trigonometrie

Rappels de math
Trigonométrie
Trigonométrie.
r r
det (u , v )
sin θ = r
r
u ⋅ v
r r
u ⋅v
cos θ = r
r
u ⋅ v
tan θ =
sin θ
cos θ
cotanθ =
θ
0
π
cos θ
1
3
sin θ
0
1
tan θ
0
1
6
π
2
2
3
4
2
2
1
2
2
π
3
π
1
2
3
2
3
2
0
cos 2 θ + sin 2 θ = 1
1
1 + tan 2 θ =
∞
1
cos 2 θ
sin (− θ ) = − sin θ
cos(− θ ) = cos θ
tan (− θ ) = − tan θ
π

sin (θ ) = cos − θ 
2

π

cos(θ ) = sin  − θ 
2

π

tan (θ ) = cotan  − θ 
2

Formule d’Al Kashi
a = b + c − 2bc cos Aˆ
2
2
2
c
a
Â
b
cos (a + b ) = cos a. cos b − sin a. sin b
cos 2a = cos 2 a − sin 2 b
cos (a − b ) = cos a. cos b + sin a. sin b
cos 2a = 2 cos 2 a − 1
sin (a + b ) = sin a. cos b + cos a. sin b
cos 2a = 1 − 2 sin 2 a
sin (a − b ) = sin a. cos b − cos a. sin b
sin 2a = 2 sin a. cos a
2 cos a. cos b = cos (a + b ) + cos (a − b )
2 sin a. sin b = cos (a − b ) − cos (a + b )
2 sin a. cos b = sin (a + b ) + sin (a − b )
2 cos a. sin b = sin (a + b ) − sin (a − b )
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1
cos θ
sin θ
Rappels de math
Trigonométrie
On pose a + b = p et a – b =q
 p+q
 p−q
cos p + cos q = 2 cos 
. cos 

 2 
 2 
 p+q
 p−q
sin p + sin q = 2 sin 
. cos 

 2 
 2 
 p+q
 p−q
cos p − cos q = −2 sin 
. sin 

 2 
 2 
 p+q
 p−q
sin p − sin q = 2 cos 
. sin 

 2 
 2 
tan (a + b ) =
tan a + tan b
1 − tan a. tan b
tan p + tan q =
sin ( p + q )
cos p. cos q
tan (a − b ) =
tan a − tan b
1 + tan a. tan b
tan p − tan q =
sin ( p − q )
cos p. cos q
( 2)
Avec t = tan a
A cos θ + B sin θ =
cos a =
1− t2
1+ t2
sin a =
2t
1+ t2
tan a =
2
1− t2

 − B 
A 2 + B 2 . cos θ + arctan 

 A 

Formules d’Euler
cos θ =
e jθ + e − jθ
2
(cos θ )′ = − sin θ
sin θ =
e jθ − e − jθ
2j
(sin θ )′ = cos θ
(tan θ )′ =
Formule de Moivre
e jθ = cos θ + j sin θ
(e ) = (cos θ + j sin θ )
jθ n
n
= cos(nθ ) + j sin (nθ )
Pour obtenir les formules avec ch, sh et th (cosinus hyperbolique, etc.)
cos ch
sin jsh
tan jth
ch ( argsh x ) = 1 + x 2
argsh x = ln x + x 2 + 1
argch x = ln x + x 2 − 1
argth x = 1
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2
2 ln(1 + x 1 − x )
1
cos 2 θ
Rappels de math
Trigonométrie
arccos x + arccos(− x) = π
cos(arcsin x ) = 1 − x 2
arccos x + arcsin x = π / 2
arctan x + arctan 1 = π / 2
x
sin (arccos x ) = 1 − x 2
Quelques primitives :
1
1+ x2
1
1− x
2
1
x −1
2
1
1− x2
arctan x
1
arcsin x – arccos x
1+ x2
1
argch x
x +a
2
(
1
cos x
ln tan x + π
2
4
1
ch x
2 arctan e x
)
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3
arcth x
argsh x
ln x + x 2 + a
( 2)
1
sin x
ln tan x
1
sh x
ln th x
( 2)