ONDES Généralités Une vibration est une perturbation d’état (déformation) d’une substance ou d’un champ. C’est une grandeur physique en fonction du temps et de l’espace. - Les ondes progressives sont des vibrations qui se propagent dans un milieu. - Les ondes stationnaires, au contraire, oscillent sans se déplacer. C'est ce qui se passe lorsqu’une onde se réfléchit sur un miroir parfait. Exemple: les ondes stationnaires se forment dans les cavités laser. - Les ondes élastique ont besoins d’un milieu matériel pour se propager (ex : corde tendue et pincée, onde à la surface d’un liquide au repos, onde sonore ou acoustique qui ne se propage pas dans le vide ….. Dans ces cas ce n'est pas la matière qui est transportée, mais l'énergie. - Les ondes électromagnétiques se propagent même dans le vide. - Onde longitudinale : les vibrations du milieu se font dans la même direction que la propagation de l’onde (ex: les vibrations des ressorts, les ondes sonores…) - Onde transversale : les vibrations du milieu se font dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde (ex: les ondes électromagnétiques, les cordes vibrantes, onde à la surface de l’eau…) Dimension des ondes Equations de propagation de d’Alembert Quelque soit la nature d’une onde, on montre qu’une onde peut être représentée par une grandeur scalaire ou vectorielle qui dépend de l’espace et du temps s(x,y,z,t) régie par des équations différentielles du second ordre appelées équations de propagation de d’Alembert : Remarque : On préfère employer le mot célérité d’une onde au mot vitesse qu'on réserve à des particules matérielles. Il est important de comprendre que c'est l'onde, c'est-à-dire la perturbation, qui se propage à la célérité c, et non, quand il existe, le support matériel (la corde en elle-même ne se translate pas). Onde plane Dans le cas d’une onde à une dimension s = s(x,t), c’est une onde plane, l’équation devient : On montre que la solution de cette équation différentielle est : s(x, t) = f (t – x/c) + g(t + x/c) La solution s(x, t) est une fonction à deux inconnues x et t, mais l’onde est bien à une seule dimension spatiale x, car la déformation se fait par rapport à x. f (t – x/c) représente une onde qui se propage vers +x = onde progressive aller = onde incidente g(t + x/c) représente une onde qui se propage en sens inverse = onde retour = onde réfléchit (existe s’il y a obstacle). c est par définition la vitesse de phase de l'onde, constante dans un milieu homogène. Onde harmonique sinusoïdale progressive f(x,t) = a cosωt en x = 0 (à la source), a = amplitude ; ω = 2π/T = pulsation (rd/s) en un point situé à la distance x de la source la vibration sera la même qu’en x = 0 mais avec un retard égal à x/c : f(x,t) = a cosω(t – x/c) = a cos(ωt – ωx/c) ; ωx/c = représente le déphasage dû à la propagation or ωx/c = 2πx/Tc = 2πx/ λ avec λ = c T = longueur d'onde d’où f(x,t) = a cos2π(t/T – x/λ) : forme qui met en évidence la double périodicité de f(x,t): - La source subit périodiquement la même perturbation, T = périodicité temporelle ; - Les perturbations se propagent dans l’espace sous forme d'onde et la distance entre deux perturbations successives est λ = périodicité spatiale = chemin parcouru par l'onde pendant le temps T . Mais on utilise souvent la forme : f(x,t) = a cos (ωt – kx) puisque ωx/c = 2πx/ λ = kx avec k = 2π/λ = ω/c = nombre d’onde (m-1) Ecriture complexe d’une onde progressive Dans le cas général ou la direction de propagation est une direction quelconque u : Phénomène de dispersion En générale une onde n’est pas parfaitement sinus mais se présente sous la forme d’un paquet d’ondes qui en se propageant peut rencontrer un obstacle et subir une dispersion. Exemple 1 : La dispersion du son résulte de l’interaction de l’onde acoustique avec les innombrables obstacles qu’elle rencontre sur son chemin. Exemple 2 : La lumière en traversant un prisme se décompose, on observe un spectre, il y a dispersion. La dispersion est donc le phénomène affectant une onde dans un milieu dispersif, c'est-à-dire dans lequel les différentes fréquences constituant l'onde ne se propagent pas à la même vitesse. Les ondes de fréquence différentes se déplacent avec des vitesses différentes appelées vitesses de phase : vφ = dx/dt = ω/k vφ = dx/dt = ω/k et on montre que l’énergie transporté par l’onde (paquet d’onde) se déplace avec une vitesse de groupe : vg = dω/dk , vg < vφ Phénomène de battement Exemple du spectre à 2 composantes (modulation d’amplitude) : L’amplitude (la phase) se déplace à l’intérieur du groupe (enveloppe de la phase) On montre que la vitesse de phase et la vitesse de groupe sont liées par : vgvφ= constante Remarque : le vide n'est pas dispersif pour les ondes lumineuses. Dans ce cas la vitesse n’est pas fonction de la fréquence et chaque composante spectrale se propage sans déformation avec la même vitesse c. Dans un milieu transparent, elle diminue d’un facteur qui, par définition, est égal à l’indice de réfraction n du milieu : vφ = c/ n, c est la vitesse de la lumière dans le vide. Ondes électromagnétiques Les ondes électromagnétiques sont créées par la vibration d'une charge électrique. Le changement de position de la charge crée une perturbation du champ électrique et du champ magnétique, engendrant ainsi une onde électromagnétique, qui est transversale. Elles n'ont pas de support matériel, la perturbation étant immatérielle. Les ondes électromagnétiques n’ont pas besoin de support matériel, ils se propagent dans l’air comme dans le vide. Une onde électromagnétique est ainsi caractérisée par les 2 vecteurs E et B qui forme un plan d’onde. L’équation de d’Alembert se traduit par les équations de propagation champ électrique ou champ magnétique (l’onde électromagnétique est une onde associé à 2 variables couplées E et B) Avec ε = εr εo , μ = μr μo , μo = 4π10-7 H .m -1 Dans le vide : εr = μr = 1 → ε μ = εr εo μr μo = εo μo → c = 1/√ εo μo = 3.108 m .s-1 , εo = 8,85 10-12 F .m-1 Equations de Maxwell En électromagnétisme un milieu est caractérisé par une répartition de charge de densité ρ et une répartition de courant de densité j. Remarque Δ, rot et div sont des opérateurs mathématiques (applications en TD) . Dans le cas du milieu (vide) non chargé (ρ = 0) et isolant (j = 0) : Onde électromagnétique plane sinusoïdale, Polarisation Une onde électromagnétique est plane sinusoïdale si les champs électriques E et magnétique B ne sont fonctions que d’une coordonnée d’espace (l’abscisse z par exemple) et du temps t → Equation d’onde à une dimension Les expressions des champs E(z,t) et B(z,t) de l’onde plane qui se propage dans le vide suivant Oz sont : La polarisation caractérise l’évolution du vecteur E ou B dans le plan d’onde au cours de la propagation (voir TD vecteur de polarisation v , polarisation rectiligne, circulaire…) Une onde plane est dite polarisée si en chaque point de l’axe Oz de propagation, l’extrémité du vecteur champ électrique décrivant cette onde suit une courbe fermée au cours du temps. Si cette courbe est un segment de direction fixe, la polarisation est rectiligne, si c’est une ellipse, la polarisation est elliptique
