Circuit (R.L.C) En Régime Sinusoïdal Forcé | Etude de la résonance d’intensité Une portion de circuit AB est constitué d’un conducteur ohmique de résistance R, une bobine d’inductance L et de résistance r, un condensateur de capacité C. On applique entre A et B une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace 𝑈𝑒 = 4𝑉 et de fréquence N variable. On utilisera les expressions 𝑢𝐴𝐵 = 𝑈𝐴𝐵𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑 et 𝑖𝐴𝐵 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 . On donne : 𝑅 = 345𝛺 ; 𝑟 = 55𝛺 ; 𝐿 = 0,8𝐻 ; 𝐶 = 4,4𝜇𝐹; 𝑁 = 100𝐻𝑧. 1. a)) Donner l’expression de l’impédance Z du circuit et calculer sa valeur numérique. b)) Faire la construction de Fresnel relative au circuit considéré. c)) Donner les expressions numériques de 𝑢𝐴𝐵 et 𝑖𝐴𝐵 , valeurs instantanées. 2. Pour quelle valeur de 𝑁𝑂 le circuit est à la résonance ? 3. Définir la largeur de la bande passante et déterminer les valeurs des pulsations 𝜔1 𝑒𝑡 𝜔2 qui la délimite. 4. Montrer que la largeur de la bande passante peut s’écrire en fonction de R, r et L. 5. Exprimer le facteur de qualité du circuit en fonction de 𝜔0 , 𝜔1 , 𝜔2 et calculer sa valeur. 6. Donner l’expression de la puissance consommée dans le circuit en fonction de R, Z, r et 𝑈𝑒 . 7. Calculer la puissance moyenne reçue par le circuit à la résonance. [email protected] On applique entre A et B une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace 𝑼𝒆 = 𝟒𝑽 et de fréquence N variable. On utilisera les expressions 𝑼𝑨𝑩 = 𝑼𝑨𝑩𝒎𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝝋 et 𝒊𝑨𝑩 = 𝑰𝒎𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 . On donne : 𝑹 = 𝟑𝟒𝟓𝜴 ; 𝒓 = 𝟓𝟓𝜴 ; 𝑳 = 𝟎, 𝟖𝑯 ; 𝑪 = 𝟒, 𝟒𝝁𝑭, 𝑵 = 𝟏𝟎𝟎𝑯𝒛. 1. a)) Donner l’expression de l’impédance Z du circuit et calculer sa valeur numérique. 𝒁= 𝑹+𝒓 𝟐 + 𝑳𝝎 − 𝟏 𝟐 𝑪𝝎 = 𝑹+𝒓 𝟐 + 𝟐𝝅𝑵𝑳 − 𝟐𝝅𝑵𝑳 = 𝟐𝝅 × 𝟏𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟖 = 𝟓𝟎𝟐, 𝟔𝟓 𝟏 ൞ 𝟏 = = 𝟑𝟔𝟏, 𝟕𝟏𝟓 −𝟔 𝟐𝝅𝑵𝑪 𝟐𝝅 × 𝟏𝟎𝟎 × 𝟒, 𝟒 × 𝟏𝟎 𝟐 𝟏 𝟐𝝅𝑵𝑪 𝒁= 𝟑𝟒𝟓 + 𝟓𝟓 𝟐 + 𝟓𝟎𝟐, 𝟔𝟓 − 𝟑𝟔𝟏, 𝟕𝟏𝟓 𝟐 = 𝟒𝟐𝟒, 𝟏𝟎𝛀 b)) Faire la construction de Fresnel relative au circuit considéré. 𝒕𝒂𝒏 𝝋 = 𝟏 𝑪𝝎 𝑹+𝒓 𝑳𝝎 − 𝟏 𝒐𝒓 𝑳𝝎 − >𝟎 𝑪𝝎 𝝋 > 𝟎 ⟹ 𝐮 𝐞𝐧 𝐚𝐯𝐚𝐧𝐜𝐞 𝐬𝐮𝐫 𝐢 𝑼𝑪 𝟏 𝑪𝝎 𝑼 𝒛 𝑳𝝎 𝑼𝑳 𝝋 𝑼𝑹 [email protected] 1/ c)) Donner les expressions numériques de 𝒖𝑨𝑩 et 𝒊𝑨𝑩 , valeurs instantanées 𝒖𝑨𝑩 = 𝑼𝑨𝑩𝒎𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝝋 et 𝒊𝑨𝑩 = 𝑰𝒎𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 ⟹ 𝒖𝑨𝑩 = 𝑼𝒆 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝝋 𝒆𝒕 𝒊𝑨𝑩 = 𝑰 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝟏 𝟓𝟎𝟐, 𝟔𝟓 − 𝟑𝟔𝟏, 𝟕𝟏𝟓 𝑪𝝎 𝒕𝒂𝒏 𝝋 = = = 𝟎, 𝟑𝟓𝟐𝟑 ⟹ 𝝋 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟖𝒓𝒂𝒅 𝑹+𝒓 𝟑𝟒𝟓 + 𝟓𝟓 𝒖𝑨𝑩 = 𝟒 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟎𝟎𝝅𝒕 + 𝟎, 𝟑𝟑𝟖 𝑼𝒆 𝑼𝒆 𝟒 𝒁= ⇒𝑰= = = 𝟗, 𝟒𝟑 × 𝟏𝟎−𝟑 𝑨 𝒊𝑨𝑩 = 𝟗, 𝟒𝟑 × 𝟏𝟎−𝟑 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟎𝟎𝝅𝒕 𝑰 𝒁 𝟒𝟐𝟒, 𝟏𝟎 𝑳𝝎 − 2. Pour quelle valeur de 𝑵𝑶 le circuit est à la résonance ? Propriétés de la résonance 𝟏 𝟐 - La résonance est obtenue pour 𝐍 = 𝐍𝟎 𝛚𝟎 = 𝟐𝛑𝐍𝟎 : 𝐋𝐂𝛚𝟎 = 𝟏 ⟹ 𝛚𝟎 = 𝐋𝐂 Où 𝛚𝟎 𝐞𝐭 𝐞𝐭 𝐍𝟎 sont respectivement la pulsation et la fréquence à la résonance. 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝐍𝟎 = - A la résonance la tension U=cste et I est maximal, donc Z est minimale : 𝐙 = 𝐙𝟎 = 𝐑 𝐞𝐭 𝐈 = 𝐈𝟎 = 𝟏 𝟐𝛑 𝐋𝐂 𝐔 𝐙𝟎 = 𝐔 𝐑 - A la résonance, u et i sont en phase 𝛗 = 𝟎 𝐀 𝐥𝐚 𝐫é𝐬𝐨𝐧𝐚𝐧𝐜𝐞 𝝎𝟎 = 𝟐𝝅𝑵𝟎 = 𝟏 𝑳𝑪 ⟹ 𝑵𝟎 = 𝟏 𝟐𝝅 𝑳𝑪 𝑨. 𝑵: 𝑵𝟎 = 𝟏 𝟐𝝅 𝟎, 𝟖 × 𝟒, 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟖𝟒, 𝟖𝟑𝑯𝒛 [email protected] 3. Définir la largeur de la bande passante et déterminer les valeurs des pulsations 𝝎𝟏 𝒆𝒕 𝝎𝟐 qui la délimite. La bande passante d’un circuit (RLC) désigne l’ensemble des fréquences pour lesquelles la réponse en intensité est supérieure ou égale à 71% de la réponse à la résonance. La bande passante en pulsation est l’ensemble des pulsations de l’intervalle 𝝎𝟏 ; 𝝎𝟐 où 𝝎𝟏 𝐞𝐭 𝝎𝟐 les limites de la bande passante. Au point : ⟹ 𝑰𝟎 𝑼 𝑼 𝑰= = = ⟹ 𝒁 = (𝑹 + 𝒓) 𝟐 ⟹ 𝒁 = 𝒁 𝟐 (𝑹 + 𝒓) 𝟐 𝑹+𝒓 𝟏 ⟹ 𝑳𝝎 − 𝑪𝝎 𝟏 𝟐 𝟐 = 𝑹 + 𝒓 + 𝑳𝝎 − 𝑪𝝎 𝟐 𝟐 = 𝑹+𝒓 𝟐 𝝎𝟏 = 𝑹+𝒓 𝑪 𝟐𝑳𝑪 𝟐 ⟹ 𝟐 𝑹+𝒓 𝟐 − 𝑹+𝒓 𝟐 𝟏 = 𝑳𝝎 − 𝑪𝝎 𝟐 = (𝑹 + 𝒓) 𝟐 𝟐 𝟏 ⟹ 𝑳𝝎 − =± 𝑹+𝒓 𝑪𝝎 𝑳𝝎𝟏 𝟐 + 𝑹 + 𝒓 𝑪𝝎𝟏 − 𝟏 = 𝟎 ⟹ ൝ 𝑳𝝎𝟐 𝟐 − 𝑹 + 𝒓 𝑪𝝎𝟐 − 𝟏 = 𝟎 − 𝑹+𝒓 𝑪+ 𝟏 𝟐 𝑹 + 𝒓 + 𝑳𝝎 − 𝑪𝝎 𝟐 𝟏 𝟐 ∆= 𝑹+𝒓 𝑪 + 𝟒𝑳𝑪 𝟐 + 𝟒𝑳𝑪 > 𝟎 𝑹+𝒓 𝑪+ 𝒆𝒕 𝝎𝟐 = 𝑹+𝒓 𝑪 𝟐 + 𝟒𝑳𝑪 𝟐𝑳𝑪 [email protected] 3. Définir la largeur de la bande passante et déterminer les valeurs des pulsations 𝝎𝟏 𝒆𝒕 𝝎𝟐 qui la délimite. − 𝟑𝟒𝟓 + 𝟓𝟓 × 𝟒, 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔 + 𝝎𝟏 = + 𝟒. 𝟎, 𝟖 × 𝟒, 𝟒. 𝟏𝟎−𝟔 𝟐 × 𝟎, 𝟖 × 𝟒, 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔 𝟑𝟒𝟓 + 𝟓𝟓 × 𝟒, 𝟒 × 𝝎𝟐 = 𝟑𝟒𝟓 + 𝟓𝟓 𝟒, 𝟒 × 𝟐 −𝟔 𝟏𝟎 𝟏𝟎−𝟔 + 𝟑𝟒𝟓 + 𝟓𝟓 𝟒, 𝟒 × 𝟐 −𝟔 𝟏𝟎 + 𝟒. 𝟎, 𝟖 × 𝟒, 𝟒. 𝟏𝟎−𝟔 𝟐 × 𝟎, 𝟖 × 𝟒, 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟑𝟑𝟖, 𝟕𝟐𝒓𝒂𝒅. 𝒔−𝟏 = 𝟖𝟑𝟖, 𝟕𝟐𝒓𝒂𝒅. 𝒔−𝟏 Largeur de la bande passante 𝑹𝑻 ∆𝝎 = 𝝎𝟐 − 𝝎𝟏 = 𝑳 ∆𝝎 = 𝝎𝟐 − 𝝎𝟏 = 𝟓𝟎𝟎𝒓𝒂𝒅. 𝒔−𝟏 Facteur de qualité Q 𝑸= 𝝎𝟎 𝟏 𝑳 𝟏 𝑳 𝟏 = × = = ∆𝝎 𝑳𝑪 𝑹𝑻 𝑹𝑻 𝑪 𝑹𝑪𝝎𝟎 [email protected] 4. Montrer que la largeur de la bande passante peut s’écrire en fonction de R, r et L. 5. Exprimer le facteur de qualité du circuit en fonction de 𝝎𝟎 , 𝝎𝟏 , 𝝎𝟐 et calculer sa valeur. 6. Donner l’expression de la puissance consommée dans le circuit en fonction de R, Z, r et 𝑼𝒆 . 7. Calculer la puissance moyenne reçue par le circuit à la résonance. 𝑹+𝒓 𝑪 𝑹+𝒓 𝑪 𝟐 𝑹+𝒓 𝑪 𝑹+𝒓 ∆𝝎 = 𝝎𝟐 − 𝝎𝟏 = + = = 𝟐𝑳𝑪 𝟐𝑳𝑪 𝟐𝑳𝑪 𝑳 4. Montrons que ∆𝝎 = 𝐟( R, r ,L) : 𝝎𝟎 𝝎𝟎 𝟏 = 𝒐ù 𝝎𝟎 = 5. Calcul du facteur du qualité Q : 𝑸 = ∆𝝎 𝝎𝟐 − 𝝎𝟏 𝑳𝑪 𝝎𝟎 = 𝟏 𝟎, 𝟖 × 𝟒, 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟓𝟑𝟑𝒓𝒂𝒅. 𝒔 −𝟏 𝟓𝟑𝟑 𝒆𝒕 𝑸 = = 𝟏, 𝟎𝟔𝟔 𝟖𝟑𝟖, 𝟕𝟐 − 𝟑𝟑𝟖, 𝟕𝟐 𝑹+𝒓 𝑹+𝒓 6. Puissance consommée dans le circuit : 𝑷 = 𝑼𝑰 𝒄𝒐𝒔 𝝋 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝝋 = ⟹ 𝑷 = 𝑼𝑰 𝒁 𝒁 𝑼 𝑼 𝑼 𝑹+𝒓 𝑼𝒆 𝟐 (𝑹 + 𝒓) 𝑶𝒓 𝒁 = ⟹ 𝑰 = ⟹ 𝑷 = 𝑼 × × = 𝑰 𝒁 𝒁 𝒁 𝒁𝟐 7. Puissance moyenne reçue à la résonance : A la résonance R + r = Z et 𝝋 = 𝟎 𝑷𝒎𝒐𝒚 𝑼𝒆 𝟐 (𝑹 + 𝒓) 𝑼𝒆 𝟐 𝟒𝟐 = = = = 𝟎, 𝟎𝟒𝑾 (𝑹 + 𝒓)𝟐 𝑹 + 𝒓 𝟑𝟒𝟓 + 𝟓𝟓 [email protected]
