Développement : Étude de la loi Gamma
Leçons : 236, 239, 245, 261, 263.
Z
+∞
Lemme. On pose, pour a > 0, Γ(a) =
xa−1 e−x dx.
0
Cette intégrale est bien définie et vérifie ∀a > 0, Γ(a + 1) = aΓ(a).
Démonstration.
On pose g(x) = xa−1 e−x . g définie, continue, strictement positive sur R∗+ . En +∞, on a g(x) = o( x12 ) donc pour
Z +∞
tout A > 0,
g(x)dx est définie. Si a ≥ 1, g définie et continue en 0 donc Γ(a) est bien définie. Si 0 < a < 1, on
A
a e−x xa−1 ∼ xa−1 au voisinage de 0, donc Γ(a) est toujours bien définie.
Z L
Z L
L
On a alors Γ(a + 1) = lim
xa e−x dx = lim −xa e−x 1/L +
axa−1 e−x dx = aΓ(a).
L→+∞
L→+∞
1/L
1/L
Soient a, λ > 0. On considère une variable aléatoire X de densité donnée par f (x) =
λa −λx a−1
e
x
1R+ (x) par
Γ(a)
rapport à la mesure de Lebesgue.
Z +∞
Z +∞
λa
1
xa−1 e−λx dx =
ua−1 e−u du = 1
Γ(a) 0
Γ(a) 0
−∞
(on a fait le changement de variables u = λx). Comme f est positive, c’est une densité de probabilité.
Z
+∞
f (x)dx =
Étape 1 : C’est une densité de probabilité.
Étape 2 : Calcul de l’espérance.
Z +∞
Z +∞
λa Γ(a + 1)
a
λa
xa e−λx dx =
= .
On a E[X] =
xf (x)dx =
a+1
Γ(a)
Γ(a)
λ
λ
0
−∞
Étape 3 : Calcul de la variance.
Z +∞
Z +∞
a(a + 1)
λa Γ(a + 2)
λa
2
2
=
.
xa+1 e−λx dx =
x g(x)dx =
On a E[X ] =
a+2
Γ(a)
Γ(a)
λ
λ2
0
−∞
a(a + 1) − a2
a
D’où Var(X) = E[X 2 ] − E[X]2 =
= 2.
λ2
λ
Étape 4 : Transformée de Laplace.
Z +∞
λa
xa−1 e(t−λ)x dx.
Γ(a) 0
L’intégrande est toujours intégrable au voisinage de 0 si a > 0, et intégrable au voisinage de +∞ ssi t − λ < 0. LX
u
est donc bien définie sur ] − ∞, λ[, et alors en faisant le changement de variables x = λ−t
, on a
a
a−1
a Z +∞
u
du
λ
λ
e−u
=
.
LX (t) =
Γ(a) 0
(λ − t)a−1
λ−t
λ−t
Elle est donnée, lorsqu’elle est définie, par LX (t) = E[etX ] =
Étape 5 : Fonction caractéristique.
λa
]=
Γ(a)
Z
+∞
xa−1 e−(λ−it)x dx.
Z +∞
λa
On pose D = {z ∈ C, <(z) < λ} et pour z ∈ D, F (z) =
xa−1 e(z−λ)x dx. Montrons que F holomorphe sur
Γ(a) 0
D : on pose ϕ(x, z) = xa−1 e(z−λ)x . On a pour tout z ∈ D, ϕ(·, z) mesurable, pour tout x ∈ R∗+ , ϕ(x, ·) holomorphe.
Soit ε > 0, soit z ∈ D tel que <(z) < λ − ε. Alors |ϕ(x, z)| = xa−1 e(<(z)−λ)x ≤ e−εx xa−1 ∈ L1 (R+ ). On peut
appliquer le théorème d’holomorphie des intégrales à paramètre : F est holomorphe sur D.
a
a log(λ−z)
De plus, si z ∈ D, on a <(λ − z)> 0, on
où log est la détermination principale
apeut donc écrire (λ − z) = e
λ
du logarithme. Ainsi, G(z) :=
prolonge LX sur D. F et G coı̈ncident sur ] − ∞, λ[, donc par le théorème
λ−z
a
λ
des zéros isolés, F = G sur D et pour tout t ∈ R, ϕX (t) = F (it) =
.
λ − it
Elle est donnée par φX (t) = E[e
itX
0
1
Références
M. Cottrell et al., Exercices de probabilités, Cassini, pp. 82 et 121.
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