Devoir de Contrôle N°1 - Math - Bac Mathématiques (2017-2018) Mr S-SOLA

Lycée Cité El-amel
Sola Saidi & Mokhtar Ouardani
Devoir de contrôle n°1
( Mathématiques )
Année scolaire : 2017/2018
ème
Classes : 4
Maths 1 & 2Ali
A
Exercice n° 1
( 5 points )
 x2 + 1 − 1
si x ≤ 0

Soit f la fonction définie sur  par: f(x) =  sin(x) − x
.
si x  0


x

On désigne par Cf sa représentative dans un repère orthonormé (O,i, j) .
1) Montrer que f est continue en 0.
2) a- Montrer que la droite Δ : y =− x − 1 est une asymptote oblique à Cf au voisinage de −∞ .
b- Montrer que lim f(x) = −1.
x →+∞
c- Calculer f0 f(π ) et lim f0 f(x) .
x →−∞
π
d- Montrer que 2f(x) + 1 =
0 admet au moins une solution dans ] π ,[ .
2
 f(tan(x))π
si −  x  0
π

3) Soit g la fonction définie sur ] − ,0 ] par: g(x) =  tan(x)
2
.
2
0
si x =0.

π
1 − cos(x)
a- Montrer que pour tout x ∈] − ,0[ , g(x) =
.
2
sin(x)
b- En déduire que g est continue à gauche en 0.
Exercice n° 2
( 7 points )
I) On Considère l’équation (E) : z3 + 2z² + 2z + 1 =
0.
1) a- Vérifier que −1 est une solution de (E).
b- Résoudre dans  l’équation (E).
1
3
1
3
+
i , q =− −
i et k =-1.
2 2
2 2
a- Montrer que P , Q et K appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 1.
b- Déterminer l’ensemble Δ des points d’affixes z tels que z= z + 1 .
2) On note P, Q et K les points d’affixes respectives p =−
c- Montrer que P et Q sont les points d’intersection de C et Δ .
d- Construire alors P et Q.
 
II) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v) , on considère
trois points A , B et C d’affixes respectives trois nombres complexes non nuls a,b et c.
On suppose que l’origine O du repère est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle
circonscrit du triangle ABC.
b
c
1) a- Montrer que a= b= c . En déduire que = = 1.
a
a
b- Montrer que a + b + c =
0.
b
b
c- Montrer que
=
+ 1 = 1.
a
a
b
b
d- En déduire en utilisant la partie I) que = p ou = q .
a
a
2) Dans cette question on admet que
b
c
= p et = q .
a
a
π
i
q −1
=e3.
p −1
q −1 c − a
b- Montrer que
.
=
p −1 b − a
c- Déduire de deux questions précédentes la nature du triangle ABC.
a- Montrer que
Exercice n° 3
( 8 points )
u0 = 0

On considère la suite (un ) définie sur  par: 
.
un + 6
un+1
, ∀ n∈
=
un + 2

1) Montrer que pour tout n ∈  , un ≥ 0 .
2) Soit f la fonction définie sur [ 0, + ∞ [ par: f(x)=
7
16
.
−
3 3(3x + 10)
a- Vérifier que pour tout n ∈  , un+ 2 = f(un ) .
b- Montrer par récurrence que pour tout n ∈  , u2n ≤ 2 ≤ u2n+1 .
c- En déduire que si (un ) converge alors lim un = 2 .
n→+∞
3) a- Montrer que pour tout n ∈  , un+1 − 2 ≤
b- En déduire que pour tout n ∈  , un − 2 ≤
1
un − 2 .
2
1
.
2n−1
c- Calcul alors lim un .
n→+∞
4) Soit les suites (an ), et (bn ) définies sur  ∗ par: an=
1 n
1 n
∑ u2k +1
∑ u2k , et bn=
n k =1
n k =1
k
2
 1
a- Montrer que pour tout entier naturel k on a: 2 − k ≤ u2k ≤ 2 et 2 ≤ u2k +1 ≤ 2 +   .
4
4
=
an lim
=
bn 2 .
b- En déduire que lim
n→+∞
n→+∞