T en z

EXERCICES SUR LA TRANSFORMEE EN Z
Exercice 1
0,55
0,44
0,33
0,11
-0,35
-0,25
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-5 0 5 10
Donner la transformée en z de la fonction
numérique discrète x(n) représentée par le
graphique ci-contre (elle est aussi nulle dans les
parties non représentées).
X(z) = 0,55 + 0,44 z-1 + 0,33 z-2 +0,11 z-3 - 0,35 z-4 - 0,25 z-5
Exercice 2
Calculer la transformée en z de la fonction causale suivante et calculer ses zéros et/ou ses
pôles.
n 0 1 2 3 4 5...∞
x(n) 1 4 6 4 1 0...0
()
X z = + z + z + z + z
----4
14 6 4
123
(
)
=z z + z + z + z +
−44 3 2 1
4641
() ( )
()
()()
(
)
()
()
Xz=zz z+z+z +zz z z+z+zz z
−− −
+=++=+=
432 4 2 4
414
1331 1121 11
−
+
Zéros z=-1 quadruple, bien entendu pas de pôle.
Même question pour la fonction causale suivante.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8...∞
y(n) 0 0 0 1 4 6 4 1 0...0
()
()
Yz=z z
−−
+
31
4
1
Exercice 3
Calculer la transformée en z des fonctions discrètes suivantes. Vérifier que les théorèmes
de la valeur initiale et finale s'appliquent.
()
xn un
n
=08,() )
et .
()
yn n un
n
=08,(
()
Xz z
z
=−08. et
()
()()
Yz z z
dz
zdz z
z
z
=− =− =
−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟−
−−
08 08
08
08
08
22
.,
,
,
,

()
xz
z
z
008 1=−=
→∞
lim .
()
()
xz
z
z
00
08
082
==
→∞ −
lim ,
,
() ()
xzz
z
z
∞= −
−=
→
lim .
1
1
08 0
()
()
()
xz
zz
z
∞= =
→
−
−
lim ,
,
1
08 1
0820
Exercice 4
Trouver la séquence y(n) qui a comme transformée en z :
()
Yz zz =−+
−−
1
65 12
.
()
Yz zz z
zz z
zz zz
zz z
===−=−
−+ −+ −− −−
−−
1
65 6 5 1 21 31 1
21 3
12
2
21
21 3
()
(
)
()
(
)
()
(
)()
()
yn un un un
nnnn
=−=−
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
++
1
21 21 31 31 211 31
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,1667 0,1389 0,0880 0,0502 0,0271 0,0143 0,0074 0,0038 0,0019 0,0010 0,0005
Exercice 5
De quelle fonction x(n) la fonction
()
Xz z
zz
=−+
2
2
08 2 064
2
2.,
est la transformée en z ?
() ()
[]
()
xn n un
n
=−08 1
4
,cos
π
Exercice 6
Quelles sont les transformées en z de :
1)
()
()
()
xn un
n
11
3
=
2)
()
() ()
()
xn un
nn
21
221 3
=−
3)
()
()
()
xn n un
n
31
3
=.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0 5 10 15

1)
z
z
z
z
−=−
1
3
3
31
2)
()
()
()
xn un
n
21
6
4= a pour transformée
41
6
z
z−
3)
()
()
1
31
3
22
3
31
z
z
z
z
−
=−
Exercice 7
1) Donner la transformée en z de la fonction discrète
()
(
)
[
]
()
xn un
n
=− −163 sin
ππ
.
En déduire les transformées en z de :
2)
()
()
[]
()
xn un
n
16
11=+ −cos
π
3)
()
()
[]
()
yn e un
nn
=−−
−263
1sin
ππ
.
4)
()
()
[]
()
gn n un
n
=− −163 sin
ππ
1)
()
()
[]
()
xn un
n
=− −163 sin
ππ
()
Xz z
z
zz
zz
z
z
zz
zz
=− =−
−
−++
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
−+ −
−
−+
1363
2611
3
2
31
2
2
2
2
sin sin
cos
πππ
π
2)
()
()
[]
()()
xn un xn
n
16
11=+ −= −cos
π
1
() ()
Xz z Xz z
z
zz
1111
13
2
31
2
==−
−−
−
−+
3)
()
(
)
[]
()
(
)
()
yn e un e xn
nnn
=−− =
−−263 2
1sin
ππ
()
Yz z
ze
ez z
zeze
=−
−
−
−+
−
−
−−2
22
22
3
2
34
4)
()
()
[]
() ()
gn n un nxn
n
=− − =163 sin
ππ
() ()
()
()
Gz zdX z
dz z
z
z
zz
zz
=− = +
−
−+
−+
1231
31
2
2
22
Formules développées :
()
()()
Xz zz
zzz
=
+−+
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟+
−+ ++ +
−−
−−−
13
2133
22
11 3 1 3
12
123

()
()()
Xz zz
zzz
1
13
2133 22
11 3 1 3
12
12
=
+
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟−+
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟+
−+ ++ +
−−
−−
z
3
3
−
−
()
() ()
Yz ez ez
ez ez ez
=
+−+
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟+
−+ ++ +
−− −−
−− −− −−
13
2133 22
11 3 1 3
21 42
21 42 63
()
() ()
() ()()()()
Gz zz z zz
zzzzz
=
−− − −−
−− −−−
−+ + +
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟−+ +
−+ ++ −+ ++ −+ +
3
2133 13
223 233 2
121 3 2323 2523 2323 21 3
12 3 45
12345
z
−6
Exercice 8
On considère la transformée
()
Xz z
zz z
zz
=−+−
00
*. Trouver x(n). On posera
(
)
ze
rj
0=+
θ
et donc
()
ze
rj
0
*=−
θ
On sait que
()
eun
an
z
ze
a
−
()
()
() ()
xn e e e un e n un
rn jn jn rn
=+ =
− θθ
θ 2cos
On remarquera que
()
(
)
Xz z
zz z
zz
zz e
ze ze
r
rr
=−+−=−
−+
0022
2
*
cos
cos
θ
θ
est de la forme
() ()
Xz zz c
zcz
−
−+
22b
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0 5 10 15 20 25
pour er=0,8 et
θ =30°
Exercice 9

Trouver h(n) correspondant à la transformée en z suivante :
()
Hz zz
az az
=−+
−+
−−
−−
21
22 1
21
21
()
()
()
()
()
Hz zz
az az
z
az
z
za
=−+
−+
=−
−
=−
−
−−
−−
−
−
21
22 1
12
12
2
2
21
21
1
1
1
On sait que
()
na xn
n
()
az
za−2
() () () () ()
Hz zz
za azaz
za
az
za zaz za
=−+
−=−−−+−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
−
2
222
12
211 2
() ()
()
() ()()
()
()
()
hn an a un na un n a un
nnn
=+ +− +− −
+−
1112 1
11
1
()()()
()
() ( )
(
)
()
hn n aun na un n a un
nn n
=+ +− +− −
−−
112 1
12
1
0
0,5
1
0 5 10 15 20 -1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
0 5 10 15 20
pour a=0,3
()(
naun
n
+1
)
+1
(
)
hn
Exercice 10
Quelle est la fonction discrète h(n) dont la transformée est
()
()
()
Hz zz
zp zp
=−
−−
0
00
* où z0 est
un réel. On utilisera la méthode basée sur la reconnaissance de fonctions connues et la
méthode des résidus. On posera pe
j
0=
ρ
θ
. Quelle équation de récurrence correspond à H(z)?
Méthode classique
()
Hz zz
zz
z
zz
z
zz
==+
−
−+
−
−+
−
−+
0
2222 0 22
222 ρθρ
ρ
θ
ρ
θ
ρθρ ρθρ cos
cos
cos
cos
cos