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Mathematische Aussagen

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1.3 Mathematische Aussagen
1.3.1 Mathematische Aussagen und Aussageformen
Viele mathematische Ausdrücke sind mathematische Aussagen.
Def.: Ein mathematischer Ausdruck heißt eine mathematische Aussage genau dann, wenn
dieser Ausdruck entweder wahr oder falsch ist.
Diese Definition sagt:

Alle mathematischen Aussagen sind mathematische Ausdrücke.

Nicht jeder mathematische Ausdruck ist eine mathematische Aussage.
Für jede mathematische Aussage gilt, dass sie entweder wahr oder falsch ist. Es gibt
keine weitere (d. h. dritte) Möglichkeit. Außerdem kann eine mathematische
Aussage nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.

Man sagt: Jede mathematische Aussage hat genau einen der beiden Wahrheitswerte „wahr“
bzw. „falsch“. Symbole dafür sind „(w)“ bzw. „(f)“
Beispiele für wahre mathematische Aussagen sind:
Achtung! Die Symbole „∃ !!...“ liest man: „Es gibt genau einen (-e, -) ...“.
Das bedeutet: „Es gibt mindestens einen ..., und es gibt nicht mehr als einen ...“.
Falsche mathematische Aussagen sind:
9 < 7 (f)
17 ∈ Ng (f)
12 : 3 ≠ 4 (f)
∀ y ∈ Nu: y ∉ N (f)
∃ x ∈ Ng: x ∈ Nu (f)
∃!! z ∈ N: z2 –3z + 2 = 0 (f)
Die folgenden mathematischen Ausdrücke sind aber keine mathematischen Aussagen:
15+7
x2 + y2 – 1
X⊂Y
X ∩ Y := {x: x ∈ X ∧ x ∈ Y}
An diesen Beispielen erkennt man:

Mathematische Aussagen haben Relationssymbole

Die einfachsten mathematischen Aussagen sind Relationen der Form
„Term - Relationssymbol – Term“

Terme sind keine mathematischen Aussagen.
Symbolisierte Definitionen sind auch keine mathematischen Aussagen, denn mit Definitionen
erklärt man Begriffe.
Viele mathematische Ausdrücke mit Relationssymbolen sind keine mathematischen Aussagen
und auch keine symbolisierten Definitionen.
Beispiele für solche Ausdrücke sind:
a < 7, x ∈ Ng, y = 0,5x +3, X ⊂ M
Diese Relationen haben keinen bestimmten Wahrheitswert, denn sie enthalten freie Variablen.
Hier können die Symbole „a“, „x“ und „y“ beliebige Zahlen und die Symbole „X“ und „M“
beliebige Mengen bedeuten.
Def.: Eine Variable heißt eine freie Variable genau dann, wenn die Bedeutung dieses Symbols
nicht durch Bedingungen festgelegt ist.
Die mathematischen Ausdrücke a < 7, ..., X ⊂ M sind Aussageformen.
Def.: Ein mathematischer Ausdruck heißt eine Aussageform genau dann, wenn dieser Ausdruck
eine einfache Relation mit freien Variablen ist oder, wenn er aus Relationen mit freien
Variablen besteht.
Diese Definition sagt:
 Jede Aussageform ist ein mathematischer Ausdruck mit mindestens einem
Relationssymbol.
 In jeder Aussageform gibt es mindestens eine freie Variable.
Aus einer beliebigen Aussageform kann man unendlich viele mathematische Aussagen bilden,
indem man die freie Variable dieser Aussageform mit geeigneten Konstanten (d.h. mit
Symbolen für bestimmte geeignete Objekte) belegt.
Wenn man z.B. in der Aussageform a < 7 die Variable a mit der Konstanten 4 (d.h. mit dem
Zahlensymbol „4“) belegt, so erhält man eine wahre Aussage: 4 < 7. Belegt man die Variable mit
der natürlichen Zahl 9, so erhält man eine falsche Aussage: 9 < 7.
(Selbstverständlich sind für die Belegung der Variablen a in dieser Aussageform nur
Zahlensymbole geeignet)
Mathematische Aussagen kann man auch dadurch bekommen, dass man die freien Variablen
einer beliebigen Aussageform mit Hilfe von Quantoren bindet.
„Binden einer freien Variablen“ bedeutet: Man legt für diese Variable eine bestimmte Menge
von Objekten (d.h. von Konstanten) fest.
Wenn man zur Bindung der freien Variablen den Allquantor (d.h. das Symbol „∀“) benutzt, so
erhält man Allaussagen.
Benutzt man die Existenzquantoren (d.h. die Symbole „∃“ und „∃!“) zur Bindung der freien
Variablen, so erhält man Existenzaussagen bzw. eindeutige Existenzaussagen.
Beispielsweise kann man in der Aussageform a < 7 die Variable a mit Hilfe dieser drei
Quantoren an die Menge Nu der ungeraden natürlichen Zahlen binden und dadurch die
folgenden mathematischen Aussagen bekommen:
∀ a ∈ Nu : a < 7 (f)
(In Worten: Für alle ungeraden natürlichen Zahlen a gilt, dass a kleiner als 7 ist.)
∃ a ∈ Nu : a < 7 (w)
(In Worten: Es gibt mindestens eine ungerade natürliche Zahl a, so dass a kleiner als 7 ist.)
∃! a ∈ Nu : a < 7 (f)
(In Worten: Es gibt genau eine ungerade natürliche Zahl a, so dass a kleiner als 7 ist.)
Bindet man die Variable a in der Aussageform a < 7 mit Hilfe der Quantoren an die Menge
M = {1, 2, 3, 4}, so erhält man die Aussagen:
∀ a ∈ M : a < 7 (w)
∃ a ∈ M : a < 7 (w)
∃! a ∈ M : a < 7 (f)
Aus den Beispielen erkennt man:
 Eine Allaussage ist wahr genau dann, wenn sie für alle angegebenen Objekte wahr ist
(d.h. wenn es keine Ausnahmen gibt.)
 Eine Allaussage ist falsch genau dann, wenn sie für mindestens ein Objekt der
festgelegten Menge falsch ist.
1.3.2. Aussagenoperationen
Aus gegebenen mathematischen Aussagen kann man neue mathematische Aussagen bilden.
Dazu benutzt man Aussagenoperationen.
Einige Aussagenoperationen sind: die Negation, die Konjunktion, die Alternative, die
Antivalenz, die Implikation, die Äquivalenz.
1.3.2.1 Die Negation einer mathematischen Aussage
Def.: Man negiert eine mathematische Aussage A, indem man die Aussage ¬𝐴 (gelesen: nicht A)
bildet.
Bei der Negation einer mathematischen Aussage A muss man unterscheiden, ob diese Aussage
eine einfache Relation ist oder ob sie einen Quantor enthält.
Zwei Beispiele für die Negation einfacher Relationen sind:
Aussage A:
Ng ⊂ N (w)
A: 7 < 2 (f)
negierte Aussage:
Ng ⊄ N (f)
7 ≥ 2 (w)
(Achtung! Wenn man den Relationsbegriff „kleiner als“ negiert, so erhält man „größer als oder
gleich“. Negiert man „größer als“, so erhält man „kleiner als oder gleich“)
Aus diesen zwei Beispielen erkennt man:

Wenn man eine wahre mathematische Aussage negiert, so erhält man eine falsche
mathematische Aussage.

Wenn man eine falsche mathematische Aussage negiert, so erhält man eine wahre
mathematische Aussage.

Einfache Relationen negiert man, indem man das Relationssymbol (bzw. den
Relationsbegriff) dieser Relation negiert.
Den Wahrheitswert einer negierten Aussage kann man auch mit Hilfe der folgenden Tabelle
bestimmen:
A
¬𝐀
(w)
(f)
(f)
(w)
Wenn eine mathematische Aussage A eine Allaussage bzw. eine Existenzaussage ist, so hat sie
die Form „∀ x ∈ X : H(x)“ bzw. „∃ x ∈ X : H(x)“. Hier bedeutet H(x) eine Aussageform.
Ein Beispiel für eine Allaussage ist:
Aussage A: ∀ x ∈ Ng : x ≥ 0 (w)
Wenn man diese Aussage negiert, so erhält man:
negierte Aussage ¬𝐴: ¬∀ x ∈ Ng : x ≥ 0 (f)
Es gibt auch die folgende Möglichkeit:
negierte Aussage ¬𝐴: ∃ x ∈ Ng : x < 0 (f)
Diese Existenzaussage und die negierte Allaussage haben den gleichen Inhalt.
Daraus folgt die Regel:
Man negiert eine Allaussage der Form „∀ x ∈ X : H(x)“, indem man den Allquantor negiert und
dadurch die negierte Allaussage „¬∀ x ∈ X : H(x)“ erhält oder indem man die Existenzaussage „∃
x ∈ X : ¬ H(x)“ bildet.
Achtung! Den negierten Allquantor „∼ ∀” liest man: „Nicht für alle …“ bzw. „Nicht für jeden ( e, -es) …“
Ein Beispiel für eine Existenzaussage ist: A: ∃x ∈ Ng : x ≥ 0 (w)
Negiert man diese Aussage, so erhält man: ¬𝐴: ¬ ∃ x ∈ Ng : x ≥ 0 (f)
Es gibt auch die folgende Möglichkeit: ¬𝐴: ∀ x ∈ Ng : x < 0 (f)
Diese Allaussage und die negierte Existenzaussage haben den gleichen Inhalt.
Daraus folgt die Regel:
Man negiert eine Existenzaussage der Form „ ∃x ∈ X : H(x) “, indem man den Existenzquantor
negiert und dadurch die negierte Existenzaussage „ ¬∃ x ∈ X : H(x) “ erhält oder indem man die
Allaussage „ ∀ x ∈ X : ¬H(x) “ bildet.
Achtung! Den negierten Existenzquantor liest man: „Es gibt keinen (-e, -) …“
1.3.2.2 Die Konjunktion mathematischer Aussagen
Def.: Mit Hilfe der Konjunktion bildet man aus zwei mathematischen Aussagen A, B eine
Aussagenverbindung der Form „A ∧ B“.
Diese Aussagenverbindung heißt eine konjunktiv zusammengesetzte Aussage.
Zwei Beispiele für die Konjunktion mathematischer Aussagen sind:
Aussage A: Ng ⊂ N
Aussage B: Nu ⊂ N
Aussage A ∧ B: Ng ⊂ N ∧ Nu ⊂ N
Den Wahrheitswert einer konjunktiv zusammengesetzten Aussage kann man mit Hilfe der
folgenden Tabelle bestimmen:
A
B
A∧B
(w)
(w)
(w)
(w)
(f)
(f)
(f)
(w)
(f)
(f)
(f)
(f)
Man erkennt:

Eine konjunktiv zusammengesetzte Aussage der Form „A ∧ B“ ist wahr genau dann,
wenn die mathematischen Aussagen A und B beide wahr sind.

Eine konjunktiv zusammengesetzte Aussage der Form „A ∧ B“ ist falsch genau dann,
wenn mindestens eine der beiden mathematischen Aussagen A bzw. B falsch ist.
1.3.2.3 Die Disjunktion mathematischer Aussagen
Def.: Mit Hilfe der Disjunktion bildet man aus zwei mathematischen Aussagen A, B eine
Aussagenverbindung der Form „A ∨ B“.
Diese Aussagenverbindung heißt disjunktiv zusammengesetzte Aussage.
Zwei Beispiele für die Disjunktion mathematischer Aussagen sind:
Aussage A:
4 ∈ N (w)
Aussage B:
4 ∈ N (f)
Aussage A ∨ B:
4 ∈ N ∨ 4 ∈ N (w)
Aussage A:
Aussage B:
Aussage A ∨ B:
9 < 7 (f)
9 < 4 (f)
9 < 7 ∨ 9 < 4 (f)
g
u
g
u
Den Wahrheitswert einer disjunktiv zusammengesetzten Aussage kann man mit Hilfe der
folgenden Tabelle bestimmen:
A
B
A∨B
(w)
(w)
(w)
(w)
(f)
(w)
(f)
(w)
(w)
(f)
(f)
(f)
Man erkennt:


Eine disjunktiv zusammengesetzte Aussage der Form „A∨ B“ ist wahr, genau wenn
mindestens eine der beiden mathematischen Aussagen A bzw. B wahr ist.
Eine disjunktiv zusammengesetzte Aussage der Form „A∨ B“ ist falsch genau dann,
wenn die mathematischen Aussagen A und B beide falsch sind.
1.3.2.4 Die Alternative
Def.: Mit Hilfe der Alternative bildet man aus zwei mathematischen Aussagen A, B eine
Aussagenverbindung der Form „𝐴 ∨& 𝐵“
Wahrheitstabelle:
A
B
A∨B
(w)
(w)
(f)
(w)
(f)
(w)
(f)
(w)
(w)
(f)
(f)
(f)
1.3.2.5 Die Negation konjunktiv zusammengesetzter Aussagen und disjunktiv
zusammengesetzter Aussagen
Mit Hilfe der Tabellen für die Wahrheitswerte negierter Aussagen, konjunktiv
zusammengesetzter Aussagen und disjunktiv zusammengesetzter Aussagen begründet man
folgende Regeln:

Zwei mathematische Aussagen der Form „¬( A ∧ B )“ und der Form „¬𝐴 ∨ ¬𝐵“ haben
den gleichen Wahrheitswert.
In Symbolen schreibt man: ¬ (A ∧ B) ↔ ¬𝐴 ∨ ¬𝐵
 Zwei mathematische Aussagen der Form „¬ (A ∨ B)“ und der Form „¬𝐴 ∧ ¬𝐵“ haben den
gleichen Wahrheitswert.
In Symbolen schreibt man: ¬(A ∨ B) ↔ ¬𝐴 ∧ ¬𝐵
Diese beiden Regeln beinhalten:

Man negiert eine konjunktiv zusammengesetzte Aussage der Form „A ∧ B“, indem man
die disjunktiv zusammengesetzte Aussage „¬𝐴 ∨¬𝐵“ bildet.

Man negiert eine disjunktiv zusammengesetzte Aussage der Form „A ∨ B“, indem man
die konjunktiv zusammengesetzte Aussage „¬𝐴 ∧ ¬𝐵“ bildet.
Ein Beispiel für eine konjunktiv zusammengesetzte Aussage ist:
Aussage A ∧ B: Ng ⊂ N ∧ Nu ⊂ N (w)
Wenn man diese Aussage negiert, so erhält man:
negierte Aussage ¬ (A ∧ B): Ng ⊄ N ∨ Nu ⊄ N (f).
Ein Beispiel für eine disjunktiv zusammengesetzte Aussage ist:
Aussage A ∨ B: 4 ∈ Ng ∨ 4 ∈ Nu (w).
Negiert man diese Aussage, so erhält man:
negierte Aussage ¬(A ∨ B): 4 ∉ Ng ∧ 4 ∉ Nu (f)
1.3.2.6 Die Implikation mathematischer Aussagen
Def.: Mit Hilfe der Implikation bildet man aus zwei mathematischen Aussagen A, B eine
Aussagenverbindung der Form „A → B“ (gelesen: Wenn A, so B. oder auch: Aus A folgt B.)
Diese Aussagenverbindung heißt eine implikativ zusammengesetzte Aussage.
Für die Mathematik sind die wahren implikativ zusammengesetzten Allaussagen der Form „∀ x
∈ X : [ H(x) → K(x) ]” besonders wichtig.
Ein Beispiel für eine solche Aussage ist: ∀ x ∈ N : [ x ∈ N6 → x ∈ Ng ] (w).
Diesen Ausdruck liest man:
Für alle natürlichen Zahlen x gilt: Wenn x ein Vielfaches der Zahl 6 ist, so ist x eine
gerade natürliche Zahl.
Man kann auch sagen:
Wenn eine natürliche Zahl x ein Vielfaches der Zahl 6 ist, so ist x eine gerade natürliche
Zahl.
Viele mathematische Sätze (d.h. mathematische Gesetze) sind solche wahren implikativ
zusammengesetzten Allaussagen. Man schreibt diese Sätze aber meistens ohne den Allquantor
in der Form „H(x) → K(x)“.
Außerdem stellt man die Bedingung: H(x) soll bei der Belegung der Variablen x eine wahre
Aussage werden. Diese Bedingung heißt die Voraussetzung des mathematischen Satzes. Das
auch K(x) zu einer wahren Aussage wird, nennt man die Behauptung des Satzes.
An dem Beispiel erkennt man:
Wenn bei einer Belegung der Variablen x aus H(x) eine wahre Aussage entsteht, so erhält man
auch aus der Aussageform K(x) eine wahre Aussage.
Das bedeutet:
Aus der Voraussetzung eines mathematischen Satzes folgt stets die Behauptung dieses Satzes.
Die Voraussetzung ist deshalb eine hinreichende Bedingung für die Behauptung eines solchen
Satzes.

Belegt man in dem Beispiel die Variable x mit der Zahl 4 oder mit der Zahl 8, so wird die
Aussageform x ∈ Ng zu einer wahren Aussage und die Aussageform x ∈ N6 zu einer
falschen Aussage.
Daran erkennt man:
Aus der Behauptung eines mathematischen Satzes folgt die Voraussetzung dieses Satzes im
Allgemeinen nicht (d.h. nicht immer). Die Behauptung ist deshalb keine hinreichende
Bedingung für die Voraussetzung eines solchen Satzes.

Belegt man in dem Beispiel die Variable x mit der Zahl 5 oder mit der Zahl 7, so werden
beide Aussageformen x ∈ Ng und x ∈ N6 zu falschen Aussagen.
Daran erkennt man:
Wenn aus K(x) keine wahre Aussage entsteht, so erhält man auch aus H(x) keine wahre
Aussage.
Aus H(x) kann man nur dann eine wahre Aussage bekommen, wenn K(x) zu einer wahren
Aussage wird.
Das bedeutet:
Die Behauptung eines mathematischen Satzes ist eine notwendige Bedingung für die
Voraussetzung dieses Satzes.
An dem Beispiel erkennt man außerdem, dass die Voraussetzung im Allgemeinen keine
notwendige Bedingung für die Behauptung eines mathematischen Satzes ist.
Aus einer implikativ zusammengesetzten Allaussage der Form „H(x) → K(x)“ kann man neue
Allaussagen bilden.
Sie sind: „K(x) → H(x)“, „ ¬ H(x) → ∼ K(x)“, „ ∼ K(x) → ∼ H(x)“.
Aus diesem Beispiel erhält man:
x ∈ Ng → x ∈ N6 (f), x ∉ N6 → x ∉ Ng (f), x ∉ Ng → x ∉N6 (w).
Für den Beweis (d.h. den Beweis der Wahrheit) einer Allaussage der Form „H(x) → K(x)“ braucht
man oft die Allaussage „ ∼ K(x) → ∼ H(x)“. Sie heißt die kontraponierte Aussage zur Allaussage
„ H(x) → K(x)“!
Def.: Man erhält die kontraponierte Aussage (Kontraposition) zu einer implikativ
zusammengesetzten Aussage der Form „ A → B“, indem man zuerst die Aussage A mit der
Aussage B vertauscht und dann die beiden Aussagen A und B negiert.
Für implikativ zusammengesetzte Allaussagen gilt:
 Wenn eine Allaussage der Form „H(x) → K(x)“ wahr ist, so sind die Allaussagen
„K(x) → H(x) und „¬H(x) → ¬ K(x)“ im Allgemeinen falsch.
 Die kontraponierte Aussage „ ¬ K(x) → ¬ H(x)“ zu einer wahren Aussage der Form
„H(x) → K(x)“ ist auch wahr.
1.3.2.7 Die Äquivalenz mathematischer Aussagen
Viele mathematische Sätze sind wahre Allaussagen der Form „H(x) ↔ K(x)“.
Ein Beispiel für eine solche Aussage ist:
x ∈ N6 ↔ x ∈ Ng ∧ x ∈ N3 (w).
Man liest: Eine natürliche Zahl x ist ein Vielfaches der Zahl 6 genau dann, wenn diese Zahl x
eine gerade natürliche Zahl und ein Vielfaches der Zahl 3 ist.
Man kann auch sagen: Genau dann, wenn eine natürliche Zahl x ein Vielfaches der Zahl 6 ist, so
ist diese natürliche Zahl x eine gerade natürliche Zahl und ein Vielfaches der Zahl 3.
Def.: Mit Hilfe der Äquivalenz bildet man aus zwei mathematischen Aussagen A, B eine
Aussagenverbindung der Form „A ↔ B“ (gelesen: A genau dann, wenn B bzw.:
Genau dann, wenn A, so B oder auch Aus A folgt B, und aus B folgt A.)
Diese Aussagenverbindung heißt eine äquivalent zusammengesetzte Aussage
(bzw.: eine Äquivalenzaussage.)
An dem Beispiel erkennt man:
Eine wahre Äquivalenzaussage der Form „H(x) ↔ K(x)“ ist eine Zusammenfassung der beiden
wahren implikativ zusammengesetzten Allaussagen „H(x) → K(x)“ und „K(x) → H(x)“.
Da auch die kontraponierten Aussagen zu diesen beiden Allaussagen wahr sind, kann man aus
einer wahren Äquivalenzaussage der Form „H(x) ↔ K(x)“ vier wahre implikativ
zusammengesetzte Allaussagen bekommen.
Für mathematische Sätze bedeutet das:
Die Voraussetzung eines mathematischen Satzes der Form „H(x) ↔ K(x)“ ist eine notwendige
und hinreichende Bedingung für die Behauptung, und die Behauptung ist eine notwendige und
hinreichende Bedingung für die Voraussetzung dieses Satzes.
Das Beispiel entspricht den folgenden vier wahren implikativ zusammengesetzten Allaussagen:
x ∈ N6 → x ∈ Ng ∧ x ∈ N3
(w)
x ∉ N6 → x ∉ Ng ∨ x ∉ N3
(w)
x ∈ Ng ∧ x ∈ N3 → x ∈ N6
(w)
x ∉ Ng ∨ x ∉ N3 → x ∉ N6
(w)
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