Telechargé par yakout

T en z

publicité
EXERCICES SUR LA TRANSFORMEE EN Z
Exercice 1
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
0,55
0,44
0,33
Donner la transformée en z de la fonction
numérique discrète x(n) représentée par le
graphique ci-contre (elle est aussi nulle dans les
parties non représentées).
0,11
-0,25
-0,35
-5
0
5
10
X(z) = 0,55 + 0,44 z-1 + 0,33 z-2 +0,11 z-3 - 0,35 z-4 - 0,25 z-5
Exercice 2
Calculer la transformée en z de la fonction causale suivante et calculer ses zéros et/ou ses
pôles.
n
0
1
2
3
4
5...∞
x(n)
1
4
6
4
1
0...0
( z 4 + 4 z 3 + 6 z 2 + 4 z1 + 1)
4
X ( z )=z − 4 ( z + 1)( z 3+3z 2+3z +1) = z − 4 ( z + 1)( z + 1)( z 2+2 z+1) = z − 4 ( z + 1) 4 = (1 + z −1)
X ( z )=1 + 4z -1 + 6z -2 + 4z -3 + z -4 =z
−4
Zéros z=-1 quadruple, bien entendu pas de pôle.
Même question pour la fonction causale suivante.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8...∞
y(n)
0
0
0
1
4
6
4
1
0...0
(
Y ( z )=z − 3 1 + z −1
)4
Exercice 3
Calculer la transformée en z des fonctions discrètes suivantes. Vérifier que les théorèmes
de la valeur initiale et finale s'appliquent.
x( n) = 0,8 n u( n )
et
y( n) = n 0,8n u( n ) .
z
X ( z) =
z − 0.8 et
⎛ z ⎞
d⎜
⎟
⎝ z − 0.8 ⎠
− 0 ,8
0 ,8 z
Y( z) = − z
= −z
2 =
dz
( z − 0 ,8)
( z − 0 ,8) 2
z
=1
z →∞ z − 0.8
x( 0) = lim
z ( z − 1)
=0
z →1 z − 0.8
x( ∞) = lim
x ( 0) = lim
0 ,8 z
2
z →∞ ( z − 0 ,8)
x( ∞) = lim
=0
0 ,8 z ( z −1)
z →1
( z − 0 ,8) 2
=0
Exercice 4
Trouver la séquence y(n) qui a comme transformée en z :
Y( z) =
1
6− 5z −1 + z − 2
.
0,2
Y( z) =
0,15
0,1
1
6−5 z
−1
()
+z
−2
=
z2
= z − z =1 z −1 z
6 z − 5 z +1 2 z −1 3z −1 2 z − 12 3 z − 13
2
()
()
()
n
n
⎡ n +1 1 n +1 ⎤
y( n) = 12 12 u( n) − 13 13 u( n) = ⎢ 12
− 3
⎥⎦ u( n) .
⎣
0,05
0
0
5
10
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,1667 0,1389 0,0880 0,0502 0,0271 0,0143 0,0074 0,0038 0,0019 0,0010 0,0005
Exercice 5
2 2
z
2
X ( z) = 2
z − 0.8 2 z + 0,64 est la transformée en z ?
De quelle fonction x(n) la fonction
[
]
x( n ) = 0 ,8 n cos π4 ( n − 1) u( n)
Exercice 6
Quelles sont les transformées en z de :
()
n−2
n
x2 ( n) = ( 12 ) ( 13 ) u( n)
2)
n
x3( n) = n ( 13 ) u( n)
.
3)
1)
n
x1( n) = 13 u( n)
z
1)
3z
3z − 1
=
z − 13
4z
()
n
x ( n) = 4 16 u( n)
z − 16
2) 2
a pour transformée
1
3
3)
z
3z
=
2
( 3z − 1) 2
z − 13
( )
Exercice 7
[
)]
(
x( n) = 1 − sin n6π − π3 u( n)
1) Donner la transformée en z de la fonction discrète
.
En déduire les transformées en z de :
[
( )] u(n − 1)
y( n) = e −2 n [1 − sin( n6π − π3 )] u( n)
3)
.
g( n) = n [1 − sin( n6π − π3 )] u( n)
4)
x ( n) = 1 + cos n6π
2) 1
[
X ( z) =
)]
(
x( n) = 1 − sin n6π − π3 u( n)
1)
2)
3)
[
z −
z −1
( )] u( n − 1) = x( n − 1)
[
(
y ( n) = e − 2 n 1 − sin n6π − π3
[
(
g( n) = n 1 − sin n6π − π3
4)
)] u(n) = (e )
)] u(n) = n x(n)
Formules développées :
X (z) =
1+
(
3⎞
3 ⎛
− ⎜1+ 3 ⎟ z −1 + 2 z − 2
2 ⎠
2 ⎝
)
(
)
1− 1+ 3 z −1 + 1+ 3 z − 2 + z − 3
π
z 2 − 2 cos z +1
6
=
3
z− z2
2
z −
z −1 z 2 − 3 z +1
X1( z ) = z −1 X ( z ) = z 1−1 −
x1( n) = 1 + cos n6π
−2 n
π
⎛π π⎞
− z 2 sin + z sin⎜ + ⎟
⎝ 6 3⎠
3
x( n)
3
z
2
z 2 − 3 z +1
1−
3 2
e− 2 z −
z
z
2
Y( z) =
−
z − e− 2 z 2 − 3 e− 2 z + e− 4
G( z ) = − z
z2
− 3 z +1
2
d X (z)
= z 2 +z
( z −1)
dz
( z 2 − 3 z +1)2
X1( z ) =
⎛
⎛
3⎞
3⎞
⎜1+ ⎟ z −1 − ⎜1+ 3 ⎟ z − 2 + 2 z − 3
2 ⎠
2 ⎠
⎝
⎝
(
1+
Y( z) =
)
(
)
1− 1+ 3 z −1 + 1+ 3 z − 2 + z − 3
(
3 ⎛
3⎞
− ⎜1+ 3 ⎟ e − 2 z −1 + 2 e − 4 z − 2
2 ⎝
2 ⎠
)
(
)
1− 1+ 3 e − 2 z −1 + 1+ 3 e − 4 z − 2 + e − 6 z − 3
G( z ) =
3 −1
⎛ 13
⎞
z − 1+ 3 3 z − 2 + ⎜ + 2 3⎟ z − 3 − 2 + 3 3 z − 4 + 2 z − 5
⎝2
⎠
2
−1
−2
1− 2 1+ 3 z + 2 3+ 2 3 z − 2 5+ 2 3 z − 3 + 2 3+ 2 3 z − 4 − 2 1+ 3 z − 5 + z −6
(
(
)
(
)
)
(
(
(
)
)
)
(
)
Exercice 8
X ( z) =
On considère la transformée
( r − jθ )
*
et donc z0 = e
z
z
+
( r + jθ )
z − z0 z − z*0
. Trouver x(n). On posera z0 = e
z
On sait que e u( n)
an
z − ea
(
)
x ( n) = e rn e jnθ + e − jnθ u( n) = 2 e rn cos nθ u( n )
(
)
z z − er cosθ
z
z
X ( z) =
+
=
z − z0 z − z*0 z 2 − 2er cosθ z + e2r
On remarquera que
z( z − c)
X (z) 2
z − 2c z + b
2
1,5
1
0,5
0
0
5
10
15
-0,5
-1
pour e =0,8 et θ=30°
r
Exercice 9
20
25
est de la forme
z −2 − 2 z − 1 + 1
H ( z) = 2 −2
a z − 2a z −1 + 1
Trouver h(n) correspondant à la transformée en z suivante :
2
z −1 − 1)
(
( z − 1)2
H ( z ) = 2 −2
=
=
a z − 2a z −1 + 1 a z −1 − 1 2 ( z − a )2
(
)
z − 2 − 2 z −1 + 1
az
On sait que n a x( n)
( z − a) 2
n
H ( z) =
h( n ) =
az
az
az ⎞
1⎛
−1
⎜
⎟
=
z
−
+
z
2
a ⎝ ( z − a)2
( z − a)2
( z − a)2 ⎠
( z − a)2
z 2 − 2z + 1
(
1
( n + 1)a ( n +1) u( n + 1) − 2na n u( n) + ( n − 1)a ( n −1) u( n − 1)
a
)
h( n) = ( n + 1)a nu( n + 1) − 2na ( n −1) u( n) + ( n − 1)a ( n − 2) u( n − 1)
1
1
0,5
0
0,5
0
5
10
15
20
-0,5
-1
0
0
5
10
15
( n + 1) a nu( n + 1)
20
-1,5
pour a=0,3
h( n)
Exercice 10
H(z) =
z − z0
0 (
0)
Quelle est la fonction discrète h(n) dont la transformée est
où z0 est
un réel. On utilisera la méthode basée sur la reconnaissance de fonctions connues et la
( z − p ) z − p*
jθ
méthode des résidus. On posera p0 = ρe . Quelle équation de récurrence correspond à H(z)?
Méthode classique
H (z) =
z − z0
z − 2 ρ cos θ z + ρ
2
2
=
z − ρ cos θ
z − 2 ρ cos θ z + ρ
2
2
+
ρ cos θ − z 0
z − 2 ρ cos θ z + ρ 2
2
H ( z ) = z −1
H ( z ) = z −1
z 2 − zρ cos θ
z − 2 ρ cos θ z + ρ
2
+ z −1
2
+ kz −1
z 2 − zρ cos θ
z − 2 ρ cos θ z + ρ
2
z ( ρ cos θ − z 0 )
2
z − 2 ρ cos θ z + ρ 2
2
zρ sin θ
z − 2 ρ cos θ z + ρ 2 en posant
2
k ρ sin θ = ρ cosθ − z0 .
θ
0
k = cos
sin θ − ρ sin θ
z
h( n) = ρ n −1 cos[( n − 1)θ ]u( n − 1) + kρ n −1 sin[( n − 1)θ ]u( n − 1)
θ − z 0 ⎞⎟ sin ( n − 1)θ ⎫u( n − 1)
h( n ) = ρ n −1 ⎧⎨cos[( n − 1)θ ] + ⎛⎜⎝ cos
[
]⎬⎭
sin
θ
ρ sin θ ⎠
⎩
ρ n −1
{
{sin(nθ ) −
}
h( n ) = sin θ sin θ cos[( n − 1)θ ] + cosθ sin[( n − 1)θ ] − ρ0 sin[( n − 1)θ ] u( n − 1)
ρ n −1
h( n ) = sin θ
z
}
[
]
ρ sin ( n − 1)θ u( n − 1)
z0
z
z
ρ n −1
h( n) = sin θ ⎡⎢⎛⎜⎝1 − ρ0 cosθ ⎞⎟⎠ sin( nθ ) + ρ0 sin θ cos( nθ )⎤⎥u( n − 1)
⎦
⎣
n −1
[
]
ρ
A cos ϕ = 1 − ρ0 cosθ
A sin ϕ = ρ0 sin θ
h( n) = A sin θ sin( nθ + ϕ ) u( n − 1)
en posant
et
z
z2
z
z sin θ
A = 1 − 2 ρ0 cos θ + 02
ρ
soit
ρ=
on trouve
n
h(n)
tgϕ = ρ −0z cos θ
0
et
θ = 60°
k = -0,247 ϕ = 43,9°
Avec:
0
0
0,7
1
1
2
0,2
z
3
-0,35
z0 = 0,5
A=
0,892
4
5
6
-0,343 -0,069 0,120
7
0,118
8
9
10
0,024 -0,041 -0,040
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
0
5
10
15
20
-0,4
Méthode des résidus
R p0 = lim
z → p0
( z − p0 ) z n −1 H ( z ) = lim
z → p0
ρ e jθ − z
( z − p0 ) z n −1
R p* = − ρ
R p0 = ρ n −1e j ( n −1)θ 2 jρ sin θ0
0
et de même
z − z0
( z − p0 )(
z − p*0
)
p −z
= p0n −1 0 0*
− jθ
− z0
n −1 − j ( n −1)θ ρe
e
2 jρ sin θ
( p0 − p0 )
ρ n −1
[
(
)
(
h( n ) = R p0 + R p* = 2 jρ sin θ e j ( n −1)θ ρe jθ − z0 − e − j ( n −1)θ ρe − jθ − z0
0
ρ n −1
{
)]
}
h( n ) = 2 jρ sin θ ρ 2 j sin( nθ ) − z0 2 j sin[( n − 1)θ ]
etc...
Equation de récurrence
H(z) =
(
Y( z)
z − z0
z −1 − z 0 z −2
= 2
=
X ( z ) z − 2 ρ cos θ z + ρ 2 1− 2ρ cos θ z −1 + ρ 2 z − 2
)
(
Y ( z ) 1 − 2 ρ cos θ z −1 + ρ 2 z − 2 = X ( z ) z −1 − z0 z − 2
)
y( n) = x( n − 1) − z0 x( n − 2) + 2ρ cosθ y( n − 1) − ρ 2 y( n − 2)
On peut vérifier que la réponse impulsionnelle à cette équation donne les mêmes
échantillons que ceux que l'on obtient avec h(n).
Téléchargement