COURS D’OPTIQUE/ D’OPTIQUE/ Licence/Parcours Physique/Semestre 1 (S1) Chapitre 2 : Notions ou Principes de base de l’optique géométrique A la fin de ce chapitre, l’apprenant doit être capable de : - Rappeler les lois de Snell-Descartes Snell Discuter les lois de Snell-Descartes Snell Enoncer le principe de Fermat Enoncer le théorème de Malus 2.1. Milieu de propagation de la lumière On peut définir le milieu de propagation de la lumière comme étant l’espace qui se trouve entre la source et le récepteur. Les milieux rencontrés dans la nature peuvent être : - - transparents : ils laissent laisse passer la lumière et laissent distinguer la forme des objets qui se trouvent en avant d’un tel milieu. On dit que de tels milieux laissent subsister intégralement la sensation lumineuse. translucides : ils laissent passer la lumière en la diffusant très fortement. Dans ces conditions on ne peut pas voir l’objet de façon nette à travers de tels milieux. mi opaques : ils ne laissent passer aucune sensation lumineuse. homogènes : les milieux sont homogènes si les caractéristiques des milieux sont les mêmes en tout point. isotropes : les propriétés physiques sont les mêmes par rotation d’axes, c’est-à-dire c’est dans toutes les directions. anisotropes : les propriétés physiques dépendent de la direction direction de propagation Les milieux étudiés en optique géométrique sont les milieux transparents, homogènes et isotropes (THI). 2.2. Rayon lumineux et propagation de la lumière La notion de base de l’optique géométrique est le rayon lumineux : • • pas de signification physique mais c’est un outil très intéressant pour décrire la propagation de la lumière dans les conditions bien définies. onn peut le considérer comme la ligne suivant laquelle l’énergie lumineuse se propage, c’est-àà-dire le chemin suivi par la lumière, c'est-à-dire dire la trajectoire des photons. L’expérience montre que dans des milieux homogènes, la lumière se propage en lignes droites à partir de la source jusqu’au récepteur. 1 D’où le principe : La lumière se propage en ligne droite Conséquences : Existence d’ombre (exemple : éclipse solaire) ; Pas d’interaction entre les rayons lumineux. Les faisceaux lumineux peuvent être : - coniques convergents : - coniques divergents : - cylindriques : 2.3. Lois de Descartes. Lois de réflexion et de réfraction 2.3.1. Enoncé des Lois de Snell-Descartes Snell Nous nous intéresserons seulement au faisceau réfléchi et au faisceau réfracté qui subsistent seuls pour une surface parfaitement polie. Les lois de Descartes donnent la direction du rayon réfléchi et du rayon réfracté correspondant à un rayon incident donné. N S i R i’ I r T Figure 2.1 2 Nous considérons un rayon incident SI rencontrant en I une surface Σ séparant deux milieux (1) et (2) d’indices respectifs et . Dans la Figure 2.1, l’angle d’incidence est l’angle , , l’angle de réflexion est l’angle , , l’angle de réfraction est l’angle , . On peut faire remarquer que ces angles sont tous compris entre 0 et , puisqu’ils sont définis dans un quart de plan. On appelle plan d’incidence le plan défini par SI et la normale (N) en I à la surface Σ. Les lois de Descartes s’énoncent alors : 1°) Le rayon incident SI, le rayon réfléchi (IR) et le rayon réfracté (IT) sont contenus dans le plan d’incidence. 2°) L’angle de réflexion et l’angle d’incidence sont reliés par la relation : (2.1) 3°) L’angle de réfraction et l’angle d’incidence sont reliés par la relation : (2.2) Remarque : Pour une valeur donnée de l’angle d’incidence , la relation (2.2) conduit à : Deux cas se présentent : • (2.3) si , on dit que le milieu (1) est plus réfringent que le milieu (2) ; l’angle de réfraction est grand : le rayon réfracté s’éloigne de la normale S i I T r Σ Figure 2.2 • si , on dit que le milieu (1) est moins réfringent que le milieu (2) ; l’angle de réfraction est petit : le rayon réfracté se rapproche de la normale 3 N S i Σ I r T Figure 2.3 2.3.2. Emergence rasante et réflexion totale Dans le cas où , il existe un angle limite pour lequel le rayon réfracté s’écarte de la normale et l’angle de réfraction atteint la valeur rasante) ; la relation (2.2) conduit à : (c’est l’émergence (2.4) Nous en déduisons les cas suivants : • Lumière tombant avec un angle : une fraction de la lumière est réfléchie et la majeure partie est transmise i I T r Σ Figure 2.4 • Lumière tombant avec un angle : l’angle de réfraction lumière transmise tend vers zéro. On parle d’émergence rasante 4 et l’intensité de la I T r Σ Figure 2.5 • Lumière tombant sous un angle : toute la lumière est réfléchie. On parle alors de réflexion totale i I Σ Figure 2.6 2.3.3. Applications de la réflexion totale 2.3.3.1. Prisme à réflexion totale Ce dispositif, très employé, consiste en un prisme (nous verrons la définition d’un prisme au Chapitre 4) dont la base est un triangle rectangle isocèle. Il est en verre aussi transparent que possible. On admet que le prisme d’indice est plongé dans l’air d’indice 1. A S D B E C F Figure 2.6 5 Un rayon lumineux SD normal à la face AB (Fig. 2.6), pénètre sans déviation, se réfléchit en E et émerge en F. La réflexion totale a lieu en E si l’angle d’incidence est supérieur à l’angle limite, d’où la condition : (condition toujours satisfaite pour le verre) ! √2 (2.5) 2.3.3.2. Prisme à double réflexion totale Il a la même forme que celui qu’on vient de décrire mais se trouve employé différemment (Fig. 2.7). Les rayons se réfléchissent successivement sur les deux faces rectangulaires et se réfractent à travers la face hypoténuse sous un angle d’incidence très faible. A B C Figure 2.7 2.3.3.3. Fibre optique à plusieurs réflexions totales La fibre optique la plus simple consiste en deux cylindres concentriques, constitués de matériaux diélectriques d’indices de réfraction différents (Fig. 2.8). Le cœur, d’indice , est placé au centre d’une gaine optique d’indice , avec , appelée « manteau » (cladding) pour la distinguer de la gaine de protection mécanique extérieure. Le faisceau lumineux est envoyé dans la fibre en incidence normale par rapport à l’entrée de la fibre. Gaine Cœur ( Figure 2.8 6 2.3.4. Incidence rasante Considérons le cas « symétrique » du cas précédent, c’est-à-dire le cas d’un rayon lumineux se propageant d’un milieu (1) vers un milieu (2), le milieu (1) étant cette fois moins réfringent que le milieu (2) ( ). Que se passe-t-il ? Nous pouvons répondre à cette question à partir de la loi de la réfraction. La relation de SnellDescartes , avec donne , le rayon réfracté existe donc toujours. Que se passe-t-il lorsque ? La réponse est qu’il n’y a rien de spécial pour cette valeur limite de l’angle d’incidence. L’angle de réfraction atteint sa valeur maximale, et cette valeur est donnée par la loi de la réfraction : strictement inférieure à $, soit : $ ! $ % N (a) (2.6) (b) S R Σ I * 2 i’ S R I $ T T Figure 2.9 : Réflexion et réfraction d’un rayon lumineux à la surface d’un milieu Σ séparant le milieu d’indice du milieu d’indice . désigne l’angle d’incidence et $ $ ⁄ l’angle limite de réfraction. (a) , $, (b) , incidence rasante, angle limite de réfraction $. 2.3.5. Lois de Kepler Les lois de Kepler correspondent aux lois de Snell-Descartes écrites au premier ordre, lorsque les angles , '( sont petits. Ces lois prennent la forme : (2.7) Rappelons que si le degré est en pratique souvent utilisé pour mesurer les angles, c’est le radian qui correspond aux conventions du Système International (S.I.). Ainsi, lorsque nous passons des lois de Snell-Descartes aux lois de Kepler, il faut prendre garde à exprimer les angles en radian. De même, un angle ) est dit petit, s’il est petit devant la valeur de l’angle ouvert (π ou 180°) par exemple. S’il est exprimé en radian, ) sera dit petit s’il est négligeable 7 comparé à π, c’est-à-dire typiquement à 1. En revanche, s’il est exprimé en degré, il devra être comparé à 180°, c’est-à-dire typiquement à 100. Ainsi, un angle de 10° est petit car négligeable devant 100, ou de façon équivalente 0,17 rad (10° ≈ 0,17 rad) est petit car négligeable devant 1. 2.4. Lois de réflexion et de réfraction sous forme vectorielle Il est souvent utile d’écrire les lois de réflexion et de réfraction sous forme vectorielle. ,-. et + ,-/ les vecteurs unitaires dans les directions du rayon incident et Nous désignerons par + ,-0 le vecteur unitaire normal à la surface Σ séparant les deux milieux du rayon transmis et par + ,-0 sont coplanaires (dans le plan (Fig. 2.10). Le rayon incident, le rayon réfracté et le vecteur + ,-1 le vecteur unitaire de l’intersection du plan d’incidence au plan tangent à d’incidence). Soit + Σ. N ,-. + i ,-. + i’ ,-1 + I Σ ,-/ + ,-0 + r Figure 2.10 Nous avons alors : ,-. 23 ,+-0 4 ,+-1 + ,-/ 23 ,+-0 4 ,+-1 + et (2.8) ,-1 en fonction de + ,-. et + ,-0 : La première équation permet d’exprimer + ,-1 + . 5676 ,-. 23 ,+-0 + (2.9) En portant (2.9) dans la 2ème équation de (2.8), il vient : ,-/ + 89: 899 ,-. 4 23 + 89: 899 ,-0 23+ (2.10) En utilisant la loi de Descartes : ; nous pouvons écrire : ,-/ + 89: 899 ,-. 4 = 23 23> ,+-0 ? <+ 8 (2.11) (2.12) or : 23 √1 A1 = > D’où : ,-/ + ,-. 4 CA= > 23D ,+-0 E B+ à condition de poser : + ,-. 4 F+ ,-0 F A= > 23 (2.13) (2.14) Dans l’approximation où l’angle est faible, on obtient : F 1 (2.15) ,-. et + ,-. sont Une analyse semblable peut être faite pour le rayon réfléchi. On remarquera que + ,-1 . symétriques par rapport à + ,-. + -i’= i ,-1 + Σ I ,-0 + i ,-. + Figure 2.11 Nous avons alors : ,-. 23 ,+-0 4 ,+-1 + et ,-. 23 ,+-0 4 ,+-1 + (2.16) ,-1 en fonction de + ,-. et + ,-0 qui est ensuite porté La deuxième équation permet d’exprimer + dans la deuxième équation ; d’où : ,+-. + ,-. 223 ,+-0 2.5. Chemin optique Pour une courbe (C) allant de A à B, qui n’est pas en général un rayon lumineux, on appelle chemin optique la quantité L définie par : B N L G HI JM K ds A (2.17) Figure 2.12 9 où : n = indice du milieu ; ds = abscisse curviligne (2.18) Remarques : • Dans le cas d’un milieu homogène, le chemin optique s’exprime simplement : G HI • (2.19) Dans le cas d’un rayon lumineux se propageant dans le vide et atteignant le point A à la date (M et le point B à la date (L , le chemin optique s’exprime simplement : G 2 (L (M (2.20) 2.5.1. Chemin optique stationnaire On considère deux points A et B qui se trouvent dans deux milieux d’indices différents et qui sont séparés par une surface Σ. Notons I le point d’impact du rayon sur la surface de séparation Σ. N A ,-. S i I’ I ,+-1 ,-/ S Σ r B Figure 2.13 Nous savons que le chemin optique de A à I est : ,,,,-. S ,-. GMO H PQ (2.21) De même pour le chemin optique de I à B, on a : ,-/ GOL I ,,,,,QT. S (2.22) Le chemin optique de A à B est alors : ,,,,-. S ,,,,,-. S ,-. 4 QT ,-/ GMOL GMO 4 GOL PQ (2.23) Soit I’ un point de Σ, très voisin de I, tel que les chemins optiques GMOL et GMO L soient très voisins. La variation du chemin optique s’écrit alors : 10 ,,,,,- H ,,,,,- I ,,,,- > 4 U ,,,,- > KG GMO L GMOL U ,- . =H ,- . =I ,,,,KG U ,- . U ,- ′ (2.24) Le chemin optique est dit stationnaire si cette variation dL s’annule ; soit : ,,,,- 0 KG U ,- U ,- ′ (2.25) On en déduit : ,,,,- U ,,,,- ; U ,- . ′ ,- . ′ (2.26) 2.5.2. Surface d’onde H’ Soit S une source ponctuelle émettant de la lumière dans toutes les directions de l’espace à la date t = 0. L’ensemble des points atteints par la lumière à la date t est une surface Σ appelée surface d’onde. Tous les rayons compris entre S et Σ I H I ^ Σ correspondent au même chemin optique : ^ a G_M G_L G_W ` 2K( 2( b Σ De même, pour les points situés sur la surface d’onde Σ′ à la date t’, on a : a Figure 2.14 G_M G_L G_W ` 2K( 2( b Il est facile d’en déduire que tous les chemins optiques compris entre deux surfaces d’ondes sont égaux : GMM GLL GWW 2( ( 2.5.3. Principe de Fermat Enoncé du principe : Le trajet réellement suivi par la lumière pour aller d’un point quelconque A à un point quelconque B est celui de durée stationnaire. Que signifie le terme stationnaire ? Etant donné une fonction X FY, Z. On dit qu’elle est [\ [\ stationnaire en un point Y, Z si en ce point les dérivées partielles F [ et F] [] sont nulles, donc la différentielle totale : KX [\ [ KY 4 11 [\ [] KZ 0 Donc, on écrira d’une fonction est stationnaire en écrivant que sa différentielle totale est nulle. 2.5.4. Propagation de rayon lumineux en milieu non homogène Les lois de Snell-Descartes régissent la propagation des rayons lumineux à l’interface entre deux milieux transparents homogènes isotropes. Que se passe-t-il pour un rayon se propageant dans un milieu dont l’indice varie continûment dans l’espace ? Nous allons montrer que le principe de Fermat permet d’établir l’équation, dite équation des rayons, qui décrit la trajectoire du rayon dans un tel milieu. Notons que la plupart des milieux réels sont d’indice continûment variable, ce qui explique l’importance de l’équation des rayons. 1. Théorème de Malus Enoncé : Les rayons lumineux provenant d’une même source sont normaux aux surfaces d’onde après un nombre quelconque de réflexions et réfractions. M ,S ,,,gh Figure 2.15 : Théorème de Malus : « les rayons lumineux sont normaux ,- le vecteur aux surfaces d’onde ». M est un point du rayon et S tangent au rayon en M. Considérons le chemin optique d’un rayon se propageant d’un point fixe A vers un point M ; A étant fixe, le chemin optique est une fonction de M que nous notons L(M) : Gc JM dKd JM dU ,-. Kd,e e 2.27) La différentielle de L(M) a pour expression : ,,- cU ,,KGc ,,,,,,,,,,XfKe Gc. Kc ,-. Kc avec (2.28) ,,,,,,,,,,XfKe Gc cU ,- Le principe de Fermat impose que le chemin effectivement suivi par la lumière soit tel que : ,,- 0 KGc 0 ! U ,-. Kc (2.29) L’ensemble des points d’une surface d’onde, c’est-à-dire l’ensemble des points correspondant au même chemin optique, vérifient le principe de Fermat (il faut que les points appartiennent à une courbe effectivement suivie par la lumière). Nous en déduisons que deux points voisins d’une surface d’onde vérifient la condition : 12 ,,- 0 U ,-. Kc ce qui signifie que la surface d’onde est « localement » perpendiculaire à la direction du rayon U ,- du rayon (Fig. 2.15). 2.5.5. Principe d’Huygens Enoncé : La lumière se propage de proche en proche. Chaque point atteint par la lumière se comporte comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques dans un milieu homogène. Le phénomène lumineux est la superposition de ces ondes. Les surfaces d’onde apparaissent alors comme des surfaces-enveloppes de ces ondelettes. t t+dt Figure 2.16 : Front d’onde plane • Construction du rayon réfracté Considérons une surface Σ qui sépare deux milieux d’indices et et un rayon SI dans le premier milieu. i I H c Σ c r On trace dans le deuxième milieu deux demi-cercles de centre I (point d’incidence) et de rayons respectifs et tels que : 13 i i Soit c , le point d’intersection du prolongement du rayon incident avec le premier demicercle, H la projection de c sur la plan tangent la surface Σ et c l’intersection jc avec le deuxième demi-cercle. Dans les triangles (IHM1) et(IHM2), on a : D’où : kkkk j 14
