TD 1 cinematique du point MRU MRV

CINEMATIQUE DU POINT
OBJECTIFS :
-
Décrire les principales grandeurs
(position,vitesse,accélération).
cinématiques
-
Définir la trajectoire d’un point d’un solide ou le
mouvement du solide.
-
Exprimer une loi qui permette d’exprimer la position, la
vitesse et l’accélération d’un solide en mouvement de
translation rectiligne.
I- CARACTERISTIQUES DU POINT D’UN SOLIDE :
1- Sa position :
c’est la distance s parcourue sur la trajectoire
depuis l’origine
s = f(t)
s
M
(S)
2- Sa trajectoire :
On appelle trajectoire du point (M) d’un solide (S)
l’ensemble des positions occupées successivement
par ce point au cours de son déplacement par
rapport à un référentiel donné.
s
TMS/R
M
Notation : TMS/R = trajectoire
du point M appartenant à S,
par rapport au repère R.
(S)
Sa trajectoire en fonction du mouvement :
Mouvement de S/R
Trajectoire TMS/R
Translation rectiligne
Droite (point, axe)
Translation circulaire
Cercle (centre, rayon)
Rotation à axe fixe
Cercle (centre, rayon)
Hélicoïdal
Hélice (pas)
Plan sur plan
Courbe quelconque dans le plan
3- Sa vitesse moyenne:
s
c’est le rapport de la distance parcourue
par la variation de temps t correspondante
V moyenne =
s/t
s
M
unités :
[m/s] =[m]/[s]
Exemple :
un sprinter parcourt le 100 m en 10s.
Sa vitesse moyenne est de …
(S)
4- Sa vitesse instantanée:
c’est la dérivée de la position par rapport au temps .
V = s’(t)
unités :
[m/s]
s
M
(S)
5 - Son accélération : elle s’oppose à l’inertie
- l’accélération tangentielle : c’est la dérivée
(variation) de la vitesse par rapport au temps
at =V’ (t)
unités :
[m/s2]
- l’accélération normale :
elle dépend du changement
de direction du point M.
an =V 2/r
unités :
[m/s2]
s
M
(S)
II- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME: MRU
2.1.
Définition :
- La trajectoire du point du solide est une droite (an = 0)
- Son accélération tangentielle est nulle (at=0) donc sa vitesse
est constante au cours du temps (v=constante) .
2.2
Conditions aux limites du mouvement :
CONDITIONS INITIALES
CONDITIONS PARTICULIERES
t0 = 0 s : instant initial
t : instant particulier du mouvement
x0 : le déplacement initial
x : le déplacement à l’instant t
v = constante : la vitesse
a = 0 m/s2 : l’ accélération tangentielle
x
x0
Origine du repère
x
O
Instant t0
Instant t
2.3.
Équations du mouvement ou horaires:
a = 0
Nota : Pour écrire ces équations,
il suffit de remplacer v et x0 par
les valeurs trouvées.
v = constante
x = v.t + x0
2.4.
Graphes du mouvement:
Graphe des abscisses
Graphe des vitesses
Graphe des accélérations
a
v
x
x = v.t + x0
v = constante
v0
x0
a=0
0
t
0
t
0
t
III- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE : MRUV
3.1.
Définition :
- La trajectoire du point du solide est une droite (an = 0)
- Son accélération tangentielle est constante (at=constante).
3.2
Conditions aux limites du mouvement :
CONDITIONS INITIALES
CONDITIONS PARTICULIERES
t0 = 0 s : instant initial
t : instant particulier du mouvement
x0 : le déplacement initial
x : le déplacement à l’instant t
v0 : la vitesse initiale
v : la vitesse à l’instant t
a = constante : l’ accélération tangentielle
x
x0
Origine du repère
x
O
Instant t0
Instant t
3.3.
Équations du mouvement ou horaires:
a = constante
v = a.t + v0
x = ½.a.t2 + v0.t + x0
3.4.
Nota : Pour écrire ces équations,
il suffit de remplacer a, v et x0
par les valeurs trouvées.
Graphes du mouvement:
Graphe des abscisses
x
Graphe des vitesses
v
x = ½.a.t2 + v0.t + x0
Graphe des accélérations
a
v = a.t + v0
a = constante
a
x0
v0
0
t
0
t
0
t
Exercice 1:
Départ arrêté, un dragster parcourt le 400m en 10 s
Déterminer les équations du mouvement et sa vitesse
finale
Réponses : MRUV
Conditions Conditions
Initiales
Finales
t=10s
X0=
X=400m
V0=
V=
a=
<=>
=>
x = ½.a.t2 + v0.t + x0
a=
V = a.t + v0
<=> V =
=> V =
Exercice 1: suite
Équations du mouvement : pour 0 <t < 10s
Il s’agit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en
remplaçant x0, v0 et a par leur valeur)
x=
m
v=
m/s
a=
m/s2
Exercice 2:
Une Mercedes coupé sport passe de 0 à 100km/h en 10s
Déterminer les équations du mouvement et la distance de
la phase d’accélération
Réponses : MRUV avec v=(100/3,6)m/s à t=10s
CI
T0=
X0=
V0=
a=
CF
T=
X=
V=
<=>
=>
v = a.t + v0
a=
x = ½.a.t2 + v0.t + x0
<=> x =
=> x =
Exercice 2: suite
Équations du mouvement : pour 0 <t < 10s
Il s’agit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en
remplaçant x0, v0 et a par leur valeur)
x=
m
v=
m/s
a=
m/s2
Exercice 3:
Une Mercedes coupé sport roule sur 300m à 100km/h sur
une voie rapide
Déterminer les équations du mouvement et sa durée
Réponses : MRU avec v=(100/3,6)m/s à x=300m
CI
T0=
X0=
V0=
CF
t=
X=
V=
a=
Équations du mouvement :
pour 0 <t < 10,8s
x = v.t + x0

=> t =
x=
m
v=
m/s
a=
m/s2
Exercice 4:
Une Mercedes coupé sport roule à 100km/h puis s’arrête
sur 100 m
Déterminer les équations du mouvement et sa durée
Réponses : MRUV avec v0=(100/3,6)= 27,8 m/s et x=100m
CI
T0=
X0=
V0=
CF
t=
X=
V=
a=
v = a.t + v0
<=>
x=½.a.t2+v0.t+x0 <=>
(1)
(2)
Exercice 4: suite
Résolution :
Ds (2) =>
(1) =>
Ds (1) =>
( Valeurs à indiquer dans le tableau des conditions limites
du mouvement )
Équations du mouvement : pour 0 <t < 7,2s
x=
m
v=
m/s
a=
m/s2
formule utile
Afin de déterminer l’accélération sans connaître
la durée du mouvement, on utilisera la
formule :
a = (v2 – v02) / [2(x-x0)]
Application à l’exercice précédent :
a=
a=
a=
m/s2
v = a . t + v0
t=
s
Exercice 5:
Tracer les graphes associés aux trois
phases de mouvement de la Mercedes
x (m)
539
439
t (s)
Graphe
des abscisses
t (s)
Graphe
des vitesses
139
0
10
20.8
28
V (m/s)
27,8
0
10
20.8
28
a (m/s2)
2,78
t (s)
0
-3,86
10
20.8
28
Graphe
des
accélérations
Exercice 6:
Le chariot d’une machine de découpage laser atteint la
vitesse de 10 cm/s en 2 secondes.
Le chariot évolue à vitesse constante pendant 8
secondes.
Il s’arrête ensuite en l’espace de 12,5 cm.
Hypothèse : les accélérations et décélérations sont supposées
constantes.
1/ Déterminer la durée totale de l’opération de
découpage ainsi que la distance parcourue.
Pour cela, évaluer, pour les trois phases de mouvement, les
conditions aux limites ainsi que les équations horaires.
2/ Tracer les graphes du mouvement du chariot.
Exercice 6:
- Phase 1 : MRUV
CI
CF
T0=
T=
X0=
X=
V0=0m/s
V=
a=
=>
=>
V = a.t + V0
Distance parcourue phase 1 :
x =½.a.t2+v0.t+x0
=>
x=
=>
x=
Équations du mouvement de la phase 1 : 0 <t < 2s
x=
v=
a=
m
m/s
m/s2
Exercice 6:
Phase 2 : MRU
CI
CF
T0=
T=
X0=
X=
=>
=>
X = V t + X0
X=
X=
V=V0=
a=
m/s2
Équations du mouvement de la phase 2 : 0 <t < 8s
x=
m
v=
m/s
a=
m/s2
Exercice 6:
Phase 3 : MRUV
CI
CF
T0=
t=
X0=
X=
V0=
V=
a=(v2 – v02) / [2(x-x0)]
=> a =
=> a =
Durée de l’arrêt :
V = a t + V0
=> t =
a=
Équations du mouvement de la phase 3 : 0 <t < 2,5s
x=
m
v=
m/s
a
m/s2
Exercice 6:
- Durée totale de l’opération :
t=
- Distance totale parcourue :
x=
Corrigé Exercice 6:
x (m)
1,025
0,9
t (s)
Graphe
des abscisses
t (s)
Graphe
des vitesses
0,1
0
2
10
12,5
V (m/s)
0,1
0
2
10
12,5
a (m/s2)
0,05
t (s)
0
-0,04
2
10
12,5
Graphe
des
accélérations
Exercice 7: (travail en autonomie)
Un canon tire un obus verticalement.
On supposera que l’obus n’est soumis qu’à l’accélération de
la pesanteur (g=9,81 m/s2).
Conditions initiales du mouvement :
v0 = 400m/s, y0 = 0.
1) Quelle altitude atteint l’obus ?
2) Au bout de combien de temps touchera-t-il le sol ?
3) A quelle vitesse initiale aurait-il fallu tirer pour
atteindre une altitude de 50 km ?
Corrigé Exercice 7:
1 - MRUV
CI
t0=0s
Y0=0m
1/ calcul de l’altitude atteinte :
a = (v2 – v02) / [2(y-y0)]
t= 40,77 s -9,81 = (02 – 4002) / [2(Y – 0)]
Y = -4002 / 2 . (-9,81)
Y= 8 155 m
=> Y = 8 155 m
CF
V0=400m/s V=0m/s
a = -9.81
m/s2
durée mouvement ascensionnel :
V = a. t + V0
=> 0 = -9,81.t + 400
=> t = 40,77 s
Corrigé Exercice 7: (suite)
2/
durée jusqu’au contact avec le sol :
t = 2 x 40,77 (aller retour)
t = 81,54 s
3/
vitesse initiale pour atteindre 50 km :
a = (v2 – v02) / [2 . (y-y0)]
-9,81 = (02 – V02) / [2 . (50 000 - 0)]
-V02 = -9,81 x 100 000
V0 = 990 m/s = 3564 km/h