COURS 3 1 Analyse vectorielle 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Gradient Divergence Rotationnel Laplacien Quelques propriétés 2 Calcul indiciel 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Convention d’Einstein Symbole de Kronecker Symbole d’antisymétrie Propriétés Notations Exercices 1 Analyse vectorielle Rappel: Soit un point M en (x, y, z) et (rθ, ϕ). Soit un point M 0 proche du point M de coordonnées cartésiennes [x + dx, y + dy, z + dz] et sphériques [r + dr, θ + dθ, ϕ + dϕ]. Alors −−−→ que la projection de M M 0 sur ~ex , ~ey , ~ez sera respectivement [dx, dy, dz], les projections dans les directions ~er , ~eθ , ~eϕ seront dr, rdθ, r sin θdϕ. 1.1 Gradient Le gradient d’une fonction f est un vecteur. En coordonnées cartésiennes, on a: ~ (x, y, z) = ∂f (x, y, z) ~ex + ∂f (x, y, z) ~ey + ∂f (x, y, z) ~ez ∇f ∂x ∂y ∂z Pour exprimer le gradient dans la base sphérique, il faut prendre en compte les facteurs d’échelle hr = 1, hθ = r et hϕ = r sin θ. ~ (r, θ, ϕ) = ∂f (r, θ, ϕ) ~er + ∂f (r, θ, ϕ) ~eθ + ∂f (r, θ, ϕ) ~eϕ ∇f ∂r r∂θ r sin θ∂ϕ 1.2 Divergence ~ est un scalaire: La divergence d’un vecteur A ~ ·A ~ représente la divergence d’un champ de vecteur en un point P : ∇ RR ~ ndS δS A · ~ ~ ~ ∇ · A = lim δV →0 δV 2 où δV est le volume limité par la surface δS. ~ à travers la surface ∆S. Si Cela représente le flux, par unité de volume, du vecteur A ~ ·A ~ est positive dans le voisinage du point P cela signifie que le flux est positif en P , et ∇ ~ ·A ~ est négative dans le voisinage du point P , le P s’appelle une source. De même, si ∇ flux est un ”flux-rentrant”et P s’appelle un puits. Si, dans un domaine, il n’y a ni source ~ ·A ~ = O, ~ et le champ de vecteur A ~ est dit solénoidal. ni puits, alors ∇ En coordonnées cartésiennes, on a: ~ ·A ~ = ∂Ax (x, y, z) + ∂Ay (x, y, z) + ∂Az (x, y, z) ∇ ∂x ∂y ∂z En coordonnées sphériques: ~ ·A ~= ∇ 1 h ∂(hθ hϕ Ar ) ∂(hr hϕ Aθ ) ∂(hθ hr Aϕ ) i + + hr hθ hϕ ∂r ∂θ ∂ϕ ~ ·A ~= ∇ 1 h ∂(r 2 sin θAr ) ∂(r sin θAθ ) ∂(rAϕ ) i + + r 2 sin θ ∂r ∂θ ∂ϕ ou encore: Théorème de divergence de Gauss (appelé aussi théorème d’Ostrogradski): si V est ~ est une fonction vectorielle possédant un volume limité par une surface fermée S et si A des dérivées continues alors: Z Z Z V ~ · Adv ~ = ∇ Z Z ~ · ~ndS A S où ~n est la normale dirigée vers l’exterieur de S. Exercice: calculer 1.3 RR S ~r · ~ndS. Rotationnel ~ est un vecteur. Il est lié aux propriétés de rotation Le rotationnel d’un champ de vecteur A ~ du champ A. En coordonnées cartésiennes, on a: ~ ×A ~= ∇ ∂Az (x,y,z) ∂y − ∂Ax (x,y,z) + ∂z ∂Ay (x,y,z) + ∂x 3 ∂Ay (x,y,z) ∂z − ∂Az (x,y,z) ∂x − ∂Ax (x,y,z) ∂y ~ex ,~ey ,~ez En coordonnées sphériques: ~ ×A ~= ∇ 1.4 h ∂(hϕ Aϕ ) 1 hθ hϕ ∂θ − ∂(hθ Aθ ) ∂ϕ i i ∂(hr Ar ) ϕ Aϕ ) 1 − ∂(h∂r hr hϕ ∂ϕ i h ∂(hθ Aθ ) 1 − ∂(hr Ar ) h hθ hr ∂r = ∂θ h ∂(sin θAϕ ) 1 r sin θ ∂θ 1 h ∂(Ar ) r sin θ ∂ϕ h 1 ∂(rAθ ) − r ~er ,~eθ ,~eϕ ∂r − ∂(Aθ ) ∂ϕ i i θAϕ ) − ∂(r sin ∂r i ∂(Ar ) ∂θ ~er ,~eθ ,~eϕ Laplacien La divergence du gradient d’une fonction scalaire f est appelé Laplacien. En coordonnées cartésiennes on a: 2 2 2 ~ · ∇f ~ = ∂ f (x, y, z) + ∂ f (x, y, z) + ∂ f (x, y, z) ∇ ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 En coordonnées sphériques: ~ · ∇f ~ = ∇ 1 h ∂ hθ hϕ ∂f ∂ hr hϕ ∂f ∂ hθ hr ∂f i + + hr hθ hϕ ∂r hr dr ∂θ hθ ∂θ ∂ϕ hϕ ∂ϕ ~ · ∇f ~ = ∇ ∂f ∂ ∂f ∂ 1 ∂f i 1 h∂ 2 r sin θ + sin θ + r 2 sin θ ∂r dr ∂θ ∂θ ∂ϕ sin θ ∂ϕ ou encore 1.5 Quelques propriétés ~ × (∇f ~ )=O ~ ∇ ~ · (∇ ~ × A) ~ =0 ∇ ~ ·∇ ~A ~ = ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ −∇ ~ × (∇ ~ × A) ~ ∇ 1.6 Exercice 1 : Rotation en bloc Soit une Terre sphérique qui tourne autour de son axe ~ez avec la vitesse angulaire ω ~ . La vitesse en tout point de la Terre s’écrira : ~v = ω ~ × ~r. ~ · ~v et ∇ ~ × ~v . Calculer en utilisant les coordonnées cartésiennes, puis sphériques, ∇ 1.7 Exercice 2 Soit la fonction: f (x, y, z) = 3xz ~ ,∇ ~ × ∇f ~ et ∇ ~ · ∇f ~ Calculer ∇f 4 1.8 Exercice 3 Soit la fonction: f (r, θ, ϕ) = 3r 2 cos θ sin θ cos ϕ ~ ,∇ ~ × ∇f ~ et ∇ ~ · ∇f ~ Calculer ∇f 2 Calcul indiciel Remarques préliminaires : on est dans un espace à 3 dimensions (x, y, z par exemple). • Soit un vecteur ~v : on note ses composantes vi pour i = 1..3. ~v a donc 3 composantes. • si on s’interesse au gradient de ce vecteur dans les 3 directions, on obtiendra aij = ∂vi . La quantité aij pour i = 1..3, j = 1..3 aura 9 composantes: ∂xj a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 • aijk pour i = 1..3, j = 1..3, k = 1..3 aura 27 composantes 2.1 Convention d’Einstein Cj = ai bij = X ai bij i ai bij aura 3 composantes. En effet, i est repété ⇒ on somme sur i. Remarque: ai bij = ak bkj : c’est un indice muet (car indice de sommation). 2.2 Symbole de Kronecker δij = 1 si i = j 0 si i 6= j Par exemple: δij xi xj = x21 + x22 + x23 2.3 Symbole d’antisymétrie Exemple: 123 1 si permutation circulaire ijk = −1 si non permutation circulaire 0 si 2 indices egaux au moins = 1; 213 = −1; 112 = 0 ~B ~ et A ~ × B. ~ Exercice: A = (ai ); B = (bi ). Calculer A. ~B ~ = a i bi • A. ~ × B) ~ i = ijk aj bk • (A i − > i ieme composante. 5 2.4 Propriétés • ijk lmn = δil δjm δkn + δim δjn δkl + δin δjl δkm − δin δjm δkl − δim δjl δkn − δil δjn δkm • ijk imn = δjm δkn − δjn δkm • ijk ijn = 2δkn • ijk ijk = 6 ~ × (Y ~ × Z). ~ Exercice: Calculer X ~ = Y~ × Z ~ Posons V ⇒ Vk = klm Yl Zm . ~ × (Y ~ × Z)] ~ i [X On a donc: 2.5 = = = = = ijk Xj Vk ijk Xj klm Yl Zm (δil δjm − δim δjl )Xj Yl Zm δil Xj Yl Zj − δim Xj Yj Zm X j Z j Yi − X j Yj Z i ~ × (Y ~ × Z) ~ = (X ~ · Z) ~ Y ~ − (X ~ ·Y ~ )Z ~ X Notations En coordonnées cartésiennes, on notera: ∂a = ∂i a = a,i ∂xi ∂aj • = ∂i aj = aj,i ∂xi • • ∂i ∂j a = a,ij • • ~ ∇ϕ ~ u ∇.~ → → ~ × ~u • ~v = ∇ ∂i ϕ = ϕ,i . ∂i ui = ui,i . → 2.6 Exercices 2.6.1 Exercice 1 1 vi = ijk ∂j uk = ijk (∂j uk − ∂k uj ) 2 Calculer, en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées sphériques et enfin en utilisant ~ × (∇ϕ) ~ des notations indicielles le vecteur ∇ 6 2.7 Exercice 2 En utilisant les notations indicielles, retrouver les propriétés suivantes: ~ × (∇ϕ) ~ ~ • ∇ =O ~ · (∇ ~ × ~u) = O ~ • ∇ ~ · (ϕΨ) = ϕ∇Ψ ~ + Ψ∇ϕ ~ • ∇ ~ · (ϕA) ~ =A ~ · ∇ϕ ~ + ϕ∇ ~ ·A ~ • ∇ ~ × (ϕA) ~ = ϕ∇ ~ ×A ~−A ~ × ∇ϕ ~ • ∇ ~ · (A ~ × B) ~ = −A ~ · (∇ ~ × B) ~ +B ~ · (∇ ~ × A) ~ • ∇ ~ × (∇ ~ × A) ~ = ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ − ∆A ~ • ∇ ~ × (ϕ∇Ψ) ~ ~ × ∇Ψ ~ • ∇ = ∇ϕ ~ × (A ~ × B) ~ = A( ~ ∇ ~ · B) ~ + (B ~ · ∇) ~ A ~ − (A ~ · ∇) ~ B ~ − B( ~ ∇ ~ · A) ~ • ∇ 7