biaz101

http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed
1
ﻪﺗﺎﻘﻴﺒﻄﺗ و ﻲﻤﻠﺴﻟا ءاﺪﺠﻟاءﺎﻀﻔﻟا ﻲﻓ
I-ﻲﻤﻠﺴﻟا ءاﺪﺠﻟا
1- ﻦﻴﺘﻴﻤﻴﻘﺘﺴﻣ ﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻤﻟ ﻲﻤﻠﺴﻟا ءاﺪﺠﻟا
ﻒﻳﺮﻌﺗ
ﻦﻜﺘﻟ
v و u
ﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻣ ﻦﻴﺘﻴﻤﻴﻘﺘﺴﻣ ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ V3
ﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻤﻠﻟ ﻲﻤﻠﺴﻟا ءاﺪﺠﻟا v و u ﻲﻘﻴﻘﺤﻟا دﺪﻌﻟا ﻮه ـﺑ ﻪﻟ ﺰﻣﺮﻳ يﺬﻟا
uv⋅
و ﻲﻠﻳ ﺎﻤآ فﺮﻌﻤﻟا .
* اذإﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻤﻠﻟ نﺎآ v و u نﺎﻓ ﻰﺤﻨﻤﻟا ﺲﻔﻧ uv u v
⋅
=×
* اذإﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻤﻠﻟ نﺎآ
v و u
نﺎﺴآﺎﻌﺘﻣ نﺎﻴﺤﻨﻣ نﺎﻓ
uv u v⋅=− ×
* نﺎآ اذإ0u= وأ 0v= نﺎﻓ 0uv
⋅
=
2- ﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻤﻟ ﻲﻤﻠﺴﻟا ءاﺪﺠﻟا ﻦﻴﺘﻴﻤﻴﻘﺘﺴﻣ ﺮﻴﻏ
ﻒﻳﺮﻌﺗ
ﻦﻜﺘﻟ v و u ﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻣ ﻦﻴﺘﻴﻤﻴﻘﺘﺴﻣ ﺮﻴﻏ ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ V3 و A ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﺔﻄﻘﻧ E .
نﺎﺘﻄﻘﻧ ﺪﺟﻮﺗBو Cﻴﺣ ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﺚuAB= و vAC= ﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻤﻠﻟ ﻲﻤﻠﺴﻟا ءاﺪﺠﻟا v و u دﺪﻌﻟا ﻮه
ﻲﻘﻴﻘﺤﻟا
uv⋅
ﻲﻠﻳ ﺎﻤآ فﺮﻌﻤﻟا
'u v AB AC AB AC⋅= ⋅ = ⋅ ﺚﻴﺣC' ـﻟ يدﻮﻤﻌﻟا ﻂﻘﺴﻤﻟا C ﻰﻠﻋ (AB)
BAC ةدﺎﺣ ﺔﻳواز BAC ﺔﺟﺮﻔﻨﻣ ﺔﻳواز
'u v AB AC AB AC⋅= ⋅ = × 'u v AB AC AB AC⋅= ⋅ =− ×
2- ﺔﻐﻴﺻ ﺔﻴﺜﻠﺜﻣ ﻲﻤﻠﺴﻟا ءاﺪﺠﻠﻟ
ﻦﻜﺘﻟ v و u ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﻦﻴﺘﻣﺪﻌﻨﻣ ﺮﻴﻏ ﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻣ V3 و A و B وC ﺚﻴﺣ ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﻂﻘﻧ ثﻼﺛ
uAB=
و
vAC= و θ ﺔﻳواﺰﻟا سﺎﻴﻗ BAC و C'ـﻟ يدﻮﻤﻌﻟا ﻂﻘﺴﻤﻟا C ﻰﻠﻋ (AB)
* نﺎآ اذإ
2
0
π
θ ≺≤ نﺎﻓ BAC ةدﺎﺣ ﺔﻳواز
'u v AB AC AB AC⋅= ⋅ = × ﺚﻴﺣ و'cosAC AC
θ
=⋅
نﺎﻓ cosu v AB AC
θ
⋅
=×
* نﺎآ اذإ πθ
π
≤≺
2
نﺎﻓ BAC ﺔﺟﺮﻔﻨﻣ ﺔﻳواز
'u v AB AC AB AC⋅= ⋅ =− × ﺚﻴﺣ و
()
'cos cosAC AC AC
π
θθ =⋅ −=−
نﺎﻓ
cosu v AB AC
θ
⋅
=×
* نﺎآ اذإ
2
π
θ =
نﺎﻓ'0AC
=
ﻪﻨﻣ و 0uv
⋅
= نذإ cos 2 u v AB AC
π
⋅= ×
ﺔﻴﺻﺎﺧ
ﺖﻧﺎآ اذإ v و u ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﻦﻴﺘﻣﺪﻌﻨﻣ ﺮﻴﻏ ﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻣ V3 و A و Bو Cءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﻂﻘﻧ ثﻼﺛ ﺚﻴﺣuAB=
و vAC= وθ ﺔﻳواﺰﻟا سﺎﻴﻗ
(
)
;AB AC نﺎﻓ cosu v AB AC
θ
⋅= ×

http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed
2
ﺔﺠﻴﺘﻧ
ﺖﻧﺎآ اذإ
v و u
ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﻦﻴﺘﻣﺪﻌﻨﻣ ﺮﻴﻏ ﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻣ V3 وθ ﺔﻳواﺰﻟا سﺎﻴﻗ
()
;uv نﺎﻓ
cosuv u v
θ
⋅= ×
ﺔﻴﺻﺎﺧ
ﻦﻜﺘﻟ
A
B
و CD ﻦﻴﺘﻣﺪﻌﻨﻣ ﺮﻴﻏ ﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻣ
''AB CD AB C D⋅=⋅ ﺚﻴﺣ
'; 'DC
ـﻟ نﺎﻳدﻮﻤﻌﻟا نﺎﻄﻘﺴﻤﻟا
;DC
ﻰﻠﻋ
()
A
B
ﻲﻟاﻮﺘﻟﺎﺑ .
3- تﺎﻴﺻﺎﺧ
أ-ﺘﻬﺠﺘﻣ ﺪﻣﺎﻌﺗ ﻦﻴ :
ﻒﻳﺮﻌﺗ
ﻦﻜﺘﻟv و u ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻣ V3 .
نﻮﻜﺗ v و u نﺎآ اذإ ﻂﻘﻓو اذإ ﻦﻳﺪﻣﺎﻌﺘﻣ 0uv
⋅
= ﺐﺘﻜﻧ vu  ⊥
ﺔﻈﺣﻼﻣ ﺔﻬﺠﺘﻤﻟا 0 ﻋ ﺔﻳدﻮﻤﻋ ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﺔﻬﺠﺘﻣ ﺔﻳأ ﻰﻠV3
ب- ﺔﻬﺠﺘﻣ ﻢﻈﻨﻣ
ﻦﻜﺘﻟ u ﺘﻣ و ﺔﻣﺪﻌﻨﻣ ﺮﻴﻏ ﺔﻬﺠA و B ﺚﻴﺣ ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﻦﻴﺘﻄﻘﻧ uAB= ﻪﻨﻣو
2
uu AB⋅=
ﺔﻣﺪﻌﻨﻣ ﺮﻴﻏ ﺔﻬﺠﺘﻣ ﻞﻜﻟ نذإ u 0uu
⋅
ﻲﻘﻴﻘﺤﻟا دﺪﻌﻟا uu⋅ ـﻟ ﻲﻤﻠﺴﻟا ﻊﺑﺮﻤﻟا ﻰﻤﺴﻳ u و ﻳ ﻜﺐﺘ
2
u
دﺪﻌﻟا
2
u ﺔﻬﺠﺘﻤﻟا ﻢﻈﻨﻣ ﻰﻤﺴﻳu ﺐﺘﻜﻳو u
ﺔﻈﺣﻼﻣ *
22
uu=
ج-تﺎﻴﺻﺎﺧ
(
)
3
3
,,uvw V α
∀
∈∀∈
* uv v u
⋅
=⋅
* ()uv w uv uw
⋅
+=⋅+⋅
*
()vwuvuwu
+
⋅=⋅+ ⋅
* ()u v uv uv
α
αα
⋅
=⋅=×⋅
ﺔﻣﺎه تﺎﻘﺑﺎﻄﺘﻣ
()
222
2uv u v uv+=++⋅
()
222
2uv u v uv−=+−⋅
()()
22
uvuv u v+−=−
II-ﺔـــــــــﻴﻠﻴﻠﺤﺗ ﻎــــــﻴﺻ
1-ﻠﻌﻤﻟا و سﺎﺳﻷا نﺎﻤﻈﻨﻤﻤﻟا ناﺪﻣﺎﻌﺘﻤﻟا ﻢ
ﻒﻳﺮﻌﺗ
ﻦﻜﺘﻟ i و j و k ﺮﻴﻏ تﺎﻬﺠﺘﻣ ثﻼﺛ ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﺔﻴـــــﺋاﻮﺘﺴﻣV3 و Oءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﺔﻄﻘﻧ .
);;( kji ءﺎﻀﻔﻠﻟ س ﺎﺳأ V3
سﺎﺳﻷا نﻮﻜﻳ );;( kji ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ) ﻢﻠﻌﻤﻟا وأ(;;;)Oi jk ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ( تﺎﻬﺠﺘﻤﻟا ﺖﻧﺎآ اذإ ﻂﻘﻓو اذإ
i و j و k ﻰﻨﺜﻣ ﻰﻨﺜﻣ ةﺪﻣﺎﻌﺘﻣ .
سﺎﺳﻷا نﻮﻜﻳ
);;( kji
ﻢﻈﻨﻤﻣ و ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ) ﻢﻠﻌﻤﻟا وأ
(;;;)Oi jk
ﻢﻈﻨﻤﻣو ﺪﻣﺎﻌﺗ( تﺎﻬﺠﺘﻤﻟا ﺖﻧﺎآ اذإ ﻂﻘﻓو اذإ
i و j و k و ﻰﻨﺜﻣ ﻰﻨﺜﻣ ةﺪﻣﺎﻌﺘﻣ 1ijk
=
==
2-ﻲﻤﻠﺴﻟا ءاﺪﺠﻠﻟ ﺔﻴﻠﻴﻠﺤﺘﻟا ﺔﻐﻴﺼﻟا
أ - ﺔﻴﺻﺎﺧ
ﻢﻠﻌﻣ ﻰﻟإ بﻮﺴﻨﻣ ءﺎﻀﻔﻟا .م. م(;;;)Oi jk
ﺖﻧﺎآ اذإ
(
)( )
zyxu و zyxv ;;';';' 
نﺎﻓ
'''u v xx yy zz⋅= + +
ﺔﻈﺣﻼﻣ
ﺖﻧﺎآ اذإ
()
zyxu ;; ﻢﻠﻌﻤﻠﻟ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ.م. م(;;;)Oi jk نﺎﻓ ;;ui x u j y uk z⋅= ⋅= ⋅=
ب - ﻦﻴﺘﻄﻘﻧ ﻦﻴﺑ ﺔﻓﺎﺴﻤﻟ و ﺔﻬﺠﺘﻣ ﻢﻈﻨﻤﻟ ﺔﻴﻠﻴﻠﺤﺘﻟا ﺔﻐﻴﺼﻟا
* - ﺖﻧﺎآ اذإ ()
zyxu ;;
ﻢﻠﻌﻤﻠﻟ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ.م. م);;;( kjio نﺎﻓ
222
uxyz=++

http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed
3
*-ا ﺖﻧﺎآ اذ
(
)
;;
A
AA
Ax y z و
(
)
;;
B
BB
B
xyz ﻢﻠﻌﻤﻠﻟ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ.م. م
);;;( kjio
نﺎﻓ
()()()
222
BA BA BA
AB x x y y z z=−+−+−
ج –ﻦﻴﺘﻬﺠﺘﻣ ﺪﻣﺎﻌﺗ
ﺔﻴﺻﺎﺧ
()
(
)
zyxu و zyxv ;;';';'
ﻦﻣ نﺎﺘﻬﺠﺘﻣ ﻢﻠﻌﻣ ﻰﻟإ بﻮﺴﻨﻣ ءﺎﻀﻓ.م. م(;;;)Oi jk
'uv
⊥
نﺎآ اذا ﻂﻘﻓو اذا
'''0xx yy zz
+
+=
ﻦﻳﺮﻤﺗ
1- ﺔﻬﺠﺘﻣ دﺪﺣw ﻰﻠﻋ ﺔﻳدﻮﻤﻋو ﺔﻳﺪﺣاو
(
)
1;1;1−u و
()
0;2;1 −v
2 - ﺔﻬﺠﺘﻣ دﺪﺣ w ﻰﻠﻋ ﺔﻳدﻮﻤﻋ
(
)
0;1;1u
و
(
)
1;2;0v
و
3w=
ﻦﻳﺮﻤﺗ
ﺮﺒﺘﻌﻧ
()
1;1; 2Aو
(
)
2; 2;0B− و
(
)
1; 1; 2C−−−
نأ ﻦﻴﺑ ABCﺜﻣ ﺔﻳواﺰﻟا ﻢﺋﺎﻗو ﻦﻴﻗﺎﺴﻟا يوﺎﺴﺘﻣ ﺚﻠ