d’un ensemble matériel (E)
est défini par sa densité zgg
r
r
−= (g>0) relativement à la mesure de masse dm du point P
considéré.
Par suite, le torseur d’action mécanique de la pesanteur sur (E) s’écrit en un point A
quelconque par :
Chapitre 3
Statique

{}
A
Eg
Eg
A)A(mR
)Eg( ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=→
→
→
τr
r
avec :
• zmggmdmgR
EP
Eg
r
r
r
r−=== ∫
∈
→
• Eg
EP
Eg RAGgAGmg)mdAP(dmgAP)A(m →
→→→
∈
→
→∧=∧=∧=∧= ∫∫
r
rrrr
Le point G est appelé le centre d’inertie du système matériel (E) : ∫
∈
→→ =
EP
dmAP
m
1
AG
On constate que EgEg R)A(m →→ ⊥r
r. Par suite le torseur
{
}
Eg→
τ
est un glisseur.
Le moment au point G est nul. Alors G est point de l’axe central ∆.
{}
G
Eg
G0
R
)Eg( ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=→ →
τr
r
III. Modélisation des actions mécaniques de contact
III.1. Torseur d’action mécanique de contact
On considère deux solides (S1) et (S2)
en contact suivant une surface (S).
Soit ds un élément de surface
infiniment petit défini au voisinage d’un
point M de la surface (S).
Soit (π) le plan tangent commun à
(S1) et (S2) en M.
)M(p 21 SS →
r
M
)M(p 21 SS
n→
r
π
S
(S2)
ds
(S1)
)M(p 21 SS
t→
r
L’action mécanique de contact de (S1) sur (S2) est défini en chaque point M de la surface
(S) par une densité surfacique de force )M(p 21 SS →
r
appelée aussi répartition de pression de
contact. Elle est homogène à une force divisée par une surface. Le module de )M(p 21 SS →
r
s’exprime généralement en méga pascale (MPa).
)M(p 21 SS →
r
est toujours dirigée vers la matière du solide étudié.
L’action mécanique de contact de (S1) sur (S2) se représente globalement par le torseur :
Chapitre 3
Statique

{}
A
SM SS
SM SS
A
SS
SS
A
21 ds)M(pAM
ds)M(p
)A(mR
)SS(
21
21
21
21
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=→ ∫
∫
∈
→
→
∈
→
→
→
τr
r
r
r
III.2. Action de contact avec frottement : Lois de Coulomb
Supposons que (S1) et (S2) puissent glisser l’un par rapport à l’autre. En présence de
frottement entre (S1) et (S2) la densité surfacique des forces de contact )M(p 21 SS →
r
s’écrit :
)M(p)M(p)M(p tSS
nSSSS 212121 →→→ += rrr avec :
• )M(pnSS 21→
r perpendiculaire au plan (π) est appelée densité surfacique normale au
point M des forces de contact de (S1) sur (S2),
• )M(ptSS 21→
r
parallèle au plan (π) est appelée densité surfacique tangentielle au point
M des forces de contact de (S1) sur (S2),
Enoncé des lois de Coulomb
[Se sont des lois expérimentales établies par Coulomb permettant la définition de la
densité surfacique tangentielle].
Soit )S/SM(V 12
∈
r
la vitesse de glissement au point M du solide (S2) par rapport à (S1). Ce
vecteur est parallèle au plan (π).
a) Premier cas : 0)S/SM(V 12
r
r
≠∈
Dans ce cas, )M(ptSS 21→
r est opposée à )S/SM(V 12
∈
r
. Alors :
0)S/SM(V )M(p 12
tSS 21
r
r
r=∈∧
→
0)S/SM(V)M(p 12
tSS 21 <∈⋅
→
r
r
De plus )M(ptg)M(p nSS
tSS 2121 →→ ϕ=
r
r
• ϕ est appelé angle de frottement de glissement.
• tgϕ = f est appelé coefficient de frottement de glissement.
Chapitre 3
Statique

Dans ce cas, )M(p 21 SS →
r
se trouve sur le
bord d’un cône de sommet le point M,
d’axe perpendiculaire au plan (π) et de
demi angle au sommet ϕ. Ce cône est
appelé cône de frottement.
ds
)M(p 21 SS →
r
M)M(p 21 SS
t→
r
)M(p 21 SS
n→
r
π
)S/SM(V 12 ∈
r
Cône de frottement
b) Deuxième cas : 0)S/SM(V 12
r
r
=∈
Lorsqu’il n’y a pas glissement en M entre (S1) et (S2), la densité surfacique des forces de
contact de (S1) sur (S2) au point M se trouve à la limite sur le cône de demi-angle au sommet
ϕ0, appelé cône d’adhérence.
Dans ce cas on a :
)M(pf)M(p nSS0
tSS 2121 →→ ≤
r
r
avec :
00 tgf ϕ= appelé coefficient d’adhérence.
En pratique et pour la plupart des matériaux
et notamment les métaux on a
ff 00 ≥⇒ϕ≥ϕ d’environ de 25% . Pour
simplifier en prendra ff0=.
ds
)M(p 21 SS →
r
M)M(p 21 SS
t→
r
)M(p 21 SS
n→
r
π
ϕ
0
Cône d’adhérence
Quelques valeurs moyennes du coefficient de frottement
Matériaux en contact Valeur de f
Acier sur acier 0.1
Bronze sur bronze 0.2
Fonte sur bronze 0.1
Cuir sur métal 0.25
Bois sur bois 0.4
Métaux sur bois 0.3
Garniture de friction sur acier 0.3
Pneus sur chaussée 0.6
Chapitre 3
Statique