Analyse I Printemps

Analyse I - Printemps
P. Severa
x
y
f(x)
g(x)

Contents
1 S´eries num´eriques 1
1.1 D´efinitions................................................... 1
1.1.1 D´efinition............................................... 2
1.1.2 Th´eor`eme............................................... 2
1.1.3 Observation.............................................. 3
1.2 Comparaisonavecuneint´egrale....................................... 4
1.2.1 Th´eor`eme............................................... 4
1.3 Comparaison avec une autre s´erie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Propostion .............................................. 6
1.3.2 Proposition .............................................. 6
1.3.3 Th´eor`eme: Crit`ere de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.4 Th´eor`eme: Crit`ere du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.5 Th´eror`eme: crit`ere de racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Crit`eres de Leibnitz et de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Th´eor`eme: crit`ere de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Th´eor`eme: Crit`ere de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Convergence absolue et convergence non-absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Produit de s´eries et l’exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 R´esum´e .................................................... 20
1.7.1 Th´eor`eme(Euler) .......................................... 20
2 Suite et s´eries de fonctions 21
2.1 Convergenceuniforme ............................................ 21
2.1.1 D´efinition: Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 D´efinition: Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Crit`eres de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Crit`eredeCauchy .......................................... 26
2.2.2 Crit`eredeWeierstrass ........................................ 26
2.2.3 Corollaire: Forme alt´enative du crit`ere de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Int´egrationetdiff´erentiation......................................... 28
2.4 S´eriesenti`eres................................................. 31
2.4.1 Th´eor`eme:Abel ........................................... 34
2.5 S´eriesdeTaylor................................................ 36
2.6 R´esum´edelapartie2 ............................................ 37
3 Espaces m´etriques 38
3.1 M´etriquesetnormes ............................................. 38
3.2 Fonctionscontinues.............................................. 40
3.3 Limitesdesuites ............................................... 43
3.4 Sous-ensembles ouverts et ferm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5 Espacescompacts............................................... 50
3.6 Espacescomplets............................................... 53
3.7 R´esum´edelapartie3 ............................................ 54
4 Equations diff´erentielles ordinaires 55
4.1 Introduction.................................................. 55
4.1.1 Th´eor`eme: existence et unicit´e des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 M´ethodesder´esolution............................................ 58
4.2.1 EDOautonomes ........................................... 58
4.2.2 S´eparationdevariables ....................................... 59
4.2.3 EDOlin´eairesd’ordre1 ....................................... 59
4.2.4 Les EDO homog`enes et la m´ethode d’une sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.5 R´eductiond’ordre .......................................... 61
1

4.3 EDO lin´eaires `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Syst`emes d’EDO lin´eaires `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Syst`eme d’EDO lin´eaires g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6 R´esum´epartie4 ............................................... 78
5 Fonctions de plusieurs variables 79
5.1 La diff´erentielle et les d´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 D´eriv´ees partielles sup´erieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3 Formesquadratiques............................................. 88
5.4 Extremaslocauxetselles .......................................... 92
5.5 MultiplicateursdeLagrange......................................... 95
5.5.1 Th´eor`eme: multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6 R´esum´edelapartie5 ............................................ 97
6 Int´egrales multiples 98
6.1 Motivations .................................................. 98
6.2 D´efinitions................................................... 98
6.3 Int´egralesit´er´ees ...............................................100
6.4 Changementdevariables...........................................102
6.4.1 L’int´egraledeGauss .........................................103
6.5 Propri´et´es ´el´ementaires de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.6 R´esum´edelapartie6 ............................................110

1 S´eries num´eriques
a1, a2, a3,... ∈Rune suite
a1+a2+a3+ ... = ∞
X
n=1
an
1.1 D´efinitions
Si a1, a2, a3,... ∈Rest une suite, alors :
inf
X
n=1
an= lim
N→∞
N
X
n=1
an
Propri´et´es:
Si
∞
X
n=1
anet ∞
X
n=1
bnconvergent
alors
∞
X
n=1
(an+bn) = ∞
X
n=1
an+∞
X
n=1
bn
Si ∞
X
n=1
anconverge et si λ∈Rou C, alors
∞
X
n=1
λan=λ·∞
X
n=1
an
Si ∞
X
n=1
anconverge, alors
lim
n→∞ an= 0
Preuve:
Si sn=a1+a2+··· +analors ∞
X
n=1
an= lim
n→∞ sn
Mais an=sn−sn−1et donc
lim
n→∞ an= lim n→∞(sn−sn−1) = lim n→∞ sn−lim n→∞ sn−1= 0(= ∞
X
n=1
an)
∞
X
n=1
1
ndiv`erge mˆeme si lim
n→∞
1
n= 0
1

Remarque
Si c1, c2,... ∈Cest une suite et si c∈C, alors on dit que:
lim
n→∞ cn=c⇐⇒ lim n→∞ |cn−c|= 0
Exemples
S´erie g´eom´etriques soit q∈C
∞
X
n=0
qn= 1 + q+q2+···
si |q| ≥ 1 alors il n’est pas vrai que
lim
n→∞ qn= 0
(car |qn| ≥ 1) alors ∞
X
n=0
qndiverge
si |q|<1
1 + q+q2+··· +qn=1−qn+1
1−q=1 1−q−1 1−qlim
n→∞ qn+1 =1
1−q
1.1.1 D´efinition
Soit a1, a2,... ∈Csune suite. On dit que la s´erie ∞
X
n=1
an
converge absolument si
∞
X
n=1 |an|converge
1.1.2 Th´eor`eme
Si ∞
X
n=1
anconverge absolument, c’est `a dire si ∞
X
n=1 |an|converge, alors ∞
X
n=1
anconverge.
Preuve:
Rappel: une suite (cn)∞
n=1 converge et elle est de Cauchy, c’ests `a dire:
∀ε > 0∃n0∀m>n>n0:|cm−cn|< ε
Posons: tn=|a1|+|a2|+ ... + |an|
sn=a1+a2+ ... + an
Notre hypoth`ese: lim tnconverge (= P|an|)
`a montrer : lim snconverge (Pan)tnconverge =⇒tnest une suite de Cauchy, c’est `a dire:
∀ε > 0∃n0∀m>n>n0
m
X
k=n+1 |ak|=|tm−tn|< ε
2