points méthode suite-converti

lim
lim 0
nn n
x
n
x
U l V
Si alors U l
V→+
→+
−
=
=
( ) ( ) ( ) ( )
: : ;
:
1
1
2
3
2
3
n n n n
nn
On a n IN f U f U f U U f
alors n IN U U
or comme et
+
+
  −  − = =
  −  −
0
0
Suite et fonction
Enonocée Soit f une fonction définie sur
,+0
et dérivable sur
,0+
donnée par
( )
( )
lnf x x=+1
et vérifiant :
* f est strictement croissante sur
,+0
et pour tout
x1,1
4
;
( )
fx 2
3
.
*L’équation admet dans
,+0
une unique solution
Et on Soit la suite
( )
U
définie sur IN par :
( )
nn
U
U f u
0
1
1
+
=
=
a)Montrer que pour tout
; ,1
n
n IN U
b)Etudier les variations de la suite
( )
U
.
c)Montrer que pour tout
; nn n IN U U
12
3
+
 −  −
.
d)En déduire que pour tout :
; n
n
n IN U
2
3
 −  
.
e)En déduire que la suite (U) est convergente et déterminer sa limite.
……………………………………………………………………………………………..
a) Par récurrence sur n.
*Pour n = 0 :
01 ,1
U=
donc c’est vérifiée.
*Soit
n IN
, supposons que
,1
n
U
*Montrons que
,
11
n
U+
?
-On a :
1
n
U
et f est strictement croissante sur
,1
-Donc :
( ) ( ) ( )
1
n
f f U f
-alors:
( )
ln
121
n
U+
. Par suite
,
11
n
U+
.
Conclusion :d’après le principe de raisonnement par récurrence, on a : pour tout
; ,1
n
n IN U
( )
); ; ,
101
n n n n n
n IN U U f U U car n IN Ub+
  − = −   
( )
2 ;
3
)
f est dérivable sur I
f x pour tout x de I
c
donc, et comme
n
U
et
sont dans I, alors
d’après l’inégalité des accroissements finis
d). Par récurrence sur n.
*Pour n = 0 :
U
0
02
11
3
− = −  =
donc c’est vérifiée.
*Soit
n IN
, supposons que :
n
n
U
2
3
−
.
*Montrons que :
n
n
U
1
12
3
+
+
−
?
- On a :
n
n
U
2
3
−
1
2 2 2 2
3 3 3 3
nn
n
U+ −   =
- comme :
; n
nn
n IN U U
1
122
33
+
+
  −  −  
- alors :
n
n
U
1
12
3
+
+
−
.
Conclusion :d’après le principe de raisonnement par récurrence, on a : pour tout
; n
n
n IN U
2
3
 −  
.
2
3 donc lim
2
lim 0
)
3
→+
→+
−
   =
=
n
n
n
nx
n
eUU
x
0
+
( )
f x x−
+
−
( )
( ) ( )
;
,
.
.: .f est dérivable sur I
f x k pour tout x de I
pour tout a et b de I
TI
f a f k a b
F
b
A
 −  −

Suite intégrale
Enoncée On donne la suite
( )
n
I
définie sur IN par :
1
001I xdx=−
et
1
01
n
n
I x xdx=−
:
1-a)Calculer
0
I
.
b)Montrer que pour tout n de IN ;
01
n
I
.
c)Montrer que la suite
n
I
est décroissante sur IN.
d)Montrer que pour tout n de IN ;
11
+
n
In
. puis déterminer sa limite.
2-a)A l’aide d’une intégration par parties , montrer que
( )
1
2 3 2 −
+=
nn
n I nI
.
b)En déduire
n
I
en fonction de n puis retrouver sa limite.
c)En déduire que
( ) ( )
( )
2
2 1 ! 2 3
lim 2!
→+
++
nn
nn
n
Solution :
1-a)
( )
( )
1
11
000 0
22
1 1 1 1
33
= − = − − − = − − − =
I xdx x dx x x
.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
b)Pour n = 0 ;
02
01
3
 = I
.
Pour n > 0 ; et pour tout
0,1x
;
0 1 0 1 1 0 1 1   −    − 
nn
x et x x x
Et comme les fonctions
et 1 0,1 −
n
x x x x sont continues sur
1 1 1 1
0
0 0 0
: 0 1 1 0 I 1 −     =
nn
alors dx x xdx dx x
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
c)Pour n > 0 ;
( )
1 1 1
1
10 0 0
1 1 1 1
+
+− = − − − = − −
n n n
nn
I I x xdx x xdx x x x dx
Comme :
( )
0,1 ; 0 1 1 1 1 0 x 1 1 e 0,1   −  −  −  − −
nn
x x x et x alors x x x st continue et négative sur
Alors :
( )
1
0
0 ; 0,1 : 1 1 0    − − 
n
n x on a x x x dx
ce qui montrer que
( )
n
I
est décroissante sur IN.*
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
d) Pour n = 0 ;
021
01
3 0 1
I =  =
+
.
Pour n > 0 ; et pour tout
0,1x
;
0 1 1 0 1
nn
x x x x −    − 
Et comme les fonctions
et 1 0,1
nn
x x x x x sont continues sur−
1
1
1 1 1
0 0 0 0
1
: 0 1 0 I 11
n
nn
nx
alors dx x xdx x dx nn
+
 −     =
++
.
On a :
11
1 ; 0 et lim 0 donc lim 0
11
nn
nn
n I I
nn
→+ →+
    = =
++
.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2-a) On a Pour n > 0 :
1
01
n
n
I x xdx=−
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
: 2
1 1 1
3
nn
U x x U x nx
On pose V x x V x x x
−
=  =
= −  = − − −
( ) ( )
111
0
0
22
1 1 1 1
33
nn
n
I x x x n x x xdx
−
= − − − + − −
( )
()
1 1 1
11
0 0 0
22
=0 1 1 1 1
33
n n n n
n x x x x dx n x xdx x xdx
−−
+ − − − = − − −
( )
1111
2 2 2 2 3 2 2
3 3 3 3 3 3 2 2
3
n n n n n n nnnn
n I n
n
I nI nI I nI nI I nI I
− − − −
+
 = −  + =  = 
 +=
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
b)
10
1 5 2n I I=  =
21
2 7 4n I I=  =
… ..….
… .......
… ……
… ……
( )
1
3 2 2
nn
n I nI − +=
Multiplions terme à terme :on obtient :
( ) ( )
0
5 7 ... 3 2 2 4 ... 2
n
n I n I   + =   
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
1 2 3 4 6 8 2 2 2
1 2 3 4 6 8 2 2 2
5 7 ... 2 1 3 2 2 1 2 ...
... nn
n n Inn
nn nI
          +   +
 =   
+
+  
( ) ( ) ( )
1
3 2 1 2
3 2 ! 2
2!
... 31
nn
n
nnn In
+
+
 = 
 +
( )
( )
1
1
3 2 ! 2!
2 1 !
nn
n
nI n
n+
+
+
=
+
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 2 2
12 ! 1 ! 2 ! 1 ! 2 ! ! 1
23 2 ! 3 2 ! 2 3 2 2 !
n n n
n
nn n n n n n n
In n n n
+ + +
++ +  +
 = = =
+ + +  +
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
22
1
2 ! 1 2 2 !
2 3 2 2 2 1 ! 2 3 2 1 !
nn
n n n
nnn nn
++=
+  +  + +  +
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2 ! 2 3 2 1 !
lim 0 lim 0 lim
2 3 2 1 ! 2 2 !
n
n
n n n n
nnn
Inn n
→+ →+ →+
+  +
=  =  = +
+  +