QUADRIPOLES

LES QUADRIPÔLES
I/ Définition
Un quadripôle est un système à quatre bornes (deux à l'entrée et deux à la sortie) dans lequel des courants électriques peuvent
circuler.
On s'intéresse exclusivement aux quadripôles linéaires, classe de multipôles la plus souvent rencontrée. Les valeurs des éléments
qui le composent sont constantes (éléments passifs, sources autonomes, coefficients des sources commandées) c'est-à-dire
indépendantes des tensions ou courants qui leur sont appliques. (Pas de saturation)
On distingue deux types de quadripôles :
- Quadripôle passif : Il ne comporte pas de source d'énergie, il ne contient que des composants passifs (Ex: R, L, C …).
- Quadripôle actif : En plus des composants passifs il contient des éléments source d'énergie.
Une convention de signe est nécessaire pour normaliser les calculs indépendamment des sens des tensions et courants. Trois
conventions de signe sont rencontrées :
Convention Transmetteur
Convention Récepteur
Convention Générateur
Le quadripôle transmet l'énergie
L'énergie est rentrante
L'énergie est sortante
On utilisera la convention "récepteur". C'est la convention la plus généralement rencontrée.
II/ Grandeurs caractéristiques
II-1/ Impédances d'entrée et de sortie
II-1-a/ Impédance d'entrée Ze
C'est l'impédance équivalente à l'entrée du quadripôle, lorsqu'il débite sur une charge ZL.
1
1
v
= i
e
Z
Exemple: Circuit RC
1
1
v1
= = //
i
eL
Z R Z
jC
II-1-b/ Impédance de sortie Zs
C'est l'impédance interne du générateur de Thévenin (ou Norton) équivalente à la sortie du quadripôle lorsqu'il est excité par un
générateur eg d'impédance interne Zg.
2
20 ( - )
v
= igg
se e en court circuit
Z
Exemple: Circuit RC
1
//
sg
Z R Z jC
i1
v1
v2
v1
i2
i1
Q
v2
v1
i2
i1
Q
v2
v1
i2
i1
Q
ZL
Ze
v1
i1
R
C
eg
i2
Zg
Ze
i1
e0
Zs
v2

Expérimentalement pour déterminer Zs, on peut aussi exciter par la sortie avec un générateur externe e d'impédance interne Z0
(eg = 0 : entrée en court-circuit).
II-2/ Impédances d'entrée et de sortie particulières
- Impédance d'entrée à sortie ouverte (ZL infinie):
2
1
1i0
v
= i
e
Z
- Impédance d'entrée à sortie en court-circuit (ZL = 0):
2
1
1v0
v
= i
e cc
Z
- Impédance de sortie à entrée ouverte (excitée par une source de courant (idéale): Zg infinie):
g g 1
22
s 22
0, Z i 0
vv
= =
ii
e
Z
- Impédance de sortie à entrée en court-circuit (excitée par une source de tension (idéale): Zg = 0):
gg
2
s 20, Z 0
v
= i
cc e
Z
II-3/ Paramètres
La structure quadripôle peut être mise en équations reliant les courants et les tensions d'entrée (I1,V1) et de sortie (I2,V2) ou sous
forme électrique c'est le schéma équivalent.
Exemple avec la matrice impédance [z], on a:
le schéma électrique (équivalent aux équations)
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V = z I z I
V = z I z I
La matrice impédance :
11 12
21 22
z
zz
zz
Le quadripôle est ainsi modélisé par deux dipôles couplés. Ce couplage se traduit par l'intermédiaire des générateurs: Les
grandeurs V1, I1, V2 et I2 sont liées par des relations linéaires (Quadripôle linéaire). Il existe 6 possibilités d'exprimer deux de ces
grandeurs en fonction des deux autres:
Paramètres
Equations
(notées aussi
matriciellement)
Calcul
Q passif
Q symétrique
Impédance
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V = z I z I
V = z I z I
En notation
matricielle:
11
22
VI
z
VI
avec [z] : matrice
impédance
11 12
21 22
z
zz
zz
2
1
11 1I 0 (sortie ouverte)
V
z
I
1
2
22 2I 0 (entrée ouverte)
V
z
I
etc…
z12 = z21
z11 = z22
et
z12 = z21
Admittance
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I = y V y V
I = y V y V
2
1
11 1V =0
I
y =
V
etc…
y12 = y21
y11 = y22
et
y12 = y21
Hybride
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V = h I h V
I = h I h V
2
1
11 1V =0
V
h =
I
etc…
h12 = -h21
h11h22 - h12h21
et
h12 = - h21
I2
V2
z22
z21I1
z12I2
z11
I1
V1

Hybride
inverse
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I = g V g I
V = g V g I
2
'1
11 1I =0
I
h =
V
etc…
''
12 21
h = -h
' ' ' '
11 22 12 21
h h - h h
et
''
12 21
h = - h
Transmittance
1 11 2 12 2
1 21 2 22 2
V = t V t I
I = t V t I
2
1
11 2 v0
I =0
V1
t = =
VA
Av0 Gain en tension à vide
2
1
22 2i
V =0
I1
t = =
IA
Ai Gain en courant à sortie en
court-circuit
etc...
11 22 12 21
t t - t t = -1
11 22
t = - t
et
11 22 12 21
t t - t t = -1
Transmittance
inverse
''
2 11 1 12 1
''
2 21 1 22 1
V = t V t I
I = t V t I
1
'2
11 1I =0
V
t = V
etc…
' ' ' '
11 22 12 21
t t - t t = -1
''
11 22
t = - t
et
' ' ' '
11 22 12 21
t t - t t = -1
Remarque:
Le modèle paramétrique obtenu avec les impédances d'entrée et de sortie n'est pas à confondre avec celui fourni par la matrice
impédance (on n'a pas Ze ≡ z11):
II-7/ Modèles électriques correspondant aux matrices
- Matrice Impédance:
2 1 2 1
V V V V
1 1 2 2
z = Impédance, z = Impédance, z = Impédance, z = Impédance
11 12 21 22
I I I I
1 2 1 2
I 0 I 0 I 0 I 0
le schéma électrique (équivalent aux équations)
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V = z I z I
V = z I z I
La matrice impédance :
11 12
21 22
zz
z
zz
- Matrice Hybride:
2 1 2 1
V V I I
-1
1 1 2 2
h = impédance, h = Gain en tension , h = Gain en courant, h = Admittance
11 12 21 22
I V I V
1 2 1 2
V 0 I 0 V 0 I 0
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V = h I h V
I = h I h V
La matrice hybride :
11 12
21 22
hh
h
hh
- Matrice Hybride inverse:
2 1 2 1
I I V V
-1
1 1 2 2
g = Admittance, g = Gain en courant , g = Gain en tension, g = Impédance
11 12 21 22
V I V I
1 2 1 2
I 0 V 0 I 0 V 0
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I = g V g I
V = g V g I
I2
V2
z22
z21I1
z12I2
z11
I1
V1
h22
I2
h12I2
h21V1
h11
I1
V1
V2

La matrice hybride inverse:
11 12
21 22
gg
g
gg
- etc…
Exemple: Circuit RC (Quadripôle passif)
- Avec les paramètres Impédances
2
V1
1
z = = R +
11 I jC
1I0
1
V1
1
z = =
12 I jC
2I0
2
V1
2
z = =
21 I jC
1I0
1
V1
2
z = =
22 I jC
2I0
Impédance d'entrée à sortie
ouverte du Quadripôle
Car V1=V2 du fait que I1=0
z21 = z12 du fait que I2=0
Impédance de sortie à entrée
ouverte du Quadripôle
- Avec les paramètres Hybrides:
2
V
1
h = = R
11 I1V0
1
V
1
h = = 1
12 V2I0
2
I2
h = = -1
21 I1V0
1
I2
h = = jC
22 V2I0
Impédance d'entrée à sortie
court-circuitée
(Gain en tension)-1
car V1 = V2 si I1=0
Gain en courant = -1
car V2=0
Admittance de sortie
à entrée ouverte
III/ Association de Quadripôles
III-1/ En parallèle:
Q' et Q" sont soumis aux mêmes tensions d'entrée et de sortie → utilisation de la matrice admittance [y].
≡
' ' ' ' ' " " " " " ' " ' "
1 11 11 12 12 1 11 11 12 12 1 1 1 1 1 1
'"
' ' ' ' ' " " " " " ' " ' "
2 21 21 22 22 2 21 21 22 22 2 2 2 2 2 2
I = y V + y V I = y V + y V V = V = V I = I + I
Q Q
I = y V + y V I = y V + y V V = V = V I = I + I
d'où:
' " ' "
1 11 11 1 12 12 2 11 1 12 2
' " ' "
2 21 21 1 22 22 2 21 1 22 2
I = y + y V + y + y V = y V + y V
I = y + y V + y + y V = y V + y V
Lorsque deux (n) quadripôles sont montés en parallèle, leurs matrices admittances s'ajoutent pour représenter la matrice
admittance du quadripôle équivalent à la mise en parallèle des deux (n) quadripôles.
III-2/ En série:
Q' et Q" sont traversés par les mêmes courants d'entrée et de sortie → utilisation de la matrice impédance [z]
≡
' ' ' ' ' " " " " " ' " ' "
1 11 11 12 12 1 11 11 12 12 1 1 1 1 1 1
'"
' ' ' ' ' " " " " " ' " ' "
2 21 21 22 22 2 21 21 22 22 2 2 2 2 2 2
V = z I + z I V = z I + z I I = I = I V = V + V
Q Q
V = z I + z I V = z I + z I I = I = I V = V + V
I"2
I"2
I2
I'2
I'1
I1
V"2
V'2
V"1
V'1
V2
V1
I"2
V"2
V'2
I'2
I2
V2
I1
V"1
I"1
V'1
I'1
V1
g22
I2
g12 I2
g21V1
g11
I1
V1
V2
Q"
Q'
I2
V2
I1
V1
Q
I2
V2
I1
V1
Q
Q'
Q"

d'où:
' " ' "
1 11 11 1 12 12 2 11 1 12 2
' " ' "
2 21 21 1 22 22 2 21 1 22 2
V = z + z I + z + z I = z I + z I
V = z + z I + z + z I = z I + z I
Pour deux (n) quadripôles montés en série, les matrices impédances s'ajoutent pour représenter la matrice impédance du
quadripôle équivalent à la mise en série des deux (n) quadripôles.
III-3/ En cascade:
Les grandeurs de sortie de Q' sont les grandeurs d'entrée de Q" → utilisation de la matrice transmittance [t].
' ' " "
1 1 2 1 2 2
' ' " "
1 1 2 1 2 2
I = I I = -I I = I
V = V V = V V = V
' ' '
' ' ' '
1 2 2
11 12 11 12
'' ' ' '
' ' '
12 22 12 22
1 2 2
" " "
" " " "
1 2 2
11 12 11 12
"" " " "
" " "
12 22 12 22
1 2 2
V V V
t t t -t
Q : = =
t t t -t
I I -I
V V V
t t t -t
Q : = =
t t t -t
I I -I
1 2 2
11 12 11 12
21 22 21 22
1 2 2
' ' "
' ' ' '
1 1 2 1
11 12 11 12
' ' ' '
' ' "
112 22 12 22
1 2 1
V V V
t t t -t
Q : = =
t t t -t
I I -I
V V V V
t -t t -t
= = =
It -t t -t
I -I I
"
' ' " " ' ' " "
22
11 12 11 12 11 12 11 12
' ' " " ' ' " "
"2
12 22 12 22 12 22 12 22
2
VV
t -t t -t t -t t -t
= = -I
t -t t -t t -t t -t
-I
D'où:
' ' " "
11 12 11 12 11 12
' ' " "
21 22 12 22 12 22
t -t t -t t -t
=
t -t t -t t -t
Pour deux (n) quadripôles montés en cascade, les matrices transmittances se multiplient pour représenter la matrice transmittance
du quadripôle équivalent à la mise en cascade des deux (n) quadripôles.
III-4/ En série-parallèle
Q' et Q" sont traversés par le même courant d'entrée (entrée: série) et sont soumis à la même tension de sortie (sortie: parallèle)
→ utilisation de la matrice hybride [h].
'"
h = h + h
Pour deux quadripôles montés en série-parallèle, les matrices hybrides s'ajoutent pour représenter la matrice hybride du quadripôle
équivalent à la mise en série-parallèle des deux quadripôles.
III-5/ En parallèle-série
Q' et Q" sont soumis à la même tension d'entrée (entrée: parallèle) et sont traversés par le même courant de sortie (sortie: série)
→ utilisation de la matrice hybride inverse [h'].
I'2
I"1
I2= I"2
I1= I'1
V"1
V'2
V1=V"2
V1=V'1
I2
V2
I1
V1
Q
I2
V2
I1
V1
Q
Q'
Q"
I"1
I"2
I2
I'2
V"2
V'2
V"1
V'1
I'1
I1
V2
V1
Q'
Q"