Applications de la Théorie des Graphes

Cours sur les graphes et projets – Page 1 /28
Applications
de la
théorie des graphes
"Rien n'est plus pratique qu'une bonne théorie"
K. LEWIN
1. INTRODUCTION A PARTIR D'UN EXEMPLE .......................................................................................... 2
2. QUELQUES DEFINITIONS ............................................................................................................................ 3
2.1 SUR LES GRAPHES ORDINAIRES ............................................................................................................................ 3
2.2 SUR LES GRAPHES ORIENTES ................................................................................................................................ 4
3. UTILISATION DES MODELES DE GRAPHES ........................................................................................... 5
3.1 QUELQUES APPLICATIONS EN GESTION................................................................................................................ 5
3.2 QUELQUES PROBLEMES CLASSIQUES ................................................................................................................... 6
4. APPLICATION AUX PROBLEMES D'ORDONNANCEMENT ................................................................ 8
4.1 INTRODUCTION ................................................................................................................................................... 8
4.2 EXEMPLE............................................................................................................................................................. 9
4.3 MODELISATION ................................................................................................................................................... 9
4.3.1 La méthode "Potentiel-tâches" ................................................................................................................. 10
4.3.2 La méthode "Potentiel-étapes" ................................................................................................................. 11
4.4 LES OUTILS ALGORITHMIQUES .......................................................................................................................... 12
4.4.1 Algorithme de "mise à niveau" d'un graphe sans circuits ........................................................................ 12
4.4.2 Algorithme de recherche d'un chemin de poids optimum ......................................................................... 13
4.5 OPTIMISATION DU CALENDRIER ........................................................................................................................ 14
4.6 COMPLEMENTS A L'ORDONNANCEMENT ............................................................................................................ 16
4.6.1 La méthode PERT ..................................................................................................................................... 16
4.6.2 La méthode CPM (Critical Path Method) ................................................................................................ 18
4.6.3 La prise en compte des moyens matériels et humains .............................................................................. 22
4.6.4 Autres types de contraintes ....................................................................................................................... 22
5. EXERCICES .................................................................................................................................................... 23

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1. Introduction à partir d'un exemple
Idée clé : Un dessin permet de synthétiser un problème et de raisonner efficacement.
Une représentation graphique claire soutient l'intuition et stimule l'imagination.
Les 7 ponts de Koenigsberg

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2. Quelques définitions
Nous allons brièvement présenter quelques notions relatives aux graphes ordinaires, puis aux
graphes orientés.
2.1 Graphes ordinaires
graphe : ensemble de sommets et d'arêtes.
G = (X,E) avec X ensemble des sommets et E ensemble des arêtes.
A D
C
B
a
1
a
2
a
3
a
6
a
5
a
7
a
4
sommet : A,B,C,D sont les 4 sommets du graphe ci-dessus.
arête :la "ligne" reliant A et B est une arête du graphe (le graphe en comporte 7)
degré d'un = nombre d'arêtes incidentes.
sommet exemple: le sommet A est de degré 5
chaîne : Suite alternée de sommets et d'arêtes où chaque arête est "origine de la suivante"
(exemple: (A, a4, C, a7, D) est une chaîne reliant A à D.)
cycle : chaîne dont l'origine est égale à la destination.
exemple: (A, a4, C, a7, D, a3, A)
connexité : Soit un graphe: G = (X,E) avec x,y X
La relation C définie par :
x C y <==> il existe une chaîne de x à y
est une relation d'équivalence dont les classes sont appelées composantes
connexes de G.
arbre: un arbre est un graphe connexe et sans cycles.

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2.2 Graphes orientés (réseaux)
On ajoute un "sens de parcours" sur les arêtes qui deviennent des arcs.
A D
C
B
a
1
a
2
a
3
a
6
a
5
a
7
a
4
 Sur l'arc (B,A), on dira que B est le prédécesseur de A et que A est le successeur de B.
 L'équivalent de la chaîne est le chemin; celui du cycle est le circuit.
 (par exemple: (A, a4, C, a7, D) est un chemin de A à D
 (A, a4, C, a7, D, a3, A) est un circuit ).
 A la notion de connexité pour un graphe non orienté correspond la notion de forte connexité
pour un graphe orienté.
 A la notion d'arbre pour un graphe non orienté correspond la notion d'arborescence pour un
graphe orienté.

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3. Utilisation des modèles de graphes
 De manière générale, les graphes aident à décrire et à comprendre les
problèmes.
 Pour certains problèmes, des méthodes d'optimisation sont utilisées pour
assister la prise de décision.
3.1 Quelques applications en gestion
 Gestion de projets dans tous les domaines, ordonnancement.
 Gestion de ressources humaines (modélisation de certains types d'interaction).
 Optimisation de politique financière ou commerciale.
 Réseaux de transport, de communication.