Mathematische Aussagen

1.3 Mathematische Aussagen
1.3.1 Mathematische Aussagen und Aussageformen
Viele mathematische Ausdrücke sind mathematische Aussagen.
Def.: Ein mathematischer Ausdruck hei ßt eine mathematische Aussage genau dann, wenn
dieser Ausdruck entweder wahr oder falsch ist.
Diese Definition sagt:
 Alle mathematischen Aussagen sind mathematische Ausdrücke.
 Nicht jeder mathematische Ausdruck ist eine mathematische Aussage.
 Für jede mathematische Aussage gilt, dass sie entweder wahr oder falsch ist. Es gibt
keine weitere (d. h. dritte) Möglichkeit. Außerdem kann eine mathematische
Aussage nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
Man sagt: Jede mathematische Aussage hat genau einen der beiden Wahrheitswerte „wahr“
bzw. „falsch“. Symbole dafür sind „(w)“ bzw. „(f)“
Beispiele für wahre mathematische Aussagen sind:
Achtung! Die Symbole „∃ !!...“ liest man: „Es gibt genau einen (-e, -) ...“.
Das bedeutet: „Es gibt mindestens einen ..., und es gibt nicht mehr als einen ...“.
Falsche mathematische Aussagen sind:
9 < 7 (f)
∀ y ∈ Nu: y ∉ N (f)
17 ∈ Ng (f)
∃ x ∈ Ng: x ∈ Nu (f)
12 : 3 ≠ 4 (f)
∃!! z ∈ N: z2 –3z + 2 = 0 (f)
Die folgenden mathematischen Ausdrücke sind aber keine mathematischen Aussagen:
15+7
x2 + y2 – 1
X ⊂ Y
X ∩ Y := {x: x ∈ X ∧ x ∈ Y}

An diesen Beispielen erkennt man:
 Mathematische Aussagen haben Relationssymbole
 Die einfachsten mathematischen Aussagen sind Relationen der Form
„Term - Relationssymbol – Term“
 Terme sind keine mathematischen Aussagen.
Symbolisierte Definitionen sind auch keine mathematischen Aussagen, denn mit Definitionen
erklärt man Begriffe.
Viele mathematische Ausdrücke mit Relationssymbolen sind keine mathematischen Aussagen
und auch keine symbolisierten Definitionen.
Beispiele für solche Ausdrücke sind: a < 7, x ∈ Ng, y = 0,5x +3, X ⊂ M
Diese Relationen haben keinen bestimmten Wahrheitswert, denn sie enthalten freie Variablen.
Hier können die Symbole „a“, „x“ und „y“ beliebige Zahlen und die Symbole „X“ und „M“
beliebige Mengen bedeuten.
Def.: Eine Variable heißt eine freie Variable genau dann, wenn die Bedeutung dieses Symbols
nicht durch Bedingungen festgelegt ist.
Die mathematischen Ausdrücke a < 7, ..., X ⊂ M sind Aussageformen.
Def.: Ein mathematischer Ausdruck heißt eine Aussageform genau dann, wenn dieser Ausdruck
eine einfache Relation mit freien Variablen ist oder, wenn er aus Relationen mit freien
Variablen besteht.
Diese Definition sagt:
 Jede Aussageform ist ein mathematischer Ausdruck mit mindestens einem
Relationssymbol.
 In jeder Aussageform gibt es mindestens eine freie Variable.
Aus einer beliebigen Aussageform kann man unendlich viele mathematische Aussagen bilden,
indem man die freie Variable dieser Aussageform mit geeigneten Konstanten (d.h. mit
Symbolen für bestimmte geeignete Objekte) belegt.
Wenn man z.B. in der Aussageform a < 7 die Variable a mit der Konstanten 4 (d.h. mit dem
Zahlensymbol „4“) belegt, so erhält man eine wahre Aussage: 4 < 7. Belegt man die Variable mit
der natürlichen Zahl 9, so erhält man eine falsche Aussage: 9 < 7.
(Selbstverständlich sind für die Belegung der Variablen a in dieser Aussageform nur
Zahlensymbole geeignet)

Mathematische Aussagen kann man auch dadurch bekommen, dass man die freien Variablen
einer beliebigen Aussageform mit Hilfe von Quantoren bindet.
„Binden einer freien Variablen“ bedeutet: Man legt für diese Variable eine bestimmte Menge
von Objekten (d.h. von Konstanten) fest.
Wenn man zur Bindung der freien Variablen den Allquantor (d.h. das Symbol „∀“) benutzt, so
erhält man Allaussagen.
Benutzt man die Existenzquantoren (d.h. die Symbole „∃“ und „∃!“) zur Bindung der freien
Variablen, so erhält man Existenzaussagen bzw. eindeutige Existenzaussagen.
Beispielsweise kann man in der Aussageform a < 7 die Variable a mit Hilfe dieser drei
Quantoren an die Menge Nu der ungeraden natürlichen Zahlen binden und dadurch die
folgenden mathematischen Aussagen bekommen:
∀ a ∈ Nu : a < 7 (f)
(In Worten: Für alle ungeraden natürlichen Zahlen a gilt, dass a kleiner als 7 ist.)
∃ a ∈ Nu : a < 7 (w)
(In Worten: Es gibt mindestens eine ungerade natürliche Zahl a, so dass a kleiner als 7 ist.)
∃ ! a ∈ Nu : a < 7 (f)
(In Worten: Es gibt genau eine ungerade natürliche Zahl a, so dass a kleiner als 7 ist.)
Bindet man die Variable a in der Aussageform a < 7 mit Hilfe der Quantoren an die Menge
M = {1, 2, 3, 4}, so erhält man die Aussagen:
∀ a ∈ M : a < 7 (w)
∃ a ∈ M : a < 7 (w)
∃ ! a ∈ M : a < 7 (f)
Aus den Beispielen erkennt man:
 Eine Allaussage ist wahr genau dann, wenn sie für alle angegebenen Objekte wahr ist
(d.h. wenn es keine Ausnahmen gibt.)
 Eine Allaussage ist falsch genau dann, wenn sie für mindestens ein Objekt der
festgelegten Menge falsch ist.
1.3.2. Aussagenoperationen
Aus gegebenen mathematischen Aussagen kann man neue mathematische Aussagen bilden.
Dazu benutzt man Aussagenoperationen.
Einige Aussagenoperationen sind: die Negation, die Konjunktion, die Alternative, die
Antivalenz, die Implikation, die Äquivalenz.

1.3.2.1 Die Negation einer mathematischen Aussage
Def.: Man negiert eine mathematische Aussage A, indem man die Aussage ¬𝐴 (gelesen: nicht A)
bildet.
Bei der Negation einer mathematischen Aussage A muss man unterscheiden, ob diese Aussage
eine einfache Relation ist oder ob sie einen Quantor enthält.
Zwei Beispiele für die Negation einfacher Relationen sind:
Aussage A:
negierte Aussage:
Ng ⊂ N (w)
Ng ⊄ N (f)
A: 7 < 2 (f)
7 ≥ 2 (w)
(Achtung! Wenn man den Relationsbegriff „kleiner als“ negiert, so erhält man „größer als oder
gleich“. Negiert man „größer als“, so erhält man „kleiner als oder gleich“)
Aus diesen zwei Beispielen erkennt man:
 Wenn man eine wahre mathematische Aussage negiert, so erhält man eine falsche
mathematische Aussage.
 Wenn man eine falsche mathematische Aussage negiert, so erhält man eine wahre
mathematische Aussage.
 Einfache Relationen negiert man, indem man das Relationssymbol (bzw. den
Relationsbegriff) dieser Relation negiert.
Den Wahrheitswert einer negierten Aussage kann man auch mit Hilfe der folgenden Tabelle
bestimmen:
Wenn eine mathematische Aussage A eine Allaussage bzw. eine Existenzaussage ist, so hat sie
die Form „∀ x ∈ X : H(x)“ bzw. „∃ x ∈ X : H(x)“. Hier bedeutet H(x) eine Aussageform.
Ein Beispiel für eine Allaussage ist:
Aussage A: ∀ x ∈ Ng : x ≥ 0 (w)
Wenn man diese Aussage negiert, so erhält man:
negierte Aussage ¬𝐴: ¬ ∀ x ∈ Ng : x ≥ 0 (f)
Es gibt auch die folgende Möglichkeit:
negierte Aussage ¬𝐴: ∃ x ∈ Ng : x < 0 (f)
Diese Existenzaussage und die negierte Allaussage haben den gleichen Inhalt.
A
¬𝐀
(w)
(f)
(f)
(w)

Daraus folgt die Regel:
Man negiert eine Allaussage der Form „∀ x ∈ X : H(x)“, indem man den Allquantor negiert und
dadurch die negierte Allaussage „¬∀ x ∈ X : H(x)“ erhält oder indem man die Existenzaussage „∃
x ∈ X : ¬ H(x)“ bildet.
Achtung! Den negierten Allquantor „∼ ∀” liest man: „Nicht für alle …“ bzw. „Nicht für jeden ( -
e, -es) …“
Ein Beispiel für eine Existenzaussage ist: A: ∃ x ∈ Ng : x ≥ 0 (w)
Negiert man diese Aussage, so erhält man: ¬𝐴: ¬ ∃ x ∈ Ng : x ≥ 0 (f)
Es gibt auch die folgende Möglichkeit: ¬𝐴: ∀ x ∈ Ng : x < 0 (f)
Diese Allaussage und die negierte Existenzaussage haben den gleichen Inhalt.
Daraus folgt die Regel:
Man negiert eine Existenzaussage der Form „ ∃x ∈ X : H(x) “, indem man den Existenzquantor
negiert und dadurch die negierte Existenzaussage „ ¬∃ x ∈ X : H(x) “ erhält oder indem man die
Allaussage „ ∀ x ∈ X : ¬H(x) “ bildet.
Achtung! Den negierten Existenzquantor liest man: „Es gibt keinen (-e, -) …“
1.3.2.2 Die Konjunktion mathematischer Aussagen
Def.: Mit Hilfe der Konjunktion bildet man aus zwei mathematischen Aussagen A, B eine
Aussagenverbindung der Form „A ∧ B“.
Diese Aussagenverbindung heißt eine konjunktiv zusammengesetzte Aussage.
Zwei Beispiele für die Konjunktion mathematischer Aussagen sind:
Aussage A: Ng ⊂ N
Aussage B: Nu ⊂ N
Aussage A ∧ B: Ng ⊂ N ∧ Nu ⊂ N
Den Wahrheitswert einer konjunktiv zusammengesetzten Aussage kann man mit Hilfe der
folgenden Tabelle bestimmen:
A
B
A ∧ B
(w)
(w)
(w)
(w)
(f)
(f)
(f)
(w)
(f)
(f)
(f)
(f)