Suite et fonction Enonocée ( ) Soit f une fonction définie sur 0, + et dérivable sur 0, + donnée par f ( x ) = ln 1 + 1 * f est strictement croissante sur 0, + et pour tout x ,1 ; 4 *L’équation admet dans 0, + une unique solution f ( x) x et vérifiant : 2 . 3 U0 = 1 Et on Soit la suite ( U ) définie sur IN par : U n+1 = f ( un ) a)Montrer que pour tout n IN ; Un ,1 b)Etudier les variations de la suite ( U ) . c)Montrer que pour tout n IN ; U n +1 − 2 Un − . 3 n 2 d)En déduire que pour tout : n IN ; U n − . 3 e)En déduire que la suite (U) est convergente et déterminer sa limite. …………………………………………………………………………………………….. a) Par récurrence sur n. *Pour n = 0 : U0 = 1 ,1 donc c’est vérifiée. *Soit n IN , supposons que Un ,1 *Montrons que Un+1 , 1 ? -On a : U n 1 et f est strictement croissante sur ,1 -Donc : f ( ) f (Un ) f (1) -alors: Un+1 ln ( 2) 1 . Par suite Un+1 , 1 . Conclusion :d’après le principe de raisonnement par récurrence, on a : pour tout n IN ; U n ,1 b)n IN ; Un+1 − Un = f (U n ) − U n 0 car n IN ; U n , 1 x f ( x) − x 0 0 + 0 − + f est dérivable sur I c) 2 f ( x ) ; pour tout x de I donc, et comme U n et sont dans I, alors 3 d’après l’inégalité des accroissements finis On a :n IN : f (U n ) − f ( ) alors n IN : U n +1 − 2 U n − ; or comme f (U n ) = U n +1 et f ( ) = 3 2 Un − 3 f est dérivable sur I T .I . A.F : f ( x ) k ; pour tout x de I d). Par récurrence sur n. 0 2 *Pour n = 0 : U 0 − = 1 − = 1 donc c’est vérifiée. 3 pour tout a et b de I , f ( a ) − f ( b ) k a − b n 2 *Soit n IN , supposons que : U n − . 3 2 *Montrons que : U n+1 − 3 n +1 ? n 2 2 2 2 2 Un − = - On a : U n − 3 3 3 3 3 n 2 2 - comme : n IN ; U n +1 − U n − 3 3 2 - alors : U n+1 − 3 n +1 n +1 n +1 . n 2 Conclusion :d’après le principe de raisonnement par récurrence, on a : pour tout n IN ; U n − . 3 n 2 Un − 3 e) n 2 =0 nlim →+ 3 donc lim U n = x →+ U n − l Vn Si alors lim Vn = 0 x →+ lim U n = l x →+ Suite intégrale Enoncée n On donne la suite ( I n ) définie sur IN par : I0 = 0 1 − xdx et I n = 0 x 1 − xdx : 1 1 1-a)Calculer I 0 . b)Montrer que pour tout n de IN ; 0 I n 1 . c)Montrer que la suite I n est décroissante sur IN. d)Montrer que pour tout n de IN ; I n 1 . puis déterminer sa limite. n+1 2-a)A l’aide d’une intégration par parties , montrer que ( 2n + 3) I n = 2nI n−1 . b)En déduire I n en fonction de n puis retrouver sa limite. c)En déduire que nlim →+ ( 2n + 1 ) ! ( 2n + 3 ) ( 2 n !) n 2 Solution : 1-a) I 0 = 0 1 − xdx = − 0 1 1 ( ) 1 2 2 − 1 − x dx = − ( 1 − x ) 1 − x = . 3 0 3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2 1. 3 n n Pour n > 0 ; et pour tout x 0,1 ; 0 x 1 et 0 1 − x 1 0 x 1 − x 1 b)Pour n = 0 ; 0 I 0 = x n et x Et comme les fonctions x alors : 1 0 1 − x sont continues sur 0,1 0dx x n 1 − xdx 1dx 0 I n x 0 = 1 1 1 0 0 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. n +1 1 − xdx − x n 1 − xdx = x n 1 − x ( x − 1) dx c)Pour n > 0 ; I n+1 − I n = 0 x 0 0 1 Comme : x 0,1 ; 0 x n 1 1 1 − x 1 et − 1 x − 1 0 alors x x n 1 − x ( x − 1) est continue et négative sur 0,1 n Alors : n 0 ; x 0,1 on a :0 x 1 − x ( x − 1) dx 0 ce qui montrer que ( I n ) est décroissante sur IN.* 1 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. d) Pour n = 0 ; 0 I 0 = 2 1 =1. 3 0+1 n n Pour n > 0 ; et pour tout x 0,1 ; 0 1 − x 1 0 x 1 − x x x n et x Et comme les fonctions x x n 1 − x sont continues sur 0,1 1 x n+1 1 n n alors : 0dx x 1 − xdx x dx 0 I n = . 0 0 0 n + 10 n + 1 1 1 et lim = 0 donc lim I n = 0 . On a : n 1 ; 0 I n n→+ n + 1 n→+ n+1 1 1 1 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… U ( x ) = xn U ( x ) = nx n−1 1 On pose : 2 n 2-a) On a Pour n > 0 : I n = 0 x 1 − xdx V ( x ) = 1 − x V ( x ) = − ( 1 − x ) 1 − x 3 1 2 2 1 I n = − x n ( 1 − x ) 1 − x + n x n−1 ( 1 − x ) 1 − xdx 3 0 3 0 ( ) 2 1 2 =0 + n x n−1 1 − x − x n 1 − x dx = n 3 0 3 ( 1 0 x n−1 1 − xdx − x n 1 − xdx 1 0 ) 2 2 2 2 2 3 + 2n nI n−1 − nI n I n + nI n = nI n−1 I n = nI n−1 ( 3 + 2n ) I n = 2nI n−1 3 3 3 3 3 3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… b) n = 1 5 I1 = 2 I 0 Multiplions terme à terme :on obtient : 5 7 ... ( 3 + 2n) I n = ( 2 4 ... 2n) I 0 In = n = 2 7 I 2 = 4 I1 … ..…. … ....... … …… … …… ( 3 + 2n) In = 2nIn−1 1 2 3 4 5 6 7 8 ... ( 2n ) ( 2n + 1) ( 2n + 2 ) ( 3 + 2n ) I n = 2n ( 1 2 ... n ) I 0 1 2 3 4 6 8... ( 2n ) ( 2n + 2 ) 3 2 n +1 ( 3 + 2n ) ! I n 2 ( 3 + 2n ) ! I n n + 1 = 2n n ! n + 1 = 2 n! 1 2 ... ( n ) ( n + 1) 3 2 ( n + 1) ! 2n+1 n ! ( n + 1) ! 22 n+ 2 n ! ( n + 1) ! 22 n+ 2 n ! n ! ( n + 1) 2 n + 1 n !) ( n + 1 ) 2 ( 2 n n !) ( = = = ( 3 + 2n ) ! ( 3 + 2n ) ! ( 2n + 3 ) ( 2n + 2 ) ! ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 1 ) ! 2 In = 2 n +1 lim I n = 0 lim n →+ n →+ 2 ( 2n n !) 2 ( 2n + 3 ) ( 2n + 1 ) ! = 0 lim n →+ ( 2n + 3 ) ( 2n + 1 ) ! 2 ( 2n n !) 2 2 = +