UV Automatique Cours 3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI ASI 3 Automatique 1 Contenu ! Introduction " Définition de la réponse fréquentielle d'un système " Types de réponse fréquentielle : Bode, Nyquist, Black ! Lieu de Bode " Définition - tracé des diagrammes de Bode " Diagrammes de Bode des systèmes fondamentaux ! Lieu de Nyquist " Définition " Lieu de Nyquist des systèmes fondamentaux ! Lieu de Black " Définition " Lieu de Black des systèmes fondamentaux Automatique 2 Introduction (1) ! Système continu LTI U(s) H(s) Y(s) H(s) : fonction de transfert ? Entrée du système : signal sinusoïdal u (t ) = A sin ωt Quelle est la réponse harmonique du système ? ! Analyse fréquentielle Pour s=jω, on a : Y ( jω ) = H ( jω )U ( jω ) Si u(t) et y(t) sont des signaux à énergie finie, alors U(jω) et Y(jω) sont les transformées de Fourier de u et y Y ( jω ) = H ( jω )U ( jω ) ⇒ Automatique Y ( jω ) = H ( j ω ) U ( jω ) arg Y ( jω ) = arg H ( jω ) + arg U ( jω ) 3 Introduction (2) ! Analyse fréquentielle H ( jω ) : gain du système à la pulsation ω ϕ (ω ) = arg Y ( jω ) − arg U ( jω ) : déphasage entre la sortie et l'entrée à la pulsation ω avec ϕ (ω ) = arg H ( jω ) Réponse harmonique du système en régime permanent u (t ) = A sin ωt ⇒ y (t ) = A H ( jω ) sin(ωt + ϕ (ω )) H ( jω ) traduit le comportement fréquentiel du système ! Outils d'analyse de H(jω) " Lieu de Bode " Lieu de Nyquist " Lieu de Black Automatique 4 Lieu de Bode (1) ! Définition Le lieu de Bode consiste à représenter H(jω) quand ω parcourt R+ par deux diagrammes : " Diagramme de gain représentant le module |H(jω)| en fonction de la pulsation ω # Abscisse : pulsation ω (rad/s) en échelle logarithmique # Ordonnée : gain exprimé en décibels (dB), soit G (ω ) = 20 log10 H ( jω ) " Diagramme de phase représentant l'argument ϕ (ω) en fonction de la pulsation ω # Abscisse : pulsation ω (rad/s) en échelle logarithmique # Ordonnée : phase ϕ (ω) en degré (°) ou radian (rad) Automatique 5 Lieu de Bode (2) ! Principes Soit H(s) une fonction de transfert factorisée sous la forme : H ( s ) = H1 ( s ) H 2 ( s ) L H n ( s ) On en déduit H ( jω ) = H1 ( jω ) H 2 ( jω ) L H n ( jω ) " Gain (dB) G (ω ) = 20 log10 H ( jω ) = ∑in=1 Gi (ω ) avec Gi (ω ) = 20 log10 H i ( jω ) " Phase ϕ (ω ) = arg H ( jω ) = ∑in=1ϕi (ω ) avec ϕi (ω ) = arg H i ( jω ) Conclusion : le produit des fonctions de transfert se traduit par une somme des gains (dB) et des phases des transmittances élémentaires Automatique 6 Lieu de Bode (3) ! Principes (fin) H(s) est factorisable à partir d'éléments de base sous la forme : H ( s ) = ksα ∏i (1 + T s ) βi i ξl ∈ [0 1[, ωn,l > 0, ∏l ( (s 2 ) γl 2 2 + 2ξ lωn,l s + ωn,l ) / ωn,l k , Ti ∈ R* et α , β i , γ l ∈ Z " Gain (dB) G (ω ) = 20 log10 k + α 20 log10 (ω ) + ∑i β i 20 log10 1 + jωTi ( + ∑l γ l 20 log10 ( jω ) 2 + 2ξl ωn,l ( jω ) + ωn2,l − 20 log10 ωn2,l ) " Phase ϕ (ω ) = sgn( k ) − 1 π + α π + ∑i β i arg(1 + jωTi ) 2 2 + ∑l γ l arg ( jω ) 2 + 2ξl ωn,l ( jω ) + ωn2,l ( Automatique ) 7 Lieu de Bode (4) ! Préliminaires Le lieu de Bode d'un système de fonction de transfert H(s) peut être tracé facilement à partir de la connaissance des diagrammes de Bode des éléments de base : " k (gain) " (s )±1 (intégrateur ou dérivateur) " (1 + Ts )±1 (éléments du premier ordre) ±1 s 2 2ξ " ω 2 + ω s + 1 (éléments du second ordre) n n Automatique 8 Lieu de Bode des systèmes élémentaires (1) G (dB) ! Gain k 20log10|k| " Gain G = 20 log10 k ωlog Droite horizontale 0 si k > 0 " Phase ϕ = − π si k < 0 ! Dérivation H ( s ) = s " Gain G = 20 log10 ω Droite de pente 20dB/décade ou pente +1 " Phase Automatique π ϕ =+ 2 ϕ (rad) k>0 -π ωlog k<0 $ Intégration H ( s ) = s −1 " Gain G = −20 log10 ω Droite de pente -20dB/décade ou pente -1 π ϕ = − " Phase 2 9 Lieu de Bode des systèmes élémentaires (2) ! Dérivation H ( s ) = s −1 $ Intégration G (dB) G (dB) pente +1 0dB 1 10 pente -1 20dB 20dB 100 ωlog 0dB 0.1 1 10 ωlog -20dB ϕ (rad) π/2 Automatique ϕ (rad) ωlog ωlog −π/2 10 Lieu de Bode des systèmes élémentaires (3) ! Premier ordre H ( s ) = 1 + Ts (T > 0) " Gain G = 10 log10 (1 + ω 2T 2 ) # ωT >> 1, G ≈ 20 log10 ωT # ωT << 1, G ≈ 0 asymptote horizontale asymptote de pente +1 1 Les deux asymptotes se coupent en ω = c T # A ω=ωc, on a G=3dB " Phase ϕ = arctan(ωT ) # ωT << 1, ϕ ≈ 0 π ω T >> ϕ ≈ 1 , # 2 # A ω=ωc, on a ϕ = Automatique asymptotes horizontales π 4 11 Lieu de Bode des systèmes élémentaires (4) ! Premier ordre H ( s ) = 1 − Ts (T > 0) G = 10 log10 (1 + ω 2T 2 ) mais ϕ = − arctan(ωT ) La phase change de signe par rapport au cas précédent 1+Ts ϕ (rad) H ( s ) =1 ± Ts G (dB) 40 35 H ( s ) =1 + Ts π/2 30 25 20 π/4 15 10 5 0 -1 10 0 10 1 T 3dB 10 ωlog ωlog 3 2 10 0 -1 10 0 H ( s ) =1 − Ts ϕ (rad) 0 10 1 T 2 10 3 10 −π/4 −π/2 -1 Automatique 10 0 10 1 T 2 10 3 10 ωlog 12 Lieu de Bode des systèmes élémentaires (5) ! Premier ordre H ( s ) = (1 + Ts )−1 (T > 0) " Gain G = −10 log10 (1 + ω 2T 2 ) # ωT << 1, G ≈ 0 # ωT >> 1, G ≈ −20 log10 ωT asymptote horizontale asymptote de pente -1 1 Les deux asymptotes se coupent en ω = c T # A ω=ωc, on a G=−3dB. ωc pulsation de coupure à 3dB " Phase ϕ = − arctan(ωT ) # ωT << 1, ϕ ≈ 0 asymptotes horizontales π #ωT >> 1, ϕ ≈ − 2 π ϕ = − # A ω=ωc, on a 4 Automatique 13 Lieu de Bode des systèmes élémentaires (6) ! Premier ordre H ( s ) = (1 − Ts )−1 (T > 0) G = −10 log10 (1 + ω 2T 2 ) mais ϕ = arctan(ωT ) La phase change de signe par rapport au cas précédent (1+Ts)−1 G0 (dB) ( H ( s ) = 1 ± Ts )− 1 ( H ( s ) = 1 + Ts ϕ (rad) 0 3dB )− 1 -5 -10 -15 −π/4 -20 -25 -30 -35 -40 -1 10 0 10 1 T 2 3 10 10 ωlog −π/2 -1 10 ϕ (rad) 0 10 1 T ωlog 2 3 10 10 2 3 π/2 ( H ( s ) = 1 − Ts Automatique )− 1 π/4 0 -1 10 0 10 1 T 10 10 ωlog 14 Lieu de Bode des systèmes élémentaires (7) ! Rappels # On appelle pulsation de coupure, la pulsation pour laquelle le gain a diminué de 3dB par rapport à sa valeur maximale. On définit de la même manière la pulsation de coupure à 6dB. # On appelle bande passante, l'intervalle de pulsations pour lequel le gain ne diminue pas de plus de 3dB par rapport à sa valeur maximale. −1 ! Relation temps-fréquence pour un 1er ordre H ( s ) = (1 + Ts ) " Un système du 1er ordre est un filtre passe-bas 1 1 " Sa pulsation de coupure est ωc = , soit f c = 2πT T " Bande passante BP=[0, ωc] f ≈ 0.35 avec tm le temps de montée (tm=2,2T) m c ⇒ On augmente la rapidité du système en élargissant sa Automatique bande passante "t 15 Lieu de Bode des systèmes élémentaires (8) ωn2 ! Deuxième ordre H ( s ) = 2 s + 2ξωn s + ωn2 (0 < ξ < 1) " Gain G (ω ) = −10 log10 ((ωn2 − ω 2 ) 2 + 4ξ 2ω 2ωn2 ) + 40 log10 ωn # ω << ω n , G ≈ 0 asymptote horizontale ω ωn asymptote de pente -2 # ω >> ω n , G ≈ −40 log10 Les asymptotes se coupent en ωn # ω = ω n , G = −20 log10 (2ξ ) On remarque que pour de faibles valeurs de ξ, le gain peut être très supérieur à 0dB. L'amplitude du gain passera par un maximum (phénomène de résonance) pour la pulsation ω telle que G ' (ω ) = 0 Automatique 16 Lieu de Bode des systèmes élémentaires (9) ! Deuxième ordre en dénominateur (suite) 2 < ξ On montre que la résonance se produit pour 2 % Pulsation de résonance ω R = ωn 1 − 2ξ 2 % Facteur de résonance Q = H ( jω R ) = 1 2ξ 1 − ξ 2 Si ξ→0, alors ωR→ ωn et Q→∝ ξ faible ⇒ grande résonance 2ξωnω " Phase ϕ = − arctan 2 2 ωn − ω # ω << ω n , ϕ ≈ 0 # ω >> ωn , ϕ ≈ −π Automatique # ω = ωn , ϕ = − π 2 asymptotes π ω = ω ϕ ≈ − + arcsin , horizontales # R 2 ξ 1−ξ 2 17 Lieu de Bode des systèmes élémentaires (10) ! Deuxième ordre en dénominateur (fin) 20 G (dB) ξ =0.05 ξ =0.2 ξ =0.5 ξ = 0.9 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -1 10 0 ϕ (rad) 10 0 ωn 10 1 ωlog ξ =0.05 ξ =0.2 ξ =0.5 -π/2 -π -1 10 Automatique 10 2 ξ =0.9 10 0 ωn 10 1 ωlog 18 Lieu de Bode des systèmes élémentaires (11) ! Deuxième ordre en numérateur H ( s ) = s 2 + 2ξωn s + ωn2 ωn2 (0 < ξ < 1) Le gain et la phase changent de signe par rapport au cas précédent 60 G (dB) 50 40 30 20 ξ =0.9 ξ =0.5 ξ =0.2 ξ =0.05 10 0 -10 -20 -1 10 π ϕ (rad) 10 0 ωn π/2 Automatique 0 10 -1 10 0 ωn 10 1 ξ =0.9 ξ =0.5 ξ =0.2 ξ =0.05 10 1 10 2 ωlog ωlog 19 Lieu de Bode des systèmes élémentaires (12) ! Retard H ( s ) = e −Tr s " Gain G = 0dB " Phase ϕ = −ωTr Le retard ne modifie pas le diagramme de gain. La phase décroît selon une droite de pente –Tr. ϕ (degré) 0 ϕ (degré) 0 T r = 0.25 -50 T r = 0.5 -100 Tr = 1 T r = 0.5 Tr = 1 -100 -150 -200 T r = 0.25 -50 -150 0 Automatique 50 100 150 200 ω -200 -1 10 10 0 10 1 10 2 10 3 ωlog 20 Règles de tracé pratique du lieu de Bode (1) Ces règles permettent de tracer les diagrammes asymptotiques de gain et de phase du lieu de Bode ! Etape préliminaire " Ecrire la fonction de transfert H(s) sous la forme normalisée γl ξ ∈ [0 1[, ωn,l > 0, H (s) = Ksα ∏i (1 + T s ) βi i s2 2 ξ l ∏l 2 + ω s + 1 n,l ωn,l " Classer les pulsations de coupure par ordre croissant K , Ti ∈ R* α , βi , γ l ∈ Z 1 et les pulsations propres ωn, l Ti ! Tracé du diagramme asymptotique de gain " Si α=0, on démarre avec une asymptote horizontale G=20log10|K| Si α≠0, on démarre avec une asymptote de pente α (α ∈ Z) et qui passe par le point (ω=1, G=20log10|K|) Automatique NB : pente α ⇔ pente α20dB/décade 21 Règles de tracé pratique du lieu de Bode (2) " A chaque pulsation 1/Ti, on modifie la pente de l'asymptote de βi (βi ∈ Z) " A chaque pulsation ωn, l, on modifie la pente de l'asymptote de 2γl (γl ∈ Z) ! Tracé du diagramme asymptotique de phase sgn( K ) − 1 π " Si α=0, on démarre avec une asymptote ϕ = 2 sgn( K ) − 1 + α ϕ π = Si α≠0, on démarre avec une asymptote 2 " A chaque pulsation 1/Ti, ajouter à l'asymptote βi π/2 (βi ∈ Z) " A chaque pulsation ωn, l, ajouter à l'asymptote γl π (γl ∈ Z) Automatique 22 Exemple de tracé de lieu de Bode (1) ! Exemple 1 Tracer le diagramme de Bode du système H ( s ) = avec K > 0, T1 > T2 > 0 Automatique K s (1 + T1s )(1 + T2 s ) 23 Exemple de tracé de lieu de Bode (2) ! Exemple 2 Tracer le diagramme de Bode du système H ( s ) = Automatique k (1 + 3s ) (1 + s )( s 2 + s + 4) 24 Lieu de Nyquist (1) ! Définition Le lieu de Nyquist est le lieu en coordonnées polaires des points d'affixe H(jω) lorsque ω varie de 0 à +∞. Le diagramme de Nyquist est gradué avec les valeurs de ω. Im M Im(H(jω)) j ( H | Soit le point M associé à H(jω) | ω) ϕ(ω) Re(H(jω)) M (|H(jω)|, arg(H(jω)) Re Le diagramme de Nyquist (lieu complet) correspond à ω variant de -∞ à +∞. Il s'obtient par symétrie par rapport à l'axe réel du lieu de Nyquist. Automatique 25 Lieu de Nyquist (2) ! Définition Le diagramme de Nyquist est l'image par H(s) du contour fermé appelé contour d'exclusion de Nyquist. Ce contour entoure tous les pôles et zéros de H(s) à partie réelle strictement positive. Si H(s) a des pôles nuls ou imaginaires purs, le contour d'exclusion les évite par des demi-cercles de rayon ε→0. Im Contour d'exclusion de Nyquist ω → +∞ Im ω → +∞ Re ω → 0+ ω → 0− +∝ R→ R→ +∝ +jω0 Re ε −jω0 ω → −∞ Automatique ω → −∞ 26 Lieu de Nyquist des systèmes usuels (1) ! Intégrateur H ( s ) = s −1 Im ω → 0, H ( jω ) → +∞ ω → +∞ ω → +∞, H ( jω ) → 0 ϕ=− π 2 Re ω↑ ∀ω ∈ [0 + ∞[ ω=0 ! Premier ordre H ( s ) = K 1 + Ts ( K > 0, T > 0) Im ω = 0, H ( jω ) = K et ϕ = 0 ω= π K 1 , H ( jω ) = et ϕ = − T 4 2 ω → ∞, H ( jω ) = 0 et ϕ → − π 2 ω → +∞ K/2 -π/4 K ω=0 Re ω↑ ω =1/T Le lieu de Nyquist est un demi-cercle de rayon K/2 et de centre (K/2, 0) Automatique 27 Lieu de Nyquist des systèmes usuels (2) Kωn2 ! Deuxième ordre H ( s ) = 2 s + 2ξωn s + ωn2 ω = 0 H ( jω ) = K et ϕ = 0 Im ω = ω n H ( jω ) = 2ξ et ϕ = − π Κ 2 Re ω → ∞ H ( jω ) = 0 et ϕ = −π ! Retard pur H ( s ) = e −Tr s ω↑ Im ξ=0.7 ξ=0.9 ξ=0.3 ξ=0.5 ωTr=3π/2 + 2kπ ωTr=(2k+1)π Automatique ωTr=2kπ 0 ω ↑ ωTr=π/2 + 2kπ Re Le lieu de Nyquist est un cercle centré en 0 et de rayon unité 28 Exemple de tracé de lieu de Nyquist Tracer le diagramme de Nyquist du système H ( s ) = avec K > 0, T > 0 Automatique K s (1 + Ts ) 29 Lieu de Black (1) ! Définition Le lieu de Black est la représentation cartésienne de H(jω) lorsque ω varie de 0 à +∞. Le lieu de Black est gradué avec les valeurs du paramètre ω. " Abscisse : la phase en degré ou radian " Ordonnée : le gain en décibel (dB) ! Lieu de Black d'un intégrateur H ( s ) = s −1 G(dB) ω → +∞ -π/2 Automatique ω=0 ϕ(rad) 30 Lieu de Black (2) K ! Lieu de Black d'un 1er ordre H ( s ) = 1 + Ts G(dB) ( K > 0, T > 0) ω=0 20log10 K ϕ(rad) -π/2 ω → +∞ ! Lieu de Black d'un 2e ordre H ( s ) = G(dB) Kωn2 s 2 + 2ξωn s + ωn2 20log10 K ω=0 -π -π/2 ϕ(rad) ω → +∞ Automatique 31 Lieu de Black (3) ! Exemple Tracer le diagramme de Black du système avec K > 0, T > 0 Automatique H (s) = K s (1 + Ts ) 32 Im Im ω → +∞ R→ R→ +∝ +jω0 +∝ ω → +∞ Re ω → 0+ Re ω → 0− −jω0 ω → −∞ Automatique ω → −∞ 33