AVERTISSEMENT Vous venez de télécharger gratuitement le livre du professeur de Phare 5e 2010. Nous vous rappelons qu’il est destiné à un usage strictement personnel. Il ne peut ni être reproduit ni être mutualisé sur aucun site (site d’établissement, site enseignant, blog ou site de peer to peer), même à titre grâcieux. Deux raisons principales : • Eviter de rendre le fichier accessible aux élèves dans les moteurs de recherche. • Respecter pleinement le droit d’auteurs : en effet, l’ensemble des guides pédagogiques et livres du professeur mis à votre disposition sont des œuvres de l’esprit protégées par le droit de la propriété littéraire et artistique. Nous vous rappelons que selon les articles L 331-1 et L 335-4 du Code de la propriété intellectuelle, toute exploitation non autorisée de ces œuvres constitue un délit de contrefaçon passible de sanctions de natures pénale et civile, soit trois ans d’emprisonnement et 300 000 euros d’amende. Collection PHARE 5 e Mathématiques Roger Brault Professeur au Lycée Maréchal Soult à Mazamet (81) Isabelle Daro Professeur au Collège Jean-Auguste Ingres à Montauban (82) Christine Ferrero Professeur au Collège Bellevue à Toulouse (31) Dominique Perbos-Raimbourg Professeur au Collège Pierre de Fermat à Toulouse (31) Christophe Telmon Professeur au Lycée Pierre Bourdieu à Fronton (31) Livre du professeur Tous les tableaux et figures (en couleurs) sont disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Les auteurs et l’éditeur remercient Régis Chevallier pour sa collaboration. Maquette de couverture : N. Piroux Maquette intérieure : F. Jély Mise en page : CMB Graphic Crédit photographique couverture : Phare © Marcus-Lorenz – Fotolia.com © Hachette Livre 2010, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15. ISBN : 978-2-01-125597-6 Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5, d’une part que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et on destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droits ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. > Somm mair a ire e ● Préambule pour le collège . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ● Grille de référence de fin de cycle central (fin de 4e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ● Préambule pour la classe de Cinquième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ● Je comprends les consignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Nombres et calculs 1 Enchaînements d’opérations ● ● 2 15 Calculer une expression numérique avec ou sans parenthèses. Écrire une expression numérique correspondant à une succession d’opérations. Calcul littéral 22 Utiliser et produire une expression littérale. Sur des exemples numériques et littéraux, utiliser dans les deux sens les égalités k(a + b) = ka + kb et k(a – b) = ka – kb. ● Simplifier et réduire une expression littérale. ● Tester si une égalité est vraie pour des valeurs données. ● ● 3 Nombres en écriture fractionnaire : sens ● ● ● ● 4 31 Exprimer une proportion. Reconnaître que deux quotients sont égaux. Simplifier une fraction. Reconnaître si un nombre entier est multiple ou diviseur d’un autre nombre entier. Effectuer la division d’un nombre par un nombre décimal. Nombres en écriture fractionnaire : opérations 39 Additionner et soustraire deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où le dénominateur de l’un est un multiple du dénominateur de l’autre. ● Effectuer le produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire. ● 5 Nombres relatifs : définition et comparaison ● ● ● ● 6 Connaître et utiliser les notations et le vocabulaire des nombres relatifs. Repérer des nombres relatifs sur une droite graduée. Comparer des nombres relatifs. Repérer un point dans le plan. Nombres relatifs : addition et soustraction ● ● ● 48 55 Calculer la somme, la différence de deux nombres relatifs. Calculer la distance entre deux points sur une droite graduée. Calculer, produire une expression algébrique. Organisation et gestion de données 7 Proportionnalité ● ● ● ● ● 8 Représentation et traitement de données ● ● ● ● ● 64 Reconnaître si un tableau complet de nombres est ou non un tableau de proportionnalité. Déterminer une quatrième proportionnelle. Appliquer, calculer un pourcentage. Comparer des proportions. Calculer, utiliser l’échelle d’une carte ou d’un dessin. 74 Calculer des effectifs. Calculer des fréquences. Regrouper des données numériques en classes d’égale amplitude. Lire et interpréter des informations à partir d’un tableau ou d’une représentation graphique. Représenter des données sous la forme d’un tableau, d’un diagramme ou d’un histogramme. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 3 > S o m m aire a i re Géométrie 9 Symétries 81 Construire par symétrie axiale le symétrique d’une droite. Construire par symétrie centrale le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite, d’une demi-droite, d’un cercle. ● Construire ou compléter la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un point. ● ● 10 Triangles : droites remarquables ● ● ● ● ● 11 Connaître et utiliser l’inégalité triangulaire. Construire un triangle connaissant les longueurs de ses trois côtés. Connaître et utiliser la définition et les propriétés de la médiatrice d’un segment. Construire le cercle circonscrit à un triangle. Connaître et utiliser la définition d’une médiane et d’une hauteur d’un triangle. Triangles : angles ● ● ● ● 12 88 96 Connaître les propriétés des angles d’un triangle rectangle, isocèle ou équilatéral. Connaître et utiliser la somme des angles d’un triangle. Construire un triangle connaissant : > la longueur d’un côté et les deux angles qui lui sont adjacents ; > les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés. Appliquer la somme des angles d’un triangle à un triangle équilatéral, rectangle ou isocèle. Angles 104 Reproduire un angle. Maîtriser l’utilisation du rapporteur. Connaître, utiliser le vocabulaire et les propriétés des angles adjacents, complémentaires, supplémentaires, opposés par le sommet, alternes-internes, correspondants. ● Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante et leurs réciproques. ● ● 13 Parallélogramme 112 Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles) du parallélogramme. ● Construire un parallélogramme donné en utilisant les propriétés. ● 14 Rectangle, losange, carré 121 Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux éléments de symétrie) du rectangle, du losange, du carré. ● Construire un rectangle, un losange, un carré donné en utilisant les propriétés. ● 15 Prisme droit et cylindre de révolution ● ● ● ● 131 Fabriquer un prisme droit dont la base est un triangle ou un parallélogramme. Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de base est donné. Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière de ces deux solides. Interpréter une représentation en perspective cavalière d’un prisme droit. Grandeurs et mesures 16 Longueurs, masses, durées ● ● 17 Calculer le périmètre d’une figure. Calculer des durées, des horaires. Aires et volumes ● ● ● 4 137 145 Calculer l’aire d’un parallélogramme, d’un triangle, d’une surface décomposable. Calculer le volume d’un pavé droit, d’un prisme droit, d’un cylindre de révolution. Effectuer pour des volumes des changements d’unités de mesure. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. > Préambul le e p po ou u r le collè collèg ge e 1. FINALITÉS ET OBJECTIFS À l’école primaire, une proportion importante d’élèves s’intéresse à la pratique des mathématiques et y trouve du plaisir. Le maintien de cet intérêt pour les mathématiques doit être une préoccupation du collège. Il est en effet possible de se livrer, à partir d’un nombre limité de connaissances, à une activité mathématique véritable, avec son lot de questions ouvertes, de recherches pleines de surprises, de conclusions dont on parvient à se convaincre. Une telle activité, accessible aux élèves, a une valeur formatrice évidente et leur permet d’acquérir les savoirs et savoir-faire qui leur seront nécessaires. 1.1. Les mathématiques comme discipline de formation générale Au collège, les mathématiques contribuent, avec d’autres disciplines, à entraîner les élèves à la pratique d’une démarche scientifique. L’objectif est de développer conjointement et progressivement les capacités d’expérimentation et de raisonnement, d’imagination et d’analyse critique. Elles contribuent ainsi à la formation du futur citoyen. À travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et l’apprentissage progressif de la démonstration, les élèves prennent conscience petit à petit de ce qu’est une véritable activité mathématique : identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution. 1.2. L’outil mathématique Les méthodes mathématiques s’appliquent à la résolution de problèmes courants. Elles ont cependant leur autonomie propre et l’efficacité des concepts qu’elles étudient, due à leur universalité, leur permet d’intervenir dans des domaines aussi divers que les sciences physiques, les sciences de la vie et de la Terre, la technologie, la géographie... Certaines de ces disciplines entretiennent des liens très étroits avec la discipline mathématique qui leur apporte l’efficacité de ses outils et, en retour, nourrit sa réflexion des problèmes qu’elles lui soumettent. L’enseignement tend à la fois à développer la prise de conscience de cette autonomie par les élèves et à montrer que l’éventail des utilisations est très largement ouvert. Au collège, est visée la maîtrise de techniques mathématiques élémentaires de traitement (organisation de données, représentations, mises en équation) et de résolution (calculs et équations bien sûr, mais aussi constructions). Leur emploi dans la prévision et l’aide à la décision est précieux dans de multiples circonstances, de la gestion familiale à l’activité scientifique ou professionnelle. 1.3 Les mathématiques comme discipline d’expression Les mathématiques participent à l’enrichissement de l’emploi de la langue par les élèves, en particulier par la pratique de l’argumentation. Avec d’autres disciplines, les mathématiques ont également en charge l’apprentissage de différentes formes d’expression autres que la langue usuelle (nombres, symboles, figures, tableaux, schémas, graphiques) ; © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. elles participent ainsi à la construction de nouveaux langages. L’usage largement répandu des moyens actuels de traitement de l’information et de communication exige une bonne maîtrise de ces formes variées d’expression. 1.4. Les mathématiques et l’histoire des arts L’enseignement des mathématiques contribue à sensibiliser l’élève à l’histoire des arts dans la continuité de l’enseignement assuré à l’école primaire. Situées dans une perspective historique, les œuvres appartiennent aux six grands domaines artistiques définis dans le programme d’histoire des arts. Ces œuvres permettent d’effectuer des éclairages et des croisements en relation avec les autres disciplines : au sein des « arts de l’espace », peuvent, par exemple, être abordés certains principes géométriques utilisés dans l’architecture et dans l’art des jardins (Vauban, Le Nôtre, etc.) ; « les arts du visuel » permettent, par exemple, d’aborder la question de la perspective, les constructions en pavages ; dans les « arts du langage » certains procédés de construction littéraire s’appuient sur des principes mathématiques. Les thématiques proposées dans l’enseignement de l’histoire des arts, par exemple « Arts, espace, temps » ou « Arts et innovations techniques », permettent d’introduire quelques grands repères dans l’histoire des sciences, des techniques et des arts. 2. LE SOCLE COMMUN Le socle commun de connaissances et de compétences recouvre en mathématiques la quasi totalité des champs du programme, la différence entre le programme proprement dit et le socle commun résidant surtout dans le degré d’approfondissement et dans l’expertise attendue. De plus, pour la maîtrise de nombreux concepts, un temps d’appropriation plus important est laissé aux élèves. Certes, quelques connaissances inscrites dans les programmes ne figurent pas dans les compétences du socle (trigonométrie, équation, fonctions, …) mais c’est essentiellement au niveau des capacités attendues et des activités proposées que la différence entre les exigibles apparaît. Elles sont identifiées dans les programmes par un recours aux caractères italiques, signalé systématiquement. Sur deux points importants, le socle commun se démarque de façon importante du programme : – dans le domaine du calcul littéral, les exigences du socle ne portent que sur les expressions du premier degré à une lettre et ne comportent pas les techniques de résolution algébrique ou graphique de l’équation du premier degré à une inconnue ; – dans le domaine géométrique, les élèves doivent apprendre à raisonner et à argumenter, mais l’écriture formalisée d’une démonstration de géométrie n’est pas un exigible du socle. De plus, il faut prendre en compte, à propos des connaissances et capacités relatives aux nombres en écriture fractionnaire, que le travail sur les quotients est exigeant et doit être conduit sur les quatre années de collège. Au niveau des exigibles du socle commun, toute technicité est exclue, puisque – dans l’esprit général du socle – on se limite à des problèmes simples, proches de la vie courante, utilisant des nombres en écriture fractionnaire. 5 3. ORGANISATION DES CONTENUS Les quatre parties des programmes des classes du collège s’organisent autour des objectifs suivants : organisation et gestion de données, fonctions ● – maîtriser différents traitements en rapport avec la proportionnalité ; – approcher la notion de fonction (exemples des fonctions linéaires et affines) ; – s’initier à la lecture, à l’utilisation et à la production de représentations, de graphiques et à l’utilisation d’un tableur ; – acquérir quelques notions fondamentales de statistique descriptive et se familiariser avec les notions de chance et de probabilité. nombres et calcul ● – acquérir différentes manières d’écrire des nombres (écriture décimale, écriture fractionnaire, radicaux) et les traitements correspondants ; – se représenter la droite graduée complète, avec son zéro séparant les valeurs positives et négatives et apprendre à y localiser les nombres rencontrés ; – poursuivre l’apprentissage du calcul sous toutes ses formes : mental, posé, instrumenté ; – assimiler progressivement le langage algébrique et son emploi pour résoudre des problèmes (en particulier distinguer égalité, identité et équation). géométrie ● – passer de l’identification perceptive (la reconnaissance par la vue) de figures et de configurations à leur caractérisation par des propriétés (passage du dessin à la figure) ; – isoler dans une configuration les éléments à prendre en compte pour répondre à une question ; – être familiarisé avec des représentations de l’espace, notamment avec l’utilisation de conventions usuelles pour les traitements permis par ces représentations ; – découvrir quelques transformations géométriques simples : symétries : symétries axiales et centrales ; – se constituer un premier répertoire de théorèmes et apprendre à les utiliser. grandeurs et mesure ● – se familiariser avec l’usage des grandeurs les plus courantes (longueurs, angles, aires, volumes, durées) ; – connaître et utiliser les périmètres, aires et volumes des figures planes et des solides étudiés ; – calculer avec les unités relatives aux grandeurs étudiées, ainsi qu’avec les unités de quelques grandeurs quotients et grandeurs produits. Ces programmes sont construits de manière à permettre une acquisition et un approfondissement progressifs des notions sur toute la durée du collège. Leur mise en œuvre est enrichie par l’emploi des instruments actuels de calcul, de dessin et de traitement (calculatrices, ordinateurs). 4. ORGANISATION DES APPRENTISSAGES ET DE L’ENSEIGNEMENT Les enseignants ont le libre choix de l’organisation de leur enseignement, dans le respect des programmes. Il importe cependant d’éviter l’émiettement des savoirs et des 6 méthodes et de faciliter leur bonne structuration, en particulier en vue d’une initiation progressive au raisonnement déductif. Une difficulté de l’enseignement au collège vient de la double nécessité de traiter la totalité du programme et d’assurer à tous les élèves la maîtrise des éléments du socle. En mathématiques, c’est à travers une pédagogie différenciée basée sur la résolution de problèmes et la mise en activité de la totalité des élèves que ce double objectif peut être atteint. Il est nécessaire d’entretenir les capacités développées dans les classes antérieures, indispensables à la poursuite des apprentissages et à la maîtrise du socle commun par tous les élèves. Cet entretien doit être assuré non par des révisions systématiques mais par des activités appropriées, notamment des résolutions de problèmes. 4.1. Une place centrale pour la résolution de problèmes La compréhension et l’appropriation des connaissances mathématiques reposent sur l’activité de chaque élève qui doit donc être privilégiée. Pour cela, et lorsque c’est possible, sont choisies des situations créant un problème dont la solution fait intervenir des « outils », c’est-à-dire des techniques ou des notions déjà acquises, afin d’aboutir à la découverte ou à l’assimilation de notions nouvelles. Lorsque celles-ci sont bien maîtrisées, elles fournissent à leur tour de nouveaux « outils », qui permettent un cheminement vers une connaissance meilleure ou différente. Ainsi, les connaissances peuvent prendre du sens pour l’élève à partir des questions qu’il se pose et des problèmes qu’il résout. Les situations choisies doivent : – prendre en compte les objectifs visés et une analyse préalable des savoirs en jeu, ainsi que les acquis et les conceptions initiales des élèves ; – permettre un démarrage possible pour tous les élèves, donc ne reposer que sur des consignes simples et n’exiger, au départ, que des connaissances solidement acquises par tous ; – créer rapidement un problème assez riche pour provoquer des conjectures ; – rendre possible la mise en jeu, puis la formulation des notions ou des procédures dont l’apprentissage est visé ; – fournir aux élèves, aussi souvent que possible, des occasions de contrôle de leurs résultats, tout en favorisant un nouvel enrichissement ; on y parvient, par exemple, en prévoyant divers cheminements qui permettent de fructueuses comparaisons. Si la résolution de problèmes permet de déboucher sur l’établissement de connaissances nouvelles, elle est également un moyen privilégié d’en élargir le sens et d’en assurer la maîtrise. Pour cela, les situations plus ouvertes, dans lesquelles les élèves doivent solliciter en autonomie les connaissances acquises, jouent un rôle important. Leur traitement nécessite initiative et imagination et peut être réalisé en faisant appel à différentes stratégies qui doivent être explicitées et confrontées, sans nécessairement que soit privilégiée l’une d’entre elles. L’utilisation d’outils logiciels est particulièrement importante et doit être privilégiée chaque fois qu’elle est une aide à l’imagination, à la formulation de conjectures ou au calcul. Cette utilisation se présente sous deux formes indispensables, notamment dans le cadre des compétences du socle commun : l’usage d’un vidéoprojecteur en classe et l’utilisation par les élèves d’ordinateurs « en fond de classe » ou en salle informatique. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 4.2. Une prise en compte des connaissances antérieures des élèves L’enseignement prend en compte les connaissances antérieures des élèves : mise en valeur des points forts et repérage des difficultés de chaque élève à partir d’évaluations diagnostiques. Ainsi l’enseignement peut-il être organisé au plus près des besoins des élèves, en tenant compte du fait que tout apprentissage s’inscrit nécessairement dans la durée et s’appuie sur les échanges qui peuvent s’instaurer dans la classe. Il convient de faire fonctionner les notions et « outils » mathématiques étudiés au cours des années précédentes dans de nouvelles situations, autrement qu’en reprise ayant un caractère de révision. En Sixième, particulièrement, les élèves doivent avoir conscience que leurs connaissances évoluent par rapport à celles acquises à l’école primaire. 4.3. L’importance des mises en cohérence Pour être efficaces, les connaissances doivent être identifiées, nommées et progressivement détachées de leur contexte d’apprentissage. D’une part, toute activité (qui peut s’étendre sur plusieurs séances) doit être complétée par une synthèse. Celle-ci doit porter sur les quelques notions mises en évidence (définitions, résultats, théorèmes et outils de base) que, désormais, les élèves doivent connaître et peuvent utiliser. Elle est aussi l’occasion de dégager les méthodes de résolution de problèmes qui mettent en œuvre ces notions. Il convient, en effet, de préciser à chaque étape de l’apprentissage quelles connaissances sont désormais en place et donc directement utilisables. D’autre part, il est nécessaire de proposer des situations d’étude dont le but est de coordonner des acquisitions diverses. Dans cette optique, l’enseignant réalise, avec les élèves, des synthèses plus globales, à l’issue d’une période d’étude et propose des problèmes dont la résolution nécessite l’utilisation de plusieurs connaissances. Le traitement de ces problèmes permet de souligner le sens, l’intérêt, la portée des connaissances mathématiques, que ce soit dans d’autres disciplines ou dans la vie quotidienne (pourcentages, échelles, représentations graphiques...). Certains problèmes peuvent prendre appui sur des éléments empruntés à l’histoire des mathématiques. Les moyens modernes de communication (informatique, banques de données, audiovisuel…) sont également utilisés chaque fois que leur usage est justifié. 4.4. La nécessité des mémorisations et des réflexes intellectuels En mathématiques, les concepts, les connaissances et les méthodes s’élaborent et s’organisent progressivement à partir des savoirs antérieurs, pour former un ensemble structuré et cohérent. Ainsi l’activité mathématique, centrée sur la résolution de problèmes, nécessite-t-elle de s’appuyer sur un corpus de connaissances et de méthodes, parfaitement assimilées et totalement disponibles. En effet, pour être autonome dans la résolution d’un problème et donc être en capacité de prendre des initiatives, d’imaginer des pistes de solution et de s’y engager sans s’égarer, l’élève doit disposer d’automatismes qui facilitent le travail intellectuel en libérant l’esprit des soucis de mise en œuvre technique tout en élargissant le champ des démarches susceptibles d’être engagées. Ces nécessaires réflexes intellectuels s’acquièrent dans la durée sous la conduite du professeur. Ils se développent en mémorisant et en automatisant progressivement certaines procédures, certains raisonnements particulièrement utiles, fréquemment rencontrés et qui ont valeur de méthode. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Toutefois un automatisme n’est pas un moyen pour comprendre plus vite ; il permet simplement d’aller plus vite lorsque l’on a compris. Si leur acquisition nécessite des exercices d’entraînement et mémorisation, référés à des tâches simples, ces exercices ne sauraient suffire. En effet, pour être disponibles, les automatismes doivent être entretenus et régulièrement sollicités dans des situations où ils font sens. 4.5. Une initiation très progressive à la démonstration La question de la preuve occupe une place centrale en mathématiques. La pratique de l’argumentation pour convaincre autrui de la validité d’une réponse, d’une solution ou d’une proposition ou pour comprendre un « phénomène » mathématique a commencé dès l’école primaire et se poursuit au collège pour faire accéder l’élève à cette forme particulière de preuve qu’est la démonstration. Si, pour cet objectif, le domaine géométrique occupe une place particulière, la préoccupation de prouver et de démontrer ne doit pas s’y cantonner. Le travail sur les nombres, sur le calcul numérique, puis sur le calcul littéral offre également des occasions de démontrer. À cet égard, deux étapes doivent être clairement distinguées : la première, et la plus importante, est la recherche et la production d’une preuve ; la seconde, consistant à mettre en forme la preuve, ne doit pas donner lieu à un formalisme prématuré En effet des préoccupations et des exigences trop importantes de rédaction, risquent d’occulter le rôle essentiel du raisonnement dans la recherche et la production d’une preuve. C’est pourquoi il est important de ménager une grande progressivité dans l’apprentissage de la démonstration et de faire une large part au raisonnement, enjeu principal de la formation mathématique au collège. La rédaction et la mise en forme d’une preuve gagnent à être travaillées collectivement avec l’aide du professeur, et à être présentées comme une façon convaincante de communiquer un raisonnement aussi bien à l’oral que par écrit. Dans le cadre du socle commun, qui doit être maîtrisé par tous les élèves, c’est la première étape, « recherche et production d’une preuve » qui doit être privilégiée, notamment par une valorisation de l’argumentation orale. La mise en forme écrite ne fait pas partie des exigibles. La prise de conscience de ce que sont la recherche et la mise en œuvre d’une démonstration est également facilitée par le fait que, en certaines occasions, l’enseignant se livre à ce travail devant la classe, avec la participation des élèves. Cette initiation à la démonstration doit en particulier permettre aux élèves de distinguer une propriété conjecturée et vérifiée sur des exemples d’une propriété démontrée. En particulier, l’enseignant doit préciser explicitement qu’un résultat mathématique qui n’est pas démontré est admis. 4.6. Mathématiques et langages En mathématiques, les élèves sont conduits à utiliser la langue ordinaire en même temps qu’un langage spécialisé. Dans le prolongement de l’école primaire, la place accordée à l’oral reste importante. En particulier, les compétences nécessaires pour la validation et la preuve (articuler et formuler les différentes étapes d’un raisonnement, communiquer, argumenter à propos de la validité d’une solution) sont d’abord travaillées oralement en s’appuyant sur les échanges qui s’instaurent dans la classe ou dans un groupe, avant d’être sollicitées par écrit individuellement. Par ailleurs, certaines formulations orales peuvent constituer une aide à la compréhension. 7 Par exemple il est plus facile, pour un élève, de concevoir 2 5 7 que plus égale en verbalisant sous la forme « deux 3 3 3 tiers plus cinq tiers est égal à sept tiers » plutôt qu’en oralisant l’écriture symbolique « 2 sur 3 plus 5 sur 3 égale 7 sur 3 ». Dans le domaine de l’écrit, l’objectif est d’entraîner les élèves à mieux lire et mieux comprendre un texte mathématique, et aussi à produire des textes dont la qualité est destinée à être l’objet d’une amélioration progressive. Un moyen efficace pour faire admettre la nécessité d’un langage précis, en évitant que cette exigence soit ressentie comme arbitraire par les élèves, est le passage du « faire » au « faire faire ». C’est, lorsque l’élève écrit des instructions pour l’exécution par autrui (par exemple, décrire, pour la faire reproduire, une figure un peu complexe) ou lorsqu’il utilise un ordinateur pour un traitement voulu, que l’obligation de précision lui apparaît comme une nécessité. C’est également le cas lorsque, dans un débat argumentatif, il doit se faire comprendre des autres élèves. Le vocabulaire et les notations ne doivent pas être fixés d’emblée, mais introduits au cours du traitement d’une question, en fonction de leur utilité : ils sont à considérer comme des conquêtes de l’enseignement et non comme des points de départ. Il convient, en particulier, d’être attentif au langage et aux significations diverses d’un même mot. Les travaux mathématiques sont l’occasion de familiariser les élèves avec l’emploi d’un nombre limité de notations courantes qui n’ont pas à faire l’objet d’exercices systématiques (le langage doit rester au service de la pensée et de son expression) : ● dans le domaine numérique : les symboles d’égalité et d’inégalité, les symboles d’opérations (dont les notations puissance et racine carrée au cycle central) et le symbole de pourcentage ; ● dans le domaine géométrique : le symbole d’appartenance, la longueur AB d’un segment d’extrémités A et B, lB, le segment [AB], la droite (AB), et la demil’angle AO droite [AB), puis les notations trigonométriques. 4.7. Différents types d’écrits Les élèves sont fréquemment placés en situation de production d’écrits. Il convient à cet égard de développer et de bien distinguer trois types d’écrits dont les fonctions sont différentes. ● Les écrits de type « recherche » (brouillon) qui correspondent au travail « privé » de l’élève : ils ne sont pas destinés à être communiqués, ils peuvent comporter des dessins, des schémas, des figures, des calculs. Ils sont un support pour essayer, se rendre compte d’une erreur, reprendre, rectifier, pour organiser sa recherche. Ils peuvent également être utilisés comme mémoire transitoire en cours de résolution du problème. Si l’enseignant est amené à les consulter pour étudier le cheminement de l’élève, il ne doit ni les critiquer, ni les corriger. ● Les écrits destinés à être communiqués et discutés : ils peuvent prendre des formes diverses (affiche, transparent, documents informatiques...) et doivent faire l’objet d’un souci de présentation, de lisibilité, d’explicitation, tout en sachant que, le plus souvent, ils seront l’objet d’un échange entre élèves au cours duquel des explications complémentaires seront apportées. ● Les écrits de référence, élaborés en vue de constituer une mémoire du travail de l’élève ou de la classe, et donc destinés à être conservés. 8 4.8. Le travail personnel des élèves En étude ou à la maison, ce type de travail est nécessaire non seulement pour affermir les connaissances de base et les réinvestir dans des exemples simples mais aussi pour en élargir le champ de fonctionnement et susciter ainsi de l’intérêt pour l’activité mathématique. Il contribue aussi à habituer l’élève à l’indispensable régularité d’un travail autonome, complémentaire de celui réalisé avec le professeur. Il peut prendre diverses formes : ● résolution d’exercices d’entraînement, combinée avec l’étude de la leçon pour asseoir les connaissances ; ● travaux individuels de rédaction pour développer les capacités d’expression écrite et la maîtrise de la langue ; ● résolution de problèmes variés (exercices de synthèse, énigmes, jeux mathématiques…) pour mettre en œuvre des démarches heuristiques en temps non limité ; ● construction d’objets géométriques divers (frises, pavages, solides,…) en utilisant ou non l’informatique ● lectures ou recherches documentaires, en particulier sur l’histoire de la discipline ou plus généralement des sciences pour enrichir les connaissances ; ● constitution de dossiers sur un thème donné. Pour ces travaux en dehors de la classe, il convient de favoriser l’accès des élèves aux ordinateurs de l’établissement qui doivent être munis des logiciels adéquats. La correction individuelle du travail d’un élève est une façon d’en apprécier la qualité et de permettre à son auteur de l’améliorer, donc de progresser. Le travail personnel proposé en classe aux élèves peut prendre chacune des formes décrites ci-dessus, en tenant compte, chaque fois, de la durée impartie. Il faut veiller à un bon équilibre entre ces diverses activités. Ces travaux doivent être différenciés en fonction du profil et des besoins des élèves, ainsi que des objectifs du socle commun. Le travail en classe proprement dit doit être complété par des séances régulières en salle informatique où l’élève utilise lui-même les logiciels au programme (tableur, grapheur, logiciel de géométrie). Ces séances de travaux pratiques sur ordinateur doivent toujours avoir pour objectif l’appropriation et la résolution d’un problème mathématique. Tout travail en salle informatique doit aboutir à la production d’un écrit, manuscrit ou imprimé. 4.9. L’évaluation L’évaluation (qui ne se réduit pas au contrôle noté) n’est pas un à-côté des apprentissages. Elle doit y être intégrée et en être l’instrument de régulation, pour l’enseignant et pour l’élève. Elle permet d’établir un constat relatif aux acquis de l’élève, à ses difficultés. Dans cette optique, le travail sur les erreurs constitue souvent un moyen efficace de l’action pédagogique. L’évaluation ne doit pas se limiter à indiquer où en est l’élève ; elle doit aussi rendre compte de l’évolution de ses connaissances, en particulier de ses progrès. L’évaluation de la maîtrise d’une capacité par les élèves ne peut pas se limiter à la seule vérification de son fonctionnement dans des exercices techniques. Il faut aussi s’assurer que les élèves sont capables de la mobiliser d’euxmêmes, en même temps que d’autres capacités, dans des situations où leur usage n’est pas explicitement sollicité dans la question posée. L’évaluation sommative, en mathématiques, est réalisée sous trois formes complémentaires : – des interrogations écrites courtes dont le but est de vérifier qu’une notion ou une méthode sont correctement assimilées ; © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. – des devoirs de contrôle courts et peu nombreux qui permettent de vérifier, de façon plus synthétique, la capacité des élèves à utiliser leurs acquis, à la suite d’une phase d’apprentissage ; – certains devoirs de contrôle peuvent être remplacés par un bilan trimestriel qui est l’occasion de faire le point sur les acquis des élèves relatifs à une longue période d’étude. 4.10. Capacités et activités de formation Le programme décrit, pour chaque contenu, les capacités élaborées dans chacune des classes du collège. Les commentaires qui les accompagnent apportent un éclairage supplémentaire sur les conditions de leur apprentissage. La définition de ces capacités vise donc à clarifier les attentes, à préciser les priorités et à fournir des repères dans le but d’aider les enseignants dans leur travail de programmation et dans la mise au point des évaluations qui permettent d’en baliser la réalisation. Il importe de bien garder à l’esprit que la liste des capacités, si elle fixe les objectifs à atteindre, ne détermine pas pour autant les moyens pédagogiques à utiliser pour cela. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. L’ordre d’exposé des capacités, pour chaque domaine, ne correspond pas nécessairement à celui de leur apprentissage. D’autant plus que, dans la plupart des cas, ces capacités ne s’acquièrent ni isolément les unes des autres, ni en une seule fois. Pour prendre sens pour les élèves, les notions mathématiques et les capacités qui leur sont liées gagnent à être mises en évidence et travaillées dans des situations riches, à partir de problèmes à résoudre, avant d’être entraînées pour elles-mêmes. Il faut également prendre en compte le fait que tout apprentissage se réalise dans la durée, dans des activités variées et que toute acquisition nouvelle doit être reprise, consolidée et enrichie. Dans cette perspective, la répétition d’exercices vides de sens pour l’élève à un moment donné n’est pas la meilleure stratégie pour favoriser la maîtrise d’une capacité. Il convient d’envisager que c’est parfois dans le cadre d’un travail ultérieur, en travaillant sur d’autres aspects, de la notion en jeu ou sur d’autres concepts, qu’une capacité non maîtrisée à un certain moment pourra être consolidée. 9 > Gr i l l e de réf r éf érence d e f i n de c yc l e c central entral (fi (fin n de d e 4 e) Connaissances et capacités attendues en fin de scolarité obligatoire Éléments du socle exigibles en fin de quatrième - Reconnaître si deux grandeurs sont ou non proportionnelles et, dans l’affirmative : • déterminer et utiliser un coefficient de proportionnalité; • utiliser les propriétés de linéarité; • calculer une quatrième proportionnelle. Reconnaître des situations de proportionnalité, utiliser des pourcentages, des tableaux, des graphiques. Exploiter des données statistiques et aborder des situations simples de probabilité. - Relier pourcentages et fractions. - Appliquer un taux de pourcentage. - Calculer un taux de pourcentage, une fréquence. Les nombres en jeu sont entiers ou décimaux. L’évaluation porte sur des cas simples. Il s’agit de créer, analyser, utiliser une formule comprenant des références relatives. - Mobiliser des écritures différentes d’un même nombre. - Comparer des nombres. - Choisir l’opération qui convient au traitement de la situation étudiée. Les nombres utilisés sont les nombres relatifs en écriture décimale et les nombres positifs en écriture fractionnaire. - Maîtriser de manière automatisée les tables de multiplication « dans un sens ou dans l’autre » pour effectuer un calcul mental simple, un calcul réfléchi, un calcul posé portant sur des nombres de taille raisonnable. Les opérations mobilisées sont : - les quatre opérations sur les nombres relatifs entiers, décimaux ; - la multiplication de deux nombres positifs en écriture fractionnaire - l’addition et la soustraction de deux nombres positifs de même dénominateur en écriture fractionnaire. La comparaison des nombres positifs en écriture fractionnaire se limite au cas où le dénominateur de l’un est multiple de l’autre. - Mener à bien un calcul instrumenté (calculatrice, Les nombres en jeu sont de taille raisonnable, tout tableur). particulièrement pour la division. S’agissant des puissances, l’exigence porte sur le carré et le cube d’un entier relatif et sur les puissances de 10. - Conduire un calcul littéral simple. Le calcul littéral porte sur : - le calcul de la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques, - la transformation d’une expression du premier degré à une variable à coefficients entiers. - Évaluer mentalement un ordre de grandeur du résultat avant de se lancer dans un calcul. - Contrôler un résultat à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur. 10 L’utilisation de l’échelle d’une carte ou d’un dessin se limite au calcul d’une distance. Les données sont, autant que possible, recueillies - Repérer un point sur une droite graduée, dans un à l’issue d’expériences ou d’enquêtes. plan muni d’un repère orthogonal. Le traitement de données intervient essentiellement dans le cadre de la statistique. - Lire, utiliser et interpréter des données présentées sous forme de tableaux, de graphiques. L’utilisation du tableur-grapheur permet de passer d’un mode de représentation à un autre. - Effectuer, à la main ou avec un tableur-grapheur, des traitements de données. Les nombres en jeu sont des décimaux relatifs ou des quotients simples. - Utiliser un tableur-grapheur pour : • présenter des données ; • calculer des effectifs, des fréquences, des moyennes ; • créer un graphique ou un diagramme. Connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et fractionnaires. Mener à bien un calcul selon des modalités adaptées : calcul mental, à la main, à la calculatrice, avec un ordinateur. Indications pour l'évaluation en situation L’exigence porte sur l’ordre de grandeur d’une somme, d’une différence, d’un produit de deux nombres décimaux positifs. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Connaissances et capacités attendues en fin de scolarité obligatoire Éléments du socle exigibles en fin de quatrième Indications pour l'évaluation en situation Les instruments sont la règle (graduée ou non), l’équerre, le compas, le rapporteur. Les tracés doivent pouvoir être réalisés sur papier uni ou support informatique. - Effectuer des constructions simples en utilisant : • des outils (instruments de dessin, logiciels) • des définitions, des propriétés (en acte et sans nécessité d’indiquer ou de justifier la méthode choisie). Connaître et représenter des figures géométriques et des objets de l'espace. Utiliser leurs propriétés dans un cadre simple. - Utiliser les propriétés d’une figure et les théorèmes de géométrie pour traiter une situation simple. - Raisonner logiquement, pratiquer la déduction, démontrer. (la démonstration ne doit pas faire l’objet d’une formalisation écrite). - Interpréter une représentation plane d’un objet de l’espace, un patron. Il s’agit de : - construire une figure à partir de données suffisantes sur des longueurs, des angles ; - construire ou compléter la figure symétrique par rapport à un axe ou à un centre d’une figure donnée ; - dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière d’un prisme droit ou d’un cylindre de révolution. Les supports sont des configurations immédiatement lisibles ; les raisonnements ne font pas l’objet d’une mise en forme écrite L’exigence porte sur la capacité à mobiliser une propriété pour élaborer une déduction simple. L’évaluation s’effectue oralement ou en situation, sans exigence particulière de formulation des justifications. Il s’agit de reconnaître et dessiner à main levée un cylindre de révolution. Pour le prisme droit, seul le dessin à main levée est exigible. Les exigences concernant les données permettant le calcul sont les mêmes que celles de la partie « nombres et calcul ». Réaliser des mesures (longueurs, durées,….), calculer des valeurs (volumes, vitesses, …) en utilisant différentes unités. - Mesurer une longueur, un angle, une durée, un volume, une masse, une température, une intensité de courant électrique, une tension. - Calculer une longueur, un angle, une aire, un volume, une vitesse, une durée. - Effectuer des conversions d’unités relatives aux grandeurs étudiées. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Les exigences portent notamment sur : - la mesure d’un volume avec une éprouvette graduée, d’une masse avec une balance électronique ; - l’utilisation d’un thermomètre, d’un capteur pour mesurer une température ; - la mesure de l’intensité d’un courant électrique et de la tension aux bornes d’un dipôle ; - l’utilisation d’un rapporteur. Les exigences relatives aux valeurs en jeu dans les calculs sont les mêmes que celles de la partie « nombres et calcul ». Les changements d’unités portent sur les longueurs, les masses, les durées, les aires, les volumes, le lien entre volume et contenance. 11 > Préambule pour la classe de Cinquième Le préambule du programme concerne toutes les classes du collège. Pour chaque classe, il y a des préambules différents pour chacun des 4 domaines. Voici ceux de Cinquième. 1. ORGANISATION ET GESTION DE DONNÉES. FONCTIONS En classe de Cinquième, la proportionnalité occupe toujours une place centrale. Les méthodes de résolution des problèmes de proportionnalité évoluent avec les connaissances des élèves, notamment avec une meilleure maîtrise de la notion de quotient. La partie relative au traitement et à la représentation de données a pour objectif d’initier à la lecture, à l’interprétation, à la réalisation et à l’utilisation de diagrammes, tableaux et graphiques et de mettre en évidence la relativité de l’information représentée. Les travaux correspondants sont conduits à partir d’exemples et en liaison, chaque fois qu’il est possible, avec l’enseignement des autres disciplines et l’étude des thèmes de convergence. 2. NOMBRES ET CALCULS Les problèmes proposés associant à une situation donnée une activité numérique, renforcent le sens des opérations et des diverses écritures numériques et littérales. Ils sont principalement issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques. Il convient de ne pas mul- 12 tiplier les activités purement techniques. Tous les travaux numériques fournissent des occasions de pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes, utilisées en interaction : calcul mental, à la main ou instrumenté. 3. GÉOMÉTRIE En classe de Cinquième, l’étude de la symétrie centrale permet de réorganiser et de compléter les connaissances sur les figures. Les travaux de géométrie plane prennent toujours appui sur des figures dessinées, suivant les cas, à main levée, à l’aide des instruments de dessin et de mesure, ou dans un environnement informatique. Ils sont conduits en liaison étroite avec l’étude des autres rubriques. Les diverses activités de géométrie habituent les élèves à expérimenter et à conjecturer, et permettent progressivement de s’entraîner à des justifications mettant en œuvre les outils du programme et ceux déjà acquis en classe de Sixième. 4. GRANDEURS ET MESURES Cette rubrique s’appuie notamment sur la résolution de problèmes empruntés à la vie courante. Comme en classe de Sixième, l’utilisation d’unités dans les calculs sur les grandeurs est légitime. Elle est de nature à en faciliter le contrôle et à en soutenir le sens. Les questions de changement d’unités sont reliées à l’utilisation de la proportionnalité de préférence au recours systématique à un tableau de conversion. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. > Je comprends les consignes 2 J’ANALYSE L’ÉNONCÉ D’UN EXERCICE A 1) Énoncé Ce que l’on nous donne Ce que l’on nous demande Justifier que les droites On considère un triangle ABC rectangle (d) et (AC) sont parallèles. en A. On note (d) la droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point B. B Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3 J’ANALYSE LES DONNÉES D’UN ÉNONCÉ 1) a) Les données du texte sont : A, E, F alignés A, B, C alignés (BE)// (CF) b) Les données de la figure sont : AB = BC (AB) ⬜ (BE) 2) ! oui ; @ non ; # oui ; $ non ; % oui. 3) La consigne est : « démontrer que les droites (AC) et (CF) sont perpendiculaires. » 4 JE JUSTIFIE À L’AIDE D’UNE DÉMONSTRATION A 1) Les données sont : (d1) // (d2) (d3) ⬜ (d4) (d1) ⬜ (d4) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) La consigne est : « Démontrer que les droites (d4) et (d2) sont perpendiculaires. » B 1) Les propriétés @ et # correspondent à la consigne. 2) a) La propriété #. b) (d1) // (d2) et (d1) ⬜ (d4). C On sait que : ● (d1) // (d2) ● (d ) ⬜ (d ). 1 4 Or, « si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est aussi perpendiculaire à l’autre. » Donc, (d4) ⬜ (d2). Les droites (d4) et (d2) sont donc perpendiculaires. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. D Montrons que les droites (d1) et (d3) dont parallèles. On sait que : (d1) ⬜ (d4) (d3) ⬜ (d4). Or, « si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles. » Donc, (d1) // (d3). Les droites (d1) et (d3) sont donc parallèles. 5 JE COMPRENDS LES PRÉFIXES DES UNITÉS DE MESURES A 1) 1 kg = 1 000 × 1 g = 1 000 g 1 hg = 100 × 1 g = 100 g 1 dam = 10 × 1 m = 10 m 1 ha = 100 × 1 a = 100 a 1 hL = 100 × 1 L = 100 L 2) 1 dg = 1 g : 10 = 0,1 g 1 cm = 1 m : 100 = 0,01 m 1 mL = 1 L : 1 000 = 0,001 L 1 ca = 1 a : 100 = 0,01 a 1 dL = 1 L : 10 = 0,1 L 3) a) ● 1 dam2 est l’aire d’un carré de 1 dam de côté. Ainsi 1 dam2 = 1 dam × 1 dam. ● 1 dam2 est l’aire d’un carré de 100 m de côté. Ainsi 1 dam2 = 100 m × 100 m = 10 000 m2. b) 1 dam3 est le volume d’un cube de 1 dam de côté. Ainsi 1 dam3 = 1 dam × 1 dam × 1 dam. = 10 m × 10 m × 10 m = 1 000 m3. Donc 1 dam3 ⫽ 10 m3. B 1) 3,5 km = 3,5 × 1 km = 3,5 × 1 000 m = 3 500 m. 2) a) 65,2 km = 65,2 × 1 km = 65,2 × 1 000 m = 65 200 m. b) 4,8 dm = 4,8 × 1 dm = 4,8 × 0,1 m = 0,48 m. c) 2 cm = 0,02 m. d) 0,79 mm = 0,000 79 m 3) a) 0,045 m = 0,045 × 1 m = 0,045 × 100 cm = 4,5 cm. b) 165,3 mm = 165,3 × 1 mm = 165,3 × 0,1 cm = 16,53 cm. c) 15 635 dam = 15 635 × 1 dam = 15 635 × 10 m = 156 350 m. C 1) 5,7 kg = 5,7 × 1 kg = 5,7 × 1 000 g = 5 700 g. 2) a) 58 mg = 58 × 1 mg = 58 × 0,001 g = 0,058 g. b) 350 mg = 350 × 1 mg = 350 × 0,001 g = 0,35 g. c) 0,004 kg = 0,004 × 1 kg = 0,004 × 1 000 g = 4 g. d) 0,89 dag = 0,89 × 1 dag = 0,89 × 10 g = 8,9 g. 3) a) 3,9 t = 3,9 × 1 t = 3,9 × 1 000 kg = 3 900 kg. b) 0,58 q = 0,58 × 1 q = 0,58 × 100 kg = 580 kg. c) 7 500 g = 7 500 × 1 g = 7 500 × 0,001 kg = 7,5 kg. d) 61,56 dag = 61,56 × 1 dag = 61,56 × 0,01 kg = 0,615 6 kg. 13 Chapitre 1 > P ro gra gr amm mme e Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Les problèmes proposés associant à une situation donnée une activité numérique, renforcent le sens des opérations et des diverses écritures numériques et littérales. Ils sont principalement issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques. Il convient de ne pas multiplier les activités purement techniques. Tous les travaux numériques fournissent des occasions de pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes, utilisées en interaction : calcul mental, à la main ou instrumenté. ■ Commentaires > CONNAISSANCES : ● ● Nombres entiers et décimaux positifs *Enchaînement d’opérations CAPACITÉS ● Effectuer une succession d’opérations donnée sous diverses formes (par calcul mental, à la main ou instrumenté), uniquement sur des exemples numériques. ● Écrire une expression correspondant à une succession donnée d’opérations. L’acquisition des priorités opératoires est un préalable au calcul algébrique. Les questions posées à propos de résultats obtenus à l’aide de calculatrices peuvent offrir une occasion de dégager les priorités opératoires usuelles. La capacité visée dans le socle commun concerne uniquement un calcul isolé. Pour construire la capacité : « savoir quand et comment utiliser les opérations élémentaires pour résoudre un problème », la succession d’opérations, si elle est nécessaire, se fait étape par étape. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Choisir l’opération qui convient au traitement de la situation étudiée. – Maîtriser de manière automatisée les tables de multiplication « dans un sens ou dans l’autre » pour effectuer un calcul mental simple, un calcul réfléchi, un calcul posé portant sur des nombres de taille raisonnable. – Évaluer mentalement un ordre de grandeur du résultat avant de se lancer dans un calcul. Programme de la classe de Sixième ■ Commentaires > CONNAISSANCES : ● ● ● Techniques élémentaires de calcul Ordre de grandeur Sens des opérations CAPACITÉS Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. ● Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste. ● Établir un ordre de grandeur d’une somme, *d’une différence, d’un produit. ● Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. ● La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l’objet d’activités régulières. La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée. L’objectif est de sensibiliser les élèves à utiliser les ordres de grandeur pour contrôler ou anticiper un résultat. Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l’aide d’une suite de calculs, *ou à l’aide de calculs avec parenthèses. Programme de la classe de Quatrième > CONNAISSANCES : Enchaînement d’opérations CAPACITÉS Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses, des programmes de calcul ● © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. portant sur des sommes ou des produits de nombres relatifs. ● Organiser et effectuer à la main ou à la calculatrice les séquences de calcul correspondantes. Chap. 1 - Enchaînements d’opérations 15 ■ Commentaires gestion d’un programme de calcul utilisant des parenthèses. En À la suite du travail entrepris en classe de Cinquième les élèves sont familiarisés à l’usage des priorités ainsi qu’à la particulier, la suppression des parenthèses dans une somme algébrique est étudiée. Commen taire s des au Commentaires auteurs teu rs ➜ Les priorités opératoires sont introduites en classe de Cinquième. Leur acquisition est un préalable au calcul algébrique. Les élèves vont alors se rendre compte que certaines parenthèses qu’ils utilisaient dans certains calculs sont inutiles. Les règles de suppression des parenthèses seront étudiées en classe de Quatrième. ➜ Les techniques de calcul des quatre opérations ont été revues en classe de Sixième et ne sont pas étu- > diées dans ce chapitre. Les nombres sont pour la plupart suffisamment simples pour que les calculs soient effectués sans poser l’opération. ➜ Pour résoudre un « problème à étapes », l’élève peut raisonner étape par étapes (socle commun) ou écrire une expression numérique utilisant ou non des parenthèses (hors socle commun). A c tiv ti v ités ité s ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ COM MENTAI RES : On peut effectuer des calculs avec des grandeurs exprimées dans la même unité. CORRIG É 2) a) On a pu répondre à la question précédente car les puissances de calculs de ces ordinateurs étaient exprimées dans la même unité : le téraflop. b) Un téraflop correspond à 1 000 milliards de flops. 1) 1750 : 140 = 12,5 Il faudrait 12,5 ordinateurs Jade pour égaler la puissance de calcul du Jaguar XT5. 1 J’UTILISE LE VOCABULAIRE ASSOCIÉ AUX OPÉRATIONS Objectif Prérequis Paragraphe introduit Revoir l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. • Connaître le vocabulaire des 4 opérations. • Savoir effectuer les 4 opérations. ! Les quatre opérations ■ COM MENTAI RES : Un problème concret simple permet de revoir les quatre opérations. Seule la division décimale de 192 par 16 demande de poser l’opération ou d’utiliser une calculatrice. 2 Déterminer un ordre de grandeur. Prérequis Déterminer un ordre de grandeur, d’une somme, d’un produit. Paragraphe introduit 16 C ORRIGÉ 1) Étape 1 : 222 – 30 = 192 Le prix des 16 thuyas sans la livraison est 192 €. Étape 2 : 192 : 16 = 12 Chaque thuya coûte 12 €. Étape 3 : 6 × 12 = 72 6 thuyas sans la livraison coûtent 72 €. Étape 4 : 72 + 30 = 102 6 thuyas avec la livraison coûtent 102 €. 2) a) On a calculé une somme lors de l’étape 4, les termes de cette somme sont 72 et 30. b) On a calculé une différence lors de l’étape 1, les termes de cette différence sont 222 et 30. c) On a calculé un produit lors de l’étape 3, les facteurs de ce produit sont 6 et 12. d) On a calculé un quotient lors de l’étape 2, le dividende est 192 et le diviseur est 16. J’ÉVALUE UN ORDRE DE GRANDEUR D’UN RÉSULTAT Objectif Point de repère (page 16) JE REVOIS JE REVOIS ■ C OM M E NTAIRE S : La notion d’ordre de grandeur fait partie du socle commun. Le calcul exact de la distance parcourue en 3 semaines est étudié à l’activité 3. Il peut être utile de faire un schéma : Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. CO RRI G É 1) a) 5 + 7 + 8 = 20 Noham parcourt environ 20 km chaque lundi. b) 2 × 8 = 16 Noham parcourt environ 16 km chaque mercredi. c) 20 × 4 + 16 = 80 + 16 = 96 Noham parcourt environ 96 km entre le lundi matin et le vendredi soir. 3 J’UTILISE UNE EXPRESSION AVEC PARENTHESES Objectif Produire et calculer une expression avec parenthèses. Prérequis Connaître le rôle des parenthèses dans une expression numérique. Paragraphe introduit @ Calcul d’une expression avec parenthèses ■ C O MMENTAI RE S : Cette activité reprend les données de l’activité précédente. On peut remarquer que les résultats trouvés dans l’activité 3 correspondent aux ordres de grandeur trouvés dans l’activité 2. Toutefois, il n’est pas obligatoire d’avoir fait l’activité 2. 4 JE REVOIS C ORRIGÉ 1) a) L’expression numérique (5,16 + 6,92 + 7,89) × 4 permet de calculer la distance totale parcourue par Noham les lundi, mardi, jeudi et vendredi. b) Les parenthèses indiquent qu’il faut commencer par calculer la somme 5,16 + 6,92 + 7,89 avant de multiplier par 4. 2) a) d = (7,89 × 2) + [(5,16 + 6,92 + 7,89) × 4] b) d = (7,89 × 2) + [(5,16 + 6,92 + 7,89) × 4] d = 15,78 + (19,97 × 4) d = 15,78 + 79,88 d = 95,66 Noham parcourt 95,66 km entre le lundi matin et le vendredi soir. 3) 3 × d = 3 × 95,66 = 286,98 Noham parcourt 286,98 km durant 3 semaines lors de ces trajets. JE CALCULE DES ADDITIONS ET DES SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES Objectif Comprendre comment calculer un enchaînement d’additions et de soustractions. Prérequis Paragraphe introduit – # Calcul d’une expression sans parenthèses a) Enchaînement d’additions et de soustractions ■ C O MMENTAI RE S : La question 1) donne un résultat irréfutable. La calculatrice permet de trouver le même résultat. L’élève doit alors analyser pourquoi Isabelle s’est trompée en calculant l’expression A. 5 2) Un ordre de grandeur du produit de 3 par 96 est 300. Il sera inférieur à 300. Parmi les étiquettes, le seul résultat possible est 286,98. La distance parcourue par Noham durant 3 semaines lors de ces trajets est 286,98 km. C ORRIGÉ 1) Nombre d’étudiants (en milliers) en 2005 : 2 283. Nombre d’étudiants (en milliers) en 2006 : 2 283 – 29 = 2 254. Nombre d’étudiants (en milliers) en 2007 : 2 254 – 26 = 2 228. Nombre d’étudiants (en milliers) en 2008 : 2 228 + 4 = 2 232. 2) a) Le résultat affiché par la calculatrice est 2 232. On retrouve le nombre d’étudiants (en milliers) en 2008. b) Ainsi A = 2 232. Le résultat d’Isabelle est donc faux. c) Pour ne pas se tromper, on effectue les calculs de gauche à droite, en ne faisant qu’un seul calcul à la fois. JE CONVIENS DES PRIORITÉS OPÉRATOIRES Objectif Découvrir que la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction. Prérequis Calcul mental. Paragraphe introduit # Calcul d’une expression sans parenthèses c) Enchaînement d’opérations diverses ■ C O M M E NTAI R E S : *La partie A permet de se rendre compte si la calculatrice de l’élève respecte les priorités opératoires. Si ce n’est pas le cas, il vaut mieux conseiller à l’élève de se procurer une autre calculatrice. Si l’élève trouve un résultat autre que 28 ou 60, c’est qu’il s’est trompé en tapant la séquence. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. *Ce n’est pas la calculatrice qui décide des priorités opératoires : ce sont les mathématiciens qui lui ont « appris » à les respecter. C ORRIGÉ B 1) et 2) a) 5 + 6 × 7 = 47 b) 7 × 5 – 4 = 31 c) 24 – 3 × 6 = 6 d) 5 × 3 + 6 = 21 e) 2 + 3 × 8 – 4 = 22 3) a) Les trois opérations utilisées sont l’addition, la soustraction et la multiplication. b) De ces opérations, la multiplication est prioritaire par rapport aux deux autres. Chap. 1 - Enchaînements d’opérations 17 C 1) et 2) a) 6 + 9 : 3 = 9 b) 12 : 4 – 2 = 1 c) 25 – 15 : 5 = 22 d) 36 : 6 + 3 = 9 e) 6 + 12 : 6 – 2 = 6 > E x erc er c ic ice es 1 1) 21 + 7 = 28 2) 21 – 7 = 14 3) 21 × 7 = 147 4) 21 : 7 = 3 1) 20,4 × 2 = 40,8 2) 20,4 – 2 = 18,4 3) 20,4 : 2 = 10,2 4) 20,4 + 2 = 22,4 2 3 1) 15 : 4 = 3,75 2) 99,8 + 3,7 = 103,5 3) 0,07 × 0,9 = 0,063 4) 34 – 6,3 = 27,7 1) 7 × 5 – (7 + 5) = 23 2) (8 + 4) × (8 : 4) = 24 4 a) Périmètre du carré : 4 × 11 cm = 44 cm. Aire du carré : 11 cm × 11 cm = 121 cm2. b) Périmètre du rectangle : 2 × (6,5 m + 4 m) = 21 m. Aire du rectangle : 6,5 m × 4 m = 26 m2. 5 6 Côté du triangle : 3,2 + 5,8 = 9 cm. h Aire du triangle : c × = 9 cm × 4 cm : 2 = 18 cm2. 2 a) 7 × (4 + 5) = 63 b) (31 – 5) – (15 + 2) = 9 c) (16 + 8) : (8 – 5) = 8 d) 35 : (5 + 2) = 5 7 a) (5,1 + 3,4) × (3 – 1) = 17 b) (10 : 4) × (1 + 2) = 7,5 c) (2 + 3) × (10 – 2,9) = 35,5 d) 5 × [(0,9 : 3) + 1] = 6,5 8 9 a) Périmètre du carré proche de 24 m. b) Périmètre du rectangle proche de 24 m. c) Aire du rectangle proche de 45 m2. Aire du triangle : c × h : 2. Un ordre de grandeur de la longueur du côté est 7 cm. Un ordre de grandeur de la longueur de la hauteur est 4 cm. Un ordre de grandeur de l’aire est donc : 7 cm × 4 cm : 2 = 14 cm2. L’aire de ce triangle est donc 14,62 cm2. 10 11 a) 5 + 3 – 4 + 1 = 5 b) 6 – 2,2 – 2,3 + 5,4 = 6,9 c) 7 – 3 – 4 + 5 + 3 – 4 + 3 – 2 = 5 d) 5,5 – 1,5 – 2,5 + 3,5 – 0,5 + 1,5 = 6 a) 12 : 4 × 2 : 3 = 2 b) 9 × 4 : 3 : 3 = 4 c) 8 × 6 : 12 : 4 = 1 d) 50 : 5 : 2 × 3 : 5 = 3 12 18 3) a) Les trois opérations utilisées sont l’addition, la soustraction et la division. b) De ces opérations, la division est prioritaire par rapport aux deux autres. 1) A = 17 – 5 × 3 + 1 = 3. Le troisième élève a juste. 2) Le premier élève n’a pas respecté les priorités ; il a calculé d’abord 17 – 5 et 3 + 1 avant de multiplier les deux résultats. La fille a calculé la soustraction 17 – 5 avant de multiplier son résultat par 3. C’est aussi une erreur dans les priorités. Le calcul prioritaire est ici la multiplication 5 × 3. 13 a) 8 – 2 × 3 = 2 b) 3 × 6 + 4 × 4 = 34 c) 5 + 3 × 4 – 2 × 5 = 7 d) 5 × 6 – 5 × 3 + 7 = 22 14 15 a) 15 + 16 : 4 = 19 b) 8 : 4 – 2 : 2 = 1 c) 7 + 36 : 9 – 15 : 5 = 8 d) 18 : 3 – 24 : 8 – 3 = 0 a) 7 + 3 × 8 = 31 b) (7 + 3) × 8 = 80 c) 18 – 12 : 6 = 16 d) (18 – 12) : 6 = 1 e) 4 × 5 + 3 × 2 = 26 f) 4 × (5 + 3) × 2 = 64 g) 5 × 8 – 4 : 2 = 38 h) 5 × (8 – 4) : 2 = 10 16 17 A= (12 + 6) 18 = =9 2 2 6 = 12 + 3 = 15 2 12 12 C= =4 = 6 3 2 12 2 6 D= = =1 2 2 B = 12 + a) 5 × 9 – 6 = 39 b) 7 × 8 + 2 = 58 c) 3 + 9 × 5 = 48 d) 12 – 8 : 4 = 10 e) 36 : 6 + 3 = 9 f) 25 + 5 : 5 = 26 18 a) 2,5 + 3,2 × 6 = 21,7 b) 13,8 – 8,8 : 8 = 12,7 c) 5,2 × 4 – 3 × 1,8 = 15,4 d) 15,6 : 3 + 4 × 3,7 = 20 19 20 1) 92 – 15 – 3 – 1 est le nombre d’hôtels en Guadeloupe après 2007. 2) a) En Martinique : 109 – 10 + 21 – 31 En Guyane : 27 – 2 + 1 À la Réunion : 152 – 43 – 27 + 5 À Mayotte : 8 + 34 + 4 – 37 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. b) En Guadeloupe : 92 – 15 – 3 – 1 = 73 En Martinique : 109 – 10 + 21 – 31 = 89 En Guyane : 27 – 2 + 1 = 26 À la Réunion : 152 – 43 – 27 + 5 = 87 À Mayotte : 8 + 34 + 4 – 37 = 9 A = 3,5 + 1,5 × 5 + 1 = 12 B = (3 + 1,5) × (5 + 1) = 27 C = 18 – 15 : 6 – 2 = 13,5 D = (18 – 15) : (6 – 2) = 0,75 E = 2,4 : 3 + 5 × 1,4 = 7,8 F = 2,4 : (3 + 5) × 1,4 = 0,42 21 A = 6 × 6 – 3 × 2 – 5 × 4 + 4 × 2 = 18 B = 12 : 4 + 8 × 3 – 2 x (7 – 5) = 23 C = 60 : (4 + 2 × 3) – (6 – 3) × 2 = 0 D = [5 × (4 + 8 : 2) – 6 × 6] × 4 + 1 = 17 L’intrus est donc 2. 22 A = 65 – (18 + 63 : 9) + 7 × 3 = 61 B = (32 – 4 × 7) × 3 – 2 = 10 C = 17 – (19 – 11) + (3 + 8) × 4 + 1 = 54 D = 5 + 2 × (3 × 5 – 5 : 5) – 45 : (1 + 2 × 4) = 28 23 A = [4 : (2 + 4 : 2)] × 2 – 1 = 1 B = 4 : [(2 + 4) : 2 × 2 – 1] = 0,8 C = 10 – [4 : 4 + 2 × (5 – 5 : 2)] = 4 D = (10 – 4) : 4 + 2 × (5 – 5) : 2 = 1,5 24 a) 5 × (3 + 1) × 2 = 40 b) 4 + 5 : (4 + 1) = 5 c) 1 + (22 + 5) : (10 – 1) + 5 = 9 25 1) 3 × 2 + 5 × 0,5 + 7 × 0,2 6 + (5 × 0,5) + (7 × 0,2) 2) On calcule donc une de ces deux expressions et on trouve 9,90 €. 26 27 1) A = 660 : 12 est la masse d’une tasse. B = 800 – 660 est la masse des 5 sous-tasses. 2) a) La masse d’une sous-tasse se calcule par l’expression (800 – 660) : 5. b) En calculant l’expression ci-dessus, on obtient la masse d’une sous-tasse 28 g. 3) Cette masse est égale à 28 g + (660 : 12)g = 83 g 1) a) 8,3 × 4,4 est l’aire du rectangle ABCD. b) 8,3 – 4,8 est la longueur DE. 2) a) Le périmètre du rectangle orange est donné par l’expression (4,8 + 4,4) × 2. b) Ce périmètre est égal à 18,4 cm. 3) a) Aire du rectangle vert : 4,4 × (8,3 – 4,8). b) Cette aire est égale à 15,4 cm2. 28 29 La taille de Karim est égale à : (1,54 m + 1,4 8 m) : 2 = 1,51 m. 1) A = 8 × 9,5 = 76 2) B = 15,6 – 8,7 = 6,9 14,8 = 3,7 3) C = 4 4) D = 56,7 + 67,86 = 124,56 30 1) R = 12 × 7 + (12 – 7) = 89 (13 + 8) = 4,2 2) T = (13 – 8) 31 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 1) a) 3,7 × 7,3 = 27,01 b) 2 × (3,7 + 7,3) = 22 2) Le premier calcul est l’aire de ce rectangle. Le deuxième calcul est le périmètre de ce rectangle. 32 a) 12 × (9 + 4) = 156 b) (3 – 2) × (3 + 2) = 5 c) (3,4 + 2,6) : 4 = 1,5 d) (7 – 1,5) : (8,2 – 3,2) = 1,1 33 34 A = 15 – (9 + 3) = 3 B = 38 – [26 – (7 + 12)] = 31 C = 3,4 – (7 – 4,8) = 1,2 D = 45 – [15 – (12 -3,4)] = 38,6 35 1) A = V ; B = T ; C = R ; D = W ; E = S ; F = U 2) A = V = 19,2 B=T=5 C = R = 1,6 D = W = 4,45 E = S = 14 F = U = 2,4 a) 7 × (8 – 5) = 21 b) (12 + 3) × (9 – 7) = 30 c) 40 – (15 + 15) = 10 d) (27 – 2) : (8 – 3) = 5 36 37 1) a b c a–b+c a – (b + c) a–b–c 8 5 2 5 1 1 13 5 4 12 4 4 17 8 9 18 0 0 3,5 1,2 2,2 4,5 0,1 0,1 5 1,6 2,7 6,1 0,7 0,7 2) On remarque que les deux dernières colonnes sont égales. 38 a) 12 – 7 + 5 = 10 b) 7,8 – 4,9 – 1,4 = 1,5 c) 15 + 8 – 7 – 6 + 3 = 13 d) 9,7 – 5 – 3,9 + 2 = 2,8 39 A = 17 – 8 + 3 – 5 + 4 – 5 + 6 = 12 B = 7,3 + 2,8 – 5,4 – 1,8 + 3,8 – 1,9 = 4,8 a) 3 × 2 × 5 × 6 = 180 b) 12 × 4 : 6 : 2 = 4 c) 5 × 6 : 4 : 10 = 0,75 d) 18 : 2 × 5 : 3 = 15 40 41 a b c a+b×c (a + b) × c 3 2 5 13 25 9 11 0 9 0 5,2 3,8 10 43,2 90 1,4 2,5 8 21,4 31,2 a) 8 – 3,5 × 2 = 1 b) 1,1 × 8 + 7 × 1,2 = 17,2 c) 18 + 2 × 1,7 – 0,7 = 20,7 d) 12 – 2 × 3 + 7 × 5 = 41 42 Chap. 1 - Enchaînements d’opérations 19 43 49 a) 16 – 6 : 3 = 14 b) 18 : 2 + 1 : 2 + 3 = 12,5 c) 7 + 36 : 9 – 15 : 5 = 8 d) 18 : 3 – 24 : 8 – 3 = 0 1) A = U ; B = W ; C = V ; D = T ; E = R ; F = S 2) A = U = 8 B=W=4 C = V = 0,5 D=T=8 E = R = 20 F = S = 5,75 a) 3 + 2 × 3 = 9 b) (3 + 2) × 3 = 15 c) 7 × 4 – 2 × 6 = 16 d) 7 × (4 – 2) × 6 = 84 e) 9 : 3 + 3 × 4 = 15 f) 9 : (3 + 3) × 4 = 6 g) 6 × 4 – 2 : 4 = 23,5 h) 6 × (4 – 2) : 4 = 3 44 (8,4 + 5,2) = 3,4 (5,5 – 1,5) (3 + 5 × 1,4) B= = 2,5 (7,2 – 1,6 × 2) 18,6 3 = 1,55 C= 4 (5,2 – 1,8 × 2) D= = 0,32 12 3 50 a) 1 + 7 × (8 – 3) = 36 b) 33 – (12 + 5) = 16 c) 12 : (4 + 2) + 3 = 5 d) (18 – 6) : (5 – 1) = 3 e) 2 + 24 : (3 × 2) = 6 f) 5 × (8 – 4) – 2 = 18 45 51 1) La somme d’argent qu’il reste à Thierry est donnée par l’expression : 10 – (3 × 0,85 + 1,2 × 1,85) 2) Il reste donc à Thierry 5,23 €. 46 1) Ordre de grandeur de A : 3 × 5 – (4 – 6 : 2) = 14. 2) a) A = 13,7782 b) En effet 13,7782 est proche de 14. 52 1) Ordre de grandeur de B : [2 × (8 – 1) + 2] : 2 = 8. 2) a) B = 7,91 b) En effet 7,91 est proche de 8. 47 48 1) Ordre de grandeur de l’aire du triangle : 8 × 4 : 2 = 16. 2) Aire du triangle : c × h : 2 = (5,8 m + 2,17 m) × 4,35 m : 2 = 17,33475 m2. > Je f fai ai s l e p o int 53 Les exercices 54 à 63 sont corrigés à la page 285 du manuel élève. b) Le nombre de régions de 8 départements est donc de 3. 2) Le nom de ces régions : Île-de-France, Rhône-Alpes, Midi-Pyrénées. Il existe plusieurs réponses possibles. a) 3 × 3 + 2 × 3 = 15 b) (1 + 2) × (2 + 3) = 15 65 A = 138 B = 181 C = 1,5 D=2 69 66 b c a–b¥c (a – b) ¥ c a¥b–a¥c 48 8 6 0 240 96 7,5 2,5 2 2,5 10 3,75 8 3,4 1,3 3,58 5,98 16,8 7,7 3,9 0 7,7 0 30,03 a b c a b (a + b) c 20 5 5 4 5 21 15 1 4 15 4 15,25 7 14 7 0,5 3 9 2,2 2 4 1,1 1,05 2,7 a+ b c 1) a) Le nombre de régions de 8 départements est donné par l’expression : (101 – 5 × 1 – 4 × 2 – 3 × 3 – 7 × 4 – 3 × 5 – 2 × 6) : 8. 20 1) a) Rose a dans son porte-monnaie : (5 + 3 × 2 + 5 × 0,50) €. b) Ce qui fait une somme de 13,50 €. 2) a) Un ordre de grandeur du montant de ses achats : 9 €. b) Montant total de ses achats : 4 × 0,85 + 0,8 × 1,40 + 2 × 1,95. c) Le montant de ses achats s’élève à 8,42 €. 3) Il reste à Rose : 13,50 € – 8,42 € = 5,08 €. 70 67 68 1) a) 6 630 + 855 + 1 023 + 121 + 105 b) En 1990, il y avait 8 734 bateaux de pêche en France. 2) a) Il faudrait soustraire le nombre des autres bateaux et non en additionner certains comme fait dans ce calcul. b) Ce nombre est donné par l’expression : 5 815 – (4 302 + 816 + 90 + 68) = 539. 3) Ce nombre de bateaux est égal à : 4 979 – 416 – 578 – 67 – 56 = 3 862. Le nombre de scaroles est donné par l’expression suivante : 91 – 5 × 8 – 7 × 5 = 16. 64 a A= 1) Aire de ce quadrilatère : 3,4 × 2,8 + 1,3 × 2,8 : 2. 2) Cette aire est égale à 11,34 cm2. 71 1) Aire du drapeau : 180 × (45 + 30 + 45) = 21 600 cm2. 2) Aire de la surface blanche : 21 600 – 4 × 75 × 45 = 8 100 cm2. 3) Aire de la surface rouge : 4 × 75 × 45 = 13 500 cm2. 72 Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 73 1) L’expression A permet de calculer le prix total du parquet. L’expression B permet de calculer le prix de la colle pour 1 m2. L’expression C permet de calculer le prix de 2 pots de colle. L’expression D permet de calculer le prix de 1 litre de vernis. 2) a) Lili doit acheter 2 pots de colle. b) Lili doit acheter 4 pots de vernis c) Lili doit acheter 3 pots de durcisseur. 3) a) Le montant de ses achats est donné par l’expression : 12,85 × 32 + 18,20 × 2 + 12,70 × 4 + 38,40 × 3. b) Le montant s’élève à 613,60 €. 2) Aire de ce triangle : (1,5 cm + 2,7 cm) × 3,6 cm : 2 = 7,56 cm2. (18 – 5,4 × 3) 1,8 = 0,225 = A= 10 (2,5 × 4 – 2) 48 12 4 B= = =1 4 4 48 48 = 16 C= = 12 3 4 84 B = 2,7 × 3,9 – 5,4 : 12 = 10,08 C = 2,4 : 48 × 3,7 + 8,4 × 3,2 : 15 = 1,977 D = 12,4 × 7,3 – 5,8 : 25 – 5,4 × 0,3 = 88,668 85 Le nombre de boîtes de 6 œufs est donné par l’expression : (266 – 14 × 12 – 2) : 6. Ce qui fait 16 boîtes. S = 38 × (157 + 48 × 9) – 897 = 21 485 T = (8 × 3,5 + 7) × (25 – 58 : 8) = 621,25 U = (3,9 – 7 : 4) × (3,8 × 9 – 12) = 47,73 a) 36 : 6 × 4 = 24 b) 18 – 8 × 2 = 2 c) 3 × 15 – 5 : 5 = 44 d) 3 + 4 + 2 – 3 – 5 = 1 1) [12 × (6 + 20 : 5)] : 4 = [12 × (6 + 4)] : 4 = [12 × 10] : 4 = 120 : 4 = 30 Un ordre de grandeur de Z est 30. 2) Z = [11,98 × (5,9 + 19,86 : 5)] : 4 = 29,56664 Ce résultat est cohérent avec l’ordre de grandeur de la question 1). 74 75 On a 100 ⬍ 180 ⬍ 250. Virginie va payer 2,22 € de forfait. 180 : 10 = 18. Elle va aussi payer 18 × 0,05 €. Virginie va payer : 2,22 € + 18 × 0,05 € = 2,22 € + 0,90 € = 3,12 €. 76 86 87 88 78 1) a) b) c) A = 24 + 25 = 49 En France en 1997, 49 jeunes de 15 à 24 ans sont morts d’une maladie infectieuse. 2) ● B = 1 015 – 679 = 336 336 filles de 15 à 24 ans sont mortes d’autre maladie. ● C = 3 557 – (25 + 241 + 679 + 1 465 + 613) = 534 534 garçons de 15 à 24 ans sont morts de suicide. ● D = 167 + 534 = 701 701 jeunes de 15 à 24 ans sont morts de suicide. ● E = 24 + 154 + 336 + 377 + 167 + 182 = 1 240 1 240 filles de 15 à 24 ans sont mortes de mort violente en France en 1997. ● F = 1 240 + 3 557 = 4 797 4 797 jeunes de 15 à 24 ans sont morts de mort violente en France en 1997. 3) La première cause de mortalité est les accidents de la route. 4) Pour chaque cause de mort violente, le nombre de victimes féminines est inférieur au nombre de victimes masculines. Cet écart est d’autant plus important concernant les suicides et les accidents de la route. 79 80 1) Concernant les piétons, il y a le plus de victimes pour les personnes de 15 à 19 ans. 2) Pour les conducteurs ou passagers de voitures, il y a le plus de victimes ayant entre 20 et 24 ans. 3) Pour les adolescents de 15 à 19 ans, il y a le plus de victimes chez les cyclomotoristes. 77 On cherche par essais successifs. Pour une lettre de 100 g : 1,35 € + 10 × 0,11 € = 2,45 € ● Pour une lettre de 250 g : 2,22 € + 25 × 0,11 € = 4,97 € ● Pour une lettre de 500 g : 3,02 € + 50 × 0,11 € = 8,52 € ● On remarque que : 4,97 € ⬍ 6,32 € ⬍ 8,52 € La masse de la lettre est comprise entre 250 g et 500 g. ● On continue les essais et on trouve que pour une lettre de 300 g, 3,02 € + 30 × 0,11 € = 6,02 € La masse maximale de la lettre est 300 g. ● a) 6,5 × (7 – 2) = 32,5 b) 18 – 13,5 – 3,5 = 1 c) 18 : 9 × 2 = 4 d) 5,5 + 3,5 × 4 = 19,5 2 × 7 + 12 : 2 = 20 1) Le périmètre du rectangle RSTU est donné par : (10,5 + 6) × 2. Le périmètre du rectangle SXYZ est donné par : (10,5 – 7 + 2,5) × 2. L’aire du rectangle RSTU est donnée par 6 × 10,5. L’aire du rectangle SXYZ est donnée par (10,5 – 7) × 2,5. 2) L’aire du polygone bleu est donnée par : aire du rectangle RSTU – aire du rectangle SXYZ 6 × 10,5 – (10,5 – 7) × 2,5 = 54,25 cm2. A = 7 – 2 × 1,4 + 0,6 : 3 – 1 = 3,4 ; B = 5 × (12 – 2 × 4) + 6 – 4 : (5 – 1) = 25 ; C = 18 – 6 : 2 : (2 + 1) – 7 × 2 : 4 = 13,5. 81 82 83 L’âge de Karen : 2 × (11 + 7) = 39 ans. 1) Périmètre du triangle rose : 1,5 cm + 2,7 cm + 4,5 cm + 3,9 cm = 12 cm. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 89 90 1) a) b) Pour la case verte : 480 + 1 050 + 1 280 + 1 320 + 840 = 4 970. Pour les piétons, il y a eu 4 970 victimes (tués ou blessés) parmi les jeunes en France en 2007. 2) ● Pour la case bleue : 1 050 + 250 + 0 + 0 + 820 = 2 120. Il y a eu 2 120 victimes d’accidents de la route âgées de 5 à 9 ans en France en 2007. ● Pour la case rose : 3 380 – (1 280 + 670 + 120 + 840) = 470. 470 cyclistes âgés de 10 à 14 ans ont été victimes d’accidents de la route en France en 2007. ● Pour la case violette : 16340 – (840 + 450 + 2 730 + 8 860) = 3 460. 3 460 motocyclistes âgés de 20 à 24 ans ont été victimes d’accidents de la route en France en 2007. Chap. 1 - Enchaînements d’opérations 21 Chapitre 2 > P r ogramme o gramme Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. > CONNAISSANCES : Expressions littérales CAPACITÉS ● ● Utiliser une expression littérale. Produire une expression littérale. ■ Commentaires De nombreux thèmes du programme, notamment dans le domaine grandeurs et mesures, conduisent à utiliser des expressions littérales (formules). > CONNAISSANCES : Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition CAPACITÉS ● Sur des exemples numériques, utiliser les égalités k(a + b) = ka + kb et k(a – b) = ka – kb dans les deux sens. ● *Sur des exemples littéraux, utiliser les égalités k(a + b) = ka + kb et k(a – b) = ka – kb dans les deux sens. ■ Commentaires Dans le cadre du socle commun il convient de privilégier l’exploitation de cette propriété sur des exemples numériques. L’intégration des lettres dans ce type d’égalités est une difficulté qu’il faut prendre en compte. Elle s’appuie sur des situations empruntées aux cadres numérique ou géométrique. > CONNAISSANCES : Initiation à la notion d’équation CAPACITÉS *Tester si une égalité comportant un ou deux nombres indéterminés est vraie lorsqu’on leur attribue des valeurs numériques. ■ Commentaires Une attention particulière est apportée à l’introduction d’une lettre pour désigner un nombre inconnu dans des situations où le problème ne peut pas être facilement résolu par un raisonnement arithmétique. Les programmes du collège prévoient une initiation progressive à la résolution d’équations, de manière à éviter la mise en œuvre d’algorithmes dépourvus de véritable sens. *La classe de Cinquième correspond à une étape importante avec le travail sur des égalités vues comme des assertions dont la vérité est à examiner. La notion d’équation ne fait pas partie du socle commun. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Conduire un calcul littéral simple. Indications pour l’évaluation en situation Le calcul littéral porte sur : – le calcul de la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques ; – la transformation d’une expression du premier degré à une variable à coefficients entiers. Programme de la classe de Sixième Le calcul littéral est introduit en classe de Cinquième. Programme de la classe de Quatrième > CONNAISSANCES : ● ● Calcul littéral Développement CAPACITÉS Calculer la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. 22 ■ Commentaires L’apprentissage du calcul littéral est conduit très progressivement à partir de situations qui permettent aux élèves de donner du sens à ce type de calcul. Le travail proposé s’articule autour de trois axes : – utilisation d’expressions littérales donnant lieu à des calculs numériques ; – utilisation du calcul littéral pour la mise en équation et la résolution de problèmes divers ; – utilisation du calcul littéral pour prouver un résultat général (en particulier en arithmétique). © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. CAPACITÉS > CONNAISSANCES : Réduire une expression littérale à une variable, du type : 3x – (4x – 2) ; 2x2 – 3x + x2… Résolution de problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue. ■ Commentaires CAPACITÉS Les situations proposées doivent exclure tout type de virtuosité et viser un objectif précis (résolution d’une équation, gestion d’un calcul numérique, établissement d’un résultat général). Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue. ■ Commentaires CAPACITÉS Développer une expression de la forme (a + b) (c + d). ■ Commentaires L’objectif reste de développer pas à pas puis de réduire l’expression obtenue. Les identités remarquables ne sont pas au programme. Les activités de factorisation se limitent aux cas où le facteur commun est du type a, ax ou x2. Les problèmes issus d’autres parties du programme et d’autres disciplines conduisent à l’introduction d’équations et à leur résolution. À chaque fois sont dégagées les différentes étapes du travail : mise en équation, résolution de l’équation et interprétation du résultat. Les élèves, dans le cadre du socle commun, peuvent être amenés à résoudre des problèmes se ramenant à une équation du premier degré sans que la méthode experte soit exigible. Comm en tai res d Commentaires des e s au auteurs teu rs ➜ En Sixième, on a parfois utilisé des lettres pour remplacer des nombres notamment dans les formules pour calculer un périmètre, une aire, un volume. Aucun calcul avec ces lettres n’était demandé. Les élèves découvrent le calcul littéral en classe de Cinquième. La simplification d’écriture d’une expression littérale est étudiée. Pour faciliter l’écriture de certaines formules utilisées en Cinquième, les notations a2 et a3 sont introduites dans ce chapitre. ➜ La propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction doit être étudiée dans les deux sens : développement et factorisation. > Il est demandé, dans les programmes, d’appliquer ces propriétés dans des cas numériques (socle commun) et dans des cas littéraux (hors socle commun). ➜ Les élèves utilisent des égalités depuis le primaire. Les égalités alors utilisées sont toujours vraies. Pour introduire la notion d’équation (programme de Quatrième), on fait tester des égalités par des nombres donnés. Ainsi, ces égalités sont parfois vraies, parfois fausses. Il n’est pas demandé aux élèves de Cinquième de déterminer de façon experte les nombres pour lesquels l’égalité est vraie. Dans certains exercices, ils pourront en trouver par essais successifs. A cti Ac tiv v ités i tés ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O MMENTAI RE S Cette activité permet d’utiliser le calcul littéral et de « tester si une égalité est vraie » dans un cas concret. 2 × 17 + 29 = 34 + 29 = 63 Donc les dimensions de ces escaliers satisfont les conditions de F. Blondel. ● CO RRI G É ● ● 24 < 29 < 32 17 < 18 1 JE RECONNAIS ET JE SIMPLIFIE DES EXPRESSIONS Objectif Introduire le vocabulaire et les simplifications d’écriture. Prérequis Périmètre et aire du carré et du rectangle. Paragraphe introduit ! Expression littérale © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. C ORRIGÉ A 1) a) Le produit 4 × c permet de calculer le périmètre du carré bleu. b) Dans cette expression, la lettre c représente la longueur du côté du carré. 2) a) Une expression littérale qui permet de calculer l’aire de ce carré est c × c. Chap. 2 - Calcul littéral 23 b) Dans cette expression littérale, les deux lettres c représentent la longueur du côté du carré. B 1) a) L’expression littérale 2 × L + 2 × ᐉ permet de calculer le périmètre du rectangle orange. 2 JE CALCULE DES EXPRESSIONS NUMÉRIQUES Objectif Établir la distributivité dans le cas d’expressions numériques. Prérequis Paragraphe introduit – @ Développement d’un produit CORRIG É 1) L’expression 0,85 × 19 permet de calculer le prix du premier saumon. L’expression 0,85 × 19 + 1,15 × 19 permet de calculer le prix des deux saumons. 3 Établir la règle de distributivité (addition). Prérequis Aire d’un rectangle. Paragraphe introduit @ Développement d’un produit Établir la règle de distributivité (soustraction). Prérequis Aire d’un rectangle. Paragraphe introduit @ Développement d’un produit CORRIG É 1) Ꮽ (ABCD) = Ꮽ (AEFD) – Ꮽ (EBCF) Ꮽ (ABCD) = k × a – k × b C ORRIGÉ 1) a) Ꮽ (ABCD) = ᐉ × L = k × (a + b) b) Ꮽ (ABCD) = Ꮽ (AEFD) + Ꮽ (EBCF) Ꮽ (ABCD) = k × a + k × b 2) k × (a + b) = k × a + k × b L’expression littérale k × a – k × b permet de calculer l’aire du rectangle ABCD. 2) AB = AE – BE = a – b. Ꮽ (ABCD) = ᐉ × L = k × (a – b) L’expression littérale k × (a – b) permet de calculer l’aire du rectangle ABCD. 3) Les deux expressions littérales k × a – k × b et k × (a – b) permettent, toutes les deux, de calculer l’aire du rectangle ABCD. Elles sont donc égales. k × a – k × b = k × (a – b) JE FACTORISE, JE RÉDUIS UNE EXPRESSION Objectif Factoriser, réduire. Prérequis Propriété de distributivité. Paragraphe introduit # Factorisation d’une expression littérale ■ COM MENTAI RES : La première partie permet d’introduire la définition de « factoriser » une expression et de l’utiliser pour calculer mentalement. Dans la deuxième partie, on factorise une expression littérale pour la réduire. 24 L’expression 0,85 + 1,15 permet de calculer la masse des deux saumons. L’expression (0,85 + 1,15) × 19 permet de calculer le prix des deux saumons. 2) a) Les expressions 0,85 × 19 + 1,15 × 19 et (0,85 + 1,15) × 19 permettent toutes les deux de calculer le prix des deux saumons. Ces deux expressions sont donc égales. 0,85 × 19 + 1,15 × 19 = (0,85 + 1,15) × 19 b) 0,85 × 19 + 1,15 × 19 = 16,15 + 21,85 = 38 (0,85 + 1,15) × 19 = 2 × 19 = 38 C’est l’expression (0,85 + 1,15) × 19 qui est la plus facile à calculer. J’ÉTABLIS LA PROPRIÉTÉ DE DISTRIBUTIVITÉ POUR LA SOUSTRACTION Objectif 5 JE REVOIS J’EXPRIME DE DEUX FAÇONS UNE EXPRESSION Objectif 4 b) La lettre L représente la longueur du rectangle et la lettre ᐉ sa largeur. 2) a) 2 × L + 2 × ᐉ b) L’écriture simplifiée de 2 × L + 2 × ᐉ est 2L + 2ᐉ. C ORRIGÉ A 1) 7,3 × 3,259 – 7,3 × 1,259 = 7,3 × (3,259 – 1,259). 2) 7,3 × 3,259 – 7,3 × 1,259 = 7,3 × (3,259 – 1,259) = 7,3 × 2 = 14,6. B 1) Cette somme comporte 3 termes : 3 × x puis 4 × x et enfin 2 × 4,5. 2) a) L’écriture simplifiée est 3x + 4x + 2 × 4,5. b) x est le facteur commun aux termes 3x et 4x. c) 3x + 4x = (3 + 4)x. 3) 3x + 4x + 2 × 4,5 = 7x + 9. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 6 JE TESTE SI UNE ÉGALITÉ EST VRAIE Objectif Tester si une égalité est vraie. Prérequis Simplification d’écriture. Paragraphe introduit $ Notion d’égalité ■ C O M M E NTAI R E S : Les élèves remarquent que l’égalité 3m = m + 4 n’est pas vraie pour n’importe quelle valeur de m, mais lorsque m vaut 25. Jusqu’ici, pour un élève, une égalité était toujours vraie. Ils voient pour la première fois qu’une égalité (comportant des lettres) n’est pas toujours vraie. > 1) Masse m 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 (en g) Masse sur le plateau A 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 (en g) Masse sur le plateau B 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 (en g) 2) a) L’expression littérale 3m permet de calculer la masse sur le plateau A. b) L’expression littérale m + 50 permet de calculer la masse sur le plateau B. c) L’égalité 3m = m + 50 traduit que la balance est en équilibre. 3) On considère l’égalité écrite à la question précédente. a) D’après le tableau, lorsque m = 40, la masse sur le plateau A est 120 g, celle sur le plateau B est 90 g. L’égalité n’est donc pas vraie. b) D’après le tableau, lorsque m = 25, les masses sur les plateaux A et B sont égales, donc l’égalité est vraie pour m = 25. Ex e rc ic Exe i ces es 1 a) 2a a b) 2 c) 3a a 1 d) = a 3 3 2 e) a f) a3 () 2 a) x + 3 b) 7x c) x(x + 9) 3 C ORRIGÉ a) 3n b) 12n c) 2n d) 2n + 1 4 a) Périmètre du rectangle : 2(ᐉ + 5). Périmètre du cercle : 2πR. b) Aire du rectangle : 5ᐉ. Aire du disque : πR2. 5 a) 3x b) xy c) 3 × 4 d) 7b e) 7ab f) 3a + 4 × 6 6 a) a au carré b) x au cube plus cinq c) y + y = 2y d) a au carré plus a © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. a) 8 × 3 + 3 = 27 b) 24 – 7 × 3 = 3 c) 5(3 + 8) = 55 d) 3(14 – 2 × 3) = 24 e) 32 = 9 f) 33 = 27 7 a) 3 × 1 + 2 × 2 = 7 b) 3 × 2 + 2 × 1 = 8 c) 3 × 3 + 2 × 7 = 23 d) 3 × 8 + 2 × 0 = 24 8 1) a) 28 × 101 = 28 × (100 + 1) = 28 × 100 + 28 × 1 = 28 × 100 + 28 b) 28 × 101 = 28 × 100 + 28 = 2 800 + 28 = 2 828 2) 28 × 99 = 28 × 100 – 28 = 2 800 – 28 = 2 772 9 a) 56 × 101 = 56 × 100 + 56 × 1 = 5 600 + 56 = 5 656 b) 56 × 99 = 56 × 100 – 56 × 1 = 5 600 – 56 = 5 544 c) 5,6 × 101 = 5,6 × 100 + 5,6 × 1 = 560 + 5,6 = 565,6 d) 5,6 × 1 002 = 5,6 × 1 000 + 5,6 × 2 = 5 600 + 11,2 = 5 611,2 10 a) 7 × (a + b) = 7a + 7b b) 2 × (x – y) = 2x – 2y c) (4 + x) × 3 = 12 + 3x d) c × (3 – b) = 3c – cb 11 12 a) 3(x + 5) = 3x + 15 b) 7(6 – y) = 42 – 7y c) 7(a + 4) = 7a + 28 d) m(m – 3) = m2 – 3m Chap. 2 - Calcul littéral 25 a) 8,1 × 6 + 8,1 × 4 = 8,1(6 + 4) = 8,1 × 10 = 81 b) 7,248 × 87 + 7,248 × 13 = 7,248(87 + 13) = 7,248 × 100 = 724,8 c) 1,125 × 96 – 0,125 × 96 = (1,125 – 0,125) × 96 = 1 × 96 = 96 13 14 a) 2(x + y) b) 7(m – 4) c) b(5 + a) d) a(5 – 3) = a × 2 = 2a 15 a) 5(x + y) b) d(14 – 5) = 9d c) 18(x – 3) d) 13(1 + a) 16 25 a) 5x a) 5 × 4 + 5 × 6 = 20 + 30 = 50 ou 5 × 4 + 5 × 6 = 5(4 + 6 ) = 5 × 10 = 50 b) 7 × 8 – 6 × 8 = 56 – 48 = 8 ou 7 × 8 – 6 × 8 = 8(7 – 6) = 8 × 1 = 8 c) 7 × 4 – 7 × 3 = 28 – 21 = 7 ou 7 × 4 – 7 × 3 = 7(4 – 3 ) = 7 × 1 = 7 d) 9 × 11 – 9 × 9 = 99 – 81 = 18 ou 9 × 11 – 9 × 9 = 9(11 – 9) = 9 × 2 = 18 26 17 a) 11x + 7 b) 21y + 6 c) 2a d) 8b – 8 a) 4 × 0 + 7 = 7. Donc, l’égalité de l’énoncé est fausse pour x = 0. b) 4 × 1 + 7 = 11. Donc, l’égalité de l’énoncé est fausse pour x = 1. c) 4 × 1,5 + 7 = 13. L’égalité de l’énoncé est vraie pour x = 1,5. d) 4 × 2 + 7 = 15. Donc, l’égalité de l’énoncé est fausse pour x = 2. 18 19 a) Calculons d’une part x + y = 3 + 5 = 8. Calculons d’autre part, 11 – x = 11 – 3 = 8 . Donc, l’égalité de l’énoncé est vraie pour x = 3 et y = 5. b) Calculons d’une part x + y = 6 + 1 = 7 Calculons d’autre part, 11 – x = 11 – 6 = 5 Donc, l’égalité de l’énoncé est fausse pour x = 6 et y = 1. a) 5 × (9 + 12) = 5 × 21 = 105 ou 5 × (9 + 12) = 5 × 9 + 5 × 12 = 45 + 60 = 105 b) 9 × (7 – 4) = 9 × 3 = 27 ou 9 × (7 – 4) = 9 × 7 – 9 × 4 = 63 – 36 = 27 c) 2 × (10 – 3) = 2 × 7 = 14 ou 2 × (10 – 3) = 2 × 10 – 2 × 3 = 20 – 6 = 14 d) (15 + 9) × 6 = 24 × 6 = 144 ou (15 + 9) × 6 = 15 × 6 + 9 × 6 = 90 + 54 = 144 20 a) 87 × 101 = 87 × (100 + 1) = 87 × 100 + 87 × 1 = 8 700 + 87 = 8 787 b) 999 × 32 = (1 000 – 1) × 32 = 1 000 × 32 – 1 × 32 = 32 000 – 32 = 31 968 c) 12 × 15,3 = (10 + 2) × 15,3 = 10 × 15,3 + 2 × 15,3 = 153 + 30,6 = 183,6 d) 98 × 2,4 = (100 – 2) × 2,4 = 100 × 2,4 – 2 × 2,4 = 240 – 4,8 = 235,2 21 23 1) 1,3 × 2,10 + 1,3 × 1,80 2) 1,3 × 2,10 + 1,3 × 1,80 = 2,73 + 2,34 = 5,07 ou 1,3 × (2,10 + 1,80) = 1,3 × 3,90 = 5,07 27 a) 5 × 82 + 5 × 18 = 5(82 + 18) = 5 × 100 = 500 b) 12 × 17 + 3 × 12 = 12(17 + 3) = 12 × 20 = 240 c) 142 × 4,25 – 42 × 4,25 = 4,25(142 – 42) = 4,25 × 100 = 425 28 a) 17 × (72 + 28) = 17 × 100 = 1 700 b) 4,6 × (11,5 – 1,5) = 4,6 × 10 = 46 c) 4,01 × (121 – 21) = 4,01 × 100 = 401 d) 8,5 × (1,005 + 3,995) = 8,5 × 5 = 42,5 29 30 a) 12(x + y) b) x(7 – 4) = 3x c) 7(a + b) d) m(12 – 5) = 7m 31 a) 7(x + y) b) x(5 – 3) = 2x c) n(a + b) d) m(12 – x) a) Calculons 6x – 3 = 6 × 3 – 3 = 15. Cette égalité est vraie pour x = 3. b) Calculons 6x – 3 = 6 × 2 – 3 = 9. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = 2. 32 a) Calculons 31 – 4m = 31 – 4 × 4 = 31 – 16 = 15. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour m = 4. b) Calculons 31 – 4m = 31 – 4 × 3 = 31 – 12 = 19. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour m = 3. 33 a) Calculons d’une part : 10y +7 = 10 × 0,5 + 7 = 12. Calculons d’autre part : 13 – 2y = 13 – 2 × 0,5 = 12. L’égalité de l’énoncé est vraie pour y = 0,5. b) Calculons d’une part : 10y +7 = 10 × 1 + 7 = 17. Calculons d’autre part : 13 – 2y = 13 – 2 × 1 = 11. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour y = 1. 34 9(7 + x) • • 63 – 9x 7(x – 9) • • 7x + 63 (x + 9)7 • • 63 + 9x (7 – x)9 • • 7x – 63 a) 8(6 + x) = 48 + 8x b) 7(5 – a) = 35 – 7a 26 24 a) 12(x +18) = 12x +216 L’expression n’est pas égale à 12(x + 18). b) 3(4x + 6) = 12x + 18 L’expression est égale à 12(x + 18). c) 6(2x + 3) = 12x + 18 L’expression est égale à 12(x + 18). d) (3x + 2) × 6 = 18x + 12 L’expression n’est pas égale à 12(x + 18). a) 7(m + 8) = 7m + 56 b) 9(x – 8) = 9x – 72 c) (15 + b) × a = 15a + ba d) n(n – 16) = n2 – 16n b) 8y c) 11b d) 9a 22 c) x(12 – y) = 12x – xy d) (15 + b)a = 15a + ba 35 a) Calculons d’une part : 3(x – 2) + 5 = 3(3 – 2) + 5 = 8. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Calculons d’autre part : 9 – x = 9 – 3 = 6. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = 3. b) Calculons d’une part : 3(x – 2) + 5 = 3(2,5 – 2) + 5 = 6,5. Calculons d’autre part : 9 – x = 9 – 2,5 = 6,5. L’égalité de l’énoncé est vraie pour x = 2,5. 36 1) a) 4x est le périmètre du carré. b) x + 6 est le périmètre du triangle isocèle. c) 3x + 6 est le périmètre total de la figure. 2) a) Calculons d’une part : 4x = 4 × 3 = 12. Calculons d’autre part : x + 6 = 3 + 6 = 9. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = 3. b) Calculons d’une part : 4x = 4 × 2 = 8. Calculons d’autre part : x + 6 = 2 + 6 = 8. L’égalité de l’énoncé est vraie pour x = 2. c) Calculons d’une part : 4x = 4x 1 = 4. Calculons d’autre part : x + 6 = 1 + 6 = 7. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = 1. 37 1) a) 8x – 15 b) 3x + 5 2) a) Calculons d’une part : 8x – 15 = 8 × 5 – 15 = 25. Calculons d’autre part : 3x + 5 = 3 × 5 + 5 = 20. Donc, l’égalité de l’énoncé est fausse pour x = 5. b) Calculons d’une part : 8x – 15 = 8 × 4,5 – 15 = 21. Calculons d’autre part : 3x + 5 = 3 × 4,5 + 5 = 18,5. Donc, l’égalité de l’énoncé est fausse pour x = 4,5. c) Calculons d’une part : 8x – 15 = 8 × 4 – 15 = 17. Calculons d’autre part : 3x + 5 = 3 × 4 + 5 = 17. Donc, l’égalité de l’énoncé est fausse pour x = 4. 3) Antoine et Élise obtiennent le même résultat pour x = 4. a) Calculons d’une part : 3x + 8 = 3 × 3 + 8 = 17. Calculons d’autre part : 2y – 1 = 2 × 9 – 1 = 17. L’égalité de l’énoncé est vraie pour x = 3 et y = 9. b) Calculons d’une part : 3x + 8 = 3 × 1 + 8 = 11. Calculons d’autre part : 2y – 1 = 2 × 6 – 1 = 11. L’égalité de l’énoncé est vraie pour x = 1 et y = 6. 38 a) Calculons d’une part : 3a – 2b = 3 × 3 – 2 × 2 = 5. Calculons d’autre part : a + b = 3 + 2 = 5. L’égalité de l’énoncé est vraie pour a = 3 et b = 2. b) Calculons d’une part : 3a – 2b = 3 × 2 – 2 × 3 = 0. Calculons d’autre part : a + b = 2 + 3 = 5. L’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour a = 2 et b = 3. 39 40 a) Calculons d’une part : 3(n + p) = 3(1,5 + 2) = 10,5. Calculons d’autre part : 4p – n = 4 × 2 – 1,5 = 6,5. L’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour n = 1,5 et p = 2. b) Calculons d’une part : 3(n + p) = 3(6 + 1,5) = 22,5. Calculons d’autre part : 4p – n = 4 × 1,5 – 6 = 0. L’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour n = 6 et p = 1,5. 41 Aire du losange : (7,6 cm × 3 cm) : 2 = 11,4 cm2. 42 Aire du trapèze : (3,6 cm + 5,1 cm) × 2,8 cm : 2 = 12,18 cm2. 44 a) 3x b) 15x c) 4xy d) 7a2 e) 0 f) 4x 3 45 a) 28a b) 12x + 5 c) 8m + m2 d) 3n + 28 e) 2x + 7y f) a3 + 8 46 a) 36 – 2x b) 13xy c) 9(a – 7) d) (3 – 8a)(b + 5) 47 a) 8x b) 5 + m2 c) 12 – a3 48 Âge de Clément : x + 2. Âge de Coline : x – 3. 49 a) La somme de x et de 16. b) La différence entre 7 et x. c) Le produit de 12 par x. d) Le produit de 5 par la somme x et de 21. 50 Programme 1 2x + 3 Programme 2 2(x + 3) Programme 3 3(x + 3) Programme 4 2x + 3x 1) a) (0 + 12) × 3 = 36 b) (1 + 12) × 3 = 39 c) (7 + 12) × 3 = 57 d) (23 + 12) × 3 = 105 e) (2,5 + 12) × 3 = 43,5 2) a) 3(x + 12) b) 3(0 + 12) = 36 3(1 + 12) = 39 On retrouve bien les résultats de la question 1). 51 52 1) La somme du produit de 7 par x et de 13. 2) Le produit de 7 par la somme de x et de 13. a) 102 × 38 = (100 + 2) × 38 = 100 × 38 + 2 × 38 = 3 800 + 76 = 3 876 b) 21 × 35 = (20 + 1) × 35 = 20 × 35 + 1 × 35 = 700 + 35 = 735 c) 99 × 75 = (100 – 1) × 75 = 100 × 75 – 1 × 75 = 7 500 – 75 = 7 425 d) 98 × 2,5 = (100 – 2) × 2,5 = 100 × 2,5 – 2 × 2,5 = 250 – 5 = 245 53 54 43 a) 5a b) 7y c) ab d) 16 × 4 e) 1x = x f) 4(8 – y) © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 1) Jacke a oublié le produit de 2 par 3. Emma s’est trompée dans le produit de 2 par 3. 2) 2(x + 3) = 2x + 2 × 3 = 2x + 6 55 a) 2,5(8 + m) = 20 + 2,5 m b) 3(5x + 2) = 15x + 5 c) x(12 – x) = 12x – x2 Chap. 2 - Calcul littéral 27 d) Pas de développement possible. e) Pas de développement possible. f) (6,1 + 4a) × 2 = 12,2 + 8a 63 a) 15x + 6 b) 6m + 3 c) 16a + 9 d) 4m + 5 a) 19(43,5 + 56,5) = 19 × 100 = 1 900 b) 69(16,7 – 6,7) = 69 × 10 = 690 c) 13(5,4 + 8,1 – 3,5) = 13 × 10 = 130 56 64 a) Pas de réduction possible. b) 17x c) 10a d) Pas de réduction possible. e) a f) Pas de réduction possible. a) 32(42 + 58) = 32 × 100 = 3 200 b) 17,5(1 002 – 2) = 17,5 × 1 000 = 17 500 c) 9,2(199 + 1) = 9,2 × 200 = 1 840 d) 0,78(101 – 1) = 0,78 × 100 = 78 57 65 58 a) 3(a + b) b) a(5 – 3) = 2a c) 5(6 + x) d) 12(m – p) 59 a) 19(x + y) b) a(28 – 9) = 19a c) a(2b + c) d) x(y – 4) 6 11x – 10 1 12 23 34 45 56 x(x + 4) 5 12 21 32 45 60 1) 4x +1 0 1 1 5 2 9 3 4 5 6 7 8 9 10 13 17 21 25 29 33 37 41 y 3y + 7 0 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 67 Les exercices 68 à 77 sont corrigés à la page 286 du manuel a) ᐉ × L permet de calculer l’aire du rectangle ABCD. b) 2(ᐉ + L) permet de calculer le périmètre du rectangle ABCD. c) c2 permet de calculer l’aire du carré BGFE. d) 4c permet de calculer le périmètre du carré BGFE. e) L – c permet de calculer la longueur AE. f) Lᐉ – c2 permet de calculer l’aire de la figure jaune. 79 5 1) 2m + 20 = m + 80 2) On teste pour diverses valeurs de m : m = 50 ; m = 60... Prenons m = 60. Calculons d’une part : 2m + 20 = 2 × 60 + 20 = 140. Calculons d’autre part : m + 80 = 60 + 80 = 140. 3) La masse d’un croissant est de 140 g. a) 6a a) 2(x + 3) + 5 = 2x + 6 + 5 = 2x + 11 b) 13 + 5(3 – x) = 13 + 15 – 5x = 28 – 5x c) 7y + 9(y – 2) = 7y + 9y – 18 = 16y – 18 d) 6(a + 1) + 8(3 + a) = 6a + 6 + 24 + 8a = 14a + 30 4 3) Cette égalité est vraie pour x = 3 et y = 2. Cette égalité est vraie pour x = 6 et y = 6. Cette égalité est vraie pour x = 9 et y = 10. b) 13b c) 6x d) 14y 78 3 2) a) 6x J e f ai s l le e p o int 2 x b) 9y c) 7m d) 20a > 1 66 a) 5x + 30 b) 5(m + p) c) 2a – 2b d) 4(a – b) 62 x 2) Cette égalité est vraie pour x = 2 et x = 5. 60 61 1) d) m – 2m2 = m(1 – 2m) e) 6y2 + 6y = 6y(y + 1) 1) Pour Thaïs : 52 + 2 × 5 = 35 Pour Capucine : (5 + 2) × 5 = 35 2) Si on choisit le nombre 10, pour Thaïs : 102 + 2 × 10 = 120 ; pour Capucine : (10 + 2) × 10 = 120. 3) Prenons x le nombre de départ des deux enfants. Le calcul de Capucine devient (x + 2)x que nous développons : x2 + 2x. Cette dernière expression est le calcul de Thaïs. 82 83 84 2(x + y) = 2x + 2y 80 On cherche un contre-exemple. (2 + 3) 2 = 52 = 25 22 + 32 = 4 + 9 = 13 Donc, (x + y)2 ⫽ x2 + y2. 81 Formule de l’an ll : ᐂ 艐 0,32 m3. Formule de Dez : ᐂ 艐 0,315 m3. Formule de Kepler : ᐂ 艐 0,32332 m3. a) 7x + 14 = 7(x + 2) b) 9y – 27 = 9(y – 3) c) x2 – 2x = x(x – 2) d) 35 + 5ab = 5(7 + ab) a) 8x + 8 = 8(x + 1) b) 27a + 9 = 9(3a + 1) c) 35 – 7x = 7(5 – x) 28 85 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 86 1) a) et 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1) b) a2 = 42 = 16 b2 + c2 = 32 + 22 = 13 Cette égalité n’est pas vraie dans ce cas. 2) b) a2 = 52 = 25 b2 + c2 = 42 + 32 = 25 Cette égalité est vraie dans ce cas. c) Ce triangle semble être rectangle. 1) a) Pour x = 1, A = 5x + 2x = 5 × 1 + 2 × 1 = 7 Pour x = 1, B = 6x + x = 6 × 1 + 1 = 7 Pour x = 2, A = 5x + 2x = 5 × 2 + 2 × 2 = 14 Pour x = 2, B = 6x + x = 6 × 2 + 2 = 14 b) Dans ces deux cas, A = B. c) A = 5x + 2x = 7x B = 6x + x = 7x 2) a) Pour x = 1, C = x(x – 1) = 1(1 – 1) = 0 Pour x = 1, D = 2x – 2 = 2 × 1 – 2 = 0 Pour x = 2, C = x(x – 1) = 2(2 – 1) = 2 Pour x = 2, D = 2x – 2 = 2 × 2 – 2 = 2 b) Dans ces deux cas, C = D. c) Prenons x = 3 : C = x(x – 1) = 3(3 – 1) = 6 D = 2x – 2 = 2 × 3 – 2 = 4 Donc C ⫽ D. 87 88 a) Périmètre du grand demi-cercle : πR = π × 4 cm = 4π cm. Somme des périmètres des deux petits demi-cercle : 2πR = 2π × 2 cm = 4π cm. Périmètre de la figure orange : 8π cm. b) Calculer l’aire de la figure orange revient à calculer l’aire du demi-disque de rayon 4 cm : πR2 π × (4 cm)2 16π cm2 = = = 8π cm2. 2 2 2 89 Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 90 1) Longueur de la clôture : 2(L + ᐉ) = 2(20 m + 13 m) = 66 m. 2) a) Longueur de la clôture : 2(L + ᐉ) = 2(12 + 2x + 5 + 2x) = 2(17 + 4x). b) Longueur de la clôture pour x = 4 : 2(17 + 4x) = 2(17 + 4 × 4) = 2 × 33 = 66. 91 1) Nombre de sommets : 6 Nombre de faces : 5 Nombre d’arêtes : 9 2) Nombre de sommets : 8 Nombre de faces : 6 Nombre d’arêtes : 12 3) a) Nombre de sommets : 2n b) Nombre de faces : n + 2 c) Nombre d’arêtes : 3n 92 1) Calcul de l’augmentation du prix : 8 48,5 × = 3,88. 100 Calcul du nouveau prix : 48,5 + 3,88 = 52,38 €. Calcul de 48,5 × 1,08 : 48,5 × 1,08 = 52,38. On trouve effectivement le nouveau prix du téléphone. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 6 . 2) Augmentation du prix : 48,5 × 100 Nouveau prix : 6 6 = 48,5 × (1 + ) = 48,5 × 1,06. 48,5 + 48,5 × 100 100 Pour calculer le prix de ce téléphone dans le magasin FIAC, on peut calculer : 48,5 × 1,06 = 51,41 €. 93 1) On développe ce produit : (n + 1) × (n + 3) = (n + 1) × n + (n + 1) × 3 2) (n + 1) × n + (n + 1) × 3 = n × n + 1 × n + n × 3 + 1 × 3 Ainsi, (n + 1) × (n + 3) = n² + n + 3 n + 3. (n + 1) × (n + 3) = n² + 4 n + 3. 94 1) Dessin disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1 1 1 2) a + (b – a) = a + × b – × a. 2 2 2 1 1 1 a + (b – a) = 1 × a – × a + × b 2 2 2 1 1 1 a + (b – a) = (1 – ) × a + × b 2 2 2 1 1 1 a + (b – a) = × a + × b 2 2 2 1 1 a + (b – a) = × (a + b) 2 2 3) Le schéma correspond à a ⬍ b. Le point C est le milieu du segment [AB]. Schéma disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 95 a) 3a + 8 c) 4x + 8 b) πD d) 9b a) 7,25 × 102 = 7,25 × (100 + 2) = 7,25 × 100 + 7,25 × 2 = 725 + 14,5 = 739,5 b) 16,8 × 12 – 2 × 16,8 = 16,8(12 – 2) = 16,8 × 10 = 168 c) (1,5 + 5) × 26 = 1,5 × 26 + 5 × 26 = 39 + 130 = 169 d) 7,9 × 16,3 + 7,9 × 83,7 = 7,9(16,3 + 83,7) = 7,9 × 100 = 790 96 97 1) a) 5x + 40 2) a) 26(y + p) b) 7a – a2 b) b(c – 8) 1) a) Calculons d’une part : 9x – 3 = 9 × 1 – 3 = 6. Calculons d’autre part : 7x = 7 × 1 = 7. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = 1. b) Calculons d’une part : 9x – 3 = 9 × 1,5 – 3 = 10,5. Calculons d’autre part : 7x = 7 × 1,5 = 10,5. L’égalité de l’énoncé est vraie pour x = 1,5. c) Calculons d’une part : 9x – 3 = 9 × 2 – 3 = 15. Calculons d’autre part : 7x = 7 × 2 = 14. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = 2. 2) a) Calculons d’une part : 3x – y = 3 × 2 – 3 = 3. Calculons d’autre part : 2x + 5 = 2 × 2 + 5 = 9. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = 2 et y = 3. b) Calculons d’une part : 3x – y = 3 × 6 – 1 = 17. Calculons d’autre part : 2x + 5 = 2 × 6 + 5 = 17. L’égalité de l’énoncé est vraie pour x = 6 et y = 1. 98 99 1) a) 7x + 63 b) 4m – m2 2) a) 3(5y + 1) b) a(9a – 1) Chap. 2 - Calcul littéral 29 3) a) 3b b) 3x + 13 100 1) a) Calculons d’une part : 10x – 2x = 10 × 1 – 2 × 1 = 8. Calculons d’autre part : 2 × 4x = 2 × 4 × 1 = 8. L’égalité de l’énoncé est vraie pour x = 1. b) Calculons d’une part : 10x – 2x = 10 × 5,6 – 2 × 5,6 = 44,8. Calculons d’autre part : 2 × 4x = 2 × 4 × 5,6 = 44,8. L’égalité de l’énoncé est vraie pour x = 5,6. c) Calculons d’une part : 10x – 2x = 10 × 124 – 2 × 124 = 992. Calculons d’autre part : 2 × 4x = 2 × 4 × 124 = 992. L’égalité de l’énoncé est vraie pour x = 124. 2) Cette égalité semble toujours vraie. En effet, 10x – 2x = 8x et 2 × 4x = 8x et 10x – 2x = 2 × 4x. 1) (12 – 7) × 3 = 5 × 3 = 15 2) 3(x – 7) = 3x – 21 3) a) 3x – 21 = 24 b) Pour x = 10, 3x – 21 = 9 Pour x = 11, 3x – 21 = 12 Pour x = 12, 3x – 21 = 15 Pour x = 13, 3x – 21 = 18 Pour x = 14, 3x – 21 = 21 Pour x = 15, 3x – 21 = 24 Pour x = 16, 3x – 21 = 27 Pour x = 17, 3x – 21 = 30 Pour x = 18, 3x – 21 = 33 Pour x = 19, 3x – 21 = 36 Pour x = 20, 3x – 21 = 39 c) Ainsi, pour x = 15, on obtient 24. 101 30 102 C L’égalité 17x + 29 = 250 est vérifiée par le nombre entier 13. 103 2) L’égalité 19x – 13 = 500 est vérifiée par le nombre entier 27. 104 2) L’égalité 8x + 130 = 17x + 22 est vérifiée par le nombre entier 12. 105 1) DER = 13,707 × 78 + 492,3 × 1,74 – 6,673 × 32 + 77,607 = 1 789,819 kcal. 2) DER = 9,740 × 59 + 172,9 × 1,68 – 4,737 × 28 + 667, 051 = 1 399,547 kcal. 106 1) DER = 13,707 × 85 + 492,3 × 1,88 – 6,673 × 22 + 77, 607 = 2 021,42 kcal. BE = DER × 1,55 = 2 021,42 × 1,55 = 3 133,201 kcal. 2) DER = 9,740 × 52 + 172,9 × 1,56 – 4,737 × 88 + 667, 051 = 1 026,399 kcal. BE = DER × 1,375 = 1 026,399 × 1,375 ≈ 1 411,3 kcal. 108 1) 280 + 220 + 190 = 690 Cet adolescent français a mangé un pain au raisin, un verre de lait chocolaté et un croissant. 2) 2 × 60 + 70 + 80 + 120 + 120 = 510 Cette jeune anglaise a mangé deux œufs, du bacon, un verre de lait écrémé, du jus d’orange et une tartine beurrée. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 3 > P ro gra gr amm mme e Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. > CONNAISSANCES : Nombres positifs en écriture fractionnaire : sens CAPACITÉS ● Utiliser l’écriture fractionnaire comme expression d’une proportion, d’une fréquence. ● Utiliser sur des exemples numériques des égalités ac a = . du type bc b ■ Commentaires La classe de Cinquième s’inscrit, pour le travail sur les écritures fractionnaires, dans un processus prévu sur toute la durée du collège. En classe de Sixième, l’écriture fractionnaire a deux significations : 3 1 – le « partage » ( , c’est 3 fois ) ; 5 5 3 – le quotient : désigne le cinquième de 3 (le nombre dont 5 le produit par 5 est égal à 3). L’utilisation d’une écriture fractionnaire pour exprimer une proportion, une fréquence est à relier à la notion de quotient. Dans le traitement mathématique des problèmes de la vie courante, les fractions interviennent rarement en tant que nombre. L’utilisation des nombres décimaux est souvent suffisante et doit être privilégiée tout particulièrement dans le cadre du socle commun. ac a ● L’égalité = fait l’objet d’une justification à l’aide bc b d’un exemple générique. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Mobiliser des écritures différentes d’un même nombre. – Comparer des nombres. – Choisir l’opération qui convient au traitement de la situation étudiée. – Maîtriser de manière automatisée les tables de multiplication « dans un sens ou dans l’autre » pour effectuer un calcul mental simple, un calcul réfléchi, un calcul posé portant sur des nombres de taille raisonnable. – Mener à bien un calcul instrumenté (calculatrice, tableur). Indications pour l’évaluation Les nombres utilisés sont les nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire. La comparaison des nombres ● en écriture fractionnaire se limite au cas de deux nombres positifs ; la mise au même dénominateur doit pouvoir se faire par simple calcul mental. ● Les opérations mobilisées sont : – les quatre opérations sur les nombres relatifs entiers, décimaux ; – la multiplication des nombres relatifs en écriture fractionnaire ; – l’addition, la soustraction des nombres relatifs en écriture fractionnaire, dans le cas où la mise au même dénominateur peut se faire par calcul mental. Pour la division décimale posée, les nombres décimaux comportent au maximum deux chiffres après la virgule et le diviseur est un entier inférieur à 10. Programme de la classe de Sixième > CONNAISSANCES : Multiples et diviseurs > CONNAISSANCES : ● CAPACITÉS ● Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10. ● *Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4 et 9. ■ Commentaires La notion de multiple, introduite à l’école primaire, est rappelée sur des exemples numériques, en même temps qu’est introduite celle de diviseur. Les différentes significations de ce dernier terme doivent être explicitées. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. ● Écriture fractionnaire *Quotient exact CAPACITÉS a comme quotient de l’entier a par b l’entier b, c’est-à-dire comme le nombre qui multiplié par b donne a. ● *Placer le quotient de deux entiers sur une demidroite graduée dans des cas simples. ● Prendre une fraction d’une quantité. ● *Il s’agit de faire comprendre la modélisation de ce type de problème par une multiplication. ● *Interpréter Chap. 3 - Nombres en écriture fractionnaire : sens 31 ■ Commentaires > CONNAISSANCES : À l’école élémentaire, l’écriture fractionnaire est introduite en référence au partage d’une unité. Par exemple 7 est 7 fois un tiers. 3 ● Le vocabulaire relatif aux écritures fractionnaires est utilisé : numérateur, dénominateur. *Le programme de la classe de Sixième a pour objectif d’in7 terpréter aussi comme : 3 – le tiers de 7 ; – le nombre qui multiplié par 3 donne 7 ; – un nombre dont une valeur approchée est 2,33 ; – l’utilisation de quotients, sous forme fractionnaire, permet de gérer plus facilement les raisonnements et de repousser la recherche d’une valeur approchée décimale à la fin de la résolution. Écriture fractionnaire *Un quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre. ● ● ● CAPACITÉS *Reconnaître dans des cas simples que deux écritures fractionnaires différentes sont celles d’un même nombre. ■ Commentaires La connaissance des tables de multiplication est notamment exploitée à cette occasion. Programme de la classe de Quatrième > CONNAISSANCES : ■ Commentaires Calcul numérique ● Opérations (+, – , × , :) sur les nombres relatifs en écriture décimale *Un travail est mené sur la notion d’inverse d’un nombre non 1 nul ; les notations et x–1 sont utilisées, ainsi que les touches ● x correspondantes de la calculatrice. CAPACITÉS Déterminer une valeur approchée du quotient de deux nombres décimaux (positifs ou négatifs). > CONNAISSANCES : ● ● > CONNAISSANCES : • Calcul numérique • Division de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire. Calcul littéral Comparaison de deux nombres relatifs CAPACITÉS Comparer deux nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire, en particulier connaître et utiliser : a c l’équivalence entre = et ad = bc (b et d étant non b d nuls). CAPACITÉS Diviser des nombres relatifs en écriture fractionnaire. a 1 ● Connaître et utiliser l’égalité =a . b b ● Commen taire s des au Commentaires auteurs teu rs ➜ Comme en classe de Sixième, l’écriture fractionnaire est vue comme « un partage », « un quotient ». Une nouvelle approche de l’écriture fractionnaire est introduite dans ce chapitre : la proportion. ➜ L’égalité ac = a , déjà vue en Sixième et utilisée bc b pour simplifier des fractions, est démontrée en Cinquième dans le cas d’un exemple générique. ● Cette propriété permet de calculer le quotient de deux nombres décimaux. > Cette propriété sera utilisée dans le chapitre 4 pour écrire des fractions au même dénominateur (addition et soustraction de fractions). ➜ La comparaison des nombres en écriture fractionnaire n’est plus au programme en tant que telle. Seule la comparaison de proportions comme application de la proportionnalité est au programme. ● A c tiv ti v ités ité s ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ COM MENTAI RES : Cette activité permet de revoir l’écriture fractionnaire de certains nombres. CORRIG É Une écriture fractionnaire de 0,25 % est : 32 1 . Une écriture fractionnaire de un vingtième est : 20 2 Une écriture fractionnaire de deux tiers est : . 3 0,25 . 100 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 1 JE REPRÉSENTE UNE PROPORTION Objectif Découvrir la notion de proportion. Prérequis ● ● Paragraphe introduit Notion de partage en parts égales. Représentation d’une proportion. ! Signification d’une écriture fractionnaire a) Proportion ■ C OMMENTAI RE S : À l’aide d’une situation simple, cette activité permet de donner du sens à la notion de proportion. La deuxième question permet aussi de faire la distinction entre proportion et nombre. 2 JE REVOIS C ORRIGÉ 1) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3 . 4 2) a) Le disque entier représente l’ensemble des élèves de Cinquième A. b) On ne connaît pas le nombre d’élèves de Cinquième A qui étudient le latin. On ne peut pas répondre à cette question. c) La proportion d’élèves de Cinquième A qui n’étudient 1 pas le latin est : . 4 d) On ne connaît pas le nombre d’élèves de Cinquième A. On ne peut pas répondre à cette question. b) La fraction du disque coloriée en rouge est : JE FAIS LE LIEN ENTRE FRACTION ET QUOTIENT Objectifs ● Prérequis ● Paragraphe introduit Revoir le lien entre fraction et quotient. ● Revoir la définition du quotient de a par b. Lire l’abscisse d’un point sur une droite graduée. ● Placer des points sur une demi-droite graduée. ● Multiplier un nombre par une fraction. ! Signification d’une écriture fractionnaire b) Quotient ■ C OMMENTAI RE S : La définition du quotient de a par b pose problème à de nombreux élèves. Cette activité permet de : – visualiser que si l’on reporte 5 fois « quatre cinquièmes » on obtient 4 ; 4 – justifier que : 5 × = 4 ; 5 – rappeler la définition du quotient de a par b. b) On place le point M sur la quatrième graduation. 4 Donc, l’abscisse du point M est égale à . 5 c) L’écriture décimale de l’abscisse du point M est 0,8. 3) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) 1 3 0 5 2 0 2, 4 c) Le quotient de cette division représente l’abscisse du point N. B 1) L’abscisse du point P semble être égale à 4. 2) a) Justification de Julie 5× 4 20 = = 20 : 5 = 4 5 5 Justification de Noëlle 5× 4 = 5 × 0,8 = 4 5 Justification de Marco 4 4 = 4, car est le nombre qui 5 × 5 5 multiplié par 5 donne 4. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) a) On a partagé le segment [OA] en 5 parties égales. On place le point B sur la première graduation. Donc, 1 l’abscisse du point B est égale à . 5 2, 0 CO RRI G É A 1) JE REVOIS b) La justification qui utilise la définition du quotient de a par b est celle de Marco. Définition du quotient de a par b : le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a. JE DÉCOUVRE DES ÉGALITÉS DE QUOTIENTS Objectifs Prérequis ac a = . bc b ● Démontrer cette égalité sur un exemple générique. ● ● ● Paragraphe introduit Rappeler l’égalité Notion de proportion. Définition du quotient de a par b. @ Égalité de quotients a) Propriété des quotients égaux ■ C OMMENTAI RE S : Cette activité, à partir d’un exemple générique, permet de démontrer l’égalité des quotients égaux. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. C ORRIGÉ A 1) Le rectangle 1 (de longueur 7 cm et de largeur 3 cm) est partagé en 42 parties égales, dont 7 sont coloriées. 7 du rectangle 1 est colorié. Ce qui représente D’où 42 14 petits carreaux. Le rectangle 2 (de longueur 7 cm et de largeur 3 cm) est partagé en 21 parts égales dont 3,5 sont coloriées. 3,5 D’où du rectangle 2 est colorié. Ce qui représente aussi 21 14 petits carreaux. 7 3,5 Donc, = . 42 21 Chap. 3 - Nombres en écriture fractionnaire : sens 33 2) a) et b) On a partagé ce rectangle en six parts égales. On en a colorié une. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1 du rectangle a été colorié. Ce qui représente 6 14 petits carreaux. 7 3,5 1 Donc, = = . 42 21 6 3,5 3,5 × 2 7 7:7 1 3) = = = . = 21 21 × 2 42 42 : 7 6 a = q. Le B 1) On considère le nombre q tel que : b nombre q est le quotient de a par b. Par définition, c’est le nombre qui, multiplié par b donne a. Donc, a = b × q. D’où, 4 2) a) On a : a = b × q. D’où : 7×a=7×b×q Ce qui revient à : 7 × a = (7 × b) × q. D’après la définition du quotient : 7×a =q 7×b a a 7×a = q. On a donc, = . b b 7×b 3) Cette démonstration est encore valable si l’on remplace 7 par un autre nombre non nul. Ainsi, on ne change pas un quotient lorsqu’on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. b) Or, JE DÉCOUVRE LA DIVISION DE DEUX NOMBRES DÉCIMAUX Objectif Diviser deux nombres décimaux. Prérequis L’égalité Paragraphe introduit b) 5, # Division de deux nombres décimaux La division par un nombre décimal est étudiée et démontrée en utilisant la propriété du quotient vue dans l’activité précédente. 1) a) On doit effectuer 5,58 : 4,5 pour calculer le prix d’un litre d’essence. b) c) d) e) f) g) h) a) a) 8 est le quotient de 8 par 9. 9 2 1 = 12 6 5 b) 1 34 8 0 8 1 8 4 5 1, 2 4 0 0 c) Le prix d’un litre d’essence est donc égal à 1,24 €. a) 6 4 a) 10 12 1) 5 8 8 12 1 c) 2 b) 5 1 40 1 3) 5 2) 6 a) 24 est un multiple de 3. b) 4 est un diviseur de 8. c) 15 et 9 sont divisibles par 3. d) 15 et 70 sont divisibles par 5. 7 4 1 = 12 3 6 1 = c) 12 2 3 5, 1) a) Un nombre est divisible par deux s’il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8. b) Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5. 2) a) 25 875 n’est pas divisible par 2 car il ne se termine pas par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8. b) 25 875 est divisible par 5 car il se termine par 5. b) c) 1 5 E x erc er c ic ice es 5 est le nombre qui multiplié par 3 donne 5. 3 6 est le quotient de 6 par 5. 5 15 est le nombre qui multiplié par 4 donne 15. 4 9 5× =9 5 7 =7:8 8 4 7× =4 7 11 11 : 5 = 5 2 4, On ne sait pas effectuer cette opération, car on ne sait pas diviser par 4,5 (un nombre décimal). 5,58 55,8 = = 55,8 : 45. 2) a) 5,58 : 4,5 = 4,5 45 CORRIG É 1 8 ac a = . bc b ■ COM MENTAI RES : > 5 b) 1,5 8 1) a) Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. b) Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. 2) a) 23 319 est divisible par 3 car 2 + 3 + 3 + 1 + 9 = 18 et 18 est divisible par 3. b) 23 319 est divisible par 9 car 2 + 3 + 3 + 1 + 9 = 18 et 18 est divisible par 9. 9 a) 61 656 et 126 450 sont divisibles par 2. b) 61 656 et 126 450 sont divisibles par 3. c) 61 656 est divisible par 4. d) 1 235 et 126 450 sont divisibles par 5. e) 126 450 est divisible par 9. f) 126 450 est divisible par 10. 10 d) a) 12 24 = 14 28 20 4 e) = 35 7 a) 3 9 = 8 24 9 54 d) = 4 24 12 4 = 18 6 30 3 = 60 6 81 9 d) = 54 6 13,8 138 = 18,7 187 8 800 c) = 2,45 245 a) 27 = 45 49 7 × 7 c) = = 35 7 × 5 14 a) c) 7 56 = 3 24 35 5 = 42 6 13 7 56 = 9 72 63 7 f) = 45 5 b) 5 20 = 6 24 12 c) 2 4 = 5 10 12 4 = 15 5 11 c) a) 9×3 3 = 9×5 5 7 5 b) b) 47,08 470,8 = 10,3 103 0,5 50 d) = 0,03 3 b) 21 7 × 3 7 = = 15 5 × 3 5 27 3 × 9 3 d) = = 36 4 × 9 4 b) 16 63 7 = 99 11 76 19 c) = 120 30 17 a) 20 5 = 28 7 75 15 c) = 110 22 18 a) 48 8 = 78 13 54 6 3 c) = = 72 8 4 45 15 = 84 28 125 25 = d) 135 27 b) 12 4 = 39 13 153 17 = d) 90 10 b) 90 = 108 162 d) = 186 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 315 7 = 360 8 20 10 40 = = 14 7 28 15 30 1 c) = = 45 90 3 23 a) 324 = 540 720 d) = 936 b) 3 5 10 13 72 6 12 36 = = = 48 4 8 24 40 5 20 15 d) = = = 64 8 32 24 b) 24 10,24 € : 1,6 kg = 6,40 € Le prix d’un kilogramme de fraises est 6,40 €. 25 44,28 € : 4,5 L = 9,84 € Le prix d’un litre d’huile d’olive est de 9,48 €. 26 28,91 € : 1,180 kg = 24,50 € Le prix d’un kilogramme de daurade est 24,50 €. 27 18,9 m2 : 2,25 L = 8,4 m2 L’aire de la surface que l’on peut peindre avec 1 L est de 8,4 m2. 28 9,96 L : 124,5 km = 0,08 L Le volume de carburant consommé pour parcourir un kilomètre est 0,08 L. 1) Aire du rectangle = L × ᐉ 27 = 1,2 L 27 2) ᐉ = 1,2 3) ᐉ= 22,5 29 32 27 3 b) = 63 7 24 8 d) = 15 5 b) c) 198 11 = 72 4 31 1) Ces deux élèves ont fait des calculs justes. 27 3 12 3 et = = 2) 36 4 16 4 a) a) 215,68 € : 3,37 € = 64 Le volume d’eau consommé par cette famille est de 64 m3. 19 20 22 50 2 = 175 7 612 51 = d) 1 080 90 b) 30 a) 15 3 = a) 40 8 22 11 c) = 26 13 a) 1) On divise 438 € par 18,25 qui est le coefficient de proportionnalité. 2) Le résultat est de 24 manuels. 132 4 × 33 33 3 × 11 11 = = = = 108 4 × 27 27 9 3×9 234 2 × 117 117 9 × 13 13 = = b) = = 90 45 5 2 × 45 9×5 540 9 × 60 60 5 × 12 12 = c) = = = 765 9 × 85 85 5 × 17 17 540 5 × 108 108 9 × 12 12 = = d) = = 765 5 × 153 153 9 × 17 17 15 24 2 = 84 7 208 26 = c) 248 31 21 45 54 27 31 22,50 € : 0,25 € = 90 Antoine a téléphoné pendant 90 minutes. 33 1) 3 5 3) Tomate 2 5 2) 34 Masse de glucides et de lipides : 81 g. Masse de chocolat ne contenant ni glucides ni lipides : 19 g. Proportion de ce chocolat ne contenant ni glucides ni 19 . lipides : 100 35 1) 3 1 = 6 2 2 1 = 18 9 7 3) 18 2) 36 c) 1) a) 8 29 4 29 6 29 11 d) 29 b) Chap. 3 - Nombres en écriture fractionnaire : sens 35 18 29 3) Proportion des élèves de la classe ayant une note 14 supérieure à 11,5 : . 29 Proportion des élèves de la classe ayant une note inférieure 14 . à 11,5 : 29 Ces deux proportions sont égales. 2) 11 1) 4 2) 2,75 37 10 1) 7 2) 1,429 38 39 a) 7,5 40 a) 1,1575 41 b) 9,5 c) 4,8 c) 0,34 42 a) 360 ; 10 et 0 sont divisibles par 2. b) 360 ; 255 ; 1 245 et 0 sont divisibles par 3. c) 360 et 0 sont divisibles par 4. d) 360 ; 10 ; 255 ; 1 245 et 0 sont divisibles par 5. e) 360 et 0 sont divisibles par 9. f) 60 ; 10 et 0 sont divisibles par 10. a) 4,8 = 53 a) 54 3 18 = 2 12 2) b) c) 2 3 4 5 9 10 210 oui oui non oui non oui 864 oui oui oui non oui non 5 840 oui non oui oui non oui 2 869 non non non non non non 44 1) 15 ; 30 ; 150 2) 1 ; 3 ; 5 ; 15 45 59 4 b) 8 7 d) c) 9 7 d) 5 10 = 6 12 13 12 56 1) 16 2 = 24 3 4 2 = 6 3 2,6 26 2 × 13 2 = = = 3,9 39 3 × 13 3 30 2 = 45 3 a) 5 b) 1,8 c) 4,5 a) 44,7 b) 2,5 c) 131,9 d) 6,2 L × ᐉ = 16 L × 2,5 = 16 L = 16 : 2,5 L = 6,4 La longueur est de 6,4 cm. 24 6 × 4 4 = = 18 6 × 3 3 40 4 × 10 4 = = 30 3 × 10 3 0,4 4 : 10 4 = = 0,3 3 : 10 3 46 60 5,22 km = 5 220 m 5 220 m : 1,45 m = 3 600 Le nombre de tours de roues est de 3 600. 47 a) 5 7 b) 7 5 c) 7 6 d) 6 7 48 a) 5 6 b) 5 3 c) 3 7 d) 4 9 22,80 € : 0,95 € = 24 Caroline a acheté 24 crayons. 49 a) 1 2 b) 1 3 c) 1 4 d) 1 4 50 a) 58 100 b) 52 100 c) 40 100 d) 24 100 L × ᐉ × h = 44,1 10,5 × 3,5 × h = 44,1 36,75 × h = 44,1 h = 44,1 : 36,75 = 1,2 La hauteur d’eau dans cette piscine est de 1,2 m. 36 3 7 0,42 42 6 7×6 = = = 0,6 = 0,7 70 7 × 10 10 3,6 36 4 × 9 4 a) = = = =4 0,9 9 1×9 1 56 5,6 2 2 × 28 = = : 0,08 = 70 700 25 × 28 25 3,5 35 = =5 0,7 7 0,48 48 1 1 × 48 = = = 0,02 = 24 2 400 50 × 48 50 57 58 59 1) 18 ; 36 ; 360 2) 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 4 7 7 28 = 3 12 55 43 15 2 48 24 = 10 5 52 26 b) 5,2 = = 10 5 125 5 c) 1,25 = = 100 4 5 1 d) 0,05 = = 100 20 52 c) 2,5 b) 10,74 ... est divisible par ... a) 7,5 = d) 40 b) 3,55 a) 705,17 75 5 × 15 = = 10 5×2 38 2 × 19 19 = b) 3,8 = = 10 5 2×5 124 4 × 31 31 = c) 1,24 = = 100 4 × 25 25 1 475 25 × 59 = d) 14,75 = = 100 25 × 4 51 61 62 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. > Je fais fai s l e po p o int Les exercices 63 à 72 sont corrigés à la page 286 du manuel élève. 73 1) 19 admet exactement 2 diviseurs : 1 et 19. 2) 25 admet exactement 3 diviseurs : 1 ; 5 et 25. 3) 21 admet exactement 4 diviseurs : 1 ; 3 ; 7 et 21. 74 1) Ce nombre est 60. 2) 60 admet en effet 12 diviseurs : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 et 60. 75 1) 280,915 mL : 9,5 fl.Oz = 29,57 mL 1 fluid Ounce correspond à 29,57 mL. 2) 9,5 fl.Oz : 280,915mL 艐 0,034 fl.Oz 1 mL correspond à 0,034 fl.Oz environ. 76 1) 1 tonne correspond à 7,33 barils. 1 000 kg correspondent à 7,33 barils. 1 000 kg : 7,33 barils 艐 136,43 kg 1 baril correspond à 136,43 kg environ. 2) 100 L correspondent à 0,63 baril. 100 L : 0,63 baril 艐 158,73 1 baril correspond à 158,73 L environ. 77 1) Volume total de cet iceberg : 900 m3 + 6 300 m3 = 7 200 m3. 900 9 1 = = . 2) Proportion de la partie émergée : 7 200 72 8 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 78 Proportion d’élèves ayant cité le football : Proportion d’élèves ayant cité le rugby : 12 1 = . 60 5 20 1 = . 60 3 18 3 Proportion d’élèves ayant cité la gymnastique : = . 60 10 10 1 Proportion d’élèves ayant cité l’athlétisme : = . 60 6 2) a) Proportion de fourmis non ailées : b) Proportion de moustiques : 11 . 220 10 d) Proportion de fourmis ailées : . 220 55 e) Proportion de mouches : . 220 44 1 3) = 220 5 20 1 = 220 11 11 1 = 220 20 10 1 = 220 22 55 1 = 220 4 4) a) Les insectes ailés sont les moustiques, les abeilles, les fourmis ailées, les mouches et les autres insectes ailés. Leur nombre est de 130. 130 13 La proportion de ces insectes ailés est de = . 220 22 b) Proportion des fourmis ailées parmi les insectes ailés : 10 1 = . 130 13 c) Les insectes non ailés sont au nombre de 90. Proportion des fourmis parmi les insectes non ailés : 44 22 = . 90 45 c) Proportion d’abeilles : 83 269 : 19 est le quotient de 269 par 19, c’est-à-dire, c’est le nombre qui, multiplié par 19, donne 269. Or, si l’on pose la multiplication, on a : 1 × 79 Surface totale des océans : 180 + 90 + 75 + 20 + 15 = 380 (en millions de km2). Proportion de la surface de l’Océan Pacifique : 180 18 9 = = . 380 38 19 90 9 Proportion de la surface de l’Océan Atlantique : = . 380 38 75 15 Proportion de la surface de l’Océan Indien : = . 380 76 Proportion de la surface de l’Océan Antarctique : 20 2 1 = = . 380 38 19 15 3 Proportion de la surface de l’Océan Arctique : = . 380 76 80 23 . 30 2) 81 1) Proportion de la lave produite dans les océans : Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 82 1) a) Nombre total d’insectes : 220. b) 220 : 10 = 22 Le nombre d’élèves en Cinquième F est 22. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 20 . 220 44 . 220 4, 1 5 7 8 9 4 7 4 1 9 6 . 6 Le résultat de cette multiplication doit être égal à 269. Or, ici le dernier chiffre trouvé est 6. 84 1) Dans la figure 1 : – l’aire du carré rose est égale à (2R)2 = 4R 2 ; – l’aire du disque est égale πR 2. Ainsi, la proportion du carré qui est colorée en rose est : πR 2 πR 2 π = = . 2 (2R) 4R 2 4 2) Dans la figure 2 : – l’aire du disque est égale πR 2. Cherchons l’aire du carré. L’aire du carré est égale à 4 fois l’aire du triangle rectangle isocèle. L’aire du carré est égale à : (4 × R 2 ) : 2 = 2 × R 2. La proportion du disque qui est colorée en vert est : 2R 2 2 = . πR 2 π 2 π 3) On veut donc comparer et . π 4 2 π 艐 0,64 au centième près. 艐 0,79 au centième près. π 4 2 π Donc, ⬍ . π 4 Chap. 3 - Nombres en écriture fractionnaire : sens 37 85 a) Proportion des billes rouges : 15 1 = . 60 4 5 1 = . 60 12 28 7 = . c) Proportion des billes jaunes : 60 15 12 1 d) Proportion des billes bleues : = . 60 5 b) Proportion des billes vertes : 86 1) Proportion des cartes rouges : 2) Proportion des cartes « AS » : 1 . 2 4 1 = . 32 8 45 5 = 108 12 104 26 = b) 140 35 150 15 5 c) = = 210 21 7 87 a) 88 Le quotient de 28,7 par 1,4 est égal à 20,5. 3 825 m = 150 m 25,5 min Ronald a parcouru 150 m en 1 minute. 89 90 Masse totale des aliments du renard (en grammes) : 2 500. 200 20 4 = = . Proportion de mammifères : 250 25 5 20 2 = Proportion d’oiseaux : . 250 25 17,5 175 7 = = . Proportion de fruits : 250 2 500 100 12,5 125 1 = = Proportion d’insectes : . 250 2 500 20 91 a) 48 6 2 = = 72 9 3 56 8 = 77 11 648 9 = c) 720 10 b) 1) 58 € : 86,42 $ 艐 0,67 € La valeur d’un dollar, à cette date, était de 0,67 euro environ. 2) 12,60 $ : 4,5 kg = 2,80 $ Le prix d’un kilogramme d’oranges est de 2,80 $. 92 38 93 a) 0,36 : 1,5 = 0,24 b) 1256 : 0,29 艐 4 331,03 c) 13,25 : 0,6 艐 22,08 d) 1,56 : 0,3 = 5,2 58 2 = 203 7 324 12 = c) 189 7 94 a) 248 8 = 155 5 3 835 65 = d) 3 717 63 b) 95 1) a) Sur les 425 atolls que possède notre planète, 85 sont situés en Polynésie française. D’où, la proportion des atolls de la planète situés en Polynésie française : 85 . 425 1 b) La fraction simplifiée est : . 5 c) Cela signifie que 1 atoll sur 5 de notre planète est situé en Polynésie française. 2) 77 des atolls de Polynésie sont localisés dans l’archipel des Tuamotu. Parmi les atolls de Polynésie française, la proportion de 77 ceux situés dans l’Archipel des Tuamotu est égal à : . 85 96 1) et 2) Je représente par un rectangle de 1 cm de long les atolls présentant plusieurs passes. Je représente par un rectangle de 4,5 cm de long, ceux qui n’ont aucune passe. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 97 1) Un gramme d’une perle de culture de Tahiti vaut 952 F CFP. Or, un euro est égal à environ 119,33 F CFP. Donc, un gramme d’une perle de culture de Tahiti 952 vaut en euros : . 119,33 On pose la division et on obtient environ 8 €. 2) Prix en euros d’une perle de culture de Tahiti : 952 1 561,28 1,64 × = = 13,08 119,33 119,33 Une perle de culture coûte en moyenne 13,08 €. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 4 > P ro gra gr amm mme e Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. > CONNAISSANCES : ● ● > CONNAISSANCES : Nombres positifs en écriture fractionnaire : calculs Addition et soustraction ● ● Nombres positifs en écriture fractionnaire : calculs *Multiplication CAPACITÉS CAPACITÉS Additionner et soustraire deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes *et dans le cas où le dénominateur de l’un est un multiple du dénominateur de l’autre. *Effectuer le produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire ou décimale, le cas d’entiers étant inclus. ■ Commentaires Des oralisations du type « 3 quarts plus 5 quarts » permettent d’effectuer directement des opérations sans mobiliser explicitement le statut de nombre. ■ Commentaires Le travail porte à la fois sur les situations dont le traitement fait intervenir le produit de deux nombres en écritures fractionnaires (en relation avec différentes significations de ces écritures) et sur la justification du procédé de calcul. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Mobiliser des écritures différentes d’un même nombre. – Comparer des nombres. – Choisir l’opération qui convient au traitement de la situation étudiée. – Maîtriser de manière automatisée les tables de multiplication « dans un sens ou dans l’autre » pour effectuer un calcul mental simple, un calcul réfléchi, un calcul posé portant sur des nombres de taille raisonnable. – Mener à bien un calcul instrumenté (calculatrice, tableur). Indications pour l’évaluation – Les nombres utilisés sont les nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire. La comparaison des nombres en écriture fractionnaire se limite au cas de deux nombres positifs ; la mise au même dénominateur doit pouvoir se faire par simple calcul mental. – Les opérations mobilisées sont : ● les quatre opérations sur les nombres relatifs entiers, décimaux ; ● la multiplication des nombres relatifs en écriture fractionnaire ; ● l’addition, la soustraction des nombres relatifs en écriture fractionnaire, dans le cas où la mise au même dénominateur peut se faire par calcul mental. Pour la division décimale posée, les nombres décimaux comportent au maximum deux chiffres après la virgule et le diviseur est un entier inférieur à 10. Programme de la classe de Sixième > CONNAISSANCES : Multiples et diviseurs > CONNAISSANCES : ● CAPACITÉS ● Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10. ● Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4 et 9. ■ Commentaires La notion de multiple, introduite à l’école primaire, est rappelée sur des exemples numériques, en même temps qu’est introduite celle de diviseur. Les différentes significations de ce dernier terme doivent être explicitées. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. ● Écriture fractionnaire *Quotient exact CAPACITÉS a comme quotient de l’entier a par b l’entier b, c’est-à-dire comme le nombre qui multiplié par b donne a. ● *Placer le quotient de deux entiers sur une demi droite graduée dans des cas simples. ● Prendre une fraction d’une quantité. ● *Interpréter Chap. 4 - Nombres en écriture fractionnaire : opérations 39 *Il s’agit de faire comprendre la modélisation de ce type de problème par une multiplication. ■ Commentaires À l’école élémentaire, l’écriture fractionnaire est intro 7 duite en référence au partage d’une unité. Par exemple 3 est 7 fois un tiers. Le vocabulaire relatif aux écritures fractionnaires est utilisé : numérateur, dénominateur. *Le programme de la classe de 6e a pour objectif d’interpréter 7 aussi comme : 3 – le tiers de 7 ; – le nombre qui multiplié par 3 donne 7 ; – un nombre dont une valeur approchée est 2,33. L’utilisation de quotients, sous forme fractionnaire, permet de gérer plus facilement les raisonnements et de repousser la recherche d’une valeur approchée décimale à la fin de la résolution. > CONNAISSANCES : Écriture fractionnaire *Un quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre. ● ● CAPACITÉS *Reconnaître dans des cas simples que deux écritures fractionnaires différentes sont celles d’un même nombre. ■ Commentaires La connaissance des tables de multiplication est notamment exploitée à cette occasion. Programme de la classe de Quatrième > CONNAISSANCES : Calcul numérique *Opérations (+, –, ×) sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire (non nécessairement simplifiée) ● ● ou fractionnaire deviennent des capacités exigibles dans le cadre du socle commun. > CONNAISSANCES : ● ● CAPACITÉS *Multiplier, additionner et soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire. CAPACITÉS ● Diviser des nombres relatifs en écriture fractionnaire. a 1 ● Connaître et utiliser l’égalité : =a¥ . b b ■ Commentaires *L’addition de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire demande un travail sur la recherche de multiples communs à deux ou plusieurs nombres entiers dans des cas où un calcul mental est possible. Savoir additionner et soustraire des entiers relatifs et multiplier deux nombres positifs écrits sous forme décimale Calcul numérique Division de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire ■ Commentaires *Un travail est mené sur la notion d’inverse d’un nombre non 1 nul ; les notations et x–1 sont utilisées, ainsi que les touches x correspondantes de la calculatrice. Commen taire s des au Commentaires auteurs teu rs ➜ Les élèves ont déjà vu l’addition de fractions de même dénominateur au CM2. Ce chapitre établit les règles d’addition et de soustraction dans le cas où les dénominateurs sont égaux. Dans le cas où les dénominateurs ne sont pas égaux, l’addition et la soustraction de deux fractions ne sont étudiées que lorsqu’un dénominateur est multiple de l’autre. > Le cas général ne sera étudié qu’en classe de Quatrième. ➜ La multiplication d’un nombre par une fraction a été traitée en Sixième. La multiplication de deux fractions est étudiée en Cinquième. ➜ La division par une fraction ne sera étudiée qu’à partir de la classe de Quatrième. A c tiv ti v ités ité s ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ COM MENTAI RES : Cette activité permet de retrouver la durée d’une croche et d’une noire pointée dans une mesure de musique. La musique permet de « calculer des durées » avec des fractions simples (de dénominateur des puissances de 2). C ORRIGÉ 1) La mesure dure 4 temps. Or, une noire dure 1 temps. u durent 1 temps. 1 On en déduit qu’une croche S dure temps. 2 Donc, deux croches 2) Cette mesure dure 4 temps. Or, une blanche dure 1 temps. Ainsi, la noire poin2 3 tée dure 1 temps et demi. Soit temps. 2 2 temps et une croche dure 40 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 1 J’ADDITIONNE, JE SOUSTRAIS DES FRACTIONS DE MÊME DÉNOMINATEUR Objectifs Énoncer la règle qui permet d’ajouter des nombres en écriture fractionnaire. ● Énoncer la règle qui permet de soustraire des nombres en écriture fractionnaire. ● Prérequis Paragraphe introduit – ! Addition et soustraction a) Les dénominateurs sont égaux ■ C O M M E NTAI R E S : À partir d’oralisations du type « 3 quarts plus 5 quarts », l’élève peut effectuer directement des opérations sans mobiliser explicitement le statut de nombre. On s’est limité dans cette activité aux fractions. Mais les règles énoncées dans le cours concernent les nombres en écriture fractionnaire. CO RRI G É JE REVOIS 6 3 9 + = . 10 10 10 2) « 7 quinzièmes plus 4 quinzièmes est égal à 11 quinzièmes. » 7 4 11 + = . On a : 15 15 15 3) Pour ajouter deux fractions de même dénominateur, on ajoute les numérateurs et on garde le dénominateur commun. B 1) a) « 13 dixièmes moins 6 dixièmes est égal à 7 dixièmes. » 13 6 7 b) On a : – = . 10 10 10 2) « 15 septièmes moins 3 septièmes est égal à 12 septièmes. » 15 3 12 – = . On a : 7 7 7 3) Pour soustraire deux fractions de même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun. b) On a : A 1) a) « 6 dixièmes plus 3 dixièmes est égal à 9 dixièmes. » 2 J’ADDITIONNE CERTAINES FRACTIONS Objectif Prérequis Ajouter deux fractions de dénominateurs différents, l’un des dénominateurs est multiple de l’autre. ● ● Paragraphe introduit Représenter des proportions. Propriété des quotients égaux. ! Addition et soustraction b) Un dénominateur est multiple de l’autre ■ C OMMENTAI RE S : 1 5 + . Elle comporte Cette activité permet de calculer 3 24 deux parties : – la première permet de visualiser à l’aide d’un schéma cette somme ; – la seconde utilise la propriété des quotients égaux pour pouvoir calculer cette somme. 3 C ORRIGÉ A 1) 2) 3) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 13 du b) Au total, 13 parties sur 24 sont coloriées. Donc, 24 rectangle est colorié. 1 5 13 = . 4) On a alors : + 3 24 24 B 1) a) 1 = 1 × 8 = 8 . 3 3 × 8 24 1 b) On a pu trouver une fraction égale à de dénomina3 teur 24, car 24 est un multiple de 3. 1 5 5 8 5 = 1×8 + = + .» 2) « + 3 24 3 × 8 24 24 24 1 5 13 = . 3) Donc, + 3 24 24 JE CALCULE UNE FRACTION D’UN NOMBRE Objectif Revoir la méthode de calcul du produit d’une fraction par un nombre. Prérequis Prendre une fraction d’un nombre. Paragraphe introduit @ Prendre une fraction d’un nombre ■ C OMMENTAI RE S : Cette activité permet, d’une part, de a » et d’autre part de revoir les trois b méthodes de calcul de ce produit. a L’élève remarque que lorsque n’est pas un nombre décib mal, la méthode qui consiste à, d’abord, effectuer le quotient de a par b, ne donne pas de valeur exacte. revoir le sens de « k × © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. JE REVOIS CORRIGÉ 2 1) Quand on effectue le produit de par 1200, on calcule 3 le nombre de places réservées. 2) a) Kévin n’obtient pas le bon résultat. En effet, il calcule d’abord le quotient de 2 par 3 qui n’est pas un nombre décimal. Il se sert d’une valeur approchée de ce quotient : il ne peut donc pas obtenir un résultat exact. b) Maxime a calculé le tiers de 1 200, puis le double du résultat obtenu. c) Nadia a calculé le double de 1200, puis le tiers du résultat obtenu. Chap. 4 - Nombres en écriture fractionnaire : opérations 41 4 JE MULTIPLIE DEUX FRACTIONS Objectif Apprendre à multiplier deux fractions. Prérequis Notion de proportion. Paragraphe introduit # Multiplication ■ C O M M E NTAI R E S : Cette activité met en évidence la règle de multiplication de deux fractions, mais ne la démontre en aucun cas. CORRIG É 1) a) b) c) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com > 1 d) d) 3 E x erc er c ic ice es a) 7 5 b) a) 5 3 b) 35 2 2 18 7 a) 14 11 47 e) 5 21 5 50 e) 13 9 =3 3 c) 25 6 c) 23 12 b) 10 =2 5 1) C’est la fille qui a raison. En effet, il faut mettre le nombre 1 au dénominateur 5 5:1= . 5 Le calcul s’effectue alors de la manière suivante : 1 5 1 6 1+ = + = 5 5 5 5 1 9 1 10 2) a) 1 + = + = 9 9 9 9 1 13 1 14 b) 1 + = + = 13 13 13 13 5 7 5 12 c) 1 + = + = 7 7 7 7 7 4 7 11 d) 1 + = + = 4 4 4 4 5 11 5 16 e) 1 + = + = 11 11 11 11 7 6 7 13 f) 2 + = + = 3 3 3 3 1 5 = – 5 5 1 13 1 c) 1 – = – = 13 13 13 3 11 3 e) 1 – = – = 11 11 11 a) 1 – 1 4 = 5 5 12 13 8 11 3 6 = 2 4 3 1 6 1 7 Donc, + = + = . 2 4 4 4 4 6 42 4 16 = 3 12 4 5 16 5 11 Donc, – = – = . 3 12 12 12 12 7 1 9 1 8 = – = 9 9 9 9 5 7 5 2 d) 1 – = – = 7 7 7 7 5 6 5 1 f) 2 – = – = 3 3 3 3 b) 1 – 1 1 1 2 3 + = + = 10 5 10 10 10 4 5 8 5 13 + = + = 3 6 6 6 6 7 7 21 7 28 + = + = 3 9 9 9 9 2 5 4 5 9 + = + = 7 14 14 14 14 3 7 3 28 31 + = + = 20 5 20 20 20 4 5 24 5 29 + = + = 3 18 18 18 18 8 b) 4 5 d) 35 timbres sont collés sur cette page. La proportion de timbres français sur cette page est égale 12 . à 35 2) La proportion de timbres français placés sur cette page 3 4 3 4 est de , c’est-à-dire × . 7 5 7 5 3 4 12 On a donc, « × = ». 7 5 35 3) a) Le numérateur du résultat est obtenu en multipliant les numérateurs. b) Le dénominateur du résultat est obtenu en multipliant les dénominateurs. c) Pour calculer le produit de deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. c) d) e) f) 7 3 14 3 11 – = – = 2 4 4 4 4 9 7 18 7 11 – = – = 5 10 10 10 10 4 11 16 11 5 – = – = 3 12 12 12 12 25 10 25 20 5 – = – = 14 7 14 14 14 10 7 40 7 33 – = – = 5 20 20 20 20 5 5 30 5 25 – = – = 3 18 18 18 18 9 b) c) d) e) f) a) 10 a) 2 × 33 cL = 22 cL 3 2 × 1,5 kg = 1 kg 3 2 × 12 m = 8 m 3 11 b) a) 7 × 60 min = 42 min 10 2 × 60 min = 40 min 3 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 5 × 60 min = 50 min 6 3 × 120 min = 90 min d) 4 6 b) a) 35 63 e) d) 40 c) 12 13 d) a) 7 8 b) a) 12 5 b) 2 15 14 d) 1 15 1) 1 3 – 4 20 1 3 × 3) 4 20 2) 16 32 33 77 60 c) 12 7 5 e) 7 c) 10 49 49 e) 16 45 28 4 11 11 5 2 f) 5 c) 1 3 5 3 8 2 + = + = = 4 20 20 20 20 5 5 3 2 1 = – = = 20 20 20 10 3 = 80 A= 11 7 A= 93 100 63 1 000 103 1 000 A= 3 1 9 1 10 2 + = + = = 5 15 15 15 15 3 25 2,5 25 5 30 15 B= + = + = = 8 8 4 8 8 4 21 1 21 3 18 – = – = =2 C= 3 9 9 9 9 25 64 100 64 36 – D= – = = =3 12 12 12 3 12 24 A= 3 26 9 26 35 5 + = + = = 7 21 21 21 21 3 1 1 1 2 3 1 B= + = + = = 12 6 12 12 12 4 21 2 21 12 9 1 C= – = – = = 18 3 18 18 18 2 57 9 57 27 30 2 D= – = – = = 45 15 45 45 45 3 8,2 12 9,7 1,7 0,3 C= 1,6 13 D= 0,8 A= 26 B= 18 A= 5 3 5 6 11 + = + = 8 4 8 8 8 7 2 21 2 23 B= + = + = 3 9 9 9 9 6 3 12 3 9 C= – = – = 5 10 10 10 10 22 4 22 20 2 – = – = D= 15 3 15 15 15 23 25 19 11 3 C= 5 11 D= 9 B= 17 63 30 63 3 = + = + 10 100 100 100 23 4 23 40 + = + = B= 1 000 100 1 000 1 000 61 301 610 301 309 = – = C= – 10 100 100 100 100 33 227 330 227 – = – = D= 100 1 000 1 000 1 000 22 A= 18 =2 9 32 =8 4 20 4 C= = 15 3 4 2 D= = 6 3 + 4 3 11 6 7 12 1 3 5 3 13 6 11 12 5 6 13 6 16 6 17 12 B= 19 A= 27 45 77 38 C= 21 21 D= 100 42 =2 21 5 1 = 15 3 21 3 C= = 35 5 7 1 D= = 21 3 28 2,6 13,4 16 = + 1,9 1,9 1,9 31,7 10,7 21 – = d) 1,7 1,7 1,7 7 8 7 15 = + = 8 8 8 8 5 18 5 23 d) 2 + = + = 9 9 9 9 20 21 20 41 f) 3 + = + = 7 7 7 7 7 8 7 1 = – = 8 8 8 8 5 18 5 13 e) 2 – = – = 9 9 9 9 20 21 20 1 g) 3 – = – = 7 7 7 7 a) a) 1 + A= 200 39 51 C= 110 40 D= 93 32 63 B= 9 14 23 + = 17 17 17 24 9 15 c) – = 23 23 23 21 33 46 B= B= 20 A= b) b) 1 – © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 29 A= 44 15 108 C= 7,7 4,4 D= 3,6 9 10 B= Chap. 4 - Nombres en écriture fractionnaire : opérations 43 30 1) a) 6 × 3 6 3 18 = × = 7 1 7 7 3 6 × 3 18 = = 7 7 7 1) b) Le garçon met le nombre 1 au dénominateur, 6 6:1= . 1 a La fille applique la méthode du cours : k × = k × a b b 48 2) A = 5 340 B= 7 4 C= 5,9 31,2 D= 17 6× 31 M= 2 5 K= 1 6 E= 13 11 5 N= 6 4 P= 9 28 Q= 81 32 1 R= 2 S=4 33 1 F= 3 1 G= 2 H=1 a) La proportion des frontières maritimes par rapport 16 . à la totalité des frontières est 31 1) 1 1 2 15 3 1 10 1 – – = – – – = 5 15 3 15 15 15 15 15 La proportion d’eau utilisée pour le lavage de la voiture 1 est de . 15 1– 5 3 13 + = 7 14 14 9 6 51 + = c) 4 20 20 42 a) 7 2 9 4 11 8 5 4 19 4 14 7 = 2 4 21 8 3 8 31 8 21 8 14 7 = 4 8 – 5 6 49 24 1 12 25 12 15 5 = 12 4 1 24 24 =2 12 13 6 8 4 = 6 3 3 1 = 24 8 25 12 36 12 7 5 9 1 – = 7 14 14 9 7 13 d) – = 4 6 12 b) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2 2 AB = × 72 mm = 16 mm 9 9 3 3 b) AN = AB = × 72 mm = 27 mm 8 8 7 7 c) BP = AB = × 72 mm = 14 mm 36 36 5 5 AB = × 72 mm = 30 mm d) BR = 12 12 a) AM = 35 37 ) 39 41 4 5 × =1 5 4 6 11 c) × =1 11 6 1 A= 3 ) 1 1 2 1 3 L+ L= L+ L= L 2 4 4 4 4 3 Cette casserole contient de litre de liquide. 4 5 3 2 1 L– L= L= L 2) 4 4 4 2 1 Julia peut encore verser litre de lait. 2 b) 44 A= ( 40 7 3 21 7 3 × = d’où × = 1 3 7 21 3 7 + ( 10 5 1 1 – – = 36 36 36 36 17 11 4 10 5 – – = = B= 12 12 12 12 6 11 4 1 8 4 – + = = C= 6 6 6 3 6 23 6 4 13 D= – – = 8 8 8 8 38 43 34 B= 20 =4 5 5 D= 8 C= 44 c) a) 4 × 210 g = 120 g 7 15 × 24 m = 90 m 4 3 × 560 cL = 210 cL 8 14 d) × 150 m2 = 700 m2 3 b) 3 × 120 g = 72 g 5 Ce morceau de viande contient 72 g d’eau. 17 2) × 150 g = 127,5 g 20 Ce morceau de fromage contient 127,5 g d’eau. 45 1) 46 × 7 5 49 15 14 9 6 7 6 5 14 5 4 3 15 8 21 8 49 8 35 12 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 47 A= 1 2 15 C= 2 D=6 C=2 23 D= 6 1 13 B= 54 2 3 6 1 × = = 3 4 12 2 En effet, Kérian a mangé la moitié du paquet de gâteaux. 3 4 12 × = 7 5 35 La proportion des filles qui ont déjà pratiqué ce sport est 12 de . 35 49 5 3 15 × = 7 4 28 15 La proportion des filles qui étudient l’anglais est de . 28 1 5 × 2) Le calcul permet de calculer la proportion des 4 7 garçons qui étudient l’anglais. 1 5 5 × = 4 7 28 1) ( ) 51 a b a+b a–b a×b 11 9 7 9 18 =2 9 4 9 77 81 3 4 3 16 15 16 9 16 9 64 1 4 × représente la proportion des nouvelles 4 7 lues par Myrkah. 1 4 b) × 1– représente la proportion des nouvelles que 4 7 Myrkah n’a pas lues. 1 1 × représente la proportion des bandes dessinées c) 8 2 lues par Myrkah. 1 1 + d) 1 – représente la proportion des romans dans 4 8 cette bibliothèque. 52 53 B= a) ( ) ( ) A= 1 6 > 68 9 14 Je fais fai s l e po p o int A= 11 4 3 C= + 6 8 D= + 2 8 4 = 6 3 4 11 5 C= 8 19 D= 18 1 2 7 + = 9 3 9 5 1 3 1 b) p – m = – = = 18 9 18 6 2 5 5 c) np = × = 3 18 27 53 3 11 1 + – = a) p – (m + n) = 24 4 8 12 11 53 119 + = b) 2n + p = 2 × 24 8 24 55 Les exercices 58 à 67 sont corrigés à la page 287 du manuel élève. A= 1 1 1 × = 4 2 8 3 1 3 × = 4) 4 2 8 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 8 3 8 3 1 5 6 + = =1 6 6 6 64 = 21 24 = =8 3 20 10 10 – = 3 3 3 1 20 B=7– = 3 3 1 7 3 21 3 C= × × = = 7 5 2 70 10 71 2) ) 2 5 a) Calculons x + lorsque x = 3 6 5 2 9 3 + = = 6 3 6 2 5 Donc, cette égalité est vraie lorsque x = . 6 3 5 b) Calculons x lorsque x = 5 6 3 5 3 1 × = = 5 6 6 2 5 Donc, cette égalité est vraie lorsque x = . 6 5 c) Calculons d’une part 6x lorsque x = : 6 5 6× =5 6 1 5 Calculons d’autre part x + lorsque x = 2 6 5 1 8 + = 6 2 6 5 Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie lorsque x = 6 1 5 d) Calculons d’une part x – lorsque x = : 3 6 5 1 3 1 – = = 6 3 6 2 1 1 5 Calculons d’autre part x + lorsque x = 5 3 6 1 5 1 1 1 3 1 × + = + = = 5 6 3 6 3 6 2 5 Donc, l’égalité de l’énoncé est vraie lorsque x = 6 8 + 21 32 C= – 3 5 8 4 = = 6 6 3 8 24 = =6 4 4 1 1 1 × = 2 3 6 1 1 1 3) × = 3 4 12 ( 57 B= 1) a) m + n = 56 70 B= 69 13 9 B= 48 50 A= A= Chap. 4 - Nombres en écriture fractionnaire : opérations 45 4 × 430 000 km3 = 40 000 km3 43 Le volume d’eau retombée sur les continents est de 40 000 km3. b) 430 000 km3 – 40 000 km3 = 390 000 km3 Le volume d’eau retombée sur les océans est de 390 000 km3. 72 a) 7 3 5 7 15 22 11 + × = + = = 16 8 2 16 16 16 8 5 2 7 20 14 6 – = =1 b) 4 × – × = 6 3 2 6 6 6 8 4 7 1 20 27 c) + – × =3 × = 9 3 5 20 9 20 73 ( a) ) ( c) d) e) ) a) 2 temps + Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 77 1) La surface du globe est recouverte de terres à 5 . une proportion de 17 67 67 5 × = 75 17 255 67 L’ensemble des terres habitées représente de la surface 255 du globe. 12 2) a) × 510 000 000 km2 = 360 000 000 km2 17 La superficie des océans et des mers est de 360 millions de km2. 5 × 510 000 000 km2 = 150 000 000 km2 b) 17 La superficie des terres est de 150 millions de km2. 67 × 510 000 000 km2 = 134 000 000 km2 c) 255 La superficie des terres habitées est de 134 millions de km2. 78 1) Proportion de la surface pour les légumes : 7 4 1 × = . 12 7 3 Proportion de la surface pour la pelouse : 5 1 3 1 1– – = = . 12 3 12 4 2) 4 × 400 m2 = 1 600 m2 Le jardin de madame Botanic a une superficie de 1 600 m2. 79 1) Proportion des passagers français : Proportion des passagers non français : 46 4 . 13 1 1 1 1 6 3 2 1 + + + = + + + n 2n 3n 6n 6n 6n 6n 6n 12 2 = 6n n 2 1 1 1 1 2) = + + + 7 7 14 21 42 = 12 3 9 × = . 13 4 13 1) 1 Au bout d’une heure, la bouteille contient de 4 3 jus de pamplemousse et de jus d’orange. 4 1 Au bout de deux heures, elle boit de ce mélange. Il lui 4 3 1 reste donc de ce mélange auquel elle rajoute de jus de 4 4 pamplemousse. Proportion de jus de pamplemousse dans le nouveau mélange : 3 1 1 3 4 7 + = . × + = 4 4 4 16 16 16 1 Au bout de trois heures, elle boit de ce mélange. Il lui 4 3 1 reste donc de ce mélange auquel elle rajoute de jus de 4 4 pamplemousse. Proportion de jus de pamplemousse dans le mélange au bout de trois heures : 3 7 1 21 16 37 + = = . × + 4 16 4 64 64 64 ● À chaque heure, Camille ne rajoute que du jus de pamplemousse. Il suffit donc de calculer la proportion de jus d’orange qu’il reste dans le mélange au bout de 3 heures. 3 Au bout d’une heure, la bouteille contient de jus 4 d’orange. 1 Au bout de deux heures, elle boit de ce mélange. Il lui 4 3 1 reste donc de ce mélange auquel elle rajoute de jus de 4 4 pamplemousse. 3 3 9 La bouteille contient alors de de jus d’orange. Soit : 4 4 16 de jus d’orange. 1 Au bout de trois heures, elle boit de ce mélange. Il lui 4 3 1 reste donc de ce mélange auquel elle rajoute de jus de 4 4 pamplemousse. 3 9 La bouteille contient alors de de jus d’orange. 4 16 27 Soit : de jus d’orange. 64 Finalement la proportion de jus de pamplemousse est 37 27 égale à =1– . 64 64 82 a) 2 temps + 1 temps = 3 temps 1 3 1 temps + temps = temps 2 2 1 1 3 temps + temps = temps 2 4 4 1 1 3 temps + temps = temps 4 8 8 3 1 4 temps + temps = temps = 1 temps 4 4 4 76 1) a a a × 2 a 2a + a 3a + = = + = 2 4 2×2 4 4 4 a a a – = 2) a) 2 4 4 a a 3a b) – = 3 12 12 75 b) 80 81 1 5 temps = temps 2 2 1 1 b) temps + 1 temps + temps = 2 temps 2 2 1 1 9 c) temps + 4 temps + temps = temps 4 4 2 1 1 3 d) temps + temps = temps 4 2 4 74 4 × 260 = 80 13 Cet avion transporte 80 passagers non français. 2) ● ( ) 83 5 3 1 1 1 1 1 = + + = + + 9 9 9 9 3 9 9 84 5 10 1 3 6 1 1 1 = = + + = + + 9 18 18 18 18 18 6 3 85 2 3 2 × 7 3 × 3 14 9 23 + = + = + = 3 7 3 × 7 7 × 3 21 21 21 6 4 10 + = 7 7 7 6 4 24 c) × = 7 7 49 86 a) b) 6 4 2 – = 7 7 7 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 5 10 45 15 + = = 3 21 21 7 5 10 50 × = c) 3 21 63 87 a) 88 a) c) 1 3 7 + = 4 2 4 b) 5 10 25 – = 3 21 21 b) 5 4 11 – = 3 9 9 3 × 280 = 210 4 2 3 7 = Proportion du livre lu : + 5 10 10 3 Donia doit encore lire de ce livre. 10 89 90 1) 2 3 2 × = 3 7 7 2 de ce livre mardi. 7 2 4 6 2) + = 7 7 7 6 Paul a lu du livre le lundi et le mardi. 7 1 Il lui reste du livre à lire. 7 Paul a lu 1 7 8 + = =4 2 2 2 4 7 14 B= × = 2 3 3 20 10 10 C= – = 9 9 9 5 2 10 D= × = 9 3 27 91 A= 3 10 5 × = 8 9 12 1 2 5 B= + = 6 3 6 7 5 7 C= × = 5 10 10 21 1 31 + = D= 50 5 50 92 A= 3 1 3 1 6 4 3 13 L + L + ( × )L = L + L + L = L 4 2 4 2 8 8 8 8 13 Jeanne a préparé litres de boissons. 8 93 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 94 Proportion des forêts tropicales brésiliennes : 17 8 8 × = 35 17 35 Proportion des forêts tropicales qui ne sont pas au Brésil : 27 35 95 1) Proportion des gaz rares contenue dans l’air : 39 1 1 – = 1– 50 5 50 1 9 18 2) × × 200 cL = cL = 3,6 cL 50 10 5 Le volume d’argon contenu dans 2 litres d’air est de 3,6 cL. 3 11 58 + = ; 25 5 25 51 13 86 – = ; c) 12 84 21 96 a) 3 75 1 × = ; 25 36 4 55 100 20 c) = × ; 99 25 9 97 13 9 67 + = ; 42 7 42 51 10 5 41 d) – + = . 6 36 36 9 b) 18 21 2 × = ; 49 27 7 64 72 28 256 . d) × × = 81 56 63 567 b) a) 1 1 1 1 1 1 + + + + + 2 4 8 16 32 64 1 = 1 × 32 + 1 × 16 + 1 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 2 × 32 4 × 16 8 × 8 16 × 4 32 × 2 64 1 1 1 1 1 1 32 16 8 4 2 1 + + + + + = + + + + + 2 4 8 16 32 64 64 64 64 64 64 64 1 1 1 1 1 1 63 + + + + + = 2 4 8 16 32 64 64 2) Il manque un soixante quatrième pour obtenir un. 98 1) 5 4 1 1 1 = + = + 16 16 16 4 16 7 4 2 1 1 1 1 = + + = + + b) 8 8 8 8 2 4 8 27 16 8 2 1 1 1 1 1 c) = + + + = + + + 32 32 32 32 32 2 4 16 32 99 a) ( ) 69 7 16 69 23 46 – + – = = 69 69 69 69 69 69 16 2) de la hauteur de la pyramide représente 8 mètres. 69 1 de la hauteur de la pyramide représente 0,5 mètre. 69 69 de la hauteur de la pyramide représente 34,5 mètres. 69 100 1) Chap. 4 - Nombres en écriture fractionnaire : opérations 47 Chapitre 5 > P r o gra gr amm mme e Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Activités graphiques Repérage sur une droite graduée L’utilisation d’un tableur permet d’enrichir ce travail en le prolongeant à des situations plus complexes que celles qui peuvent être traitées « à la main ». CAPACITÉS > CONNAISSANCES : > CONNAISSANCES : ● ● Sur une droite graduée : – lire l’abscisse d’un point donné ; – placer un point d’abscisse donnée (exactement ou approximativement, en fonction du contexte). ● ● CAPACITÉS Dans le plan muni d’un repère orthogonal : – lire les coordonnées d’un point donné ; – placer un point de coordonnées données. ● Connaître et utiliser le vocabulaire : origine, coordonnées, abscisse, ordonnée. ● ■ Commentaires Les nombres utilisés dans ces activités peuvent être des entiers, des décimaux ou des quotients simples. Les activités graphiques conduisent : – à établir la correspondance entre nombres et points d’une droite graduée (une même droite peut être graduée de plusieurs façons) ; – à interpréter l’abscisse d’un point d’une droite graduée en termes de distance et de position par rapport à l’origine ; – à choisir l’échelle permettant de placer une série de nombres sur une portion de droite graduée. > CONNAISSANCES : Représentation et traitement de données ● Tableau de données, représentations graphiques de données. ● [Thèmes de convergence] ● CAPACITÉS Lire et interpréter des informations à partir d’un tableau ou d’une représentation graphique (diagrammes divers, histogramme). ● Présenter des données sous la forme d’un tableau, les représenter sous la forme d’un diagramme ou d’un histogramme (dans ce cas les classes sont toujours de même amplitude). ● ■ Commentaires Le choix de la représentation est lié à la nature de la situation étudiée. 48 Activités graphiques Repérage dans le plan ■ Commentaires Le repérage est à relier avec des situations de la vie quotidienne, le vocabulaire n’est pas un objet d’apprentissage pour lui-même. Des activités dans lesquelles les élèves ont eux mêmes à graduer une droite ou à produire un graphique sont proposées. > CONNAISSANCES : ● ● ● Nombres relatifs entiers et décimaux : sens et calculs Notion de nombre relatif *Ordre CAPACITÉS Utiliser la notion d’opposé. *Ranger des nombres relatifs courants en écriture décimale. ● ● ■ Commentaires La notion de nombre relatif est introduite à partir d’un problème qui en montre la nécessité (par exemple pour rendre la soustraction toujours possible). Une relation est faite avec la possibilité de graduer entièrement la droite, puis de repérer le plan. Les nombres utilisés sont aussi bien entiers que décimaux. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Mobiliser des écritures différentes d’un même nombre. – Comparer des nombres. Programme de la classe de Sixième > CONNAISSANCES : ● ● > CONNAISSANCES : Nombres entiers et décimaux Ordre ● ● Nombres entiers et décimaux *Valeur approchée décimale CAPACITÉS CAPACITÉS *Donner une valeur approchée décimale (par excès ou par défaut) d’un décimal à l’unité, au dixième, au centième près. ● Repérage sur un axe. ● Lire et compléter une graduation sur une demidroite graduée, à l’aide d’entiers naturels, de déci1 1 1 1 , , *ou de quotients maux, de fractions simples , 2 10 4 5 (placement exact ou approché). Comparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres. ● Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres. ● Placer un nombre sur une demi-droite graduée. ● Lire l’abscisse d’un point ou en donner un encadrement. ● ● ■ Commentaires Les procédures utilisées pour comparer, encadrer, intercaler des nombres sont justifiées en s’appuyant sur la signification des écritures décimales ou le placement des points sur une demi-droite graduée. ■ Commentaires Ce travail doit être l’occasion de manier les instruments de tracé et de mesure. Programme de la classe de Quatrième Écrire des encadrements résultant de la troncature ou de l’arrondi à un rang donné d’un nombre positif en écriture décimale ou provenant de l’affichage d’un résultat sur une calculatrice (quotient...). ● > CONNAISSANCES : ● ● Calcul littéral Comparaison de deux nombres relatifs CAPACITÉS Comparer deux nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire, en particulier connaître et utiliser : a c – l’équivalence entre = et ad = bc (b et d étant non b d nuls) ; – l’équivalence entre a = b et a – b = 0 ; – l’équivalence entre a > b et a – b > 0. ● Utiliser le fait que des nombres relatifs de l’une des deux formes suivantes sont rangés dans le même ordre, que a et b : a + c et b + c ; a – c et b – c. ● Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ac et bc sont dans le même ordre (respectivement l’ordre inverse) que a et b si c est strictement positif (respectivement négatif). ● ■ Commentaires La première équivalence est notamment utile pour justifier la propriété dite « d’égalité des produits en croix », relative aux suites de nombres proportionnelles. Le fait que x est strictement positif (respectivement x strictement négatif) se traduit par x ⬎ 0 (respectivement x ⬍ 0 ) est mis en évidence. Le fait que « comparer deux nombres est équivalent à chercher le signe de leur différence », intéressant notamment dans le calcul littéral, est dégagé. Ces propriétés sont l’occasion de réaliser des démonstrations dans le registre littéral. Commen taires des auteurs Commentaires ➜ Les nombres relatifs sont introduits à partir de la classe de Cinquième. Ils sont abordés lors d’un exemple concret qui en montre la nécessité : lecture de température sur un thermomètre. ➜ Pour comparer deux nombres relatifs, on utilise au choix : – la droite graduée ; – la comparaison des distances à zéro. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. La comparaison des nombres relatifs en écriture fractionnaire est étudiée en classe de Quatrième. ➜ L’addition et la soustraction des nombres relatifs sont traitées dans le chapitre 6. La multiplication et la division de nombres relatifs seront étudiées en classe de Quatrième. Chap. 5 - Les nombres relatifs : définition et comparaison 49 > A c tiv ti v ités ité s ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ COM MENTAI RES : Cette activité permet d’aborder les nombres relatifs à partir d’un exemple concret. 2) Ces trois nombres désignent des profondeurs, c’està-dire des altitudes de lieus situés en dessous du niveau de la mer. CORRIG É 1) Les trois nombres écrits dans le texte comportent des signes –. 1 J’UTILISE DES NOMBRES NÉGATIFS Objectif Introduire la notion de nombres relatifs. Prérequis Lecture d’un thermomètre. Paragraphe introduit ! Les nombres relatifs ■ C O M M E NTAI R E S : Dans cette activité, la notion de nombre négatif est introduite à partir d’un exemple concret : la lecture de températures. CORRIG É A 1) Le liquide vert se trouve au niveau du nombre 10 noir. 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) Le liquide vert se trouve au niveau du nombre 0. 3) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site b) Le liquide vert se trouve au niveau du nombre 10 rouge. 4) Sur ce thermomètre, les températures positives correspondent aux nombres marqués en noir ou placés audessus de 0 et les températures négatives aux nombres marqués en rouge ou placés en dessous de 0. 5) a) La température relevée le 5 janvier à 12 h était positive : 10 °C. b) La température relevée le 6 janvier à 5 h était négative : – 10 °C. c) La température relevée le 5 janvier à 18 h était positive et négative : 0 °C. B a) En histoire, les nombres relatifs sont utilisés pour les frises chronologiques. Le 0 désigne la naissance de J.-C. b) En géographie, les nombres relatifs sont utilisés pour désigner des altitudes. Le 0 désigne le niveau de la mer. c) Dans la vie courante, les nombres relatifs sont, par exemple, utilisés pour exprimer des crédits ou des débits. Le 0 signifie que l’on a ni dette, ni crédit. www.phare-prof.hachette-education.com 2 JE REPERE DES POINTS SUR UNE DROITE GRADUÉE Objectif Introduire la notion de droite graduée. Prérequis ● ● Paragraphe introduit Repérage sur une demi-droite graduée. Symétrie centrale. @ Repérage sur une droite graduée ■ C O M M E NTAI R E S : La droite graduée est construite à partir d’une demi-droite graduée. CORRIG É 3) b) Les points A et A’ sont symétriques par rapport au point O. Donc, les points A, O et A’ sont alignés. Donc, le point A’ appartient à la droite (OA). 4) b) L’abscisse du point O est 0. c) L’abscisse du point A est 2. Comme les points A et A’ sont distincts, ils ne peuvent pas avoir la même abscisse. Donc, l’abscisse du point A’ n’est pas 2. L’abscisse du point A’ est – 2. 5) a) OA = 2 cm et OA’ = 2 cm. b) 1 et – 1 sont des nombres opposés. 3,5 et – 3,5 sont des nombres opposés. 1) 2) 3) a) 4) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3 JE COMPARE DES NOMBRES RELATIFS Objectif Prérequis Paragraphe introduit 50 Comparer des nombres relatifs. — # Comparaison des nombres relatifs C ORRIGÉ 1) Le 25e étage est noté 25. Le 12e étage est noté 12. Le 1er sous-sol est noté – 1. Le 5e sous-sol est noté – 5. Le rez-de-chaussée est noté 0. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 2) a) L’appartement d’Agnès est plus haut que le bureau de Paul. b) 25 ⬎ 12. 25 est le plus éloigné de 0. 3) a) Le centre commercial est plus haut que la station de métro. b) – 1 ⬎ – 5. 4 JE REPERE DES POINTS DANS LE PLAN Objectif Repérer un point dans le plan. Prérequis Graphique cartésien. Paragraphe introduit $ Repérage dans le plan C ORRIGÉ ■ C OMMENTAI RE S : Le repérage dans le plan est introduit à partir d’un graphique cartésien que les élèves ont déjà utilisé en classe de Sixième. > 1 2 a) Le signe – signifie « avant J.-C. ». b) Le signe – signifie « en dessous de 0 °C ». c) Le signe – signifie « en dessous du niveau de la mer ». d) Le signe – signifie que l’on doit de l’argent à la banque. 3 a) Les points de la figure dont l’abscisse est un nombre positif sont : O ; D ; A ; H et G. b) Les points de la figure dont l’abscisse est un nombre négatif sont : O ; F ; C ; B et E. 4 L’abscisse du point A est 2. L’abscisse du point B est – 3. L’abscisse du point C est – 1,5. L’abscisse du point D est 0,5. L’abscisse du point E est – 3,5. L’abscisse du point F est – 1. L’abscisse du point G est 3. L’abscisse du point H est 2,5. L’abscisse du point O est 0. | – 5,7 | 2,1 | –8 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. b) –2 783,75 ⬍ 0,1 d) – 1,7 ⬎ – 1,8 Dijon ; Strasbourg ; Lyon ; Bordeaux ; Perpignan. – 2,5 ⬍ – 2,3 ⬍ – 2,2 ⬍ – 2,1 ⬍ 2,2 ⬍ 2,4 ⬍ 2,6 A (2 ; 1) ; B (– 1 ; 3) ; C (– 2 ; 2) ; D (– 3,5 ; – 1,5) ; E (3,5 ; 0) ; F (– 1,5 ; – 1,5) ; G (– 3,5 ; 1) ; H (2 ; – 2,5) ; I (0 ; – 2). 12 1) Les points A et H ont la même abscisse : 2. 2) Les points A et G ont la même ordonnée : 1. 3) a) Non. b) Oui : le point G. a) 34 ⬍ 43 c) – 34 ⬎ – 43 b) – 34 ⬍ 43 d) 34 ⬎ – 43 a) 1,2 ⬍ 1,10 c) 10,4 ⬎ – 10,7 e) – 7,51 ⬍ 0 b) – 4,5 ⬍ – 3,4 d) – 8,6 ⬎ – 8,06 f) 4,02 ⬎ 0 a) – 2,06 ⬍ 2,06 c) – 2,6 = – 2,60 e) 0 ⬍ 0,01 b) – 2,06 ⬎ – 2,60 d) – 2,06 ⬎ – 20,6 f) 0 ⬎ – 0,001 a) 8,7 ⬎ 7,8 c) – 2,01 ⬎ – 3,02 e) – 14,1 ⬍ – 14,01 b) – 3,5 ⬍ 3,5 d) – 5,14 ⬍ – 5,13 f) – 10 000 ⬍ 0,0001 a) – 0,001 ⬎ – 0,01 c) – 31,10 = – 31,1 e) – 21,88 ⬎ – 22,888 b) 1,05 ⬍ 1,49 d) 6,47 ⬎ – 3,14 f) – 7,0101 ⬎ – 7,01101 13 17 18 1) Les nombres négatifs sont – 5 ; 0 ; – 9 et – 1. – 9 ⬍ – 5 ⬍ – 1 ⬍ 0. 2) Les nombres positifs sont 0 ; 3 ; 5 et 2. 0 ⬍ 2 ⬍ 3 ⬍ 5. 3) – 9 ⬍ – 5 ⬍ – 1 ⬍ 0 ⬍ 2 ⬍ 3 ⬍ 5. a) Le plus grand nombre est 3. b) Le plus petit nombre est – 3,5. c) Le plus grand nombre positif est 3. d) Le plus grand nombre négatif est – 1. e) Le plus petit nombre positif est 0,5. f) Le plus petit nombre négatif est – 3,5. 7,8 9 10 11 16 6 | 8 15 1) Les points B et G ont des abscisses opposées. a) L’opposé de l’abscisse du point A est – 2. L’opposé de l’abscisse du point E est 3,5. L’opposé de l’abscisse du point C est 1,5. a) Le point qui a pour abscisse l’opposé de 3 est B. Le point qui a pour abscisse l’opposé de – 2,5 est H. –2 a) 4,7 ⬎ 4,68 c) – 2 ⬎ – 3 14 5 7 1) a) Le point A indique que, à 1 km d’altitude, la température est 8 °C. b) L’abscisse du point A est 1. L’ordonnée du point A est 8. 2) a) Le point B indique que, à 4 km d’altitude, la température est – 13 °C. b) B (4 ; – 13). 3) C (– 3 ; 2) ; D (– 4 ; 0) ; E (0 ; 15) ; F (3 ; – 6). Ex e rc ic Exe i ces es a) Les nombres positifs sont 6,4 ; 0 ; 15 et 2,7. b) Les nombres négatifs sont – 3 ; – 2,5 ; 0 et – 1,4. c) Les nombres relatifs sont – 3 ; – 2,5 ; 6,4 ; 0 ; – 1,4 ; 15 et 2,7. d) Les entiers négatifs sont – 3 et 0. e) Les entiers relatifs sont – 3 ; 0 et 15. 2) b) c) 3) b) c) De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui est le plus près de 0. 4) a) Le bureau de Paul est plus haut que le centre commercial. b) 12 ⬎ – 1. c) Un nombre positif est plus grand qu’un nombre négatif. | 0 | 0,1 19 20 – 12 ⬍ – 9 ⬍ – 8 ⬍ – 7 ⬍ – 2 ⬍ 4 ⬍ 5 4,2 ⬎ 4,1 ⬎ 3,7 ⬎ – 1,2 ⬎ – 2,4 ⬎ – 3,7 ⬎ – 5,2 Chap. 5 - Les nombres relatifs : définition et comparaison 51 21 22 L’abscisse du point E est – 0,6. L’abscisse du point F est 0,2. 4,2 ⬎ 4,12 ⬎ 4,02 ⬎ 0 ⬎ – 4,02 ⬎ – 4,2 ⬎ – 4,21 1) – 1,11 ⬍ – 1,1 ⬍ – 1,01 ⬍ 0 ⬍ 1,03 ⬍ 1,111 2) – 1,111 ⬍ – 1,03 ⬍ – 1,02 ⬍ 1,01 ⬍ 1,11 ⬍ 1,13 3) – 1,111 ⬍ – 1,11 ⬍ – 1,1 ⬍ – 1,03 ⬍ – 1,02 ⬍ – 1,01 ⬍ 0 ⬍ 1,01 ⬍ 1,03 ⬍ 1,11 ⬍ 1,111 ⬍ 1,13 23 1) A (– 2 ; 3). 2) B (2 ; 1) ; C (– 2 ; – 2) ; D (4 ; – 3) ; E (0 ; 3) ; F (– 1 ; 0) ; G (1,5 ; 2) ; H (– 3 ; – 3,5) ; I (– 2,5 ; 1,5) ; J (2,5 ; – 0,5) ; K (3,5 ; 0) ; L (0,5 ; – 0,5). 24 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 25 A (0,5 ; 2) ; B (0,75 ; – 1) ; C (– 0,75 ; 2,5) ; D (– 1,75 ; –3) ; E (1,75 ; 0) ; F (– 0,75 ; – 1,5) ; G (– 1,75 ; 2). 26 et 28 a) À 6 h, la température était de – 3 °C. À midi, il faisait + 10 °C. b) L’empereur Auguste est né en – 63 et est mort en 14. c) Le Kilimandjaro s’élève à + 3 962 m tandis que la Mer Caspienne se trouve à – 28 m. 29 1) Les nombres positifs sont + 29,24 et + 25. Les nombres négatifs sont – 9,90 ; – 15 et – 29,85. 2) Le signe – d’un nombre marqué en bleu indique une dépense. Le signe + d’un nombre marqué en bleu indique une recette. 3) Le signe + d’un nombre marqué en vert indique qu’Hector possède de l’argent. Le signe – d’un nombre marqué en vert indique qu’Hector a dépensé plus d’argent qu’il n’en avait. 4) Hector n’aura pas assez d’argent pour effectuer tous ses achats, car, dans ses prévisions, le solde après les achats est négatif. – 8 | + 17 | – 5,7 | – 0,01 | + 64,7 | 0 | + 5,99 L’abscisse du point A est 3. L’abscisse du point B est – 2. L’abscisse du point C est – 3,5. L’abscisse du point D est 1,5. L’abscisse du point E est – 0,5. L’abscisse du point F est 2,5. 32 L’abscisse du point A est – 2. L’abscisse du point B est 0,5. L’abscisse du point C est – 0,25. L’abscisse du point D est 1,5. L’abscisse du point E est – 1,75. L’abscisse du point F est – 0,75. 33 L’abscisse du point A est 0,4. L’abscisse du point B est 0,6. L’abscisse du point C est – 0,3. L’abscisse du point D est – 0,1. > 52 Je f fai ai s l e p o int 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Les points C et D ont des abscisses opposées car 1,5 et – 1,5 ont la même distance à zéro et n’ont pas le même signe. 35 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com L’abscisse du point J est 1,25. 36 à 38 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 27 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 30 31 34 39 Fer ; eau ; dibrome ; ammoniac ; dichlore ; dioxy- gène. 40 1) a) + 130,7 représente une augmentation de 130 700 chômeurs en un an. b) – 20,3 représente une diminution de 20 300 chômeurs en un an. 2) Les années pendant lesquelles le chômage a augmenté en France sont : 2001 ; 2002 ; 2003 ; 2008 ; 2009. 3) 2000 ; 2006 ; 2007 ; 2005 ; 2004 ; 2001 ; 2002 ; 2003 ; 2008 ; 2009. 41 2003 ; 2006 ; 2004 ; 2008 ; 2002 ; 2005 ; 1999 ; 2000 ; 1996 ; 2007 ; 1995 ; 1997 ; 2001 ; 1998. 42 1) 2) 4) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) a) Le triangle ABD semble rectangle en A. c) C (3 ; 1). 4) b) E (– 3 ; – 2) et F (– 4 ; 0). 43 1) 2) 3) a) 4) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) M (0 ; 1). 4) b) N (– 3 ; 0) et P (0 ; 3). 44 1) 2) 3) a) 4) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) B (3 ; 2). c) Les points A et B ont la même abscisse et ont des ordonnées opposées. 4) b) D (– 3 ; – 2). c) Les points A et D ont la même ordonnée et ont des abscisses opposées. 5) b) Les points A et C ont des abscisses opposées et ont des ordonnées opposées. 6) Le quadrilatère ABCD semble être un rectangle. Les exercices 45 à 54 sont corrigés à la page 287 du manuel élève. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 55 1) La dernière colonne du tableau correspond à la différence entre le nombre de buts marqués et le nombre de buts encaissés. 2) Metz ; Le Havre ; Issy-les-Moulineaux ; Dijon ; Nîmes ; Besançon. 3) Metz ; Le Havre ; Dijon ; Issy-les-Moulineaux ; Besançon ; Nîmes ; Mios-Biganos ; Fleury-les-Aubrais ; Angoulême ; Bègles ; Mérignac ; Vesoul. 56 1) a) + 3 est l’abscisse du point A. La distance OA est égale à 3. Donc, la distance à zéro de + 3 est 3. b) – 2 est l’abscisse du point B. La distance OB est égale à 2. Donc, la distance à zéro de – 2 est 2. 2) a) L’abscisse du point C est + 1,5. Sa distance à zéro est 1,5. b) L’abscisse du point D est – 1,5. Sa distance à zéro est 1,5. c) Les points C et D sont symétriques par rapport au point O. Les abscisses des points C et D sont opposées. 57 b) c) d) e) 2) b) c) d) e) 1) a) La distance à zéro de – 2 est 2. La distance à zéro de + 3,5 est 3,5. La distance à zéro de – 0,5 est 0,5. La distance à zéro de 2,5 est 2,5. La distance à zéro de 0 est 0. a) 4 et – 4 ont pour distance à zéro 4. 6,5 et – 6,5 ont pour distance à zéro 6,5. 0 a pour distance à zéro 0. 1,27 et – 1,27 ont pour distance à zéro 1,27. Aucun nombre n’a pour distance à zéro – 3. 1) 0 ⬍ a ⬍ 1 ; –1 ⬍ b ⬍ 0; – 2 ⬍ c ⬍ – 1. 2) 0,1 ⬍ a ⬍ 0,2 ; – 0,5 ⬍ b ⬍ – 0,4 ; – 1,2 ⬍ c ⬍ – 1,1. 58 b) – 6 ⬍ – 5,3 ⬍ – 5 ; d) – 1 ⬍ – 0,987 ⬍ 0. a) 4,7 ⬍ 4,73 ⬍ 4,8 ; c) 0,1 ⬍ 0,14 ⬍ 0,2 ; b) – 7,3 ⬍– 7,21 ⬍ – 7,2 ; d) – 10 ⬍ – 9,99 ⬍ – 9,9. a) 4,1 ⬍ 5 ⬍ 7,5 ; c) – 3,7 ⬍ – 3 ⬍ – 2,2 ; e) – 2,5 ⬍ – 2,45 ⬍ – 2,4 ; b) – 1 ⬍ 0 ⬍ 2 ; d) – 4 ⬍ – 3,5 ⬍ – 3 ; f) – 0,1 ⬍ – 0,05 ⬍ 0. 60 61 a) – 24,2 ⬍ – 24 ⬍ – 23 ⬍ – 22 ⬍ – 21,5 ; b) – 2,4 ⬍ – 2 ⬍ – 1 ⬍ 0 ⬍ 3,7. 62 63 a) – 4 ; – 3 ; – 2 ; b) – 3 ; – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2. 64 65 66 68 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 69 – 1,3. 70 a) Faux : l’opposé de – 2 est 2. b) Vrai : a est un nombre. L’opposé de a est – a. L’opposé de – a est – (– a), soit a. c) Faux : L’opposé de – 2 est 2 et – 2 ⬍ 2. d) Faux : 3 ⬎ 2 et – 3 ⬍ – 2. 71 a) La température est 3 °C en dessous de 0 °C. b) La fosse des Tonga est située à 10 882 m en dessous du niveau de la mer. c) Le titulaire du compte doit 5,78 € à la banque. d) L’indice a baissé de 2 %. 72 a) 8 ⬍ 8,75 ⬍ 9 ; c) 99 ⬍ 99,1 ⬍ 100 ; 59 67 1) a) Pour 1 000 habitants en 2006, on a compté en Irlande 24,6 habitants de plus en 2007. b) Pour 1 000 habitants en 2006, on a compté en Bulgarie 5,1 habitants de moins en 2007. c) Un nombre négatif de la deuxième colonne représente une diminution de population. Un nombre positif de la deuxième colonne représente une augmentation de population. d) Irlande ; Italie ; Danemark ; France ; Finlande ; Pologne ; Allemagne ; Bulgarie. 3) a) Un nombre négatif de la quatrième colonne représente une température en dessous de 0 °C. b) Italie ; Irlande ; France ; Danemark ; Allemagne ; Bulgarie ; Pologne ; Finlande. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 1) 2) 3) 4) 5) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 5) b) L’abscisse du point E est – 6 ; l’abscisse du point D est 2. 6) B ; D et E ; C ; A. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 1) L’abscisse du point O est 0. L’abscisse du point E est 1. L’abscisse du point I est – 1. L’abscisse du point H est 0,5. L’abscisse du point B est – 1,75. 2) L’abscisse du point R peut être – 1,5. L’abscisse du point C peut être – 0,5. 73 1) a) b) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) b) c) 3) 4) a) Le point qui a la plus grande abscisse est E. Le point qui a la plus petite ordonnée est G. Les points G et L ont des abscisses opposées. RIGOLE GLOIRE 74 1) a) Les pharaons possibles sont Akhenaton et Toutankhamon. b) – 1 338 ⬍ – 1 334 ⬍ – 1 327. Néfertiti était l’épouse d’Akhenaton. 2) Les trois pharaons les plus anciens sont : Kheops, Khephren et Mykérinos. Les pyramides de Gizeh portent les noms de ces trois pharaons. 3) Ramsès II ; Toutankhamon ; Akhenaton ; Mykérinos ; Khephren ; Kheops. 75 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) a) D (7 ; – 3). Chap. 5 - Les nombres relatifs : définition et comparaison 53 b) L’abscisse du point I est comprise entre – 1 et 0. L’ordonnée du point I est comprise entre 1 et 2. 76 b) C (– 2 ; 1) et D (1 ; 0). 3) b) E (3 ; 6) et F (0 ; 7). 1) 2) a) b) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com c) D (– 4 ; 2). 3) c) A’ (5 ; – 2) ; B’ (2 ; 1) ; C’ (5 ; 3) et D’ (8 ; 0). b) Le point C a pour abscisse 1 et le point C’ a pour abscisse 5. c) Les points C et C’ ont la même ordonnée. 79 1) + 7,5 : l’épaisseur du glacier a augmenté de 7,5 m. – 10 : l’épaisseur du glacier a diminué de 10 m. 2) Le plus petit nombre du tableau est – 20. Donc, le glacier a le plus diminué pendant la décennie 1940-1950. 3) 1940-1950 ; 1990-2000 ; 1930-1940 ; 1980-1990 ; 19201930 ; 1950-1960 ; 1970-1980 ; 1960-1970 ; 1910-1920. 80 54 1) 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1) 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 77 78 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 6 > P ro gra gr amm mme e Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. > CONNAISSANCES : ● ● CAPACITÉS *Calculer la somme ou la différence de deux nombres relatifs. ● Calculer, sur des exemples numériques, une expression dans laquelle interviennent uniquement les signes +, – et éventuellement des parenthèses. ● Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses, un programme de calcul portant sur des sommes ou des différences de nombres relatifs. Activités graphiques Repérage sur une droite graduée ● CAPACITÉS Sur une droite graduée : – déterminer la distance de deux points d’abscisses données. > CONNAISSANCES : ● ● ● Nombres relatifs entiers et décimaux : sens et calculs *Addition et soustraction de nombres relatifs [Thèmes de convergence] ■ Commentaires Les règles de suppression de parenthèses à l’intérieur d’une somme algébrique sont étudiées en classe de Quatrième. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Choisir l’opération qui convient au traitement de la situation étudiée. – Mener à bien un calcul instrumenté (calculatrice, tableur). – Conduire un calcul littéral simple. – Évaluer mentalement un ordre de grandeur du résultat avant de se lancer dans un calcul. – Contrôler un résultat à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur. Programme de la classe de Sixième > CONNAISSANCES : ● ● Opérations Addition, soustraction, multiplication et division ■ Commentaires Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l’aide d’une suite de calculs, *ou à l’aide de calculs avec parenthèses. CAPACITÉS Connaître les tables d’addition et les résultats qui en dérivent. > CONNAISSANCES : ● ● ■ Commentaires La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental sur des entiers et des décimaux simples. > CONNAISSANCES : ● ● Opérations Sens des opérations CAPACITÉS Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Opérations Techniques élémentaires de calcul CAPACITÉS : ● Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. ● Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, terme. ■ Commentaires La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l’objet d’activités régulières. La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. Chap. 6 - Les nombres relatifs : addition et soustraction 55 Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée. ● Établir un ordre de grandeur d’une somme, *d’une différence. ■ Commentaires > CONNAISSANCES : ● CAPACITÉS Opérations Ordre de grandeur L’objectif est de sensibiliser les élèves à utiliser les ordres de grandeur pour contrôler ou anticiper un résultat. Programme de la classe de Quatrième > CONNAISSANCES : Calcul numérique ● Opérations (+, –, ×, :) sur les nombres relatifs en écriture décimale ● > CONNAISSANCES : ● ● Calcul numérique Division de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire CAPACITÉS CAPACITÉS ● Calculer le produit de nombres relatifs simples. ● Déterminer une valeur approchée du quotient de deux nombres décimaux (positifs ou négatifs). ● ■ Commentaires Les élèves ont une pratique de la multiplication des nombres positifs en écriture décimale ou fractionnaire. Les calculs relevant de ces opérations sont étendus au cas des nombres relatifs. > CONNAISSANCES : Calcul numérique ● *Opérations (+, – , ×) sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire (non nécessairement simplifiée). ● ■ Commentaires *Un travail est mené sur la notion d’inverse d’un nombre non 1 nul ; les notations et x –1 sont utilisées, ainsi que les touches ● x correspondantes de la calculatrice. > CONNAISSANCES : ● ● ● Calcul numérique Enchaînement d’opérations CAPACITÉS Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses, des programmes de calcul portant sur des sommes ou des produits de nombres relatifs. ● Organiser et effectuer à la main ou à la calculatrice les séquences de calcul correspondantes. ● CAPACITÉS ● *Multiplier, additionner et soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire. ■ Commentaires *L’addition de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire demande un travail sur la recherche de multiples communs à deux ou plusieurs nombres entiers dans des cas où un calcul mental est possible. Savoir additionner et soustraire des entiers relatifs et multiplier deux nombres positifs écrits sous forme décimale ou fractionnaire deviennent des capacités exigibles dans le cadre du socle commun. Diviser des nombres relatifs en écriture fractionnaire. a 1 Connaître et utiliser l’égalité : = a ¥ b b ■ Commentaires À la suite du travail entrepris en classe de Cinquième les élèves sont familiarisés à l’usage des priorités ainsi qu’à la gestion d’un programme de calcul utilisant des parenthèses. En particulier, la suppression des parenthèses dans une somme algébrique est étudiée. Commen taire s des au Commentaires auteurs teu rs ➜ Les nombres relatifs ont été introduits dans le chapitre 5. ➜ L’addition et la soustraction des nombres relatifs en écriture décimale sont étudiées en classe de Cinquième. Cette partie du programme sera un prérequis pour toutes les compétences de calcul ultérieures. Il est donc nécessaire de poser régulièrement des calculs de ce type. 56 ➜ La multiplication et la division des nombres relatifs en écriture décimale sont étudiées en classe de Quatrième. Les quatre opérations sont alors étendues aux nombres relatifs en écriture fractionnaire. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. > A cti Ac tiv v ités i tés ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O MMENTAI RE S : C ORRIGÉ Cette activité permet une première approche de l’addition de deux nombres relatifs à partir d’un exemple concret. 1) 2,5 – 1,2 = 1,3 Entre le 9 et le 12 janvier, le niveau du Rhône est descendu de 1,3 m. 2) (– 2,5) + (+ 1,2) = – 1,3 1 JE CALCULE LA SOMME DE DEUX NOMBRES RELATIFS Objectif Introduire la somme de deux relatifs. Prérequis Nombres relatifs. Paragraphe introduit ! Somme de deux nombres relatifs ■ C O MMENTAI RE S : L’objectif est de conjecturer à partir d’une situation concrète les règles d’addition de deux nombres relatifs. CO RRI G É 1) a) + 20 peut représenter l’expression « hausse de 20 ». – 40 peut représenter l’expression « baisse de 40 ». 2 Matin Aprèsmidi Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi + 20 – 40 + 17 + 34 – 25 + 30 – 15 – 17 – 21 + 13 Bilan de la journée Égalité + 50 – 55 0 + 13 – 12 (+ 20) + (+ 30) = + 50 (– 40) + (– 15) = – 55 (+ 17) + (– 17) = 0 (+ 34) + (– 21) = + 13 (– 25) + (+ 13) = – 12 2) a) Le lundi soir, le niveau d’eau est monté de 50 cm. On peut écrire + 50 dans la colonne Bilan de la journée. 4) a) Pour additionner deux nombres relatifs de même signe : – on garde le signe commun ; – on ajoute les distances à zéro. b) Pour additionner deux nombres relatifs qui n’ont pas le même signe : – on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ; – on soustrait les distances à zéro. JE CALCULE LA DIFFÉRENCE DE DEUX NOMBRES RELATIFS Objectif Prérequis Paragraphe introduit Introduire la soustraction de deux nombres relatifs. Addition de deux nombres relatifs. @ Différence de deux nombres relatifs ■ C O MMENTAI RE S : L’objectif est de conjecturer à partir d’une situation concrète la règle de soustraction de deux nombres relatifs. CO RRI G É 1) a) À Bastia, entre 6 h et 20 h, la température a augmenté de 7 °C. b) (+ 11) – (+ 4) = + 7 c) (+ 11) + (– 4) = + 7 On obtient le même résultat qu’à la question b). 2) a) À Lamballe, entre 6 h et 20 h, la température a diminué de 4 °C. 3 b) b) (– 3) – (+ 1) = – 4 c) (– 3) + (– 1) = – 4 On obtient le même résultat qu’à la question b). 3) Villes Évolution de Différence température Bastia +7 (+ 1) – (+ 4) = +7 Lamballe –4 (– 3) – (+ 1) = –4 Toulon +5 (+ 4) – (– 1) =+5 Strasbourg –6 (– 12) – (– 6) = –6 Somme (+ 11) + (– 4) =+7 (– 3) + (– 1) = –4 (+ 4) + (+ 1) = +5 (– 12) + (+ 6) = –6 4) « Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. » JE CALCULE UNE DISTANCE SUR UNE DROITE GRADUÉE Objectif Prérequis Paragraphe introduit Calculer une distance sur une droite graduée. Addition et soustraction de nombres relatifs. ● Repérage sur une droite graduée. ● @ Différence de deux nombres relatifs © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. C ORRIGÉ 1) a) AB = 2 b) 2 – 4 = – 2 c) 4 – 2 = 2 d) AB est égale à la différence entre l’abscisse du point B et l’abscisse du point A. 2) a) AD = 3. Chap. 6 - Les nombres relatifs : addition et soustraction 57 b) 2 – (– 1) = 2 + 1 = 3 c) – 1 – 2 = – 3 d) AD est égale à la différence entre l’abscisse du point A et l’abscisse du point D. 4 JE CALCULE UNE EXPRESSION ALGÉBRIQUE Objectif Calculer une expression algébrique. Prérequis Addition et soustraction de deux nombres relatifs. Paragraphe introduit # Expression algébrique a) Calcul d’une expression algébrique ■ COM MENTAI RES : L’activité propose de calculer une même expression algébrique de deux façons. CORRIG É 1) a) Chacun des calculs écrits entre crochets correspond au bilan du mois. 5 Simplifier une expression algébrique. Prérequis Addition et soustraction de deux nombres relatifs. Paragraphe introduit # Expression algébrique b) Simplification d’une expression algébrique > 1 b) (– 8) + (– 6) = – 14 d) (– 4) + (+ 9) = + 5 f) (– 4) + (– 4) = – 8 2 b) (+ 7) + (+ 8) = + 15 d) (– 2) + (– 8) = – 10 f) (+ 9) + (– 9) = 0 a) (– 4) + (+ 1) = – 3 c) (– 1) + (+ 7) = + 6 e) (+ 6) + (– 9) = – 3 3 a) (+ 1,2) + (+ 2,8) = + 4 b) (– 1,2) + (– 2,8) = – 4 c) (– 1,2) + (+ 2,8) = + 1,6 d) (+ 1,2) + (– 2,8) = – 1,6 e) (– 2,8) + 0 = – 2,8 f) 0 + (– 1,2) = – 1,2 4 a) (– 58) + (– 15) = – 73 c) (+ 83) + (– 35) = + 48 e) (– 72) + (– 27) = – 99 b) (– 94) + (+ 17) = – 77 d) (+ 67) + (+ 43) = + 110 f) (– 39) + (+ 88) = + 49 5 a) (+ 6) + (+ 4) = + 10 b) Pas possible : la somme de deux négatifs est un négatif. c) (+ 11) + (– 1) = + 10. a) Pas possible : la somme de deux positifs est un positif. b) (– 4) + (– 3) = – 7 c) (– 9) + (+ 2) = – 7 Dole : 0 ; Lons-le-Saunier : – 1 ; Saint-Amour : + 1 ; Morbier : – 1. 58 C ORRIGÉ 1) I = (+ 4) – (– 8) + (+ 7) – (+ 3) + (– 2) = 4 – (– 8) + 7 – 3 + (– 2) 2) a) Pour soustraire, on ajoute l’opposé. Donc, 3 – (+ 5) = 3 + (– 5). On en déduit : 3 + (– 5) = 3 – (+ 5). 3 + (– 5) = 3 – (+ 5) = 3 – 5 b) 6 – (– 9) = 6 + (+ 9) = 6 + 9 c) E = 3 + (– 5) + 6 – (– 9) – 4 = 3 – 5 + 6 + 9 – 4 d) I = 4 – (– 8) + 7 – 3 + (– 2) = 4 + 8 + 7 – 3 – 2 E x erc er c ic ice es a) (+ 5) + (+ 3) = + 8 c) (– 7) + (+ 3) = – 4 e) (– 6) + (+ 6) = 0 7 On peut modifier l’ordre des termes d’une somme, puis les regrouper sans que cela change le résultat. b) A = [(+ 16) + (– 7)] + [(+ 9) + (– 11)] + [(+ 14) + (– 19)] A = (+ 9) + (– 2) + (– 5) A = (+ 9) + (– 7) A = +2 2) a) Le premier crochet correspond à la somme des recettes, le deuxième crochet correspond à la somme des dépenses. On peut modifier l’ordre des termes d’une somme, puis les regrouper sans que cela change le résultat. b) A = [(+ 16) + (+ 9) + (+ 14)] + [(– 7) + (– 11) + (– 19)] A = (+ 39) + (– 37) A = +2 JE SIMPLIFIE L’ÉCRITURE D’UNE EXPRESSION ALGÉBRIQUE Objectif 6 3) a) CD est égale à la différence entre l’abscisse du point D et l’abscisse du point C. b) CD = – 1 – (– 4,5) = – 1 + 4,5 = 3,5 8 1) Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. 2) a) (+ 5) – (+ 3) = (+ 5) + (– 3) = + 2 b) (– 8) – (– 6) = (– 8) + (+ 6) = – 2 c) (– 7) – (+ 3) = (– 7) + (– 3) = – 10 d) (– 4) – (+ 9) = (– 4) + (– 9) = – 13 e) (– 6) – (+ 6) = (– 6) + (– 6) = – 12 f) (– 4) – (– 4) = (– 4 ) + (+ 4) = 0. 9 a) (– 4) – (+ 1) = (– 4) + (– 1) = – 5 b) (+ 7) – (+ 8) = (+ 7) + (– 8) = – 1 c) (– 1) – (+ 7) = (– 1) + (– 7) = – 8 d) (– 2) – (– 8) = (– 2) + (+ 8) = + 6 e) (+ 6) – (– 9) = (+ 6) + (+ 9) = + 15 f) (+ 9) – (– 9) = (+ 9) + (+ 9) = + 18 10 a) AD = 3 – 1 = 2 b) AB = 3 – (– 4) = 3 + 4 = 7 c) CD = 1 – (– 1,5) = 1 + 1,5 = 2,5 d) BC = – 1,5 – (– 4) = – 1,5 + 4 = 2,5 11 a) (– 214) + (– 1,5) + (+ 214) + (– 2,5) = – 4 b) (+ 2,75) + (– 2,3) + (– 0,75) + (+ 1,3) = + 1 c) (–10,5) + (– 3,5) + (– 3,5) + (+ 10,5) = – 7 d) (+ 78) + (– 22) + (– 38) + (+ 22) + (+ 30) = + 70 12 a) – 3 + 5 = 2 c) 10 – 15 = – 5 e) 9 – 24 = – 15 b) – 2 – 6 = – 8 d) – 12 – 15 = – 27 f) – 24 + 36 = 12 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 13 b) – 8 + 9 – 5 + 8 = 4 d) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 = – 3 14 b) (+ 2) + (– 10) = – 8 d) (– 2) + (– 6) = – 8 15 b) (+ 2) – (+ 10) = – 8 d) (– 2) – (+ 6) = – 8 16 b) (– 2) + (– 7) = – 9 d) (+ 8) + (– 5) = + 3 f) (+ 7) + (– 7) = 0 a) – 7 + 3 – 4 = – 8 c) 12 – 5 + 7 – 9 + 3 = 8 a) (+ 2) + (+ 6) = + 8 c) (– 2) + (+ 10) = + 8 a) (+ 2) – (– 6) = + 8 c) (– 2) – (– 10) = + 8 a) (+ 2) + (+ 7) = + 9 c) (– 9) + (+ 6) = – 3 e) (– 3) + 0 = – 3 17 a) (– 12) + (+ 7) = – 5 c) (+ 12) + (+ 7) = + 19 e) (– 12) + (+ 12) = 0 b) (+ 12) + (– 7) = + 5 d) (– 12) + (– 7) = – 19 f) (– 7) + (– 7) = – 14 18 a) (– 2,4) + (– 3,5) = – 5,9 b) (+ 4,7) + (– 5,9) = – 1,2 c) (– 8,3) + (+ 8,3) = 0 d) (+ 2,7) + (– 6,8) = – 4,1 e) (+ 2,6) + (– 0,4) = 2,2 f) 0 + (– 5,7) = – 5,7 19 a) (+ 5,7) + (+ 8,4) = + 14,1 b) (– 4,8) + (+ 5,2) = + 0,4 c) (– 2,7) + (– 7,5) = – 10,2 d) (+ 7,8) + (– 9,7) = – 1,9 e) (– 7,8) + (+ 8,7) = + 0,9 f) (+ 0,7) + (– 9,6) = – 8,9 20 a) –7 +7 – 14 +9 –2 +4 +5 b) –5 2,7 3,3 1,4 – 2,3 – 1,2 + 2,6 – 0,8 – 1,5 21 a) (+ 4) – (+ 6) = (+ 4) + (– 6) = – 2 b) (+ 5) – (– 1) = (+ 5) + (+ 1) = + 6 c) (– 7) – (– 2) = (– 7) + (+ 2) = – 5 d) (– 1) – (+ 7) = (– 1) + (– 7) = – 8 e) (– 4) – (– 4) = (– 4) + (+ 4) = 0 f) (+ 6) – (– 6) = (+ 6) + (+ 6) = + 12 22 b) c) d) e) 26 a) (– 25) + (+ 25) = 0 b) (– 25) – (+ 25) = (– 25) + (– 25) = – 50 c) (– 25) + (– 25) = – 50 d) (– 25) – (– 25) = (– 25) + (+ 25) = 0 27 a) (– 2,75) + (– 3,15) = – 5,9 b) (– 2,75) – (– 3,15) = (– 2,75) + (+ 3,15) = + 0,4 c) (+ 2,75) – (– 3,15) = (+ 2,75) + (+ 3,15) = + 5,9 d) (+ 2,75) + (– 3,15) = – 0,4 28 A = (+ 12) + (– 5) – (+ 4) = (+ 12) + (– 5) + (– 4) = (+ 12) + (– 9) = + 3 B = (– 7) + (+ 6) – (– 9) = (– 7) + (+ 6) + (+ 9) = (+ 15) + (– 7) = + 8 C = (+ 5) – (+ 8) – (– 2) = (+ 5) + (– 8) + (+ 2) = (+ 7) + (– 8) = – 1 29 A = (+ 8) + (– 4) – (+ 5) – (– 7) = (+ 8) + (– 4) + (– 5) + (+ 7) = (+ 15) + (– 9) = + 6 B = (– 14) – (– 23) + (+ 9) – (+ 21) = (– 14) + (+ 23) + (+ 9) + (– 21) = (+ 32) + (– 35) = – 3 C = (– 8) – (+ 7) – (– 18) – (+ 3) = (– 8) + (– 7) + (+ 18) + (– 3) = (+ 18) + (– 18) = 0 A = (– 1,7) + (+ 3,5) – (– 2,3) = (– 1,7) + (+ 3,5) + (+ 2,3) = (+ 5,8) + (– 1,7) = + 4,1 B = (– 7,8) – (– 11,4) – (+ 4,5) = (– 7,8) + (+ 11,4) + (– 4,5) = (+ 11,4) + (– 12,3) = – 0,9 C = (+ 5,6) + (– 8,4) – (+ 3,8) – (– 4,2) = (+ 5,6) + (– 8,4) + (– 3,8) + (+ 4,2) = (+ 9,8) + (– 12,2) = – 2,4 31 – 0,5 1,8 25 a) (– 24) + (+ 18) = – 6 b) (+ 18) + (– 24) = – 6 c) (– 24) – (+ 18) = (– 24) + (– 18) = – 42 d) (+ 18) – (+ 24) = (+ 18) + (– 24) = – 6 30 – 12 –7 e) (– 8,9) – (+ 8,9) = (– 8,9) + (– 8,9) = – 17,8 f) (+ 3,7) – (– 6,8) = (+ 3,7) + (+ 6,8) = + 10,5 a) (– 15) – (+ 9) = (– 15) + (– 9) = – 24 (+ 15) – (– 9) = (+ 15) + (+ 9) = + 24 (+ 15) – (+ 9) = (+ 15) + (– 9) = + 6 (– 15) – (– 9) = (– 15) + (+ 9) = – 6 (– 15) – 0 = – 15 f) 0 – (– 9) = 0 + (+ 9) = + 9 23 a) (– 22) – (– 35) = (– 22) + (+ 35) = + 13 b) (+ 28) – (– 29) = (+ 28) + (+ 29) = + 57 c) (– 65) – (+ 65) = (– 65) + (– 65) = – 130 d) (+ 47) – (– 53) = (+ 47) + (+ 53) = + 100 e) (– 82) – (– 73) = (– 82) + (+ 73) = – 9 f) (+ 58) – (+ 58) = (+ 58) + (– 58) = 0 24 a) (+ 4,8) – (+ 6,7) = (+ 4,8) + (– 6,7) = – 1,9 b) (– 8,3) – (+ 2,7) = (– 8,3) + (– 2,7) = – 11 c) (– 6,4) – (– 9,1) = (– 6,4) + (+ 9,1) = + 2,7 d) (+ 1,9) – (– 14,8) = (+ 1,9) + (+ 14,8) = + 16,7 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. A = (+ 2,2) – (+ 3,3) + (– 4,4) – (– 5,5) = (+ 2,2) + (– 3,3) + (– 4,4) + (+ 5,5) = (+7,7) + (– 7,7) = 0 B = (– 3,25) + (– 2,75) – (– 4,25) + (– 2,5) = (– 3,25) + (– 2,75) + (+ 4,25) + (– 2,5) = (+ 4,25) + (– 8,5) = – 4,25 C = (– 10,4) – (+ 9,3) – (– 27) – (+ 6,1) = (– 10,4) + (– 9,3) + (+ 27) + (– 6,1) = (+ 27) + (– 25,8) = + 1,2 32 A = (– 8) + (+ 6) + (+ 8) + (– 7) + (– 2) = (+ 6) + (– 7) + (– 2) = (+ 6) + (– 9) = – 3 B = (+ 4) – (+ 5) + (– 6) + (+ 5) – (– 8) = (+ 4) + (– 5) + (– 6) + (+ 5) + (+ 8) = (+ 12) + (– 6) = + 6 C = (– 7) + (– 1,5) – (+ 7) + (+ 1,5) + (– 6) = (– 7) + (– 1,5) + (– 7) + (+ 1,5) + (– 6) = – 20 D = (– 1,25) + (– 2,75) – (– 1,25) – (+ 0,25) = (– 1,25) + (– 2,75) + (+ 1,25) + (– 0,25) = – 3 33 A=2–3+4=6–3=3 B=3+5–9=8–9=–1 C = –1 – 3 + 5 = 5 – 4 = 1 D = – 5 – 7 – 2 = – 14 34 A = – 5 + 7 – 13 + 9 = 16 – 18 = – 2 B = 3 – 6 + 9 – 7 = 12 – 13 = – 1 C = 11 – 12 – 14 + 17 = 28 – 26 = 2 D = – 12 + 21 – 12 – 12 = 21 – 36 = – 15 35 A = – 4 + 7 – 3 + 4 – 8 = 11 – 15 = – 4 B = 2 – 7 + 12 – 25 + 38 – 45 = 52 – 77 = – 25 Chap. 6 - Les nombres relatifs : addition et soustraction 59 C = – 13 + 24 – 17 – 19 + 21 – 3 = 45 – 52 = – 7 D = 150 + 210 – 140 + 240 – 210 = 390 – 140 = 250 45 a) x – 4 = 5 – 4 = 1 et y – x = 6 – 5 = 1 Donc, l’égalité de l’énoncé est vraie pour x = 5 et y = 6. b) x – 4 = – 3 – 4 = – 7 et y – x = 6 – (– 3) = 6 + 3 = 9 Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = – 3 et y = 6. c) x – 4 = – 1,5 – 4 = – 5,5 et y – x = – 7 – (– 1,5) = – 7 + 1,5 = – 5,5 Donc, l’égalité de l’énoncé est vraie pour x = – 1,5 et y = – 7. 36 A = – 1,7 + 2,3 – 3,4 + 0,5 = 2,8 – 5,1 = – 2,3 B = 6,7 – 8,4 – 4,7 + 2,3 = 9 – 13,1 = – 4,1 C = – 4,5 + 8,6 + 4,1 – 7,3 = 12,7 – 11,8 = 0,9 D = 1,8 – 5,2 + 4,3 – 5,4 = 6,1 – 10,6 = – 4,5 37 1) E = 150 + 50 – 75 + 60 – 80 2) E = 150 + 50 – 75 + 60 – 80 = 260 – 155 = 105. L’altitude de l’arrivée est 105 m. 46 1) Températures (en °C) Ville 38 en janvier en juillet Évolution de température a b c a+b b+c c+a Auckland (Nouvelle-Zélande) +4 –3 –2 +1 –5 +2 Budapest (Hongrie) –1 21 + 22 –7 –6 +5 – 13 –1 –2 – 2,7 0 + 5,1 – 2,7 + 5,1 + 2,4 Le Cap (Afrique du Sud) 26 17 –9 – 11 + 14 – 16 +3 –2 – 27 Montréal (Canada) – 10 21 + 31 Quito (Équateur) 14 14 0 Tokyo (Japon) 4 25 +21 Ushuaia (Argentine) 14 4 –10 39 a) (+ 3) + (+ 4) = + 7 c) (+ 5) + (– 5) = 0 e) (– 3) + (+ 10) = + 7 g) (+ 5) + (– 7) = – 2 b) (– 1) + (– 2) = – 3 d) (– 7) + (+ 4) = – 3 f) (– 1) + (+ 4) = + 3 h) (+ 4) + (– 5) = – 1 20 11 –9 40 2) a) Les villes dont l’évolution de température est positive sont : Budapest, Montréal, Quito, Tokyo. À part Quito, elles sont situées dans l’hémisphère nord. b) Les villes dont l’évolution de température est négative sont Auckland ; Le Cap ; Quito ; Ushuaia. Elles sont situées dans l’hémisphère sud. c) L’évolution de température pour Quito est nulle : cette ville est située très près de l’équateur. 41 1) L’abscisse du point A est – 1,5. L’abscisse du point B est 0,5. L’abscisse du point C est – 0,75. L’abscisse du point D est 1,25. 2) BD = 1,25 – 0,5 = 0,75 BC = 0,5 – (– 0,75) = 0,5 + 0,75 = 1,25 AC = – 0,75 – (– 1,5) = – 0,75 + 1,5 = 0,75 a) x + (+ 5) = – 4 + (+ 5) = + 1. Donc, l’égalité de l’énoncé est vraie pour x = – 4. b) (+ 2) + x = (+ 2) + (– 4) = – 2 ⫽ + 6. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = – 4. c) (–1) + x = (– 1) + (– 4) = – 5 ⫽ – 3. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = – 4. d) x + (+ 3) = (– 4) + (+ 3) = – 1. Donc, l’égalité de l’énoncé est vraie pour x = – 4. a) x + (+ 1) = (+ 3) + (+ 1) = + 4 et y + (+ 3) = (– 2) + (+ 3) = + 1. Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = + 3 et y = – 2. b) (– 5) + x = (– 5) + (+ 3) = – 2 et y = – 2. Donc, l’égalité de l’énoncé est vraie pour x = + 3 et y = – 2. c) x + (– 3) = (+ 3) + (– 3) = 0 et (+ 2) + y = (+ 2) + (– 2) = 0. Donc, l’égalité de l’énoncé est vraie pour x = + 3 et y = – 2. d) (+ 2) + (– x) = (+ 2) + (– 3) = – 1 et y + (+ 1) = (– 2) + (+ 1) = – 1. Donc, l’égalité de l’énoncé est vraie pour x = + 3 et y = – 2. 42 a b c a–b b–c c–a –3 –2 +7 –1 –6 –7 –6 +5 –1 – 11 + 12 – 2,7 0 + 5,1 – 2,7 – 5,1 + 7,8 – 11 + 14 – 16 – 25 + 30 –5 a) (+ 7) – (+ 4) = + 3 c) (+ 5) – (0) = + 5 e) (– 6) – (– 15) = + 9 g) (+ 5) – (+ 10) = – 5 44 b) (+ 3) – (+ 10) = – 7 d) (– 4) – (+ 1) = – 5 f) (+ 4) – (– 4) = + 8 h) (– 4) – (– 3) = – 1 a) x – (– 4) = (– 3) – (– 4) = (– 3) + (+ 4) = + 1 Donc, l’égalité de l’énoncé est vraie pour x = – 3. b) (+ 1) – x = (+ 1) – (– 3) = (+ 1) + (+ 3) = – 4 ⫽ – 2 Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = – 3. c) (–1) – x = (– 1) – (– 3) = (– 1) + (+ 3) = + 2 Donc, l’égalité de l’énoncé est vraie pour x = – 3. d) x – (+ 3) = (– 3) – (+ 3) = (– 3) + (– 3) = – 6 ⫽ 0 Donc, l’égalité de l’énoncé n’est pas vraie pour x = – 3. 60 48 1) AB = – 322 – (– 384) = – 322 + 384 = 62 EF = – 192 – (– 284) = – 192 + 284 = 92 ND = – 348 – (– 428) = – 348 + 428 = 80 2) Ératosthène a vécu le plus longtemps. 49 +4 43 47 A = (+ 1) + (– 2) + (+ 3) + (– 4) = (+ 4) + (–6) = – 2 B = (– 5) + (+ 2) + (+ 6) + (– 7) + (+ 3) = (+ 11) + (– 12) = – 1 C = (– 256) + (+ 164) + (+ 481) + (– 144) = (+ 645) + (– 400) = + 245 D = (+ 7,5) + (– 1,48) + (+ 2,5) + (– 7,52) = (+ 10) + (– 9) = + 1 50 A = (–10,78) + (2,75) + (– 1,75) + (+ 10,78) = (2,75) + (– 1,75) + (+ 10,78) + (–10,78) = (+ 1) + 0 = +1 B = (+ 4,7) + (– 3,2) + (– 2,8) + (– 5,7) = (+ 4,7) + (– 5,7) + (– 3,2) + (– 2,8) = (– 1) + (– 6) = – 7 C = (+ 740) + (– 120) + (– 30) + (– 440) = (+ 740) + (– 440) + (– 120) + (– 30) = (+ 300) + (– 150) = + 150 D = (– 2,514) + (+ 1,587) + (– 0,487) + (+ 1,414) = (– 2,514) + (+ 1,414) + (+ 1,587) + (– 0,487) = (– 1,1) + (+ 1,1) = 0 51 1) E = 44,19 + 60 – 84,28 + 50 – 28,26 – 19,99 2) E = 44,19 + 60 + 50 – 84,28 – 28,26 – 19,99 E = 154,19 – 132,53 E = 21,66 Basile possède 21,66 € le 31 janvier. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 52 58 A = (– 17) + (+ 12) = – 17 + 12 = – 5 B = (+ 8,5) – (+ 2,7) = 8,5 – 2,7 = 5,8 C = (+ 6,3) – (– 3,7) = 6,3 + 3,7 = 10 D = (– 7) + (– 6) = – 7 – 6 = – 13 A = (+ 4) – (+ 3) – (– 2) + (– 1) = 4 – 3 + 2 – 1 =4+2–3–1=6–4=2 B = (– 2) – (– 7) + (– 6) – (+ 4) = – 2 + 7 – 6 – 4 = 7 – 2 – 6 – 4 = 7 – 12 = – 5 C = (– 25) + (– 8) – (– 25) – (+ 8) + (– 50) = – 25 – 8 + 25 – 8 – 50 = – 66 53 A = (+ 3) + (– 8) = 3 – 8 = – 5 B = (– 7,1) – (– 4,3) = – 7,1 + 4,3 = – 2,8 C = (+ 102) + (+ 57) = 102 + 57 = 159 D = (– 1,2) – (+ 0,9) = – 1,2 – 0,9 = – 2,1 59 A = 5 – (– 7) + 2 – 9 = 5 + 7 + 2 – 9 = 14 – 9 = 5 B = – 15 + 8 – (– 6) – 4 + 6 = – 15 + 8 + 6 – 4 + 6 = 8 + 6 + 6 – 15 – 4 = 20 – 19 = 1 C = – 6 + 4 – (– 3) – 6 = – 6 + 4 + 3 – 6 = 4 + 3 – 6 – 6 = 7 – 12 = –5 54 a) – 3 + 9 = 6 b) – 5 + (– 8) = – 13 c) – 1 + 4 = 3 d) 7 + (– 2) = 5 e) 0 + (– 5) = – 5 f) 1 + (– 1) = 0 60 a) – 3 + 2 – 5 = – 6 ; – 4 – 2 + 0 = – 6 ; 1 – 6 – 1 = – 6 ; –3 – 4 + 1 = –6 ; 2 – 2 – 6 = –6 ; – 5 + 0 – 1 = – 6 ; – 3 – 2 – 1 = – 6 ; 1 – 2 – 5 = – 6. La somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale est égale à – 6. Donc, le carré est magique. b) – 2 + 4 – 5 = – 3 et 4 + 0 – 4 = 0. Donc, le carré n’est pas magique. 55 a) – 18 + 9 = – 9 b) – 3,5 + 4,5 = 1 c) 14 + (– 3) = 11 d) – 5,6 + (– 2,7) = – 8,3 e) – 6,8 + 6,8 = 0 f) – 2,15 + (– 2,15) = – 4,3 61 56 a) – 5 – 4 = – 9 b) – 2 – (– 3) = – 2 + 3 = 1 c) – 2 – 6 = – 8 d) 10 – (– 7) = 10 + 7 = 17 e) 0 – (– 3) = 0 + 3 = 3 f) – 4 – (– 4) = – 4 + 4 = 0 57 73 –5 3 –8 b) –5 –7 –8 5 4 1 75 1 3 –4 7 0 5 2 –7 –2 –8 –1 4 3 1) 2006 2008 Évolution entre 2006 et 2008 Citroën 258 289 + 31 Ford 96 112 + 16 Opel 99 90 –9 Peugeot 357 344 – 13 Renault 472 449 – 23 Constructeur 2 –3 74 2 7 –5 3) a) 14 – (– 63) = 14 + 63 = 77 b) Ce résultat ne correspond pas à l’âge d’Auguste à sa mort car il n’y a pas d’année 0. On passe de l’année – 1 à l’année 1. 4) 37 – (– 42) – 1= 37 + 42 – 1 = 78 Tibère est mort à 78 ans. 1 –1 –3 Les exercices 63 à 72 sont corrigés à la page 288 du manuel élève. –5 –6 –6 A = 8 – (– 5 + 2) – 9 = 8 – (– 3) – 9 = 8 + 3 – 9 = 11 – 9 =2 B = (– 3 + 4) – (– 7 + 6) + (– 8 – 2) = 1 – (– 1) + (– 10) = 1 + 1 – 10 = 2 – 10 = – 8 C = (2,7 – 5,4) – (1– 2,5) + (– 4 + 6,3) = – 2,7 – (– 1,5) + 2,3 = – 2,7 + 1,5 + 2,3 = 3,8 – 2,7 = 1,1 Je fais fai s l e po p o int a) 1 62 a) – 23 – 7 = – 30 b) – 7,1 – 5,8 = – 12,9 c) 12 – (– 8) = 12 + 8 = 20 d) – 6,2 – (– 0,5) = – 6,2 + 0,5 = – 5,7 e) – 3,7 – 3,7 = – 7,4 f) 4,25 – (– 4,25) = 4,25 + 4,25 = 8,5 > 6 –2 1) a) – 44 – (– 100) = 56. Jules César est mort à 56 ans. b) – 30 – 53 = – 83. Marc Antoine est né en – 83. 2) a) 12 + 29 = 41. Caligula est mort en 41. b) 68 – (37 + 17) = 14. Le règne de Néron a duré 14 ans. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Toyota Volkswagen 97 94 –3 141 144 +3 2) 31 + 16 – 9 – 13 – 23 – 3 + 3 = 47 – 45 = 2 Le nombre d’immatriculations a augmenté de 2 milliers entre 2006 et 2008. Chap. 6 - Les nombres relatifs : addition et soustraction 61 2) 76 2004 2008 Évolution 5 12 – 11 –4 3 11 –7 –5 2 4 –8 –6 1 8 10 Total Or Total Or Total Or Allemagne 49 13 41 10 –8 –3 Chine 63 32 100 51 + 37 + 19 –2 0 7 9 –9 France 33 11 41 7 +8 –4 –1 6 13 – 10 –3 Russie 92 31 72 27 – 20 –4 102 36 110 36 +8 0 USA 77 1) – 295 + 16 = – 279 Philippe Bertochio était descendu à une profondeur de – 279 m en 2002. 2) – 295 + 23 = – 272 La profondeur atteinte par Frédéric Poggia lors de son record était – 272 m. 78 1) 2) 87 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) PN = 2,5 – (– 6) = 2,5 + 6 = 8,5 AT = – 0,5 – (– 1) = – 0,5 + 1 = 0,5 LO = 0 – (– 3,5) = 3,5 79 Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 80 a) 4 + (– 2 – 3) = 4 + (– 5) = – 1 b) [5 + (–2)] – [(– 6) + (– 1)] = 3 – (–7) = 3 + 7 = 10 c) (– 7 – 8) + (– 11) = – 15 – 11 = – 26 81 1) 127,5 + 42,1 – 57,1 + 2,7 – 49,2 = 66. Une livre de café coûtait 66 cents fin 2000. 2) 116,6 + 18 – 15,3 + 0 – 17,8 – 29 – 7,6 – 17,1 = 47,8. Une livre de café coûtait 47,8 cents début 2002. 3) 47,8 – 66 = – 18,2. L’évolution du prix d’une livre de café pendant l’année 2001 était – 18,2 cents. 82 A = x + y + z = 2,5 + (– 4,2) + (– 3,5) = 2,5 – 7,7 = – 5,2 B = x – y + z = 2,5 – (– 4,2) + (– 3,5) = 2,5 + 4,2 – 3,5 = 6,7 – 3,5 = 3,2 C = x – y – z = 2,5 – (– 4,2) – (– 3,5) = 2,5 + 4,2 + 3,5 = 10,2 D = – x – y + z = – 2,5 – (– 4,2) + (– 3,5) = – 2,5 + 4,2 – 3,5 = 4,2 – 6 = – 1,8 E = x + (y – z) = 2,5 + [(– 4,2) – (– 3,5)] = 2,5 + (– 4,2 + 3,5) = 2,5 + (– 0,7) = 1,8 F = x – (y – z) = 2,5 – [(– 4,2) – (– 3,5)] = 2,5 – (– 4,2 + 3,5) = 2,5 – (– 0,7) = 2,5 + 0,7 = 3,2 83 a) E = 4 – 6 + (–3) = 4 – 6 – 3 = 4 – 9 = – 5 b) E = – 2,7 – 3,2 + 1,4 = 1,4 – 5,9 = – 4,5 84 a) – 1 + 2 – 3 – 4 + 5 – 7 = – 8 b) + 8 – 9 + 10 + 11 – 12 – 13 = – 5 85 1) La somme des nombres relatifs compris entre – 11 et 13 correspond à la somme des 25 nombres du carré. – 11 + (– 10) + (– 9) + (– 8) + (– 7) + (– 6) + (– 5) + (– 4) + (– 3) + (– 2) + (– 1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 12 + 13 = 25. On en déduit que la somme des nombres d’une ligne, d’une colonne ou d’une diagonale est égale à 5. 62 86 1) a) (– 29,80) + (+ 200) = 170,2 Le solde du compte d’Alix est 170,20 € le 19 mars. b) (– 78) + (– 83) = – 161 Le spéléologue se trouve à –161 m au bout de deux jours. 2) a) (– 4) + (– 5) = – 9 Ce matin, il faisait – 9 °C. b) (– 125) + (+ 416) = + 291. Le dénivelé de son parcours est 291 m. Bayonne : 4 – (– 1) = 4 + 1 = 5. L’amplitude thermique de la journée est 5 °C. Brest : 6 – 0 = 6. L’amplitude thermique de la journée est 6 °C. Colmar : – 1 – (– 5) = – 1 + 5 = 4. L’amplitude thermique de la journée est 4 °C. Nice : 12 – 5 = 7. L’amplitude thermique de la journée est 7 °C. 88 A = (– 7) + (+ 4) + (+ 9) + (– 5) + (– 1) A = (+ 4) + (+ 9) + (– 7) + (– 5) + (– 1) A = (+ 13) + (– 13) A=0 B = (– 1,4) + (+ 3,5) + (– 6,7) – (+ 1,7) – (– 4) B = (– 1,4) + (+ 3,5) + (– 6,7) + (– 1,7) + (+ 4) B = (+ 3,5) + (+ 4) + (– 6,7) + (– 1,7) + (– 1,4) B = (+ 7,5) + (– 9,8) B = – 2,3 C = – 5 + 2,7 + 3,8 – 5,2 – 2,7 + 9,1 – 4,3 C = 2,7 + 3,8 + 9,1 – 5,2 – 2,7 – 4,3 – 5 C = 15,6 – 17,2 C = – 1,6 D = (– 12 + 18) + (– 13 – 9) – (7 – 16) D = 6 + (– 22) – (– 9) D = 6 – 22 + 9 D = 15 – 22 D = –7 89 Points Différence de buts Bordeaux Équipe 43 + 20 Paris SG 29 + 13 Monaco 27 –2 Toulouse 25 +3 Le Mans 16 – 11 Grenoble 7 – 23 90 a) – 257 + (– 54) = – 311 b) + 657 – (+ 578) = + 79 c) – 58,785 + (+ 69,254) = + 10,469 d) – 987,54 – (– 658,36) = – 329,18 91 a) – 4 567 – 2 587 + (– 3 887) = – 11 041 b) 3,587 + (– 4,87) – 2,98 = – 4,263 c) – 9 780 – (– 5 735) + (– 3 089) = – 7 134 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 92 a) 14 – 6 = 8. Gaston lit 8 h sur sa montre. b) 14 + 3 = 17. Raymond lit 17 h sur sa pendule. c) 23 – 14 = 9. Tatiana se trouve à Nouméa. 93 a) Papeete : – 11 b) Mamandzou : + 2 c) Saint-Pierre : – 4. 94 a) 9 + 11,5 = 20,5. L’heure de Paris est 20 h 30. b) 20,5 – 5 = 15,5. L’heure de Cayenne est 15 h 30. c) 20,5 + 2 = 22,5. L’heure de Saint-Denis est 22 h 30. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 95 1) a) Le décalage horaire en été entre Taiohoe et Mende est + 11,5. b) 11,5 – 6 = 5,5. Le décalage horaire en été entre Taiohoe et Fort-de-France est + 5,5. c) 11,5 – 12 = – 0,5. Le décalage horaire en été entre Taiohoe et Papeete est – 0,5. d) 11,5 + 10 = 21,5. Le décalage horaire en été entre Taiohoe et Mata-Utu est + 21,5. 2) On remarque que la ligne de changement de date passe à l’ouest de Wallis-et-Futuna et à l’est de Tahiti et des îles Marquises. Chap. 6 - Les nombres relatifs : addition et soustraction 63 Chapitre 7 > P r ogramme o gramme Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. En classe de Cinquième, la proportionnalité occupe toujours une place centrale. Les méthodes de résolution des problèmes de proportionnalité évoluent avec les connaissances des élèves, notamment avec une meilleure maîtrise de la notion de quotient. La résolution de problèmes a pour objectifs d’affermir la maîtrise des principaux raisonnements qui permettent de traiter les situations de proportionnalité > CONNAISSANCES : ● ● ● Propriété de linéarité Tableau de proportionnalité Passage à l’unité ou « règle de trois » CAPACITÉS Compléter un tableau de nombres représentant une relation de proportionnalité, en particulier déterminer une quatrième proportionnelle. ● Reconnaître si un tableau complet de nombres est ou non un tableau de proportionnalité. Pour les coefficients de proportionnalité ou les rapports de linéarité exprimés sous forme de quotient, on choisira des nombres qui évitent des difficultés techniques inutiles. En particulier les quotients de nombres décimaux ne sont pas exigibles. > CONNAISSANCES : ● ■ Commentaires Le travail sur des tableaux de nombres sans lien avec un contexte doit occuper une place limitée. Les activités numériques et graphiques font le plus souvent appel à des situations mettant en relation deux grandeurs. Il est possible d’envisager, dans une formule, des variations d’une grandeur en fonction d’une autre grandeur mais toute définition de la notion de fonction est exclue. Les procédures utilisées pour traiter une situation de proportionnalité sont de même nature qu’en classe de Sixième. L’usage du « produit en croix » est exclu en classe de Cinquième. ● ● Pourcentage Échelle [Thèmes de convergence] CAPACITÉS Mettre en œuvre la proportionnalité dans les cas suivants : – comparer des proportions ; – utiliser un pourcentage ; – *calculer un pourcentage ; – *utiliser l’échelle d’une carte ou d’un dessin ; – calculer l’échelle d’une carte ou d’un dessin. ■ Commentaires Un travail doit être conduit sur la comparaison relative d’effectifs dans des populations différentes ou de proportions dans un mélange. Il s’articule avec l’utilisation de l’écriture fractionnaire pour exprimer une proportion. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Compléter un tableau de proportionnalité. – Reconnaître un tableau de proportionnalité. – Comparer des proportions. – Appliquer un taux de pourcentage. Programme de la classe de Sixième La résolution de problèmes de proportionnalité est déjà travaillée à l’école primaire. Elle se poursuit en Sixième, avec des outils nouveaux. La proportionnalité fait l’objet d’un apprentissage continu et progressif sur les quatre années du collège et permet de comprendre et de traiter de nombreuses notions du programme. La résolution de problèmes a pour objectifs de mettre en place les principaux raisonnements qui permettent de reconnaître et traiter les situations de proportionnalité. > CONNAISSANCES : ● ● Propriété de linéarité Tableau de proportionnalité CAPACITÉS Reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité et les traiter en choisissant un moyen adapté : 64 – utilisation d’un rapport de linéarité, entier ou décimal ; – utilisation du coefficient de proportionnalité, entier ou décimal ; – passage par l’image de l’unité (ou « règle de trois ») ; – *utilisation d’un rapport de linéarité, d’un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de quotient. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. ■ Commentaires > CONNAISSANCES : Pourcentages Les problèmes à proposer (qui relèvent aussi bien de la proportionnalité que de la non proportionnalité) se situent dans le cadre des grandeurs (quantités, mesures). Ils doivent relever de domaines familiers des élèves et rester d’une complexité modérée, en particulier au niveau des nombres mis en œuvre. Les rapports utilisés sont, soit des rapports entiers ou décimaux simples *soit des rapports exprimés sous forme de quotient. CAPACITÉS Appliquer un taux de pourcentage. ■ Commentaires Les élèves doivent connaître le sens de l’expression « ... % de » et savoir l’utiliser dans des cas simples où aucune technique n’est nécessaire. Programme de la classe de Quatrième La résolution de problèmes a pour objectifs de consolider et d’enrichir les raisonnements pour traiter des situations de proportionnalité… > CONNAISSANCES : ● Utilisation de la proportionnalité : – quatrième proportionnelle ; – calculs faisant intervenir des pourcentages [Thèmes de convergence] permettent de mettre en œuvre un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de pourcentage. Dans le cadre du socle commun, utiliser l’échelle d’une carte pour calculer une distance, calculer un pourcentage deviennent exigibles. > CONNAISSANCES : *Représentations graphiques [Thèmes de convergence] CAPACITÉS Déterminer une quatrième proportionnelle. Déterminer le pourcentage relatif à un caractère d’un groupe constitué de la réunion de deux groupes dont les effectifs et les pourcentages relatifs à ce caractère sont connus. ● CAPACITÉS ● *Utiliser dans le plan muni d’un repère, la caractérisation de la proportionnalité par l’alignement de points avec l’origine. ■ Commentaires ■ Commentaires Aux diverses procédures déjà étudiées s’ajoute le « produit en croix » qui doit être justifié. Des situations issues de la vie courante ou des autres disciplines Cette propriété caractéristique de la proportionnalité prépare l’association, en classe de Troisième, de la proportionnalité à la fonction linéaire. Comm e ntaires d Commentaires des e s auteurs ➜ La notion de proportionnalité a été travaillée dès le primaire : propriété de linéarité, passage à l’unité, règle de trois. La notion de coefficient de proportionnalité est abordée en classe de Sixième. Il est à nouveau utilisé en Cinquième y compris sous forme de quotient. Reconnaître une situation de proportionnalité est abordé en Sixième : les propriétés de linéarités sont ou non vérifiées. Les élèves de Cinquième doivent reconnaître un tableau de proportionnalité. ➜ Appliquer un taux de pourcentage est vu en Sixième. Le calcul d’un pourcentage est vu en Cinquième. ➜ Depuis le primaire, les élèves savent que, sur un « plan à l’échelle », les longueurs sont proportion- > nelles aux longueurs réelles. Ils utilisent des tableaux de proportionnalité. En Cinquième, la notion d’échelle d’un plan est définie. Les élèves apprennent à appliquer et à calculer une échelle. Il faut faire attention quand l’échelle est fractionnaire car les élèves ne savent pas diviser par une fraction ; ils l’apprennent en Quatrième. ➜ La comparaison des fractions n’étant plus au programme de Cinquième, on utilise la proportionnalité ou les pourcentages pour comparer des proportions. A cti Ac tiv v ités i tés ACTIVITÉ D’OUVERTURE CO RRI G É En 2009, les coureurs ont effectué 32 tours sur 56. 75 % des 56 tours correspondent à : © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 75 = 42 tours. 100 Les coureurs n’ayant pas effectué 75 % de la course, Button n’a obtenu que la moitié des 10 points donc 5 points. 56 × Chap. 7 - Proportionnalité 65 1 JE RECONNAIS UN TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ Objectif Prérequis Paragraphe introduit Reconnaître une situation de proportionnalité. ● Coefficient de proportionnalité. ● ! Grandeurs proportionnelles a) Reconnaître un tableau de proportionnalité ■ COM MENTAI RE : En Sixième, les élèves reconnaissent une situation de proportionnalité en utilisant la propriété de linéarité (additivité et multiplicativité). En classe de Cinquième, ils peuvent calculer les quotients correspondants au coefficient de proportionnalité du tableau. CORRIG É A 1) Masse des mandarines (en kg) 0,74 1,02 1,48 Prix payé (en e) 2,59 3,57 5,18 2 J’UTILISE LE COEFFICIENT DE PROPORTIONNALITÉ Objectifs Prérequis Compléter un tableau de proportionnalité. ● Utiliser le coefficient de proportionnalité. ● ● ● Paragraphe introduit Aire du rectangle. Coefficient de proportionnalité. ! Grandeurs proportionnelles b) Calculer une quatrième proportionnelle ■ COM MENTAI RE : La notion de coefficient de proportionnalité a été vue en Sixième. La règle de trois est vue en primaire en organisant les nombres dans un tableau. 3 Comparer des proportions. Prérequis ● Paragraphe introduit Règle de trois. ● Compléter un tableau de proportionnalité. Point de repère du § 3 ■ COMMENTAIRE : La comparaison des fractions a disparu du programme de Cinquième. On doit donc être capable de comparer des proportions par d’autres méthodes. 1) Longueur L (en cm) Aire (en cm ) 2 4 8 20 10 20 50 5 3,7 3,8 12,5 9,25 9,5 2) C’est une situation de proportionnalité ; le coefficient de proportionnalité est 2,5. 3) a) L’aire du rectangle bleu est calculée en multipliant L par 2,5 cm. b) Si L = 3,7 cm, l’aire est : 3,7 cm × 2,5 cm = 9,25 cm2. 4) a) Si l’aire est donnée, on calcule la longueur L en divisant cette aire par 2,5 cm. b) 9,5 : 2,5 = 3,8 Si l’aire est 9,5 cm2, la longueur L est 3,8 cm. C ORRIGÉ 1) Cocktail de Michaël (en dL) 25 30 Jus de mangue utilisé (en dL) 7 30 ¥ 7 = 8,4 25 2) Non, Michaël n’a pas mis plus de jus de mangue en proportion que Nora puisque, pour 30 dL de cocktail, il aurait mis 8,4 dL de mangue alors que Nora en a mis 9 dL. JE CALCULE UN POURCENTAGE Objectif Calculer un pourcentage. Prérequis Compléter un tableau de proportionnalité. Paragraphe introduit @ Pourcentage 66 C ORRIGÉ JE COMPARE DES PROPORTIONS Objectif 4 2,59 3,57 5,18 = 3,5 ; = 3,5 ; = 3,5. 0,74 1,02 1,48 b) Tous les quotients sont égaux. 3) a) Chaque nombre de la première ligne est multiplié par 3,5 pour trouver le nombre correspondant de la deuxième ligne. b) Ce nombre correspond au prix du kilogramme de mandarines. B 2,59 = 0,37 ; 3,57 = 0,357 ; 5,18 艐 0,39. 7 10 13 Ces quotients ne sont pas égaux. C 1) a) Oui. b) 3,5 correspond au coefficient de proportionnalité. 2) Le prix des mandarines n’est pas proportionnel à leur nombre car les mandarines n’ont pas toutes la même masse et les mandarines se vendent au « poids ». 3) On peut reconnaître un tableau de proportionnalité en effectuant chacun des quotients d’un nombre de la deuxième ligne du tableau par le nombre correspondant de la première ligne. Si tous ces quotients sont égaux, on a bien un tableau de proportionnalité. Sinon, non. 2) a) Reconnaître un tableau de proportionnalité. ■ C OM M E NTAIRE : On a choisi un exemple où il était très utile de calculer un pourcentage. C ORRIGÉ 1) On ne peut pas facilement comparer car on ne connaît pas son taux de réussite en mathématiques. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 2) Cela signifie que sa réussite en français est telle que si elle avait eu 100 questions, elle en aurait réussi 65. 3) a) Nombre total de questions de mathématiques 40 100 Nombre de questions réussies en mathématiques 28 70 5 b) Le nombre correspond au nombre de questions réussies en mathématiques, si on avait proposé 100 questions ; donc au pourcentage de réussite en mathématiques. 4) Lola a mieux réussi en mathématiques puisque 70 % est mieux que 65 %. J’UTILISE ET JE CALCULE UNE ÉCHELLE Objectif Utiliser et calculer une échelle. Prérequis Plan à l’échelle (primaire) Coefficient de proportionnalité. Paragraphe introduit 2) Distance réelle (en cm) 100 380 250 Distance sur le plan (en cm) # Échelle d’une figure. 4 15,2 10 × 4 100 4 . 100 4 1 1e = b) . Le plan d’Elliot est au . 100 25 25 3) a) L’échelle du plan d’Elliot est CO RRI G É 1) Un plan est à l’échelle quand les longueurs sur le plan sont proportionnelles aux longueurs dans la réalité. > Ex e rc ic Exe i ces es 1 1) Il est impossible de prévoir la taille de ce bébé dans les mois suivants. 2) La taille d’un enfant n’est pas proportionnelle à son âge. 2 a) Deux baguettes coûtent 1,80 €. b) Trois baguettes coûtent 2,70 €. c) Quatre baguettes coûtent 3,60 €. d) Cinq baguettes coûtent 4,50 €. 2) Le prix des baguettes de pain est proportionnel au nombre de baguettes achetées. 3 Ce tableau est un tableau de proportionnalité car 18 36 54 = = = 6. 3 6 9 Le nombre 6 est le coefficient de proportionnalité. 30 40 55 = 5; = 5; = 5,5 6 8 10 Donc, ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité. 4 4 6 艐 1,33 ; = 1,2 3 5 Donc, ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité. 5 1,5 2 2,5 = = = 0,5. 4 3 5 Donc, ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est 0,5. 6 7 Grandeur A 15 20 Grandeur B 45 20 × 45 : 15 = 60 8 Grandeur C 1,8 5,5 Grandeur D 1,8 ¥ 11 : 5,5 = 3,6 11 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 9 Grandeur E 4 4 ¥ 27 : 36 = 3 Grandeur F 36 27 10 Grandeur G 1 ¥ 1,5 : 6 = 0,25 1,5 Grandeur H 1 6 11 Grandeur I 3 3 ¥ 4 : 5 = 2,4 Grandeur J 5 4 12 Grandeur K 1,6 4 Grandeur L 6 ¥ 7 : 4 = 10,5 7 13 a) 300 € b) 10 cm c) 45,2 mm d) 3 L e) 80 m f) 0 g g) 3 875 téléspectateurs 50 = 10 personnes 100 Cette chorale comprend 10 sopranos. 25 = 5 personnes b) 20 personnes × 100 Cette chorale comprend 5 basses. 10 = 2 personnes c) 20 personnes × 100 Cette chorale comprend 2 solistes. 14 a) 20 personnes × 15 a) 3 centièmes correspondent à 3 %. b) Un dixième correspond à 10 %. Chap. 7 - Proportionnalité 67 c) Un demi correspond à 50 %. d) Un millième correspond à 0,1 %. e) Un quart correspond à 25 %. f) Trois quarts correspondent à 75 %. 22 16 Nombre de pulls 20 Pourcentages 100 a) b) c) d) 10 10 × 100 : 20 = 50 5 2 3 5 × 100 2 × 100 15 : 20 = 25 : 20 = 10 Le pourcentage de pulls en laine est de 50 %. Le pourcentage de pulls en acrylique est de 25 %. Le pourcentage de pulls en coton est de 10 %. Le pourcentage de pulls en soie est de 15 %. 1) Euros 185 74 Pourcentages 100 74 × 100 : 185 = 40 Le pourcentage de réduction est de 40 %. 2) Le prix soldé du manteau est alors de : 185 € – 74 € = 111 €. 23 1) Le montant de la remise est : 32,50 € – 23,40 € = 9,10 €. 2) Euros Pourcentages 32,50 9,1 100 9,1 × 100 : 32,50 = 28 Le pourcentage de réduction est de 28 %. 17 Trois tirs sur quatre réussis correspondent à un pourcentage de réussite de 75 %. C’est donc Chan qui a un meilleur pourcentage de réussite. a) 1 cm × 2 000 = 2 000 cm La longueur réelle est alors de 2000 cm ou 20 m. b) 1 mm × 2 000 = 2 000 mm La longueur réelle est alors de 2000 mm ou 2 m. c) 3 mm × 2 000 = 6 000 mm La longueur réelle est alors de 6 000 mm ou 6 m. d) 10 cm × 2 000 = 20 000 cm La longueur réelle est alors de 20 000 cm ou 200 m. 18 19 a) La longueur réelle de 1 m est représentée par 1 cm ou 0,01 m. 0,01 1 = . L’échelle de ce plan est alors : 1 100 b) La longueur réelle de 1 m est représentée par 1 mm ou 0,001 m. 0,001 1 = . L’échelle de ce plan est alors : 1 1 000 c) La longueur réelle de 1 m est représentée par 2 cm ou 0,02 m. 0,02 1 = . L’échelle de ce plan est alors : 1 50 d) La longueur réelle de 1 m est représentée par 5 cm ou 0,05 m. 0,05 1 = . L’échelle de ce plan est alors : 1 20 20 a) La longueur réelle de 1 mm est représentée par 1 cm ou 10 mm. 10 = 10. L’échelle de ce plan est alors : 1 b) La longueur réelle de 1 mm est représentée par 1 mm. 1 L’échelle de ce plan est alors : = 1. 1 c) La longueur réelle de 1 mm est représentée par 2 cm ou 20 mm. 20 = 20. L’échelle de ce plan est alors : 1 d) La longueur réelle de 1 mm est représentée par 0,5 mm. 0,05 1 = . L’échelle de ce plan est alors : 1 20 21 1) Euros 12 3,60 Pourcentages 100 3,60 × 100 : 12 = 30 Le pourcentage de réduction est de 30 %. 2) Le prix soldé de la pochette est alors de : 12 € – 3,60 € = 8,40 €. 68 24 132 € – 99 € = 33 € La réduction est de 33 €. Euros 132 33 Pourcentages 100 33 × 100 : 132 = 25 Le pourcentage de réduction est de 25 %. 25 Euros 34 2,38 Pourcentages 100 2,38 × 100 : 34 = 7 Le pourcentage d’augmentation est de 7 %. 26 1) 18,75 € – 15 € = 3,75 € L’augmentation est de 3,75 €. Euros 15 3,75 Pourcentages 100 3,75 × 100 : 15 = 25 Le pourcentage d’augmentation est de 25 %. 2) La baisse du prix est de 3,75 €. Euros Pourcentages 18,75 3,75 100 3,75 × 100 : 18,75 = 20 Le pourcentage de réduction est de 20 %. 3) On remarque que les deux pourcentages sont différents. En effet, on calcule le pourcentage de 3,75 sur deux valeurs différentes : d’une part 15, d’autre part 18,75. 27 1) Euros 17 7 Pourcentages 100 7 × 100 : 17 Le pourcentage de filles parmi les demi-pensionnaires est d’environ 41,2 %. 2) On compte 9 filles externes dans cette classe. Euros 30 9 Pourcentages 100 9 × 100 : 30 = 30 Le pourcentage de filles externes dans cette classe est de 30 %. 3) On compte 14 garçons dans cette classe. Euros 30 14 Pourcentages 100 14 × 100 : 30 Le pourcentage de garçons parmi les élèves de cette classe est d’environ 46,7 %. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 28 36 Candidats Pourcentages 2 425 100 1 552 776 97 1 552 × 100 776 × 100 : 2 425 : 2 425 97 × 100 : 2 425 37 Le pourcentage de candidats reçus est 64 %. Le pourcentage de candidats ajournés est 32 %. Le pourcentage de candidats absents est 4 %. 29 Longueur sur le plan (en cm) Longueur réelle (en cm) 5 1 600 1 × 600 : 5 = 120 1 . L’échelle de ce plan est 120 38 5 1 1 × 51 000 : 5 = 10 200 Longueur réelle (en cm) 51 000 1 . 10 200 L’échelle de ce plan est 31 Largueur réelle (en cm) 3 1 1,2 1 × 1,2 : 3 = 0,4 1 = 2,5. L’échelle de ce plan est 0,4 2) Longueur sur le plan (en cm) Longueur réelle (en cm) 1 5 × 0,4 : 1 = 2 0,4 32 1 Longueur réelle (en cm) 2,8 1 000 000 38 000 000 1) 38 000 000 × 1 : 1 000 000 = 38 380 km en réalité sont représentés par 38 cm sur ce plan. 2) 2,8 × 1 000 000 : 1 = 2 800 000 2,8 cm sur le plan représentent 28 km en réalité. 1) 41 1) Euros 27 34 30,24 38,08 2) 30,24 : 27 = 38,08 : 34 = 1,12 Ceci prouve que ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le coefficient est 1,12 qui correspond au prix en euros d’un litre de gasoil. 42 Potiron (en kg) 0,8 3 Prix (en €) 1,44 3 ¥ 1,44 : 0,8 = 5,4 3 kg de potiron coûtent 5,40 €. 43 33 Carottes (en kg) Longueurs de la maquette ( en cm) 1 Longueurs réelles (en cm) 12 37,3 19,6 9,1 37,3 × 12 19,6 × 12 9,1 × 12 :1 :1 :1 La longueur réelle de la Ferrari est 447,6 cm = 4,476 m. La largeur réelle de la Ferrari est 235,2 cm = 2,352 m. La hauteur réelle de la Ferrari est 109,2 cm = 1,092 m. 34 40 Gasoil (en litres) 5 La longueur réelle de la puce est 2 cm. Longueur sur le plan (en cm) 39 17,1 : 3 = 39,9 : 7 = 62,7 : 11 = 5,7 Ce tableau est un tableau de proportionnalité et son coefficient est 5,7. 480 160 120 40 4 = = = = 360 120 90 30 3 Ce tableau est donc un tableau de proportionnalité. 4 2) Le coefficient de proportionnalité est . 3 1) Largueur sur le plan (en cm) 1) a) On multiplie le nombre de battements par 4 puisqu’il y a 4 × 15 secondes dans une minute. b) On considère que le nombre de battements de cœur est proportionnel aux secondes (en tout cas pendant une minute). 2) Contrairement à la question précédente, on ne peut pas considérer qu’il y a proportionnalité entre le rythme cardiaque et la durée pendant une journée car il y a des moments de repos et d’autres de dépenses physiques. 48 : 4 = 12 ; 84 : 7 = 12 ; 142 : 12 艐 11,8 Donc, ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité. 30 Longueur sur le plan (en cm) 1) La masse d’oranges n’est pas proportionnelle au nombre d’oranges car elles ne sont pas toutes identiques. 2) La masse des pièces est proportionnelle à leur nombre car elles sont toutes identiques. 1) L’échelle de cette photographie est donc : 1 = 50. 0,02 2) 5,5 cm : 50 = 0,11 cm = 1,1 mm La longueur réelle de cette cellule est 1,1 mm et la largeur 0,2 mm. 35 La masse d’une personne n’est proportionnelle ni à son âge ni à sa taille. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Prix (en €) 1,3 2,5 1,3 ¥ 3 : 2,5 = 1,56 3 1,3 kg de carottes coûtent 1,56 €. 44 Poivrons (en kg) Prix (en €) 3 3 ¥ 5,1 : 7,2 = 2,125 7,2 5,1 2,125 kg de poivrons coûtent 5,10 €. 45 Distance (en km) 200 160 7 ¥ 200 : 14 = 100 9,1 ¥ 200 : 14 = 130 Essence (en L) 14 160 ¥ 14 : 200 = 11,2 7 9,1 Chap. 7 - Proportionnalité 69 La proportion de calories est la plus élevée dans le vin rouge. 46 Nombres de tours Distance (en km) 77,602 ¥ 56 : 310,408 = 14 77,602 33 33 ¥ 310,408 : 56 = 182,919 232,806 ¥ 56 : 310,408 = 42 232,806 56 310,408 47 a) Il s’agit de diviser par 10. b) Il s’agit de diviser par 100. c) Il s’agit de diviser par 2. d) Il s’agit de diviser par 4. 90 × 86 500 km2 = 77 850 km2 100 La forêt occupe 77 850 km2 de la Guyane. 48 16 4 = . 1) Proportion de réussite de Guénolé : 28 7 12 4 Proportion de réussite de Lillian : = . 21 7 2) Les deux joueurs ont réussi leurs tirs avec le même taux de réussite. 56 75 × 6 kg = 4,5 kg a) 100 On compte 4,5 kg d’eau dans le corps de ce bébé. 65 b) × 70 kg = 45,5 kg 100 On compte 45,5 kg d’eau dans le corps de cet adulte. 49 57 50 Longueurs sur la carte (en m) Longueurs réelles (en m) Nombre de tirs réussis : 113. 116 113 Pourcentages 100 113 × 100 : 116 Le pourcentage de tirs réussis est d’environ 97,4 % ; donc supérieur à 97 %. Effectif total du club : 125 sportifs. Sportifs 125 Pourcentages 100 a) b) c) d) 28 42 35 20 Pourcentage de poussins : 28 × 100 : 125 = 22,4 %. Pourcentage de benjamins : 42 × 100 : 125 = 33,6 %. Pourcentage de minimes : 35 × 100 : 125 = 28 %. Pourcentage de cadets : 20 × 100 : 125 = 16 %. 53 1) Nombre total de véhicules au départ : 362. Nombre de véhicules 362 Pourcentages 100 134 151 25 52 Pourcentage de voitures : 134 × 100 : 362 艐 37 %. Pourcentage de motos : 151 × 100 : 362 艐 41,7 %. Pourcentage de quads : 25 × 100 : 362 艐 6,9 %. Pourcentage de camions : 52 × 100 : 362 艐 14,4 %. 2) Distances (en km) 684 251 Pourcentages 100 251 × 100 : 684 Le pourcentage de « spéciale » sur cette étape est d’environ 36,7 %. 54 Proportion de calories dans le vin rouge : 74 艐 0,72. 103 146 Proportion de calories dans la bière : 艐 0,41. 355 70 1 0,016 1 × 25 000 : 0,016 = 1 526 500 25 000 1 . 1 526 500 2) a) La distance sur la carte entre Saint-Paul et SaintDenis est de 1,6 cm, ce qui représente 25 km dans la réalité. b) La distance sur la carte entre Saint-Paul et Saint-Pierre est de 3,2 cm (1,6 cm × 2), ce qui représente 25 km × 2 dans la réalité : 50 km. 3) Utilisons pour cette question l’échelle obtenue à la question 1) L’échelle de cette carte est de Nombre de tirs 52 1) On remarque sur la carte que 1,6 cm représente 25 km. 2,8 × 4 500 € = 126 € 1) 100 Les intérêts annuels s’élèvent à 126 €. 2) 4 500 € + 126 € = 4 626 € On dispose donc de 4 626 € au bout d’un an. 51 12 . 1) Proportion des filles en 5e A : 20 16 e Proportion des filles en 5 B : . 25 2) On met ces deux fractions au dénominateur 100 ; ce qui va en faire des pourcentages : 60 proportion des filles en 5e A : 12 × 5 = . 20 × 5 100 64 proportion des filles en 5e B : 16 × 4 = . 100 25 × 4 e C’est donc en 5 B que la proportion des filles est la plus élevée. 3) Conséquence directe : c’est en 5e A que la proportion des garçons est la plus élevée. 55 Longueurs sur la carte (en m) Longueurs réelles (en m) 1 1 × 700 000 : 1 526 500 1 526 500 700 000 Cette distance serait représentée par 0,46 m environ (46 cm). 58 a) On remarque que la longueur de cette phalange est de 0,8 cm sur la photographie. Longueurs sur la photographie (en cm) Longueurs réelles (en cm) 1 0,8 1 × 2,4 : 0,8 = 3 2,4 1 . 3 b) Diamètre de la bague sur la photographie : 0,8 cm comme la phalange du pouce. Donc, le diamètre réel de cette bague est 2,4 cm comme la phalange du pouce. c) Longueur de l’auriculaire sur la photographie : 4,4 cm environ. 1 Puisque l’échelle est de , il reste à multiplier cette lon3 gueur par 3 pour obtenir la longueur réelle : 4,4 cm × 3 = 13,2 cm (Cette longueur est la longueur de l’os qui correspond à l’auriculaire.) L’échelle de cette photographie est de © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. > Je fais fai s l e po p o int Les exercices 59 à 68 sont corrigés à la page 288 du manuel élève. 36 : 23 艐 1,565 2 et 39 : 25 = 1,56 Ce tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité. 69 6 × 300 personnes = 2 personnes 100 Deux personnes ont le pied carré. 2) a) Proportion des personnes qui ont le pied égyptien : 183 . 300 61 On simplifie cette fraction par 3 et on obtient : . 100 Le pourcentage de personnes qui ont le pied égyptien est donc de 61 %. b) 100 % – 6 % – 61 % = 33 % 33 % des personnes ont le pied grec. 70 1) 71 1) Longueur de ce pied sur le dessin : 6,4 cm. Largeur de ce pied sur le dessin : 2,2 cm. 1 Puisque l’échelle de ce pied est de , il suffit de multiplier 5 les mesures par 5 pour obtenir les dimensions réelles : longueur réelle du pied : 6,4 cm × 5 = 32 cm largeur réelle de ce pied : 2,2 cm × 5 = 11 cm. 2) Longueur sur le dessin (en cm) Longueur réelle (en cm) 1 6,4 1 × 24 : 6,4 = 3,75 24 Mesures sur le dessin (en cm) 6,4 2,2 2,2 × 20 : 6,4 = 6,875 20 La largeur réelle de ce pied serait alors de 6,875 cm. 72 Masse des 50 ml d’huile : 58 g – 12 g = 46 g Masse de l’huile (en g) 46 1 000 × 46 : 50 = 920 Quantité de l’huile (en mL) 50 1 000 La masse d’un litre d’huile est de 920 g. 73 1) Nombre de coccinelles Nombre de pucerons 1 5 150 750 15 25 2 250 3 750 2) a) Longueur de la coccinelle sur la photographie : environ 2,5 cm Longueur sur la photographie (en mm) 25 1 Longueur réelle (en mm) 2 1 × 2 : 25 = 0,08 1 = 12,5. 0,08 b) Longueur de la coccinelle sur la photographie : environ 2,5 cm. Échelle de cette photographie : Longueur sur la photographie (en mm) 25 1 Longueur réelle (en mm) 12 1 × 12 : 25 = 0,48 Échelle de cette photographie : Mesures de cette maquette (en cm) Mesures réelles (en cm) 1 40 1 . 0,48 74 1) 24 m : 3,20 m = 7,5 Un immeuble de la même hauteur que l’Airbus A380 aurait 7,5 étages. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 7 300 × 40 36,5 ¥ 2400 : 7 300 : 8 000 1 × 8000 8 000 : 40 7 300 2 400 1 . 200 Longueur de la maquette : 36,5 cm. Hauteur de la maquette : 12 cm. Échelle de cette maquette : 75 Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 76 1) Longueur sur la photographie de la tête au coccyx : environ 3,9 cm. La longueur réelle étant de 1,6 cm. Longueur sur la photographie (en cm) Longueur réelle (en cm) 1 . L’échelle de ce dessin est alors de 3,75 3) Mesures réelles (en cm) 1 , on divise alors chacune 2) Connaissant l’échelle de 43 des dimensions par 43. Envergure de la maquette, 80 m : 43 艐 1,86 m. Longueur de la maquette, 73 m : 43 艐 1,7 m. Hauteur de la maquette, 24 m : 43 艐 0,56 m. 3) On réalise un tableau unique pour toute cette question. 1 3,9 1 × 1,6 : 3,9 1,6 1 . L’échelle de cette photographie est d’environ 0,41 2) La taille d’un fœtus n’est pas proportionnelle à son âge. 77 1) a) La largeur sur la photographie est de 3,1 cm ; soit presque la moitié de la largeur réelle. 1 L’échelle de cette photographie est donc proche de 2 b) La hauteur réelle de l’oignon est donc proche du double de la hauteur sur la photographie. 3,4 cm × 2 = 6,8 cm. 2) a) La largeur sur la photographie reste à 3,1 cm ; soit presque le triple de la largeur réelle. L’échelle de cette photographie est alors proche de 3. b) La hauteur réelle est donc proche du tiers de la hauteur sur la photographie. 3,4 cm : 3 艐 1,13 cm. 78 1) Puisque 1 cm sur la photographie représente 1 = 5. 0,02 cm en réalité, alors l’échelle est de 0,02 2) a) b) Diamètre du noyau sur la photographie : 0,5 cm. Longueurs sur le dessin (en cm) Longueurs sur la photographie (en cm) 1 6 4,8 0,5 Diamètre du noyau sur le dessin : 6 × 0,5 : 4,8 = 0,625 cm. Échelle du dessin par rapport à la photographie : 1 = 1,25. 0,8 c) L’échelle du dessin par rapport à la cellule réelle est donc obtenue en multipliant les deux échelles : 5 × 1,25 = 6,25. 79 Le dessin étant à l’échelle, je peux mesurer sur la photo la distance Terre-Lune (15,2 cm) et en déduire la distance réelle, à condition de connaître l’échelle de la Chap. 7 - Proportionnalité 71 photo. On me donne la circonférence réelle de la Terre, je peux donc calculer son diamètre réel. ᏼ : π × D donc D = ᏼ : π D = 40 000 : π donc D 艐 12 732 km. Je peux mesurer le diamètre de la Terre sur le dessin : 0,5 cm. Connaissant pour une même longueur la longueur réelle et la longueur sur le dessin, je peux utiliser un tableau de proportionnalité. Longueur réelle (en km) 12 732 387 052 0,5 15,2 Longueur sur le dessin (en cm) La distance Terre-Lune est donc approximativement 387 052 km. Je vérifie sur Internet la distance réelle TerreLune = 384 402 km, ce qui est proche de mon résultat. 80 1) Notons x le salaire avant négociations. La première négociation augmente le salaire de départ x de 5 %. La deuxième négociation augmente le nouveau salaire de 5 %. Elle augmente donc (x + 5 %x) de 5 %. Elle augmente donc non seulement de nouveau de 5 % le salaire x de départ, mais elle augmente aussi de 5 % la première augmentation. Quand on fait deux augmentations successives de 5 %, on augmente donc de 10 % le salaire de départ et on ajoute 5 % de (5 % de x). Cette augmentation est donc préférable à une seule augmentation de 10 %. 2) Notons x le salaire de départ. Une première augmentation de 10 % augmente le salaire 10 × x. de 10 % de x soit 100 La deuxième augmentation de 10 % porte sur le nouveau 10 . salaire soit x + x × 100 La deuxième augmentation de salaire est donc : 10 x × 10 ) = 1 × (x + x ) = 1 × 11x × (x + 100 10 10 10 100 10 La nouvelle augmentation est donc 11x soit 11 % de x. 100 Au total, on a donc : 10 % de x + 11 % de x = 21 % de x. Deux augmentations successives de 10 % correspondent donc à une augmentation de 21 %. 81 1) 2,3 : 0,01 = 230 ; 3 : 0,02 = 150 Donc, la masse d’une pièce n’est pas proportionnelle à sa valeur en euro. 2) La hauteur de la pile est proportionnelle au nombre de pièces puisqu’on a empilé des pièces identiques. 82 1) a) Puisque toutes les pièces sont identiques, il y a proportionnalité entre la masse des pièces et leur valeur. Il suffit alors de diviser par la masse d’une de ces pièces pour obtenir le nombre de pièces identiques. b) Nombre de pièces de 1 € 4 173 ¥ 5000 : 19 500 = 1 070 5 000 Masse de pièces de 1 € (en g) 19500 2) Longueur sur l’image (en cm) Longueur réelle (en cm) 4 173 1 1,7 1 ¥ 2,3 : 1,7 2,3 1 . L’échelle de l’image est donc environ 1,35 20 × 175 = 35 100 Marina a récolté 35 pièces de 20 centimes, ce qui fait 7 euros. Marina a récolté 8,40 euros en pièces de 10 centimes. 83 72 175 – 35 – 84 = 56 Marina a récolté 56 pièces de 50 centimes, ce qui fait 28 euros. 7 € + 8,40 € + 28 € = 43,40 € Marina a récolté 43,40 euros. 84 1) a) b) 5 5 × 150 : 250 3 × 1000 : 150 250 150 1 000 Nombre de cuillères Lait reconstitué (en ml) Il faut 3 cuillères pour 150 mL de lait reconstitué. Il faut 20 cuillères pour 1 L de lait reconstitué. 2) Masse (en grammes) 25 0,2 Pourcentages 100 0,2 × 100 : 25 = 0,8 Le pourcentage de lipides dans ce lait est de 0,8 %. 3) Calculons le pourcentage de glucides dans ce lait : Masse (en grammes) 25 13 Pourcentages 100 13 × 100 : 25 = 52 Le pourcentage de glucides dans ce lait est de 52 %. Le pourcentage de protides dans ce lait est de 36 % d’après l’énoncé. 85 On constate que 150 km sont représentés par 3 cm sur cette carte. On construit alors un même tableau pour les trois questions. Longueurs sur la carte (en m) 0,03 1 0,055 Longueurs réelles (en m) 150 000 516 000 1) Échelle de cette carte : 1/5 000 000. 2) Distance réelle entre Lille et Metz : 275 km. 3) Distance sur la carte entre Brest et Bordeaux : 10,32 cm. 86 C a) Au prix TTC du savon. b) = B2 + B3 88 b) a) 1 h = 3 600 s et 45 km = 45 000 m. Durée (en s) Distance parcourue (en m) 3 600 2 45 000 25 c) 25 m. 89 Vitesse (en km/h) 45 50 90 110 130 Distance de réaction (en m) 25 28 50 61 72 13 16 艐 0,288 = 0,32 45 50 Les quotients sont différents. Le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité. 2) 90 1) Vitesse (en km/h) 45 50 90 110 130 Distance de freinage (en m) sur route sèche 13 16 52 78 109 Augmentation de 40 % (en m) 5,2 6,4 20,8 31,2 43,6 Distance sur route mouillée (en m) 18,2 24,4 72,8 109,2 152,6 × 0,4 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 91 1) Distance d’arrêt par temps sec : a) à 45 km/h, DA = DR + DF = 25 m + 13 m = 38 m b) à 130 km/h, DA = 72 m + 109 m = 181 m © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 2) a) « Quand on passe de 45 km/h à 130 km/h, la distance d’arrêt passe de 38 m à 181 m. » b) De 45 km/h à 130 km/h, la distance d’arrêt est environ multipliée par 5. 38 m × 5 = 190 m. Chap. 7 - Proportionnalité 73 Chapitre 8 > P r ogramme o gramme Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. > CONNAISSANCES : ● ● ● ● > CONNAISSANCES : Représentation et traitement de données Effectifs *Fréquences Classes ● ● ● Représentation et traitement de données Tableau de données, représentations graphiques de données. [Thèmes de convergence] CAPACITÉS CAPACITÉS ● Lire et interpréter des informations à partir d’un tableau ou d’une représentation graphique (diagrammes divers, histogramme). ● Présenter des données sous la forme d’un tableau, les représenter sous la forme d’un diagramme ou d’un histogramme (dans ce cas les classes sont toujours de même amplitude). Calculer des effectifs, ● *Calculer des fréquences. ● Regrouper des données en classes d’égale amplitude. ● ■ Commentaires Les élèves sont entraînés à lire, interpréter et représenter des données en utilisant un vocabulaire adéquat dans des contextes qui leur sont familiers. Le calcul d’effectifs cumulés n’est pas un attendu. *Les écritures 4/10, 2/5, 0,4, 40 % sont utilisées pour désigner une fréquence : elles permettent d’insister sur les diverses représentations d’un même nombre. ■ Commentaires Le choix de la représentation est lié à la nature de la situation étudiée. L’utilisation d’un tableur permet d’enrichir ce travail en le prolongeant à des situations plus complexes que celles qui peuvent être traitées « à la main ». Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Extraire d’un document papier, d’un fait observé, les informations utiles. – Utiliser un tableur. – Faire un tableau, faire un graphique. – Proposer une représentation adaptée (schéma, graphique, tableau, figure…). – Lire, utiliser, interpréter des données présentées sous forme de tableaux, de graphiques. – Effectuer, à la main ou avec un tableur-grapheur, des traitements de données. – Utiliser un tableur-grapheur pour : ● présenter des données ; ● calculer des effectifs, des fréquences, des moyennes ; ● créer un graphique ou un diagramme. Programme de la classe de Sixième > CONNAISSANCES : ● ● ■ Commentaires Organisation et représentation de données Représentations usuelles : tableaux Il s’agit d’un premier pas vers la capacité à recueillir des données et à les présenter sous forme de tableau. CAPACITÉS > CONNAISSANCES : Lire, utiliser et interpréter des données à partir d’un tableau. ● Lire, interpréter et compléter un tableau à double entrée. ● *Organiser des données en choisissant un mode de présentation adapté : – tableaux en deux ou plusieurs colonnes ; – tableaux à double entrée. ● 74 Organisation et représentation de données Représentations usuelles : – diagrammes en bâtons, – *diagrammes circulaires ou demi-circulaires, – graphiques cartésiens. ● ● CAPACITÉS Lire, utiliser et interpréter des informations à partir d’une représentation graphique simple. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. ■ Commentaires La capacité visée concerne l’aptitude à faire une interprétation globale et qualitative de la représentation étudiée (évolution d’une grandeur en fonction d’une autre). Dès la classe de Sixième, l’utilisation de calculatrices et de logiciels permet de familiariser les élèves avec le passage d’un type d’organisation, d’un type de présentation à un autre. Programme de la classe de Quatrième > CONNAISSANCES : ● ● ● Traitement des données Moyennes pondérées [Thèmes de convergence] CAPACITÉS Calculer la moyenne d’une série de données. Créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule. ● Créer un graphique à partir des données d’une feuille de calcul. ● ● ■ Commentaires Les élèves sont confrontés à des situations familières où deux procédés de calcul différents de la moyenne sont mis en œuvre : – somme des n données divisée par n ; – moyenne pondérée des valeurs par leurs effectifs. Les élèves doivent savoir calculer, pour de petits effectifs, une moyenne par la procédure de leur choix. Pour des effectifs plus grands, cette procédure est basée sur l’usage du tableur ou de la calculatrice. Commen taires des auteurs Commentaires ➜ Dans les classes antérieures, les élèves ont appris à lire et interpréter des données représentées sous différentes formes. En ce qui concerne la représentation des données, ils ont appris en Sixième à construire des tableaux. ➜ En Cinquième, l’élève doit apprendre à représenter des données (quantitatives ou qualitatives) à l’aide de diagrammes ou de graphiques. > ➜ La répartition en classe doit être étudiée dans le cas où le nombre de données est très grand. ➜ La notion de fréquence est définie et permet de comparer, par exemple, un même caractère dans deux populations différentes. A cti Ac tiv v ités i tés ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O M M E NTAI R E S : Cette activité permet de revoir la C ORRIGÉ lecture et l’interprétation d’un diagramme. On peut remarquer que l’énergie hydraulique est une énergie renouvelable. 1) Ce diagramme est un diagramme circulaire. 2) Les éoliennes font partie des énergies renouvelables. 3) L’électricité produite en 2004 provient en grande partie 2 des énergies fossiles ( environ). 3 La part des énergies renouvelables non hydrauliques est encore faible. 1 JE CALCULE DES EFFECTIFS ET DES FRÉQUENCES Objectifs ● ● Étudier une série de nombres. Introduire le vocabulaire. Prérequis Tableau à double entrée. Paragraphe introduit ! Étude d’une série de nombres ■ C O M M E NTAI R E S : Dans cette activité, le vocabulaire des statistiques est introduit à partir d’un cas quantitatif discret. CORRI G É 1) Cette série statistique comporte 25 données. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 2) 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5. 3) 7 élèves de la classe ont un seul frère ou sœur. 4) Nombre de frères ou sœurs 0 1 2 3 4 5 Effectif 4 7 6 5 2 1 Fréquence 16 % 28 % 24 % 20 % 8 % 4% 5) 4 + 7 + 6 + 5 + 2 + 1 = 25. On retrouve l’effectif total. 7 = 0,28 6) a) 25 28 = 28 %. La fréquence de la valeur 1 est b) 0,28 = 100 28 %. Chap. 8 - Représentation et traitement de données 75 2 JE RÉPARTIS DES DONNÉES EN CLASSES 2) a) Objectif Étudier une répartition en classes. Prérequis Diagramme en bâtons. Paragraphe introduit Temps de jeu 0 et 12 12 et 24 24 et 36 en min entre (12 exclu) (24 exclu) (36 exclu) @ Répartition en classes d’une série de nombres Effectif ■ COM MENTAI RES : Dans cette activité, la nécessité de répartir en classes apparaît à cause du nombre important de valeurs prises par le caractère. CORRIG É 5 4 7 36 et 48 4 b) 24 – 12 = 12 ; 36 – 24 = 12 ; 48 – 36 = 12. Toutes les classes ont la même amplitude. c) 5 joueurs ont eu un temps de jeu compris entre 0 min et 12 min (12 min exclu). d) 24 minutes appartient à la classe « 24 et 36 (36 exclu) ». 1) Les valeurs prises par le caractère sont trop nombreuses : un diagramme en bâtons serait peu interprétable. 3 JE CONSTRUIS UN DIAGRAMME EN TUYAUX D’ORGUE Objectif Représenter plusieurs séries statistiques par un diagramme en tuyaux d’orgue. Prérequis Paragraphe introduit – # Étude d’une série non numérique ■ COM MENTAI RES : Dans cette activité, on étudie un cas qualitatif. C ORRIGÉ 1) a) La hauteur du premier rectangle bleu correspond aux 360 milliers de voitures particulières vendues par Peugeot en 2006. b) La hauteur du rectangle rouge correspond aux 350 milliers de voitures particulières vendues par Peugeot en 2007. c) La hauteur du rectangle vert correspond aux 340 milliers de voitures particulières vendues par Peugeot en 2008. d) La hauteur du deuxième rectangle bleu correspond aux 260 milliers de voitures particulières vendues par Citroën en 2006. Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site 2) www.phare-prof.hachette-education.com 4 JE CONSTRUIS UN DIAGRAMME CIRCULAIRE Objectif Prérequis Paragraphe introduit Représenter une série statistique par un diagramme circulaire. – # Étude d’une série non numérique ■ COM MENTAI RES : Dans cette activité, on étudie un cas qualitatif. C ORRIGÉ 1) a) Langue Anglais Allemand Espagnol Italien Total Effectif 30 22 83 15 150 Angle (en °) 72 52,8 199,2 36 360 b) On doit marquer 360 dans la colonne total, car la mesure d’un angle plein est 360°. 30 × 360 = 72. La mesure de l’angle du secteur bleu c) 150 est 72°. Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site 3) www.phare-prof.hachette-education.com > 1 E x erc er c ic ice es 1) a) la population étudiée : les élèves d’une classe de Cinquième. b) L’effectif total : 25. 2) a) le caractère étudié : le temps qu’ils consacrent au petit déjeuner lors des jours de classe. b) Il y a 5 valeurs pour ce caractère. 3) 23 élèves déjeunent le matin. 4) 17 élèves (12 + 4 + 1 = 17) de cette classe consacrent au moins 10 minutes à leur petit déjeuner. Donc, plus de la moitié des élèves de cette classe consacre au moins 10 minutes à leur petit déjeuner. 76 2 1) a) La fréquence en pourcentage de la valeur 0 : 8 2 = 0,08. = 25 100 b) 8 % des élèves de cette classe ne prennent pas de petit déjeuner. 2) a) La fréquence en pourcentage de la valeur 10 : 48 12 = 0,48. = 25 100 b) Presque la moitié de la classe (48 %) prend son petit déjeuner en 10 minutes. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 3 1) Ce document est un diagramme en tuyaux d’orgue. 2) Effectif total : 23. Il correspond au nombre d’élèves qui prennent un petit déjeuner. 3) La plupart des élèves prennent leur petit déjeuner seul devant la télé. Plus de la moitié des élèves qui déjeunent le font seul. 4 1) a) Ce document est un histogramme. b) L’amplitude de chaque classe : 30 minutes. 2) 12 élèves sur 23 déjeunent entre 7 h et 7 h 30. Donc, plus de la moitié des élèves qui déjeunent le font entre 7 h et 7 h 30. 3) Très peu d’élèves déjeunent avant 6 h 30 et après 7 h 30. La plupart des élèves déjeunent entre 6 h 30 et 7 h 30. 5 1) a) Le document 1 est un diagramme circulaire. b) Le document 2 est un diagramme en bandes. 2) Il est vrai que plus de la moitié des boissons bues sont à base de lait : le secteur bleu représente plus de la moitié du disque. 3) Les boissons les plus bues sont à base de lait. Celles à base de fruits représentent un quart environ des boissons bues. Les céréales et les tartines sont les aliments les plus consommés : ils représentent à eux deux plus des trois quarts des aliments consommés pendant le petit déjeuner. 6 Pour les angles : Bovins : 18 906 × 360° : 42 405 = 161° Porcins : 15 005 × 360° : 42 405 = 127° Ovins : 8 494 × 360° : 42 405 = 72° 2) Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 12 Sorties culturelles Pourcentage Angle Musée / Exposition 26 % 94° Concert /Spectacle musical 37 % 133° Théâtre / Café-théâtre 14 % 50° Autre (cirque, son et lumière...) 23 % 83° Total 100 % 360° Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 13 Âges Tableau d’effectifs qui représente cette série statis- tique. Chiffre lu Effectif 7 1 4 2 8 3 6 4 2 5 12 6 16 35 30-40 ans (40 exclu) 29 40-50 ans (50 exclu) 17 50-60 ans (60 exclu) 10 60-70 ans (70 exclu) 9 Total Total 48 100 Histogramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Tableau d’effectifs qui représente cette série statis- tique. Véhicules observés Effectif voiture 13 vélo 9 bus 6 moto Total 6 34 8 Tableau d’effectifs et de fréquences qui représente cette série statistique. Âges Effectif Fréquence 12 7 0,28 13 13 0,52 14 4 0,16 15 1 0,04 Total 25 1 9 Tableau d’effectifs de ces masses regroupées en classes d’amplitude 10 kg. Masses (en kg) Effectif 70-80 (80 exclu) 2 80-90 (90 exclu) 2 90-100 100-110 (100 (110 exclu) exclu) 9 4 Total 17 10 Battements (par min) Effectif Fréquence 11 Effectifs 20-30 ans (30 exclu) 70 à 79 11 0,275 80 à 89 10 0,25 90 à 99 10 0,25 100 à 109 9 0,225 Total 40 1 1) Bovins Porcins Ovins Total Effectif (en milliers de têtes) 18 906 15 005 8 494 42 405 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Angle (en degrés) 161° 127° 72° 360° 14 1) DOM Population Longueur Guadeloupe 405 500 3,3 cm Guyane 221 500 1,8 cm Martinique 402 000 3,3 cm Réunion 802 000 6,6 cm 1 831 000 15 cm Total 2) Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 15 1) a) En 2004, la production de céréales a été la plus importante. b) 71 millions de tonnes de céréales ont été produites. 2) a) En 2003, la production de céréales a été la plus basse. b) 55 millions de tonnes de céréales ont été produites. 3) Évolution de la production de céréales en France de 2001 à 2006 : elle est passée de 61 millions de tonnes à 63 millions de tonnes avec deux « pics », l’un en 2002 et l’autre en 2004. 16 1) Les entreprises artisanales dont le nombre est 422 143 n’ont pas de salariés. L’artisan est seul. 2) En France, en 2007, nombre d’entreprises artisanales : a) de 1 salarié : 127 393 b) d’au moins 16 salariés : 8 591 + 14 736 = 23 327. c) d’au plus 10 salariés : 422 143 + 127 393 + 149 881 + 74 276 + 76 330 = 850 023 3) En France, en 2007, il y avait 896 477 entreprises artisanales au total. Chap. 8 - Représentation et traitement de données 77 2) 17 Pointure Effectif Fréquence 37 6 0,15 38 8 0,2 39 20 0,5 40 4 0,1 41 2 0,05 Total 40 1 18 Nombre (en milliers) 23 2) Le nombre de films long métrage de production française est plus important que celui de production étrangère. Ce nombre a presque doublé de 1990 à 2008. Il a subi une légère baisse en 1994. Le nombre de films long métrage de production étrangère est de l’ordre d’une trentaine et varie peu. Fréquence ( en %) 897 516 26,8 Afrique 274 068 8,2 Amérique 656 918 19,6 1 497 254 44,6 Océanie Total 27 011 0,8 3 352 767 100 19 Nombre de grands prix disputés 1 à 50 51 à 100 101 à 150 151 à 200 201 à 250 251 à 300 Total Effectif 12 3 3 3 2 1 24 21 24 1) Sans étoile > 38 Effectif en milliers 1 étoile 1,4 2 étoiles 9,3 3 étoiles 3,9 4 étoiles et luxe 0,9 Total 17,5 Je f fai ai s l e p o int 25 26 Pays Nombre Angle Chine 51 63° États-Unis 36 45° Russie 23 29° Royaume-Uni 19 23° Allemagne 16 20° Total 145 180° Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 27 2 et Diagrammes disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Histogramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 22 1) Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Europe Asie Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1) Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Lors d’une activité physique, le débit sanguin augmente fortement dans les muscles. Il reste inchangé dans le cerveau et augmente légèrement dans le cœur et au niveau de la peau. Par contre, il diminue dans les autres organes et au niveau des reins. Les exercices 28 à 37 sont corrigés à la page 289 du manuel élève. 1) 40 1) Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) 20 % de ces emplois ne concernent pas la fabrication. En effet, 20 % de 50 500 est égal à 10 100. 2) Presque la moitié des sites classés ont une superficie de moins de 10 ha. Un quart des sites ont une superficie de plus de 50 ha. 39 1) Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) La plupart des déchets dangereux ont pour origine l’industrie et la construction (plus des trois quarts des déchets produits). 78 41 1) Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) La production d’éthanol est restée sensiblement la même de 2005 à 2008 en Espagne. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Elle a sensiblement augmenté dans cette même période en Allemagne. Elle a beaucoup augmenté en France : elle est passé d’environ 140 millions de litres à 950 millions de litres. 42 et 43 Diagrammes disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 44 Superficie Forêts 14 881 Surfaces boisées hors forêts 2 104 Total 16 985 Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 45 1) Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Cette affirmation de Teihotu est fausse. En effet c’est le nombre de communes où ont été vus les loups qui a augmenté et non le nombre de loups. 46 47 49 • En supposant qu’un quart représente 84 élèves, on a alors : 84 × 4 = 336. 336 élèves ont été interrogés. • En supposant qu’un quart représente 132 élèves, on a alors : 132 × 4 = 528. 528 élèves ont été interrogés. • En supposant qu’un quart ne représente ni les 132 élèves, ni les 84. On a alors : 132 + 84 = 216. 3 216 élèves représentent les des élèves interrogés. 4 216 × 4 = 864 et 864 : 3 = 288. 288 élèves ont été interrogés. 50 1) a) La population étudiée est un groupe de nouveau-nés. b) Le caractère étudié est la taille des nouveau-nés. c) Les valeurs prises par le caractère sont : 47 ; 48 ; 49 ; 50 ; 51 ; 52 ; 53. d) Cette série comporte 20 données. 2) Taille (en cm) 47 48 49 50 51 52 53 Effectif 1 3 2 6 4 3 1 0,1 0,3 0,2 Fréquence Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 3) 0,05 0,15 0,15 0,05 Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1) a) b) Diagrammes disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com c) L’eau potable vient pour environ 40 % des eaux souterraines, alors que les eaux utilisées dans l’industrie proviennent pour environ 40 % des eaux superficielles. 2) a) b) Diagrammes disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com c) Commenter ces deux diagrammes : plus de la moitié des eaux superficielles est utilisée comme eau potable. Plus des trois quarts des eaux souterraines sont utilisés comme eau potable. 3) a) Un peu plus de 75 % des eaux souterraines sont utilisées comme eau potable. Plus des trois quarts de la deuxième bande sont coloriés en bleu. 3 633 : (3 633 + 1 123) est environ égal à 0,76. b) Environ 61 % des eaux utilisées dans l’industrie proviennent des eaux superficielles. 1 738 : (1 738 + 1 123) est environ égale à 0,61. 48 Mesure de l’angle du secteur violet : (40 × 360) : 100 = 144. L’angle violet mesure environ 144°. Mesure de l’angle du secteur bleu ou du secteur jaune : 360° – (90° + 144°) = 126° 126° : 2 = 63°. Mesure des secteurs 63° 63° 144° 90° 360° Nombre d’élèves 42 42 96 60 240 240 élèves ont participé au sondage. 42 élèves préfèrent lire des nouvelles ou du théâtre. 96 élèves préfèrent les romans. 60 élèves préfèrent les bandes dessinées. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 51 Établissement Nombre (en milliers) Angle (en °) École primaire 6 644 162 Collège 3 089 75 Lycée 2 377 58 436 11 Centres de formation des apprentis Enseignement supérieur 2 232 54 Total 14 778 360 Diagramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 52 1) a) La population étudiée est un groupe garçons âgés de 10 ans. b) Le caractère étudié est la performance de chacun d’eux en centimètre. c) Les valeurs prises par le caractère sont : 251 ; 260 ; 285 ; 300 ; 322 ; 323 ; 325 ; 332 ; 352 ; 358 ; 360 ; 368 ; 372 ; 373 ; 380 ; 402 ; 405 et 408. d) L’effectif total est 20. 2) a) On regroupe ces données en classe car les valeurs prises par le caractère sont trop nombreuses. b) Performance (en cm) Effectif Fréquence 220-260 260-300 300-340 340-380 380-420 (260 (300 (340 (380 (420 exclu) exclu) exclu) exclu) exclu) 1 3 5 7 4 0,05 0,15 0,25 0,35 0,2 Chap. 8 - Représentation et traitement de données 79 3) a) 35 % des garçons ont sauté entre 3,40 m et 3,79 m. 45 . b) 0,05 + 0,15 + 0,25 = 0,45 = 100 45 % des garçons ont sauté moins de 3,40 m. 4) a) Histogramme disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) La classe qui a le plus grand effectif est la classe 340 – 380, 380 exclu. 53 4) a) Le département le plus peuplé est le Rhône. On trouve 28 % des habitants de la région dans ce département. b) Le département le moins peuplé est l’Ardèche. On trouve 5 % des habitants de la région dans ce département. 54 2) a) Le nombre d’habitants du Rhône est plus du double du nombre d’habitants de la Loire. b) Environ 20 % des habitants de la région habitent en Savoie et Haute-Savoie. 55 1) Le diagramme représenté est un diagramme en bâtons. 2) Pour les piétons, la catégorie d’âge qui compte le plus de victimes est 11 ans. 80 3) a) À l’âge de 13 ans, les catégories d’usagers rangées dans l’ordre croissant du nombre de leurs victimes : cyclomotoristes, cyclistes et piétons. b) Ce classement n’est pas identique à l’âge de 14 ans. Car, à 14 ans la principale cause d’accidents est le cyclomoteur. C’est l’âge auquel un adolescent peut prétendre en conduire. 4) a) Le nombre de victimes parmi les cyclomotoristes est quasi inexistant jusqu’à l’âge de 13 ans. Il augmente fortement jusqu’à 17 ans, puis diminue. b) 24 ans, 23 ans, 22 ans, 14 ans, 21 ans, 19 ans, 15 ans, 18 ans, 16 ans, 17 ans. 56 1) 2) Diagrammes disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) À 13 ans, la proportion de victimes chez les piétons est la plus importante suivie de la proportion de cyclistes et d’usagers de voitures. À 18 ans, la proportion de victimes chez les cyclomotoristes est la plus importante suivie de la proportion d’usagers de voitures. Très peu de cyclistes sont victimes à cet âge-là. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 9 > P ro gra gr amm mme e Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. > CONNAISSANCES : Symétrie axiale [Reprise du programme de 6e] Construire le symétrique, d’une demi-droite. Construire ou compléter à l’aide des instruments usuels la figure symétrique d’une figure donnée. ● ● CAPACITÉS ■ Commentaires Construire le symétrique d’une droite. ● Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie d’un segment est mis en évidence. Comme en classe de Sixième, un travail expérimental permet d’obtenir un inventaire abondant de figures simples. Les propriétés invariantes dans une symétrie centrale sont ainsi progressivement dégagées et comparées avec les propriétés invariantes dans une symétrie axiale. Ces travaux conduisent à : – l’énoncé et l’utilisation de propriétés caractéristiques du parallélogramme ; – la caractérisation angulaire du parallélisme et son utilisation. ● > CONNAISSANCES : Symétrie centrale CAPACITÉS Construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite, d’un cercle. ● Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Effectuer des constructions simples en utilisant : ● des outils (instruments de dessin, logiciels) ; ● des définitions, des propriétés (en acte et sans nécessité d’indiquer ou de justifier la méthode choisie). – Utiliser les propriétés d’une figure et les théorèmes de géométrie pour traiter une situation simple. – Raisonner logiquement, pratiquer la déduction, démontrer. Programme de la classe de Sixième > CONNAISSANCES : Symétrie orthogonale par rapport ■ Commentaires à une droite (symétrie axiale) L’élève peut utiliser la méthode de son choix. Dans la continuité du travail entrepris à l’école élémentaire, les activités s’appuient encore sur un travail expérimental (pliage, papier calque) permettant d’obtenir un inventaire abondant de figures simples, à partir desquelles sont dégagées les propriétés de « conservation » de la symétrie axiale (conservation des distances, de l’alignement, des angles et des aires). CAPACITÉS Construire le symétrique d’un point, d’une droite, d’un segment, d’un cercle (que l’axe de symétrie coupe ou non la figure). ● Construire ou compléter la figure symétrique d’une figure donnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l’aide de la règle (graduée ou non), de l’équerre, du compas, *du rapporteur. ● Effectuer les tracés de l’image d’une figure par symétrie axiale à l’aide des instruments usuels (règle, équerre, compas). ● > CONNAISSANCES : *Médiatrice d’un segment CAPACITÉS *Connaître et utiliser la définition de la médiatrice. Utiliser différentes méthodes pour tracer la médiatrice d’un segment. ● ● Programme de la classe de Quatrième La symétrie axiale et la symétrie centrale sont considérées comme des acquis des classes précédentes. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Chap. 9 - Symétries 81 Commen taire s des au Commentaires auteurs teu rs ➜ Ce chapitre permet, d’une part, de revoir la définition et les propriétés de la symétrie axiale et, d’autre part, de définir la symétrie centrale et découvrir ses propriétés. La symétrie centrale est présentée comme la transformation qui réalise un demi-tour autour d’un point donné. ➜ Chaque propriété de conservation de la symétrie centrale est mise en évidence et est l’occasion de rappeler une des propriétés de conservation de la symétrie axiale. On insiste sur le fait que « le symétrique > d’une droite est une droite parallèle » n’est vraie que pour la symétrie centrale. ➜ Les élèves, dès le primaire, savent déterminer les axes de symétrie d’une figure. On définit dans ce chapitre le centre de symétrie. Son unicité n’est pas prouvée. ➜ Dans notre progression, ce chapitre est le premier chapitre de géométrie. Les propriétés de la symétrie centrale seront utilisées pour démontrer des propriétés d’autres chapitres. A c tiv ti v ités ité s ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ COM MENTAI RES : C ORRIGÉ Cette activité permet de découvrir la composée de deux symétries axiales d’axes perpendiculaires. À l’aide d’un papier-calque et d’un compas, on amène à faire découvrir à l’élève que les deux figures se superposent par demi-tour autour du point O. 1) 2) 1 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) En faisant tourner le papier-calque d’un demi-tour autour du point O, on remarque que la figure tracée sur papier-calque et la figure initiale se superposent. JE CONSTRUIS LE SYMÉTRIQUE D’UNE DROITE PAR RAPPORT À UNE DROITE Objectif Prérequis Paragraphes introduits Construire le symétrique d’une droite par rapport à une droite. Construire le symétrique d’un point par rapport à une droite. ● Conservation de l’alignement dans une symétrie axiale. ● ! Symétrie axiale # Propriétés de la symétrie centrale b) Symétrique d’une droite, d’une demi-droite ■ COM MENTAI RES : Le symétrique d’une droite par rapport à une droite est une reprise du programme de Sixième. Cette compétence fait partie alors du socle commun des compétences. Cette activité non seulement rappelle que le symétrique d’une droite est une droite en général non parallèle, mais aussi amène l’élève à construire le symétrique de points par rapport à une droite. JE REVOIS C ORRIGÉ 1) 2) 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 4) Le symétrique du point A par rapport à la droite (d) est le point E. Le symétrique du point B par rapport à la droite (d) est le point F. Le symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite (d) est la droite qui passe par les symétriques des points A et B par rapport à la droite (d). C’est donc la droite (EF). 5) Le point O est le point d’intersection des droites (AB) et (d). Or, le symétrique d’un point de la droite (d) par rapport à la droite (d) est confondu avec lui-même. Donc, le symétrique du point O par rapport à la droite (d) est le point O. Donc, le point O appartient à la droite (EF). 6) a) b) c) Les droites (Δ) et (Δ’) semblent parallèles. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2 J’OBSERVE LE SYMÉTRIQUE D’UNE FIGURE PAR RAPPORT À UN POINT Objectifs Prérequis Paragraphe introduit 82 Définition de deux figures symétriques par rapport à un point. ● Établir la propriété « Le symétrique d’un point M par rapport à un point O est le point M’ tel que O est le milieu du segment [MM’]. ● ■ C OM M E NTAIRE S : Nous avons choisi de définir ce que sont deux figures symétriques par rapport à un point. De là, découle la propriété pour la construction du symétrique d’un point en faisant intervenir le milieu et les diverses propriétés de conservation. – # Propriétés de la symétrie centrale © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. CO RRI G É 1) 2) 3) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3 J’ÉTUDIE LE SYMÉTRIQUE D’UNE DROITE PAR RAPPORT À UN POINT Objectif Conjecturer que : – le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite ; – si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles. Prérequis Utilisation du logiciel Geogebra. Paragraphe introduit # Propriétés de la symétrie centrale b) Symétrique d’une droite, d’une demi-droite 4 b) On fait tourner le papier-calque d’un demi-tour autour m du point O, d’où AO A’ = 180°. On déduit que les points A, O et A’ sont alignés. De plus, AO = A’O. Donc, le point O est le milieu du segment [AA’]. 4) On peut vérifier que le point O est aussi le milieu de [BB’], [CC’] et [II’]. ■ C OM M E NTAIRE S : Cette activité permet de conjecturer d’une part que le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite et que, d’autre part, si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles. Le logiciel Geogebra permet de faire ces conjectures. C ORRIGÉ A 3) b) Lorsque le point D se déplace sur la droite (AB), son symétrique D’ se déplace sur une droite. c) Le symétrique de la droite (AB) par rapport au point C semble être une droite. B 4) « Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles. » JE DÉCOUVRE LE CENTRE DE SYMÉTRIE D’UNE FIGURE Objectif Prérequis Paragraphe introduit Donner la définition du centre de symétrie d’une figure. Axe de symétrie. Symétrique d’un segment par rapport à un point. ● C ORRIGÉ ● 1) 2) a) b) c) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com $ Centre de symétrie d’une figure ■ C O MMENTAI RE S : Cette activité permet de revoir ce qu’est un axe de symétrie d’une figure. Elle amène l’élève à découvrir le centre > de symétrie d’une figure, sans pour autant démontrer son unicité. Le symétrique de cette figure bleue par rapport au point I est la figure bleue elle-même. Le point I est un centre de symétrie de la figure bleue. 3) Les lettres H, I, N, O, S et Z ont un centre de symétrie. Ex e rc ic Exe i ces es 1 a) Les figures vertes ne sont pas symétriques par rapport à la droite (Δ). b) Les figures vertes sont symétriques par rapport à la droite (Δ). c) Les figures vertes sont symétriques par rapport à la droite (Δ). d) Les figures vertes ne sont pas symétriques par rapport à la droite (Δ). 2 a) Les figures violettes sont symétriques par rapport au point A. b) Les figures violettes ne sont pas symétriques par rapport au point A. c) Les figures violettes ne sont pas symétriques par rapport au point A. d) Les figures violettes sont symétriques par rapport au point A. 3 a) Les droites rouges sont symétriques par rapport à la droite (Δ). © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. b) Les droites rouges sont symétriques par rapport à la droite (Δ). c) Les droites rouges ne sont pas symétriques par rapport à la droite (Δ). d) Les droites rouges sont symétriques par rapport à la droite (Δ). 4 « Le symétrique du point A par rapport au point O est le point F. » « Les points B et E sont symétriques par rapport au point O. » « Le point O est le milieu des segments [AF], [CG] et [BE]. » 5 a) Le symétrique par rapport au point O du segment [AC] est le segment [GF]. lC b) Le symétrique par rapport au point O de l’angle BA l est l’angle EF G. c) Le symétrique par rapport au point O de la demi-droite [CB) est la demi-droite [GE). d) Le symétrique par rapport au point O de la droite (AG) est la droite (CF). Chap. 9 - Symétries 83 6 1) a) Le symétrique du point F par rapport au point D est E. b) Le symétrique du point F par rapport au point H est T. c) Le symétrique du point F par rapport au point F est F. d) Le symétrique du point F par rapport au point C est R. e) Le symétrique du point F par rapport au point I est P. 2) a) Le symétrique par rapport au point D de J est A. b) Le symétrique par rapport au point D de F est E. c) Le symétrique par rapport au point D de G est B. d) Le symétrique par rapport au point D de D est D. e) Le symétrique par rapport au point D de P est H. 7 Les points M et I sont symétriques par rapport au point F. 8 1) Le symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite (EF) est la droite (HJ). 2) Le symétrique de la droite (AB) par rapport au point D est la droite (GJ). 9 à 16 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 17 a) Les segments [BC] et [EG] sont symétriques par rapport au point M. Or, le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. Donc, BC = EG = 5 cm. l lC sont symétriques par rapport au b) Les angles EF G et BA point M. Or, deux angles symétriques par rapport à un point sont égaux. l lC = 90°. Donc, EF G = BA 22 Les points S et C sont symétriques par rapport au point H. Donc, le point H est le milieu du segment [SC]. Donc, SC = 2SH = 9 cm. 23 Le segment [MU] est le rayon du cercle de centre M. Les deux cercles sont symétriques par rapport au point H. Or, deux cercles symétriques par rapport à un point ont le même rayon. Donc, le cercle de centre M a pour rayon 3 cm. Donc, MU = 3 cm. 24 1) Les polygones RSTU et ABCD sont symétriques par rapport au point H. Or, le symétrique d’un polygone est un polygone de même périmètre et de même aire. Donc, le périmètre du polygone RSTU est égal au périmètre du polygone ABCD, soit 16,6 cm. 2) Les segments [RS] et [DC] sont symétriques par rapport au point H. Or, deux segments symétriques par rapport à un point sont parallèles et de même mesure. Donc RS = DC = 16,6 cm – 3,5 cm – 3 cm – 4,7 cm = 5,4 cm. 25 lR et BA lD sont symétriques 1) 2) Les angles TU par rapport au point H. lT et BC lD sont symétriques par rapport au Les angles RS point H. Or, le symétrique d’un angle par rapport à un point est un angle de même mesure. lD = TU lR = 115° ; Donc, BA lD = RS lT = 65°. BC 26 à Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 18 Les segments [PC] et [GU] sont symétriques par rapport au point O. Les segments [RC] et [GE] sont symétriques par rapport au point O. Les segments [AP] et [LU] sont symétriques par rapport au point O. Or, le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. Donc, RC = GE = 6 cm ; AP = UL = 3 cm ; PC = UG = 5 cm. 39 1) 2) 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 4) Le point H semble représenter un centre de symétrie pour le segment [EP]. 40 1) 2) 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 19 Les points P et U sont symétriques par rapport au point O. Donc, O est le milieu du segment [PU]. 20 lL et AP lC sont symétriques par rapLes angles GU port au point O. lL et AR lC sont symétriques par rapport au Les angles GE point O. Or, deux angles symétriques par rapport à un point sont égaux. lL = AP lC = 90° ; Donc, GU l l GE L = ARC = 30°. 21 Les droites (RA) et (LE) sont symétriques par rapport au point O. Or, le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle. Donc, les droites (RA) et (LE) sont parallèles. 84 38 4) Le point P semble être le symétrique du point R par rapport au point K. Le point P semble être le symétrique du point O par rapport au point J. 41 à 43 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 44 1) 2) 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 4) Les droites (d) et (d2) sont symétriques par rapport au point A. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Or, deux droites symétriques par symétrie centrale sont parallèles. Donc, les droites (d) et (d2) sont parallèles. 45 à la droite portée par ce segment et la médiatrice de ce segment. 49 47 à Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 48 51 1) 2) a) 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) b) Les axes de symétrie d’un segment sont au nombre de deux : > 62 Je fais fai s l e po p o int a) La croix basque ne possède pas d’axe de symétrie. La croix occitane possède quatre axes de symétrie. b) Ces deux croix possèdent chacune un centre de symétrie. Les exercices 52 à 61 sont corrigés à la page 289 du manuel élève. 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) a) Les points A, B et I sont alignés puisque le point I est le milieu du segment [AB]. Or, le symétrique d’un segment par symétrie centrale est un segment. Donc, les images des points A, B et I sont également alignées. Donc, les points A’, B’ et I’ sont alignés. b) Le point I est le milieu du segment [AB], donc AI = IB. Or, l’image d’un segment par la symétrie centrale est un segment parallèle et de même mesure. Donc, AI = A’I’ et IB = I’B’. Donc, A’I’ = I’B’. c) On a démontré à la question a) que les points A’,B’ et I’ sont alignés. On a démontré à la question b) que A’I’ = I’B’. Ceci prouve bien que le point I’ est le milieu du segment [A’B’]. d) Nous venons de démontrer que l’image du milieu d’un segment par la symétrie centrale est le milieu du segment symétrique du premier. 63 50 1) 2) Donc, le symétrique du segment [AB] est le segment [CD] et le symétrique du segment [AC] est le segment [BD]. De plus, les segments [AB] et [AC] mesurent tous les deux 4 cm. Or, le symétrique d’un segment par la symétrie centrale est un segment de la même mesure. Donc, AB = BD = DC = CA = 4 cm. Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même mesure est un losange. Donc, ABDC est un losange. 65 1) 2) 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 4) Le triangle vert est le symétrique du triangle ABC par symétrie axiale. Le triangle rouge est le symétrique du triangle ABC par symétrie centrale. Or, l’image d’un polygone par une symétrie centrale ou axiale est un polygone de même aire. Donc, les deux triangles rouge et vert sont de même aire que le triangle ABC ; ils ont donc la même aire. 66 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) La figure orange est composée de la figure de départ faite sur l’énoncé et de son image par la symétrie de centre C. Nous utilisons la propriété suivante : le symétrique d’un polygone par la symétrie centrale est un polygone de même périmètre. Donc, la figure de départ et son image sont de même périmètre. De plus, le symétrique d’un segment par la symétrie centrale est un segment de même mesure. Ainsi, on peut affirmer que la figure orange est composée de huit segments de 3 cm de long chacun. Donc, la figure orange a un périmètre de 24 cm. 2) Les segments [AB] et [CD] se coupent en leur milieu O sont de la même mesure puisque ce sont des diamètres. Or, un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu et qui ont la même mesure est un rectangle. Donc, ACBD est un rectangle. De plus, les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles et de même mesure. Donc, les droites (AC) et (BD) sont parallèles. 3) Puisque le point O est le milieu des segments [AB] et lB [CD] ; on peut affirmer que le symétrique de l’angle CO lA. est l’angle DO Or, le symétrique d’un angle par symétrie centrale est un angle de la même mesure. lB = DO lA. Donc, CO 64 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Par la symétrie centrale de centre I, le point A a pour image le point D et les points B et C sont symétriques puisque I est le milieu du segment [BC]. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 67 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Chap. 9 - Symétries 85 3) Les deux figures bleues sont symétriques par la symétrie centrale de centre P. Or, deux figures symétriques ont la même aire. Donc, la figure bleue est bien composée de deux figures ayant la même aire. Calculons alors l’aire de la figure de l’énoncé. Son aire est égale à l’aire d’un demi-disque de rayon 4 cm. Son symétrique ayant la même aire on peut alors considérer que l’aire de toute la figure bleue est égale à l’aire d’un disque de rayon 4 cm. Aire de ce disque = π × rayon × rayon = π × 4 cm × 4 cm = 16π cm2 68 a) b) Huit de cœur : un axe de symétrie vertical et un centre de symétrie. As de trèfle : ni axe de symétrie, ni centre de symétrie. Neuf de cœur : ni axe de symétrie, ni centre de symétrie. Huit de carreau : ni axe de symétrie, ni centre de symétrie. Valet de trèfle : pas d’axe de symétrie mais un centre de symétrie. Neuf de carreau : ni axe de symétrie, ni centre de symétrie. 69 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1) 2) 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 4) Le point H est sur la droite (MP). Or, l’image d’une droite par la symétrie centrale est une droite. Donc, le symétrique du point H par la symétrie de centre O est sur l’image de la droite (MP) par cette même symétrie ; la droite (RN). De plus, le symétrique du point H par rapport au point O est sur la droite (HO). Ainsi, l’image du point H par la symétrie de centre O est l’intersection des droites (RN) et (HJ) ; c’est le point J. m 5) Le symétrique de l’angle M HO par la symétrie de l centre O est l’angle NJO. Or, le symétrique d’un angle par la symétrie centrale est un angle de la même mesure. l m Donc, NJ O=M HO = 90°. 6) Les droites (MP) et (NR) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (JH). Or, deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles. Donc, les droites (MP) et (NR) sont bien parallèles. 72 76 77 1) 2) a) « Voie à sens unique. » Un axe de symétrie vertical mais pas de centre de symétrie. b) « Cédez le passage ! » Trois axes de symétrie (les médiatrices des côtés du triangle blanc) mais pas de centre de symétrie. c) « Interdiction de stationner. » Deux axes de symétrie et un centre de symétrie. d) « Voie prioritaire. » Quatre axes de symétrie et un centre de symétrie. e) « Fin de voie prioritaire. » Deux axes de symétrie et un centre de symétrie. f) « Sens interdit » Deux axes de symétrie (horizontal et vertical) et un centre de symétrie. 78 1) 2) 3) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) Par la symétrie de centre A, le point B a pour image le point D et le point C a pour image le point E. Ainsi le point A est le milieu des segments [EC] et [BD]. De plus, le triangle ABC est isocèle en A. Donc, AB = AC = AD = AE = 4 cm. On peut en conclure que le cercle de centre A et de rayon AB passe aussi par les points C, D et E. lE et BA lC sont symétriques par rapport 4) Les angles DA au point A. Or, deux angles symétriques par la symétrie centrale sont égaux. lE = BA lC = 130°. Donc, DA 79 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 80 A 2) b) Le point E semble se situer à l’intersection des deux diagonales du rectangle ABCD. B 4) Le logiciel trace le symétrique du rectangle ABCD par rapport au point E sur lui-même. Donc, le point d’intersection des diagonales d’un rectangle est son centre de symétrie. 81 A 2) b) Le point E semble se situer à l’intersection des deux diagonales du losange ABCD. B 4) Le logiciel trace le symétrique du losange ABCD par rapport au point E sur lui-même. Donc, le point d’intersection des diagonales d’un losange est son centre de symétrie. 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Le point I est le milieu du segment [AD]. D’où, le symétrique du point A par rapport à I est le point D. Le symétrique de la droite (AB) est la droite passant par D et parallèle à (AB). C’est donc la droite (CD). Le symétrique du point B par rapport à I est le point B’. Il appartient à la droite (BI) et à la droite (CD). De même, le symétrique du point C est le point C’. Il appartient à la droite (CI) et à la droite (AB). 86 à Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 70 71 73 82 A 2) b) Le point E semble se situer à l’intersection des deux diagonales du carré ABCD. B 4) Le logiciel trace le symétrique du carré ABCD par rapport au point E sur lui-même. Donc, le point d’intersection des diagonales d’un carré est son centre de symétrie. 83 4) Il n’existe pas de position du point E pour que le polygone marron se superpose au polygone rouge. Un polygone quelconque ne possède pas de centre de symétrie. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 84 1) Ce napperon admet deux axes de symétrie qui sont perpendiculaires. 2) Il admet un centre de symétrie : le point d’intersection de ses deux axes de symétrie. 88 1) a) Le symétrique de la ville de Lille par rapport à la ville de Calais est situé en Angleterre. b) Le symétrique de la ville de Calais par rapport à la ville de Lille est situé en Belgique. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site 2) www.phare-prof.hachette-education.com © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Chap. 9 - Symétries 87 Chapitre 10 > P r ogramme o gramme Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. > CONNAISSANCES : Construction de triangles et inégalité triangulaire Utiliser différentes méthodes pour tracer la médiatrice d’un segment. ● ■ Commentaires CAPACITÉS Connaître et utiliser l’inégalité triangulaire. ● Construire un triangle connaissant : – la longueur d’un côté et les deux angles qui lui sont adjacents ; – les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés ; – les longueurs des trois côtés. ● Au niveau des exigibles du socle, il suffit de connaître une méthode de construction. > CONNAISSANCES : Cercle circonscrit à un triangle CAPACITÉS Construire le cercle circonscrit à un triangle. ■ Commentaires ■ Commentaires Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu’un côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu. L’inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis. Le cas de l’égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l’appartenance du point B au segment [AC]. La construction doit être justifiée. > CONNAISSANCES : Médiatrice d’un segment [Reprise du programme de 6e] CAPACITÉS > CONNAISSANCES : Médianes et hauteurs d’un triangle CAPACITÉS Connaître et utiliser la définition d’une médiane et d’une hauteur d’un triangle. ■ Commentaires Ces notions sont à relier au travail sur l’aire d’un triangle. La démonstration des propriétés de concours n’est pas envisageable en classe de Cinquième. La notion de hauteur d’un triangle ne fait pas partie du socle. ● Connaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d’équidistance. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Effectuer des constructions simples en utilisant : ● des outils (instruments de dessin, logiciels) ; ● des définitions, des propriétés (en acte et sans nécessité d’indiquer ou de justifier la méthode choisie). Indications pour l’évaluation en situation Les instruments sont la règle (graduée ou non), l’équerre, le compas, le rapporteur. Les tracés doivent pouvoir être réalisés sur papier uni ou support informatique. Il s’agit de construire une figure à partir de données suffisantes sur des longueurs, des angles. 88 Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Utiliser les propriétés d’une figure et les théorèmes de géométrie pour traiter une situation simple. – Raisonner logiquement, pratiquer la déduction, démontrer (la démonstration ne doit pas faire l’objet d’une formalisation écrite). Indications pour l’évaluation en situation Les supports sont des configurations immédiatement lisibles ; les raisonnements ne font pas l’objet d’une mise en forme écrite. L’exigence porte sur la capacité à mobiliser une propriété pour élaborer une déduction simple. L’évaluation s’effectue oralement ou en situation, sans exigence particulière de formulation des justifications. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Programme de la classe de Sixième ■ Commentaires CAPACITÉS ● ● Reporter une longueur *Reproduire un angle Capacité déjà travaillée au cycle 3. > CONNAISSANCES : *Médiatrice d’un segment ■ Commentaires * Le rapporteur est, pour les élèves de 6e, un nouvel instrument de mesure dont l’utilisation doit faire l’objet d’un apprentissage spécifique. CAPACITÉS *Connaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d’équidistance. ● Utiliser différentes méthodes pour tracer la médiatrice d’un segment. ● CAPACITÉS Construire, à la règle et au compas, un triangle connaissant les longueurs de ses côtés. Programme de la classe de Quatrième > CONNAISSANCES : Triangle : milieux et parallèles CAPACITÉS Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d’un triangle. ■ Commentaires Ces théorèmes sont démontrés en utilisant la symétrie centrale et les propriétés caractéristiques du parallélogramme ou les aires. Dans le cadre du socle commun, seules les propriétés directes de la droite des milieux sont exigibles. Comm e ntaires d Commentaires des e s auteurs ➜ La construction d’un triangle connaissant les longueurs de ses côtés est une compétence de CM2 et de Sixième. On découvre dans ce chapitre une condition sur les longueurs des côtés pour que le triangle existe. ➜ Lorsque trois points sont alignés, ils ne sont pas les sommets d’un triangle : dans le nouveau programme, un « triangle aplati » n’est pas considéré comme un triangle. ➜ Les élèves connaissent (classe de Sixième) la définition de la médiatrice d’un segment, ses propriétés caractéristiques et sa construction au compas. Il connaissent aussi (classe de CM2) la définition d’une hauteur d’un triangle. > Les médianes d’un triangle sont introduites en classe de Cinquième. Une propriété des médianes (partage d’un triangle en deux triangles de même aire) sera étudiée au chapitre 17 « Aires et volumes ». ➜ Seule la démonstration du point de concours des médiatrices d’un triangle est au programme de Cinquième. La propriété du point de concours des hauteurs d’un triangle est conjecturée (en utilisant un dessin ou un logiciel de géométrie dynamique). Il en est de même du point de concours des médianes d’un triangle. A cti Ac tiv v ités i tés ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C OMMENTAI RE S : En profiter pour préciser que la droite (AM) est la médiane issue du point A. CORRI G É 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 2) La droite (AM) n’est pas un axe de symétrie du triangle ABC. 3) Dans la réalité, le triangle ABC est isocèle en A. Dans ce cas, la droite (AM) est un axe de symétrie du triangle ABC. Chap. 10 - Triangles : droites remarquables 89 1 JE TRACE UN TRIANGLE CONNAISSANT LES LONGUEURS DE SES CÔTÉS Objectif Aborder l’inégalité triangulaire. Prérequis Construire un triangle connaissant ses longueurs de côtés. Paragraphe introduit ! Inégalité triangulaire b) Condition d’existence d’un triangle ■ COM MENTAI RES : Préciser que lorsque les points sont alignés, le triangle n’existe pas. 2 JE REVOIS C ORRIGÉ 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) On peut tracer un triangle EFG dans les cas a) et f). 3) Le triangle EFG existe lorsque la somme de la longueur bleue et de la longueur verte est supérieure à la longueur rouge. J’ÉTUDIE UN CAS PARTICULIER Objectif Étudier le cas d’égalité. Prérequis Résultat de l’activité 1. Paragraphe introduit ! Inégalité triangulaire c) Cas d’égalité de longueurs ■ COM MENTAI RES : On ne démontre pas cette propriété. CORRIG É 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Le point C semble se situer sur le segment [AB]. B 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Le logiciel affirme que le point C appartient au segment [AB]. A 1) Il n’existe pas de triangle ABC car AB n’est pas supérieur à CA + CB. 3 JE CONSTRUIS LES HAUTEURS D’UN TRIANGLE Objectif Découvrir le point de concours des hauteurs d’un triangle. Prérequis Construire une hauteur d’un triangle. Paragraphe introduit # Droites remarquables d’un triangle a) Hauteurs ■ COM MENTAI RES : La construction d’une hauteur d’un triangle est une compétence de CM2. On conjecture (figure papier et ordinateur) que les hauteurs d’un triangle sont concourantes. Une conjecture plus précise à l’aide de l’ordinateur est aussi proposée exercice 75 page 175. 4 Prérequis Paragraphe introduit Découvrir le point de concours des médiatrices d’un triangle. Construire la médiatrice d’un segment. ● Connaître sa propriété caractéristique. ● # Droites remarquables d’un triangle b) Médiatrices et cercle circonscrit d’un triangle ■ COM MENTAI RES : On peut préciser que les droites (d) et (d’) sont sécantes lorsque les points K, L et M ne sont pas alignés. CORRIG É A 1) 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) « Cette droite est la hauteur du triangle ABC issue du point A. » 4) Les trois hauteurs du triangle ABC semblent être concourantes. B 1) 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Les trois hauteurs du triangle ABC semblent toujours être concourantes (sauf quand les points A, B et C sont alignés). Or si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant de ses extrémités. Donc OK = OL. De même, le point O appartenant à la médiatrice du segment [LM], on en déduit que OL = OM. b) Comme OK = OL et OL = OM, on en déduit que OK = OM. Or, si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. Donc le point O appartient à la médiatrice du segment [KM]. 3) « Les médiatrices des trois côtés d’un triangle sont concourantes. » B 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) a) Le point O appartient à la médiatrice du segment [KL]. 90 C ORRIGÉ JE DÉMONTRE UNE PROPRIÉTÉ DES MÉDIATRICES Objectif A 1) JE REVOIS 2) Le cercle passant par le point K, son rayon est OK. Or, on a vu à la partie A que OK = OL = OM. Les points L et M appartiennent donc au cercle tracé. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 5 JE DÉFINIS LES MÉDIANES D’UN TRIANGLE Objectifs ● ● Prérequis Paragraphe introduit Définir les médianes d’un triangle. Découvrir leur point de concours. 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com – # Droites remarquables d’un triangle c) Médianes ■ C OMMENTAI RE S : On conjecture (figure papier) que les hauteurs d’un triangle sont concourantes. Une conjecture à l’aide de l’ordinateur est aussi proposée exercice 74 page 175. > C ORRIGÉ 2) a) Pour ce triangle, le côté opposé au sommet O est le côté [TP]. 3) b) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 4) Les trois médianes du triangle TOP semblent être concourantes. Ex e rc ic Exe i ces es 1 Le chemin le plus court pour aller du point A au point S est le chemin bleu car il est en ligne droite, 2 a) Le segment le plus long mesure 15 cm. 4 cm + 12 cm = 16 cm De plus, 116 cm ⬎ 15 cm. D’après la propriété de l’inégalité triangulaire, on peut affirmer qu’il existe un triangle avec trois côtés ayant ces mesures. b) Le segment le plus long mesure 17 m. 5 m + 11 m = 16 m Or, 16 m ⬍ 17 m D’après la propriété de l’inégalité triangulaire, on peut affirmer qu’il n’existe pas de triangle avec trois côtés ayant ces mesures. c) Le segment le plus long mesure 9 cm. 4,7 cm + 5cm = 9,7 cm De plus, 9,7 cm ⬎ 9 cm. D’après la propriété de l’inégalité triangulaire, on peut affirmer qu’il existe un triangle avec trois côtés ayant ces mesures. d) Le segment le plus long mesure 5,8 km. 3,5 km + 2,2 km = 5,7 km Or, 5,7 km ⬍ 5,8 km D’après la propriété de l’inégalité triangulaire, on peut affirmer qu’il n’existe pas de triangle avec trois côtés ayant ces mesures. 3 La longueur AK peut être égale à 8 cm, 10 cm et 4 La longueur OT peut être égale à 7 cm, 16,3 cm et 16 cm. 5,3 cm. c) MP + NP = 6,7 cm + 4,5 cm = 11,2 cm ⬎ MN Donc, les points M, N et P ne sont pas alignés : ils forment un triangle d’après l’inégalité triangulaire. d) MN + MP = 5,5 cm + 5,7 cm = 11,2 cm = NP Donc, les points M, N et P sont alignés. 8 Le point I n’est pas nécessairement le milieu du segment [RS]. Le point I est un point de la médiatrice du segment [RS]. 9 Ces six triangles sont : GHK, GHJ, GHI, JHK, IHK et IJH. 10 La droite rouge est la hauteur issue du point B. La droite violette est la hauteur issue du point A. La droite bleue est la médiane issue du point B. La droite marron est la médiatrice du segment [AC]. 11 Le cercle circonscrit au triangle EFG est vert. 12 1) La droite rouge est la médiane issue du point R. La droite violette est la médiatrice du segment [RT]. La droite bleue est la médiatrice du segment [ST]. La droite marron est la hauteur issue du point S. 2) La droite bleue et la droite violette sont deux médiatrices dans le triangle RST. Ces deux droites se coupent au point C. Or, dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit. Donc, le point C est le centre du cercle circonscrit au triangle RST. 13 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 5 Son troisième côté mesure 8,5 cm et non 4,2 cm. En effet, ce cas est exclu car : 4,2 cm + 4,2 cm = 8,4 cm ⬍ 8,5 cm. Dans ce cas, le triangle n’existerait pas. 6 Le troisième côté peut mesurer soit 9,6 cm soit 5,9 cm. Dans ces deux cas, l’inégalité triangulaire est vérifiée. 7 a) MN + NP = 9 cm + 8 cm = 17 cm = MP. Donc, les points M, N et P sont alignés. b) MP + NP = 5 cm + 3 cm = 8 cm ⬎ MN Donc, les points M, N et P ne sont pas alignés : ils forment un triangle d’après l’inégalité triangulaire. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 2) La droite (Δ) est la hauteur issue du point I dans le triangle PIC car cette droite passe par un sommet du triangle et coupe perpendiculairement le côté opposé. 14 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Les droites (d) et (Δ) sont perpendiculaires au côté [AF]. Or, deux droites perpendiculaires à un même segment sont parallèles. Donc, les droites (d) et (Δ) sont parallèles. Chap. 10 - Triangles : droites remarquables 91 15 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) La droite (d) est une hauteur dans le triangle MOD puisqu’elle passe par un sommet D et qu’elle est perpendiculaire au côté [MO]. En effet, cette droite est parallèle à la droite (Δ) qui est la médiatrice du côté [MO] et qui est donc perpendiculaire à ce segment [MO]. 16 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) a) Le point d’intersection des droites (d2) et (d3) est le milieu du segment [AN]. b) Le point d’intersection des droites (d1) et (d3) est le point V. 3) Les droites (d1) et (d2) sont toutes les deux perpendiculaires au côté [AN]. Or, deux droites perpendiculaires à un même segment sont parallèles. Donc, les droites (dl) et (d2) sont parallèles. 17 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit. Donc, le cercle de centre O et qui passe par le point P est le cercle circonscrit au triangle TAP. 18 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes. Or, les deux hauteurs (AS) et (AI) se coupent en A qui est donc le point de concours des trois hauteurs. Ainsi, la droite (AX) passe par un sommet X et le point de concours des hauteurs A ; c’est donc la troisième hauteur dans ce triangle. 19 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 20 a) Le segment le plus long mesure 13,8 cm. 6,5 cm + 7,4 cm = 13,9 cm De plus, 13,9 cm ⬎ 13,8 cm D’après la propriété de l’inégalité triangulaire, on peut affirmer qu’il existe un triangle avec trois côtés ayant ces mesures. b) Le segment le plus long mesure 130 m. Or, 99 m + 31 m = 130 m D’après la propriété de l’inégalité triangulaire, on peut affirmer qu’il n’existe pas de triangle avec trois côtés ayant ces mesures. Par contre, on peut placer trois points vérifiant ces conditions. c) Le segment le plus long mesure 5,5 km. 3,8 km + 1,6 km = 5,4 km. Or, 5,4 km ⬍ 5,5 km. D’après la propriété de l’inégalité triangulaire, on peut affirmer qu’il n’existe pas de triangle avec trois côtés ayant ces mesures. 21 a) On convertit ces trois longueurs dans la même unité : 70 cm, 170 cm et 110 cm. 92 Le segment le plus long mesure 170 cm. 70 cm + 110 cm = 180 cm. De plus, 180 cm ⬎ 170 cm. D’après la propriété de l’inégalité triangulaire, on peut affirmer qu’il existe un triangle avec trois côtés ayant ces mesures. b) On convertit ces trois longueurs dans la même unité : 560 m, 430 m et 1 000 m. Le segment le plus long mesure 1 000 m. 560 m + 430 m = 990 km. Or, 990 m ⬍ 1 000 m. D’après la propriété de l’inégalité triangulaire, on peut affirmer qu’il n’existe pas de triangle avec trois côtés ayant ces mesures. 22 La longueur SJ peut être égale à 4 cm car : 9,7 cm + 4 cm = 13,7 cm ⬎ JU = 13,6 cm La longueur SJ peut être égale à 17,9 cm car : 13,6 cm + 9,7 cm = 23,3 cm ⬎ SJ = 17,9 cm La longueur SJ peut être égale à 23,2 cm car : 13,6 cm + 9,7 cm = 23,3 cm ⬎ SJ = 23,2 cm 23 a) RS + ST = 7,5 cm + 9,8 cm = 17,3 cm > RT. Donc, les points R, S et T ne sont pas alignés : ils forment un triangle d’après la propriété de l’inégalité triangulaire. b) On convertit ces trois longueurs dans la même unité : 2,6 hm, 3,6 hm et 1 hm. RS + ST = 2,6 hm + l hm = 3,6 hm = RT. Donc, les points M, N et P sont alignés. 24 a) OP = OM + PM = 9,6 cm + 13,8 cm = 24,4 cm b) OP = PM – OM = 11,5 m – 7,8 m = 3,7 m c) OP = OM – PM = 3 m – 9 dm = 2,1 m 25 Le point C se situe sur le segment [AB] sinon la deuxième souris aurait parcouru une plus grande distance que la première souris. 26 1) 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) Le point I est le milieu du segment [TC] puisque la médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu. 27 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 28 1) Le point T est bien sur la médiatrice du segment [SR] puisqu’il est à la même distance des points S et R. 2) Le point R appartient à la médiatrice du segment [TU] puisqu’il est à égale distance des points T et U. 29 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Il s’agit des châteaux d’Amboise et de Loches. 30 et 31 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 32 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com a) Il s’agit de Vitré. b) Il s’agit de Morlaix. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 33 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes. Or, les deux médianes (ZS) et (ZG) se coupent en Z qui est donc le point de concours des trois médianes. Ainsi, la droite (ZU) passe par un sommet U et le point de concours des médianes Z ; c’est donc la troisième médiane dans ce triangle. 34 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit. > 49 Je fais fai s l e po p o int 35 et 36 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 37 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Le centre du cercle circonscrit à ce triangle semble être le milieu de l’hypoténuse. 38 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Les exercices 39 à 48 sont corrigés à la page 290 du manuel élève. 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) OM ⬍ ON, donc le chemin rouge est plus court que le chemin bleu. 50 Donc, le cercle de centre O et qui passe par le point A est le cercle circonscrit au triangle ABC. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Le chemin rouge est bien le plus court puisque la longueur OR est la longueur du chemin rouge. 51 1) La plus petite longueur possible du troisième côté est 57 cm car dans ce cas : 57 cm + 68 cm = 125 cm. D’après l’inégalité triangulaire, la somme des longueurs de deux côtés d’un triangle doit être supérieure strictement à la longueur du troisième côté. Ici, on a bien 125 cm ⬎ 124 cm. 2) La plus grande longueur possible du troisième côté est 191 cm car dans ce cas : 124 cm + 68 cm = 192 cm et 192 cm ⬎ 191 cm. 22 cm ⬍ L ⬍ 174 cm Dans le cas de 22 cm, on a : 22 cm + 76 cm = 98 cm. Dans le cas de 174 cm, on a : 76 cm + 98 cm = 174 cm, d’après l’inégalité triangulaire. b) ● 4,6 × 2 = 9,2 cm 9,2 cm ⬎ 9 cm Donc, cas impossible. ● 9 – 4,6 = 4,4 cm et 4,4 : 2 = 2,2 cm Donc, le triangle peut mesurer : 2,2 cm ; 2,2 cm ; 4,6 cm. 55 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Il y a deux possibilités pour le point F, comme l’indique le schéma. Pour le point F1 : DF1 = DE – EF1 – 145 cm – 87 cm = 58 cm. Pour le point F2 : DF2 = DE + EF2 = 145 cm + 87 cm = 233 cm. 56 57 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com TV = TU + UV = 2x +5 + 5x + 7 = 7x +12 58 Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 52 4 ⬍ L ⬍ 21 + 4 On doit avoir : L + ⬎ + 4 ; donc, L ⬎ 4 On doit avoir également : + 4 + ⬎ L ; donc, 2 + 4 ⬎ L. D’après l’inégalité triangulaire. 53 54 a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 4,6 × 2 = 9,2 cm et 18 – 9,2 = 8,8 cm 18 – 9,2 = 8,8 cm. Donc, le triangle peut mesurer : 4,6 cm ; 4,6 cm ; 8,8 cm. ● 18 – 4,6 = 13,4 cm et 13,4 : 2 = 6,7 cm Donc, le triangle peut mesurer : 6,7 cm ; 6,7 cm ; 4,6 cm. ● © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 59 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Le point C est situé sur la médiatrice du segment [AB] ; donc le point C est à égale distance des points A et B : AC = BC. De plus, le point C est sur le cercle de centre A et de rayon AB ; donc AC = AB. Ainsi, nous venons de montrer que AC = BC – AB. Ce qui prouve bien que ABC est un triangle équilatéral. 60 61 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Chap. 10 - Triangles : droites remarquables 93 2) Le point R est situé, entre autre, sur la médiatrice du segment [PN]. Il est donc à égale distance des extrémités de ce segment. Donc, RP = RN. 62 67 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Les deux autres hauteurs de ce triangle sont les côtés [OF] et [LF]. 3) Le point de concours des trois hauteurs est donc le point F. 63 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Puisque O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, alors : OA = OB = OC. Puisque EFG est le triangle symétrique du triangle ABC par la symétrie centrale de centre O, alors : OA = OE OB = OF OC = OG. Ainsi, OA = OB = OC = OE = OF = OG. Ceci prouve bien que le cercle circonscrit au triangle ABC est également circonscrit au triangle EFG. 64 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Puisque le triangle LAC est isocèle en A, on peut affirmer que le point A est à égale distance des points L et C. Ceci prouve que le point A appartient à la médiatrice (d) du segment [LC]. 3) a) La médiane issue du point A passe par le milieu du côté [LC]. Or, la médiatrice du segment [LC] passe également par le point A et le milieu du côté [LC]. Donc, la médiane issue du point A est la droite (d). b) La hauteur issue du point A coupe perpendiculairement le côté [LC]. Or, la médiatrice du segment [LC] passe également par le point A et coupe perpendiculairement le côté [LCJ. Donc, la hauteur issue du point A est la droite (d). 65 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Le point O est sur la médiatrice du segment [EM] et sur la médiatrice du segment [EG]. Donc, le point O est à égale distance des points E, M et G. Entre autre, le point O est à la même distance des points G et M. Le point O’ est sur la médiatrice du segment [FM] et sur la médiatrice du segment [FG]. Donc, le point O’ est à égale distance des points F, M et G. Entre autre, le point O’ est à la même distance des points G et M. Ainsi, les points O et O’ sont à égale distance des points G et M. Ils sont donc situés sur la médiatrice du segment [GM]. On peut donc nommer (OO’) la médiatrice du segment [GM]. 66 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com La rivière devant être obligatoirement franchie perpendiculairement, on commence par la supprimer, par exemple par pliage (figures 1 et 2). 94 On trace ensuite le plus court chemin entre les points A et B, on déplie, puis on trace le pont (figures 2 et 3). On convertit d’abord toutes les longueurs dans la même unité : 2 800 m, 3 300 m et 458 m Le côté le plus long mesure 3 300 m. 2 800 m + 458 m = 3 258 m Or, 3 258 m ⬍ 3 300 m D’après la propriété de l’inégalité triangulaire, on peut affirmer qu’il n’existe pas de triangle avec trois côtés ayant ces mesures. 68 On convertit ces trois longueurs dans la même unité : PI = 9,6 cm ; IC = 8 cm et PC = 1,6 cm. IC + PC = 8 cm + 1,6 cm = 9,6 cm = PI Donc, les points P, I et C sont alignés. 69 et 70 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 25 cm ⬍ L ⬍ 159 cm Dans le cas de 25 cm, on a : 25 cm + 67 cm = 92 cm. Dans le cas de 159 cm, on a : 67 cm + 92 cm = 159 cm ; d’après l’inégalité triangulaire. 71 72 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) La hauteur (d) issue du point I est perpendiculaire au côté [LP]. La médiatrice (Δ) du côté [LP] lui est perpendiculaire. Or, deux droites perpendiculaires à un même segment sont parallèles. Donc, les droites (d) et (Δ) sont parallèles. 73 1) 2) a) et 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) Par la symétrie d’axe (OR), l’image du point R est R lui-même. Par la symétrie d’axe (OR), le point T a pour image T’ ; ce qui signifie que la droite (OR) est la médiatrice du segment [TT’]. Donc, le point O est à égale distance des points T et T’. De la même manière, on montrerait que le point O est à la même distance des points E et E’. De plus, le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle TER ; donc le point O est à la même distance des points T, E et R. Nous venons donc de montrer que le point O est à égale distance des points T, E, R, T’ et E’. Ce qui prouve que les points T’ et E’ sont sur le cercle circonscrit au triangle TER. 74 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) b) La droite (BI) est la médiane issue du point B pour le triangle ABC. 3) b) Le logiciel affirme que le point G appartient à la médiane issue du point A. c) Cette conjecture reste vraie lorsque l’on déplace les points A, B et C. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 75 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) b) Cette droite est la hauteur du triangle ABC issue du point B. 3) b) Le logiciel affirme que le point H appartient à la hauteur issue du point A. c) Cette conjecture reste vraie lorsque l’on déplace les points A, B et C. 76 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 5) b) Le logiciel affirme que le point G appartient à la droite (HO). c) Cette conjecture reste vraie lorsque l’on déplace les points A, B et C. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 77 1) 2) 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 4) Le triangle ABS semble être un triangle équilatéral. 78 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com La ville de Sartène appartient à cette médiane. 79 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Les villes de Sartène et de Solenzara appartiennent à cette hauteur. De ces deux villes, seule la ville de Solenzara est à égale distance de Calvi et de Bastia. Chap. 10 - Triangles : droites remarquables 95 Chapitre 11 > P r ogramme o gramme Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. > CONNAISSANCES : Construction de triangles et inéga- CAPACITÉS lité triangulaire Connaître les propriétés relatives aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. CAPACITÉS • Construire un triangle connaissant : – la longueur d’un côté et les deux angles qui lui sont adjacents ; – les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés, – les longueurs des trois côtés. • Sur papier uni, reproduire un angle au compas. ■ Commentaires La connaissance ainsi développée des figures ci-contre conduit à les situer les unes par rapport aux autres en mettant en évidence leurs propriétés communes et des propriétés différentes. > CONNAISSANCES : Triangle, somme des angles d’un triangle ■ Commentaires Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu’un côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu. > CONNAISSANCES : Propriétés des triangles usuels [Reprise du programme de 6e] CAPACITÉS Connaître et utiliser, dans une situation donnée, le résultat sur la somme des angles d’un triangle. ■ Commentaires Savoir l’appliquer aux cas particuliers du triangle équilatéral, d’un triangle rectangle, d’un triangle isocèle. La symétrie centrale ou la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle permettent de démontrer que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Effectuer des constructions simples en utilisant : • des outils (instruments de dessin, logiciels) • des définitions, des propriétés (en acte et sans nécessité d’indiquer ou de justifier la méthode choisie). Indications pour l’évaluation en situation Les instruments sont la règle (graduée ou non), l’équerre, le compas, le rapporteur. Les tracés doivent pouvoir être réalisés sur papier uni ou support informatique. Il s’agit de construire une figure à partir de données suffisantes sur des longueurs, des angles. Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Utiliser les propriétés d’une figure et les théorèmes de géométrie pour traiter une situation simple. – Raisonner logiquement, pratiquer la déduction, démontrer (la démonstration ne doit pas faire l’objet d’une formalisation écrite). Indications pour l’évaluation en situation Les supports sont des configurations immédiatement lisibles ; les raisonnements ne font pas l’objet d’une mise en forme écrite. L’exigence porte sur la capacité à mobiliser une propriété pour élaborer une déduction simple. L’évaluation s’effectue oralement ou en situation, sans exigence particulière de formulation des justifications. Programme de la classe de Sixième > CONNAISSANCES : Propriétés et construction des triangles usuels CAPACITÉS • Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire des figures simples. • Construire une figure simple à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. • Connaître les propriétés relatives aux côtés et aux *angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. 96 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. • *Utiliser un rapporteur pour : – déterminer la mesure en degré d’un angle ; – construire un angle de mesure donnée en degré. ■ Commentaires On travaillera à la fois les constructions sur papier par les outils de dessin traditionnels et les constructions sur écran à l’aide d’un logiciel de géométrie. > CONNAISSANCES : Angles CAPACITÉS ■ Commentaires *Le rapporteur est un nouvel instrument de mesure qu’il convient d’introduire à l’occasion de la construction et de l’étude des figures. • Comparer des angles sans avoir recours à leur mesure. Programme de la classe de Quatrième • Caractériser les points d’un cercle de diamètre donné par la propriété de l’angle droit. > CONNAISSANCES : Triangle rectangle : cercle circonscrit CAPACITÉS ■ Commentaires • Caractériser le triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle. Le cas où le demi-cercle n’est pas apparent (la longueur d’une médiane d’un triangle est la moitié de celle du côté correspondant) est étudié. Comm en tai res d Commentaires des e s au auteurs teu rs ➜ En classe de Sixième, les élèves ont appris à construire un triangle connaissant : – la longueur d’un côté et les mesures des deux angles adjacents à ce côté ; – les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle adjacent à ces côtés. En classe de Cinquième, la propriété de la somme des angles d’un triangle permet notamment de calculer > la mesure d’un angle nécessaire à la construction du triangle. ➜ Les propriétés caractéristiques des triangles particuliers (rectangle, isocèle, équilatéral) sont établies. La propriété « Si un triangle possède deux angles de même mesure, alors il est isocèle » n’est pas démontrée. A cti Ac tiv v ités i tés ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C OMMENTAI RE S : Cette activité permet de conjecturer C ORRIGÉ que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°. 1) 2) Selon les élèves. 3) Les sommes trouvées doivent être proches de 180°. Trouver les erreurs pour ceux qui trouvent moins de 175° ou plus de 185°. On peut faire un tableau récapitulatif des sommes trouvées (par exemple entre 175° et 185°). 1 JE CONJECTURE UNE PROPRIÉTÉ DES ANGLES D’UN TRIANGLE Objectif Conjecturer la somme des mesures des angles d’un triangle. Prérequis Savoir qu’un angle plat mesure 180°. Paragraphe introduit @ Somme des mesures des angles d’un triangle ■ C OMMENTAI RE S : Pour cette activité, il est nécessaire d’avoir des ciseaux et de la colle. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. C ORRIGÉ 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) a) L’angle obtenu semble être plat. b) On peut le vérifier en utilisant une règle ou un rapporteur. c) La somme des mesures des angles d’un triangle semble être égale à 180°. Chap. 11 - Triangles : angles 97 2 JE DÉMONTRE UNE PROPRIÉTÉ DES ANGLES D’UN TRIANGLE Objectif Prérequis Démontrer que la somme des mesures des angles d’un triangle égale 180°. ● ● Paragraphe introduit Propriétés de la symétrie centrale. Propriétés des droites parallèles. @ Somme des mesures des angles d’un triangle ■ C O M M E NTAI R E S : On démontre la propriété conjecturée à l’activité 1. Cette démonstration étant difficile (notamment le 3) c)), il est conseillé de faire cette activité avec les élèves. CORRIG É 1) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lI et CB lI sont symétriques par rapport au b) Les angles RA point I. Or une symétrie centrale conserve les mesures d’angles. lI = CB lI. Donc RA 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lS et JC lB sont symétriques par rapport au b) Les angles JA point I. 3 J’ÉTUDIE DES PROPRIÉTÉS DES TRIANGLES ISOCELES Objectif Revoir les propriétés des angles des triangles isocèles. Prérequis Connaître l’axe de symétrie d’un triangle isocèle. Paragraphe introduit $ Angles d’un triangle isocèle ■ COM MENTAI RES : On revoit les propriétés des angles des triangles isocèles en utilisant le vocabulaire des droites remarquables d’un triangle. CORRIG É 1) a) b) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com c) Le point A est équidistant des points B et C, donc le point A appartient à la médiatrice du segment [BC], c’està-dire la droite (Δ). > 1 JE REVOIS 2) a) La médiatrice du segment [BC] est perpendiculaire au côté [BC] et passe par le point A, c’est donc la hauteur du triangle ABC issue de A. b) La médiatrice du segment [BC] passe par le milieu du côté [BC] et par le point A, c’est donc la médiane du triangle ABC issue de A. 3) a) Le point A appartient à la droite (Δ), son symétrique par rapport à la droite (Δ) est donc le point A. La droite (Δ) est la médiatrice du segment [BC], le symétrique du point B par rapport à la droite (Δ) est donc le point C. Ainsi, la droite (Δ) est un axe de symétrie du triangle ABC. b) La droite (Δ) est un axe de symétrie du triangle ABC et la symétrie axiale conserve les mesures d’angles, donc les lC et AC lB ont la même mesure. angles AB lI et CA lI étant symétriques 4) a) De même, les angles BA lI et CA lI ont la par rapport à la droite (Δ), les angles BA même mesure. b) La demi-droite [AI) est donc la bissectrice de l’angle lC. BA E x erc er c ic ice es À la règle graduée, tracer un segment [UN] de 6 cm de longueur. À l’aide du rapporteur, tracer un angle de sommet U qui mesure 92°. À l’aide du rapporteur, tracer du même côté du segment [UN] un angle de sommet N qui mesure 36°. Les deux demi-droites ainsi tracées se coupent en un point F. Fiona, tu obtiens ainsi le triangle FUN. Tu lN mesure peux vérifier à l’aide du rapporteur que l’angle UF bien 52°. 98 Or une symétrie centrale conserve les mesures d’angles. lS = JC lB. Donc JA 3) a) Les droites (AR) et (BC) sont symétriques par rapport au point I. Or le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle. Donc, les droites (AR) et (BC) sont parallèles. b) De même, les droites (AS) et (BC) sont symétriques par rapport au point J. Donc, les droites (AS) et (BC) sont parallèles. c) Les droites (AR) et (BC) sont parallèles ainsi que les droites (AS) et (BC). Donc les droites (AR) et (AS) sont parallèles avec le point A en commun. Ces deux droites sont donc confondues. Ainsi, les points A, R et S sont alignés. lI + IA lJ + JA lS = RA lS. d) On a RA lS mesure Or, les points A, R et S étant alignés, l’angle RA 180°. lI + IA lJ + JA lS = 180° Donc RA lI = CB lI et JA lS = JC lB 4) On a vu que RA l l l l l lB. Ainsi, RAI + IAJ + JAS = CBI + IAJ + JC l l l On a démontré que RAI + IAJ + JAS = 180°. lI + IA lJ + JC lB = 180°. On en conclut que CB 2 Trace un segment [TG] de longueur 5 cm. lG À l’aide du rapporteur, place le point O tel que l’angle OT mesure 94° et tel que le segment [OT] mesure 3 cm. Trace alors le triangle TOG. Trace enfin la médiatrice du segment [OG] à l’aide de l’équerre ou du compas. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 3 Dans les quatre cas suivants, on utilise la propriété : « Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. » lD = 180° – (36° + 64°) = 80° a) AK lK = 180° – (60° + 70°) = 50° b) AD lD = 180° – (112° + 43°) = 25° c) KA lD = 180° – (64,5° + 44,5°) = 71° d) KA 4 ● On se place dans le triangle TOR. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lO = 180° – (OT lR + TO lR) Donc, TR l TRO = 180° – (60° + 80°) lO = 40°. TR ● On se place dans le triangle FTR. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lT = 180° – (FR lT + FT lR) = 180° – (40° + 103°) = 37°. Donc, RF 5 a) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lT = 180° – (TO lD + DT lO) = 180° – (37° + 53°) = 90°. Donc, OD l Puisque l’angle ODT = 90°, le triangle DOT est un triangle rectangle. b) Le triangle DOT a trois côtés de même mesure ; c’est donc un triangle équilatéral et non rectangle. lD = 90° ; alors le triangle TO lD est c) Puisque l’angle OT rectangle en T. d) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lD = 180° – (OD lT + DO lT) = 180° – (51,5° + 39,5°) Donc, OT = 89°. Aucun des trois angles de ce triangle ne mesure 90° ; ce n’est donc pas un triangle rectangle. e) Aucun angle de ce triangle ne peut mesurer 90°. En effet, dans un triangle, la somme des mesures des angles lT = 102°. est égale à 180°. Or, OD La somme des deux autres angles est donc égale à 180° – 102° = 78°. Cette somme est inférieure à 90°. 6 Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des deux angles aigus est de 90°. Or, un de ces angles mesure 28°. Donc, l’autre angle aigu mesure : 90° – 28° = 62°. lG = 180° – (XE lG + EG lX) = 180° – (40° + 65°) = 75° Donc, EX Les trois angles de ce triangle ont des mesures différentes. Il s’agit donc d’un triangle quelconque. d) Calculons la mesure du troisième angle. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lX = 180° – (GX lE + EG lX) = 180° – (55° + 70°) = 55° Donc, GE lX et GX lE sont de la même mesure ; Puisque les angles GE alors c’est un triangle isocèle en G. e) Les trois côtés de ce triangle ont des longueurs différentes, c’est donc un triangle quelconque. 9 Puisque le triangle JKL est un triangle rectangle en l J, alors l’angle LJ K mesure 90°. Puisque ce triangle est isocèle en J, alors les angles à la base l lL. ont la même mesure : JL K = JK Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. l lL = (180° – 90°) : 2 = 45°. Donc, JL K = JK 10 lY est un angle à Première possibilité : l’angle MA la base. Dans ce cas, l’autre angle à la base mesure 70°. Le troisième angle s’obtient en utilisant la propriété : dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. Donc, 180° – (70° + 70°) = 40°. Le troisième angle mesure donc 40°. lY est l’angle principal. ● Deuxième possibilité : l’angle MA Dans ce cas, puisque les deux autres angles sont les angles à la base, ils sont de même mesure. De plus, dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. Donc, chacun des deux autres angles mesure : (180° – 70°) : 2 = 55°. 11 Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lS = 180° – (RS lT + TR lS) = 180° – (60° + 60°) = 60°. Donc, RT Dans ce triangle, les trois angles ont la même mesure ; ce qui prouve que c’est un triangle équilatéral. 12 à 14 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 7 Dans cet exercice, nous utiliserons les deux propriétés suivantes : « Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. » « Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base ont la même mesure. » lB = CA lB = 73° a) AC l lC + BC lA) = 180° – (73° + 73°) = 34° ABC = 180° – (BA l l lF = 180° – 50° = 130° b) FE G + EF G = 180° – EG l l Donc, FE G = EF G = 130° : 2 = 65°. l l lR = 180° – 32° = 148° c) RT U + TR U = 180° – TU l l Donc, RTU = TRU = 148° : 2 = 74°. lR = 180° – (ST lR + SR lT) = 180° + (50° – 50°) Par ailleurs, TS = 80°. ● 15 1) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lU = 180° – XR lU – XU lR = 180° – 40° – 38° = 102°. Donc, RX 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 16 1) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lL = 180° – KJ lL – JL l Donc, JK K = 180° – 58° – 68° = 54°. 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 8 a) Deux angles de ce triangle ont la même mesure. Or, si un triangle a deux angles de même mesure, c’est un triangle isocèle. Donc, le triangle GEX est isocèle en X. b) Deux côtés de ce triangle ont la même longueur ; ce qui signifie que ce triangle GEX est isocèle en G. c) Calculons la mesure du troisième angle. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 17 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Pour construire ce triangle, calculons la mesure de l’angle lP. MN Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. Chap. 11 - Triangles : angles 99 lP = 180° – NM lP – MP lN Donc, MN = 180° – 92° – 51° = 37°. Il est alors possible de tracer le triangle. 18 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Pour construire ce triangle, calculons la mesure de l’angle lO. CR Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lO = 180° – RC lO – RO lC = 180° – 90° – 35° = 55°. Donc, CR Il est alors possible de tracer le triangle. 19 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Pour construire ce triangle, calculons la mesure de l’angle lY. AD Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure. lD = AD lY = 46°. Donc, AY Il est alors possible de tracer le triangle. 20 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Pour construire ce triangle, calculons la mesure de l’angle lV. XZ Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lV = 180° – VX lZ – ZV lX = 180° – 49° – 41° = 90°. Donc, XZ Il est alors possible de tracer le triangle. lV mesure 90°. Le triangle VX lZ est donc un 2) L’angle XZ triangle rectangle en Z. lC ; on en La droite (AD) est la bissectrice de l’angle BA l l déduit que BAC = 2 × DAC = 2 × 28° = 56°. De plus, dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lC = 180° – BA lC – BC lA = 180° – 56° – 39° = 85°. Donc, AB 28 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com l Pour construire ce triangle, on calcule l’angle TE M. l l lE = 180° – 59° – 42° = 79°. TE M = 180 – ET M – TM On représente 1 km par 1 cm. On trace alors le triangle ETM tel que TE = 2,5 cm. 2) a) TM = 3,7 cm. b) Une valeur approchée de la distance entre la tour et le moulin est donc de 3,7 km. 29 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Pour construire ce triangle, calculons la mesure de l’angle l IQ M. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. l l lQ = 180° – 98° – 41° = 41°. Donc, IQ M = 180° – QI M – IM Il est alors possible de tracer le triangle. lI et IQ l 2) Les deux angles QM M ont la même mesure. Le triangle MIQ est donc isocèle en I. 1) Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des deux angles aigus est égale à 90°. lB = 90° – AB lC = 180° – 25° = 65°. Donc, AC 30 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 31 21 à 23 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 24 1) www.phare-prof.hachette-education.com Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) a) EF = 3,8 cm b) Une valeur approchée de la distance entre Christian et le bateau est donc de 380 m. 25 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 26 a) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lC = 180° – AB lC – AC lB = 180° – 78,6° – 54,4° = 47°. Donc, BA b) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. l lI – GH lI = 180° – 47° – 76,8° = 56,2°. Donc, HI G = 180° – HG 27 On se place dans le triangle ACD. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lC = 180° – AC lD – DA lC = 180° – 39° – 28° = 113°. Donc, AD On se place dans le triangle ABC. 100 1) Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des deux angles aigus est égale à 90°. lP = 90° – PO lG = 90° – 68° = 22°. Donc, OG lG = 90° puisque le triangle POG est rectangle De plus, OP en P. 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site 32 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Pour construire ce triangle, calculons la mesure de l’angle l SI G. Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des angles aigus est égale à 90°. l lI = 90° – 27° = 63°. Donc, SI G = 90° – SG Il est alors possible de tracer le triangle. 33 1) a) On se place dans le triangle TMR. Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des angles aigus est égale à 90°. lR = 90° – TR l Donc, TM M = 90° – 54° = 36°. b) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) On se place dans le triangle MTH. Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des angles aigus est égale à 90°. lH = 90° – TM lH = 90° – 36° = 54°. Donc, MT lH et HT lR sont complémentaires. Les angles MT lR = 90° – MT lH = 90° – 54° = 36°. Donc, HT © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 34 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lO = 180° – PO lC – CP lO = 180° – 43° – 48° = 89°. Donc, PC Ce triangle n’est pas rectangle puisque aucun de ses angles ne mesure 90°. Pour construire ce triangle, on calcule la mesure des angles l lO. DO M et DM Ce sont deux angles à la base dans un triangle isocèle ; ils sont donc de même mesure. l lO = (180° – MD lO) : 2 Donc, DO M = DM = (180° – 98°) : 2 = 41°. Il est alors possible de construire ce triangle. 39 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 35 53° et 37° car 53° + 37° = 90° 31,5° et 90° 48,5° et 41,5° car 48,5° + 41,5° = 90° 42,5° et 47,5° car 42,5° + 47,5° = 90° Il reste 31,5° et 90°, mais 90° est un angle droit. 36 lB et AB lC sont les angles à la base a) Les angles AC d’un triangle isocèle. Ils sont donc de même mesure. lB = AB lC = 55,8°. Donc, AC Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lC = 180° – AC lB – AB lC Donc, BA = 180° – 55,8° – 55,8° = 68,4°. b) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lF + DF lE = 180° – ED lF = 180° – 42,6° = 137,4°. Donc, DE lF et DF lE sont les angles à la base d’un Or, les angles DE triangle isocèle. Ils sont donc de même mesure. lF = DF lE = 137,5° : 2 = 68,75°. Donc, DE 37 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lF. Pour construire ce triangle, il faut calculer l’angle NA lF = 180 – 2 × 73 = 180° – 146° = 34° NA On trace un segment [AN] de longueur 6 cm. lF = 73° Le point F est tel que AF = 6 cm (compas) et AN (rapporteur). 38 > 52 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Je fais fai s l e po p o int lR. 2) Calculons la mesure de l’angle AC Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lR = 180° – AR lC – CA lR = 180° – 42° – 96° = 42°. Donc, AC l l Puisque les angles ACR et ARC sont de la même mesure, le triangle RAC est isocèle en A. 40 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lO. 2) Calculons la mesure de l’angle BX Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lO = 180° – BO lX – XB lO = 180° – 68° – 54° = 58°. BX Ce triangle est un triangle quelconque puisqu’il a trois angles de mesures différentes. 41 1) Si un triangle a deux angles qui mesurent 60°, alors ce triangle est équilatéral. En effet, la mesure du troisième angle est : 180° – 60° – 60° = 60°. 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Une valeur approchée de la hauteur de cette pyramide est de 5,2 m. Les exercices 42 à 51 sont corrigés à la page 290 du manuel élève. 2) 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) a) On compte deux points d’intersection. b) Les deux triangles tracés ne sont pas superposables. 53 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Il n’y a pas de triangle qui vérifie les dimensions de l’énoncé. 54 1) a) La symétrie d’axe (AB). b) La symétrie d’axe la médiatrice du segment [AB]. c) La symétrie de centre le milieu du segment [AB]. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 55 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Les triangles 1 et 2 sont symétriques par la symétrie d’axe (EF). Les triangles 3 et 4 sont symétriques par la symétrie d’axe (EF). Les triangles 1 et 3 sont symétriques par la symétrie de centre le milieu du segment [EF]. Les triangles 2 et 4 sont symétriques par la symétrie de centre le milieu du segment [EF]. Les triangles 1 et 4 sont symétriques par la symétrie d’axe la médiatrice du segment [EF]. Les triangles 2 et 3 sont symétriques par la symétrie d’axe la médiatrice du segment [EF]. Chap. 11 - Triangles : angles 101 56 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lG = 180° – 77° – 46° = 57°. On calcule FE On construit le traingle EFH puis le triangle FGH. 57 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) • Première méthode On se place dans le triangle TON. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lN = 180° – TN lO – NT lO = 180° – 90° – 58° = 32°. Donc, TO l l Or, les angles TON et NOG sont complémentaires. lG = 90° – TO lN = 90° – 32° = 58°. Donc, NO • Deuxième méthode On se place dans le triangle TOG. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lO = 180° – TO lG – OT lG = 180° – 90° – 58° = 32°. Donc, TG On se place alors dans le triangle NOG. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lG = 180° – NG lO – ON lG = 180° – 32° – 90° = 58°. Donc, NO 58 1) La droite (CE) est une hauteur dans le triangle lB puisque ABC. Mais c’est aussi la bissectrice de l’angle AC le triangle ABC est équilatéral. Or, un triangle équilatéral a trois angles de 60° chacun. lE = AC lB : 2 = 60° : 2 = 30°. Donc, AC 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Une valeur approchée de la longueur de chaque côté du triangle ABC est 45 cm. 59 Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 63 1) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180. Donc, x + 2x + 3x = 180. Cette égalité peut se simplifier en : 6x = 180. 2) x est donc égal à 30 car 6 × 30 = 180 2x = 60 3x = 90 Les mesures des angles de ce triangle sont donc 30°, 60° et 90°. 64 1) Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus est égale à 90°. Donc, x + 3x = 90 ou 4x = 90. 2) On en déduit que x = 90° : 4 = 22,5. Donc, 3x = 67,5. La mesure de chacun des angles aigus de ce triangle est 22,5° et 67,5°. 65 On étudie deux possibilités. L’angle de mesure double se situe au sommet principal. Chaque angle de base mesure x et l’angle au sommet principal mesure 2x. La somme des angles du triangle mesure 180°. x + x + 2x = 180. D’où 4x = 180. On a donc x = 180 : 4 = 45. On reconnaît un triangle isocèle et rectangle. ● L’angle de mesure double se situe à la base. L’angle au sommet principal mesure y et chaque angle de base mesure 2y. La somme des angles du triangle mesure 180°. y + 2y + 2y = 180. D’où 5y = 180. On a donc y = 180 : 5 = 36. Ce triangle isocèle a donc un angle au sommet principal de mesure 36° et deux angles de base de mesure 72°. ● 66 On test des triplets de multiples de 10 consécutifs dont la somme égale 180. On trouve 50 + 60 + 70 = 180. Les angles de ce triangle mesurent 50°, 60° et 70°. 67 60 On se place dans le triangle ADE. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lE = 180° – DA lE – DE lA = 180° – 90° – 56° = 34°. Donc, AD lE et ED lC sont complémentaires. Les angles AD lC = 90° – AD lE = 90° – 34° = 56°. Donc, ED On se place alors dans le triangle CDE. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lD = 180° – ED lC – EC lD = 180° – 56° – 34° = 90°. Donc, CE lD. Ce qui Ainsi, le triangle CDE possède un angle droit CE prouve qu’il s’agit d’un triangle rectangle en E. 61 On se place dans le triangle ABC isocèle en A. lB et AB l Les angles à la base AC C sont donc égaux : lB = AB l AC C = 38°. On se place dans le triangle CBD. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lB = 180° – BC lD – CB lD Donc, CD = 180° – 38° – 2 × 38° = 66°. 62 1) L’autre angle aigu mesure 90 – x. 2) L’autre angle à la base mesure x et le troisième angle mesure : 180 – 2x. 102 On test des triplets de carrés parfaits dont la somme égale 180. 102 = 100 ; 82 = 64 et 42 = 16. On a bien 100 + 64 + 16 = 180. Les angles de ce triangle mesurent 100°, 64° et 16°. 68 Un quadrilatère peut être partagé (selon une de ses diagonales) en deux triangles. La somme des angles d’un quadrilatère est donc le double de celle d’un triangle. Ainsi, la somme des angles d’un quadrilatère est égale à 360°. Si de plus, les quatre angles ont la même mesure, chacun mesure le quart de 360°. 360° : 4 = 90°. Ainsi les quatre angles sont droits. Le quadrilatère étudié est donc un rectangle. 69 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 70 1) Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus est égale à 90°. l l Donc, AB C = 90° – BA C = 90° – 7° = 83°. 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) Une valeur approchée de d est 1,7 m. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 71 a) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lU = 180° – BU lH – UB lH = 180° – 53,5° – 73° = 53,5°. Donc, BH l l Les angles BHU et BUH étant de la même mesure, le triangle BHU est donc isocèle en B. b) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lH = 180° – HU lB – BH lU Donc, UB = 180° – 43,4° – 46,6° = 90°. Le triangle BHU est donc rectangle en B. c) Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lU = 180° – BU lH – UB lH = 180° – 60° – 60° = 60°. Donc, BH Puisque les trois angles ont la même mesure, le triangle BHU est équilatéral. 72 1) On se place dans le triangle ACE. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. l lE – CA lE = 180° – 22° – 68° = 90°. Donc, AE C = 180° – AC l Puisque l’angle AE C mesure 90°, la droite (CE) est bien une hauteur du triangle ABC. 2) On se place dans le triangle BDF. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lF = 180° – BF lD – FB lD = 180° – 63° – 27° = 90°. Donc, BD Ainsi, la droite (FD) coupe perpendiculairement le segment [AB] en son milieu D. Ceci prouve que la droite (FD) est la médiatrice du segment [AB]. 3) Les droites (FD) et (CE) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AB). Or si deux droites perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc, les droites (FD) et (CE) sont parallèles. 73 Premier cas : l’angle de 60° est un angle à la base. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont de la même mesure. Dans ce cas, l’autre angle à la base de ce triangle isocèle mesure également 60°. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. Donc, le troisième angle mesure : 180° – 60° – 60° = 60°. Les trois angles ont la même mesure (60°) ; il s’agit bien d’un triangle équilatéral. ● Deuxième cas : l’angle de 60° n’est pas un angle à la base. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. Donc, la somme des deux angles à la base est égale à 180° – 60° = 120°. Or, dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont de la même mesure. Donc, chacun des angles à la base mesure : 120° : 2 = 60°. Les trois angles ont la même mesure (60°) ; il s’agit bien d’un triangle équilatéral. ● © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 74 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) On se place dans le triangle BIL. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lL + BL lI = 180° – IB l Donc, BI L = 180° – 38° = 142°. Or, le triangle BIL est isocèle en B et ses deux angles à la lL et BL lI sont donc de même mesure. base BI lI = BI lL = 142° : 2 = 71°. Donc, BL On se place dans le triangle VIL isocèle en L. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure. l lI = 38°. Donc, LI V = LV De plus, dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. l l lI = 180° – 38° – 38° = 104°. Donc, IL V = 180° – LI V – LV l Calculons la mesure de l’angle BL V: l lI + IL l BL V = BL V = 71° + 104° = 175°. l Donc, l’angle BL V n’est pas un angle plat. Les points B, L et V ne sont pas alignés. 75 4) c) Le triangle ABC semble rectangle en C. l l BAC + AB C = 32° + 58° = 90°. Si la somme des mesures de 2 angles d’un triangle est égale à 90°, alors ce triangle est rectangle. Le triangle ABC est donc rectangle en C. 78 2) La citadelle de Lille a la forme d’un pentagone régulier. 79 1) Dans le triangle DEC, la somme des mesures des trois angles roses est égale à 180°. Dans le triangle ECA, la somme des mesures des trois angles bleus est égale à 180°. Dans le triangle ABC, la somme des mesures des trois angles orange est égale à 180°. Ainsi la somme des mesures des angles colorés du pentagone ABCDE est égale à 3 × 180°, c’est-à-dire à 540°. 2) Le pentagone régulier à 5 angles de même mesure et leur somme égale 540°. Ainsi chacun mesure 540° : 5°, c’est-à-dire à 108°. 80 1) Le triangle CAB est isocèle en B, d’où l lB. BA C = AC La somme des mesures de ses angles est égale à 180° avec l AB C = 108°. l lB = 180° – 108° = 72° = 36°. Ainsi BA C = AC 2 2 2) On a de même dans le triangle DAE isocèle en E : lE = AD lE = 36°. DA lC = BA lE – DA lE – BA l 3) DA C = 108° – 36° – 36° = 72° – 36° lC = 36°. DA lD = DA lC = CA lB = 36°. On remarque donc que EA Chap. 11 - Triangles : angles 103 Chapitre 12 > P r ogramme o gramme Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. > CONNAISSANCES : Angles [Reprise du programme de 6e] CAPACITÉS ● ● ● Reproduire un angle. Maîtriser l’utilisation du rapporteur. Sur papier uni, reproduire un angle au compas. ■ Commentaires La connaissance ainsi développée des figures ci-contre conduit à les situer les unes par rapport aux autres en mettant en évidence leurs propriétés communes et des propriétés différentes. > CONNAISSANCES : Caractérisation angulaire du parallélisme ■ Commentaires Pour la reproduction d’un angle : usage d’un gabarit ou du rapporteur. L’usage du rapporteur doit faire l’objet d’un approfondissement. > CONNAISSANCES : Propriétés des triangles usuels [Reprise du programme de 6e] CAPACITÉS Connaître les propriétés relatives aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. CAPACITÉS Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante et leurs réciproques. ■ Commentaires À cette occasion, le vocabulaire suivant est également utilisé : angles opposés par le sommet, angles alternes internes, angles correspondants, angles adjacents, angles complémentaires, angles supplémentaires. Les propriétés sont formulées et utilisées dans les deux sens (direct et réciproque), mais certaines réciproques peuvent être déclarées admises sans démonstration. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigible en fin de Quatrième – Reproduire un angle : usage d’un gabarit, du rapporteur ou du compas. – Connaître les propriétés relatives aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. Programme de la classe de Sixième > CONNAISSANCES : *Bissectrice d’un angle > CONNAISSANCES : Angles CAPACITÉS CAPACITÉS • *Connaître et utiliser la définition de la bissectrice. • Utiliser différentes méthodes pour tracer la bissectrice d’un angle. • • • – – ■ Commentaires *La bissectrice d’un angle est définie en Sixième comme la demi-droite qui partage l’angle en deux angles adjacents de même mesure. La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale. 104 Reproduire un angle. Comparer des angles sans avoir recours à leur mesure. *Utiliser un rapporteur pour : déterminer la mesure en degré d’un angle ; construire un angle de mesure donnée en degré. ■ Commentaires *Le rapporteur est un nouvel instrument de mesure qu’il convient d’introduire à l’occasion de la construction et de l’étude des figures. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Programme de la classe de Quatrième > CONNAISSANCES : Triangle rectangle : cosinus d’un CAPACITÉS angle • • – – CAPACITÉS • Utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d’un angle aigu et les longueurs des côtés adjacents. • Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée : – du cosinus d’un angle aigu donné ; – de l’angle aigu dont le cosinus est donné. > CONNAISSANCES : Triangle rectangle : cercle circonscrit Connaître et utiliser la définition de la bissectrice. Utiliser différentes méthodes pour tracer : la médiatrice d’un segment ; la bissectrice d’un angle. ■ Commentaires La bissectrice d’un angle est définie comme la demi-droite qui partage l’angle en deux angles adjacents de même mesure. La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale. Cette construction n’est pas exigible dans le cadre du socle commun. > CONNAISSANCES : Bissectrices et cercle inscrit CAPACITÉS • Caractériser le triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle. • Caractériser les points d’un cercle de diamètre donné par la propriété de l’angle droit. ■ Commentaires Le cas où le demi-cercle n’est pas apparent (la longueur d’une médiane d’un triangle est la moitié de celle du côté correspondant) est étudié. > CONNAISSANCES : Bissectrice d’un angle [Reprise des programmes antérieurs] CAPACITÉS • Caractériser les points de la bissectrice d’un angle donné par la propriété d’équidistance aux deux côtés de l’angle. • Construire le cercle inscrit dans un triangle. ■ Commentaires Cette caractérisation permet de démontrer que les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes et justifie la construction du cercle inscrit. L’analogie est faite avec le résultat concernant les médiatrices des trois côtés du triangle vu en classe de Cinquième. Comm en tai res d Commentaires des e s au auteurs teu rs ➜ Les élèves ont appris à mesurer et à construire des angles en classe de Sixième. La maîtrise du rapporteur est visée en classe de Cinquième. La compétence de « reporter un angle au compas » est revue dans ce chapitre en exercice. ➜ Les angles adjacents ont déjà été vus en Sixième lors de la définition de la bissectrice. Le vocabulaire concernant les angles complémentaires, supplémentaires, opposés par le sommet, alternes-internes, cor- > respondants est mis en place en Cinquième ; des activités permettent de donner du sens à certains de ces mots. ➜ Les angles alternes-internes sont définis même si les droites ne sont pas parallèles : ils n’ont donc pas toujours la même mesure. Il en est de même pour les angles correspondants. Les propriétés directes ont été démontrées ; les propriétés réciproques sont admises et conjecturées grâce à des logiciels. A cti Ac tiv v ités i tés ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C OMMENTAI RE S : Cette activité est l’occasion de découvrir un peintre français Raoul Dufy à travers une œuvre moins connue que celles que l’on présente habituellement pour aborder ce peintre. On découvre également l’utilisation cachée de la géométrie dans l’art avec la composition des tableaux, thème que l’on retrouvera à la dernière page du chapitre avec Léonard de Vinci. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. C ORRIGÉ Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Chap. 12 - Angles 105 1 JE RECONNAIS DES ANGLES ADJACENTS Objectif Trouver une définition de deux angles adjacents. Prérequis Demi-droites ; angles. Paragraphe introduit ! Paires d’angles a) Angles adjacents ■ C O M M E NTAI R E S : On peut remarquer que si deux angles ont un côté commun, ils ont forcément leur sommet en commun. On a choisi de citer quand même dans la définition la condition « un sommet commun » pour insister auprès des élèves. 2 C ORRIGÉ 1) Les figures pour lesquelles l’angle jaune et l’angle rose ont un sommet commun sont les figures 1, 2, 4, 5. 2) a) Deux demi-droites sont confondues si elles ont tous leurs points en commun donc, en particulier, la même origine. b) L’angle jaune et l’angle rose ont un côté commun pour les figures 1, 2, 4. 3) Deux angles adjacents sont situés de part et d’autre de leur côté commun. 4) Deux angles adjacents sont deux angles qui ont un côté commun, un sommet commun et sont situés de part et d’autre de ce côté commun. JE DÉMONTRE UNE PROPRIÉTÉ DES ANGLES OPPOSÉS PAR LE SOMMET Objectifs Prérequis Définir deux angles opposés par le sommet. ● Démontrer la propriété des angles opposés par le sommet. ● ● ● Paragraphe introduit Angles adjacents. Propriétés de la symétrie axiale. ! Paires d’angles c) Angles opposés par le sommet CORRIG É A 1) 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lC, CO lE et EO lB correspondent respectiveb) Les angles AO ment aux parties 2, 3 et 4 de la figure. lE n’est pas adjacent à l’angle AO lB. c) Seul l’angle CO 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site B 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) a) Le point A’ est le symétrique du point A par rapport au point O. Les point A, O et A’ sont donc alignés. Comme A et O appartiennent à la droite (d), on a : (AO) = (d) et donc A’ Z (d). b) On démontre de même que le point B’ appartient à la droite (d’). lB et A’O m c) Les angles AO B’ sont formés par deux droites sécantes (d) et (d’) et ne sont pas adjacents car ils n’ont pas de côtés communs ; ils sont donc opposés par le sommet. lB et A’O mB’ sont symétriques par rapport d) Les angles AO au point O. Comme la symétrie centrale conserve les angles, ils ont donc la même mesure. www.phare-prof.hachette-education.com 3 JE RECONNAIS DES ANGLES ALTERNES-INTERNES, DES ANGLES CORRESPONDANTS Objectif Prérequis Paragraphes introduits Définir les angles alternes-internes et les angles correspondants. — ! Paires d’angles d) Angles alternes-internes e) Angles correspondants Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) a) Deux angles alternes-internes sont situés de part et d’autre de la droite (Δ). 106 www.phare-prof.hachette-education.com B 1) 2) 3) a) et c) CORRIG É A 1) b) Deux angles alternes-internes sont situés entre les droites (d) et (d’). c) Le mot alterne signifie d’un côté et de l’autre. Le mot interne signifie entre les droites, c’est-à-dire à l’intérieur de la partie de plan située entre les deux droites. d) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) Deux angles correspondants sont situés du même côté de la droite (Δ). © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 4 JE DÉMONTRE QUE DES ANGLES SONT ÉGAUX Objectif Démonstration des propriétés directes sur droites parallèles et angles : – les angles alternes-internes ont la même mesure ; – les angles correspondants ont la même mesure. Prérequis Propriétés des angles opposés par le sommet. Paragraphe introduit @ Droites parallèles et angles a) Propriétés directes CO RRI G É lI et IB lF sont alternes-internes. 1) Les angles CA 2) a) Les points A et B sont symétriques par rapport au point I car I est le milieu du segment [AB] d’après l’énoncé. b) Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle. c) Le symétrique de la droite (d) par rapport au point I est une droite parallèle à (d) qui contient en particulier l’image > du point A (donc le point B). C’est donc la droite (d’) puisque cette droite répond à la question et que, d’après l’axiome d’Euclide : « Étant donné un point B et une droite (d), il existe une droite et une seule passant par le point B et parallèle à la droite (d). » lI par rapport au point I est d) Le symétrique de l’angle CA lI donc l’angle IB lF. l’angle FB e) La symétrie centrale conserve les angles, donc les angles lI et IB lF ont la même mesure. CA f) « Si deux droites sont parallèles et forment avec une même sécante des angles alternes-internes, alors ces angles alternes-internes ont la même mesure. » lE et IB lF sont correspondants. Les 3) a) Les angles PA lE et CA lI sont opposés par le sommet. angles PA b) On sait que deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. lE = CA lI. Donc PA lI et IB lF ont la De plus d’après la question 2) les angles CA même mesure. lE et IB lF ont la même mesure. Donc, les angles PA Ex e rc ic Exe i ces es 1 a) Non, car ils n’ont pas le même sommet. b) En effet, ils ont le même sommet, un côté commun et ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun. 2 a) Non, car ils ne sont pas de part et d’autre d’un côté commun. b) En effet, ils ont le même sommet, un côté commun et ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun. 3 1) a) Le sommet est O. lB sont les demi-droites [OA) et b) Les côtés de l’angle AO [OB). lC sont les demi-droites [OB) et Les côtés de l’angle BO [OC). 2) On ne peut pas affirmer que ces angles sont adjacents même s’ils ont le même sommet O et un côté commun [OB). On ne sait pas s’ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun. 4 a) b) Figure 1 : 68° + 22° = 90°. Les deux angles sont donc complémentaires. Figure 2 : 57° + 23° = 80°. Les deux angles ne sont donc ni complémentaires ni supplémentaires. Figure 3 : les deux angles sont supplémentaires ; leur somme est bien égale à 180°. Figure 4 : 132° + 58° = 190°. Les deux angles ne sont donc ni complémentaires ni supplémentaires. 5 lP = 90° – AB lC = 90° – 58° = 32° a) CO lP = 180° – AB lC = 180° – 58° = 122° SU lP = 90° – AB l b) CO C = 90° – 21° = 69° lP = 180° – AB lC = 180° – 21° = 159° SU lP = 90° – AB l c) CO C = 90° – 15° = 75° l l SUP = 180° – ABC = 180° – 15° = 165° lP = 90° – AB l d) CO C = 90° – 45° = 45° lP = 180° – AB lC = 180° – 45° = 135° SU © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. lP = 90° – AB lC = 90° – 30,5° = 59,5° e) CO l l SUP = 180° – ABC = 180° – 30,5° = 149,5° lP = 90° – AB l f) CO C = 90° – 90° = 0° lP = 180° – AB lC = 180° – 90° = 90° SU 6 a) Ils ne sont pas opposés par le sommet car leurs côtés ne sont pas dans le prolongement l’un de l’autre. b) En effet, ces deux angles sont opposés par le sommet ; ils ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre. c) Ils ne sont pas opposés par le sommet car leurs côtés ne sont pas dans le prolongement l’un de l’autre. d) En effet, ces deux angles sont opposés par le sommet ; ils ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre. 7 a) Correspondants. b) Alternes-internes. c) Ni l’un ni l’autre. d) Ni l’un ni l’autre. e) Ni l’un ni l’autre ; ils sont opposés par le sommet. f) Correspondants. g) Ni l’un ni l’autre. h) Ni l’un ni l’autre. 8 a) 4 et 6 ; 3 et 5 b) 1 et 5 ; 4 et 8 ; 2 et 6 ; 3 et 7 9 Les angles 1 et 5 sont correspondants donc égaux dans le cas où les droites (d) et (d’) sont parallèles. 10 L’angle noir et l’angle vert sont correspondants et de même mesure. Donc, les droites (d) et (d’) sont parallèles. 11 1) L’angle rose et l’angle jaune sont alternesinternes. De plus, les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Donc, l’angle rose et l’angle jaune sont égaux. L’angle rose mesure donc 25°. Chap. 12 - Angles 107 lD et AE lF sont supplémentaires. 2) Les angles AE l Donc, AEF = 180° – 25° = 155°. 12 lE et AB l 1) Les angles CB E sont supplémentaires. l Donc, CBE = 180° – 87° = 93°. lE et l’angle FE lT sont correspondants. De 2) L’angle CB plus, les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Donc, l’angle lE et l’angle FE lT sont égaux. L’angle FE lT mesure donc CB 93°. 13 l lC sont opposés par le som1) Les angles AB E et GB lC = 78°. met donc égaux. Donc, GB lT et l’angle AB lE sont correspondants. De 2) L’angle DE plus, les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Donc, l’angle lT et l’angle AB lE sont égaux. L’angle DE lT mesure donc DE 78°. lT et BE lF sont opposés par le sommet donc 3) Les angles DE l égaux. Donc, BEF = 78°. 14 lE et l’angle BE lF sont alternes-internes. L’angle AB De plus, les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Donc, lE et l’angle BE lF sont égaux. L’angle BE lF mesure l’angle AB donc 73°. lF et BE lD sont supplémentaires. Les angles BE lD = 180° – BE lF = 180° – 73° = 107°. Donc, BE 24 lB et KA lB sont supplémentaires. Les angles RA lB = 180° – KA lB = 180° – 17° = 163° a) RA lB = 180° – KA lB = 180° – 63° = 117° b) RA lB = 180° – KA lB = 180° – 81° = 99° c) RA lB = 180° – KA lB = 180° – 58° = 122° d) RA 25 lR et KA lB ; EA lK et BA lC a) EA lA et CR lI ; ER lC et AR lI b) ER 26 lA et CR lI 1) ER l l 2) CAK et GB I 3) Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure. 27 lB et GB lA ; IB lA et KA lB a) CA l l l l l lF ; CB lA et IB lF b) IBA et RAE ; GBA et KAE ; KAB et GB 28 lI et OI lR a) AR l l b) BIR et ARE 29 lA et RA lB a) ER l l b) ERA et EAK 30 15 a) Les angles jaunes sont correspondants et de même mesure. Donc, les droites (d) et (d’) sont parallèles. b) L’angle rose et l’angle bleu sont alternes-internes et de même mesure. Donc, les droites (d) et (d’) sont parallèles. 16 lY et AT l Les angles IA E sont correspondants et de même mesure. Donc, les droites (MY) et (OE) sont parallèles. 17 lN et NU mY sont supplémentaires. Les angles GU m l Donc, NUY = 180° – GU N = 180° – 49° = 131°. mY et ANU sont alternes-internes et De plus, les angles NU de même mesure. Donc, les droites (GY) et (AE) sont parallèles. 18 lK et KA lB. 1) EA l l l lG ; FB lG et GB lA. 2) ABI et IBF ; IBF et FB lB et IB lF a) CI l l b) CIB et ABG 31 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 32 mE et AM mI sont opposés par le 1) Les angles YM mI = 29°. sommet, donc égaux. Donc, AM m mI sont supplémentaires. 2) Les angles TA M et MA mI = 180° – TA m Donc, MA M = 180° – 119° = 61°. 3) Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°. m mI – AM mI = 180° – 61° – 29° = 90°. Donc, AI M = 180° – MA Donc, le triangle AMI est rectangle en I. 33 L’angle rose et l’angle bleu sont alternes-internes et de même mesure. Donc, les droites (d) et (d’) sont parallèles. 19 lB et EA lR. 1) KA 2) Non, car ils ne sont pas de part et d’autre du côté commun [IC). 34 L’angle orange et l’angle vert sont correspondants et de même mesure. Donc, les droites (d) et (d’) sont parallèles. 20 lR et CI l 1) Les angles CI O sont adjacents et leurs valeurs sont connues. lR = OI l lR = 90° + 22° = 112°. Donc, OI C + CI l l 2) Les angles RI B et RI O sont supplémentaires. l l Donc, RIB = 180° – RIO = 180° – 112° = 68°. 21 lI et IB lF ; IB lF et FB lG ; FB lG et GB lA ; GB lA et AB lI. AB 22 lC et AR lI a) ER l l b) RAB ; EAK 23 lB est un angle droit. 1) CI l l Les angles CIR et RI B sont complémentaires et adjacents. 2) CRI est un triangle rectangle. lI et RI l Les angles RC C sont complémentaires et non adjacents. 3) Le triangle EAR est un triangle rectangle en R. Donc, les lR et AE lR sont complémentaires. angles EA 108 35 lA et AB lE sont supplémentaires. Les angles FB lE = 180° – FB lA = 180° – 148° = 32° Donc, AB lE et CA lU sont correspondants et de même Les angles AB mesure (32°). Donc, les droites (d) et (d’) sont parallèles. 36 lI et RA lF sont opposés par le sommet Les angles GA donc de même mesure. lF = 156°. Donc, RA lF et OR lC sont correspondants et de même Les angles RA mesure. Donc, les droites (d) et (d’) sont parallèles. 37 Les droites (UT) et (JI) sont parallèles. lS et IJ l De plus, les angles TU U sont correspondants. lS = IJ l Donc, TU U = 48°. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 38 a) Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°. Donc, l SI J = 180° – l SJ I – l IS J = 180° – 48° – 78° = 54°. b) Les droites (UT) et (JI) sont parallèles. lI et l De plus, les angles ET SI J sont alternes-internes. lI = l Donc, ET SI J = 54°. lI et ET lI sont supplémentaires. c) Les angles UT l l Donc, UT I = 180° – ET I = 180° – 54° = 126°. 39 l Les angles l JIE et EI C sont supplémentaires. l Donc, EI C = 180° – l JIE = 180° – 132° = 48°. l lI sont correspondants et de même Les angles EI C et UJ mesure. Donc, les droites (JS) et (EI) sont parallèles. > Je fais fai s l e po p o int lR et AI lT sont opposés par le 1) Les angles EI sommet donc de même mesure. lT = EI lR = 48°. Donc, AI lG et OI lS sont opposés par le De même, les angles NI sommet donc de même mesure. lG = OI lS = 19°. Donc, NI lS et GI lE sont opposés par le De même, les angles TI sommet donc de même mesure. lS = GI lE = 19°. Donc, TI Ainsi, il est possible de faire la somme des angles suivants : lT + TI lS + SI l l l l AI O + RI E + EI G + GI N = 2 × 48° + 4 × 19° = 172° La somme de tous les angles adjacents qui font le tour du point I est de 360°. l l Donc, il reste à faire la somme des angles AI N et RI O: l l AI N + RI O = 360° – 172° = 188°. Or, ces deux angles sont opposés par le sommet, donc de même mesure. l Donc, AI N = 188° : 2 = 94°. 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 55 lA et AC lD sont complémen1) a) Les angles FC taires. lA = 90° – AC lD = 90° – x. Donc, FC lA ; b) Puisque la droite (CF) est la bissectrice de l’angle BC lF = FC lA = 90° – x. alors BC lA et AC lD sont supplémentaires. c) Les angles EC lA = 180° – AC lD = 180° – x. Donc, EC 2) a) Puisque la droite (CF) est la bissectrice de l’angle lA, alors BC lA = 2 × BC lF = 2(90° – x). BC lA = 2(90° – x) = 2(90° – 25°) = 130°. b) Si x = 25°, BC lA = 2(90° – x) = 2(90° – 60°) = 60°. Si x = 60°, BC 56 1) L’angle jaune et l’angle bleu sont alternesinternes avec les droites (d) et (d’) parallèles. Donc, ces deux angles sont de même mesure : 3x = 135. 2) a) Lorsque x = 26 ; 3 × 26 = 78 ⫽ 135. b) Lorsque x = 74 ; 3 × 74 = 222 ⫽ 135. c) Lorsque x = 45 ; 3 × 45 = 135. lC sont supplémen1) L’angle jaune et l’angle AB taires. lC = 180° – EB lA = 180° – 2x. Donc, AB l lF sont correspondants avec De plus, les angles AB C et GA les droites (d) et (d’) parallèles. Donc, ces angles sont de même mesure. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 1) 2) Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) a) Ces deux triangles sont superposables. mG = AN lG = 115° b) A’O c) Ce programme de construction permet de reproduire un angle de même mesure qu’un angle donné sans rapporteur, uniquement au compas et à la règle. 41 à 43 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Les exercices 44 à 53 sont corrigés à la page 291 du manuel élève. 54 57 40 180 – 2x = 32 2) a) Lorsque x = 26 ; 180 – 2 × 26 = 128 ⫽ 32. b) Lorsque x = 74 ; 180 – 2 × 74 = 32. c) Lorsque x = 45 ; 180 – 2 × 45 = 90 ⫽ 32. 58 L’angle vert et l’angle rouge sont des angles correspondants pour les droites (WN) et (SG) coupées par la sécante (SI). Si les droites (WN) et (SG) étaient parallèles, l’angle vert et l’angle rouge auraient la même valeur. Or, l’angle vert et l’angle rouge n’ont pas la même valeur, donc les droites (WN) et (SG) ne sont pas parallèles. 59 L’angle bleu et l’angle rouge sont alternesinternes, mais n’ont pas la même valeur. Donc, les droites (d) et (d1) ne sont pas parallèles. 60 a) L’angle bleu et l’angle rose sont correspondants avec les droites (d) et (d1) qui ne sont pas parallèles. Donc, l’angle bleu et l’angle rose ne sont pas de même mesure. b) L’angle bleu et l’angle jaune sont opposés par le sommet donc de même mesure. 61 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lG et AB lC sont opposés par le sommet 2) Les angles TB donc de même mesure. lC = 47°. Donc, AB lC et HA lV sont correspondants et de De plus, les angles AB même mesure. Donc, les droites (d) et (d1) sont parallèles. 62 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com l lC sont supplémentaires. 2) Les angles CB G et AB lC = 180° – CB l Donc, AB G = 180° – 151° = 29°. lC et HA l De plus, les angles AB M sont correspondants, mais pas de même mesure. Donc, les droites (d) et (d1) ne sont pas parallèles. 63 Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com Chap. 12 - Angles 109 64 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) On se place dans le triangle MIN pour calculer la valeur lN. de l’angle IM Dans un triangle, la somme des valeurs des angles est toujours égale à 180°. lN = 180° – 53° – 99° = 28°. Donc, IM lN et NU lO sont alternes-internes pour les Les angles IM droites (MI) et (OU) coupées par la sécante (MU). De plus, ces angles sont de la même valeur ; donc les droites (MI) et (OU) sont parallèles. 65 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Les droites (AH) et (KO) sont perpendiculaires au segment [CB]. Or, deux droites perpendiculaires à un même segment sont parallèles entre elles. Donc, les droites (AH) et (KO) sont parallèles. lK et OK lB sont correspondants avec De plus, les angles HA les droites (AH) et (KO) coupées par la sécante (AB). lK et OK lB sont de même valeur. Donc, les angles HA 66 lJ et l 1) a) Les angles BI IJC sont alternes-internes et les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Donc, les angles lJ et l BI IJC sont de même mesure. lR = BI lJ, puisque BI lJ = IJ l b) Puisque AI C et puisque l l l l l lT sont de la IJC = TJ D, alors les angles RIA, BI J, IJC et DJ même mesure. lB et CJ lD sont des angles plats. 2) a) Les angles AI lJ = 180° – AI lR – BI lJ = 180° – 2 × AI lR RI l l l l lR IJ T = 180° – IJC – TJ D = 180° – 2 × TJ D = 180° – 2 × AI lJ et l Ainsi, les angles RI IJ T sont de même mesure. lJ et l b) Les angles RI IJ T sont alternes-internes avec les droites (SI) et (JT) coupées par la sécante (IJ). De plus, ces angles sont de la même valeur. Donc, les droites (SI) et (JT) sont parallèles. 67 a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Je donne des noms aux points utiles. Je prolonge la droite (AB) pour utiliser le fait que les droites sont parallèles d’après l’énoncé. Je pourrais ainsi utiliser les propriétés directes sur « droites parallèles et angles ». lC mesure 35° car il est alterne-interne avec L’angle AE lB pour les droites parallèles (d) et (d’) coupées l’angle FA lC et FA lB ont donc la par la sécante (AB). Les angles AE même mesure. lE est supplémentaire avec l’angle AB lC car les L’angle CB lE = 180° – 45° = 135°. points A, B, E sont alignés. Donc CB Dans le triangle BCE, la somme des angles fait 180°. lE = 180° – (135° + 35°) = 180° – 170° = 10°. Donc BC L’angle rose mesure donc 10°. b) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Je donne des noms aux points utiles. Je prolonge la droite (AB) pour utiliser le fait que les droites sont parallèles d’après l’énoncé. Je pourrais ainsi utiliser les propriétés directes sur « droites parallèles et angles ». lF mesure 145° car il est alterne-interne avec L’angle BE l l’angle GA B pour les droites parallèles (d) et (d’) coupées lF et GA lB ont donc la par la sécante (AB). Les angles BE même mesure. 110 Les points C, E, F sont alignés. lF = 180° et CE lB = 180° – 145° = 35°. Donc CE Les points A, B, E sont alignés. lE = 180° – 68° = 112°. Donc CB Dans le triangle CBE, la somme des angles fait 180°. lB = 180° – (112° + 35°) = 180° – 147° = 33°. Donc EC L’angle rose mesure donc 33°. 68 1) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) Le point B n’appartient pas au petit arc de cercle AC. Le segment [AC] n’est pas un diamètre. Le point I est le milieu du segment [AC] ; donc IA = IC. Les points A et C appartiennent à un cercle de centre O. Donc OA = OC. Les points O et I sont deux points équidistants des points A et C. La droite (OI) est donc la médiatrice du segment [AC]. Elle est donc perpendiculaire au segment [AC]. La droite (BH) est la hauteur issue de B dans le triangle ABC. La droite (BH) est donc perpendiculaire au segment [AC]. Les droites (OI) et (BH) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite, la droite (AC). Elles sont donc parallèles d’après le théorème : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles. » lI et BI l Les angles HB O sont alternes-internes pour les droites (BH) et (OI) coupées par la sécante (BI). Comme les droites (BH) et (OI) sont parallèles, les angles sont égaux. 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) Le point B appartient au petit arc de cercle AC. Comme au 1) on démontre que les droites (BH) et (OI) sont parallèles. lI et BI l Les angles HB M sont alternes-internes pour les droites (BH) et (OI) coupées par la sécante (BI). Comme les droites (BH) et (OI) sont parallèles, les angles alternesinternes sont égaux. l lB Les point O, I, M sont alignés donc les angles BI M et OI sont supplémentaires. lI et BI l Par conséquent, les angles HB O le sont également. 69 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com l lR 2) a) TI C et TI lI et IR l b) TR U c) Tous les angles adjacents sont supplémentaires ou complémentaires. l l 3) a) TI C et RI U lI et RU lI b) TR 70 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lD et DB lC sont adjacents et complé2) a) Les angles AB mentaires. b) D’après la question précédente, on peut calculer la lC : mesure de l’angle DB lC = 90° – AB lD = 90° – 33° = 57°. DB lD et BD lC sont alternes-internes avec les 3) Les angles AB lC = AB lD = 33°. droites (AB) et (DC) parallèles. Donc, BD l l 4) Les angles BOC et AOD sont opposés par le sommet lD = BO lC. donc de même mesure. Donc, AO © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 71 1) 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) L’angle rouge et l’angle vert sont alternes-internes et les droites (RE) et (CT) sont parallèles. Donc, ces deux angles sont de même mesure. 3) Ces deux angles sont correspondants pour les droites (RE) et (ET) coupées par la sécante (RC). Or, les droites (RE) et (ET) ne sont pas parallèles (puisque sécantes en E) ; donc ces angles correspondants ne sont pas de même mesure. 72 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lK et AO lC sont opposés par le sommet 2) Les angles RO lK = AO lC = 105°. donc de même mesure. Donc, RO 3) Dans le triangle AOC, calculons la mesure de l’angle lO. AC Dans tout triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. lO = 180° – CA lO – AO lC = 180° – 52° – 105° Donc, AC = 23° lO et KR lO sont alternes-internes avec De plus, les angles AC les droites (RK) et (AC) coupées par la sécante (RC). Comme ces deux angles sont de même mesure, on peut en conclure que les droites (RK) et (AC) sont parallèles. 73 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lC et AC lB sont alternes-internes avec (EA) 2) Les angles EA lC = AC lB. et (CB) droites parallèles. Donc, EA l l 3) Les angles EAF et CBA sont correspondants avec les lF = AB lC. droites (EA) et (CB) parallèles. Donc, EA l 4) a) FAB est un angle plat puisque A appartient au segment [FB]. lB = 180°. Donc, FA lE + EA lC + CA lB = FA lB = 180° b) FA l l lC = BC lA, alors : c) Puisque FAE = CBA et puisque EA lC + AC lB + CA lB = 180° AB Nous venons de redémontrer la propriété suivante : « Dans tout triangle, la somme des valeurs des trois angles est toujours égale à 180°. » © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 74 4) Le logiciel affirme que les droites sont parallèles. 5) Les droites (AB) et (A’C) restent parallèles. 75 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Commentaires : Comme à la première page du chapitre, on s’intéresse à la composition d’un tableau avec cette fois Léonard de Vinci. La géométrie est à nouveau présente dans l’art de façon cachée. 1) Le personnage central est Jésus-Christ. 2) 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site 76 www.phare-prof.hachette-education.com lC et OF lD sont correspondants pour 4) a) Les angles GE les droites (BC) et (AD) coupées par la sécante (EF). Les droites (BC) et (AD) sont parallèles car ABCD est un carré. Or : « Si deux droites sont parallèles et forment avec une même sécante des angles correspondants, alors ces angles correspondants ont la même mesure. lC et EF lD ont la même mesure. » Donc, les angles GE l l b) Les angles BA C et AC D sont alternes-internes pour les droites (AB) et (DC) coupées par la sécante (AC). Les droites (AB) et (DC) sont parallèles car ABCD est un carré. Or : « Si deux droites sont parallèles et forment avec une même sécante des angles alternes-internes, alors ces angles alternes-internes ont la même mesure. lC et AC lD ont la même mesure. » Donc, les angles BA 77 lC et AS lB sont deux angles aigus opposés 1) a) ES par le sommet. lA et AS lB sont adjacents. b) ES l l c) ES C et CSB sont supplémentaires. lS et SB lC sont alternes-internes pour 2) a) Les angles AE les droites (EA) et (CB) coupées par la sécante (EB). Comme les droites (EA) et (CB) sont parallèles, les angles alternesinternes sont égaux. lS et AS lB sont correspondants pour les b) Les angles AE droites (EA) et (AS) coupées par la sécante (EB). Les droites (EA) et (AS) ne sont pas parallèles puisqu’elles ont le point lS et AS lB ne sont donc pas A en commun. Les angles AE égaux puisque s’ils l’étaient, les droites seraient parallèles d’après la propriété : « Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles. » Chap. 12 - Angles 111 Chapitre 13 > P r ogramme o gramme Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d’un astérisque l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. tés, notamment pour la reconnaissance d’un parallélogramme, d’un rectangle, d’un losange ou pour leur tracé. > CONNAISSANCES : • Figures planes • Parallélogramme CAPACITÉS CAPACITÉS Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles) du parallélogramme. Construire, sur papier uni, un parallélogramme donné (et notamment dans les cas particuliers du carré, du rectangle, du losange) en utilisant ses propriétés. ■ Commentaires Le travail entrepris sur la symétrie centrale permet de justifier des propriétés caractéristiques du parallélogramme que les élèves doivent connaître. Dans le cadre du socle commun il est seulement attendu des élèves qu’ils sachent utiliser en situation ces proprié- ■ Commentaires Les connaissances relatives aux quadrilatères usuels sont sollicitées dans des problèmes de construction et permettent de justifier les procédures utilisées pour construire ces quadrilatères. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Effectuer des constructions simples en utilisant : • des outils (instruments de dessin, logiciels) ; • des définitions, des propriétés (en acte et sans nécessité d’indiquer ou de justifier la méthode choisie). – Utiliser les propriétés d’une figure et les théorèmes de géométrie pour traiter une situation simple. – Raisonner logiquement, pratiquer la déduction, démontrer. (La démonstration ne doit pas faire l’objet d’une formalisation écrite.) Programme de la classe de Quatrième Les propriétés établies en classe de Cinquième sont utilisées dans le programme de Quatrième. Commen taire s des au Commentaires auteurs teu rs ➜ Le parallélogramme n’est étudié qu’à partir de la classe de Cinquième. Il est défini à partir de ses côtés opposés parallèles. ➜ La présence d’un centre de symétrie permet de démontrer les propriétés des diagonales, des côtés et des angles du parallélogramme. 112 On a distingué les propriétés directes que possède un parallélogramme, des propriétés réciproques qui permettent de reconnaître un parallélogramme. ➜ L’étude des parallélogrammes particuliers (rectangle, losange, carré) est traitée dans le chapitre 14. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. > A cti Ac tiv v ités i tés ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C OMMENTAI RE S : Cette activité permet d’observer un nouveau quadrilatère (parallélogramme) dans un univers non mathématique. 1 C ORRIGÉ 1) Les côtés opposés de ce quadrilatère sont parallèles. 2) Ce quadrilatère ne possède pas d’angle droit : ce n’est pas un rectangle. Les quatre côtés n’ont pas la même longueur : ce n’est pas un losange. JE DÉCOUVRE UN NOUVEAU QUADRILATERE Objectif Découvrir le parallélogramme. Prérequis Utiliser un logiciel de géométrie dynamique. Paragraphe introduit ! Parallélogramme a) Définition et centre de symétrie C ORRIGÉ 1) à 4) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 5) Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. ■ C OMMENTAI RE S : Cette activité permet de découvrir le parallélogramme et met en place un programme de construction. 2 JE CHERCHE LE CENTRE DE SYMÉTRIE D’UN PARALLÉLOGRAMME Objectifs ● Conjecturer la présence d’un centre de symétrie d’un parallélogramme. ● Démontrer que le centre de symétrie d’un parallélogramme est le point d’intersection de ses diagonales. Prérequis ● Paragraphe introduit ! Parallélogramme a) Définition et centre de symétrie Construction d’un parallélogramme à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. ● Symétrie centrale. ■ C OMMENTAI RE S : L’activité est construite en deux parties : conjecture et démonstration. La partie conjecture peut suffire à introduire la propriété. CORRI G É A 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Le point E est un centre de symétrie du parallélogramme ABCD. Le point E semble se situer à l’intersection des diagonales du parallélogramme. B 1) a) La droite (Δ) est le symétrique de la droite (AB) par rapport au point O. Or, le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle. Donc, les droites (Δ) et (AB) sont parallèles. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. b) Le point O est le milieu du segment [AC]. Donc, les points A et C sont symétriques par rapport au point O. Donc, la droite (Δ), symétrique de la droite (AB) par rapport au point O, passe par le symétrique du point A par rapport au point O, c’est-à-dire, le point C. c) ABCD est un parallélogramme. Donc, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. La droite (CD) est donc la droite qui passe par le point C et qui est parallèle à la droite (AB). On en déduit que la droite (CD) est la droite (Δ). Donc, le point D appartient à la droite (Δ). 2) ABCD est un parallélogramme. Donc, les droites (AD) et (BC) sont parallèles. Le symétrique de la droite (AD) par rapport au point O, passe par le symétrique du point A par rapport au point O, c’est-à-dire, le point C. Or, le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle. Le symétrique de la droite (AD) est donc la droite qui passe par le point C et qui est parallèle à la droite (AD). On en déduit que le symétrique de la droite (AD) par rapport au point O est la droite (BC). 3) Le symétrique du point B par rapport au point O est le point D. 4) Dans la symétrie de centre O, le point A a pour symétrique le point C et le point B a pour symétrique le point D. Donc, le parallélogramme ABCD a pour symétrique luimême. On peut dire que le parallélogramme admet pour centre de symétrie le point O, c’est-à-dire le point d’intersection de ses diagonales. Chap.13 - Parallélogramme 113 3 JE DÉMONTRE DES PROPRIÉTÉS DES DIAGONALES ET DES CÔTÉS D’UN PARALLÉLOGRAMME Objectifs Démontrer une propriété des diagonales d’un parallélogramme. ● Démontrer une propriété des côtés d’un parallélogramme. ● Prérequis Centre de symétrie d’un parallélogramme. Paragraphe introduit ! Parallélogramme b) Propriétés CORRIG É 1) a) ABCD est un parallélogramme de centre O. Donc, le point O est le centre de symétrie du parallélogramme ABCD. Donc, le symétrique du point A par rapport au point O est le point C. Donc, le point O est le milieu du segment [AC]. 4 JE DÉMONTRE DES PROPRIÉTÉS DES ANGLES D’UN PARALLÉLOGRAMME Objectifs ● Prérequis ● Paragraphe introduit ! Parallélogramme b) Propriétés Démontrer une propriété des angles opposés d’un parallélogramme. ● Démontrer une propriété des angles consécutifs d’un parallélogramme. Centre de symétrie d’un parallélogramme. ● Symétrie centrale. ● Angles alternes-internes. CORRIG É lB par rapport au A 1) a) Le symétrique de l’angle DA lD. point O est l’angle BC b) Or, le symétrique d’un angle par rapport à un point est un angle de même mesure. lB et BC lD ont la même mesure. Donc, les angles DA 5 lC et CB lA sont symétriques par rapport au 2) Les angles AD point O. Donc, ils ont la même mesure. 3) « Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure. » lI sont alternes-internes pour B 1) a) Les angles l JI L et ML les droites (KL) et (IJ) coupées par la sécante (IL). b) IJKL est un parallélogramme. Donc, les droites (IJ) et (KL) sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles, alors toute sécante commune forme des angles alternes-internes de même mesure. lI ont la même mesure. Donc, les angles l JI L et ML 2) a) Les points M, L et K sont alignés. lI + IL l Donc, ML K = 180°. l lI, on obtient : l l b) Comme JI L = ML JI L + IL K = 180°. 3) Or, deux angles dont la somme égale 180° sont supplémentaires. l Donc, les angles l JI L et IL K sont supplémentaires. JE RECONNAIS UN PARALLÉLOGRAMME Objectif Démontrer une propriété réciproque du parallélogramme. Prérequis Symétrie centrale. Paragraphe introduit @ Reconnaître un parallélogramme b) À partir des diagonales CORRIG É 2) Les diagonales du quadrilatère MRNS se coupent en leur milieu. 3) a) Le symétrique du point M par rapport au point I est le point N. b) Le symétrique du point R par rapport au point I est le point S. 114 b) Le symétrique du point B par rapport au point O est le point D. Donc, le point O est le milieu du segment [BD]. c) « Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. » 2) a) Le symétrique du segment [AB] par rapport au point O est le segment [CD]. Or, le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. Donc, AB = CD. b) Le symétrique du segment [AD] par rapport au point O est le segment [BC]. Or, le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. Donc, AD = BC. c) « Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. » c) Le symétrique de la droite (MR) par rapport au point I est la droite (SN). d) Or, le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle. Donc, les droites (MR) et (SN) sont parallèles. 4) Le symétrique de la droite (MS) par rapport au point I est la droite (RN). Or, le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle. Donc, les droites (MS) et (RN) sont parallèles. 5) Les côtés opposés du quadrilatère MRNS sont parallèles. Donc, le quadrilatère MRNS est un parallélogramme. 6) « Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. » © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. > Ex e rc ic Exe i ces es 1 a) b) d) e) et g) semblent être des parallélogrammes. 2 ABCD est un parallélogramme. Donc, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Donc la droite qui passe par le point C et qui est parallèle à la droite (AB) est la droite (CD). 3 ABCD est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc, BC = AD = 4 cm. 4 ABCD est un parallélogramme de centre O. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc, le point O est le milieu du segment [BD]. Donc, BD = 2 × OD = 2 × 3,5 cm = 7 cm. Le périmètre du parallélogramme ABCD est : = AB + BC + CD + AD. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc, BC = AD = 4 cm et CD = AB = 5 cm. Donc, = 5 + 4 + 5 + 4 = 18. Le périmètre du parallélogramme ABCD est 18 cm. 5 6 ABCD est un parallélogramme de centre O. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc, le point O est le milieu du segment [AC]. Ainsi, dans le triangle ABC, la droite (BO) passe par le sommet B et par le milieu du côté [AC] : la droite (BO) est donc une médiane du triangle ABC. 7 RSTV est un parallélogramme de centre I. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc, le point I est le milieu du segment [VS]. VS 8,6 Donc, IS = = = 4,3 cm. 2 2 8 RSTV est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors deux angles consécutifs sont supplémentaires. lT = 180° – VR lS = 180° – 57° = 123°. Donc : RS 9 RSTV est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure. lV = SR lV = 57°. Donc, ST 12 Dans le quadrilatère PAUL, les côtés [PA] et [UL] ont la même longueur. De plus, les droites (PA) et (UL) sont perpendiculaires à la même droite. Or, si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, alors elles sont parallèles. Donc les droites (PA) et (UL) sont parallèles. Or, si un quadrilatère non croisé possède deux côtés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, PAUL est un parallélogramme. 13 Dans le quadrilatère JACK : l l KJ A + JA C = 127° + 63° = 190°. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors deux angles consécutifs sont supplémentaires. Donc le quadrilatère JACK n’est pas un parallélogramme. 14 à 27 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 28 Dans le quadrilatère PUCE, les diagonales se coupent en leur milieu. Or, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, PUCE est un parallélogramme. 29 On a (PU) // (CE) et (UC) // (PE). Or, si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, PUCE est un parallélogramme. 30 Dans le quadrilatère PUCE, on a PU = CE et UC = PE. Or, si les côtés opposés d’un quadrilatère non croisé ont la même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, PUCE est un parallélogramme. 31 Dans le quadrilatère PUCE, on a PU = CE et (PU) // (CE). Or, si un quadrilatère non croisé possède deux côtés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, PUCE est un parallélogramme. 32 10 Dans le quadrilatère non croisé VITE, on a VE = IT et IV = TE. Or, si les côtés opposés d’un quadrilatère non croisé ont la même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, VITE est un parallélogramme. 11 Dans le quadrilatère SEUL, les diagonales se coupent en leur milieu. Or, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, SEUL est un parallélogramme. Dans le quadrilatère PAUL, les côtés opposés ont la même longueur. Or, si les côtés opposés d’un quadrilatère non croisé ont la même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, PAUL est un parallélogramme. Dans le quadrilatère PAUL, les diagonales se coupent en leur milieu. Or, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, PAUL est un parallélogramme. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 33 Chap.13 - Parallélogramme 115 34 43 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Dans le quadrilatère ABCD, le point O est le milieu du segment [BD]. D’autre part, les points A et C sont symétriques par rapport au point O. Donc, le point O est aussi le milieu du segment [AC]. Or, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, ABCD est un parallélogramme. 35 1) ABCD est un parallélogramme. Donc, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Comme E appartient à (AB) et F appartient à (CD), on en déduit que (EB) est parallèle à (DF). 2) De plus, on a EB = DF. Or, si un quadrilatère non croisé possède deux côtés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, EBFD est un parallélogramme. 36 BCFE ; BDGE ; CDGF ; ADFC ; ADHE ; CFHE ; CDFE. 37 1) Le quadrilatère GRAS est un quadrilatère croisé. Donc, GRAS n’est pas un parallélogramme. 2) ARSG ; RSGA ; SGAR ; GSRA. 38 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1) Le quadrilatère MNOP est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors deux angles consécutifs sont supplémentaires. lP = 180° – MN lO = 180° – 65° = 115°. Donc : NM 2) Le quadrilatère MNOP est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure. lO = MN lO = 65° et NO lP = NM lP = 115°. Donc, MP 44 Le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors deux angles consécutifs sont supplémentaires. Donc, l IJK = 180° – l LI J = 180° – 112° = 68°. De plus, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure. lJ = l l Donc, LK LI J = 112° et IL K=l IJK = 68°. 45 1) Le quadrilatère RSTV est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors deux angles consécutifs sont supplémentaires. lT = 180° – VR lS = 180° – 120° = 60°. Donc, RS lT = RS lT – RS lV = 60° – 35° = 25°. 2) VS 46 lR et OR lU et sont alternes-internes 1) Les angles PO pour les droites (PO) et (RU) coupées par la sécante (OR). 2) Le quadrilatère POUR est un parallélogramme. Donc, les droites (PO) et (RU) sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles, alors toute sécante commune forme des angles alternes-internes de même mesure. lU = PO lR = 47°. Donc, OR 47 et 48 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) EACB ; AFCB ; ABGC. 39 1) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc, BC = AD = 5 cm et CD = AB = 8 cm. 2) = AB + BC + CD + AD = 8 + 5 + 8 + 5 = 26. Le périmètre du parallélogramme ABCD est 26 cm. 40 Le quadrilatère PION est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc, IO = PN = 4,2 cm et ON = PI = 6,5 cm. = PI + IO + ON + PN = 6,5 + 4,2 + 6,5 + 4,2 = 21,4. Le périmètre du parallélogramme PION est 21,4 cm. 49 1) Le quadrilatère LPER est un parallélogramme de centre S. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc, le point S est le milieu du segment [RP]. RP 8 = = 4. Donc : SR = 2 2 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 50 à 41 Le quadrilatère JOEL est un parallélogramme de centre N. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc, le point N est le milieu des segments [JE] et [LO]. Donc, JE = JN × 2 = 4,8 cm × 2 = 9,6 cm et LO = NO × 2 = 3,2 cm × 2 = 6,4 cm. 42 Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme de centre I. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc, le point I est le milieu des segments [EG] et [FH]. EG 6 Donc, EI = = =3 2 2 FH 9 et FI = = = 4,5. 2 2 EF + EI + FI = 7 + 3 + 4,5 = 14,5. Le périmètre du triangle EFI est 14,5 cm. 116 54 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 55 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Dans le quadrilatère ABEF, les points E et F sont les symétriques respectifs des points A et B par rapport au point C. Donc, le point C est le milieu des segments [AE] et [BF]. Or, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, ABEF est un parallélogramme. 56 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 2) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Donc, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. De plus, le point E est le symétrique du point D par rapport au point C. Donc, le point E appartient à la droite (CD). On en déduit que les droites (AB) et (CE) sont parallèles. D’autre part, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc, AB = CD. De plus, le point E est le symétrique du point D par rapport au point C. Donc, CE = CD. On en déduit que AB = CE. Ainsi, dans le quadrilatère ABEC, (AB) // (CD) et AB = CE. Or, si un quadrilatère non croisé possède deux côtés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, ABEC est un parallélogramme. 57 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Par construction, les droites (IH) et (JL) sont parallèles. D’autre part, le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. Donc, les droites (IJ) et (KL) sont parallèles. > 70 Je fais fai s l e po p o int et 71 72 1) Les quadrilatères ABCD et DCEF sont des parallélogrammes. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc, AB = DC = x + 1 ; BC = AD = x ; FE = DC = x + 1 ; CE = DF = x. Périmètre du parallélogramme ABCD : 1 = AD + AB + BC + CD = x + x + 1 + x + x + 1 = 4x + 2. 2) a) Périmètre du polygone ABCEFD : 2 = AB + BC + CE + EF + FD + DA 2 = x + 1 + x + x + x + 1 + x + x = 6x + 2. b) Le périmètre du polygone est 20 cm. Donc, on a : 6x + 2 = 20. Pour x = 2 6x + 2 = 6 × 2 + 2 = 14. 6x + 2 = 6 × 3 + 2 = 20. Pour x = 3 6x + 2 = 6 × 4 + 2 = 26. Pour x = 4 L’égalité est vraie pour x = 3. Donc x peut être égal à 3. 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lD et BD lC sont alternes-internes pour les 2) Les angles AB droites (AB) et (CD) coupées par la sécante (BD). De plus, ABCD est un parallélogramme. Donc, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles, alors toute sécante commune forme des angles alternes-internes de même lC = AB lD = 44°. mesure. Donc, BD l l l D’où, ADC = ADB + BDC = 53° + 44° = 97°. D’autre part, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors deux angles consécutifs sont supplémentaires. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 58 Le segment [AB] est un diamètre du cercle () de centre 0. Donc, le point O est le milieu du segment [AB]. Le segment [ED] est un diamètre du cercle (’) de centre 0. Donc, le point O est aussi le milieu du segment [ED]. Or, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, AEBD est un parallélogramme. 59 Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme de centre O. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc, le point O est le milieu du segment [BD]. D’autre part, les points E, O et F sont alignés et EO = OF. Donc, le point O est aussi le milieu du segment [EF]. Or, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, EBFD est un parallélogramme. Les exercices 60 à 69 sont corrigés à la page 291 du manuel élève. Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 73 Comme le point H appartient à la droite (LK), les droites (IJ) et (LH) sont parallèles. Ainsi, les côtés opposés du quadrilatère IJLH sont parallèles. Donc, le quadrilatère IJLH est un parallélogramme. lD = 180° – AD lC = 180° – 97° = 83°. Donc, BA Enfin, un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure. l lC = 97° et BC lD = BA lD = 83°. Donc, AB C = AD 74 Le triangle JLK est isocèle en J. Or, les angles à la base d’un triangle isocèle ont la même mesure. lL = JL l Donc, JK K. D’autre part, les sommes des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°. l lL + LJ l Donc, JL K + JK K = 180° l 2 × JL K + 70° = 180° l 2 × JL K = 180° – 70° l 2 × JL K = 110° l JL K = 55°. Les points M, L et K sont alignés dans cet ordre. Donc, lJ + JL l ML K = 180°. lJ = 180° – JL l On en déduit : ML K = 180° – 55° = 125°. De plus, le quadrilatère IJLM est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors deux angles consécutifs sont supplémentaires. lJ = 180° – 125° = 55°. Donc, l IJL = 180° – ML 75 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 76 Le quadrilatère PUGR est un parallélogramme. Donc, les droites (PR) et (UG) sont parallèles. Le quadrilatère GUIX est un parallélogramme. Donc, les droites (UG) et (IX) sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc, les droites (PR) et (IX) sont parallèles. Chap.13 - Parallélogramme 117 D’autre part, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc on a, PR = UG et UG = IX. On en déduit : PR = IX. Or, si un quadrilatère non croisé possède deux côtés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, PIXR est un parallélogramme. 77 b) Le quadrilatère ABCD est croisé. Donc, ce n’est pas un parallélogramme. c) On considère le quadrilatère non croisé ABED. Le point E appartient au cercle de centre D et de rayon 5 cm. Donc, ED = 5 cm. Le point E appartient au cercle de centre B et de rayon 4 cm. Donc, EB = 4 cm. Or, on sait que AB = 5 cm et AD = 4 cm. Donc, on a, AB = ED et AD = EB. Or, si les côtés opposés d’un quadrilatère non croisé ont la même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, ABED est un parallélogramme. 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) a) Dans le quadrilatère ACED, le point O est le milieu du segment [CD]. D’autre part, les points A et E sont symétriques par rapport au point O. Donc, le point O est aussi le milieu du segment [AE]. Or, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, ACED est un parallélogramme. b) ACED est un parallélogramme. Donc, les droites (AD) et (CE) sont parallèles. ABCD est un parallélogramme. Donc, les droites (AD) et (BC) sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc, les droites (CE) et (BC) sont parallèles, et donc confondues car elles ont le point B en commun. On en déduit que les points B, C et E sont alignés. D’autre part, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc, AD = BC et AD = CE. On en déduit que BC = CE. Comme les points B, C et E sont alignés avec BC = CE, on peut affirmer que le point C est le milieu du segment [BE]. 79 80 Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc, les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu. On nomme O ce milieu. O est donc le centre du parallélogramme ABCD. Le quadrilatère AGCE est un parallélogramme. Donc, ses diagonales [AC] et [GE] ont le même milieu. Comme le point O est le milieu du segment [AC], le point O est aussi le milieu du segment [GE]. O est donc le centre du parallélogramme AGCE. Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. 118 81 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1) 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 78 Donc, ses diagonales [EG] et [FH] ont le même milieu. Comme le point O est le milieu du segment [EG], le point O est aussi le milieu du segment [FH]. O est donc le centre du parallélogramme EFGH. Donc, les trois parallélogrammes ABCD, AGCE et EFGH ont le même centre O. 2) Le quadrilatère BLEU est un parallélogramme de centre O. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc, le point O est le milieu du segment [LU]. Ainsi, dans le triangle BLU, la droite (BE) passe par le sommet B et par le milieu O du côté [LU] : la droite (BE) est donc une médiane du triangle BLU. D’autre part, la droite (UI) passe par le sommet U et par le milieu I du côté [BL] : la droite (UI) est donc une autre médiane du triangle BLU. Les deux médianes (BE) et (UI) se coupent au point S. Or, les trois médianes d’un triangle sont concourantes. On en déduit que la troisième médiane du triangle BLU est la droite (LS). Par définition, la médiane (LS) coupe le côté [BU] en son milieu. 82 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Dans le quadrilatère AICK, le point J est le milieu du segment [AC]. D’autre part, les points I et K sont symétriques par rapport au point J. Donc, le point J est aussi le milieu du segment [IK]. Or, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, AICK est un parallélogramme. On en déduit que les droites (AI) et (KC) sont parallèles. Comme les points A, I et B sont alignés, on peut dire que les droites (IB) et (KC) sont parallèles. Le quadrilatère AICK est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc, AI = KC. Comme le point I est le milieu du segment [AC], AI = IB. On en déduit que IB = KC. Ainsi, dans le quadrilatère IKCB, on a : (IB) // (KC) et IB = KC. Or, si un quadrilatère non croisé possède deux côtés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, IKCB est un parallélogramme. 83 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Par construction, les droites (LT) et (AI) sont perpendiculaires à la droite (HU). Or, si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, alors elles sont parallèles. Donc, les droites (LT) et (AI) sont parallèles. D’autre part, HAUT est un parallélogramme. Donc, les droites (HA) et (UT) sont parallèles. Comme le point L appartient à la droite (HA) et le point I appartient à la droite (UT), on peut dire que les droites (LA) et (TI) sont parallèles. Ainsi, dans le quadrilatère LAIT, on a : (LT) // (AI) et (LA) // (TI). Donc, LAIT est un parallélogramme. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 84 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Les points A et E sont symétriques par rapport à la droite (BC). Donc la droite (AE) est perpendiculaire à la droite (BC). Les points D et F sont symétriques par rapport à la droite (BC). Donc la droite (DF) est perpendiculaire à la droite (BC). Comme le point H appartient à la droite (DF), on peut dire que la droite (DH) est perpendiculaire à la droite (BC). Or, si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, alors elles sont parallèles. Donc, les droites (AE) et (DH) sont parallèles. Par construction, les droites (AC) et (EH) sont parallèles. Comme le point D appartient à la droite (AC), on peut dire que les droites (AD) et (EH) sont parallèles. Ainsi, les côtés opposés du quadrilatère ADHE sont parallèles. Donc, ADHE est un parallélogramme. 3) Le quadrilatère ADHE est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc, AD = EH. D’autre part, les segments [AD] et [FE] sont symétriques par rapport à la droite (BC). Or, la symétrie axiale conserve les longueurs. Donc, AD = FE. On en déduit que EH = FE. Donc, le triangle EFH est isocèle en E. 85 a) Les deux angles jaunes sont alternes-internes pour les droites (AB) et (CD) coupées par la sécante (BD). De plus, ces deux angles ont la même mesure. Or, si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles. Donc, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. De même, les deux angles violets sont alternes-internes pour les droites (AD) et (BC) coupées par la sécante (BD). De plus, ces deux angles ont la même mesure. Donc, les droites (AD) et (BC) sont parallèles. Ainsi, les côtés opposés du quadrilatère ABCD sont parallèles : ABCD est un parallélogramme. b) ABCD n’est pas un parallélogramme. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 86 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires à la même droite : elles sont donc parallèles. Les droites (AD) et (BC) sont perpendiculaires à la même droite : elles sont donc parallèles. Le quadrilatère ACBD a donc les côtés opposés parallèles : ACBD est donc un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc, le point d’intersection des diagonales [AB] et [BD] est leur milieu, c’est-à-dire le point I cherché. 87 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Le quadrilatère RSTV est un parallélogramme de centre O. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Donc, le point O est le milieu du segment [SV]. Donc, SV = SO × 2 = 3,6 cm × 2 = 7,2 cm. 88 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Le quadrilatère MNOP est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc, NO = MP = 4,5 cm et OP = MN = 6 cm. = MN + NO + OP + PM = 6 + 4,5 + 6 + 4,5 = 21. Le périmètre du parallélogramme MNOP est 21 cm. 89 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Dans le quadrilatère ABCD, le point I est le milieu du segment [BD]. D’autre part, les points A et C sont symétriques par rapport au point I. Donc, le point I est aussi le milieu du segment [AC]. Or, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, ABCD est un parallélogramme. lD = 55°. 3) On sait que BA Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors deux angles consécutifs sont supplémentaires. l lD = 180° – 55° = 125°. Donc, AB C = 180° – BA De plus, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure. lD = BA lD = 55° et AD lC = AB l Donc, BC C = 125°. 90 On sait que le point M est le milieu du segment [JK] et que le point K est le milieu du segment [MN]. On en déduit que les points J, M, K et N sont alignés et que JK = MN. Le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. Donc, les droites (IL) et (JK) sont parallèles. Comme J, M, K et N sont alignés, on peut dire que les droites (IL) et (MN) sont parallèles. D’autre part, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc, IL = JK. On en déduit que IL = MN. Ainsi, dans le quadrilatère IMNL : (IL) // (MN) et IL = MN. Or, si un quadrilatère non croisé possède deux côtés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, IMNL est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc, les diagonales [IN] et [LM] se coupent en leur milieu. Or, les droites (IN) et (LM) se coupent au point O. Donc, O est le milieu du segment [IN]. 91 lO. 1) Calcul de la mesure de l’angle TH HOT est un triangle. Or, la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°. lO + HO lT + HT lO = 180° Donc, TH lO + 38° + 110° = 180° TH lO + 148° = 180° TH lO = 180° – 148° TH lO = 32° TH 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Chap.13 - Parallélogramme 119 3) a) Les points I et J sont symétriques par rapport au point U. Donc, le point U est le milieu du segment [IJ]. D’autre part, les points O et G sont symétriques par rapport au point U. Donc, le point U est aussi le milieu du segment [OG]. Or, si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, OJGI est un parallélogramme. b) Le quadrilatère HOUX est un parallélogramme. Donc, les droites (HO) et (UX) sont parallèles. On sait que le point I appartient à la droite (UX) et que les points I et J sont symétriques par rapport au point U. Donc, le point J appartient aussi à la droite (UX). On peut donc affirmer que les droites (HO) et (IJ) sont parallèles. D’autre part, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Donc, HO = UX. Le point I est le milieu du côté [UX] et le point U est le milieu du segment [IJ]. On a donc : XI = IU = UJ. On en déduit IJ = XU = HO. Ainsi, dans le quadrilatère OJIH, on a (HO) // (IJ) et HO = IJ. Or, si un quadrilatère non croisé possède deux côtés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, OJIH est un parallélogramme. c) Le quadrilatère OJGI est un parallélogramme. Donc, (OJ) // (IG) et OJ = IG. Le quadrilatère OJIH est un parallélogramme. Donc, (OJ) // (HI) et OJ = HI. On en déduit que les droites (HI) et (IG) sont parallèles et donc confondues : les points H, I et G sont donc alignés. On en déduit également que HI = IG. Le point I est donc le point du segment [HG] équidistant des points H et G : le point I est donc le milieu du segment [HG]. 92 93 2) Les côtés [AB] et [CD] ont la même longueur. Les côtés [AB] et [CE] ont la même longueur. 1) 2) 3) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 4) a) Le logiciel affirme que le point E appartient à la droite (CD). On peut conjecturer que les points C, D et E sont alignés. b) Le logiciel affirme que les segments ont la même longueur. On peut conjecturer que CD = CE. c) Le point C semble être le milieu du segment [CD]. 94 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 95 21 parallélogrammes sont présents sur cette figure. 96 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com La commune la plus proche du point A est GevreyChambertin. 97 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 120 3) Le quadrilatère ABCE est croisé. Donc, ABCE n’est pas un parallélogramme. 4) b) Le logiciel affirme que les droites sont parallèles. c) Le logiciel affirme que les droites sont parallèles. d) Le quadrilatère semble être un parallélogramme. 5) Un quadrilatère qui possède deux côtés opposés parallèles et de même longueur n’est pas toujours un parallélogramme. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Les localités C et D sont Recey-sur-Ource et Beaune. 98 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 14 > P ro gra gr amm mme e Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. > CONNAISSANCES : ● ● > CONNAISSANCES : 3.1 Figures planes Parallélogramme 3.1 Figures planes Figures simples ayant un centre de symétrie ou des axes de symétrie. ● ● CAPACITÉS CAPACITÉS Construire, sur papier uni, un parallélogramme donné (et notamment dans les cas particuliers du carré, du rectangle, du losange) en utilisant ses propriétés. Connaître et utiliser une définition et les propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux éléments de symétrie) du carré, du rectangle, du losange. ■ Commentaires ■ Commentaires Les connaissances relatives aux quadrilatères usuels sont sollicitées dans des problèmes de construction et permettent de justifier les procédures utilisées pour construire ces quadrilatères. Un travail de synthèse est réalisé, faisant apparaître chacune de ces figures (rectangle, losange, carré) comme un parallélogramme doté de propriétés particulières, notamment en ce qui concerne les diagonales. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Effectuer des constructions simples en utilisant : ● des outils (instruments de dessin, logiciels) ; ● des définitions, des propriétés (en acte et sans nécessité d’indiquer ou de justifier la méthode choisie). Indications pour l’évaluation en situation Les instruments sont la règle (graduée ou non), l’équerre, le compas, le rapporteur. Les tracés doivent pouvoir être réalisés sur papier uni ou support informatique. Il s’agit de : – construire une figure à partir de données suffisantes sur des longueurs, des angles ; – construire ou compléter la figure symétrique par rapport à un axe ou à un centre d’une figure donnée ; Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Utiliser les propriétés d’une figure et les théorèmes de géométrie pour traiter une situation simple. – Raisonner logiquement, pratiquer la déduction, démontrer (la démonstration ne doit pas faire l’objet d’une formalisation écrite). Indications pour l’évaluation en situation Les supports sont des configurations immédiatement lisibles ; les raisonnements ne font pas l’objet d’une mise en forme écrite. L’exigence porte sur la capacité à mobiliser une propriété pour élaborer une déduction simple. L’évaluation s’effectue oralement ou en situation, sans exigence particulière de formulation des justifications Programme de la classe de Sixième > CONNAISSANCES : ● ● 3.1. Figures planes Propriétés des quadrilatères usuels CAPACITÉS Connaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour le rectangle, le carré et le losange. ■ Commentaires *La symétrie axiale est mise en jeu pour mettre en évidence certaines propriétés. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. > CONNAISSANCES : ● ● 3.1. Figures planes Constructions géométriques CAPACITÉS Reproduire, construire une figure complexe. ■ Commentaires Ces situations nécessitent de reconnaître des figures simples dans une figure complexe et demandent un travail d’analyse utile aux apprentissages ultérieurs. Chap. 14 - Rectangle, losange, carré 121 Programme de la classe de Quatrième Aucune compétence supplémentaire sur les quadrilatères particuliers n’est étudiée en classe de Quatrième. Commen taire s des au Commentaires auteurs teu rs ➜ L’étude du rectangle, du losange et du carré, commencée en Sixième, est reprise en classe de Cinquième, ces quadrilatères étant étudiés comme des parallélogrammes particuliers. Leurs propriétés réciproques sont établies et démontrées. > ➜ En classe de Quatrième, les propriétés des parallélogrammes, des rectangles, des losanges, et des carrés seront utilisées pour démontrer de nouveaux théorèmes (par exemple, le théorème des milieux…). A c tiv ti v ités ité s ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ C O M M E NTAI R E S : Cette activité permet de revoir les différents quadrilatères (rectangle, losange et carré). 1 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com J’ÉTUDIE LES PROPRIÉTÉS DU RECTANGLE Objectifs ● ● Revoir la définition d’un rectangle. Démontrer ses propriétés. Prérequis Définition et propriétés du parallélogramme. Paragraphe introduit ! Rectangle a) Définition et propriétés ■ COM MENTAI RES : Les propriétés du rectangle vues en Sixième sont démontrées. CORRIG É 1) Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lD et AD lC sont droits. 2) a) Les angles BA Donc : (AB) ⊥ (AD) et (DC) ⊥ (AD). Or, si deux droites sont perpendiculaires à la même droite alors elles sont parallèles. Donc (AB) // (DC). b) De même, les droites (AD) et (BC) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (DC), elles sont donc parallèles. On a alors : (AB) // (DC) et (AD) // (BC). 2 C ORRIGÉ JE REVOIS Or, si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme. Donc, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 3) a) Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Le rectangle ABCD étant un parallélogramme, ses côtés opposés ont la même longueur : AB = DC et AD = BC. b) Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Le rectangle ABCD étant un parallélogramme, ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu. 4) a) Un parallélogramme admet un centre de symétrie qui est le point d’intersection de ses diagonales. Le rectangle ABCD étant un parallélogramme, le point d’intersection O des diagonales [AC] et [BD] est le centre de symétrie du rectangle. c) La médiatrice (d) du côté [AB] est un axe de symétrie du rectangle ABCD. Elle est aussi la médiatrice du côté [CD]. Le symétrique du point A par rapport à la droite (d) est le point B. Le symétrique du point C par rapport à la droite (d) est le point D. Ainsi, le symétrique du segment [AC] par rapport à la droite (d) est le segment [BD]. Or, la symétrie axiale conserve les longueurs. Donc, AC = BD. JE RECONNAIS UN RECTANGLE PAR SES ANGLES Objectif Démontrer deux propriétés. ■ C OM M E NTAIRE S : Prérequis Propriété sur les angles consécutifs d’un parallélogramme. Paragraphe introduit ! Rectangle b) Comment prouver qu’un quadrilatère est un rectangle Il s’agit de démontrer qu’un quadrilatère qui possède trois angles droits est un rectangle et qu’un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle. 122 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. CO RRI G É lC et BC lD sont droits. A 1) a) Les angles AB Donc : (AB) ⊥ (BC) et (DC) ⊥ (BC). Or, si deux droites sont perpendiculaires à la même droite alors elles sont parallèles. Donc (AB) // (DC). b) On a : (AB) // (DC) et (AD) ⊥ (AB). Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Donc (AD) ⊥ (DC). 2) Le quadrilatère ABCD possède quatre angles droits, c’est donc un rectangle. 3 JE RECONNAIS UN RECTANGLE PAR SES DIAGONALES Objectif Conjecturer une propriété. Prérequis Paragraphe introduit – ! Rectangle b) Comment prouver qu’un quadrilatère est un rectangle ■ C OMMENTAI RE S : La propriété « si les diagonales d’un parallélogramme sont de même longueur, alors c’est un rectangle » est conjecturée à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. La démonstration de cette propriété est proposée à l’exercice 71 page 235. CO RRI G É 2) a) Le point D est le point d’intersection de la droite (AB) et du cercle de centre A. Donc le segment [BD] est un diamètre du cercle de centre A. 4 B 1) Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. Or, les angles opposés d’un parallélogramme sont de même mesure. lF = FG l Donc HE H. lF est droit, FG lH est aussi un angle droit. Comme HE De plus, deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires. lF + EF lG = 180° Donc HE l lF = 180° – 90° = 90° D’où, EF G = 180° – HE lF, EF lG et FG lH du parallélogramme 2) Les trois angles HE EFGH sont droits. Or, si un quadrilatère possède trois angles droits alors c’est un rectangle. Donc le quadrilatère EFGH est un rectangle. J’ÉTUDIE LES PROPRIÉTÉS DU LOSANGE Objectifs ● ● Revoir la définition d’un losange. Démontrer ses propriétés. Définition et propriétés du parallélogramme. Prérequis ● Paragraphe introduit @ Losange a) Définition et propriétés CO RRI G É 1) Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Les côtés opposés [AB] et [DC] sont de même longueur ainsi que les côtés opposés [BC] et [AD]. Or, si un quadrilatère a ses côtés opposés de la même longueur alors c’est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. De même, le point E est le point d’intersection de la droite (AC) et du cercle de centre A. Donc le segment [CE] est un diamètre du cercle de centre A. Les segments [BD] et [CE] sont deux diamètres du même cercle, donc BD = CE. b) Les diagonales [BD] et [CE] du quadrilatère BCDE ont le même milieu A. Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme. Donc le quadrilatère BCDE est un parallélogramme. 3) b) Le logiciel affirme que les droites (BE) et (BC) sont perpendiculaires. Cette conjecture reste vraie lorsqu’on déplace les points B et C. lC du parallélogramme BCDE 4) Il semble que l’angle EB soit droit. Le parallélogramme BCDE semble donc être un rectangle. JE REVOIS 3) a) Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles. Le losange ABCD étant un parallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles : (AB) // (DC) et (AD) // (BC). b) Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Le losange ABCD étant un parallélogramme, ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu. 4) a) Un parallélogramme admet un centre de symétrie qui est le point d’intersection de ses diagonales. Le losange ABCD étant un parallélogramme, le point d’intersection O des diagonales [AC] et [BD] est le centre de symétrie du losange. c) La droite (BD) est un axe de symétrie du losange ABCD. Donc, le point C est le symétrique du point A par rapport à la droite (BD). Ainsi la droite (AC) et la droite (BD) sont perpendiculaires. Chap. 14 - Rectangle, losange, carré 123 5 JE RECONNAIS UN LOSANGE Objectif Prouver deux propriétés. Prérequis ● Propriétés du parallélogramme. Propriété d’équidistance de la médiatrice d’un segment. ● Paragraphe introduit @ Losange b) Comment prouver qu’un quadrilatère est un rectangle ■ COM MENTAI RES : Il s’agit de démontrer qu’un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange (partie A) et qu’un parallélogramme ayant des diagonales perpendiculaires est un losange (partie B). CORRIG É A 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur. 6 JE RECONNAIS UN CARRÉ Objectif Énoncer des propriétés permettant de prouver qu’un parallélogramme est un carré. Prérequis Propriétés du rectangle et du losange. Paragraphes introduits # Carré $ Synthèse CORRIG É Si un parallélogramme possède un angle droit, alors c’est un rectangle. Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange. > a) C’est un rectangle. b) C’est un rectangle. c) C’est un quadrilatère quelconque. d) C’est un quadrilatère quelconque. 2 a) Dans un rectangle, les côtés opposés sont de la même longueur. Donc, FU = ER = 3 cm. b) Pour la même raison, UR = FE = 4 cm. c) FR = 2 FO = 5 cm. d) Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu et sont de la même mesure. Donc, OU = FO = 2,5 cm. e) Pour la même raison, UE = FR = 5 cm. a) Aucune indication ne prouve que ABCD soit un rectangle. b) ABCD est un rectangle car il possède 3 angles droits. c) ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu ; c’est donc un parallélogramme. Il a, de plus, un angle droit. C’est donc un rectangle. 124 Si un parallélogramme possède des diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange. Si un parallélogramme possède des diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle. Si un rectangle possède deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré. Si un rectangle possède des diagonales perpendiculaires, alors c’est un carré. Si un losange possède un angle droit, alors c’est un carré. Si un losange possède des diagonales de même longueur, alors c’est un carré. E x erc er c ic ice es 1 3 Donc AB = CD et BC = AD. Or, AB = BC. On a donc : AB = CD = BC = AD. Le quadrilatère ABCD a ses quatre côtés de même longueur, c’est donc un losange. 3) Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un parallélogramme. B 1) a) Le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. Or, les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Donc le point O est le milieu du segment [LJ]. La droite (IK) est perpendiculaire au segment [LJ] en son milieu. Par définition, la droite (IK) est la médiatrice du segment [LJ]. b) Le point I appartient à la médiatrice du segment [LJ]. Or, si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Donc IL = IJ. 3) Le parallélogramme IJKL possède deux côtés consécutifs [IL] et [IJ] de même longueur. D’après la propriété démontrée en partie A, on en conclut que le parallélogramme IJKL est un losange. d) Un quadrilatère avec un angle droit n’est pas obligatoirement un rectangle. e) ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de la même longueur. Il s’agit bien d’un rectangle. f) ABCD est un quadrilatère qui a ses côtés opposés de la même mesure. C’est donc un parallélogramme. De plus, il a ses diagonales de la même longueur. C’est donc un rectangle. 4 a) C’est un quadrilatère quelconque. b) C’est un losange. 5 a) Un losange a ses 4 côtés de la même mesure. Donc, AP = AD = 5 cm. b) Pour la même raison, PI = 5 cm. c) Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu ; donc DP = 2 DS = 6 cm. d) Impossible. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 6 a) Aucune indication ne prouve que EFGH soit un losange. b) Les diagonales qui se coupent perpendiculairement ne suffisent pas pour conclure que EFGH est un losange. c) Les diagonales du quadrilatère EFGH se coupent en leur milieu ; c’est donc un parallélogramme. De plus, il possède 2 côtés consécutifs de la même mesure. C’est donc un losange. d) Un quadrilatère qui a 3 côtés de la même longueur n’est pas nécessairement un losange. e) EFGH est un quadrilatère dont les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu. Il s’agit bien d’un losange. f) Le quadrilatère EFGH a 2 côtés opposés parallèles et de même mesure : [HE] et [GF]. C’est donc un parallélogramme. Il possède, de plus, 2 côtés consécutifs de la même longueur. C’est donc un losange. 7 a) Rien. b) C’est un parallélogramme. c) Rien. d) C’est un losange. e) C’est un rectangle. f) Rien. g) C’est un carré. 1) a) Le quadrilatère MNPO a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de la même longueur. C’est donc un rectangle. b) Le quadrilatère MNPO a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont perpendiculaires. C’est donc un losange. 2) Dans le premier cas, il faudrait que les diagonales soient perpendiculaires. Dans le deuxième cas, il faudrait que les diagonales aient la même longueur. 8 9 1) Les côtés opposés sont parallèles. Or, si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 2) Le parallélogramme ABCD possède un angle droit. Or, si un parallélogramme possède un angle droit, alors c’est un rectangle. Donc, le parallélogramme ABCD est un rectangle. 10 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com lR, FU lE et FR lE sont des angles droits. 2) Les angles UF Or, si un quadrilatère possède trois angles droits, alors c’est un rectangle. Donc, le quadrilatère FUER est un rectangle. 11 1) Les côtés [OR] et [FE] sont parallèles et de même mesure. Or, si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même mesure, alors c’est un parallélogramme. Donc, le quadrilatère FORE est un parallélogramme. 2) Deux côtés consécutifs [FO] et [RO] sont de même mesure. Or, si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c’est un losange. Donc, le quadrilatère FORE est un losange. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 12 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) a) Les diagonales [MB] et [UE] se coupent en leur milieu R centre de la symétrie centrale. Or, un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc, MUBE est un parallélogramme. b) Les diagonales [MB] et [UE] sont perpendiculaires. Or, si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange. Donc, MUBE est un losange. 13 Le rectangle ABCD a 2 côtés consécutifs de la même longueur. Or, si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même mesure, alors c’est un carré. Donc, le quadrilatère ABCD est un carré. 14 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Les segments [ED], [DF], [GE] et [GF] sont de la même longueur. Or, si un quadrilatère a ses 4 côtés de la même mesure, alors c’est un losange. lF. De plus, ce losange possède un angle droit ED Or, si un losange possède un angle droit, alors c’est un carré. Donc, le quadrilatère DEGF est un carré. 15 a) AFED est un rectangle. Or, les côtés opposés d’un rectangle sont de la même mesure. Donc, EF = AD = 4,2 cm. b) Les diagonales d’un rectangle sont de la même longueur. Donc, DF = AE = 7 cm. c) Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu. 1 Donc, AO = AE = 3,5 cm. 2 16 a) Puisque le quadrilatère ABCD est un rectangle, lD est un angle droit. alors l’angle BA lC et CA lD sont complémentaires. Donc, les angles BA lD = 90° – 32° = 58°. Ainsi, CA lB b) Par la symétrie centrale de centre O, les angles CA lD sont symétriques. et AC Or, deux angles symétriques par la symétrie centrale sont égaux. lD = CA lB = 32°. Donc, AC 17 a) Le rectangle PAGE a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de la même longueur. Donc, les segments [AS] et [PS] sont de la même mesure et le triangle PAS est isocèle en S. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux. lG = PA lE = 25°. Ainsi, AP b) Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à 180°. l lS = 25°. Dans le triangle PSA, on sait que SP A = PA lA = 180° – 2 × 25° = 130°. Donc, PS 18 à 23 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Chap. 14 - Rectangle, losange, carré 125 24 a) Les quatre côtés d’un losange ont la même longueur ; donc MI = ME = 6 cm. b) Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu, 1 donc : EK = EI = 7,2 cm : 2 = 3,6 cm. 2 c) Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires, lE = 90°. donc : MK 25 1) Les quatre côtés d’un losange sont de la même longueur. En particulier, EP = ER. Donc, le triangle EPR est isocèle en E. 2) Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu. Donc, le point T est le milieu du segment [PR]. Donc, la droite (ET) est une médiane dans le triangle EPR. Les diagonales d’un losange se coupent perpendiculairement. Donc, la droite (ET) est perpendiculaire au segment [PR]. Donc, la droite (ET) est une hauteur dans le triangle EPR. Comme démontré précédemment, la droite (ET) est perpendiculaire au segment [PR] en passant par son milieu T. Ceci prouve que la droite (ET) est la médiatrice du côté [PR] dans le triangle EPR. Les triangles EPT et ERT sont superposables. Donc, les lR et TE lP sont égaux. Ceci prouve que la droite angles TE lR. (ET) est la bissectrice de l’angle PE 26 à 31 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 32 a) Le quadrilatère TEMA est un carré. Or, un carré a ses diagonales qui sont perpendiculaires. l Donc, EI M = 90°. b) Les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu, sont de la même longueur et sont perpendiculaires. Donc, le triangle EIM est un triangle isocèle rectangle en I. (180° – 90°) l Donc, IE M= = 45°. 2 33 et 34 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 35 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Le quadrilatère AMIE est un carré de centre B. Or, les diagonales du carré sont de la même longueur et se coupent en leur milieu. Donc, ME = MI = 2AB = 3 cm. 36 à 38 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 39 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Les segments [RE] et [IN] sont deux diamètres d’un même cercle. Ils ont donc la même longueur et le même milieu qui est le centre du cercle. Or, un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de la même mesure est un rectangle. Donc, RIEN est un rectangle. 126 40 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Puisque le point R est l’image du point M par la symétrie centrale de centre I et puisque le point O est l’image du point A par la même symétrie centrale ; alors les diagonales [AO] et [MR] ont le même milieu I. Or, un quadrilatère qui a les diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme. De plus, puisque le triangle MOI est isocèle en I, alors les longueurs MI, OI, AI et RI sont égales. Or, un parallélogramme qui a ses diagonales de la même mesure est un rectangle. Donc, le quadrilatère MORA est un rectangle. 41 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Dans le triangle COL isocèle en L, la médiane issue du sommet L est aussi une médiatrice du côté [CO]. Or, la médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à la même distance des extrémités de ce segment. Donc, le point U qui est situé sur la médiatrice du segment [CO] est équidistant des points C et O. Ainsi, LO = LC = UC = OU. Or, un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même longueur est un losange. Donc, CLOU est un losange. 42 Les diagonales [LN] et [MO] sont de la même mesure, ont le même milieu et sont perpendiculaires. Le quadrilatère LMNO est donc à la fois un parallélogramme, un rectangle et un losange ; c’est donc un carré. 43 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Le point I est le milieu des segments [BC] et [AE]. Or, un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc, ABEC est un parallélogramme. lC est un angle droit. De plus, l’angle BA Or, un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Donc, ABEC est un rectangle. 44 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Le point I est le milieu des segments [BC] et [AE]. Or, un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc, ABEC est un parallélogramme. De plus, les longueurs AB et AC sont égales. Or, un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de la même mesure est un losange. Donc, ABEC est un losange. 45 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Le point I est le milieu des segments [BC] et [AE]. Or, un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Donc, ABEC est un parallélogramme. lC est un angle droit. De plus, l’angle BA Or, un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Donc, ABEC est un rectangle. De plus, les longueurs AB et AC sont égales. > 56 Je fais fai s l e po p o int à Les exercices 46 à 55 sont corrigés à la page 292 du manuel élève. 57 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 58 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Dans le quadrilatère LIJK, les côtés [IJ] et [LK] sont parallèles, les côtés [LI] et [JK] sont également parallèles. Or, un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles est un parallélogramme. De plus, puisque LIJ est un triangle isocèle en I, alors IL = IJ. Or, un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de la même mesure est un losange. Donc, LIJK est un losange. 59 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Par la symétrie centrale de centre B, on peut affirmer que le point B est le milieu des segments [AE] et [FC]. Or, un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme. De plus, ces diagonales se coupent perpendiculairement puisque ABCD est un rectangle. Or, un parallélogramme qui a ses diagonales qui se coupent perpendiculairement est un losange. Donc, ACEF est un losange. 60 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Par la symétrie centrale de centre S, on peut affirmer que le point S est le milieu des segments [OF] et [TR]. Or, un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme. De plus, les longueurs OS et TS sont égales puisque le triangle TOS est équilatéral. Donc, les longueurs OF et TR sont égales. Or, un parallélogramme qui a ses diagonales de même mesure est un rectangle. Donc, OTFR est un rectangle. 61 Le quadrilatère RSTU est un rectangle de centre A. Or, un rectangle a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de la même longueur. Donc, AR = AS = AT = AU. On peut ainsi tracer le cercle de centre A et de rayon AR qui va passer par chacun des points R, S, T et U. C’est le cercle circonscrit au rectangle RSTU. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Or, un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de la même mesure est un losange. Donc, ABEC est un losange. Puisque le quadrilatère ABEC est à la fois un rectangle et un losange, alors c’est un carré. 62 lB et CO lD sont opposés par le somLes angles AO lD = 48°. met, donc égaux. Donc, CO lD isocèle en O, la somme des angles est Dans le triangle CO égale à 180°. lD = (180° – 48°) : 2 = 66°. Donc, OC lB est un angle droit, alors AC lB = 90° – 66° = 24°. Puisque DC 63 Puisque les diagonales du rectangle MNPR se coupent en leur milieu et sont de la même longueur, alors le triangle MOR est isocèle en O. Or, dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à 180°. lR = 180° – 2 × 68° = 44°. Donc, MO lR et MO lN sont supplémentaires ; De plus, les angles MO donc leur somme est égale à 180°. lN = 180° – 44° = 136°. Ainsi, MO 64 Puisque les côtés du losange IJKL sont de la même mesure, alors le triangle LIJ est isocèle en I. kL = IL kJ = 32°. Donc, IJ De plus, dans tout triangle, la somme des angles est égale à 180°. kJ = 180° – 2 × 32° = 116°. Donc, LI Dans un losange comme dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux. kJ = LK kJ = 116°. Donc, LI Enfin, dans un losange, la diagonale est aussi bissectrice. kI = LK kJ : 2 = 58°. Donc, LK 65 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Les segments [AE], [EB], [BF] et [FA] sont des rayons qui mesurent tous les quatre 4 cm. Donc, le quadrilatère AEBF a ses quatre côtés de la même longueur : c’est un losange. De plus, un losange a ses côtés opposés parallèles. Donc, les droites (AE) et (BF) sont parallèles. 66 ABCD est un carré. Or, un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, qui sont de la même mesure et qui sont perpendiculaires. Donc, le triangle AOB est un triangle rectangle isocèle en O. Par la symétrie d’axe (AB), le triangle AIB est aussi un triangle rectangle isocèle en I tel que IA = IB = BO = OA. Le quadrilatère AIBO est donc un losange puisque ses quatre côtés sont de la même mesure. lB est un angle droit. De plus, l’angle AO Or, un losange qui a un angle droit est un carré. Donc, AIBO est un carré. 67 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Chap. 14 - Rectangle, losange, carré 127 2) Le point O est à la même distance des points A et B puisque c’est le centre du cercle. Donc, les longueurs AO et BO sont égales. Par la symétrie d’axe (AB), on obtient donc l’égalité des longueurs AO, OB, BC et CA. Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même mesure est un losange. Donc, AOBC est un losange. 68 2) Dans le quadrilatère, CDOE, les côtés [CD] et [EO] sont parallèles ainsi que les côtés [CE] et [OD]. Or, un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles est un parallélogramme. Donc, CDOE est un parallélogramme. lD est un angle droit. De plus, l’angle EO Or, un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Donc, CDOE est un rectangle. Or, les diagonales d’un rectangle sont de même mesure. Donc, DE = OC = 5 cm. Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 70 1) a) Le quadrilatère AMBN a ses quatre côtés de la même longueur ; c’est donc un losange. b) Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Donc, la droite (MN) est la médiatrice du segment [AB] ; ce qui démontre que l’image du point A par la symétrie axiale d’axe (d) est le point B. 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 71 1) Puisque EFGH est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. De plus, d’après la consigne, on sait que EG = FH, ce qui signifie que ces diagonales ont la même longueur. Donc, si les diagonales sont de la même mesure et se coupent en leur milieu, alors, on a bien OE = OF = OG = OH. 2) a) Nous venons de démontrer que les mesures OE et OF sont égales. Ceci prouve que le triangle OEF est isocèle en O. l lO sont égaux. Donc, les angles à la base EF O et FE b) D’après la question 1), nous pouvons affirmer que lO est isocèle. OE = OH et donc que le triangle EH l l Ainsi, les angles OEH et EHO sont égaux. lO = EF lO et puisque OE lH = EH lO, alors c) Puisque FE lO + OE lH = EF lO + EH lO. FE 3) a) Considérons le triangle EFH pour citer la propriété suivante : « La somme des angles dans tout triangle est égale à 180°. » lH + FE l lO = 180°. Donc, OE H + EF l l l Or, FEH = FEO + OEH. lE + FE lO + OE lH + EF lO = 180°. Donc, OH lO = EH lO. De plus, on a montré à la question 2) b) que HE lO + FE lO + OE lH + EH lO = 180°. Donc, EF b) La question 2) a) nous a permis de montrer que l lO, alors l’égalité de la question 3) a) peut s’écrire : EF O = FE lO + FE lO + OE lH + OE lH = 180° FE l lH = 180° 2FE O + 2OE lO + OE lH) = 180° en utilisant la formule de la distribu2(FE tivité lO + OE lH = 90° FE 128 72 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 69 l lH = FE l c) FE O + OE H = 90°. lF est un angle droit. Ceci prouve que l’angle HE 4) En suivant la même démarche, on montrerait égalel lH, et GH lE sont des angles ment que les angles EF G, FG droits. On montrerait ainsi que le parallélogramme EFGH possède quatre angles droits ; ce qui en fait un rectangle. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com (d1) et (d2) sont deux axes de symétrie perpendiculaires du quadrilatère ABCD. 1er cas : ABCD est un losange. 2e cas : ABCD est un rectangle. 3e cas : ABCD est un carré. 4e cas : ABCD est un carré. 73 Étape 1 : Prouver que EFGH est un parallélogramme ● Le quadrilatère ABCD est losange. Or, un losange étant un parallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles. Ainsi, les droites (AB) et (DC) sont parallèles. La droite (d1) est la médiatrice du segment [AB]. Donc les droites (AB) et (d1) sont perpendiculaires. On a (AB) // (DC) et (AB) ⊥ (d1). Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Donc les droites (d1) et (DC) sont perpendiculaires. La droite (d3) est la médiatrice du segment [DC]. Donc les droites (DC) et (d3) sont perpendiculaires. ● On a donc (d ) ⊥ (DC) et (DC) ⊥ (d ) 1 3 Or si deux droites sont perpendiculaires à la même droite alors elles sont parallèles. Donc (d1) // (d3). Donc (HE) // (GF). ● De la même manière on démontre que (HG) // (EF). ● On a donc (HE) // (GF) et (HG) // (EF) Or, si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme. Donc le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. Étape 2 : Prouver que le point E appartient à (BD) Le point E appartient à la droite (d1) médiatrice du segment [AB]. Or, si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Donc AE = BE. Le point E appartient aussi à la droite (d2) médiatrice du segment [BC]. Donc BE = EC. On conclut alors que AE = EC. Or, si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Donc, le point E appartient à la médiatrice du segment [AC]. Comme ABCD est un losange, ses diagonales sont des axes de symétrie du losange. La droite (BD) est la médiatrice du segment [AC]. Le point E appartient donc à la droite (BD). ● On montre de même que le point G appartient à la droite (BD) et que les points F et H appartiennent à la droite (AC). ● Étape 3 : Prouver que le quadrilatère EFGH est un losange ● Le quadrilatère ABCD est losange. Or, les diagonales d’un losange sont perpendiculaires. Donc les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. ● Les points E et G appartiennent à la droite (BD) et les points F et H appartiennent à la droite (AC). Donc les droites (EG) et (AC) sont perpendiculaires. ● Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme avec ses diagonales (AC) et (BD) perpendiculaires. Or, un parallélogramme qui possède des diagonales perpendiculaires est un losange. Donc le quadrilatère EFGH est un losange. 74 75 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Un rectangle a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de la même longueur. Donc, OB = OA = 4 cm. lO et OA lB sont complémentaires. 3) Les angles DA l Donc, OA B = 90° – 35° = 55° lB est isocèle en O. Puisque OA = OB, alors le triangle OA lB et OB lA sont égaux. Donc, les angles OA lD = OA lB = 55°. Donc, AB 76 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) a) Le quadrilatère LIRE est un losange. Or, un losange est constitué de 4 triangles rectangles superposables. l kI = 30° Donc, EI R = LE b) Nommons O le point d’intersection des diagonales dans ce triangle. On peut donc affirmer que les triangles LOE et LOI sont l lO = 30° superposables et ainsi que LI O = LE De plus, le triangle LIO est rectangle en O puisque les diagonales du losange sont perpendiculaires. Or, dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à 180°. l lI – LI l Donc, IL O = 180° – LO O l ILO = 180° – 90° – 30° l IL O = 60° l l IL O = IL R = 60°. 77 78 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) IJKL est un parallélogramme dont les diagonales se coupent perpendiculairement. C’est donc un losange. 79 RSTU est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de la même mesure : [RS] et [ST]. Or, un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de la même longueur est un losange. RSTU est donc un losange. lT. De plus, la parallélogramme RSTU a un angle droit RS Or, un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. RSTU est un rectangle. Or, un quadrilatère qui est à la fois un parallélogramme, un rectangle et un losange est un carré. Donc, RSTU est un carré. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 80 1) 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) Le point I est le milieu des segments [AB] et [CD] (symétrie centrale de centre I). Ainsi, le quadrilatère ACBD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu. Or, un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc, ACBD est un parallélogramme. lB est un angle droit puisque le triangle De plus, l’angle AC ABC est rectangle en C. Donc, le parallélogramme ACBD a un angle droit. Or, un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle. Donc, ACBD est un rectangle. 3) a) b) Voir figure. c) Puisque le point C est le centre de la symétrie qui a permis de placer les points E et F, on peut affirmer que les segments [AE] et [BF] ont le même milieu C. Or, un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc, ABEF est un parallélogramme. lB est un angle droit puisque le triangle De plus, l’angle AC ABC est rectangle en C. Or, un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires est un losange. Donc, ABEF est un losange. 82 1) 2) a) b) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com c) ● Le quadrilatère ABCD est un rectangle de centre E. Or, les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu et sont de même longueur. Par rapport à la droite (AB), le symétrique du point E est point E’, donc le symétrique du segment [AE] est le segment [AE’] et celui du segment [BE] est [BE’]. La symétrie axiale conserve les longueurs. Donc AE = AE’ et BE = BE’. ● On a : AE = BE, AE = AE’ et BE = BE’. On en déduit que les quatre côtés du quadrilatère AEBE’ sont de même longueur. Donc AEBE’ est un losange. 3) b) (ABCD) = 2 × (AEBE’). d) L’aire du rectangle ABCD est le double de celle du losange AEBE’. 4) Les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA] du rectangle ABCD. Les droites (IK) et (LJ) sont donc les axes de symétrie de ce rectangle. Ainsi les huit triangles ALE, AIE, BIE, BJE, CJE, CKE, DKE et DLE ont tous la même aire a. Les droites (AB) et (EE’) sont les axes de symétrie du losange AEBE’. Donc les quatre triangles AIE, BIE, AIE’ et BIE’ ont la même aires. Le rectangle ABCD est composé de huit triangles d’aire a. Le losange AEBE’ est composé de quatre triangles d’aire a. L’aire du rectangle ABCD est bien le double de celle du losange AEBE’. 83 2) Le quadrilatère central semble être un carré. 4) On sait que (AF) // (CH) et (DE) // (BG). Or, si un quadrilatère possède des côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme. Donc le quadrilatère central est un paralllélogramme. Chap. 14 - Rectangle, losange, carré 129 On sait de plus que (AF) ⬜ (BG). Ainsi le parallélogramme central possède un angle droit. Or, si un parallélogramme possède un angle droit, alors c’est un rectangle. Donc le quadrilatère central est un rectangle. 84 Le blason de Régusse comporte 36 losanges. (23 petits + 10 moyens + 3 grands). 85 1) 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) Les trois autres sommets du losange sont Gap, Clermont et Marmande. 86 1) Les droites (AC) et (BD) sont sécantes en O. Par symétrie, on a : OA = OB = OC = OD. Donc, le point O est le milieu des segments [AC] et [BD]. Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme. Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Le parallélogramme ABCD est tel que (AC) ⊥ (BD) et AC = BD. 130 Or, si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur alors c’est un carré. Donc le quadrilatère ABCD est un carré. 2) La symétrie axiale conserve les longueurs et la mesure des angles. Donc, par symétrie d’axe (AC), on a OE = OF et lE = BO lF. DO lF = BO lG. Et par symétrie d’axe (BD), on a OF = OG et BO l l On en conclut que OE = OG ainsi que DOE = BOG. Les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires, donc : lB = AO lD = 90° et les angles DO lE et EO lA sont compléAO mentaires. lG = EO lA + AO lB + BO lG = EO lA + AO lB + DO lE Ainsi : EO l l l l EOG = AOB + (EOA + DOE) = 90° + 90° = 180°. Les points E, O et G sont alignés et OE = OG. Donc le point O est le milieu du segment [EG]. De la même façon, on montre que le point O est le milieu du segment [HF]. Le quadrilatère EFGH a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de même longueur. Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de même longueur alors, c’est un rectangle. Donc le quadrilatère EFGH est un rectangle. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 15 > P ro gra gr amm mme e Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. > CONNAISSANCES : Prismes droits, cylindres de révolution longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires. ■ Commentaires CAPACITÉS Fabriquer un prisme droit dont la base est un triangle ou un parallélogramme et dont les dimensions sont données, en particulier à partir d’un patron. ● Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de base est donné. ● Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière de ces deux solides. ● Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière d’un prisme droit les arêtes de même ● Comme en classe de Sixième, l’objectif est d’entretenir et d’approfondir les acquis : représenter, décrire et construire des solides de l’espace, en particulier à l’aide de patrons. Passer de l’objet à ses représentations (et inversement) constitue encore l’essentiel du travail. L’observation et la manipulation d’objets usuels sont des points d’appui indispensables. L’usage d’outils informatiques (logiciels de géométrie dans l’espace) peut se révéler utile pour une meilleure découverte de ces solides. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Effectuer des constructions simples en utilisant : ● des outils (instruments de dessin, logiciels) ; ● des définitions, des propriétés (en acte et sans nécessité d’indiquer ou de justifier la méthode choisie). Indications pour l’évaluation en situation Les instruments sont la règle (graduée ou non), l’équerre, le compas, le rapporteur. Les tracés doivent pouvoir être réalisés sur papier uni ou support informatique. Il s’agit de dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière d’un prisme droit ou d’un cylindre de révolution. Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Interpréter une représentation plane d’un objet de l’espace, un patron. Indications pour l’évaluation en situation Il s’agit de reconnaître et dessiner à main levée un cylindre de révolution. Pour le prisme droit, seul le dessin à main levée est exigible. Programme de la classe de Sixième > CONNAISSANCES : Parallélépipède rectangle : patrons, représentation en perspective Dessiner ou compléter un patron d’un parallélépipède rectangle. ● ■ Commentaires CAPACITÉS Fabriquer un parallélépipède rectangle de dimensions données, à partir de la donnée du dessin de l’un de ses patrons. ● Reconnaître un parallélépipède rectangle de dimensions données à partir : – du dessin d’un de ses patrons ; – d’un dessin le représentant en perspective cavalière. ● Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière du parallélépipède rectangle les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires. ● © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. À l’école élémentaire, les élèves ont déjà travaillé sur des solides droits de l’espace (description, construction, patron). Cette étude est poursuivie en 6e en mettant l’accent sur un aspect nouveau : la représentation en perspective cavalière, dont certaines caractéristiques sont précisées aux élèves. L’usage d’outils informatiques permet une visualisation de différentes représentations d’un même objet de l’espace. Même si les compétences attendues ne concernent que le parallélépipède rectangle, les travaux portent sur différents objets de l’espace et s’appuient sur l’étude de solides amenant à passer de l’objet à ses représentations et inversement. Chap. 15 - Prisme droit et cylindre de révolution 131 Programme de la classe de Quatrième > CONNAISSANCES : ● ● Configurations dans l’espace Pyramide et cône de révolution CAPACITÉS Réaliser le patron d’une pyramide de dimensions données. complétées par l’observation et la manipulation d’images dynamiques données par des logiciels de géométrie. Les activités sur les pyramides exploitent des situations simples. L’objectif est toujours d’apprendre à voir dans l’espace, ce qui implique un large usage des représentations en perspective et la réalisation de patrons. Ces travaux permettent de consolider les images mentales relatives à des situations d’orthogonalité. ■ Commentaires L’observation et la manipulation d’objets constituent des points d’appui indispensables. Ces activités doivent être Commen tai res des au Commentaires auteurs teurs ➜ Les parallélépipèdes rectangles ont été vus au cycle 3 et en Sixième. ➜ Les prismes droits ont été abordés en CM2, leurs bases étant des triangles. En Cinquième, les bases des prismes droits étudiés sont essentiellement des triangles ou des parallélogrammes. ➜ Les cylindres de révolution et leurs patrons ont été vus en CM2 et sont revus en Cinquième. > ➜ En plus de savoir lire (CM2) et interpréter (6e) une représentation en perspective, les élèves de Cinquième doivent savoir dessiner à main levée un prisme droit ou un cylindre de révolution en perspective cavalière. ➜ En Quatrième, l’étude des solides se poursuit avec les pyramides et les cônes de révolution. A c tiv ti v ités ité s ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ COM MENTAI RES : Cette activité permet de revoir dif- C ORRIGÉ férents solides déjà rencontrés au primaire. Dans ce chapitre, on s’intéressera aux prismes droits et aux cylindres de révolution. a) b) c) d) 1 JE DÉCRIS UN PRISME DROIT Objectif Décrire un prisme droit. Prérequis Paragraphe introduit – ! Prisme droit ■ COM MENTAI RES : Cette activité permet de décrire un prisme droit. On peut après la question 4) b) introduire la hauteur du prisme. CORRIG É 1) a) b) c) 132 Ce prisme droit possède : 6 sommets ; 9 arêtes ; 5 faces. Les piliers rappellent des cylindres de révolution. Le solide soutenant la girouette rappelle une sphère. Le toit rappelle une pyramide. Le corps du bâtiment rappelle un prisme droit. JE REVOIS 2) b) Lorsqu’on ne voit que la face ABC, la face DEF se trouve exactement derrière la face ABC. Ces deux faces sont superposables. Elles sont les bases du prisme droit. 3) a) La face ABED est un rectangle. b) La face BCFE est un rectangle. c) La face ACFD est un rectangle. d) Les faces latérales de ce prisme sont des rectangles. lD est 4) a) La face ABED étant un rectangle, l’angle BA droit. b) Les côtés opposés d’un rectangle ont la même longueur. ABED étant un rectangle, on a donc AD = BE. De même, BCFE étant un rectangle, BE = CF. Les segments [AD], [BE] et [CF] ont donc la même longueur. Cette longueur commune aux arêtes latérales du prisme droit est la hauteur du prisme droit. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 2 JE CONSTRUIS UN PATRON DE PRISME DROIT Objectif Construire un patron d’un prisme droit à base triangulaire. Prérequis Description du prisme droit. Paragraphe introduit ! Prisme droit ■ C OMMENTAI RE S : Les élèves complètent un patron de prisme droit. Il y a plusieurs possibilités pour placer la face manquante. 3 1) a) La face verte, la face bleue, la face jaune sont des rectangles. Ce sont donc des faces latérales du prisme droit. La face rouge est un triangle, ce n’est pas une face latérale, c’est donc une base. b) Les bases du prisme droit sont des triangles. 2) 3) a) La face manquante à ce patron est une base. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) La face manquante peut être accolée à chaque face latérale. Il faut alors faire attention à la façon dont on la place. JE DÉCRIS UN CYLINDRE DE RÉVOLUTION Objectif Prérequis Paragraphe introduit Visualiser un cylindre de révolution. – @ Cylindre de révolution CO RRI G É 2) b) Les segments [AD] et [BC] semblent décrire des disques de centres respectifs A et B. 4 C ORRIGÉ 3) b) Le segment [CD] semble décrire la surface latérale d’un cylindre de révolution. 4) b) Le rectangle ABCD semble décrire un cylindre de révolution. Les surfaces décrites à la question 2) représentent les bases de ce solide. Celle décrite à la question 3) représente la surface latérale du solide. J’ÉTUDIE UN PATRON DE CYLINDRE DE RÉVOLUTION Objectif Observer un patron de cylindre de révolution. Prérequis Description du cylindre de révolution. Paragraphe introduit @ Cylindre de révolution > C ORRIGÉ 2) b) Le quadrilatère obtenu est un rectangle. Ex e rc ic Exe i ces es 1 a) Prisme droit à base rectangulaire. b) Ce n’est pas un prisme droit. C’est une pyramide. c) Prisme droit à base hexagonale. d) Prisme droit à base triangulaire. e) Prisme droit à base carré : c’est un cube. f) Prisme droit à base circulaire : c’est un cylindre. 2 a) Prisme droit à base hexagonale. Six faces latérales. b) Prisme droit à base rectangulaire. Quatre faces latérales. c) Prisme droit à base triangulaire. Trois faces latérales. d) Prisme droit à base triangulaire. Trois faces latérales. e) Prisme droit à base carré : cube. Quatre faces latérales. f) Prisme droit ayant pour bases deux parallélogrammes. Quatre faces latérales. 3 a) C’est bien le patron d’un prisme droit. b) Ce n’est pas le patron d’un prisme droit. Le triangle en dessous n’est pas positionné dans le bon sens. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. c) Ce n’est pas le patron d’un prisme droit. Les triangles ne sont pas positionnés dans le bon sens. d) C’est bien le patron d’un prisme droit. e) C’est bien le patron d’un prisme droit. f) Ce n’est pas le patron d’un prisme droit. Il doit y avoir un triangle en dessous du rectangle et l’autre audessus. g) Ce n’est pas le patron d’un prisme droit. Il doit y avoir un triangle en dessous du rectangle et l’autre audessus. 4 a donne 2 ; b donne 3 ; c donne 1 ; d donne 4. 5 a) C’est bien le patron d’un cylindre. b) Ce n’est pas le patron d’un cylindre. Il doit y avoir un disque au-dessus du rectangle et un autre en dessous. c) Ce n’est pas le patron d’un cylindre. La longueur du rectangle n’est pas suffisante. d) Ce n’est pas le patron d’un cylindre. Il doit y avoir un disque au-dessus du rectangle et un autre en dessous. e) C’est bien le patron d’un cylindre. f) Ce n’est pas le patron d’un cylindre. Les figures bleues doivent être des disques. Chap. 15 - Prisme droit et cylindre de révolution 133 6 a) Arêtes parallèles : [ES], [GI], [OH], [RC], [FT]. b) Quelques arêtes perpendiculaires : [RF] et [FT], [ES] et [SI], [RC] et [RO]. c) Quelques arêtes de même longueur : [RO] et [CH], [HI] et [OG], [FE] et [TS]. d) Des faces parallèles : ROGEF et CHIST. e) Quelques faces perpendiculaires : ROGEF et ROCH, ROGEF et GISE, CHIST et GIHO, CHIST et FRCT. lO, OH lI, IG lE, EF lT, TC lR. f) Quelques angles droits : CR 7 à 15 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 16 1) Pour tracer le patron d’un cylindre, on doit calculer le périmètre du cercle de base qui est égal à la longueur du rectangle : 2πr = 2 × π × 0,75 cm 艐 4,71 cm. Ce qui prouve que la longueur du rectangle proposé n’est pas suffisante. Ce calcul permet de tracer le patron de ce cylindre. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site 2) www.phare-prof.hachette-education.com 17 Pour tracer le patron d’un cylindre, on doit calculer le périmètre du cercle de base qui est égal à la longueur du rectangle : 2πr = 2 × π × 1,5 cm 艐 9,42 cm. b) Ceci n’est pas le patron d’un prisme droit à base triangulaire car la hauteur doit avoir la même longueur sur chaque face latérale. c) C’est bien le patron d’un prisme droit à base triangulaire. 24 a) Ce n’est pas le patron d’un prisme droit car les parallélogrammes ne sont pas « orientés » de la même manière. b) Ceci est bien le patron d’un prisme droit. c) Ce n’est pas le patron d’un prisme droit car il ne doit y avoir que deux bases : les parallélogrammes. d) Ce n’est pas le patron d’un prisme droit car les rectangles ne sont pas « placés dans le bon ordre ». 25 1) Pour tracer le patron d’un cylindre, on doit calculer le périmètre du cercle de base qui est égal à la longueur du rectangle : 2πr = 2 × π × 2 cm 艐 12,56 cm. 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 19 1) Pour tracer le patron d’un cylindre, on doit calculer le périmètre du cercle de base qui est égal à la longueur du rectangle : 2πr = 2 × π × 3 cm 艐 18,84 cm. 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 20 1) Les bases de ce prisme droit sont les triangles ABC et DEF. 2) La face ACFD est un rectangle puisque c’est une face latérale d’un prisme droit. 3) La hauteur de ce prisme droit est [FC] ou [AD] ou [BE]. Elle mesure 5 cm. 21 1) a) La face MNOP est un parallélogramme. b) Cette face est une des bases de ce prisme droit. 2) La face MRUP est alors un rectangle puisque c’est une face latérale de ce prisme droit. 22 1) a) La face ANT est un triangle ; c’est une des deux bases de ce prisme droit. b) La face VONA est un rectangle puisque c’est une face latérale de ce prisme droit. 2) a) OL = 4 cm car la face LONT est un rectangle qui a ses côtés opposés de même longueur. b) LT = 6 cm car le segment [LT] est une hauteur de ce prisme droit comme le segment [AV]. 23 a) C’est bien le patron d’un prisme droit à base triangulaire. 134 27 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 28 a) Prisme 2 b) Prisme 3 c) Prisme 1 29 à 32 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 18 à 33 1) Deux faces parallèles : APE et ROS. 2) Deux faces perpendiculaires : PARO et ROS par exemple. 3) Trois arêtes parallèles : [AR], [PO] et [ES]. 4) Deux arêtes perpendiculaires : [PO] et [PE] par exemple. 34 1) a) ABCD et EFGH sont des faces parallèles car ce sont les bases de ce prisme droit. b) ABFE et CGHD ne sont pas parallèles. 2) a) ABCD et ABFE sont des faces perpendiculaires. b) BCGF et EFGH sont des faces perpendiculaires. 35 1) a) (AB) et (EF) sont parallèles car ABFE est un rectangle. b) (AB) et (CD) ne sont pas parallèles car dans une figure en perspective cavalière, les arêtes parallèles dans la réalité sont dessinées parallèles. c) (AD) et (BC) sont parallèles car ce sont deux droites perpendiculaires à une même troisième droite (AB). d) (EH) et (FG) sont parallèles car ce sont deux droites perpendiculaires à une même troisième droite (EF). 2) a) (AB) et (AE) sont perpendiculaires car ABFE est un rectangle. b) (CD) et (DH) sont perpendiculaires car CDHG est un rectangle. c) (EH) et (HG) ne sont pas perpendiculaires car EFGH n’est pas un rectangle. d) (AE) et (CG) ne sont pas perpendiculaires. Elles sont parallèles. 36 1) a) Les bases de ce prisme droit sont représentées par des ovales. b) Il s’agit en réalité de disques. 2) a) ABCD est représenté par un parallélogramme. b) Il s’agit en réalité d’un rectangle. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. > Je fais fai s l e po p o int Les exercices 37 à 46 sont corrigés à la page 292 du manuel élève. 47 1) a) Pour le pavé droit : 8 sommets. Pour l’autre prisme droit : 6 sommets. b) Pour le pavé droit : 6 faces. Pour l’autre prisme droit : 5 faces. c) Pour le pavé droit : 12 arêtes. Pour l’autre prisme droit : 9 arêtes. 2) a) Ce solide a 10 sommets. b) Ce solide a 7 faces. c) Ce solide a 15 arêtes. d) Ce solide a 5 faces latérales. e) Ce solide a 5 arêtes latérales. 48 1) a) Ces deux solides sont des prismes droits à base triangulaires. b) Les bases sont des triangles rectangles. 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 49 à 53 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 54 1) Ses bases sont des demi-disques. 2) Le demi-cylindre possède deux faces latérales qui sont des rectangles. 3) On doit calculer la longueur du demi-cercle : πR = π × 1,5 cm 艐 4,71 cm. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 55 Cette surface latérale est un rectangle dont nous allons calculer l’aire : Longueur × largeur = π × diamètre × hauteur = π × 8 cm × 8,5 cm = 68π cm2. 56 57 Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Les bases de ce prisme droit sont des hexagones. 4) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 58 a) Périmètre d’une base : a + 1 + 2a + a + 1 + 2a = 6a + 2. b) En réalité, il y a deux faces latérales différentes qui ont chacune pour périmètre : a + a + 1 + a + a + 1 = 4a + 2, pour l’une ; a + 2a + a + 2a = 6a, pour l’autre. c) Somme totale des longueurs des arêtes du prisme droit : 4a + 4(2a) + 4(a + 1) = 4a + 8a + 4a + 4 = 16a + 4 59 1) vue de face 2) vue arrière © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 3) 4) 5) 6) vue de gauche vue de dessus vue de droite vue de dessous 60 61 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com On appelle a une des dimensions. Les trois autres sont a + 1 ; a + 2 et a + 3. 1er cas : a est la hauteur du prisme droit. La somme S des longueurs de toutes ses arêtes est : S = 3 × a + 2 × (a + 1) + 2 × (a + 2) + 2 × (a + 3) S = 3a + 2a + 2 + 2a + 4 + 2a + 6 S = 9a + 12 9a + 12 est égal à 131. Donc 9a est égal à 131 – 12 = 119. Et a = 119 : 9 艐 13,2. a n’est pas un nombre entier. Donc a ne peut pas être la hauteur du prisme droit. Donc a est la longueur d’un côté d’une base. 2e cas : a + 1 est la hauteur du prisme droit. S = 3 × (a + 1) + 2 × a + 2 × (a + 2) + 2 × (a + 3) S = 3a + 3 + 2a + 2a + 4 + 2a + 6 S = 9a + 13 9a + 13 est égal à 131. Donc 9a est égal à 131-13 = 118. Et a = 118 : 9 ≈ 13,1. a n’est pas un nombre entier. Donc a + 1 ne peut pas être la hauteur du prisme droit. 3e cas : a + 2 est la hauteur du prisme droit. S = 3 × (a + 2) + 2 × a + 2 × (a + 1) + 2 × (a + 3) S = 3a + 6 + 2a + 2a + 2 + 2a + 6 S = 9a + 14 9a + 14 est égal à 131. Donc 9a est égal à 131–14 = 117 Et a = 117 : 9 = 13. a est un nombre entier. Donc la hauteur du prisme droit est 15 cm. Les dimensions d’un triangle de base sont alors 13 cm, 14 cm et 16 cm. 4e cas : a + 3 est la hauteur du prisme droit. S = 3 × (a + 3) + 2 × a + 2 × (a + 1) + 2 × (a + 2) S = 3a + 9 + 2a + 2a + 2 + 2a + 4 S = 9a + 15 9a + 15 est égal à 131. Donc 9a est égal à 131 – 15 = 116. Et a = 116 : 9 艐 12,8. a n’est pas un nombre entier. Donc a + 3 ne peut pas être la hauteur du prisme droit. 62 1) Les faces latérales sont ABFE, BCGF, CDHG et DHEA. Ce sont des rectangles. 2) a) 8 sommets. b) 12 arêtes. c) 4 arêtes latérales. 3) La hauteur de ce prisme droit est [AE] ou [BF] ou [CG] ou [DH]. Ce sont les arêtes latérales. Chap. 15 - Prisme droit et cylindre de révoution 135 63 et 64 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 65 1) La face latérale est un rectangle de largeur 4 cm et de longueur : 2πr = 2 × π × 1,5 cm = 3π cm = 9,42 cm. 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 66 et 67 Figures disponibles à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 69 1) Le solide semble être un parallélépipède rectangle. 2) La face ABCD est un parallélogramme. Le solide est donc un prisme droit dont les bases sont des parallélogrammes. 72 1) h = 42 m – 17 m h = 25 m 2) Le toit cylindrique est un rectangle de dimensions 54 m et l. l = (π × D) : 2 = (π × 34 m) : 2 l 艐 53,4 m. 3) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 68 1) Le solide est un prisme droit dont les bases sont des triangles. 136 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 16 > P ro gra gr amm mme e Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Grandeurs et mesures Cette rubrique s’appuie notamment sur la résolution de problèmes empruntés à la vie courante. Comme en classe de Sixième, l’utilisation d’unités dans les calculs sur les grandeurs est légitime. Elle est de nature à en faciliter le contrôle et à en soutenir le sens. Les questions de changement d’unités sont reliées à l’utilisation de la proportionnalité de préférence au recours systématique à un tableau de conversion. La résolution de problèmes a pour objectifs de compléter les connaissances relatives aux longueurs, aux angles, aux masses et aux durées, de calculer les aires ou volumes attachés aux figures planes ou solides usuels, de poursuivre l’étude du système d’unités de mesure des volumes, d’apprendre à choisir les unités adaptées et à effectuer des changements d’unité. > CONNAISSANCES : Longueurs, masses > CONNAISSANCES : Durées CAPACITÉS CAPACITÉS Calculer le périmètre d’une figure. Calculer des durées, des horaires. ■ Commentaires ■ Commentaires Pour les polygones (dont le parallélogramme), la compréhension de la notion de périmètre suffit à la détermination de procédés de calcul (les formules sont donc inutiles). Le calcul sur des durées ou des horaires, à l’aide de procédures raisonnées, se poursuit. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Calculer le périmètre d’une figure. – Calculer des durées, des horaires par différentes méthodes. Programme de la classe de Sixième La résolution de problèmes a pour objectifs : – de compléter les connaissances relatives aux longueurs, aires, masses et durées ; – de savoir choisir une unité appropriée et effectuer des changements d’unités ; – de consolider la notion d’angle, d’assurer la maîtrise des notions d’aire et de périmètre. > CONNAISSANCES : Longueurs, masses CAPACITÉS ● Effectuer, pour les longueurs et les masses, des changements d’unités de mesure. ● Comparer géométriquement des périmètres. ● Calculer le périmètre d’un polygone. ● Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d’un cercle. ments de mesure, en s’appuyant sur les équivalences entre les différentes unités. La comparaison de périmètres sans avoir recours aux formules est particulièrement importante pour affermir le sens de cette notion. Le travail sur les périmètres permet aussi une initiation aux écritures littérales. > CONNAISSANCES : Durées ■ Commentaires Il s’agit d’entretenir les connaissances acquises à l’école élémentaire, de compléter et consolider l’usage d’instru- CAPACITÉS Calculer des durées, calculer des horaires. Programme de la classe de Quatrième Grandeurs et mesures Cette rubrique s’appuie notamment sur la résolution de problèmes empruntés à la vie courante et aux autres disciplines. Les notions de mouvement uniforme et de vitesse ont été travaillées en classe de Cinquième dans le cadre de la proportionnalité. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Chap. 16 - Longueurs, masses, durées 137 La notion de vitesse en tant que grandeur quotient est abordée pour la première fois en classe de Quatrième. Comme dans les classes précédentes, l’utilisation d’unités dans les calculs sur les grandeurs est légitime. Elle est de nature à en faciliter le contrôle et à en soutenir le sens. La résolution de problèmes a pour objectifs : – d’initier les élèves à des grandeurs quotient ; – de compléter les connaissances et consolider les raisonnements permettant de calculer les grandeurs travaillées antérieurement (longueurs, angles, aires, volumes) ; – de savoir choisir les unités adaptées et d’effectuer les changements d’unités. > CONNAISSANCES : Grandeurs quotients courantes : ■ Commentaires vitesse moyenne La notion de vitesse moyenne est définie. Le vocabulaire « kilomètre par heure » et la notation km/h, issus de la vie courante, sont à mettre en relation avec la notation km.h-1 Les compétences exigibles ne concernent que les vitesses mais d’autres situations de changement d’unités méritent d’être envisagées : problème de change monétaire, débit, consommation de carburant en litres pour 100 kilomètres ou en kilomètres parcourus par litre. CAPACITÉS *Calculer des distances parcourues, des vitesses moyennes et des durées de parcours en utilisant l’égalité d = vt. ● *Changer d’unités de vitesse (mètre par seconde et kilomètre par heure). ● Commen taire s des au Commentaires auteurs teu rs ➜ Les notions de longueurs, masses et durées ont déjà été étudiées au primaire et en classe de Sixième et ne sont pas redéfinies dans ce chapitre. ➜ On a rappelé la formule du périmètre du disque vue au CM2. ➜ Les masses interviennent dans les exercices et sont évoquées dans le cours pour illustrer l’utilité de convertir dans la même unité pour effectuer certains calculs. Des exercices de conversion de longueurs et de masse permettent aux élèves de s’entraîner utilement. ➜ Au début du manuel, une page complète (page 12) est consacrée aux préfixes dans les unités de > mesures et aux conversions des unités de longueurs et de masses. ➜ Pour calculer une durée ou un horaire, on savait utiliser un schéma ou raisonner par complément. Dans ce chapitre, on apprend à poser une opération sur les durées : addition et soustraction. On a profité de ce chapitre pour convertir les durées en heures, minutes, secondes. Il est important de distinguer l’écriture sexagésimale 2 h 15 min de l’écriture décimale 2,25 h. En classe de Quatrième, les durées seront obligatoirement converties en écriture décimale pour calculer des vitesses. A c tiv ti v ités ité s ACTIVITÉ D’OUVERTURE ■ COM MENTAI RES : Cette activité est l’occasion de rap- C ORRIGÉ peler un événement majeur dans l’histoire de l’humanité : les premiers pas de l’homme sur la lune. Le cinquantenaire de cet événement a été fêté en 2009. 1) a) Les instants sont : 21 juillet 1969 à 2 h 56 min. b) Les durées sont : 2 h 31 min 40 s et 40 ans. c) Les longueurs sont : 250 m. 2) « Un petit pas pour l’homme, un grand pas pour l’humanité. » 1 JE CALCULE UN HORAIRE EN EFFECTUANT UNE ADDITION Objectifs ● Calculer un horaire en effectuant une addition. ● Exprimer une durée en heures, minutes, secondes. Prérequis ● Conversion des durées. Calcul d’une durée en utilisant un schéma. ● Paragraphe introduit 138 ■ C O M M E NTAI R E S : Poser les opérations pour calculer des durées est une nouveauté de la classe de Cinquième. Dans tout ce chapitre on utilisera la périphrase « Exprimer une durée en heures, minutes, secondes » pour signifier « exprimer une durée en utilisant des nombres entiers, le nombre de minutes et celui des secondes étant inférieurs à 60. » @ Durée © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. CO RRI G É 1) a) Schéma disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Les astronautes se sont rejoints à 3 h 11 min. b) T = 2 h 56 min + 15 min T = 2 h + (56 min + 15 min) T = 2 h + 71 min T = 2 h + 60 min + 11 min T = 2 h + 1 h + 11 min T = 3 h + 11 min Les astronautes se sont rejoints à 3 h 11 min. 2 2) a) Non. b) Sa réponse n’est pas satisfaisante. Usuellement, on n’écrit pas 87 min dans un horaire. Le nombre de minutes doit être inférieur à 60. c) 4 h 87 min 40 s = 4 h + 60 min + 27 min + 40 s = 5 h 27 min 40 s. Armstrong est remonté dans le LEM à 5 h 27 min 40 s. JE CALCULE UNE DURÉE EN EFFECTUANT UNE SOUSTRACTION Objectif Calculer une durée en effectuant une soustraction. Prérequis Conversion des durées. Paragraphe introduit @ Durée b) 12 h 30 min = 11 h + 1 h + 30 min = 11 h + 60 min + 30 min. Donc 12 h 30 min = 11 h 90 min. 3) a) 11 h 90 min – CO RRI G É 1) Une soustraction. 2) a) Non > 30 min 8h 45 min 3h 45 min b) La durée de la course de Fred est 3 h 45 min. Ex e rc ic Exe i ces es 1 b) c) d) e) 12 h a) une fourmi une mouche une souris la longueur d’un vélo pour enfant la longueur d’un lit 2 a) 1 cm3 d’eau b) un petit lapin c) un kangourou de taille moyenne d) une vache 3 a) environ 30 cm b) environ 2 cm c) environ 0,1 mm d) environ 0,8 kg 4 a) 135 cm = 1,35 m b) 7,25 hm = 725 m c) 268 mm = 0,268 m d) 35,6 dm = 3,56 m e) 0,157 km = 157 m f) 3,62 dam = 36,2 m g) 6 000 cm = 60 m h) 4 300 km = 4 300 000 m i) 70 mm = 0,07 m 5 a) 4,8 hg = 480 g b) 0,1 dag = 1 g c) 6 500 cg = 65 g d) 0,045 dag = 0,45 g e) 11,38 q = 1 138 000 g f) 3,4 kg = 3 400 g g) 0,125 kg = 125 g h) 43 dg = 4,3 g i) 0,079 t = 79 000 g © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 6 a) 42 mm + 20 mm + 8 mm + 34 mm = 104 mm b) 2 × 3 cm + 6 × 2 cm = 18 cm c) 3 × 5,3 cm = 15,9 cm d) 2 × 5,5 cm + 2 × 3,5 cm = 18 cm a) 4 × 2,5 cm = 10 cm b) 4 × 3,2 cm = 12,8 cm c) 2(7 m + 4 m) = 22 m d) 2(2,3 hm + 4 hm) = 12,6 hm 7 1) a) Valeur approchée de π au centième : 3,14. b) Valeur approchée de π au dixième : 3,1. c) Valeur approchée de π à l’unité : 3. 2) a) La valeur exacte de π est π. b) Le nombre π n’est pas un nombre décimal ; on ne peut pas l’écrire à l’aide d’une virgule. 8 9 1) a) Périmètre du cercle : 2πR = 2 × π × 5 m = 10π m. b) Périmètre du cercle : π × diamètre = 3π cm. 2) Valeur approchée de a) : 31,42 m. Valeur approchée de b) : 9,425 cm. 10 a) 1 min = 60 s 5 min = 300 s 1 min 29 s = 89 s 4 min 20 s = 260 s 1 h = 3 600 s 1 h = 1 800 s f) 2 b) c) d) e) 11 1) a) 1 min b) 1 min c) 1 min Chap. 16 - Longueurs, masses, durées 139 d) 2 min e) 3 min f) 10 min 2) a) 70 s = 1 min 10 s b) 65 s = 1 min 5 s c) 100 s = 1 min 40 s d) 120 s = 2 min e) 200 s = 3 min 20 s f) 600 s = 10 min 12 a) 1 h = 60 min b) 2 h = 120 min c) 5 h = 300 min d) 1 h 17 min = 77 min e) 1 heure un quart = 75 min f) 1 heure et demie = 90 min g) 60 s = 1 min h) 360 s = 6 min i) 3 600 s = 60 min 13 a) 1 j 1h = 25 h b) 1 j 8 h = 32 h c) 2 j = 48 h d) 1,5 j = 36 h e) 60 min = 1 h f) 120 min = 2 h g) 600 min = 10 h h) 3 600 s = 1 h 14 a) 87 min = 1 h 27 min 0 s b) 4 h 61 min = 5 h 1 min 0 s c) 1 h 70 min 13 s = 2 h 10 min 13 s d) 100 min 15 s = 1 h 40 min 15 s 15 a) 1 h 30 min + 30 min = 2 h b) 2 h 15 min + 8 h 26 min = 10 h 41 min c) 3 h 25 min + 1 h 55 min = 5 h 20 min d) 40 min 30 s + 30 min 40 s = 1 h 11 min 10 s 16 b) c) d) e) a) 4 min 40 s – 2 min 30 s = 2 min 10 s 3 h 25 min 40 s – 1 h 10 min 20 s = 2 h 15 min 20 s 1 min – 15 sec = 45 s 4 min 30 s – 2 min 40 s = 1 min 50 s 1 min 20 s – 22 s = 58 s 17 Périmètre : 54 cm + 41 cm + 67 cm + 15 cm = 177 cm. 18 Périmètre : 2 × 5,3 cm + 3,3 cm = 13,9 cm. 19 Périmètre : 4 × 3,1 cm = 12,4 cm. 20 Périmètre : 2 × 2,4 dm + 2 × 1,5 dm = 7,8 dm = 780 mm. 21 Périmètre = 2πR = π × D = 5,3π cm. 22 Périmètre : 2πR = 2 × π × 6 mm = 12π mm. a) Périmètre : π × D = 6,4π cm. Valeur approchée au dixième : 20,1 cm. b) Périmètre : 2πR = 2 × π × 12,5 m = 25π m. Valeur approchée au dixième : 78,5 m. 23 Longueur du demi-cercle : π × R = 42,5π mm. Périmètre de la figure : 42,5π mm + 85 mm. Valeur approchée au millimètre : 219 mm. 24 140 πR = 1,2π cm. 2 Périmètre de la figure : 1,2π cm + 4,8 cm. Valeur approchée au millimètre : 8,6 cm. 25 Longueur du quart de cercle : Longueur du demi-cercle : π × R = 1,75π cm. Périmètre de la figure : 1,75π cm + 4,6 cm. Valeur approchée au millimètre : 10,1 cm. 26 πR = 1,25π cm. 2 Périmètre de la figure : 1,25π cm + 10 cm. Valeur approchée au millimètre : 13,9 cm. 27 Longueur du quart de cercle : 28 a) 21 h 41 min b) 19 h 84 min = 20 h 24 min c) 80 min 90 s = 81 min 30 s = 1 h 21 min 30 s d) 26 h 88 min 40 s = 27 h 28 min 40 s = 1 j 3 h 28 min 40 s 29 a) 12 h 41 min + 9 h 38 min = 21 h 79 min = 22 h 19 min b) 7 min 29 s + 54 min 51 s = 61 min 80 s = 62 min 20 s = 1 h 2 min 20 s c) 19 h 26 min + 1 h 46 min = 20 h 72 min = 21 h 12 min d) 14 h 45 min 39 s + 11 h 51 min 38 s = 25 h 96 min 77 s = 1 j 2 h 37 min 17s 30 Pour résoudre ce problème, on réalise l’opération suivante : 9 h 45 min + 6 h 27 min + 1 h 58 min = 16 h 130 min = 18 h 10 min On arrivera à 18 h 10 min. 31 Pour résoudre ce problème, on effectue l’opération suivante : 18 h 53 min + 7 h 51 min + 41 min + 18 min + 26 min = 25 h 189 min = 28 h 9 min Lou arrive à 4 h 9 min. 32 a) 6 h 21 min b) 8 h 59 min c) 31 min 50 s d) 2 h 27 min 46 s 33 a) 14 h 42 min – 8 h 38 min = 6 h 4 min b) 15 h 27 min – 9 h 27 min = 6 h c) 18 min 25 s – 11 min 46 s = 6 min 39 s d) 16 h 56 min 29 s – 13 h 4 min 51 s = 3 h 51 min 38 s 34 Pour résoudre ce problème, on effectue l’opération suivante : 20 h 35 min – 2 h 15 min = 18 h 20 min La séance de cinéma a commencé à 18 h 20 min. 35 Pour résoudre ce problème, on réalise l’opération suivante : 19 h 17 min – 1 h 45 min = 17 h 32 min Rémi doit partir faire les courses avant 17 h 32 min. 36 a) Pour résoudre cette question, on effectue l’opération : 23 h 13 min – 19 h 38 min = 3 h 35 min Cet avion a volé pendant 3 h 35 min. b) On peut considérer que cet avion vole jusqu’à minuit : soit 4 h 22 min. On rajoute ensuite 6 h 27 min. 4 h 22 min + 6 h 27 min = 10 h 49 min Cet avion a volé durant 10 h 49 min. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 37 a) 14 cm = 0,14 m b) 14 m = 1 400 cm c) 3,9 km = 3 900 m d) 351 m = 0,351 km e) 21,5 m = 2,15 dam f) 21,5 m = 215 dm 38 On convertit dans la même unité les deux grandeurs proposées. a) 8,32 m > 0,963 m b) 530 cm > 53,1 cm c) 406 m < 910 m d) 82,7 dam < 813 dam 39 On convertit toutes les longueurs en mètres dans un premier temps. a) 5,6 m + 0,8 m + 0,063 m = 6,463 m b) 5 320 m + 740 m + 0,4 m = 6 060,4 m c) 7 000 m + 90 m + 0,03 m = 7 090,03 m 40 On convertit toutes les longueurs dans la même unité avant d’additionner. a) 3 421 mm + 3258 mm + 673 mm = 7 352 mm = 735,2 cm = 73,52 dm = 7,352 m b) 63,2 km + 71,44 km + 0,4 km = 135,04 km c) 350 m + 19 m + 5,2 m = 374,2 m 41 a) 35 g = 0,035 kg b) 43,5 cg = 0,000435 kg c) 5,61 q = 561 kg d) 13,7 hg = 1,37 kg e) 35 t = 35 000 kg f) 0,54 t = 540 kg g) 822 000 cg = 8,22 kg h) 8,3 dg = 0,00083 kg i) 13 000 mg = 0,013 kg j) 75 000 dag = 750 kg k) 320 q = 32 000 kg 42 a) 53 g = 0,053 kg b) 53 kg = 53 000 g c) 18,5 kg = 0,0185 t d) 8,85 t = 8 850 kg e) 5,27 kg = 0,0527 q f) 3,5 q = 350 kg 43 Écrivons toutes ces masses en kg : Léna a 730 kg ; Bob a 733 kg ; Max a 720 kg ; Luce a 73,3 kg et Nadia a 732 kg Ainsi : 73,3 kg ⬍ 720 kg ⬍ 730 kg ⬍ 732 kg ⬍ 733 kg 44 Dans un premier temps, on convertit toutes les masses dans la même unité. a) 3 500 g + 325 g + 187 g = 4 012 g = 401,2 dag = 40,12 hg = 4,012 kg b) 4 300 kg + 2 150 kg + 8 700 kg = 15 150 kg = 151,5 q = 15,15 t c) 3 100 g + 3,8 g + 0,07 g + 700 g = 3 803,87 g 45 Pour résoudre ce problème, on effectue l’opération suivante (après conversion en kg de toutes les données) : 8 540 kg + 75,5 kg + 103 kg = 8 718,5 kg La masse totale du camion est alors de : 8 718,5 kg = 87,185 q = 8,7185 t. 46 Margot pèse 39,5 kg et mesure 1,52 m. La voiture de son père a une masse de 1,5 tonne et une longueur de 4,25 m. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 47 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Ainsi, le périmètre de la figure 2 est le plus grand. 48 Les périmètres des figures bleues et jaunes sont les mêmes. En effet, ils sont composés de deux longueurs du rectangle, d’une largeur et d’un demi-cercle. Quant au périmètre de la figure rose, il est plus grand car il est composé de deux longueurs et de deux demi-cercles. La longueur d’un demi-cercle étant plus importante que la largeur. 1) a) Périmètre : π × D = 10π cm. Périmètre : π × D = 8,4π m. Périmètre : 2πR = 8π cm. Périmètre : 2πR = 7,2π m. a) Valeur approchée au centième : 31,42 cm. Valeur approchée au centième : 26,39 m. Valeur approchée au centième : 25,13 cm. Valeur approchée au centième : 22,62 m. 49 b) c) d) 2) b) c) d) 50 1) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) Longueur du demi-cercle : πR = 2,5π cm. 2) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) Il faut ajouter ici la longueur du diamètre, soit 5 cm. Périmètre du demi-disque : 2,5π cm + 5 cm. π×D = 2,25π m. 2 Il faut ajouter la longueur du diamètre qui ferme le demicercle, soit 4,5 m. Périmètre du demi-disque : 2,25π m + 4,5 m. Une valeur approchée possible : 11,57 m. π×R b) Longueur du quart de cercle : = 4,2π m. 2 Il faut ajouter la longueur des deux rayons qui ferment le quart de cercle, soit 16,8 m. Périmètre du quart de disque : 4,2π m + 16,8 m. Une valeur approchée possible : 30 m. 51 a) Longueur du demi-cercle : 52 1) Durée (en h) Durée (en min) 1 1,3 6,4 60 78 384 2) a) 1 h = 60 min b) 1,3 h = 1,3 × 1 h = 1,3 × 60 min = 78 min 1 h 3) a) 1 h = 60 min, donc 1 min = 60 384 1 b) 384 min = 384 × 1 min = 384 × h= h 60 60 384 min = 384 : 60 h = 6,4 h 53 b) c) d) e) 2) b) c) d) 1) a) 1,5 h = 90 min 0,3 h = 18 min quatre dixièmes d’heure = 24 min 0,8 h = 48 min 1,7 h = 102 min a) 180 min = 3 h 30 min = 0,5 h 48 min = 0,8 h 315 min = 5,25 h Chap. 16 - Longueurs, masses, durées 141 b) 9 h 38 min 47 s + 6 h 43 min 51 s = 15 h 81 min 98 s = 16 h 22 min 38 s 54 1) a) 5 min = 300 s b) 10,8 min = 648 s c) 0,4 min = 24 s d) 6,5 min = 390 s 2) a) 360 s = 6 min b) 15 s = 0,25 min c) 30 s = 0,5 min d) 468 s = 7,8 min 60 a) 13 h 11 min 52 s – 5 h 44 min 30 s = 7 h 27 min 22 s b) 15 h 40 min 29 s – 4 h 13 min 40 s = 11 h 26 min 49 s 61 a) 5 j 18 h 33 min + 2 j 9 h 27 min = 7 j 27 h 60 min = 8 j 4 h b) 9 h 38 min 23 s – 6 h 43 min 55 s = 2 h 54 min 28 s c) 15 h 35 s – 51 min 42 s = 14 h 8 min 53 s 55 a) 3 600 s = 1 h b) 900 s = 0,25 h c) 720 s = 0,2 h d) 2,5 j = 60 h 62 1) Schéma disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1) 1,4 h = 1 h + 0,4 h = 1 h + 0,4 × 60 min 1,4 h = 1 h + 24 min = 1 h 24 min 2) a) 1,5 h = 1 h 30 min b) 2,55 h = 2 h 33 min c) 3,95 h = 3 h 57 min d) 2,75 h = 2 h 45 min 56 2) Durée du vol : 25 min + 2 h + 15 min = 2 h 40 min. 63 Schéma disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Durée du vol : 3 h – 20 min = 2 h 40 min. 57 b) c) 2) b) c) 1) a) 9,3 min = 9 min 18 s 22,2 min = 22 min 12 s 4,25 min = 4 min 15 s a) 1,37 h = 1 h 22 min 12 s 9,13 h = 9 h 7 min 48 s 23,59 h = 23 h 35 min 24 s 64 La durée du vol se calcule en posant l’opération : 22 h 15 min – 19 h 35 min. Le vol a duré 2 h 40 min. 65 1) a) 907 = 15 × 60 + 7 907 s = 15 min 7 s a) 752 s = 12 min 32 s 1987 s = 33 min 7 s 321 min = 5 h 21 min 1500 min = 25 h 58 b) 2) b) c) d) 66 59 Je f fai ai s l e p o int Les exercices 67 à 76 sont corrigés à la page 293 du manuel élève. Pour résoudre ce problème, on convertit toutes les longueurs en km : 132,65 km ; 131,1 km ; 168,4 km ; 149,25 km ; 7,6 km. Chaque participant a parcouru une distance totale de 589 km. a) Le périmètre de la figure 1 est plus grand car la longueur d’un demi-cercle est plus grande que la largeur du rectangle. b) Périmètre de la figure 1 : périmètre d’un cercle + deux longueurs du rectangle = 2πR + 2 × longueurs = 7,1π cm + 28,4 cm 艐 50,7 cm (valeur approchée au dixième) Périmètre de la figure 2 : 2(longueur + largeur) = 2(14,2 cm + 7,1 cm) = 42,6 cm πD = 1,55π cm. Longueur du demi-cercle : 2 Périmètre de cette figure : = 2 × 2,8 cm + 2 × 1,2 cm + 1,55π cm = 8 cm +1,55π cm. 79 142 Schéma disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Durée de la traversée : 11 h 35 min – 8 h 25 min = 3 h 10 min. 77 78 Schéma disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Durée de la traversée : 19 h 30 min – 11 h 50 min = 7 h 40 min. a) 15 h 12 min 29 s + 4 h 43 min 40 s = 19 h 55 min 69 s = 19 h 56 min 9 s > 1) πD = 3,25π m. Longueur du demi-cercle : 2 πR = 2,1π m. Longueur du quart de cercle : 2 Périmètre de cette figure : 80 = 3,25π m + 2,1π m + 4,2 m + 6,5 m. = 5,35π m + 10,7 m. Longueur du demi-cercle : πR = 2,1π cm. Longueur des deux demi-cercles : πD = 2,3π cm. Périmètre de cette figure : = 2,1π cm + 2,3π cm + 4,2 cm = 4,4π cm + 4,2 cm. 81 82 1) Circonférence de Mercure : πD = 4878π km 艐 15325 km (valeur approchée au km). Circonférence de Vénus arrondie au km : 38026 km. Circonférence de la Terre arrondie au km : 40074 km. Circonférence de Mars arrondie au km : 21300 km. Circonférence de Jupiter arrondie au km : 449197 km. Circonférence de Saturne arrondie au km : 378675 km. Circonférence d’Uranus arrondie au km : 160 km. Circonférence de Neptune arrondie au km : 153 km. 2) a) Par ordre croissant des masses : Mercure ; Mars ; Vénus ; Terre ; Uranus ; Neptune ; Saturne ; Jupiter. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. b) Par ordre croissant des rayons : Neptune ; Uranus ; Mercure ; Mars ; Vénus ; Terre ; Saturne ; Jupiter. c) L’ordre croissant des circonférences est évidemment le même que celui des rayons. 3) Les rangements sont différents ; ce qui prouve que la masse de ces planètes ne dépend pas que de leurs rayons respectifs. La matière dont chacune est constituée joue un rôle très important dans leur masse. 83 Durée de rotation de Mercure : 58 j 15 h 21 min 36 s. Durée de rotation de Vénus : 243 j 0 h 28 min 48 s. Durée de rotation de La Terre : 1 j. Durée de rotation de Mars : 1 j 0 h 43 min 12 s. Durée de rotation de Jupiter : 9 h 50 min 24 s. Durée de rotation de Saturne : 10 h 19 min 12 s. Durée de rotation d’Uranus : 17 h 16 min 48 s. Durée de rotation de Neptune : 16 h 4 min 48 s. 91 b) Périmètre du parallélogramme : x + 2 + 3x + 1 + x + 2 + 3x + 1 = 8x + 6. 92 1) Je calcule pour chacune des premières cases du jeu d’échecs le nombre de secondes de sursis correspondant. Le sursis du prisonnier double à chaque case du jeu d’échecs. Numéro de case 85 Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 86 1) 30 000 h = 3 ans 155 jours (en considérant que les trois années comptent 365 jours). 2) Pour savoir combien de jours on peut utiliser cette ampoule, on divise 30 000 heures par 4 heures : 30 000 h = 7 500. 4h On pourra utiliser cette ampoule 7 500 jours, soit plus de 20 ans. 87 1) Pour avoir l’heure de Paris au moment de l’atterrissage, on rajoute 4 heures à l’heure de Cayenne, soit un atterrissage à 19 h37 min (heure de Paris). La durée de vol se calcule en effectuant l’opération : 19 h 37 min – 10 h 45 min = 8 h 52 min. La durée du vol est de 8 h 52 min. 2) Pour la même raison que la question précédente, on enlève 4 heures à l’heure d’atterrissage à Paris (décalage horaire) : atterrissage à 4 h 10 min (heure de Cayenne). La durée du trajet s’obtient en effectuant l’opération : 4 h 10 min – 12 h 35 min = 28 h 10 min – 12 h 35 min = 15 h 35 min Le trajet retour s’effectue en 15 h 35 min. 88 On décide par exemple de convertir toutes les unités en cm. πR = 1,5π cm. Longueur du petit quart de cercle : 2 πR Longueur du grand quart de cercle : = 2,8π cm. 2 πR Longueur du demi-cercle : = 2,2π cm. 2 Périmètre de la figure bleue : 1,5π cm + 2,8π cm + 2,2π cm + 11,6 cm = 6,5π cm + 11,6 cm ≈ 32 cm. 89 Schéma disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 90 a) Périmètre du carré : 12x cm. b) Périmètre du carré : 4(x + 7) cm. c) Périmètre du triangle équilatéral : 3(2x + 5) cm. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nombre de secondes 1 2 4 8 16 32 64 128 256 de sursis 10 11 512 84 1) 1001 j = 2 ans 271 j 2) Pour résoudre ce problème, notons qu’une nuit dure 8 h 30 min, soit 510 min. Le récit a duré 1 001 nuits, soit 1 001 nuits × 510 min = 510 510 min. 510 510 min = 354 j 12 h 30 min. Le récit a duré 354 j 12 h 30 min. a) Périmètre du parallélogramme : x + 1 + x + x + 1 + x = 4 × + 2. 12 13 14 15 16 17 1 024 2 048 4 096 8 192 16 384 32 768 65 536 18 19 20 21 22 131 072 262 144 524 288 1 048 576 2 097 152 23 24 25 26 4 194 304 8 388 608 16 777 216 33 554 432 a) À la septième case, le sursis dépasse la minute et devient 64 s. b) À la treizième case, le sursis passe de 2 048 s à 4 096 s. Il dépasse 3 600 s donc l’heure. c) Dans un jour il y a 24 × 3 600 s = 86 400 s. À la dix-huitième case, le sursis passe de 65 536 s à 131 072 s. Il dépasse donc le jour à cette case. 2) Dans une année, il y a 365 × 86 400 s = 31 536 000 s À la 26e case, le sursis passe à 33 554 432 s. Il dépasse 31 536 000 s donc l’année. À la 26e case le sursis dépasse 1 an. Sur un jeu d’échec, il y a 64 cases. Je veux limiter mes calculs, je n’ai pas besoin de valeurs exactes. En utilisant le premier tableau, je déduis que 7 cases plus loin son sursis dépassera 128 ans donc il est sauvé. 93 Le contour de la figure orange est constitué d’un demi-cercle de diamètre 12 cm, d’un demi-cercle de diamètre 6 cm et de deux demi-cercles de diamètre 3 cm. Le périmètre est donc : (12 cm × π) : 2 + (6 cm × π) : 2 + (3 cm × π) 艐 37,70 cm. Ce périmètre est égal au périmètre du (grand) disque de diamètre 12 cm. 12 cm × π 艐 37,70 cm. 94 1) ● On effectue l’opération : 8 h 45 min + 6 h 54 min. On obtient 14 h 99 min, soit 15 h 39 min. Ce train arrive à 15 h 39 min. ● De 8 h 45 min à 9 h, il y a 15 minutes. On enlève ces 15 minutes à la durée du trajet qui passe alors à 6 h 39 min. On rajoute enfin 6 h 39 min à 9 h pour obtenir l’heure d’arrivée : 15 h 39 min. 2) ● On effectue l’opération : 7 h 20 min – 5 h 29 min = 1 h 51 min. La durée du voyage en train est de 1 h 51 min. ● De 5 h 29 min à 6 h, il y a 31 min. De 6 h à 7 h, il y a 1 h. Enfin, de 7 h à 7 h 20 min, il y a 20 min. On additionne alors ces trois durées : 31 min + 1 h + 20 min = 1 h 51 min. La durée du trajet est donc de 1 h 51 min. Chap. 16 - Longueurs, masses, durées 143 95 a) On convertit toutes les unités en m : 126,5 m + 12,8 m + 500 m + 4 120 m = 4 759,3 m = 475,93 dam = 47,593 hm = 4,759 3 km b) On convertit toutes les unités en kg : 3 500 kg + 56,5 kg + 31 kg + 0,65 kg = 3 588,15 kg = 35,881 5 q = 3,588 15 t 96 1) Périmètre du cercle entier : πD = 68π m 艐 213,63 m (arrondi au cm). Longueur totale du circuit : 2 × 105 m + 213,63 m 艐 423,63 m. 2) Roger a parcouru 7 tours : 7 tours × 423,63 m 艐 2965,41 m. Isa a parcouru 15 km : 15000 m. Christine a parcouru 10,5 tours : 10,5 tours × 423,63 m 艐 4448,115 m. 3 Christophe a parcouru 11 tours : 4 3 (11 + ) × 423,6 m 艐 4977,6525 m. 4 Cette équipe a parcouru environ 27391,1775 m, soit un peu plus de 27 km. 97 a) 18 h 48 min 52 s + 5 h 36 min 29 s = 23 h 84 min 81 s = 24 h 25 min 21 s b) 12 h 35 min 32 s – 4 h 45 min 50 s = 7 h 49 min 42 s 98 1) On effectue le calcul suivant : 21 h 50 min + 10 h 15 min = 31 h 65 min = 32 h 5 min = 8 h 5 min Souraya peut se lever à partir de 8 h 05 min. 2) Le réveil à 7 h 25 min est précisément 40 min avant le réveil de la question 1) : 8 h 05 min. Le coucher doit donc être avancé de 40 min également ; soit 21 h 10 min. 1) 27,3217 jours 艐 27 j 7 h 43 min 15 s 2) On calcule le périmètre du cercle arrondi à l’unité : 2πR = 3 468,8π km 艐 10 898 km La longueur de l’équateur de la Lune est d’environ 10 898 km 99 1 du fromage et donc de 1) Le client a acheté 4 1 sa masse : × 2,8 kg = 0,7 kg. 4 2) On calcule ici la longueur du trois quarts de cercle de diamètre 36 cm : 3 πD = 27π cm 4 100 101 A) a) Le périmètre du disque. b) La longueur du demi-cercle de diamètre d. c) Le périmètre du demi disque. 144 B) 5) c) La formule = C2 + A2 permet de calculer le périmètre du demi-disque puisqu’on ajoute la longueur du diamètre de la case A2 à la longueur du demi-cercle calculée case C2. C) Non, le tableau permet seulement de calculer une valeur approchée de ce diamètre car la valeur 4 n’apparaît pas dans la colonne D. Comme 4 cm est compris entre 3,86 cm et 4,11 cm, on peut déduire que le diamètre du demi-disque de périmètre 4 cm est compris entre 1,5 cm et 1,6 cm. 102 1) La différence de masse entre ces deux satellites est : 1,6 t – 42 kg = 1 600 kg – 42 kg = 1558 kg. 2) Entre le 26 novembre 1965 et le 24 décembre 1965, il s’est écoulé 28 jours. Entre le 24 décembre 1965 et le 24 décembre 1979, il s’est écoulé 14 ans dont 3 années bissextiles. Entre ces deux lancements de satellites, il s’est donc écoulé 14 années de 365 jours et 31 jours. 103 1) Longueur du cercle décrit par un point situé sur l’équateur : 6 350 km × 2 × π 艐 39 898 km. 2) 35 750 km + 6 350 km = 42 100 km 42 100 km × 2 × π 艐 264 522 km. La longueur du cercle décrit par un satellite géostationnaire est environ 264 522 km. 104 1) La ville de Kourou a été choisie pour le décollage des fusées parce qu’elle se situe près de l’équateur. Les fusées peuvent utiliser au maximum la vitesse de rotation de la terre lors du lancement. De plus, cette ville s’ouvre sur l’océan vers l’est et cela limite les risques en cas d’incidents techniques. 2) b) Sur la carte, le triangle formé par les villes de Cayenne, Mana et Camopi a environ pour périmètre : 2,4 cm + 4,3 cm + 2,6 cm = 9,3 cm. En utilisant l’échelle de la carte (1,6 cm représente 100 km), on obtient le périmètre réel approché de ce polygone, soit environ 581 km. (100 × 9,3) : 1,6 = 581,25 km 105 1) De 18 h 10 à 24 h il s’écoule 50 min + 5 h ; de 00 h à 5 h 40, il s’écoule 5 h 40. Au solstice d’été, la nuit dure : 5 h 50 min + 5 h 40 min = 10 h 90 min = 11 h 30 min. De 17 h 43 à 24 h il s’écoule 17 min + 6 h ; de 00 h à 5 h 58, il s’écoule 5 h 58. Au solstice d’hiver, la nuit dure : 6 h 17 min + 5 h 58 min = 11 h 75 min = 12 h 15 min. 2) 12 h 15 min – 11 h 30 min = 45 min. La différence entre la nuit la plus longue de l’année et la nuit la plus courte est très faible dans cette région proche de l’équateur. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 17 > P ro gra gr amm mme e Programme de la classe de Cinquième Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italique. Si la phrase en italique est précédée d’un astérisque, l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. > CONNAISSANCES : • 4.3 Aires • Parallélogramme, triangle, disque Les élèves peuvent calculer l’aire latérale d’un prisme droit ou d’un cylindre de révolution à partir du périmètre de leur base et de leur hauteur. > CONNAISSANCES : CAPACITÉS • Calculer l’aire d’un parallélogramme. • Calculer l’aire d’un triangle connaissant un côté et la hauteur associée. • Calculer l’aire d’une surface plane ou celle d’un solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables. ■ Commentaires La formule de l’aire du parallélogramme est déduite de celle de l’aire du rectangle. Le fait que chaque médiane d’un triangle le partage en deux triangles de même aire est justifié. Dans le cadre du socle les élèves peuvent calculer ainsi l’aire d’un parallélogramme. • 4.4 Volumes • Prisme, cylindre de révolution. CAPACITÉS • Calculer le volume d’un parallélépipède rectangle. • Calculer le volume d’un prisme droit, d’un cylindre de révolution. • Effectuer pour des volumes des changements d’unités de mesure. ■ Commentaires Une relation est établie entre les calculs de volume du prisme droit et du cylindre : dans les deux cas, l’aire de la surface de base du solide est multipliée par sa hauteur. On travaillera les changements d’unités de volume dans des situations de la vie courante. Socle commun des connaissances Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Calculer une aire, un volume. Indications pour l’évaluation en situation • Les exigences concernant les données permettant le calcul sont les mêmes que celles de la partie « nombres et calcul ». • Les exigences portent notamment sur : – la mesure d’un volume avec une éprouvette graduée, d’une masse avec une balance électronique ; • l’utilisation d’un rapporteur. Éléments du socle exigibles en fin de Quatrième – Effectuer des conversions d’unités relatives aux grandeurs étudiées. Indications pour l’évaluation en situation • Les exigences relatives aux valeurs en jeu dans les calculs sont les mêmes que celles de la partie « nombres et calcul ». • Les changements d’unités portent sur les aires, les volumes, le lien entre volume et contenance. Programme de la classe de Sixième > CONNAISSANCES : 4.3 Aires : mesure, comparaison et calcul d’aires CAPACITÉS • Comparer géométriquement des aires. • Déterminer l’aire d’une surface à partir d’un pavage simple. • Différencier périmètre et aire. • Calculer l’aire d’un rectangle dont les dimensions sont données. • Connaître et utiliser la formule donnant l’aire d’un rectangle. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. • Calculer l’aire d’un triangle rectangle, *d’un triangle quelconque dont une hauteur est tracée. • Connaître et utiliser la formule donnant l’aire d’un disque. • Effectuer pour les aires des changements d’unités de mesure. ■ Commentaires Poursuivre le travail effectué à l’école élémentaire, en confrontant les élèves à des problèmes. La comparaison d’aires sans avoir recours à des formules est particulièrement importante pour affermir le sens de cette notion. Chap. 17 - Aires et volumes 145 Certaines activités proposées conduisent les élèves à comprendre notamment que périmètre et aire ne varient pas toujours dans le même sens. Une démarche expérimentale permet de vérifier la formule de l’aire du disque. > CONNAISSANCES : 4.4 Volumes CAPACITÉS • Déterminer le volume d’un parallélépipède rectangle en se rapportant à un dénombrement d’unités, *en utilisant une formule. • Connaître et utiliser les unités de volume et les relier aux unités de contenance. • Savoir que 1 L = 1 dm3. • Effectuer pour les volumes des changements d’unités de mesure. ■ Commentaires Comme pour les longueurs et les aires, l’utilisation des équivalences entre diverses unités est préférée à celle systématique d’un tableau de conversion. Programme de la classe de Quatrième > CONNAISSANCES : ■ Commentaires • 4.1 Aires • Volumes • Calculs d’aires et volumes L’objectif est, d’une part, d’entretenir les acquis des classes antérieures et, d’autre part, de manipuler de nouvelles formules, en liaison avec la pratique du calcul littéral. CAPACITÉS • Calculer le volume d’une pyramide et d’un cône de 1 révolution à l’aide de la formule = Bh. 3 Commen taire s des au Commentaires auteurs teu rs ➜ Les élèves revoient le calcul de l’aire d’un triangle et celui de l’aire d’un disque et découvrent comment calculer l’aire d’un parallélogramme. L’aire latérale et l’aire totale d’un prisme droit ou d’un cylindre de révolution sont définies et calculées. Les changements d’unités d’aire ont été vus dans les classes précédentes. ➜ Le calcul du volume d’un parallélépipède rectangle à partir de la formule, qui n’était pas au socle > en Sixième, l’est désormais en Cinquième. Les élèves doivent également connaître les formules permettant de calculer le volume d’un prisme droit et celui d’un cylindre de révolution. Les changements d’unités de volume sont revus dans ce chapitre. ➜ Contrairement aux classes précédentes, certains calculs d’aire utilisent la lettre π (réinvestissement du calcul littéral chapitre 2). A c tiv ti v ités ité s ACTIVITÉ D’OUVERTURE CORRIG É 1) On peut observer sur ce tableau trois triangles, un disque, un carré et un rectangle (le tableau lui-même). 2) La formule permettant de calculer l’aire : – d’un triangle de base b et de hauteur relative h est : = (b × h) : 2 1 JE CALCULE L’AIRE D’UN PARALLÉLOGRAMME Objectif Découvrir la formule de l’aire d’un parallélogramme. Prérequis Aire d’un rectangle. Paragraphe introduit ! Aire de figures usuelles a) Parallélogramme 146 – d’un disque de rayon R est : = π × R2 – d’un carré de longueur de côté c est : = c × c = c2 – d’un rectangle de longueur L et largeur est : =L× ■ C OM M E NTAIRE S : Cette activité permet d’établir la formule permettant de calculer l’aire d’un parallélogramme, mais aussi de définir la hauteur relative à un côté d’un parallélogramme. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. CO RRI G É 1) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com b) ABCD est un parallélogramme. Or, les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles. Donc (AB) // (DC). On sait que : (AB) // (DC) et (AH) ⊥ (DC). Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Donc (AH) ⊥ (AB). On en conclut que la longueur AH est aussi la hauteur relative au côté [AB]. 2) b) En utilisant du papier-calque, on constate que les triangles ADH et BCK sont superposables. Ils ont donc la même aire. c) On en déduit que l’aire du rectangle ABKH est la même que celle du parallélogramme ABCD. 2 www.phare-prof.hachette-education.com b) La droite (AI) est la hauteur relative au côté [BC], elle est aussi la hauteur relative au côté [AD]. Ainsi le quadrilatère AIJD possède trois angles droits. Or, un quadrilatère qui possède trois angles droits est un rectangle. Donc AIJD est un rectangle. Les deux triangles DCJ et AIB sont superposables, ils ont alors la même aire. L’aire du parallélogramme ABCD est la même que celle du rectangle AIJD. Donc (ABCD) = (AIJD) = AD × AI = BC × h. J’EXPRIME L’AIRE D’UN TRIANGLE Objectif Aire d’un triangle. Prérequis ● ● Paragraphe introduit Propriétés et aire du parallélogramme. Symétrie centrale. ! Aire de figures usuelles b) Triangle ■ C OMMENTAI RE S : La formule pour calculer l’aire d’un triangle est connue des élèves. Elle est redémontrée ici dans le cas où le triangle possède un angle obtus et en utilisant l’aire du parallélogramme. CO RRI G É 1) 2) a) b) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3 d) (ABCD) = (ABKH) = AB × AH. Comme ABCD est un parallélogramme, ses côtés opposés sont de même longueur. Donc AB = DC = 7 cm. Ainsi, (ABCD) = 7 cm × 5 cm = 35 cm2. L’aire du parallélogramme ABCD est 35 cm2. 3) a) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site JE REVOIS c) Le point I est le milieu du segment [AC]. Le point D est le symétrique du point B par rapport au point I. Donc le point I est le milieu du segment [BD]. Ainsi, le quadrilatère ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu. Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, c’est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme. 3) a) Par la symétrie de centre I : – le symétrique du point A est le point C ; – le symétrique du point B est le point D ; – le symétrique du point C est le point A. Ainsi, le symétrique du triangle ABC est le triangle ADC. Or, la symétrie centrale conserve les aires. Donc, les triangles ABC et ADC ont la même aire. b) D’après 3) a), (ABC) = (ABCD) : 2. Or, (ABCD) = AH × BC. Donc (ABC) = (AH × BC) : 2. JE DÉCOUVRE UNE PROPRIÉTÉ DES TRIANGLES Objectif Prérequis Établir une propriété de la médiane d’un triangle. Aire d’un triangle. Définition d’une médiane d’un triangle. ● ● Paragraphe introduit ! Aire de figures usuelles b) Triangle ■ C OMMENTAI RE S : Cette activité permet de démontrer qu’une médiane d’un triangle le partage en deux triangles de même aire. CO RRI G É 1) a) b) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Donc, la droite (AI) est la médiane relative au côté [BC] du triangle ABC. c) La droite (AH) est la hauteur relative au côté [BI] du triangle ABI. La droite (AH) est la hauteur relative au côté [IC] du triangle ACI. 2) a) La droite (AH) étant la hauteur relative au côté [BI] du triangle ABI, l’expression (BI × AH) : 2 permet de calculer l’aire du triangle ABI. b) La droite (AH) étant la hauteur relative au côté [IC] du triangle ACI, l’expression (CI × AH) : 2 permet de calculer l’aire du triangle ACI. c) Le point I est le milieu du segment [BC], donc BI = IC. Ainsi, (BI × AH) : 2 = (CI × AH) : 2. On en déduit donc que l’aire du triangle ABI est égale à celle du triangle ACI. 3) Une médiane d’un triangle le partage en deux triangles de même aire. La droite (AI) passe par un sommet du triangle ABC et le milieu I du côté opposé [BC]. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Chap. 17 - Aires et volumes 147 4 JE DÉTERMINE L’AIRE LATÉRALE D’UN PRISME DROIT Objectif Aire latérale d’un prisme droit. Prérequis ● ● Paragraphe introduit Aire d’un rectangle. Calcul littéral et factorisation. @ Aire d’un solide CORRIG É 1) a) La hauteur de ce prisme droit est h. Ce prisme droit possède trois faces latérales qui sont des rectangles. 5 JE CALCULE L’AIRE LATÉRALE D’UN CYLINDRE DE RÉVOLUTION Objectif Prérequis Aire latérale d’un cylindre de révolution. ● ● Paragraphe introduit CORRIG É 1) 6 Périmètre d’un cercle. Aire d’un rectangle. @ Aire d’un solide JE DÉTERMINE LE VOLUME D’UN PRISME DROIT Volume d’un prisme droit. Prérequis ● Paragraphe introduit Aire d’un triangle, d’un parallélogramme. ● Tableau de proportionnalité. # Volume d’un solide CORRIG É 1) = 6 cm × 4 cm × 5 cm = 120 cm3. Le volume du parallélépipède rectangle initial est 120 cm3. 2) Les solides ! et @ sont des prismes droits dont les bases sont des triangles. Le solide # est un prisme droit dont les bases sont des parallélogrammes. 1 3) a) Le solide ! représente du parallélépipède rec4 tangle initial. 1 1 b) 1 = × = × 120 cm3 = 30 cm3 4 4 Le volume du solide ! est 30 cm3. 1 4) Le solide @ représente du parallélépipède rectangle 4 initial. > 1 1 × = × 120 cm3 = 30 cm3 4 4 Le volume du solide @ est 30 cm3. 1 du parallélépipède rectangle Le solide # représente 2 initial. 1 1 3 = × = × 120 cm3 = 60 cm3 2 2 Le volume du solide # est 60 cm3. 5) a) 2 = Solide ! @ # Aire d’une base (en cm ) 6 6 12 Volume (en cm ) 30 30 60 2 3 30 30 60 = 5; = 5; =5 6 6 12 Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le volume d’un prisme droit est proportionnel à l’aire d’une de ses bases. c) Le coefficient de proportionnalité est 5. Il correspond à la hauteur du prisme droit. b) E x erc er c ic ice es a) côté × hauteur = 3 cm × 1 cm = 3 cm2 b) côté × hauteur = 2 cm × 2,5 cm = 5 cm2 c) longueur × largeur = 3 cm × 1,5 cm = 4,5 cm2 d) On découpe ce losange en deux triangles identiques : 2 × (côté × hauteur : 2) = côté × hauteur = 4 cm × 1 cm = 4 cm2. 148 Le patron de ce cylindre de révolution est constitué de deux disques de rayon 2 cm et d’un rectangle de dimensions 5 cm et 2 × π × 2 艐 12,6 cm. 2) a) La largeur de ce rectangle correspond à la hauteur du cylindre de révolution. b) La longueur du rectangle correspond au périmètre d’une base du cylindre de révolution. 3) L × = 2 × π × 2 × 5 = 2 × 2 × 5 × π = 20 × π L’aire latérale de ce prisme droit est égale à 20π cm2. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Objectif 1 b) Les aires de chaque face latérale sont : b × h, c × h et a × h. c) L’aire latérale de ce prisme droit est donc : a × h + b × h + c × h. 2) h est un facteur commun à chaque terme de la somme. On peut donc factoriser par h. a × h + b × h + c × h = (a + b + c ) × h Le périmètre d’une base de ce prisme droit est a + b + c. Donc, l’aire latérale du prisme droit est le produit du périmètre d’une base par sa hauteur. 2 Ces trois triangles ont la même aire car ils ont un côté commun et les hauteurs relatives à ce côté sont de la même mesure pour les trois triangles : 2,5 cm. 3 1) a) (MB) b) (CR) © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. c) (AE) 2) Aire du triangle MER : ER × MB : 2 = ME × CR : 2 = MR × AE : 2 a) c × h : 2 = 3 cm × 4 cm : 2 = 6 cm2 b) c × h : 2 = 6 m × 4 m : 2 = 12 m2 c) c × h : 2 = 6 cm × 2,5 cm : 2 = 7,5 cm2 4 a) AC × AB : 2 = 3 cm × 1,5 cm : 2 = 2,25 cm2 b) c × h : 2 = BC × h : 2 = 2,5 cm × 2 cm : 2 = 2,5 cm2 5 6 Une médiane est une droite qui partage un triangle en deux triangles qui ont la même aire. Calculons l’aire du triangle ABC et on en déduira l’aire du triangle ABI comme étant sa moitié. Aire du triangle ABC : c × h : 2 = BC × h : 2 = 3 cm × 1,5 cm : 2 = 2,25 cm2. Aire du triangle ABI : Aire du triangle ABC : 2 = 2,25 cm2 : 2 = 1,125 cm2. 7 a) Aire latérale du prisme 1 : périmètre de base × hauteur = (2 cm + 2,5 cm + 1,5 cm) × 3 cm = 18 cm2. Aire latérale du prisme 2 : périmètre de base × hauteur = (5 × 3 m) × 2 m = 30 m2. Aire latérale du prisme 3 : périmètre de base × hauteur = (30 mm + 20 mm + 30 mm + 20 mm) × 10 mm = 1 000 mm2 . b) Aire totale du prisme 1 : aire latérale du prisme 1 + double de l’aire de base = 18 cm2 + 2 × (2 cm × 1,5 cm : 2) = 18 cm2 + 3 cm2 = 21 cm2. Aire totale du prisme 2 : aire latérale du prisme 2 + double de l’aire de base 30 m2 + 2 × 15 m2 = 30 m2 + 30 m2 = 60 m2. Aire totale du prisme 3 : aire latérale du prisme 3 + double de l’aire de base = 1 000 mm2 + 2 × (30 mm × 15 mm) = 1 000 mm2 + 900 mm2 = 1 900 mm2. 8 Volume du prisme 1 : aire de base × hauteur = (2 cm × 1,5 cm : 2) × 3 cm = 4,5 cm3. Volume du prisme 2 : aire de base × hauteur = 15 m2 × 2 m = 30 m3. Volume du prisme 3 : aire de base × hauteur = (30 mm × 15 mm) × 10 mm = 4 500 mm3. 9 Volume du verre 1 : πR2 × h = π × (1 cm)2 × 8 cm = 8π cm3. Volume du verre 2 : πR2 × h = π × (3 cm)2 × 14 cm = 126π cm3. Volume du verre 3 : πR2 × h = π × (4 cm)2 × 8 cm = 128π cm3. 10 Aire du triangle BCD : BC × CD : 2 = 4 cm × 4 cm : 2 = 8 cm2. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Aire du triangle ABD : AD × hauteur : 2 = 3 cm × 5,5 cm : 2 = 8,25 cm2. Aire du quadrilatère ABCD : 8 cm2 + 8,25 cm2 = 16,25 cm2. 11 Aire du parallélogramme EFMH : EH × hauteur = 3,9 cm × 4,2 cm = 16,38 cm2. Aire du triangle MGH : MG × hauteur : 2 = 3,5 cm × 4,2 cm : 2 = 7,35 cm2. Aire du quadrilatère EFGH : 6,38 cm2 + 7,35 cm2 = 23,73 cm2. Aire du disque : πR2 = π × (2 cm)2 = 4π cm2. Aire du losange : c × h = 4 cm × 3 cm = 12 cm2. Aire de cette figure : 4π cm2 + 12 cm2 艐 24,6 cm2. 12 Aire du carré : c × c = (8 cm)2 = 64 cm2. Aire du disque : πR2 = π × (2 cm)2 = 4π cm2. Aire de la figure jaune : 64 cm2 – 4π cm2 艐 51,4 cm2. 13 14 1) « sens interdit » 2) Aire du disque : πR2 = π × (33 cm)2 = 1 089π cm2. Aire du rectangle : L × = 46 cm × 10 cm = 460 cm2. Aire de la surface rouge : 1 089π cm2 – 460 cm2 艐 2 961,2 cm2. 15 1) « circulation interdite » 2) Aire du grand disque : πR2 = π × (33 cm)2 = 1 089π cm2. Aire du disque blanc : πR2 = π × (24 cm)2 = 576π cm2. Aire de la surface rouge : 1 089π cm2 – 576πcm2 艐 1 611,6 cm2. 16 17 18 L × × h = 5 cm × 4,5 cm × 3 cm = 67,5 cm3 19 aire de base × hauteur = (6 cm × 4 cm : 2) × 8 cm = 96 cm3 20 aire de base × hauteur = (6 cm × 3,5 cm) × 5 cm = 105 cm3 c × c × c = (4 cm)3 = 64 cm3 aire de base × hauteur = (3 cm × 4 cm : 2) × 6 cm = 36 cm3 21 Volume de la boîte : πR2 × h = π × (3,5 cm)2 × 12 cm 艐 461,8 cm3. 22 Volume de la boîte : πR × h = π × (6,5 cm)2 × 4 cm 艐 530,9 cm3. 2 23 Volume du pavé droit : L × × h = 60 cm × 34 cm × 175 cm = 357 000 cm3. Volume du cylindre : πR2 × h = π × (30 cm)2 × 180 cm 艐 508 938 cm3. Le récupérateur de forme cylindrique a le plus gros volume. 24 1) 2) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 3) Aire du parallélogramme vert : côté × hauteur = AD × hauteur = 3 cm × 2 cm = 6 cm2. Aire du parallélogramme rouge : côté × hauteur = AB × hauteur = 2,5 cm × 1,5 cm = 3,75 cm2. 1) Périmètre : (5,4 cm + 4 cm) × 2 = 18,8 cm. 2) Aire : côté × hauteur = IL × hauteur = 5,4 cm × 3,2 cm = 17,28 cm2. 25 Chap. 17 - Aires et volumes 149 26 Aire : côté × hauteur = SA × hauteur = 6 cm × 3 cm = 18 cm2. Aire : côté × hauteur = BS × hauteur = 4 cm × 4,5 cm = 18 cm2. Périmètre : 4 × côté = 4 × 38 mm = 152 mm. Aire du losange : côté × hauteur = PL × hauteur = 38 mm × 21 mm = 868 mm2. 27 28 Périmètre : 3,6 m + 6 m + 4,8 m = 14,4 m. Aire : côté × hauteur : 2 = BC × AB : 2 = 4,8 m × 3,6 m : 2 = 8,64 m2. 29 Périmètre : 2,6 cm + 4 cm + 4,2 cm = 10,8 cm. Aire : côté × hauteur : 2 = BC × hauteur 2 = 4,2 cm × 2,4 cm : 2 = 5,04 cm2. 30 Périmètre : 26 dm + 16,5 dm + 12,5 dm = 55 dm. Aire : côté × hauteur : 2 = AB × CH : 2 = 16,5 dm × 10 dm : 2 = 82,5 dm2. 31 Aire du triangle : côté × hauteur : 2 = 2 cm × 1,5 cm : 2 = 1,5 cm2. 32 Aire du triangle : côté × hauteur : 2 = 3,5 cm × 1,5 cm : 2 = 2,625 cm2. 33 Aire du triangle : côté × hauteur : 2 = 2,5 cm × 3 cm : 2 = 3,75 cm2. 34 Aire du triangle : côté × hauteur : 2 = 1,5 cm × 2,5 cm : 2 = 1,875 cm2. 35 a) Aire de la surface plantée de primevères : L × : 2 = 4,6 m × 1,8 m : 2 = 4,14 m2. b) Aire de la surface plantée de tulipes : côté × hauteur : 2 = 1,8 m × 1,25 m : 2 = 1,125 m2. c) Aire de la surface plantée de jonquilles : (aire du rectangle) – (aire des deux autres surfaces) = (4,6 m × 1,8 m) – 4,14 m2 – 1,125 m2 = 3,015 m2. 36 38 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) La droite (AI) est une médiane dans le triangle ABC ; elle partage donc ce triangle en deux triangles de même aire. Donc, l’aire du triangle AIB est la moitié de l’aire du triangle ABC. La droite (AM) est une médiane dans le triangle ABI ; elle partage donc ce triangle en deux triangles de même aire. Donc, l’aire du triangle AMI est la moitié de l’aire du triangle ABI. Ainsi, l’aire du triangle AMI est le quart de l’aire du triangle ABC. 39 Le triangle ABC a une aire qui est la moitié de l’aire du rectangle ABCD. Donc, l’aire du triangle ABC est de 9 cm2. Dans ce triangle ABC, la droite (BO) est une médiane puisque les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu O. (O milieu du segment [AC].) Or, une médiane est une droite qui partage un triangle en deux triangles de même aire. Donc, l’aire du triangle ABO est la moitié de l’aire du triangle ABC. Aire du triangle ABO = 9 cm2 : 2 = 4,5 cm2. 40 1) Aire latérale du prisme : périmètre de base × hauteur = (12,5 cm + 7,5 cm + 10 cm) × 15 cm = 450 cm2. 2) Aire totale : aire latérale + 2 × aire de la base = 450 cm2 + 2 × (12,5 cm × 6 cm : 2) = 525 cm2. 41 Aire latérale du prisme : périmètre de base × hauteur = (6 cm + 7 cm + 2 cm + 5 cm + 2 cm + 5 cm + 2 cm + 7 cm) × 2 cm = 72 cm2. 42 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) La droite (AI) est une médiane dans le triangle VIE. Elle partage donc le triangle en deux triangles de même aire. Calculons donc l’aire du triangle VIE et on obtiendra l’aire du triangle AIE en prenant la moitié. Aire du triangle VIE : côté × hauteur : 2 = IE × VI : 2 = 6,4 cm × 2,5 cm : 2 = 8 cm2. Aire du triangle AIE = 8 cm2 : 2 = 4 cm2. Aire latérale du prisme : périmètre de base × hauteur = 2πR × hauteur = 2π × 2 m × 3 m 艐 37,7 m2. 43 a) 0,25 dm2 = 25 cm2 b) 65 000 cm2 = 6,5 m2 c) 350 mm2 = 0,035 dm2 d) 5,6 hm2 = 56 000 m2 e) 0,05 dam2 = 5 m2 f) 500 cm2 = 5 dm2 44 37 La droite (FH) est une médiane dans le triangle EFG. Elle partage donc le triangle en deux triangles de même aire. Calculons donc l’aire du triangle EFG et on obtiendra l’aire du triangle EFH en prenant la moitié. Aire du triangle EFG : côté × hauteur : 2 = FG × hauteur : 2 = 3,5 cm × 2 cm : 2 = 3,5 cm2. Aire du triangle EFH = 3,5 cm2 : 2 = 1,75 cm2. 150 1) Aire Terrain de foot 108 000 000 cm2 = 10 800 m2 Porte 0,016932 dam2 = 169,32 dm2 Feuille A4 62 370 mm2 = 623,7 cm2 Timbre 0,000542 m2 = 542 mm2 45 a) 28,7 m2 b) 28,27 m2 c) 27,4428 m2 d) 35 000 m2 © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 46 48 a) 1 m3 = 1 000 dm3 b) 1 dm3 = 0,001 m3 c) 1 dm3 = 1 000 cm3 d) 1 cm3 = 0,00 1 dm3 e) 1 cm3 = 1 000 mm3 f) 1 mm3 = 0,001 cm3 a) 1 L = 1 dm3 b) 1 cm3 = 0,001 dm3 = 0,001 L = 1 mL c) 0,5 dL = 0,05 L d) 25 cL = 0,25 L 49 a) 0,025 mL b) 250 cm3 = 25 cL c) 2,5 L d) 250 L 47 a) 0,68 dm3 = 680 dm3 b) 56,3 dm3 = 0,0563 dm3 c) 2,05 mm3 = 2 050 mm3 d) 18 dm3 = 18 000 cm3 > Je fais fai s l e po p o int Les exercices 50 à 59 sont corrigés à la page 293 du manuel élève. Aire du parallélogramme : côté × hauteur. Donc, hauteur = aire du parallélogramme : côté. HK = 1 470 mm2 : 42 mm = 35 mm 60 1) Aire du parallélogramme : côté × hauteur = GH × hauteur = 4,5 cm × 2,8 cm = 12,6 cm2 2) Longueur EH : aire du parallélogramme : hauteur = 12,6 cm2 : 2,1 cm = 6 cm 3) Périmètre du parallélogramme : (EH + HG) × 2 = (6 cm + 4,5 cm) × 2 = 21 cm 61 62 63 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) Aire du disque : πR2 = π × (5 cm)2 = 25π cm2. Aire du triangle MNP : côté × hauteur : 2 = NP × MO : 2 = 10 cm × 5 cm : 2 = 25 cm2. Aire de la figure bleue : 25π cm2 – 25 cm2. 66 1) Aire latérale du prisme ! : périmètre de base × hauteur = (6,3 cm + 5,2 cm + 2,5 cm) × 4 cm = 56 cm2. 2) Aire latérale du prisme @ : périmètre de base × hauteur = (5 cm + 2,5 cm + 5 cm + 2,5 cm) × 4 cm = 60 cm2. 3) Aire latérale du nouveau prisme : périmètre de base × hauteur = (5 cm + 2,5 cm + 5 cm + 5,2 cm + 6,3 cm) × 4 cm = 96 cm2. 67 1) Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) La droite (MO) est une médiane dans le triangle POI car le point M est le milieu du segment [PI]. Ainsi, la droite (MO) partage le triangle POI en deux triangles de même aire. Donc, l’aire du triangle MOI est la moitié de l’aire du triangle POI. La droite (TI) est une médiane dans le triangle POI car le point T est le milieu du segment [OP]. Ainsi, la droite (TI) partage le triangle POI en deux triangles de même aire. Donc, l’aire du triangle TOI est la moitié de l’aire du triangle POI. Les deux triangles MOI et TOI ont leurs aires qui sont, à chacun, la moitié de l’aire du triangle POI. Leurs aires sont donc égales. 64 Aire du demi-disque : πR2 : 2 = π × (4,5 cm)2 : 2 艐 31,81 cm2. Aire du triangle : côté × hauteur : 2 = 9 cm × 5,5 cm : 2 = 24,75 cm2. Aire de la figure rose 艐 56,56 cm2 65 1) D’après le codage de la figure, on a : MN = MP. Or, la médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance des extrémités de ce segment. Donc, le point M est un point de la médiatrice du segment [MP]. Donc, la droite (MO) est la médiatrice du segment [NP]. Ce qui prouve que la droite (MO) est perpendiculaire au côté [NP]. Ainsi, dans le triangle MNP, la droite (MO) qui passe par le sommet M est la hauteur issue de ce point M. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 1) Aire du rectangle : L × = 2,80 m × 2,10 m = 5,88 m2. 2) Volume du pavé : L × × h = 2,80 m × 2,10 m × 1,50 m = 8,82 m3. Volume du prisme à base triangulaire : aire de base × hauteur = (2,10 m × 1,10 m : 2) × 2,80 m = 3,234 m3 Volume de la serre = 8,82 m2 + 3,234 m2 = 12,054 m2. 68 Volume du cylindre : πR2 × h = π × (2,5 cm)2 × 2 cm 艐 39 cm3. Volume du prisme à base triangulaire : aire de base × hauteur = (3 cm × 2 cm : 2) × 5 cm = 15 cm3. Volume du solide 艐 39 cm3 + 15 cm3 艐 54 cm3. Volume du cube : c × c × c = (10 cm)3 = 1 000 cm3. Volume du cylindre : πR2 × h = π × (10 cm)2 × 10 cm 艐 3 142 cm3. Volume du quart de cylindre 艐 3 142 cm3 : 4 艐 786 cm3. Volume de bois enlevé au cube 艐 1 000 cm3 – 786 cm3 艐 214 cm3. 69 70 Solution rédigée sur le site élève www.phare.hachette-education.com 71 Volume d’une brique de soupe : L × × h = 170 mm × 60 mm × 95 mm = 969 000 mm3 = 969 cm3. Volume de deux briques de soupe : 2 × 969 cm3 = 1 938 cm3. Chap. 17 - Aires et volumes 151 Volume du cylindre : πR2 × h = π × (9 cm)2 × 9 cm 艐 2 290 cm3. Ainsi, la casserole choisie par Antoine convient. Aire du disque : πR2 = π × (6 cm)2 = 36π cm2. En traçant les diagonales du carré blanc, on obtient 4 triangles rectangles isocèles superposables. En effet, les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu, perpendiculairement et ont la même longueur. Calculons l’aire d’un de ces triangles isocèles rectangles : côté × hauteur : 2 = 3 cm × 3 cm : 2 = 4,5 cm2. Aire du carré blanc = 4 × 4,5 cm2 = 18 cm2. Aire de la partie verte = 36π cm2 – 18 cm2. 72 73 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com Aire latérale : périmètre de base × hauteur Donc, périmètre de base : aire latérale : hauteur = 168 cm2 : 7 cm = 24 cm. Puisque la base est un carré de périmètre 24 cm, la lon24 cm = 6 cm. gueur du côté du carré est égale à : 4 Calculons alors le volume de ce prisme : Aire de base × hauteur = c × c × h = 6 cm × 6 cm × 7 cm = 252 cm3. 74 75 1) Aire latérale du prisme : périmètre de base × hauteur = (3a cm + 2a cm + 3a cm + 2a cm) × a cm = 10a cm × a cm = 10a2 cm2. 2) Volume du prisme : aire de base × hauteur = (3a cm × (a + 1) cm) × a cm = 3a2(a +1) cm3. 76 ● Somme de l’aire du demi-disque de diamètre [AB] et de l’aire du demi-disque de diamètre [AC]. 1 = (π × 32) : 2 + (π × 42) : 2 1 = (π × 9) : 2 + (π × 16) : 2 1 艐 14,14 + 24,13 1 艐 39,27 cm2 ● Aire du triangle ABC : Le triangle ABC est rectangle en A donc : 2 = (ABC) = (AB × AC) : 2 = (6 cm × 8 cm) : 2 2 = 48 cm2 : 2 = 24 cm2. ● Aire du demi-disque de diamètre [BC] 3 = (π × 52) : 2 3 = (π × 25) : 2 3 艐 39,27 cm2 ● Aire totale des lunules = (1 + 2) – 3 艐 (39,27 + 24) – 39,27 艐 24 cm2 L’aire totale des lunules est égale environ à 24 cm2. Volume du pavé : L × × h = 9,5 cm × 5,6 cm × 12 cm = 638,4 cm3 = 0,6384 dm3 = 0,6384 L = 63,84 cL 77 78 Périmètre du triangle : 4 m + 5,28 m + 8,32 m = 17,6 m. Aire du triangle : côté × hauteur : 2 = 5,28 m × 3,2 m : 2 = 8,448 m2. Périmètre du parallélogramme : (5,8 cm + 3 cm) × 2 = 17,6 cm. Aire du parallélogramme : côté × hauteur = 5,8 cm × 2,1 cm = 12,18 cm2. 152 79 a) Périmètre du cercle : 2πR = 2 × π × 3,4 cm 艐 21,4 cm. b) Aire du disque : πR2 = π × (1,7 cm)2 艐 9,1 cm2. 80 Aire du parallélogramme : côté × hauteur = 3,5 cm × 2 cm = 7 cm2. Aire du triangle : côté × hauteur : 2 = 3,5 cm × 1,5 cm : 2 = 2,625 cm2. Aire de la figure verte : 7 cm2 + 2,625 cm2 = 9,625 cm2. 81 Volume du prisme dont les bases sont des parallélogrammes : aire de base × hauteur = 4,8 cm × 3,5 cm × 5,7 cm = 95,76 cm3. Volume du prisme dont les bases sont des triangles : aire de base × hauteur = (2,9 cm × 3,5 cm : 2) × 5,7 cm = 28,9275 cm3. Volume total : 95,76 cm3 + 28,9275 cm3 = 124,6875 cm3. 82 a) Aire latérale du prisme : périmètre de base × hauteur = 2πR × hauteur = 2π × 3,2 cm × 4,6 cm 艐 92,5 cm2. b) Volume du cylindre : πR2 × h = π × (3,2 cm)2 × 4,6 cm 艐 148 cm3 83 Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 2) b) Les deux triangles semblent avoir la même aire. 3) c) On sait que : (AD) // (BC) et (AH) ⊥ (BC). Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Donc, (AH) ⊥ (AD). Le quadrilatère AHKD possède trois angles droits. C’est donc un rectangle. d) Or, les côtés opposés d’un rectangle sont de même longueur. Donc, AH = DK. e) (ABC) = (AH × BC) : 2 (BCD) = (DK × BC) : 2 Or, d’après d) AH = DK. Donc (ABC) = (BCD). Les triangles ABC et BCD ont la même aire. 84 2) b) c) Aire 1 du triangle ABC 34,92 41,71 97,52 14,35 18,55 21,24 Aire 2 du triangle AEF 7,36 5,21 12,19 1,79 2,32 2,66 8 8 8 8 8 8 1 2 d) L’aire du triangle AEF semble être égale au huitième de celle du triangle ABC. 3) On sait qu’une médiane d’un triangle le partage en deux triangles de même aire. ● Le point D est le milieu du segment [BC]. Donc la droite (AD) est une médiane du triangle ABC. Donc, les triangles ABD et ACD ont la même aire et l’aire du triangle ACD est la moitié de celle du triangle ABC. 1 C’est-à-dire : (ACD) = × (ABC). 2 ● Le point E est le milieu du segment [AD]. Donc, la droite (CE) est une médiane du triangle ACD. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. 1 1 1 1 Ainsi, (ACE) = × (ACD) = × × (ABC) = × (ABC) ; 2 2 2 4 1 (ACE) = × (ABC). 4 ● Le point F est le milieu du segment [EC]. Donc, la droite (AF) est une médiane du triangle AEC. 1 1 1 1 Ainsi, (AEF) = × (ACE) = × × (ABC) = × (ABC). 2 2 4 8 1 (AEF) = × (ABC). 8 L’aire du triangle AEF est égale au huitième de celle du triangle ABC. = π × R2 × h avec R = 13,20 : 2 = 6,6 m et h = 37,6 m = π × 6,62 × 37,6 = π × 43,56 × 37,6 = π × 1 637,856 艐 5 145 m3 Le phare de Kéréon a un volume d’environ 5 145 m3. 85 86 Volume du parallélépipède rectangle : 1 = L × × h 1 = 15 m × 15 m × 8 m 1 = 1 800 m3 Volume du cylindre de révolution : 2 = π × R2 × h 2 = π × 3,52 × 28 2 = π × 343 2 艐 1 078 m3 ● Volume du phare : 3 = 1 + 2 3 艐 1 800 m3 + 1 078 m3 3 艐 2 878 m3 Le phare de l’île de Batz a un volume d’environ 2 878 m3. 87 La façade est composée d’un rectangle de dimensions 6 m et 10 m et d’un triangle de base 6 m et de hauteur 15 m – 10 m = 5 m. © Hachette Livre 2010, Mathématiques 5e, collection PHARE, livre du professeur. La photocopie non autorisée est un délit. Aire de la façade : = 6 m × 10 m + (6 m × 5 m) : 2 = 60 m2 + 15 m2 = 75 m2 Volume du bâtiment : = 75 m2 × 6 m = 450 m3 Le volume du bâtiment du premier phare de Bodic était de 450 m3. 88 Le mur de façade du nouveau phare peut se décomposer en trois rectangles et trois triangles. Figure disponible à partir de septembre 2010 sur le site www.phare-prof.hachette-education.com 1 = 22 m × 4 m 1 = 88 m2 ● = 13 m × (7,6 m + 5,2 m) 2 2 = 13 m × 12,8 m 2 = 166,4 m2 ● = 9,6 m × 3,4 m 3 3 = 32,64 m2 ● La hauteur du triangle no 4 est : 23 – (3,4 + 7,6 + 5,2 + 4) = 2,8 m 4 = (9,6 m × 2,8 m) : 2 4 = 26,88 m2 : 2 4 = 13,44 m2 ● = (4,5 m × 5,2 m) : 2 5 5 = 23,4 m2 : 2 5 = 11,7 m2 ● = [(22 m – 4,5 m – 13 m) × 5,2 m] : 2 6 6 = (4,5 m × 5,2 m) : 2 6 = 11,7 m2 ● Aire de la façade : = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 88 m2 + 166,4 m2 + 32,64 m2 + 13,44 m2 + 11,7 m2 + 11,7 m2 = 323,88 m2 L’aire du mur de façade est 323,88 m2. ● Chap. 17 - Aires et volumes 153