Couranalyse

COURS 3
1 Analyse vectorielle
1.1 Gradient
1.2 Divergence
1.3 Rotationnel
1.4 Laplacien
1.5 Quelques propri´et´es
2 Calcul indiciel
2.1 Convention d’Einstein
2.2 Symbole de Kronecker
2.3 Symbole d’antisym´etrie
2.4 Propri´et´es
2.5 Notations
2.6 Exercices

1 Analyse vectorielle
Rappel: Soit un point Men (x, y, z) et (rθ, ϕ). Soit un point M0proche du point M de
coordonn´ees cart´esiennes [x+dx, y +dy, z +dz] et sph´eriques [r+dr, θ +dθ, ϕ+dϕ]. Alors
que la projection de −−−→ MM0sur ~ex, ~ey, ~ezsera respectivement [dx, dy, dz], les projections
dans les directions ~er, ~eθ, ~eϕseront dr, rdθ, r sin θdϕ.
1.1 Gradient
Le gradient d’une fonction fest un vecteur.
En coordonn´ees cart´esiennes, on a:
~
∇f(x, y, z) = ∂f (x, y, z)
∂x ~ex+∂f (x, y, z) ∂y ~ey+∂f (x, y, z) ∂z ~ez
Pour exprimer le gradient dans la base sph´erique, il faut prendre en compte les facteurs
d’´echelle hr= 1, hθ=ret hϕ=rsin θ.
~
∇f(r, θ, ϕ) = ∂f (r, θ, ϕ)
∂r ~er+∂f (r, θ, ϕ) r∂θ ~eθ+∂f(r, θ, ϕ) rsin θ∂ϕ ~eϕ
1.2 Divergence
La divergence d’un vecteur ~ Aest un scalaire:
~
∇ · ~ Arepr´esente la divergence d’un champ de vecteur en un point P:
~
∇ · ~ A= lim
δV →0R RδS ~
A·~ndS
δV
2

o`u δV est le volume limit´e par la surface δS.
Cela repr´esente le flux, par unit´e de volume, du vecteur ~ A`a travers la surface ∆S. Si
~
∇ · ~ Aest positive dans le voisinage du point Pcela signifie que le flux est positif en P, et
Ps’appelle une source. De mˆeme, si ~ ∇ · ~ Aest n´egative dans le voisinage du point P, le
flux est un ”flux-rentrant”et Ps’appelle un puits. Si, dans un domaine, il n’y a ni source
ni puits, alors ~ ∇ · ~ A=~ O, et le champ de vecteur ~ Aest dit sol´enoidal.
En coordonn´ees cart´esiennes, on a:
~
∇ · ~ A=∂Ax(x, y, z)
∂x +∂Ay(x, y, z) ∂y +∂Az(x, y, z) ∂z
En coordonn´ees sph´eriques:
~
∇ · ~ A=1
hrhθhϕh∂(hθhϕAr) ∂r +∂(hrhϕAθ) ∂θ +∂(hθhrAϕ) ∂ϕ i
ou encore:
~
∇ · ~ A=1
r2sin θh∂(r2sin θAr) ∂r +∂(rsin θAθ) ∂θ +∂(rAϕ) ∂ϕ i
Th´eor`eme de divergence de Gauss (appel´e aussi th´eor`eme d’Ostrogradski): si Vest
un volume limit´e par une surface ferm´ee Set si ~ Aest une fonction vectorielle poss´edant
des d´eriv´ees continues alors:
ZZZV
~
∇ · ~ Adv =Z ZS
~
A·~ndS
o`u ~n est la normale dirig´ee vers l’exterieur de S.
Exercice: calculer R RS~r ·~ndS.
1.3 Rotationnel
Le rotationnel d’un champ de vecteur ~ Aest un vecteur. Il est li´e aux propri´et´es de rotation
du champ ~ A.
En coordonn´ees cart´esiennes, on a:
~
∇ × ~ A=
∂Az(x,y,z)
∂y −∂Ay(x,y,z) ∂z
+∂Ax(x,y,z)
∂z −∂Az(x,y,z) ∂x
+∂Ay(x,y,z)
∂x −∂Ax(x,y,z) ∂y
~ex,~ey,~ez
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En coordonn´ees sph´eriques:
~
∇ × ~ A=
1
hθhϕh∂(hϕAϕ) ∂θ −∂(hθAθ) ∂ϕ i
1
hrhϕh∂(hrAr) ∂ϕ −∂(hϕAϕ) ∂r i
1
hθhrh∂(hθAθ) ∂r −∂(hrAr) ∂θ i
~er,~eθ,~eϕ
=
1
rsin θh∂(sin θAϕ) ∂θ −∂(Aθ) ∂ϕ i
1
rsin θh∂(Ar) ∂ϕ −∂(rsin θAϕ) ∂r i
1
rh∂(rAθ) ∂r −∂(Ar) ∂θ i
~er,~eθ,~eϕ
1.4 Laplacien
La divergence du gradient d’une fonction scalaire fest appel´e Laplacien.
En coordonn´ees cart´esiennes on a:
~
∇ · ~ ∇f=∂2f(x, y, z)
∂x2+∂2f(x, y, z) ∂y2+∂2f(x, y, z) ∂z2
En coordonn´ees sph´eriques:
~
∇ · ~ ∇f=1
hrhθhϕh∂ ∂r hθhϕ hr
∂f
dr +∂ ∂θ hrhϕ hθ
∂f
∂θ +∂ ∂ϕ hθhr hϕ
∂f
∂ϕ i
ou encore
~
∇ · ~ ∇f=1
r2sin θh∂ ∂r r2sin θ∂f dr +∂ ∂θ sin θ∂f ∂θ +∂ ∂ϕ1 sin θ
∂f
∂ϕ i
1.5 Quelques propri´et´es
~
∇ × (~ ∇f) = ~ O
~
∇ · (~ ∇ × ~ A) = 0
~
∇ · ~ ∇~ A=~ ∇(~ ∇ · ~ A)−~ ∇ × (~ ∇ × ~ A)
1.6 Exercice 1 : Rotation en bloc
Soit une Terre sph´erique qui tourne autour de son axe ~ezavec la vitesse angulaire ~ω. La
vitesse en tout point de la Terre s’´ecrira : ~v =~ω ×~r.
Calculer en utilisant les coordonn´ees cart´esiennes, puis sph´eriques, ~ ∇ · ~v et ~ ∇ × ~v.
1.7 Exercice 2
Soit la fonction: f(x, y, z) = 3xz
Calculer ~ ∇f,~ ∇ × ~ ∇fet ~ ∇ · ~ ∇f
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1.8 Exercice 3
Soit la fonction: f(r, θ, ϕ) = 3r2cos θsin θcos ϕ
Calculer ~ ∇f,~ ∇ × ~ ∇fet ~ ∇ · ~ ∇f
2 Calcul indiciel
Remarques pr´eliminaires : on est dans un espace `a 3 dimensions (x, y, z par exemple).
•Soit un vecteur ~v: on note ses composantes vipour i= 1..3. ~v a donc 3 composantes.
•si on s’interesse au gradient de ce vecteur dans les 3 directions, on obtiendra aij =
∂vi
∂xj. La quantit´e aij pour i= 1..3, j = 1..3 aura 9 composantes:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
•aijk pour i= 1..3, j = 1..3, k = 1..3 aura 27 composantes
2.1 Convention d’Einstein
Cj=aibij =X
i
aibij
aibij aura 3 composantes. En effet, iest rep´et´e ⇒on somme sur i.
Remarque:aibij =akbkj : c’est un indice muet (car indice de sommation).
2.2 Symbole de Kronecker
δij =1 si i=j
0 si i6=j
Par exemple:
δij xixj=x2
1+x2 2+x2 3
2.3 Symbole d’antisym´etrie
ijk =
1 si permutation circulaire
−1 si non permutation circulaire
0 si 2 indices egaux au moins
Exemple: 123 = 1; 213 =−1; 112 = 0
Exercice:A= (ai); B= (bi). Calculer ~ A. ~ Bet ~ A×~ B.
•~ A. ~ B=aibi
•(~ A×~ B)i=ijkajbk i−> i ieme composante.
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