2. Statique des fluides

Statique des fluides | Physique • UE3
Tutorat Santé Lyon Sud
UE3
Statique des fluides
Cours du Professeur C.PAILLER-MATTEI
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SOMMAIRE
I. LES FORCES AGISSANT SUR UN FLUIDE ................................................................................................ 2
I.A. LES FORCES DE SURFACE...............................................................................................................................2
I.B. LES FORCES DE VOLUMES (A DISTANCE) ...........................................................................................................3
II. PRESSION .......................................................................................................................................... 3
II.A. ASPECT MICROSCOPIQUE ET ORIGINE PHYSIQUE (SIMPLIFIEE) .............................................................................3
II.B. NOTION DE PRESSION ET FORCE DE PRESSION ..................................................................................................3
II.C. UNITE DE PRESSION ....................................................................................................................................4
II.D. PRESSION ABSOLUE ET PRESSION RELATIVE......................................................................................................4
II.E. PRESSION EN UN POINT D’UN FLUIDE EN EQUILIBRE...........................................................................................4
III. RELATION FONDAMMENTALE DE LA STATIQUE DES FLUIDES .............................................................. 5
III.A. LOI DE LA STATIQUE DES FLUIDES : EXPRESSION 1D ..........................................................................................5
III.B. CONSEQUENCES........................................................................................................................................6
III.C. ASPECT ENERGETIQUE ................................................................................................................................7
III.D. APPLICATION ...........................................................................................................................................7
1. Cas d’un tube en U ...............................................................................................................................7
2. Modèle de l’atmosphère terrestre isotherme.......................................................................................8
IV. FORCES DE PRESSION ........................................................................................................................ 9
IV.A. FORCE DE PRESSION ELEMENTAIRES SUR UNE PAROI (CAS GENERAL) ...................................................................9
IV.B. FORCES DE PRESSION SUR UNE PAROI PLANE HORIZONTALE .............................................................................10
1. Calcul dans le cas d’un récipient de section constante .......................................................................10
2. Analyse du résultat précédent ; paradoxe de l’hydrostatique ............................................................10
IV.C. FORCE EXERCEE SUR UNE PAROI LATERALE ...................................................................................................11
1. Cas du tonneau rempli d’eau seul ......................................................................................................11
2. Lorsqu’on rajoute une colonne de liquide ..........................................................................................13
3. Application numérique .......................................................................................................................14
V. FORCE DE PRESSION SUR UN SOLIDE IMMERGE ................................................................................ 14
V.A. ASPECT THEORIQUE ..................................................................................................................................14
V.B. THEOREME D’ARCHIMEDE : ENONCE ET CONSEQUENCES .................................................................................15
1. Enoncé du théorème d’Archimède .....................................................................................................15
2. Conséquences : déplacement du corps solide S ..................................................................................15
3. Validité du théorème d’Archimède ....................................................................................................16
I. LES FORCES AGISSANT SUR UN FLUIDE
I.A. LES FORCES DE SURFACE
Les particules extérieures à la surface S exercent sur les particules intérieures à S des forces extérieurs
(forces moléculaire). Les actions des ces forces sont limitées aux particules très voisines de la surface S. On
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suppose qu’elles s’exercent uniquement sur les particules de la surface S et on les appelle forces de
surface. Elles sont proportionnelles aux éléments de surface.
I.B. LES FORCES DE VOLUMES (A DISTANCE)
Les champs de force (pesanteur, magnétique, électrique…) exercent sur les particules intérieures à S des
actions à distance (sans contact). Les actions de ces forces agissent sur l’ensemble du fluide délimité par la
surface fermée S. On les appelle force de volume.
Par la suite seules les forces de pesanteur seront considérées.
II. PRESSION
II.A. ASPECT MICROSCOPIQUE ET ORIGINE PHYSIQUE (SIMPLIFIEE)
A l’échelle moléculaire, un fluide au repos est composé de molécules
⃗⃗ résultant des interactions
qui sont animées d’une vitesse aléatoire 𝑉
entre elles (collisions, répulsions de Van der Waals). Cette vitesse est
fluctuante au gré des interactions et elle est d’autant plus grande que
la température est grande. Lorsqu’on place une paroi solide dans un
fluide, les molécules vont entrer en collision avec cette paroi. Si on
moyenne au cours du temps ces différentes impulsions, la pression est
donc le résultat des chocs moléculaires sur la paroi (transfert de
quantité de mouvement) et de l’interaction à courte portée (VDW des
molécules voisines de la paroi.
II.B. NOTION DE PRESSION ET FORCE DE PRESSION
Immergeons un corps solide (S) dans un fluide au repos (à l’équilibre).
Soit un point M quelconque de la surface du solide (S) et dS un élément
de surface entourant le point M. On note la normale à la surface dS
orientée du liquide vers le solide (action du liquide sur le solide). Il existe
une force élémentaire, notée
surface dS telle que :
, exercée par le fluide sur l’élément de
Avec : la force de pression en Newton, normale (perpendiculaire) à la surface.
-p, la pression en Pascal (Pa) qui est une grandeur scalaire positive.
La pression p est définie par :
𝑝=
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∥ 𝑑𝐹⃗ ∥
𝑑𝑆
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II.C. UNITE DE PRESSION
La pression peut être vue comme une force rapportée a la surface sur laquelle elle s’applique. Il existe
plusieurs unités de pression, dont l’utilisation dépend généralement de la discipline.
Sa dimension est
Elle a différentes unités, à savoir : le Pascal (Pa qui est en N.m¯ᶦ) dans le système international ou le bar
(1bar=10⁵ Pa), l’atmosphère (1 atm=101235 Pa), le mmHg (ou Torr, 1mmHg=133.3 Pa) dans différentes
disciplines.
II.D. PRESSION ABSOLUE ET PRESSION RELATIVE
La pression absolue utilise le vide comme point de départ sur l’échelle de mesure. Le vide représente le
zéro absolu (absence de pression). C’est celle calculée dans les exos.
La pression relative correspond à la pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique (qui est la
référence des pressions). Elle représente la différence entre la pression mesurée et la pression
atmosphérique existante (gonflage des pneumatiques par exemple).
II.E. PRESSION EN UN POINT D’UN FLUIDE EN EQUILIBRE
Choisissons un volume de fluide élémentaire de forme cylindrique. L’élément de fluide se trouve dans un
fluide au repos (à l’équilibre). Le cylindre de fluide est centré sur l’axe (Ox). Une seule de ses bases est
orthogonales a l’axe (Ox), l’autre fait un angle , avec l’axe (l’orientation de la surface est repérée grâce a
la normale).
Le bilan des forces extérieures appliquées sur l’élément
de fluide cylindrique est :
- Poids de l’élément fluide
- Forces de pression sur la paroi latérale de cylindre
Ces 2 forces existent mais sont orthogonales à Ox
donc leur projection est égale à 0. On ne les compte
pas.
-Forces de pression sur les surfaces dS1 et dS2 :
Appliquons le principe fondamental de la statique
sur l’axe Ox, on obtient :
à l’élément fluide cylindrique, en projection
Comme les surfaces dS1 et dS2 sont liées par :
On en déduit alors :
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La pression a même valeur sur dS1 et dS2.
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La pression p exercée sur une surface est indépendante de l’orientation de la surface considérée.
La pression est la même en tout point d’un même plan horizontal d’un fluide en équilibre (surface
isobare)
III. RELATION FONDAMMENTALE DE LA STATIQUE DES FLUIDES
La relation fondamentale de la statique des fluides est établie dans le cas d’un fluide placé dans le champ
de pesanteur (uniforme).
III.A. LOI DE LA STATIQUE DES FLUIDES : EXPRESSION 1D
Choisissons un élément de fluide cubique de volume élémentaire 𝑑𝒱, tel que 𝑑𝒱 =dxdydz. On note dm la
masse élémentaire de l’élément de fluide et on choisit d’orienter l’axe (Oz) comme indiqué sur la figure
(ascendant)
 Hypothèses :
La variation de pression dans le fluide ne dépend que de z. et le
fluide est en équilibre sous la seule action du champ de
pesanteur.
 Bilan des forces :
-poids de l’élément de fluide :
-force de pression sur la face inférieure (en z) (action du milieu extérieur sur le fluide) :
Dxdy=dS
-force de pression sur la face supérieure en z+dz) (action du milieu extérieur sur le fluide)

Principe fondamental de la statique appliqué à l’élément fluide :
Projection sur z :
(1)
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Ecrivons le développement limité au 1er ordre de
pour
, on obtient :
On obtient alors dans (1) :
Pour un fluide incompressible :
III.B. CONSEQUENCES
Les surfaces d’égale pression dans un fluide homogène sont des plans horizontaux (isobares). En effet
quand p=cste alors z=cste.
La différence de pression entre deux points quelconques A et B pris à l’intérieur d’un fluide ne dépend que
de la distance entre les deux points. Elle est égale au poids de la colonne de fluide ayant comme base
l’unité de surface et comme hauteur la différence d’altitude entre les deux points A et B.
On a :
avec
le poids volumique de fluide
⟹Expérience du tonneau de Pascal :
C’est une expérience qui montre que lorsqu’on ajoute une petite colonne d’eau à un tonneau qui en est
déjà rempli, le tonneau ne résiste pas aux forces de pression et explose.
Dans un fluide incompressible en équilibre, les forces de pression se transmettent intégralement (principe
de Pascal). D’après la relation précédente, la différence de pression pA-pB reste cste quelles que soient les
pressions (ne dépend que de la différence d’altitude zA-zB). Si pA varie, alors pB varie simultanément de la
même quantité.
-Enoncé du principe de Pascal :
Toute variation de pression, exercée en un point d’un fluide incompressible en équilibre, se transmet
en tous points de ce fluide avec la même intensité.
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-Démonstration :
Soient 2 point, A et B, d’un fluide incompressible, on a d’après la relation de la statique des fluides :
Si on introduit une augmentation de pression
A, qui maintient la relation vraie :
au point B, observe une variation de pression
en
III.C. ASPECT ENERGETIQUE
On a vu que dans le cas d’un fluide incompressible la différence de pression entre 2 points A et B était
donnée par :
Que l’on peut encore écrire :
La quantité
est l’énergie potentielle de pesanteur par unité de volume. Puisque la relation est
homogène
doit aussi avoir la dimension d’une énergie par unité de volume.
Ainsi,
est l’énergie potentielle par unité de volume du fluide à la cote z. la relation précédente
montre que l’énergie totale (mécanique d’un fluide immobile est conservée.
Ici, Em=Ep+Ec avec Ec=0 car statique. Donc, p(z) +
est Ep/volume
III.D. APPLICATION
1. Cas d’un tube en U
On dispose d’un tube en U rempli de 2 liquides incompressibles et non miscibles. Les 2 liquides ont des
masses volumiques différentes, notées respectivement 𝜌1 et 𝜌2 telles que 𝜌1 >𝜌2 . Le tube est ouvert sur
l’extérieur à la pression atmosphériques notée p0.
D’après la relation fondamentale de la statique des fluides (RFS) entre A et C on a :
D’où
(1)
D’après la RFS entre B et D on a :
D’où
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(2)
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Les points A et B sont à la pression atmosphérique p0, car situé sur la surface libre. Les points C et D sont à
la même pression (surfaces isobares) donc pC=pD
On a alors d’après (1) :
D’après (2) :
Comme pC=pD, on en déduit
2. Modèle de l’atmosphère terrestre isotherme
On se propose de déterminer la loi de variation de la pression atmosphérique en fonction de l’altitude dans
le cas d’une atmosphère isotherme.
Pour cela, nous nous limiterons à la première couche gazeuse (la troposphère). Nous supposerons que la
masse volumique
si la température
de l’air est proportionnelle à la pression
était cste à toute altitude.
, ce qui serait correct
On considère que :
D’après la RFS à une altitude z par rapport au sol, on a :
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La pression est une fonction exponentielle de l’altitude. Ce n’est pas une variation linéaire (plus on grimpe,
plus p est faible).
IV. FORCES DE PRESSION
IV.A. FORCE DE PRESSION ELEMENTAIRES SUR UNE PAROI (CAS GENERAL)
Soit un élément de surface dS, centré sur le point M, à la profondeur z au dessous de la surface livre d’un
liquide (incompressible) et
la normale sortante de la paroi. On note p0 la pression atmosphérique.
L’élément de surface est soumis aux deux forces élémentaires
action du liquide sur la paroi) et
(action de l’extérieur sur la paroi). Les deux forces sont normales à dS.

Expression de la pression au point M (RFS entre M et A) :

Expression de la résultante des forces de pression sur dS
-bilan des forces appliquées sur dS :
*force pression exercée par le liquide sur dS
*force de pression exercée par l’extérieur sur dS
-résultante des forces de pression élémentaires exercées sur dS :
La résultante des forces de pression ne tient compte que de l’action du liquide.
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IV.B. FORCES DE PRESSION SUR UNE PAROI PLANE HORIZONTALE
1. Calcul dans le cas d’un récipient de section constante
Soit un point M, situé sur le fond plat d’un récipient contentant un liquide incompressible de masse
volumique 𝜌. On appelle S la surface totale du fond plat du récipient. La hauteur du liquide dans le récipient
est notée z. le récipient est ouvert sur l’extérieur à la pression atmosphérique.
On cherche à déterminer la force de pression totale sur le fond plat du récipient.
On choisit un élément de surface dS, centré sur M, sur le fond plat du récipient. On écrit que la résultant
des forces de pressions exercée sur dS est telle que :
Suivant
:
Forces totales de pression :
Norme de la force totale de pression sur un fond plat
2. Analyse du résultat précédent ; paradoxe de l’hydrostatique
On vient de voir que la norme de la force de pression qui s’exerce sur le fond plat d’un récipient est de la
forme :
Cette forme dépend de la masse volumique du liquide, de la surface S du fond du récipient et de la hauteur
z du liquide dans le récipient. Elle est donc la même quelle que soit la forme des parois latérales des
récipients si ceux-ci ont la même surface de fond S, remplis du même liquide à une hauteur égale.
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Le produit (Sz) correspond au volume de cylindre de section S et de hauteur z. Dans le récipient 1, le
produit est égal au volume de liquide qu’il contient. Pour le cas numéro 2, le produit est supérieur au
volume de liquide qu’il contient. Dans le 3ème cas, le produit est inférieur au volume de liquide qu’il contient
(la quantité d’eau n’est pas portée par le fond mais par les parois…)
La force de pression est la même sur le fond des 3 récipients malgré le fait qu’il y ait plus ou moins de
liquide. Ce résultat est assez étonnant (paradoxe) car la force de pression sur le fond du récipient ne
dépend pas de la quantité de liquide présente dans le récipient mais uniquement du poids de la
colonne de liquide réelle ou virtuelle située à la verticale du fond.
IV.C. FORCE EXERCEE SUR UNE PAROI LATERALE
⇒Expérience du tonneau de Pascal :
Cette expérience a montré que la pression ne dépend pas de la quantité de liquide mais de la hauteur
d’une colonne de liquide.
Nous allons donc calculer les forces de pressions exercées sur les douves du tonneau, pour mieux
comprendre pourquoi celui-ci casse sous l’effet d’une faible quantité de liquide supplémentaire.
Un tonneau de 1m de hauteur est rempli jusqu’à son extrémité supérieure avec 200L d’eau.
1. Cas du tonneau rempli d’eau seul
On va déterminer dans un premier temps la pression en un point M à l’intérieur du tonneau et la force de
pression s’exerçant sur une douve.
On choisit un point M à l’intérieur du tonneau. Soit h la hauteur totale du tonneau et z l’altitude d’un point
M quelconque sur la surface du tonneau (altitude prise par rapport à 0). On note S un point de la surface
ouverte du tonneau. La pression à l’extérieur du tonneau est égale à la pression atmosphérique, p0 :
-Expression de la pression au point M :
-Expression de la résultante des forces de pression sur une douve
On considère que la douve est de forme rectangulaire (hypothèse), de hauteur h et de largeur l. On note
également S la surface rectangulaire de la douve telle que S=hxl
⇒Bilan des forces appliquées sur la douve :
- Force de pression exercée par
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le
liquide
sur
une
douve
au
point
M
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La force de pression du liquide sur la douve dépend de l’altitude au point M.
Pour déterminer la résultante des forces de pression sur la douve, il faut intégrer
sur toute la
surface de la douve.
L’expression de la force de pression est une expression vectorielle, afin d’intégrer la force de pression sur
toute la surface de la douve, on projette l’expression vectorielle suivant la normale pour obtenir une
expression scalaire telle que :
Suivant
:
La résultante des forces de pression (liquide sur la douve) sur la douve s’écrit alors :
Avec dS l’élément de surface en coordonnées cartésiennes : dS=dxdz
La résultante des forces de pression s’applique au milieu de la surface :
la norme de la résultante des forces de la pression exercée par le liquide sur une douve.
-Force de pression exercée par l’extérieur sur une douve
On considère que la pression atmosphérique est la même sur toute la hauteur du tonneau :
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Pour déterminer la résultante des forces de pression sur la douve, il faut intégrer
surface de la douve.
Après projection de
sur toute la
suivant , on obtient :
La norme de la résultante des forces de pression sur la douve s’écrit alors :
⇒Résultante des forces de pression sur une douve
La résultante des forces de pression s’écrit :
Norme de la résultante des forces de pression sur une douve
2. Lorsqu’on rajoute une colonne de liquide
On reprend le même tonneau que précédemment et on rajoute une colonne de liquide de hauteur H.
Par analogie avec les résultats précédents, la pression p(z) est telle que :
De la même manière, la norme de la force de pression exercée sur une douve est égale à :
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3. Application numérique
La quantité n’importe pas, seulement la hauteur de la colonne d’eau.
V. FORCE DE PRESSION SUR UN SOLIDE IMMERGE
V.A. ASPECT THEORIQUE
On considère un corps solide S de masse volumique 𝜌, immergé dans un fluide en équilibre de masse
volumique 𝜌0 .
⇒Bilan de forces extérieures appliquées sur S
-Force de pression exercée par le liquide sur S (force de surface)
On note
la force de pression élémentaire du liquide/fluide
sur un élément de surface dS du solide S.
Pas conséquent, la résultante des forces de pression agissant sur S,
est notée.
-Le poids de S (force volumique)
On note
le poids de S tel que
.
Remplaçons à présent par la pensée le solide S par une surface fermée F de même forme, et de même
volume, contentant la quantité de fluide préalablement déplacée par le solide S quand il était immergé.
⇒Bilan des forces appliquées sur F
-Force de pression exercée par le liquide sur F (force de surface)
On note
la force de pression élémentaire de liquide/fluide sur un élément de la surface dS de F.
La résultante des forces de pression agissant sur F est alors :
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-Le poids de F (force volumique)
On note
le poids de F tel que
.
Le système F étant à l’équilibre, on a. :
On en déduit la résultante des forces de pression exercées par
le fluide sur le solide S immergé, appelé, poussé d’Archimède,
notée
telle que :
V.B. THEOREME D’ARCHIMEDE : ENONCE ET CONSEQUENCES
1. Enoncé du théorème d’Archimède
Tout corps solide immergé dans un fluide en équilibre subit une force égale et opposée au poids du
fluide déplacé.
Cette force est appelée poussée d’Archimède, elle n’a pas de composante horizontale. Elle est égale et
opposée au poids du fluide contenu dans F (donc vers le haut). Elle s’applique au centre de poussée C
(=centre de carène) de S. Lorsque le solide est homogène et parfaitement immergé, le centre de carène
correspond au centre de gravité.
2. Conséquences : déplacement du corps solide S
A l’équilibre, on a :
.
La résultante des forces totale appliquée sur S s’écrit alors :
-si :
, alors la résultante des forces totales appliquée sur S est positive, le solide coule.
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-si :
surface.
-si :
équilibre).
, alors la résultante des forces totales appliquée sur S est négative, le solide remonte vers la
, alors la résultante des forces totales appliquée sur le solide est nulle, le solide flotte (en
3. Validité du théorème d’Archimède
Ce théorème n’est valable que si le(s) fluide(s) sont en équilibre. Il s’applique aussi bien pour un solide
totalement immergé dans un unique fluide que pour un solide immergé dans plusieurs fluides (eau+air par
ex). Chacune des parties du solide est alors soumise à une poussée égale et opposée au poids du fluide
déplacé.
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