Notions des Phénomènes de transferts 2019/2020 Email : [email protected] Table des matières 1 INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 4 2 TRANSFERT DE MASSE ............................................................................................................................. 5 2.1 INTRODUCTION .................................................................................................................................... 5 2.2 GRANDEURS CARACTERISTIQUE D’UN TRANSFERT DE MATIERE : ........................................................................ 6 2.3 PROPRIETES DES MELANGE ..................................................................................................................... 6 2.4 VITESSE MASSIQUE ET MOLAIRE MOYENNE : ................................................................................................ 6 2.4.1 Relation entre la fraction massique et la fraction molaire : ........................................................... 7 2.5 MODES DE TRANSFERT DE MATIERE ........................................................................................................... 7 2.6 TRANSFERT DE MATIERE PAR DIFFUSION ...................................................................................................... 7 2.7 EXEMPLE DE DIFFUSION : ........................................................................................................................ 8 2.8 DESCRIPTION MICROSCOPIQUE DE LA DIFFUSION ........................................................................................... 8 2.9 BILAN MATIERE .................................................................................................................................... 9 ERE 2.10 LA 1 LOI DE FICK ET LE COEFFICIENT DE DIFFUSION .................................................................................... 10 2.10.1 Equation de diffusion ............................................................................................................. 10 2.10.2 Coefficient de diffusion phase liquide et gazeuse .................................................................... 10 2.11 LE TRANSPORT CONVECTIF ..................................................................................................................... 12 2.12 SECONDE LOI DE FICK ........................................................................................................................... 13 2.12.1 Equation de diffusion totale en fonction des pressions partielles : ........................................... 13 2.12.2 Equation de diffusion totale en fonction des fractions molaires : ............................................. 13 2.12.3 Diffusion de A dans B stagnantes (inertes) diffusions d’un gaz ................................................ 14 2.12.4 Equation de bilan de masse pour un mélange avec réaction chimiques ................................... 14 2.12.5 Diffusion équimolaire ............................................................................................................. 14 2.13 TRANSFERT DE MATIERE PAR CONVECTION ............................................................. ERREUR ! SIGNET NON DEFINI. 3 TRANSFERT DE CHALEUR ....................................................................................................................... 15 3.1 GENERALITES ................................................................................................................................. 15 3.1.1 Définition de gradient ................................................................................................................ 16 3.1.2 Analyse dimensionnelle : dimension d'une grandeur physique..................................................... 17 3.2 LES DIFFERENTS MODES DE TRANSMISSION DE LA CHALEUR ............................................................................ 17 3.2.1 Conduction :............................................................................................................................... 17 3.2.2 Convection : transmission provoqué par le déplacement d'un fluide (liquide ou gazeux) .............. 20 3.2.3 Rayonnement :........................................................................................................................... 21 3.2.4 La loi de Stefan : le mécanisme de transfert est régi par la loi de Stefan ...................................... 21 4 TRANSFERTS DE QUANTITE DE MOUVEMENT ........................................................................................ 23 4.1 HISTOIRE DE LA MECANIQUE DE FLUIDE ..................................................................................................... 23 4.2 DOMAINES D’APPLICATION .................................................................................................................... 24 4.3 DEFINITION ET PROPRIETES DES FLUIDES .................................................................................................... 24 4.3.1 La compressibilité ...................................................................................................................... 24 4.3.2 Masse volumique ....................................................................................................................... 25 4.3.3 La viscosité................................................................................................................................. 25 4.4 NOTION DE PRESSION........................................................................................................................... 26 4.5 STATIQUE DES FLUIDES ......................................................................................................................... 26 4.5.1 Equation fondamentale de la statique des fluides ...................................................................... 26 4.5.2 Application au fluide incompressible........................................................................................... 27 4.5.3 Application au fluide compressible ............................................................................................. 27 4.5.4 Effort appliquer sur un corps solide............................................................................................. 28 2 4.5.5 Poussée d’Archimède ................................................................................................................. 28 4.5.6 Théorie de Pascal ....................................................................................................................... 28 4.6 DYNAMIQUE DES FLUIDES...................................................................................................................... 29 4.6.1 Description mathématique des écoulements............................................................................... 29 4.7 EQUATION FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE .......................................................................................... 30 4.8 PRINCIPE DE CONSERVATION .................................................................................................................. 31 4.8.1 Conservation de masse............................................................................................................... 31 4.8.2 Conservation de la quantité de mouvement ................................................................................ 31 4.9 EQUATION DE BERNOULLI ..................................................................................................................... 31 4.9.1 Conservation du débit ................................................................................................................ 31 3 1 Introduction Dans ce cours, trois disciplines scientifiques dont le principal objectif est l'étude d'un phénomène de transfert sont abordées dans le but de favoriser la compréhension physique et les notions fondamentale des phénomènes, une analogie entre les différentes grandeurs transférer sera mise en évidence. Le transfert de matière : l'étude du transfert de quantité de matière décrivant l'évolution de la concentration en une espèce dans un milieu Le transfert thermique : l'étude du transfert de la quantité de chaleur décrivant la variation de la température dans un milieu La mécanique des fluides : l'étude du transfert de quantité de mouvement dans un fluide visant à décrire l'évolution de la vitesse d'un fluide 1.1 Analogies entre les différentes grandeurs transférait grandeurs physiques transférées Mécanisme de transfert Gradueur caractéristique de transfert Equation bilan sur Profils de grandeur a déterminer Mécanique des fluides Quantité de mouvement Transfert thermique Quantité de chaleur Transfert de masse Quantité de matière Loi de Newton (cas des fluides visqueux) Viscosité Loi de Fourier (cas de conduction) Conductivité thermique Loi de Fick (cas de diffusion) Diffusivité Mouvement Vitesse énergie Température Matière Concentration 4 2 Transfert De Masse 2.1 Introduction Le processus de solubilisation d’un solide dans un milieu liquide, met en œuvre différents mécanismes de transfert de matière qui font que la dissolution est plus ou moins rapide. Dans des procédés plus complexes le transfert de matière contrôle l'évolution spatiale de la concentration Le transfert de masse peut avoir lieu avec des gaz, liquide, solide au a travers des leur interface, toujours impliquent des mélange, les transferts de mass dans le gaz et plus rapide compare au solide au liquide. Différents phénomènes sont responsables et agissent sur le transport de la matière. La matière peut être notamment transportée par : Par convection (transport dû au mouvement du fluide), Par diffusion (transport de la matière de zone concentrée vers des zones de concentration plus faible). Le transport de matière est quantifié par un flux de matière (ou plus exactement une densité de flux de matière), , qui représente la masse (ou le nombre de moles) qui passe à travers une unité de surface par unité de temps ⁄ . ou ⁄ . 2.2 Histoire de la théorie de diffusion En 1785 Jan Ingenhousz (Pays Bas) a écrit sur le mouvement aléatoire de la poudre de charbon dans un alcool. En 1827 Robert Brown botaniste écossais a été la première à avoir observé le mouvement désordonné de particules microscopiques contenues dans les grains de pollen. Sa publication intitule “ A brief account of microscopical observations on the particles contained in the pollen of plants and the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies.” Edinburgh New Philosophical Journal (1828): 358–371. Probablement c’est Ingen-Housz et le premier a observe le mouvement Brownien mais celui la a porte le nom de Brown Entre 1828-1833 Thomas Graham a effectué des expériences sur la diffusion des gazes Adolf Fick 1855 : médecine physiologiste, son intention initiale pour les études est les mathématiques mais Heinrich son frère ( Prof en commerce ), a lui, a suggéré des études en médecine, en étudiant les mathématiques comme sujet auxiliaire, car sa capacité à le faire serait inestimable s'il poursuivait une carrière dans la recherche médicale . il a est le premier qui a essayé de quantifier les phonèmes de diffusion sa publication prncipale s’intitule «Ueber Diffusion (a propose de la diffusion)" Poggendorff's Annalen in 1856(94, p. 59). 5 1905 Einstein a effectué sa thèse sur le mouvement Brownien parmi ses publications en 1905, il y avait un article sur le mouvement des petites particules en suspension dans un liquide stationnaire. Einstein, A. (1905). On the motion required by the molecular kinetic theory of heat of small particles suspended in a stationary liquid. Annalen der physik, 17(8), 549-560. 2.3 Grandeurs caractéristique d’un transfert de matière : ⁄ Taux de transfert de matière Ф ( ⁄ ): représente la quantité de ou matière transférée m (kg) par unité de temps t (s): = kg.m-2.s-1 : définie comme la quantité de matière m (kg ou Flux de matière mol) transférée par unité de temps (s) et de surface (normale à la direction du = transfert) : . 2.4 Propriétés des mélange Le transfert de matière implique toujours la présence des mélanges, il faut tenir compte la variation des propriétés physique de système, Dans un mélange de gaz ou d’une solution composée d’un solvant et d’un soluté A, ou une dispersion de particule solide dans un liquide, la concentration de différent constituant peut être exprimée par les paramètres suivant : En masse Masse du constituant A : Concentration massique Fraction massique Concentration massique en Kg ⁄ = = = = ∑ = On peut l’exprimer aussi En mole Quantité du constituant A : ( ) ⁄ ) Concentration molaire : ( = →∑ = =1 Fraction molaire : Concertation molaire Pression partiel d’une espèce i dans un mélange gazeux : La masse molaire d’un mélange = ⁄ = =∑ = = =∑ = = 2.5 Vitesse massique et molaire moyenne : Dans une mélange en diffusion, chaque espèce se déplace a une vitesse différente, en suppose que et la vitesse de l’élément i, la vitesse moyenne massique et définie par : = ∑( ) , ∑ 6 ∑ = Et la vitesse molaire moyenne : ∗ = ∑( = Donc la vitesse massique moyenne est : ∑( ) ) La vitesse de diffusion de l’espèce A par rapport à la vitesse massique et molaire moyenne et respectivement − et − ∗ 2.5.1 Relation entre la fraction massique et la fraction molaire : = Soit un mélange binaire A et B, la fraction massique de A et Avec = = Donc on obtient = = + =∑ On a la fraction molaire = = = et le nombre de mole total = = + = . ………………….. . avec + ∑ = ⁄ = . = + = ................................... 2—1 Exercice d’application La composition molaire d’un mélange gazeux a 237K et 1,5 Pa et O2 CO CO2 N2 77% 10% 15% 68% Déterminer : La composition en pourcentage massique Le poids moléculaire de gaz La densité de mélange La pression partielle d’O2 2.6 Modes de transfert de matière Il existe deux modes principaux de transfert de matière : diffusion et convectif 2.7 Transfert de matière par diffusion Le phénomène de diffusion moléculaire c’est le résultat de l’agitation thermique moléculaire, les atomes et les molécules sont soumis à des mouvements aléatoires inévitable, qui tend à rendre uniforme la concentration de l’espèce diffusante. Le transport de matière par diffusion opère des qu’il y a une différence de concentration (gradient de concentration), la 7 différence de concentration et considère comme une force motrice, mais aussi la différence de pression, un gradient électrique. Le transfert s’effectue jusqu’a moment ou les concentrations redeviennent homogènes et atteint l’équilibre (la concentration égale en tout point de la solution) 2.8 Exemple de diffusion : En phase liquide : Si on verse de sel ou du sucre dans un verre d’eau et sans agiter après un certain temps les molécules se déplace ou diffuse dans toute la masse d’eau et l’eau devient salé ou sucrée Si on ajoute un peut de citron concentre dans l’eau, après un certain temps ‘l’eau prendre le goût de citron mais moins concentré que l’extrait. Quand on ajouter une colorent dans un liquide après un certain temps le liquide sera colorée. En phase gazeuse : Le parfum ou les fleurs dans une chambre, l’odeur se déplace et diffus dans l’aire et on peut la sentir dans tout la chambre La fumé, une fuit de gaz, Figure 1 diffusion des particules des régions riches en particules vers les régions pauvres en particules Les processus de diffusion sont plus rapides quand la température est plus élevée. Le moteur de cette diffusion est d’origine microscopique et lié à l’agitation thermique, pour maître en évidence expérimentalement cela on verse un colorent dans l’eau a différents température. 2.9 Description microscopique de la diffusion Soit un volume V ferme de forme parallélépipède compris, contient N particules (atomes, molécules, ion), on considère que le volume et sépare en deux zone 1 et 2 selon l’axe x avec , et les nombre de particule dans chaque zone respectivement, a = 0 on suppose que la région 1 et plus concentre que la région 2 donc Le nombre de particule totale ( = 0) > ( = 0) = a chaque instante 8 ( )+ ( ) A ≠ 0 : le phénomène de diffusion va provoquer le déplacement des particules de région 1 à la region2 a travers la surface S ( + Donc on peut écrire A = + )= ( )+ avec : le nombre de particules transféré pendant à travers la surface Donc on peut écrire le flux de particules qui travers la surface S au temps t : ∅( , ) = = ∅( , ) → = − Avec la conservation du nombre total de particules = ∅( , ) Par convention le signe (-) juste pour le choix de signe du déplacement 2.10 Bilan matière Soit un élément de volume compris entre deux surface (S) parallèles situe a Figure 2element de volume dV entre x et x+dx Le nombre de particules ( , ) dans le volume ( , )= A l’instant Ou : : ( )= ( , ) ( )= ( + peut s’écrire sous la forme : ( ) : ( + et + )− ( )= [ ( , + ( , + = ( ) )= ( , + ) ) − ( , )] )= ( , ) + ( )= D’autre cote on peut écrire = ∅( + ) − ∅( + ( )=− Et ( )=− ∅ ( ): Donc on comparant les deux expressions de ∅ 9 , ) ( )= = ∅ + ∅ + On obtient l’équation de conservation =0 2.11 La 1ère loi de Fick et le coefficient de diffusion La 1ère loi de Fick pour le calcul d'un flux diffusif assume que la diffusion de matière résulte uniquement d'un gradient de concentration. En réalité, la diffusion peut aussi résulter d'un gradient de température, de pression ou d'une force externe. Cependant, dans la plupart des cas, ces effets sont négligeables et la force motrice dominante est le gradient de concentration ⃗= − ⃗ = ∇⃗ ⃗ . = + + Dans le cas d’un flux unidirectionnel (ici suivant l'axe y figure ci contre) le formule devient : = − =− ∆ ∆ où : : flux de diffusion du composé ⁄ : Coefficient de diffusion (ou diffusivité) du A dans le milieu B ⁄ ) : Concentration en composé A ( ⁄ ou ⁄ ) ∆ : variation de concentration en composé A ( ⁄ ou ∆ : Distance de transfert ou épaisseur (m) 2.11.1 Equation de diffusion En combinant la loi de Fick − ( ,) que on peut écrire sous la forme suivante ∅ ( , ) = = − + et l’équation bilan + ∅ =0 En suppose ( , ) − − on obtient : ( , ) =0 =0 Independent de la concentration et de X cette équation appelée équation de diffusion 2.11.2 Coefficient de diffusion phase liquide et gazeuse a. Phase liquide Le coefficient de diffusion est défini pour un composé dans un milieu : de diffusion du composé A dans le milieu B. 10 est le coefficient Il dépend de la pression et de la température. Les coefficients de diffusion et calculés à l'aide de corrélations. Le coefficient de diffusion est lie au libre parcours moyen l des molécules de soluté. Il tient compète de deux forces motrices : Force motrice due a l’agitation thermique force de résistance de frottement, dépendant de la viscosité du milieu Pour les Liquides varie entre 10 –6 - 10-9 m2 / s , très faible comparer a la diffusivité dans les gaz, cela généralement limite les processeurs effectuer dans les milieu liquide par exemple la réaction entre deux composé dans un liquide ,le taux de la réaction acidbase, extraction liquide-liquide Certain molécules diffuse sous frome électrolytique comme le cas de NaCl, qui se diffuse dans l’eau comme des ions Na+ et Cl- , mais il possible de parler d’un coefficient de diffusion pour l’électrolytique , vue que la neutralité électrique de la solution indique que les ions diffue avec la même taux, par contre dans le cas de la présence de plusieurs ions la coefficient de diffusion moléculaire n’aura pas de sens , la diffusivité de chaque ion il faut prendre en considération 2.11.2.1 Formule de Wilke-Chang Dans les liquides, il est possible d'estimer la diffusivité d'un soluté non électrolytique en solution diluée (en principe à dilution infinie) en utilisant la corrélation de Wilke-Chang, = . . ) / ( Ou coefficient de diffusivité binaire de A in B en / temperature absolue en kelvin viscosity de B en centipoise ( cP) masse molaire de B volume molaire du solute A Avec = 2,9 pour l’eau, représente le facteur d’association du solvant 1.5ethanol et 1 pour les solvants non associes tels que le benzène, éther, heptane. 2.11.2.2 Formule de Stokes -Einstein = 6 constante de Boltzmann (1,33 10-23 viscosite dynamique 11 ) rayon moléculaire (m) coefficient de frottement b. Phase gazeuse Différents corrélations permettent l’estimation de coefficient de diffuions, Le coefficient de ∝ diffusion en fonction de la pression et donne par ∝ température et proportionnelle a / par contre en fonction de la , par exemple la corrélation dite FSG (Fuller, Schettler et Giddings 1966) permet d’estimer le coefficient de diffusion des gaz dans l’air application a des pressions allant jusqu’a 10atm. 10 = Avec , , 1 , / + + 1 / / masse et volume molaire de gaz et de l’air respectivement 2.12 Le transport convectif Les mouvements de la solution produisent automatiquement un transport de matière. La densité de flux de matière est définie de la façon suivante dans le cas d'un transport par convection (vitesse v d'un fluide à une concentration c): Dans le cas de particules ou de solutés de taille assez importante dilués dans un solvant, le mouvement du solvant, u, est indépendant du transport de matière. Cette vitesse peut être voulue et créée par une pompe par exemple (convection forcée, u= Q (m3.s-1) / S (m2)) ou être induite par une différence de masse volumique lorsqu'il y a une différence de température ou de concentration (convection naturelle). La matière peut être également transportée par un mouvement de masse de fluide Exemple de la contribution des effets convectifs dans le transfert de matière Distillation : condensation et évaporation de liquides Mouvement d’une masse de fluide Ecoulement d’eau transport des molécules ou des ions dissous dans l’eau Un flux d’air transport des molécules présent dan l’air L’utilisation d’une force mécanique ou une action pour augmenter le taux de la diffusion moléculaire Exemple agitation d’une solution pour augment ou accélère la dissolution 12 2.13 Seconde loi de Fick La seconde loi de Fick reflète le bilan matière en régime instationnaire en diffusion unidirectionnelle pure, la seconde loi de Fick prend en considération le transport par le mouvement moyen du fluide diffusion total(N ) = diffusion moleculaire(J ) + diffusion convectif(T ) diffusion convectif(T ) = concentration ∗ vitesse de transfrt de masse = C . V ou V = lux molaire N +N mol⁄m . s m = = = concentration C mol⁄m s Ou N = J + T = J + C . V Donc on obtient l’équation de diffusion totale en fonction de la concentration N =− + (N + N ) 2—2 Applicable généralement pour les liquide, l’équation total de la diffusion peut être écrite sous d’autre forme en fonction de : Pression partial pour les gaz Fraction malaire pour les gaz et liquide 2.13.1 Equation de diffusion totale en fonction des pressions partielles : Un mélange compose de A et B des gaz parfait, la loi de gaz parfait peut s’applique à chaque gaz séparément et au mélange également : = = = → = → = = = = On remplace dans l’équation 2-2 on obtient équations diffusion total en fonction des pressions partielle applicable dans le cas des gaz N = − + P (N + N ) P 2.13.2 Equation de diffusion totale en fonction des fractions molaires : X = → = X et d = X = → = X et d = dX dX En résulte l’équation de diffusion totale en fonction des fractions molaires applicables dans le cas de gaz et liquide 13 N = − + X (N + N ) 2.13.3 Diffusion de A dans B stagnantes (inertes) diffusions d’un gaz Dans plusieurs processus , une composent dans un mélange gazeuse doit être transport vers un plans immobile, exemple interface liquide , dans l’absorption de gaz le gaz soluble A se transfert a l’interface liquide par contre le gaz insoluble B reste immobile, similaire dans le cas de l’évaporation a partir d’un surface libre , la vapeur se déplace de la surface par contre l’aire reste immobile, dans ce cas le transfert de matière est : N = − + P (N + N ) P Vu que la phase B est immobile donc N = 0 N = N N N = − 1− = + P P = − P N P − P (P − P ) ( P − ) ln P −P P −P Exercice L’oxygène se diffuse dans un mélange de oxygène –azote a une pression de 1 atm, et température de 25C, la concentration de l’oxygène entre deux plane de distance 2mm et 10 et 20% respectivement, l’azote et immobile (ne se diffuse pas) Démontré l’équation approprier pour calculer le flux d’oxygène, définie les unités de chaque terme dans l’équation Calculer le flux d’oxygène Le coefficient de diffusion de l’oxygène dans l’azote et 1.89 10 -5 m2/s 2.13.4 Equation de bilan de masse pour un mélange avec réaction chimiques 2.13.5 Diffusion équimolaire Quand le taux de transfert de matière de deux composent est égale et opposé, exemple distillation, deux ballon communicatif >> N = −N Le flux molaire N , pour une système binaire a température et pression constante et decrit par 14 N =− On a N = −N donc N = − Z=Z C =C Et Z=Z On obtient + C (N + N ) C en integrent l’équation avec les conditions aux limites C =C N dz = − N = (C − C Z −Z Pour un gaz parfait l’équation de Diffusion équimolaire et N = RT(Z − Z ) (P −P ) ) Exercice 3 Transfert de chaleur 3.1 Généralités L'étude du transfert thermique permet de caractériser la température dans un système et les flux de chaleur. Les opérations impliquant des transferts thermiques se rencontrent il est difficile de trouver une activité humaine où n'intervient pas un échange de chaleur. - isolation de bâtiments - dans presque les usines (chauffage, refroidissement, réfrigération) - refroidissement des moteurs thermiques, composants électriques, électroniques Le transfert d'énergie sous forme de chaleur est obtenu chaque fois qu'un gradient de température existera au sein d'un système ou lorsque deux systèmes, à températures différentes, seront mis en contact par l'intermédiaire d'une surface d'échange S. 3.2 Historique du transfert de chaleur 15 3.2.1 Définition de gradient Considérons l'espace rapporté à un repère orthonormé {O,e1,e2,e3}. Soit f(x, y, z) une fonction scalaire des trois variables x, y, z. La différentielle de f s’écrit : = + + df représente la variation de f lorsque l'on passe du point M(x, y, z) au point M’ de coordonnée M' (x+dx, y+dy, z+dz). Le vecteur dM correspondant à ce déplacement s’écrit : dM = MM' = dx ex + dy ey + dz ez . Alors df peut donc s’écrire sous la frome : Ou le vecteur Donc le = (gradient de f) a pour expression . = + + : est un vecteur qui indique la direction et le sens de croissance de la fonction f dans l’espace Exemple : Considérons l'atmosphère terrestre où la température en un point d'altitude z varie selon T(z) = T(0) - az (a > 0); on a ainsi le : = =− c'est un vecteur qui indique la direction et le sens de croissance de la température. La température et la chaleur sont des notions fondamentales en transferts thermiques : La température, T, caractérise l'état d'un corps. Elle s'exprime en Kelvin (K) ou en degré Celsius (°C). - Le kelvin est une mesure absolue de la température qui a été introduite grâce au troisième principe de la thermodynamique (entropie d'un système à 0 K est nulle). La température de 0 k est égale à −273,15 °C et correspond au zéro absolu (le point triple de l'eau (coexistence des trois phases L S G) est donc à la température 0,01 °C). - La température Celsius est définie comme étant la température thermodynamique en kelvins, moins 273,15 K, afin que zéro soit la température de solidification de l'eau. L'unité de température Celsius est le degré Celsius (symbole °C), égale en magnitude au kelvin par définition : pour exprimer une différence de température, les unités kelvin et degré Celsius sont équivalentes et un intervalle de température en degrés Celsius ou en kelvins a la même valeur numérique : par exemple, la différence 37 (°C) − 25 (°C) = 12 °C = 12 K. Mais les deux échelles de température ne sont pas équivalentes, dans l’absolu : 0 °C = 273,15 K. - degré centigrade le degré centigrade est défini par deux points 0 soit la température de fusion de l'eau à pression standard ; 100 soit la température d'ébullition de l'eau à pression standard. La chaleur, Q, exprime une énergie échangée et a comme unité le Joule (J). 16 Le flux de chaleur correspond à la quantité de chaleur Q échangée pendant une durée t, soitQ̇ = . Les flux de chaleur Q̇ s'expriment en Watts. On peut également raisonner en densité de flux de chaleur, ̇ , qui représente le flux de chaleur par unité de surface ̇ = 3.2.2 ̇ Analyse dimensionnelle : dimension d'une grandeur physique La connaissance de la dimension d'une grandeur X renseigne sur sa nature physique. La dimension de la grandeur X se note [X]. Exemple : si X est une masse, alors [X] = M, elle a la dimension d'une masse ; on dit aussi qu'elle est homogène à une masse. On ne peut additionner que des termes ayant la même dimension L’Utilisations de l'analyse dimensionnelle : Lors de l'établissement d'une expression, l'analyse dimensionnelle permet de vérifier son homogénéité et de la corriger le cas échéant, sachant qu'une expression non homogène ne peut être que fausse. Pour obtenir l'équation aux dimensions de chaque grandeur présente dans l'expression, on utilise des relations dites « passerelles» entre les grandeurs mises en jeu Les 7 grandeurs fondamentales du système international d’unités Grandeur Dimension associée Longueur L Masse M Temps T Intensité du courant électrique I Intensité lumineuse J Température Θ Quantité de matière N Unité SI Mètre (m) Kilogramme (kg) Seconde(s) Ampére (A) Candela (Cd) Kelvin (K) Mole(mol) Les équations au dimension d’un grandeur x [ ]= Θ L’unité dérivée de 7 unités de base 3.3 Les différents modes de transmission de la chaleur On distingue 3 modes différents de transmission de la chaleur 3.3.1 Conduction : Transmission provoquée par la différence de température entre deux régions d'un milieu en contact physique. Il n'y a pas de déplacement appréciable des atomes ou molécules. Ce mécanisme de transfert est régi par une loi phénoménologique établie par Joseph Fourier en 1822 17 3.3.1.1 Loi de Fourier Dès qu'il existe un gradient de température entre deux points, la conduction de chaleur transporte de la chaleur de façon à réduire cet écart et retourner à l'équilibre. La loi de Fourier relit la quantité ⃗ de chaleur en fonction du gradient de température : ⃗ = − Cas d’une seule dimension un seul variable x on obtient : =− Ou est la conductivité thermique Le signe (−) dû au fait que la quantité de chaleur circule dans le sens opposé au gradient de température. La loi de Fourier indique que la quantité de chaleur est : proportionnel au gradient de la température augmente avec la conductivité se fait dans la direction des températures décroissantes A. La conductivité thermique : Est une caractéristique propre à chaque matériau elle indique le flux de chaleur qui travers sa paroi en : 1seconde, A travers 1m2 d’un matériau, Epais d’un 1m Avec une différence de température entre les deux faces et de 1 K (1°C) [ ]= W/mk Plus la conductivité thermique est élevée, plus le matériau est conducteur de chaleur. Plus elle est faible, plus le produit est isolant. Ce coefficient n’est valable que pour les matériaux homogènes. Il n’a pas de sens pour les matériaux hétérogènes au travers desquels la chaleur se propage en même temps par conduction, convection et rayonnement. B. La diffusivité thermique : La diffusivité thermique est défini par rapport à la conductivité par : = ou est la masse volumique du milieu considéré, la chaleur spécifique du milieu. C. La chaleur spécifique : La chaleur spécifique Cp d’un corps (ou capacité thermique massique) anciennement capacité calorifique) représente la quantité de chaleur que peut emmagasiner un matériau par rapport à son volume. Elle est définie par la quantité de chaleur nécessaire pour élever de 1 °C la température de 1 mètre cube 18 Plus la capacité thermique est élevée, plus la quantité de chaleur que peut stocker le matériau est grande. = / D. La résistance thermique : La résistance thermique caractérise la capacité d’un matériau à freiner le flux de chaleur qui le traverse. La résistance est établie selon l’épaisseur (e) et la = conductivité thermique ( ) du matériau. La loi de Fourier peut s’écrire sous la forme suivante : =− = Δ ΔT ΔT = = 1 Δ Δ Par Analogie électrique/ thermique on peut établir les analogie suivante. Electrique Différence de potentiel, U Intensité du courant, I Résistance électrique, Loi d’ohm, U=RI Thermique Gradient de température, ΔT Flux de chaleur q Résistance thermique ΔT = Exemple mur en béton Soit un mur en béton de conductivité thermique λ =0.92W/m.°C et d’épaisseur e =20cm, la température de l’air intérieur et T1 =20°C et la température de l’air extérieur T2 =5°C, T1 > T2 donc la chaleur va se propager de l’intérieur vers l’extérieur. L’écart de température T1 - T2 provoque un flux de chaleur à travers le mur : = = . . La partie de l'image avec l'ID de relation rId24 n'a pas été trouv é dans le fichier. = 69 / Cas d’un Mur multicouches (un seul dimension régime stationnaire) La partie de l'image avec l'ID de relation rId25 n'a pas été trouv é dans le fichier. Chaque couche est caractérisée par : son épaisseur ei sa conductivité λi les températures Ti et Ti+1 de ses 2 faces Le flux thermique entre deux faces = − +1 = − +1 La densité de Flux thermique est constante tout le mur : 19 = 1 1− 2 =⋯= − = +1 ∑ − +1 Donc on obtient = Δ ∑ = Δ ∑ ce que correspond a la loi du mur simple avec addition des résistances spécifique 3.3.2 Convection : transmission provoqué par le déplacement d'un fluide (liquide ou gazeux) Ce phénomène se produit au sein des milieux fluides en écoulement ou entre une paroi solide et un fluide en mouvement. On distingue deux types de convection : A. Convection naturelle : les mouvements sont dus aux variations de masse volumique dans un fluide soumis champ de pesanteur. Les variations de masse volumique peuvent être générées par des gradients de température (l’air chaud est plus léger que l’air froid) et/ou par des gradients de composition. B. Convection forcée : le mouvement du fluide est provoqué par des actions mécaniques extérieures (pompe, ventilateur…). C. convection mixte : On parlera de lorsque les deux types de convection coexistent dans un système. 3.3.2.1 Flux de chaleur échangé par convection – loi de Newton La loi de Newton stipule que la densité de flux de chaleur échangé entre une paroi solide et un fluide en écoulement est proportionnelle à l’écart de température qui lui a donné naissance. - Soit une plaque de surface S et de température Tp, au contact avec Un fluide de température T∞ Flux de chaleur transmis par convection =ℎ − Ou - ℎ coefficient de transfert [ . ] température de fluide [ , ° ] température de la surface d’échange [ , ° ] aire de la surface d’échange solide/fluide [ ] Coefficient de transfert La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h est une grandeur positive il est excrément difficile a quantifier précisément, est fonction de la : - Nature de fluide 20 au - Type d’écoulement (température, vitesse de fluide) Etat et caractéristique géométrique de la surface Resistance thermique convection : =ℎ − ⇒∆ = = = ℎ 1 ℎ Exemple cas de conduction et de conviction Cas d’un Mur multicouches avec des coefficients de convection ℎ , ℎ des extérieur et intérieur La partie de l'image avec l'ID de relation rId29 n'a pas été trouv é dans le fichier. - Conduction - Convection Donc = Δ =∑ = Δ ∑ =∑ Δ = 1 + ℎ + 1 ℎ 3.3.3 Rayonnement : Transmission provoquée par la différence de température entre deux corps sans contact physique, mais séparés par un milieu transparent tel que l'air ou le vide. Il s'agit d'un rayonnement électromagnétique. La forme de rayonnement la plus palpable dans notre entourage : le soleil. 3.3.4 La loi de Stefan : le mécanisme de transfert est régi par la loi de Stefan Soit un corps de petite dimension placé dans une enceinte fermée out = ( − ) Ou : émissivité du corps 0 < = 5.67 10 . −2 −4 ≤1 : Constante de Stefan 21 22 4 Transferts de quantité de mouvement La mécanique des fluides est l'étude du transfert de la quantité de mouvement dans un système. Cette science permet de définir la vitesse du fluide et donc l'hydrodynamique d'un fluide autour ou dans un objet ainsi que les forces mises en jeu dans ces écoulements. 4.1 Histoire de la mécanique de fluide L’étude formelle des fluides a commencé il y a au moins cinq cents ans avant sa nouvelle apparition en Europe avec les travaux de Léonard de Vinci. mais la compréhension pratique de base du comportement des fluides était disponible beaucoup plus tôt, au moins à l'époque de l'ancien Égyptiens; dans des application quotidiennes comme l'irrigation en agriculture, les canaux, les fontaines, en fait, les maisons des Romains aisés avaient des toilettes à chasse d'eau pas très différentes de celles des maisons modernes du 21e siècle, et les aquaducs romains sont toujours considérés comme un formidable exploit technique. Ainsi, déjà à l'époque de l'Empire romain, suffisamment d'informations pratiques avaient été accumulées pour permettre des applications assez sophistiquées de la dynamique des fluides. Antiquité tardive : Frontin a publie un livre sur les aqueducs de la ville de roma Moyenne âge : décline de l’empire romain : migration de savoir vers l’empire arabe âge d’or islamique (traduction des œuvre Archimède, d’Euclide et publication par Al Jazari ' ﻛﺘﺎ بُ اﻟﺤ ﯿَﻞlivre des mécanismes ingénieux ouvrage traitant de hydraulique les plus vieux aqueducs connu a ce jour et a Jerwan (Irak) -700 avant J.-C, la Moyen Âge voit la disparition du système d'irrigation de la Mésopotamie à cause des invasions mongoles Dynastie Sui s'achève la première étape des travaux du Grand Canal qui relie Nord et Sud de la Chine : rivière artificiel la plus ancienne 1794 km Archimedes (285 – 212 B.C.) Postulé la loi du parallélogramme pour l'addition des vecteurs et les lois de flottabilité et les a appliqués aux objets flottants et submergés. Leonardo da Vinci (1452 – 1519) Edme Mariotte (1620-1684), In 1687, Isaac Newton (1642-1727) Leonhard Euler (1707 – 1783) William Froude (1810 – 1879) et son fils Robert (1846-1924) Lord Rayleigh (1842 – 1919) Osborne Reynolds (1842 – 1912) Navier (1785 – 1836) and Stokes (1819 – 1903) Ludwig Prandtl (1875 – 1953) 23 Theodore von Kármán (1881-1963) and Sir Geoffrey I. Taylor (1886 1975). Pour la plupart de 19e et 20e siècles, il y avait deux approches à l'étude du mouvement des fluides: théorique et expérimentale. De nombreuses contributions à notre compréhension du comportement des fluides ont été apportées au fil des ans par ces deux méthodes. Mais aujourd'hui, en raison de la puissance des ordinateurs numériques modernes, il existe encore une troisième façon d'étudier la dynamique des fluides : la dynamique des fluides computationnelle, ou CFD pour faire court. Dans la pratique industrielle moderne, le CFD est plus utilisé pour les analyses d'écoulement de fluide que pour la théorie ou l'expérience. La plupart de ce qui peut être fait théoriquement a déjà été fait, et les expériences sont généralement difficiles et coûteuses. Alors que les coûts informatiques ont continué de diminuer, CFD est passé au premier plan de l'analyse technique des l'écoulement d'un fluide. 4.2 Domaines d’application Les domaines d’applications de cette science sont nombreux et variées. Ainsi, en aéronautique, l’écoulement du fluide gazeux (air) autour des profils d’ailes d’avions est primordial. En hydraulique, le domaine est restreint aux écoulements de fluide liquide (eau) dans des conduites (écoulement sous pression) ou dans des rivières et canaux (écoulement à surface libre). La Mécanique des Fluide est également déterminante dans des domaines tels que l’ingénierie navale, l’hémodynamique, la météorologie, l’électromécanique, l’océanographie, études écoulement dans les procédés physicochimiques et biologiques 4.3 Définition et propriétés des fluides De point de vu physique une fluide est un corps simple, compose d’une assemblée d’atomes ou molécules identique, en phase liquide ou gazeuse. La transition entre les différents états s’accompagne de la discontinuité de certaines grandeurs thermodynamiques qui permettent de construire un diagramme des phases Par exemple, nous savons que, a la pression atmosphérique, l’eau se liquéfie a 0◦C et se vaporise a 100◦C, De point de vu mécanique : un fluide, est quelque chose qui coule Les fluides sont des substances susceptibles de s'écouler et de prendre la forme du récipient qui les contient on dit qu'ils sont sans forme propre. On peut répartir les fluides en deux grandes catégories : • les liquides • les gaz. En mécanique des fluides, on ne considère pas le comportement individuel des atomes, molécules qui composent le fluide. On étudie le mouvement, les propriétés d'une particule de fluide : élément de volume petit devant la taille des récipients, tuyaux, barrages… que nous allons étudier, mais grand devant les distances entre les molécules et contenant un grand nombre de molécules. 4.3.1 La compressibilité Un fluide peut être qualifie de compressible ou incompressible, si on arrive à réduire son volume en utilisent un moyen quelconque, on dira que le fluides est compressible, dans le cas contraire le fluide et incompressible 24 Le volume ne varie pas ρ constante : fluide incompressible exemple eau, huile Le volume varie ρ varie : fluide compressible cas des gaz (air) Les liquides sont pratiquement incompressibles. Ils produisent des surfaces libres, occupent des volumes bien définis quand ils sont en contact avec l'atmosphère. Les gaz sont compressibles, ils se dilatent jusqu'à occuper toutes parties du récipient qui les contient. 4.3.2 Masse volumique Soit une quantité de fluide, quelque soit l’action mécanique qui il subit sa masse ne change pas contrairement a son volume qui peut changer, on note ρ la masse volumique d’un fluide ( ) ( ) = Pour les gaz : La masse volumique d’un gaz est calculable a partir de son équation d’état, pour un gaz parfait on a = Avec P : pression (Pa), V : volume (m3), n : nombre de mol, R : constant molaire des gaz parfait = 8.314 ,T : temperature (K) La masse de mol de gaz de masse volumique et occupant un volume et = = D’où L’équation d’état peut donc s’écrire : = = Ou masse volumique du gaz (Kg.m-3) volume spécifique (m3 .Kg-1) 4.3.3 La viscosité La viscosité traduit la facilite ou la difficulté a l’écoulement, si on considère deux récipient identique 1 et 2 avec un robinet contient des liquide différent, a l’ouverture de robinets si le liquide 1 se vide plus rapidement que le liquide 2 on dit que la viscosité du liquide 1 et plus faible que le liquide 2 ou il est moins visqueux. La viscosité est caractérisée par : Viscosite viscosité cinématique symbole ν Dynamique µ, µ = ρ. ν Unité m2/s, Stokes(St) ou centistokes (cSt) 1St=10-4m2/s 1cSt-10-6m2/s Poiseuille PI ou Pa.S ou Poise Po 1Po=PI La viscosité dépend de la variation de la température pour les liquide elle diminue, et augment pour les gaz 25 4.4 Notion de pression La pression P est définie comme le rapport d’une force F par une surface S ( )= ( ) ( ) La pascal et une unité très faible alors en pratique en utilise le bar Soit un liquide qui s’écoule sur une paroi solide, il exerce une pression P sur la paroi, Considérons un élément de surface dS de cette paroi ou : dF : force exercée par le liquide sur l’élément de surface dS dT force tangentielle de fortement due a la viscosité du liquide et s’oppose au mouvement dN force normale a la surface. = lim → Pour un liquide au repos la force tangentielle de fortement due a La viscosité du liquide et s’oppose au mouvement dT=0 = lim → la force de pression devient perpendiculaire a la surface La pression atmosphérique et notée c’est la pression de l’air qui nous entoure, elle dépend de l’altitude et des conditions climatiques, l’altitude augment l pression atmosphérique diminue Au niveau de la mer =1 4.5 Statique des fluides La statique des fluides incompressible elle s’occupe des conditions d’équilibre des fluides au repos (qui ne s’écoulent pas) et l’interaction des fluides avec les surfaces et les corps solides immerges, l’application principe en génie des procédés porte sur la mesure de la pression. 4.5.1 Equation fondamentale de la statique des fluides Pour qu’un fluide soit à l’équilibre dans un champ de pesanteur, il faut que la résultante des actions (forces) sur un volume considère soit nulle, ces force sont : les forces de surface = Les forces de pression. les forces de volume = Le poids du volume du fluide étudié On considère un élément de volume de forme cubique, de volume dv avec représenter sur la figure suivante Figure 3. Élément de fluide de volume dV 26 = , Faisons le bilan des forces agissant sur cet élément de volume: les forces de surface ( , , , , , Equilibre ∑ ) sur la surface et les forces de volume . =0 Selon l’axe x : = ⇔ = ⇔ = donc =0 Selon l’axe y : = ⇔ = ⇔ = donc =0 Selon l’axe z : + = ⇔ + = ⇔ En considérant l’élément comme infiniment petit donc + Δ = ⇒ limΔ Δ ⇔ → =− Δ = Δ =− Le bilan résultant des force sur l’élément de volume s’écrite ⃗+ ⃗+ = ∇⃗ ⃗ On obtient donc ∇⃗ =− ⃗ ⃗ appelle l’équation fondamentale de ‘hydrostatique =− Si on considère que le champ de pesanteur et selon l’axe z, et par projection sur les trois axes l’équation se résume a =− 4.5.2 Application au fluide incompressible Un fluide incompressible donc la masse volumique et une constante ( , , ) = ∀( , , ), si les variations g et constante ∀( , , ) , donc ce cas l’équation fondamentale de la statique des fluides montre que la pression varie avec z si ⃗ = − ⃗ ( )= Dou ( )=− + =− + =− + + Si pour un niveau de référence la pression vaut , alors la pression pour un niveau Z quelconque s'exprime comme ( ) = + ( − ) 4.5.3 Application au fluide compressible Pour les systèmes gazeux la compressibilité me peut être négligée =− =− = =− =− En intégrant on obtient ln ( )= − Ou =− + ⟹ ( )= et la pression a = 0 27 − ⟹ = Note. Cette solution et valable pour une atmosphère isotherme c’est ta dire que la température ne dépend pas de l’altitude z 4.5.4 Effort appliquer sur un corps solide Si le fluide est immobile, les pressions élémentaires agissent toujours perpendiculairement à la paroi (pas de force de cisaillement), en tout point du fluide la pression est identique dans tout les directions, démonstration dans le cas d’un trièdre A l’équilibre : horizontalement ℎ = verticalement ℎ= Avec cos = et sin sin = = = D’où sin ⟹ = et ℎ cos sin cos = sin ⟹ = = 4.5.5 Poussée d’Archimède On considère un volume de fluide V au sein d’une masse d’un liquide ou d’un gaz, le volume V en équilibre il est soumis a. Son propre poids ⃗ Les forces de pression exerçant sur sa surface ∑( ) ( ) ⃗ En équilibre on aura ⃗ + ∑( ) ( ) ⃗ = 0⃗ ⟹ ∑( ) ( ) ⃗ = − ⃗ Le poids du fluide contenu dans le volume V compense la somme des forces de pression exercées sur les surfaces de V Maintenant si on remplace le volume V de fluide par un corps différent avec le même dimension et contour Théorème d’Archimède : Les forces de pression sur un volume quelconque immergé dans un(des) fluide(s) en équilibre mécanique peuvent être modélisés par une résultante, la poussée d'Archimède, égale à l'opposée du poids qu'aurait ce même volume occupé par des fluides en équilibre, et s'appliquant au centre de gravité G' de ce volume de fluide. Soit un corps de masse volumique immerge dans un fluide de masse volumique si > : le corps tombe au fond car son poids est supérieur a la poussée exercée par le fluide = le corps reste en équilibre < le corps remonte et flotte a la surface car son poids est supérieur a la poussée exercée par le fluide 4.5.6 Théorie de Pascal Dans un fluide incompressible en équilibre, toute variation de pression en un point entraine la même variation de pression en tout autre point. Soit la pression au point varie de ( ) a ( ) par l’application d’une force ∆ ( )= ( )− ( ) Soit une Point M quelconque de fluide on a ( )= ( )+ ( ) − − − 1 et ( )+ 28 ( )+ ( )= 2−1 ⇒∆ ( ) = ( )+ ( )− ( )−−−2 ( )=∆ 4.6 Dynamique des fluides La dynamique des fluides s’intéresse aux lois qui relient les diverses forces agissant sur les fluides et les écoulements, leur organisation spatiale et leur évolution temporelle donc précisément de mettre en place des équations local qui puisse rendre compte du lien entre vitesse, pression, forces de volume et fortement (viscosité), la dynamique des fluide joue un rôle essentiel aussi bien dans l’écoulement naturels que dans les procédés industriels on cite par exemple en : Aéronautique : la conception aérodynamique avion, véhicule Biologie : la circulation de l’oxygène dans notre organisme est assurer par l’écoulement du Song a travers un système de canalisation artères et veines En génie des procèdes : le transport des liquide, les réactif, en réacteur lit fluidisée Météorologie : Prévision météorologique 4.6.1 Description mathématique des écoulements Il existe deux méthodes pour décrire mathématiquement un écoulement La méthode Eulérienne elle s’intéresse à la variation de propriétés en un lieu dans l’écoulement, la description des écoulement a partir du champs de vitesse comme une fonction des variable d’espace et du temps instante et tout point , considérer ( , ) c'est-à-dire on mesure a chaque la vitesse macroscopique du fluide, si le champs de vitesse dépende de temps donc l’écoulement est qualifie de instationnaire ou non-permanent, si il est indépendante il considérer stationnaire ou permanent , pour la méthode Eulérienne l’étude est concentrée sur un lieu donné de l’espace. À chaque instant des particules différentes passent par le lieu considéré où les variations temporelles des inconnues du problème (vitesse, pression, …) sont évaluées. La méthode Lagrangienne elle s’intéresse a la trajectoire d’une particule donnée, donc suivre le mouvement d’une particule de fluide au cours du temps, le champ de vitesse qui représente la vitesse a l’instant forme ( , d’une particule de fluide qui se trouve en et sous la , ), par exemple injecter un colorent dans un écoulement et suivre sa trajectoire La trajectoire de la particule et donne par ( ) = 29 +∫ , , ′ ′ 4.7 Equation fondamentale de la dynamique Soit un élément de volume parallélépipède rectangle de volume accélération ⃗ = , avec une dans un champ de pesanteur ⃗ = − ⃗ , les forces de volume et les forces de surface c’est l’ensemble des forces qui exerce sur l’élément de volume L’application du principe fondamental de la dynamique ∑ ⃗ = ⃗ ⃗= ⃗+ = ⃗ on obtient ⃗ ⃗ = ⃗ on prend en considération seulement le poids donc Force de volume ⃗ = ⃗ ⃗ se comporte les force de pression et contraint Par contre les force de surface représentée par visqeuse ⃗= ⃗ + ⃗ + ⃗ On simplifie le problème on calculer seulement la composent et par analogie on déterminera les autre composants, chacun de 6 face sont soumis a des contrainte dont les trois composante contribue dans la direction ⃗ également a ⃗= ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ Dont la contribution selon ⃗ se résume a = de force la contribution correspond a ( Les Cinque autre face contribuent également donc on obtient ( ) + − + ( ) ( ) − ( ) − ( ) ( ) Un développement limite de premier ordre nous permis d’écrire ( ) = ( ) + Donc on obtient + ⎛ ⎜ ⃗=⎜ ⎜ ⎜ + + + + + ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ = ∇⃗ = ∇⃗ ⎠ ∇⃗ + ⃗= 30 ) en terme puisque l’aire de la face supérieur ) vaut = ( ⃗ ∇⃗ + ⃗ ⃗= Le tenseur de contraint explicitement il représente la pression hydrostatique et la viscosite = − Γ+ ′ ⇒ ∇⃗ = −∇⃗p + ∇⃗ ′ L’équation fondamentale de la dynamique des fluides est sous le frome suivant : −∇⃗p + ∇⃗ ′ + ⃗ ⃗= Cette équation va servir de bas générale pour établir des formulations plus particulier liée a la nature même de fluide (parfait, visqueux, newtonien) ou au différents type d’écoulement (laminaire, turbulent, stationnaire) 4.8 Principe de conservation 4.8.1 Conservation de masse Lavoisier « rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme, « Soit V un volume quelconque enfermant un ensemble bien identifie de particules fluides, en absence de tout échange ou création e la matière, la variation de masse de ce volume doit être nulle dm d = dt dt ρdV = 0 4.8.2 Conservation de la quantité de mouvement Citation de Newton « Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état. » Soit un corps de masse m (constante) : l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m. Ce principe se traduit en équation comme suit : ⃗ = ⃗ 4.9 Equation de Bernoulli Le théorème de Bernoulli Traduit la conservation de l’énergie par unité de volume d’un fluide qui s’écoule entre deux sections d’une conduite L’énergie mécanique d’une fluide peut il se décompose en trois catégorie : énergie cinétique, énergie potentielle, énergie de pression 4.9.1 Conservation du débit On considère un fluide parfait en mouvement stationnaire, dans l’ensemble de ce fluide en mouvement on isole un tube de courant 31 Soient p et p et V et V les pressions et les vitesses en section S et S On suppose que entre l’instant t et t + dt une masse dm et un volume dV passe à travers la section S donc on peut écrire dm = ρdV = ρS AA, = ρS V dt La même quantité de fluide travers la section S donc dm = ρdV = ρS BB , = ρS V dt La quantité de fluide entre A et B passe entre A, et B , donc on a une conservation de débit S V = S V On applique la théorème de l’énergie cinétique a ce fluide entre t et t+dt La variation d'énergie cinétique est égale au travail des forces extérieures appliquées au système" ∆E = Avec W ∆m V − V = W. =W = ρ dVg (z − z ) et W . + W. = (p − p )dV Donc l’equation de Bernoulli il s’écrit sous la frome 1 + ρ g z + ρV = cte 2 32
