trigonometrie

Rappels de math Trigonométrie
www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2009 1
Trigonométrie.
vu vu rr
r
r
⋅
⋅
= θ cos
(
)
vu vu rr
r
r
⋅
=,det sin θ
θ
θ
θ
cos
sin
tan =
θ
θ
θ
sin
cos
cotan =
∞31
3
1
0tan
1
2
3
2
2
2
1
0sin
0
2
1
2
2
2
3
1cos
2346
0
θ
θ
θ
ππππ
θ
1sincos
22
=+ θθ
(
)
θθ sinsin −=−
(
)
θθ coscos =−
(
)
θθ tantan −=−
( )
−=
θ
π
θ
2
cossin
( )
−=
θ
π
θ
2
sincos
( )
−=
θ
π
θ
2
cotantan
Formule d’Al Kashi
Abccba
ˆ
cos2
222
−+=
(
)
bababa sin.sincos.coscos −=+ baa
22
sincos2cos −=
(
)
bababa sin.sincos.coscos +=− 1cos22cos
2
−= aa
(
)
bababa sin.coscos.sinsin +=+ aa
2
sin212cos −=
(
)
bababa sin.coscos.sinsin −=− aaa cos.sin22sin
=
(
)
(
)
bababa −++= coscoscos.cos2
(
)
(
)
bababa +−−= coscossin.sin2
(
)
(
)
bababa −++= sinsincos.sin2
(
)
(
)
bababa −−+= sinsinsin.cos2
θ
θ
2
2
cos
1
tan1 =+
a
b
c
Âa
b
c
Â

Rappels de math Trigonométrie
www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2009 2
On pose a + b = p et a – b =q
− +
=+ 2 cos.
2
cos2coscos qpqp qp 
− +
=+ 2 cos.
2
sin2sinsin qpqp qp
− +
−=− 2 sin.
2
sin2coscos qpqp qp 
− +
=− 2 sin.
2
cos2sinsin qpqp qp
( )
b
a
ba
ba
tan
.
tan
1
tantan
tan −
+
=+
(
)
qp qp
qp
cos.cos
sin
tantan
+
=+
( )
b
a
ba
ba
tan
.
tan
1
tantan
tan
+
−
=−
(
)
qp qp
qp
cos.cos
sin
tantan
−
=−
Avec
(
)
2
tan
a
t=
2
2
1
1
cos
t
t
a
+
−
=
2
1
2
sin
t
t
a
+
=
2
1
2
tan
t
a
−
=
−
++=+ A
B
BABA arctancos.sincos
22
θθθ
Formules d’Euler
2
cos
θθ
θ
jj
ee
−
+
=
j
ee
jj
2
sin
θθ
θ
−
−
=
( ) θθ sincos −=
′
( ) θθ cossin =
′
( )
θ
θ
2
cos
1
tan =
′
Formule de Moivre
θθ
θ
sincos je
j
+=
(
)
( ) ( ) ( ) θθθθ
θ
njnje
n
n
j
sincossincos +=+=
Pour obtenir les formules avec ch, sh et th (cosinus hyperbolique, etc.)
cos ch sin jsh tan jth
ch ( argsh x ) =
2
1x+ argsh x = 1ln
2
++ xx
argch x = 1ln
2
−+ xx argth x =
( )
xx −+ 11ln2
1

Rappels de math Trigonométrie
www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2009 3
π
=
−
+
)arccos(arccos xx ( )
2
1arcsincos xx −= ( )
2
1arccossin xx −=
2/arcsinarccos
π
=
+
xx 2/
1
arctanarctan π =+
x
x
Quelques primitives :
2
1
1
x
+
x
arctan
2
1
1
x
−
arcth x
2
1
1
x− arcsin x – arccos x
2
1
1
x+ argsh x
1
1
2
−x argch x ax +
2
1 axx ++
2
ln
x
cos
1
(
)
42
tanln
π
+
x
x
sin
1
(
)
2
tanln x
xch
1
x
earctan2 xsh
1
(
)
2
ln x th