EXERCICES SUR LA TRANSFORMEE EN Z Exercice 1 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 0,55 0,44 0,33 Donner la transformée en z de la fonction numérique discrète x(n) représentée par le graphique ci-contre (elle est aussi nulle dans les parties non représentées). 0,11 -0,25 -0,35 -5 0 5 10 X(z) = 0,55 + 0,44 z-1 + 0,33 z-2 +0,11 z-3 - 0,35 z-4 - 0,25 z-5 Exercice 2 Calculer la transformée en z de la fonction causale suivante et calculer ses zéros et/ou ses pôles. n 0 1 2 3 4 5...∞ x(n) 1 4 6 4 1 0...0 ( z 4 + 4 z 3 + 6 z 2 + 4 z1 + 1) 4 X ( z )=z − 4 ( z + 1)( z 3+3z 2+3z +1) = z − 4 ( z + 1)( z + 1)( z 2+2 z+1) = z − 4 ( z + 1) 4 = (1 + z −1) X ( z )=1 + 4z -1 + 6z -2 + 4z -3 + z -4 =z −4 Zéros z=-1 quadruple, bien entendu pas de pôle. Même question pour la fonction causale suivante. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8...∞ y(n) 0 0 0 1 4 6 4 1 0...0 ( Y ( z )=z − 3 1 + z −1 )4 Exercice 3 Calculer la transformée en z des fonctions discrètes suivantes. Vérifier que les théorèmes de la valeur initiale et finale s'appliquent. x( n) = 0,8 n u( n ) et y( n) = n 0,8n u( n ) . z X ( z) = z − 0.8 et ⎛ z ⎞ d⎜ ⎟ ⎝ z − 0.8 ⎠ − 0 ,8 0 ,8 z Y( z) = − z = −z 2 = dz ( z − 0 ,8) ( z − 0 ,8) 2 z =1 z →∞ z − 0.8 x( 0) = lim z ( z − 1) =0 z →1 z − 0.8 x( ∞) = lim x ( 0) = lim 0 ,8 z 2 z →∞ ( z − 0 ,8) x( ∞) = lim =0 0 ,8 z ( z −1) z →1 ( z − 0 ,8) 2 =0 Exercice 4 Trouver la séquence y(n) qui a comme transformée en z : Y( z) = 1 6− 5z −1 + z − 2 . 0,2 Y( z) = 0,15 0,1 1 6−5 z −1 () +z −2 = z2 = z − z =1 z −1 z 6 z − 5 z +1 2 z −1 3z −1 2 z − 12 3 z − 13 2 () () () n n ⎡ n +1 1 n +1 ⎤ y( n) = 12 12 u( n) − 13 13 u( n) = ⎢ 12 − 3 ⎥⎦ u( n) . ⎣ 0,05 0 0 5 10 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,1667 0,1389 0,0880 0,0502 0,0271 0,0143 0,0074 0,0038 0,0019 0,0010 0,0005 Exercice 5 2 2 z 2 X ( z) = 2 z − 0.8 2 z + 0,64 est la transformée en z ? De quelle fonction x(n) la fonction [ ] x( n ) = 0 ,8 n cos π4 ( n − 1) u( n) Exercice 6 Quelles sont les transformées en z de : () n−2 n x2 ( n) = ( 12 ) ( 13 ) u( n) 2) n x3( n) = n ( 13 ) u( n) . 3) 1) n x1( n) = 13 u( n) z 1) 3z 3z − 1 = z − 13 4z () n x ( n) = 4 16 u( n) z − 16 2) 2 a pour transformée 1 3 3) z 3z = 2 ( 3z − 1) 2 z − 13 ( ) Exercice 7 [ )] ( x( n) = 1 − sin n6π − π3 u( n) 1) Donner la transformée en z de la fonction discrète . En déduire les transformées en z de : [ ( )] u(n − 1) y( n) = e −2 n [1 − sin( n6π − π3 )] u( n) 3) . g( n) = n [1 − sin( n6π − π3 )] u( n) 4) x ( n) = 1 + cos n6π 2) 1 [ X ( z) = )] ( x( n) = 1 − sin n6π − π3 u( n) 1) 2) 3) [ z − z −1 ( )] u( n − 1) = x( n − 1) [ ( y ( n) = e − 2 n 1 − sin n6π − π3 [ ( g( n) = n 1 − sin n6π − π3 4) )] u(n) = (e ) )] u(n) = n x(n) Formules développées : X (z) = 1+ ( 3⎞ 3 ⎛ − ⎜1+ 3 ⎟ z −1 + 2 z − 2 2 ⎠ 2 ⎝ ) ( ) 1− 1+ 3 z −1 + 1+ 3 z − 2 + z − 3 π z 2 − 2 cos z +1 6 = 3 z− z2 2 z − z −1 z 2 − 3 z +1 X1( z ) = z −1 X ( z ) = z 1−1 − x1( n) = 1 + cos n6π −2 n π ⎛π π⎞ − z 2 sin + z sin⎜ + ⎟ ⎝ 6 3⎠ 3 x( n) 3 z 2 z 2 − 3 z +1 1− 3 2 e− 2 z − z z 2 Y( z) = − z − e− 2 z 2 − 3 e− 2 z + e− 4 G( z ) = − z z2 − 3 z +1 2 d X (z) = z 2 +z ( z −1) dz ( z 2 − 3 z +1)2 X1( z ) = ⎛ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎜1+ ⎟ z −1 − ⎜1+ 3 ⎟ z − 2 + 2 z − 3 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ( 1+ Y( z) = ) ( ) 1− 1+ 3 z −1 + 1+ 3 z − 2 + z − 3 ( 3 ⎛ 3⎞ − ⎜1+ 3 ⎟ e − 2 z −1 + 2 e − 4 z − 2 2 ⎝ 2 ⎠ ) ( ) 1− 1+ 3 e − 2 z −1 + 1+ 3 e − 4 z − 2 + e − 6 z − 3 G( z ) = 3 −1 ⎛ 13 ⎞ z − 1+ 3 3 z − 2 + ⎜ + 2 3⎟ z − 3 − 2 + 3 3 z − 4 + 2 z − 5 ⎝2 ⎠ 2 −1 −2 1− 2 1+ 3 z + 2 3+ 2 3 z − 2 5+ 2 3 z − 3 + 2 3+ 2 3 z − 4 − 2 1+ 3 z − 5 + z −6 ( ( ) ( ) ) ( ( ( ) ) ) ( ) Exercice 8 X ( z) = On considère la transformée ( r − jθ ) * et donc z0 = e z z + ( r + jθ ) z − z0 z − z*0 . Trouver x(n). On posera z0 = e z On sait que e u( n) an z − ea ( ) x ( n) = e rn e jnθ + e − jnθ u( n) = 2 e rn cos nθ u( n ) ( ) z z − er cosθ z z X ( z) = + = z − z0 z − z*0 z 2 − 2er cosθ z + e2r On remarquera que z( z − c) X (z) 2 z − 2c z + b 2 1,5 1 0,5 0 0 5 10 15 -0,5 -1 pour e =0,8 et θ=30° r Exercice 9 20 25 est de la forme z −2 − 2 z − 1 + 1 H ( z) = 2 −2 a z − 2a z −1 + 1 Trouver h(n) correspondant à la transformée en z suivante : 2 z −1 − 1) ( ( z − 1)2 H ( z ) = 2 −2 = = a z − 2a z −1 + 1 a z −1 − 1 2 ( z − a )2 ( ) z − 2 − 2 z −1 + 1 az On sait que n a x( n) ( z − a) 2 n H ( z) = h( n ) = az az az ⎞ 1⎛ −1 ⎜ ⎟ = z − + z 2 a ⎝ ( z − a)2 ( z − a)2 ( z − a)2 ⎠ ( z − a)2 z 2 − 2z + 1 ( 1 ( n + 1)a ( n +1) u( n + 1) − 2na n u( n) + ( n − 1)a ( n −1) u( n − 1) a ) h( n) = ( n + 1)a nu( n + 1) − 2na ( n −1) u( n) + ( n − 1)a ( n − 2) u( n − 1) 1 1 0,5 0 0,5 0 5 10 15 20 -0,5 -1 0 0 5 10 15 ( n + 1) a nu( n + 1) 20 -1,5 pour a=0,3 h( n) Exercice 10 H(z) = z − z0 0 ( 0) Quelle est la fonction discrète h(n) dont la transformée est où z0 est un réel. On utilisera la méthode basée sur la reconnaissance de fonctions connues et la ( z − p ) z − p* jθ méthode des résidus. On posera p0 = ρe . Quelle équation de récurrence correspond à H(z)? Méthode classique H (z) = z − z0 z − 2 ρ cos θ z + ρ 2 2 = z − ρ cos θ z − 2 ρ cos θ z + ρ 2 2 + ρ cos θ − z 0 z − 2 ρ cos θ z + ρ 2 2 H ( z ) = z −1 H ( z ) = z −1 z 2 − zρ cos θ z − 2 ρ cos θ z + ρ 2 + z −1 2 + kz −1 z 2 − zρ cos θ z − 2 ρ cos θ z + ρ 2 z ( ρ cos θ − z 0 ) 2 z − 2 ρ cos θ z + ρ 2 2 zρ sin θ z − 2 ρ cos θ z + ρ 2 en posant 2 k ρ sin θ = ρ cosθ − z0 . θ 0 k = cos sin θ − ρ sin θ z h( n) = ρ n −1 cos[( n − 1)θ ]u( n − 1) + kρ n −1 sin[( n − 1)θ ]u( n − 1) θ − z 0 ⎞⎟ sin ( n − 1)θ ⎫u( n − 1) h( n ) = ρ n −1 ⎧⎨cos[( n − 1)θ ] + ⎛⎜⎝ cos [ ]⎬⎭ sin θ ρ sin θ ⎠ ⎩ ρ n −1 { {sin(nθ ) − } h( n ) = sin θ sin θ cos[( n − 1)θ ] + cosθ sin[( n − 1)θ ] − ρ0 sin[( n − 1)θ ] u( n − 1) ρ n −1 h( n ) = sin θ z } [ ] ρ sin ( n − 1)θ u( n − 1) z0 z z ρ n −1 h( n) = sin θ ⎡⎢⎛⎜⎝1 − ρ0 cosθ ⎞⎟⎠ sin( nθ ) + ρ0 sin θ cos( nθ )⎤⎥u( n − 1) ⎦ ⎣ n −1 [ ] ρ A cos ϕ = 1 − ρ0 cosθ A sin ϕ = ρ0 sin θ h( n) = A sin θ sin( nθ + ϕ ) u( n − 1) en posant et z z2 z z sin θ A = 1 − 2 ρ0 cos θ + 02 ρ soit ρ= on trouve n h(n) tgϕ = ρ −0z cos θ 0 et θ = 60° k = -0,247 ϕ = 43,9° Avec: 0 0 0,7 1 1 2 0,2 z 3 -0,35 z0 = 0,5 A= 0,892 4 5 6 -0,343 -0,069 0,120 7 0,118 8 9 10 0,024 -0,041 -0,040 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 0 5 10 15 20 -0,4 Méthode des résidus R p0 = lim z → p0 ( z − p0 ) z n −1 H ( z ) = lim z → p0 ρ e jθ − z ( z − p0 ) z n −1 R p* = − ρ R p0 = ρ n −1e j ( n −1)θ 2 jρ sin θ0 0 et de même z − z0 ( z − p0 )( z − p*0 ) p −z = p0n −1 0 0* − jθ − z0 n −1 − j ( n −1)θ ρe e 2 jρ sin θ ( p0 − p0 ) ρ n −1 [ ( ) ( h( n ) = R p0 + R p* = 2 jρ sin θ e j ( n −1)θ ρe jθ − z0 − e − j ( n −1)θ ρe − jθ − z0 0 ρ n −1 { )] } h( n ) = 2 jρ sin θ ρ 2 j sin( nθ ) − z0 2 j sin[( n − 1)θ ] etc... Equation de récurrence H(z) = ( Y( z) z − z0 z −1 − z 0 z −2 = 2 = X ( z ) z − 2 ρ cos θ z + ρ 2 1− 2ρ cos θ z −1 + ρ 2 z − 2 ) ( Y ( z ) 1 − 2 ρ cos θ z −1 + ρ 2 z − 2 = X ( z ) z −1 − z0 z − 2 ) y( n) = x( n − 1) − z0 x( n − 2) + 2ρ cosθ y( n − 1) − ρ 2 y( n − 2) On peut vérifier que la réponse impulsionnelle à cette équation donne les mêmes échantillons que ceux que l'on obtient avec h(n).