GIM 1ère année ELEC2 Régime sinusoïdal – Exercices I. Montrer que l’intensité efficace d’un courant i(t) variable et périodique, circulant à travers une résistance R, est égale à l’intensité du courant continu I qui, circulant dans la même résistance, permettrait de dissiper la même puissance. II. Montrer que l’impédance Z d’un dipôle formé de deux dipôles d1 et d2 en série est égale à la somme des impédances Zd1 et Zd2. III. Monter que l’admittance Y d’un dipôle formé de deux dipôles d1 et d2 en parallèle est égale à la somme des admittances Yd1 et Yd2. IV. Déterminer l’impédance et l’admittance des deux dipôles ci­dessous : R L R L C V. Une tension sinusoïdale u(t) (120V ; 50Hz) est appliquée à un dipôle formé de l’association en série d’une résistance R de valeur 40Ω et d’une inductance de valeur L=0,096H. On choisit u comme origine des phases. a. Déterminer l’intensité du courant circulant dans le dipôle (amplitude et phase à l’origine). b. Déterminer les tensions mesurées aux bornes de R et L (idem). VI. Une bobine d’inductance L et de résistance r est alimentée par une tension sinusoïdale u(t) (100V ; 50Hz). L’intensité efficace du courant circulant dans la bobine est de 0,5A. La puissance consommée est de 25W. a. Déterminer l’impédance de la bobine. b. Calculer son facteur de puissance. c. En déduire le déphasage φ qui existe entre le courant et la tension. d. Construire la représentation de Fresnel associée au circuit (échelles : 10V/cm et 0,1A/cm). e. Vérifier la validité des calculs précédents. 1/9 GIM 1ère année VII. ELEC2 Soit le circuit RLC suivant : La bobine est modélisée par une inductance L en série avec une résistance r. C=2,2μF ; R=200Ω ; f=280Hz A l’aide d’un multimètre on mesure les tensions suivantes : uReff=8V ; uCeff=10,3V ; uLeff=8,1V et ueff=12,4V. a. b. c. d. Déterminer l’intensité efficace du courant circulant dans le circuit. Déterminer le module de l’impédance de la bobine. Construire à l’échelle le diagramme de Fresnel (1cm pour 1V). En déduire le déphasage de i par rapport à u, ainsi que le déphasage de chacune des tensions uR, uL et uC par rapport à u. VIII. Soit le dipôle suivant : G1 C1 C2 G2 L G1 = G2 = 0,02 S C1 = 1μF ; C2 = 2μF L = 0,1 H ω = 103 rad.s­1 a. Donner l’expression de l’admittance de ce circuit sous la forme Y = G + jH. b. Quels noms portent respectivement G et H ? c. Calculer Y, en déduire Z (impédance correspondante). d. Le circuit est­il plutôt capacitif ou inductif ? 2/9 GIM 1ère année ELEC2 IX. Un courant sinusoïdal de fréquence 50 Hz et d’intensité efficace 2A circule à travers un dipôle formé par trois récepteurs passifs en série : R = 15Ω ; L=0,032H ; C=100μF. a. Déterminer les tensions aux bornes de chacun des récepteurs. b. Tracer le diagramme de Fresnel relatif au dipôle. c. Déterminer la résultante (tension totale aux bornes du dipôle) par le calcul. Vérifier la validité du résultat sur le diagramme de Fresnel. X. Un dipôle AB est constitué d'un générateur G en parallèle avec un condensateur de capacité C = 50μF. G présente une impédance interne purement inductive L=12,5mH et sa force électromotrice est e=120.√2.cos(100π.t). a. Dessiner le montage en faisant apparaître e et L. b. Calculer les paramètres du modèle de Thévenin pour le dipôle AB. c. Dessiner le schéma équivalent faisant apparaître ces paramètres. d. On branche un dipôle d d’impédance Zd aux bornes du dipôle AB. Déterminer l’intensité du courant qui traverse Zd sachant que Zd=5+4j à la fréquence du générateur. XI. On applique une tension 220V/50Hz aux bornes d’un dipôle comportant une résistance R=30Ω en série avec une inductance L=0,16H. a. Déterminer l’impédance du dipôle. b. Déterminer l’intensité du courant circulant dans le dipôle. c. Calculer le facteur de puissance mis en jeu dans ce dipôle. d. Calculer la puissance active consommée par le dipôle. e. Tracer le diagramme de Fresnel, vérifier les valeurs précédemment calculées. XII. Un condensateur C=32μF et une résistance de 100Ω sont montés en série. Le circuit est alimenté en sinusoïdal. La tension aux bornes du condensateur est de 72V quand l’intensité du courant commun est de 0,72A. a. Déterminer la réactance du condensateur. b. Calculer la fréquence du régime sinusoïdal. c. Déterminer l’impédance du circuit. d. Calculer la tension aux bornes du circuit formé par le condensateur et la résistance. e. Calculer la puissance active et le facteur de puissance mis en jeu dans ce dipôle. f. Tracer le diagramme de Fresnel. 3/9 GIM 1ère année ELEC2 XIII. Un moteur fonctionne sous une tension sinusoïdale u(t) de valeur efficace 200V et de fréquence 50Hz. Il est modélisé par une résistance R en série avec une inductance propre L. La puissance consommée est P=1000W, l’intensité efficace du courant appelé i(t) est ieff=10A. a. Déterminer R, L et le facteur de puissance k. b. Déterminer la capacité C du condensateur à mettre en parallèle sur le moteur pour relever le facteur de puissance à 1. c. On utilise C’<C. On obtient un facteur de puissance de 0,95. Que vaut C’ ? XIV. Soit le dispositif suivant : iL L A B iR R’ i L’ C R uAB uBC u Soient dAB le dipôle constitué de L et R et dBC celui constitué de R’ et L’. u(t) est une tension sinusoïdale de pulsation ω. On choisit u(t) comme origine des phases. R=100Ω et L=0,01H. De plus, on donne : amplitude de u(t) = 100V. a. Déterminer R’ et L’ en fonction de R et L pour que les deux dipôles dAB et dBC soient équivalents. R' L' = . b. Déterminer la pulsation ω0 pour laquelle R L c. Déterminer l’impédance Z du dipôle global dAC. Préciser son expression polaire. d. En déduire i, uAC, uBC, iL et iR. e. Tracer le diagramme de Fresnel aux tensions et courants. f. Donner l’expression de la capacité C du condensateur qu’il faut mettre en série avec le dipôle dAC pour que i soit en phase avec u à la pulsation ω0. XV. Une installation comprend, associés en dérivation, 20 lampes absorbant chacune 0,8A et un moteur absorbant 10A, ce courant étant déphasé de 30° sur la tension à ses bornes (tension en avance). a. Réaliser un schéma de l’installation. b. Déterminer le courant absorbé par l’installation. 4/9 GIM 1ère année ELEC2 XVI. On veut déterminer le modèle amplificateur d’un quadripôle, où impédance d’entrée et impédance de sortie se limitent à leur seule composante résistive : E1 S1 E1 e e E2 S2 RS RE S1 A0.e E2 S2 Pour cela, on réalise le montage expérimental suivant, dans lequel le générateur de signaux (GBF) est assimilable à un générateur de tension parfait. Ce GBF délivre une tension sinusoïdale, de fréquence constante 5kHz et d’amplitude constante 28mV. Le voltmètre utilisé est configuré en « RMS » et « AC ». K1 E1 GBF K2 S1 10kΩ V E2 200Ω S2 Si K1 est fermé et K2 ouvert, le voltmètre affiche 5V. Si K1 et K2 sont ouverts, le voltmètre affiche 0,3V. Si K1 et K2 sont fermés, le voltmètre affiche 0,2V. Exploiter ces résultats pour déterminer les valeurs de RE, RS et A0. XVII. Soit le montage ci­dessous : C L e ~ v i R vR R=100Ω ; C=1μF ; L=100mH 5/9 GIM 1ère année ELEC2 a. Exprimer l’impédance du dipôle formé par L et C en fonction de L, C et ω. b. Pour quelle valeur ω0 de ω l’admittance de ce dipôle est­elle nulle? Que vaut alors son impédance ? Et la valeur de vR ? c. On fixe f=1000/π Hz et vmax = 0,1V. c.1 Déterminer l’amplitude et la phase à l’origine de i. c.2 En prenant v comme origine des phases, tracer le diagramme de Fresnel relatif à ce montage (échelles : 1cm pour 0,1mA et 0,01V). c.3 Déterminer l’amplitude et la phase à l’origine de e. c.4 Déterminer la puissance consommée par R. Que vaut le facteur de puissance correspondant ? c.5 Calculer la puissance consommée par le dipôle formé par L et C. c.6 Calculer la puissance réactive consommée par le dipôle formé par L et C. c.7 Déterminer le gain en tension vR / e de ce montage. XVIII.Soit le circuit suivant : R e ~ L v R=10kΩ ; L=100mH a. Déterminer le gain en tension v / e. b. Tracer les courbes de gain et de phase dans le plan de Bode. c. En déduire la nature du filtre obtenu, ainsi que sa ou ses fréquence(s) de coupure. d. On branche en parallèle sur L une charge Ru = 4,7kΩ. d.1 Déterminer le nouveau gain en tension. La nature du filtre a­t­elle changé ? d.2 Déterminer la valeur max du gain, en déduire la nouvelle fréquence de coupure. 6/9 GIM 1ère année ELEC2 XIX. Relèvement de facteur de puissance : Une cliente d’EDF dispose d’une source de tension sinusoïdale u(t) de fréquence 50Hz et de valeur efficace 220V (réseau électrique). Elle branche un appareil de chauffage (purement résistif) consommant P1 = 1kW et un moteur (modélisable par une résistance en série avec une inductance) consommant la puissance P2 = 2kW. Le facteur de puissance du moteur est k2 = 0,5. a. Faire un schéma du dispositif. On nommera i1 le courant circulant dans le chauffage, i2 celui circulant dans le moteur, et i celui fourni par le réseau au dispositif. b. Calculer les valeurs efficaces des courants i1 et i2. c. Calculer la puissance active consommée par le dispositif. d. Calculer la puissance réactive consommée par le dispositif. e. En déduire : la valeur efficace du courant fourni par le réseau et le facteur de puissance du dispositif. Ce facteur de puissance étant considéré inacceptable par EDF, on place en parallèle sur le dispositif précédent un condensateur C qui permettra d’obtenir, pour ce nouvel ensemble, un facteur de puissance égal à 1. On nommera ic le courant circulant dans ce condensateur et i’ celui fourni par le réseau au nouveau dispositif. f. Redessiner le montage en faisant apparaître toutes les grandeurs électriques nécessaires. g. Calculer la puissance active et la puissance réactive consommées par ce nouveau dispositif. h. En déduire : la valeur efficace du courant fourni par le réseau et la valeur de C. 7/9 GIM 1ère année ELEC2 Éléments de correction V. a. b. I = 3,39A ; φi = ­37°. UR = 135,5V ; φR = -37°. UL = 102,2V ; φL = 53°. VI. a. b. c. P=r.ieff2 => r = 100Ω. |Z| = 200Ω. L = 0,55H. Cos(φ) = P / S = 0,5. φ = 1,05rad. VII. a. b. ieff = 0,04A. |ZL| = 8,1 / 0,04 = 202,5Ω. IX. a. c. I = 2,83A ; UR = 42,4V ; uL = 28,4ej(π/2) ; uC = 90e­j(π/2). U = 74,8V ; φu = -55,4°. X. b. d. jL ω e . ; Z AB = 1−LC ω ² 1− LC ω ² I = 18,86A ; φi = ­58°. a. b. c. d. e. XC = ­100Ω. f = 50Hz. Z = 100 – 100j. E = 102V ; φe = ­45°. P = 36W. XII. V AB= XIII. a. b. c. R = 10Ω ; L = 55mH ; k = 0,5. C = 140μF (exprimer les puissances réactives sans et avec C). C’ = 110μF (calculer la valeur efficace du courant circulant dans l’ensemble et exprimer la nouvelle puissance réactive totale). XIV. b. c. f. ω0 = R / L. Z = 100 + j100. C = L / R2. XV. ieff = 25,2A ; φi = ­11,5°. b. XVI. A0 = 252.5 ; RE = 638Ω ; RS = 4800Ω. XVII. c­1. c­3. c­4. c­6. I = 3.10­4A ; φi = φv – 90°. E = 0,105V ; φe = – 17°. P = 4,5μW. QLC = 30μVAR. 8/9 GIM 1ère année XVIII.c. d. ωc = 105 rad.s­1. ω’c = 31973 rad.s­1. XIX i1eff = 4,5A ; i2eff = 18,2A. P = 3000W. Q = 3464 VAR. k = 0,65. i’eff = 13,6A. C = 228μF. b. c. d. e. g. h. ELEC2 9/9
