Mécanique du contact - frottement - usure
I - Introduction
II - Contact ponctuel
II.1 Cinématique du contact ponctuel
II.2 Efforts transmis au contact - loi de Coulomb
II.3 Conclusion : critères de dimensionnement
III - Eléments de la théorie de Hertz -1881 : Contact ponctuel et linéique
III.1 Hypothèses
III.2 Modélisation des déformations, zone de contact
III.3 Répartition de pression
III.4 Contact sphérique : géométrie du contact, pression, critère de dimensionnement
III.5 Contact linéique : géométrie du contact, pression, critère de dimensionnement
III.6 Tableau récapitulatif
III.7 Quelques applications
IV - Contact surfacique : Surface de contact? Modélisation de la répartition de pression ?
V – Frottement, usure, lubrification : Notions de tribologie, Mécanismes et conséquences
I - Introduction
Exemple 1 : liaison pivot (articulation)
Pb : Quelles dimensions donner à
l'articulation?
Quels matériaux choisir?
...
Exemple 2 : frein à disque
Pb : Quelles dimensions donner aux
surfaces de freinage?
Quels matériaux choisir?
Quelle est la force nécessaire
au freinage?
...
Exemple 3 : liaison pivot par éléments roulants
Pb : Quelle est la rigidité de la liaison ainsi réalisée?
Est-ce une liaison pivot ou une pivot glissant?
Quelles sont les conséquences sur la durée de vie de la liaison?
...
II - Contact ponctuel
II.1 Cinématique du contact ponctuel
M : point de contact entre S1 et S2
π
r : plan tangent au contact
n : normale au contact
r
n
r
Ω 1/ 2
Mouvement relatif de S1 par rapport à S2
S1
r
V M 1/ 2
M
r
V M 1/ 2
π
r
x
{V }
1/ 2
r
y
S2
r
z
et
r
Ω 1/ 2
M xyz
Ω x 1/ 2
: Ω y 1/ 2
Ω
z 1/ 2
Vx 1/ 2
V y 1/ 2
0
M xyz
Condition nécessaire au maintien du contact
r
n
r
V M 1/ 2 : Vitesse de glissement en M
r
Ω 1/ 2
S1
rP
Ω 1/ 2
r
Ω 1/ 2
π
M
r
V M 1/ 2
rR
Ω 1/ 2
r
y
S2
r
z
r
x
de S1 / S2
Contenue dans le plan tangent
: Taux de rotation de S1 / S2
r
rP
rR
Ω 1/ 2 = Ω1/ 2 + Ω 1/ 2
r
Projection suivant n
Taux de rotation
de pivotement
(Spin)
Projection sur π
Taux de rotation
de roulement
Conclusion :
r
n
r
Ω 1/ 2
r
rP
r rR
r
r
Ω
≠
o
,
Ω
≠
o
et
V
≠
o
Si 1/ 2
1/ 2
M 1/ 2
S1 pivote, roule et glisse
par rapport à S2
r P S1
Ω 1/ 2
π r
M
r
V M 1/ 2
rR
Ω 1/ 2
r
y
S2
x
r
rP
r rR
r
r
Si Ω1/ 2 ≠ o , Ω1/ 2 ≠ o et V M 1/ 2 = o
S1 pivote et roule sans glisser
par rapport à S2
r
rP
r rR
r
r
Si Ω1/ 2 = o , Ω1/ 2 ≠ o et V M 1/ 2 = o
S1 roule sans glisser et sans pivoter
par rapport à S2
r
z
etc...
II.2 Efforts transmis au contact de S2 sur S1
r
n
Hypothèses :
Pas de frottement
Solides indéformables
S1
r
x
M
π
r
y
0
{F2→1}M xyz : 0
N
2/1
0
0
0 M
xyz
Mais
en réalité
N 2 /1
S2
r
z
• Les solides sont déformables
zone de contact...
• Il y a du frottement
Cas réel : frottement et solides déformables
S1
{F }
2→1 M
xyz
Tx2/ 1
: Ty2 /1
N2 /1
M x2/ 1
M y2/ 1
M z2/ 1 M
S2
avec
r
n
p
Zone de contact S
∫
=∫
Tx 2 /1 =
xyz
t x dS
S
T y 2 /1
S
r
x
N 2 /1 = ∫ p dS
tx
ty
dS
r
z
S
M x 2 /1 = ∫ y p dS
S
M y 2 /1 = ∫ x p dS
S
S2
r
y
t y dS
M z2 /1 = ∫ (yt x + xt y )dS
p, tx, ty (en N/mm2 )
S
Loi de Coulomb :
si glissement
r
T 2 /1
r
n
r
r
V
T2 /1 = − rM 1/ 2
V M 1/ 2
r
r
V M 1/ 2 ≠ o
Tan(ϕ ) = f
r
x
r
V M 1/ 2
r
T2/1
S2
r
y
r
z
si non glissement
r
r
V M 1/ 2 = o
avec f coefficient de frottement entre S1 et S2
f ne dépend que des matériaux en contact
r
T2/1 ≤ f N2/1
f N 2 /1
r
N 2 /1
II.2 Conclusion :
Données :
Deux solides S1 et S2 : géométrie, matériaux ( f , E, ν), ...
Des efforts à transmettre
...
Objectifs de la mécanique
du contact
Résultats :
Quelle est la zone de contact ?
Quelle est la répartition de pression? pmax ?
Quel est le rapprochement global des deux solides?
Quelle est la puissance dissipée au contact ?
...
III - Eléments de la théorie de Hertz -1881
III.1 Hypothèses
Solides massifs
déformations négligeables en dehors de la zone de contact
Déformations élastiques
réversibles
Pas de frottement
pas d’effort tangentiel
Pas de mouvement relatif des deux solides
r
r
r
r
V M 1/ 2 = 0 et Ω1/ 2 = 0
III.2 Modélisation des déformations, zone de contact
r
nrr
n
n
Avant
chargement
r
nrr
n
n
S1
A
Après
chargement
S1
S1
S1
A'
r
x
M
N 1/ 2
r
x
M
π
r
y
π
B
B'
S2
r
y
S2
r
zr r
z
z
Avant chargement
Rapprochement
des deux solides : δ
A
A'
δ = AB − A ' B '
B
B'
r
zr
z
S2S2
r
z
Avant chargement
-b
a
M
-a
Zone de contact, elliptique,dans π : a
r
x1
,b,φ
b
r
y
r
y1
φ
r
x
III.3 Répartition de pression
Zone de contact
r
zr
z
Répartition de pression suivant un ellipsoïde
r
x1
Avant chargement
-b
a
M
φ
pmax
r
x
-b
-a
b
r
y
r
y1
M
-a
a
b
r
y1
p max i =
3 N 1/ 2 3
= pmoyen
2 π ab 2
r
x1
III.4 Contact sphérique (φ =0) : géométrie du contact, pression, dimensionnement
S1 matériau
N 1/ 2
Géométrie du contact
3 R
a=
4 E*
2
E1 ( N / mm ),υ 1
R1
(N1/ 2 )1/ 3
Rapprochement des deux solides
r
x
M
1/ 3
9
1
δ =
16 RE *2
R2
r
z
-a
-a
E 2 ( N / mm 2 ),υ 2
Pression maximale
3 N1/ 2
pmax =
2 π a 2
a
a
r
y
(N1/ 2 )2/ 3
S2 matériau
r
x
M
1/ 3
avec
R = (1 / R1 + 1 / R2 ) −1
1− υ 2 1 − υ 2
1
2
E* =
+
E
E
1
2
−1
E
N/mm2
Critère de dimensionnement
pmax < padm
padm = Pression admissible
par le matériau
Remarques :
R2
Concavité inverse
R1
Attention au signe!
R = (1/ R1 −1/ R2 ) −1
υ
p adm
(statique)
N/mm2
acier
200000
0,3
600 à 700
alu
80000
0,35
350
fonte
100000
0,3
500
bronze
130000
0,35
100
téflon
130000
0,35
10
III.5 Contact linéique : géométrie du contact, pression, dimensionnement
N 1/ 2
S1 matériau
E1 ( N / mm 2 ),υ 1
Géométrie du contact
4R
a=
π E*
R1
r
y
rzr
z
??? à déterminer
expérimentalement
l
R2
R2
Pression maximale
2N1/ 2
pmax =
π al
S2 matériau
E 2 ( N / mm 2 ),υ 2
-a
N1/ 2
l
Rapprochement des deux solides
r
xr
x
M
1/ 2
Critère de dimensionnement
l
a
r
y
-a
M
a
r
x
pmax < padm
1 /2
Remarque sur le rapprochement des deux solides
Cas d'un roulement à rouleaux : un rouleau chargé
bague
intérieure S1
N 1/ 2
rouleau S3
Contacts
linéiques
bague
extérieure S2
rapprochement des solides S1 et S2
δ = K (N1/ 2 )
0,9
K coefficient qui dépend de la
géométrie et des matériaux
III.6 Tableau récapitulatif des résultats de la théorie de Hertz
(extrait de Systèmes mécaniques, Dunod)
1 − υi 2
ki =
πEi
III.7 Quelques applications
Problème 1 :
On souhaite comparer 4 contacts ponctuels différents
a) contact entre deux sphères de rayon R
b) contact entre une sphère de rayon R et un plan
c) contact entre une sphère de rayon R et une surface sphérique
concave de rayon 4R
d) contact entre une sphère de rayon R et une surface sphérique
concave de rayon 4/3 R
Les deux solides sont en acier, l'effort presseur est de 1000 N et le rayon R a pour
valeur 25 mm.
Quel rapport existe-t-il entre les valeurs des différentes pressions
maximum au niveau du contact?
Problème 2 :
On considère une pompe hydraulique
a) Effectuer le schéma cinématique minimal de l'appareil
b) Déterminer en fonction de la pression de refoulement P et de
l'angle d'inclinaison γ du plateau, l'expression de l'effort au contact du
piston et du plateau
c) Calculer la pression maximale au contact. Est-elle admissible ?
Données : P=100 bar, rayon du piston r = 5 mm, rayon de la partie sphérique
au contact R=17,5 mm, les matériaux en contact sont en acier (E=200000
MPa et ν=0,3), inclinaison du plateau γ = 18°
IV - Contact surfacique : Modélisation de la répartition de pression?
Surface de contact?
Aspérités
Quelle est la surface réelle de contact ?
La surface réelle est différente de la surface théorique
Quelle répartition de pression ?
exemple : Articulation, clavette, frein...
QUEL MODELE CHOISIR ?
a. Pression uniforme
p( M) = p0 = constante
Critère à respecter
b. Pression fonction de la déformation
pmax ≤ pmatage
p ( M ) = K δ ( M )α
Pression conventionnelle de matage
Pressions conventionnelles de matage utilisées
couramment en bureau d’études:
