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Devoir de Contrôle N°1 - Math - Bac Mathématiques (2017-2018) Mr Bouzouraa.Anis

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Prof :B.Anis
L.S.ElKsour
Devoir de contrôle n°1
Durée :2h
Niveau :4èmesc-exp1
A.S :2017-2018
Exercice n°1(5pts)
Soit 𝛼𝛼 ∈ ]0, 𝜋𝜋[.
I)1)Vérifier que 𝑒𝑒 2𝑖𝑖𝑖𝑖 − 2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1
2)Résoudre dans ℂ l’équation :𝑧𝑧 2 − 2𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑧𝑧 − 2𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 0
3)Résoudre alors dans ℂ l’équation :𝑧𝑧 4 − 2𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑧𝑧 2 − 2𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 0.
(On donnera les solutions sous forme exponentielle)
�⃗, 𝑉𝑉
�⃗ �.On considère
II)Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct �𝑂𝑂, 𝑈𝑈
les points A ,B et C d’affixes respectives : 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 1
1)Montrer que A est le milieu du segment [BC].
𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝛼𝛼
2)a)Vérifier que 1 + 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 2 cos � � 𝑒𝑒 𝑖𝑖 2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 1 = 2𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖( )𝑒𝑒 𝑖𝑖 2 .
2
2
�����⃗ sont orthogonaux.
�����⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑂𝑂𝑂𝑂
b)En déduire que les vecteurs 𝑂𝑂𝑂𝑂
c)Déterminer 𝛼𝛼 pour que le triangle OBC soit isocèle.
Exercice n°2(4pts)
𝜋𝜋
Pour tout entier n≥ 2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜃𝜃 ∈ �0, �.On considère l’équation
( E ) :(𝑧𝑧 − 1)𝑛𝑛−1 = 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑧𝑧̅ − 1)
2
1)Déterminer les racines nième de 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 .
2)Vérifier que 1 est une solution de ( E ).
3)Soit z une solution de ( E ) différent de 1.Montrer que :|𝑧𝑧 − 1| = 1 et en
déduire que 𝑧𝑧̅ − 1 =
1
𝑧𝑧−1
.
4)a)Soit z un nombre complexe différent de 1 : z est solution de ( E ) si et
seulement si (𝑧𝑧 − 1)𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 .
b)En déduire les solutions de ( E ).
Exercice n°3(5pts)
1
Soit la suite U définie sur IN par :𝑈𝑈0 =
2
1)a)Montrer que :0 < 𝑈𝑈𝑛𝑛 < 1 ∀𝑛𝑛 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑈𝑈𝑛𝑛+1 = �
1+𝑈𝑈𝑛𝑛 2
2
∀𝑛𝑛 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼.
b)Montrer que ( 𝑈𝑈𝑛𝑛 ) est croissante .En déduire qu’elle est convergente.
2
2)a)Montrer que pour tout n∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎: 0 < 1 − 𝑈𝑈𝑛𝑛+1 < (1 − 𝑈𝑈𝑛𝑛 ) ∀ 𝑛𝑛 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼.
1 2 𝑛𝑛
b)En déduire que :|𝑈𝑈𝑛𝑛 − 1| ≤ � �
2 3
c)Calculer lim𝑛𝑛→+∞ 𝑈𝑈𝑛𝑛 .
∀𝑛𝑛 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼.
3
3)On pose S n =∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝑈𝑈𝑘𝑘2 ∀ 𝑛𝑛 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ∗
2
2
a)Montrer que : 𝑈𝑈𝑘𝑘+1
− 𝑈𝑈𝑘𝑘2 = 1 − 𝑈𝑈𝑘𝑘+1
∀𝑘𝑘 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ∗
b)En déduire que : 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 − 1 + 2𝑈𝑈12 − 𝑈𝑈𝑛𝑛2 ∀𝑛𝑛 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ∗
3
1
c)Montrer que : 𝑛𝑛 − < 𝑆𝑆𝑛𝑛 < 𝑛𝑛 + ∀ 𝑛𝑛 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼 ∗ .En déduire lim𝑛𝑛→+∞ 𝑆𝑆𝑛𝑛 .
Exercice n°4(6pts)
4
4
𝑥𝑥 − √1 − 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≤ 1
Soit f la fonction définie sur IR par f(x)=� 𝑥𝑥+cos ⁡(𝜋𝜋𝜋𝜋 )
𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 > 1
1)a)Monter que lim𝑥𝑥→1
b)Vérifier que f(x)= 1 +
1+cos ⁡
(𝜋𝜋𝜋𝜋 )
𝑥𝑥−1
1+cos ⁡
(𝜋𝜋𝜋𝜋 )
𝑥𝑥−1
2)a)Montrer que 1 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤
𝑥𝑥+1
𝑥𝑥−1
= 0.
𝑥𝑥−1
∀𝑥𝑥 > 1 .En déduire que f est continue en 1.
b)Déterminer alors lim𝑥𝑥→+∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
∀𝑥𝑥 > 1
3)a)Montrer que f est strictement croissante sur l’intervalle 𝐼𝐼 = ]−∞, 1].
b)En déduire que f(𝐼𝐼) = 𝐼𝐼.
c)Montrer que l’équation f(x)+x2=0 admet une seule solution 𝛼𝛼𝛼𝛼[0; 1]
et que 0 < 𝛼𝛼 <
1
2
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