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TD24-Polynomes2

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Lycée Buon
MPSI
TD 24
Année 2020-2021
Polynômes
Exercice 1 :
Déterminer la décomposition de X 2n − 1 dans C[X] et R[X].
Exercice 2 : Soit n ∈ N et (P0 , ..., Pn ) ∈ K[X]n+1 tel que pour tout k ∈ J0, nK,
deg(Pk ) = k .
Montrer que (P0 , ..., Pn ) est une base de Kn [X].
Exercice 3 :
Montrer que pour tout entier n, il existe un unique polynôme à coecients réels Pn
tel que Pn − Pn0 = X n .
Déterminer ses coecients.
Exercice 4 :
1. Déterminez le PGCD, P , des polynômes X 10 − 1 et X 6 − 1
2. Déterminer {(U, V ) ∈ K[X]2 : (X 10 − 1)U + (X 6 − 1)V = P } Soient n et p
deux entiers naturels non nuls
3. (a) Déterminer le reste et le quotient de la division Euclidienne de X n − 1 par
X p − 1.
(b) Déterminer le PGCD de X n − 1 et X p − 1 en fonction de k ∧ n.
Exercice 5 :
Trouver tous les polynômes P à coecients complexes tels que P 0 divise P .
Exercice 6 : Soit P ∈ K[X]. Prouver que P (X + 1) =
X 1
P (n) (X).
n!
n∈N
Exercice 7 :
Soit P ∈ R[X] scindé à racines simples. Montrer que P ne peut pas avoir deux
coecients consécutifs nuls.
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