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Institut des Sciences de l’Ingénieur de Toulon et du Var
Université du Sud Toulon-Var
Propriétés mécaniques
des matériaux
Y. JOLIFF
Matériaux 1ère année
2012-2013
1
Introduction
2
Introduction
Sollicitations
mécaniques
Sollicitations
thermiques
Sollicitations autres
Matériaux utilisé pour élaborer des pièces usuelles ou techniques subissent des
sollicitations en service
 Connaissance du comportement du matériau

Usage approprié et optimal du matériau (choix)
Grand nombre de propriétés caractérise un matériau, cependant, les propriétés
mécaniques apparaissent bien souvent prépondérantes pour la conception d’une
pièce : l’objectif premier étant la tenue mécanique
3
Introduction
Pour une sollicitation donnée, tous les matériaux ne vont pas décrire la même
évolution
Etudier le comportement mécanique d’un matériau consiste :
à suivre sa réponse (déformation / allongement) en fonction d’une
charge (force appliquée / contrainte)
F
F
F
l
Comportement des verres
l
Comportement des élastomères
l
Comportement des métaux
4
Identification et classement
rhéologiques des solides
2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides
2.2 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
5
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides
L’ensemble des lois de comportement des matériaux peut être obtenu à partir de
3 méthodes de formulation distinctes :
Approche microscopique : cherche à prendre en compte la microstructure du
matériau en vue de déterminer ses propriétés
macroscopiques
 Métal considéré comme un polycristal : agrégat de grains d’orientations
cristallographiques différentes et au comportement individuel parfaitement
caractérisé
 Composite représenté par sa matrice et ses fibres
 Béton par la matrice et les granulats
…
 Modéliser l’hétérogénéité des matériaux pour mieux prévoir le comportement
moyen global
 Lois relativement fines mais certaine lourdeur à la mise en œuvre
6
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides
Approche microscopique :
 Utilisation est encore limitée à la prévision du comportement des
matériaux, dans l’optique de mieux comprendre leur «fonctionnement»
et d’améliorer leurs propriétés mécaniques
Approche thermodynamique : cherche un milieu continu homogénéisé équivalent
au milieu réel qui représente les phénomènes
physiques microscopiques par des variables
internes macroscopiques
Approche fonctionnelle : repose sur l’usage de lois héréditaires de type intégral
qui font intervenir des fonctions caractéristiques des
matériaux utilisant des variables macroscopiques
Les approches thermodynamique et fonctionnelle, à l’inverse de l’approche
microscopique, cherchent simplement à caractériser le comportement d’un
élément de volume représentatif (EVR)
 Abstraction de la structure fine du matériau
7
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides
Méthode EVR consiste à déterminer les relations de cause à effet qui existent
entre les variables constituant les entrées et les sorties du processus étudié
Elle trouve une justification dans le fait que des phénomènes de l’échelle
microscopique très divers peuvent conduire, après des effets de moyenne, à des
réponses globales de même nature
 Emploi aveugle peut être dangereux s’il s’agit d’appliquer le modèle
hors de son domaine de détermination initial
 Dans bien des cas, cette méthode est la seule applicable dans un cadre
industriel
Le choix de l’élément de volume représentatif est fondamental
 Doit être suffisamment grand par rapport aux hétérogénéités du matériau
 rester petit par rapport aux gradients de contraintes et de déformations dans
la structure
8
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides
Exemple EVR : il faut une trentaine de grains dans la partie utile d’une
éprouvette de traction pour déterminer les propriétés d’un métal
Ordre de grandeur des éléments de volume représentatifs
Matériaux
Hétérogénéité
Eléments de volume
Métaux et alliages
cristal
1 à 100 m
0,5 x 0,5 x 0,5 mm
Polymères
molécule
10 à 50 m
1 x 1 x 1 mm
Céramiques
grain
1 à 10 m
0,1 x 0,1 x 0,1 mm
Bois
fibre
0,1 à 1 mm
10 x 10 x 10 mm
Béton
granulat
≈ 10 mm
100 x 100 x 100 mm
9
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides
L’utilisation de la loi de comportement pour décrire un matériau donné n’est pas
intrinsèque au matériau
 Cette loi va dépendre de l’utilisation du matériau
Exemple : cas d’un acier à température ambiante
 sollicité en petites déformations :
 se comportera en suivant une loi élastique linéaire
 sollicité en grandes déformations
 se comportera en suivant une loi élastoplastique
à température élevée :
 un comportement viscoélastique pourra être utilisé…
10
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
Un grand nombre de matériaux présente des comportements non linéaires
Pour déterminer les paramètres (ou variables) de ces lois :
 des essais mécaniques
Les essais qui permettent de caractériser les propriétés mécaniques des
matériaux sont relativement nombreux
Les essais simples sont bien souvent normalisés :
[1] AFNOR : Association Française de NORmalisation
[2] ISO : International Standardisation Organisation
[3] ASTM : American Society for Testing and Materials
11
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.1 - L’essai d’écrouissage
C’est un essai de traction ( > 0) ou de compression ( < 0) qui réalisé avec une
vitesse de déformation constante  sur une éprouvette du matériau
Les résultats sont sous la forme d’efforts et de déplacement qui sont ensuite
convertis pour obtenir une courbe sous la forme de contrainte-déformation
 = f ()
Géométrie des éprouvettes d’essai d’écrouissage :
 Eprouvettes cylindriques munis en général de têtes
>0
d’amarrage filetées
 Eprouvettes sous la forme de plaques de section
rectangulaire
Métaux et des matériaux composites
<0
 Eprouvettes sous la forme de cylindre
Roches et métaux en grandes déformations
12
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.1 - L’essai d’écrouissage
L’essai d’écrouissage en compression simple requière des précautions
particulières
 s’assurer du meilleur glissement possible sur les appuis de l’éprouvette

Champs de contrainte et de déformation développés dans l’échantillon ne
seront pas représentatif d’un essai de compression simple
 Effet tonneau
t = t initial
Compression
simple
Effet
tonneau
t = t final
t = t final
13
Identification et classement rhéologiques des solides
Essai de compression avec effet tonneau
Essai de compression simple
Modélisation de l’essai de compression – mise en évidence de l’effet tonneau
14
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.1 - L’essai d’écrouissage
Allure typique d’un courbe obtenue par un essai d’écrouissage :
 1ère partie linéaire  comportement élastique linéaire
 2nde partie non-linéaire  comportement plastique

Re : limite d’élasticité « vraie »
R0,2 : limite d’élasticité conventionnelle, qui
correspond à une déformation inélastique de 0,2%
Rm
R0,2
Re
Rm : résistance à la traction
Ah : allongement correspondant à la contrainte
maximale

0,2%
Ah
Ar : allongement à la rupture
Ar
15
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.1 - L’essai d’écrouissage
Bien qu’étant un essai simple, l’interprétation des
résultats peut devenir délicate

Rm
R0,2
Re
Diminution de pente observée au-delà de Rm peut
traduire des phénomènes physiques très différents
La pente négative est souvent liée au fait que le
champ de déformation n’est plus uniforme

0,2%
Ah
Ar
Exemple : en traction sur un métal
Phénomènes d’origine métallurgique (bandes de Lüders) ou géométrique
Lorsque les déformations sont trop importantes  striction
Exemple : en compression sur une roche
Phénomènes d’endommagement  désordres dans le matériau
16
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.1 - L’essai d’écrouissage
Courbe contrainte-déformation typique jusqu’à la rupture
17
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.1 - L’essai d’écrouissage
Lorsque le matériau testé est sensible à la vitesse de chargement, l’allure de la
courbe de résultat est :

Schéma du comportement d’un matériau
viscoplastique en traction simple à
différentes vitesses de déformation
 = 
 3
 2
1 = 0

Les courbes expérimentales sont comprises entre deux courbes théoriques limites :
 Courbe à une vitesse de déformation infinie (c-à-d très grande)
 Courbe à une vitesse de déformation nulle (c-à-d très petite)
18
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.2 - L’essai de fluage
Lorsqu’une éprouvette est soumise à une traction simple (essai monodimensionnel
sous une contrainte  et une déformation ) si, à partir d’un certain état, la
contrainte est maintenue constante :
 la déformation restera constante (absence de déformations différées dans le
temps) s’il n’y a aucune viscosité
Cas d’un matériau réel :
 Observation quasi-systématique de déformations différées (phénomène
de viscosité)
 Tous les matériaux réels présentent un phénomène de viscosité, pourvu
qu’une période de temps suffisamment grande soit considérée
19
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.2 - L’essai de fluage
Courbes type en contrainte et déformation en fonction du temps d’un essai de
fluage


t
t
20
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.3 - L’essai de relaxation
Une autre manière de caractériser la viscosité d’un matériau est de le soumettre à
un essai de relaxation
Cette fois, la déformation de l’éprouvette est maintenue constante après une prédéformation initiale
Plus le comportement du matériau présente une composante visqueuse importante,
et plus la contrainte chute rapidement, pour atteindre éventuellement une valeur
nulle
 Cet essai est essentiellement réalisé sur les métaux et les polymères
21
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.3 - L’essai de relaxation
Courbes type en déformation et en contrainte en fonction du temps d’un essai de
relaxation


t
t
22
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.4 - L’essai de triaxialité
L’essai de triaxialité s’adresse principalement aux matériaux ne pouvant être
sollicités en traction en raison de leur très faible résistance ou forte sensibilité aux
défauts d’alignement
 cas des bétons et des céramiques
sollicités en compression simple ou en
flexion 3 ou 4 points
sollicités par un essai de triaxialité
L’essai de triaxialité consiste à maintenir les bords latéraux des échantillons
 L’échantillon est soumis latéralement à une pression hydrostatique qui
assure son maintien, ce qui permet par exemple de tester des matériaux
pulvérulents (argiles, sables)
23
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.5 - L’essai de flexion
L’essai de flexion fait partie des essais classiquement utilisés pour caractériser les
matériaux
 Il peut être à 3 ou 4 points d’appuis
L/2
F
Essai de flexion
3 points
h
F/2
F/2
Essai de flexion
4 points
F/2
L
l
b
F/2
h
F/2
L
3  FL 
 max =  2 
2  bh 
F/2
 max =
3  F(L  l) 


2  bh 2 
b
24
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.6 - L’essai de torsion
Cet essai est principalement utilisé à haute température pour déterminer l’aptitude
à la mise en forme des métaux
L’intérêt de l’essai est d’éviter tout phénomène de striction
Les interprétation des résultats obtenus sont difficile à interpréter  état de
contrainte et déformation non uniforme
 La solution est d’opter pour des tubes minces instrumentés localement par
des jauges ou des extensomètres
25
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.7 - Les essais cycliques
L’éprouvette est sollicitée en contrainte ou déformation périodiquement
Nature des matériaux  différentes évolutions
Exemple :
Essai de traction compression cyclique sur
un acier mi-dur (LMT, ENS Cachan)
Essai de compression cyclique sur un béton
réfractaire (Travaux de thèse H. Marzagui
(2005) Ecole des Mines d’Albi-Carmaux)
26
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.7 - Les essais cycliques
Essai de traction compression cyclique sur un acier mi-dur (LMT, ENS Cachan)
Au bout d’un certain nombre de cycle, le comportement atteint un seuil
 On dit alors que le matériau est stabilisé
27
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.8 - Les essais de dureté
La notion de dureté est très ancienne
Point de départ un constat : certains corps ont la possibilité d’en rayer d’autres
 un corps est plus dur qu’un autre s’il peut le rayer
Mohs (1812) propose la 1ère échelle de dureté par rayure des minéraux
 échelle toujours utilisée par les minéralogistes
Il est logique d’adopter la même notion au niveau des matériaux en étudiant leur
résistance à la pénétration d’un corps dur
 se déplaçant parallèlement à la surface (scléromètres à rayure)
 ou perpendiculairement à celle-ci (dispositifs d’indentation)
28
Identification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.8 - Les essais de dureté
Dispositifs d’indentation
 différents indenteurs
 indenteurs de Brinell (1901)
 indenteurs de Vickers (1922)
 indenteurs de Knoop (1939)
Valeurs de dureté différentes
d’un process à l’autre
 indenteurs de Rockwell …
L'essai consiste à faire pénétrer progressivement l’indenteur de forme et de
résistance appropriées (sphère, pyramide, cône...) en appliquant une force F sur
la surface de l’échantillon et en la maintenant pendant un temps précis
Si le matériau est plastiquement déformable, une empreinte de surface latérale S
et de profondeur e subsiste après retrait de la charge
La dureté s’exprime alors par :
H=
F
S
H : nombre sans dimension
(selon les normes)
29
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Brinell - procédure
L’essai de dureté Brinell fait appel à une bille en acier ou en carbure de tungstène,
maintenue pendant un temps bien défini et avec une force bien déterminée
Si F est la charge d’essai (exprimée en newtons), D le diamètre (en millimètres) de
la sphère (de la bille) et d le diamètre (en millimètres) de l’empreinte, la dureté
Brinell est donnée par la relation :
2.0,102.F
H BRINELL =

 .D. D  D 2  d 2

30
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Brinell - notation
Deux symboles sont utilisés pour indiquer une dureté Brinell :
 HBS pour l’essai effectué avec une bille en acier
 HBW pour l’essai effectué avec une bille en carbure de tungstène
Des chiffres sont placés devant et derrière ces symboles :
 Le chiffre placé devant le symbole  valeur de la dureté
 Les trois chiffres placés derrière le symbole  les conditions de l’essai
 Le premier  le diamètre de la bille (en mm)
 Le second  la valeur de la charge (en N) multipliée par le facteur de
proportionnalité 0,102 (autrement dit la charge exprimée en kgf)
 Le troisième chiffre  la durée de maintien de la charge (en s)
31
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Brinell - notation
Exemple
350 HBS 5/750/20
Valeur de la dureté
Diamètre de la bille/Charge /Temps
Type de dureté
Dureté Brinell de 350 mesurée avec une bille en acier de 5 mm de diamètre,
sous une charge de 7355 N (750 kgf) maintenue pendant 20 secondes
600 HBW 1/30/20
Dureté Brinell de 600 mesurée avec une bille en carbure de tungstène de 1 mm
de diamètre, sous une charge de 294,2 N (30 kgf) maintenue pendant 20 secondes
32
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Brinell - notation
Les billes habituellement utilisées pour les essais Brinell ont des diamètres de :
1 - 2 - 2,5 - 5 ou 10 mm
Si aucun chiffre ne figure derrière le symbole HBS ou HBW, cela signifie que
l’essai a été réalisé dans des conditions “normales”
 Bille de 10 mm de diamètre
 Charge de 29 430 N
 Appliquée pendant 10 à 15 s
Remarque :
• Aucune comparaison universelle valable entre les valeurs de dureté Brinell et les
valeurs de dureté déterminées selon d’autres méthodes de dureté ou à partir des
valeurs de résistance à la traction
• Relations statistiques pour des cas particuliers existent
 Principes fondamentaux sûrs ont été obtenus pour de telles conversions par
des essais comparatifs
33
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Vickers - procédure
Le principe de l’essai de dureté Vickers est le même que celui de l’essai Brinell,
mais le pénétrateur est ici une pyramide en diamant à base carrée d’angle au
sommet 136°, appliquée avec une force F de 49 à 980 N
On mesure la longueur d moyenne des deux diagonales de l’empreinte, à l’aide
d’un système optique approprié. La dureté Vickers HV est donnée par la relation
suivante :
H VICKERS = 1,854.
0,102.F
d2
avec F exprimée en N et d en mm
34
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Vickers - procédure
35
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Vickers - notation
La formulation d’une dureté Vickers est assez proche de celle de la dureté Brinell
 A gauche du symbole HV se trouve un chiffre donnant la valeur de la
dureté
 A droite du symbole HV peuvent figurer jusqu’à deux chiffres :
 Le premier  la valeur de la charge d’essai (en newtons) multipliée
par 0,102 (c’est-à-dire la charge en kgf)
 Le second  la durée (en secondes) d’application de la charge
Exemple
Valeur de la dureté
640 HV 50/20
Type de dureté
Valeur de charge / Temps
dureté Vickers de 640 a été obtenue en appliquant une charge de 490,3 N (50 kgf)
pendant 20 secondes
36
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Vickers - notation
La dureté Vickers peut être étendue aux faibles charges
Pour une charge de 1,961 à 49,03 N (HV 0,2 à HV 5)
 Essai de dureté Vickers sous charge réduite
Pour des charges inférieures à 1,961 N (HV 0,2 et en dessous)
 Essai de microdureté Vickers
Remarque :
• Lorsqu’on a affaire à des surfaces cylindriques convexes ou concaves, la valeur
de dureté donnée par la formule de l’expression de la dureté HV doit être corrigée
(NF A 03-154)
• Après essai : aucune déformation visible sur la face opposée à celle du pénétrateur
 épaisseur de la pièce ou de la couche superficielle à indenter ne doit pas
être inférieure à 1,5 fois la diagonale de l’empreinte
37
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Rockwell - procédure
Simples d’utilisation, les duretés Rockwell font appel à deux types de pénétrateurs :
 Le premier est un cône en diamant d’angle au sommet 120 °, à pointe
arrondie sphérique (rayon de 0,2 mm)
 Le second est une bille en acier trempé, polie, de diamètre 1,587 mm (1/16
de pouce) ou 3,175 mm
L’essai se ramène à une mesure de longueur de l’enfoncement rémanent e du
pénétrateur après application d'une surcharge
La procédure d’essai comporte trois étapes :
 Pénétrateur est mis en contact avec la surface du matériau à mesurer.
1
 Précharge F0 = 98 N est appliquée et l’indicateur d’enfoncement est mis à 0
2  Application d’une surcharge F1 permettant d’atteindre la charge d’essai
3
 Retrait de la surcharge mais conservation de la précharge et lecture de la
valeur de l’enfoncement
38
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Rockwell - procédure
1
2
3
39
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Rockwell - procédure
La combinaison de divers pénétrateurs et de diverses charges conduit à utiliser
plusieurs échelles Rockwell, symbolisées par HR suivi d’une lettre
Les deux échelles les plus utilisées sont :
 Echelle Rockwell C (HRC) : pénétrateur est un cône de diamant auquel est
appliqué une charge de 1470 N
 Échelle destinée aux métaux durs ayant une résistance > 1000 N.mm-2
 Echelle Rockwell B (HRB) : pénétrateur est ici une bille d’acier de 1,59 mm
de diamètre soumise à une charge de 980 N
 Échelle destinée aux aciers dont la résistance est comprise entre 340 et
1000 N.mm-2
Il existe aussi les échelles HRE (bille de 3,175 mm de diamètre, charge de 980 N)
et HRF (bille de 1,587 mm de diamètre, charge de 588 N)
40
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Rockwell - procédure
Si e est l’enfoncement en millimètres du pénétrateur, la dureté Rockwell est
donnée par les relations :
HR = 100 - 5.102.e
HR = 130 - 5.102.e
(Rockwell C)
(Rockwell B, E et F)
Une unité Rockwell correspond à un enfoncement de 0,002 mm
 Dureté Rockwell - notation
La dureté Rockwell est désignée par le symbole HR précédé de la valeur de dureté
et suivi de l’échelle utilisée
Exemple
Valeur de la dureté
85 HRC
Type de dureté
Dureté de 85 exprimée dans l’échelle C de Rockwell
41
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 Dureté Rockwell
Pour réaliser un essai Rockwell, il est préférable de travailler sur des surfaces
présentant un fini satisfaisant  exemptes de rayures
L’épaisseur de la pièce ou de la couche superficielle à essayer ne doit pas être
inférieure à 8e
En aucun cas, une déformation ne doit être visible sur la face opposée à celle de la
mesure
Remarque :
• Dureté Rockwell peut être étendue aux faibles charges pour, par exemple, réaliser
des essais sur des produits minces.
Il existe notamment les échelles HRN et HRTB elles-mêmes divisées en trois souséchelles précisant la charge appliquée
• Lorsqu’on a affaire à des surfaces cylindriques, les valeurs mesurées doivent être
corrigées (les normes donnent les tables de correction)
42
Identification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
 L’essai Brinell sous sa forme habituelle (pour les aciers : bille de 10 mm de
diamètre -charge de 29 400 N, ou bille de 5 mm - charge de 7 350 N) convient
spécialement pour les mesures d’atelier
L’empreinte ayant des dimensions importantes (de 2,5 à 6 mm de diamètre environ
avec la bille de 10 mm, de 1,4 à 3 mm avec la bille de 5 mm), les lectures sont
relativement faciles. L’état de la surface n’a pas besoin d’être particulièrement
soigné
 L’essai Rockwell, simple et rapide, convient pour les pièces plus petites et pour
les hautes duretés (supérieures à 400 Brinell). La dispersion des résultats est
nettement plus forte que pour l’essai Brinell, et il est généralement nécessaire de
prendre la moyenne de deux ou trois mesures. La pièce doit être bien assise sur son
support, ce qui pose parfois des problèmes d’adaptation, et l’état de surface doit
être correct
 L’essai Vickers convient aussi bien pour les matériaux très durs que pour les
matériaux tendres, car, en raison de la constance de l’angle de pénétration, la
mesure est indépendante de la charge (entre 49 et 980 N). Mais le fini superficiel
doit être soigné ; la lecture au microscope est lente ; la pièce ne peut avoir que de
faibles dimensions. Ce mode d’essai est plutôt du domaine du laboratoire
43
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.1 - Modèles analogiques
Les modèles analogiques consistent à assembler des éléments mécaniques comme
un ressort, un patin, un amortisseur ou une buté afin de décrire le comportement du
matériau
 Mécanismes physiques mis en jeux ne sont pas pris en compte par cette approche
Parmi les éléments les plus utilisés on retrouve :
 Le ressort qui schématise l’élasticité linéaire





 = E
 L’amortisseur qui schématise la viscosité linéaire






 = 
44
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.1 - Modèles analogiques
 L’amortisseur qui schématise la viscosité non linéaire







 =  ()1 / N
 Le patin qui schématise un seuil de contrainte
s




 s    s
 La butée qui schématise un seuil de déformation
s



 s    s

45
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.1 - Modèles analogiques
Chacun des éléments analogiques décrits précédemment peut être associé avec un
autre élément :
 Association série :
 =  i
et
 = i
et
 = i
i
 Association série :
 =  i
i
 Association mixte : série / parallèle
46
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.2 - Fluides visqueux
Un fluide visqueux définit tout corps ayant une déformation permanente une fois la
sollicitation achevée
Dans le cadre des solides, le comportement est dit viscoplastique
On observe un écoulement dès qu’une contrainte est appliquée au corps


Courbe type contrainte-déformation d’un comportement fluide visqueux
 modèle analogique simple : modèle de Maxwell
47
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.2 - Fluides visqueux
Modèle de Maxwell : association en série d'un ressort et d’un amortisseur







Modèle viscoélastique de Maxwell

tan-1(
t
Evolution de  en fonction de temps
La force dans chaque élément est la même mais les déformations individuelles sont
cumulées (totale = ressort + amortisseur)
La relation de la contrainte est :
 Et 
 = E 0 exp   
  
Ce comportement s’applique aux « solides mous » comme les polymères
thermoplastiques, le béton frais ou de nombreux métaux à haute température
48
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.3 - Solides élastiques
La notion d’élasticité traduit un comportement réversible du solide
2.3.3.1 - Solides élastiques parfaits
Comportement réversible instantané
Elastique parfait linéaire
Elastique parfait non-linéaire




Cas comportement élastique linéaire : modèle analogique utilisé est le ressort seul
 s’applique aux métaux, bétons, céramiques et roches pour des sollicitations
inférieures à la limite d’élasticité
49
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.3.2 - Solides viscoélastiques
Dans ce cas la réversibilité n’est plus immédiate mais « retardée » et n’intervient
qu’après un temps infini


Courbe type contrainte-déformation d’un
comportement viscoélastique
Plusieurs modèles analogiques permettent de décrire le comportement
viscoélastique:
le plus simple étant les modèles de Kelvin-Voigt
50
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.3.2 - Solides viscoélastiques
 Modèles de Kelvin-Voigt
Le modèle de Kelvin-Voigt associe en parallèle un ressort et un amortisseur








Modèle viscoélastique de
Kelvin-Voigt
t
t1
t2
t3
Evolution de  en fonction de temps
L’association en parallèle du ressort et de l’amortisseur impose que les deux
éléments aient à tout instant la même position (ou déformation)
La contrainte totale de cet assemblage est la somme des contraintes de chaque
élément (totale = ressort + amortisseur)
51
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.3.2 - Solides viscoélastiques
 Modèles de Kelvin-Voigt
La contrainte totale de cet assemblage est la somme des contraintes de chaque
élément (totale = ressort + amortisseur) :
 ressort = E
 amortisseur =  = 
et
 tatale = E  
d
dt
d
dt
Après intégration en fonction du temps de cette relation, on obtient :
=
 tatale 
 Et 
  
1

exp

E 
  
52
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.3.2 - Solides viscoélastiques
 Modèles de Zener
Un autre modèle est également utilisé pour décrire le comportement viscoélastique
qui rajoute un ressort en association série au modèle de Kelvin-Voigt








b
c

Modèle viscoélastique de Zener
d

a
e t
t1
t2
t3
Evolution de  en fonction de temps
53
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3.3.2 - Solides viscoélastiques
 Modèles de Zener
 Une déformation élastique









b
 Sous une sollicitation instantanée :
c
instantanée (déformation du ressort
E1) se produit (jusqu’à « a »)
 Suivi d’une déformation
viscoélastique (cf Modèle KelvinVoigt) décrite entre « a » et « b »
 En relâchant spontanément la contrainte :
 La déformation élastique est
récupérée immédiatement (segment
 a
« c-d »)
 Suivi par la déformation
viscoélastique (entre « d » et « e »)
e t
jusqu’au retour à la forme initiale
t3
t1
t2
 aucune déformation permanente
Comportement caractéristique des polymères et des élastomères. Pour des petites
sollicitations, il est également caractéristique du comportement du bois
d
54
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.4 - Solides plastiques
La notion de solide plastique définit les solides qui conservent une déformation
permanente après cessation d’une sollicitation
2.3.4.1 - Solide rigide parfaitement plastique
Il décrit les solides dont le comportement en contrainte / déformation suit la courbe

 La déformation est nulle ou suffisamment
négligeable en dessous d’une valeur seuil (s)
s
 A partir de ce seuil, la déformation est

« arbitraire » et indépendante de la vitesse de la
déformation
Le modèle analogique qui traduit se
comportement est le patin
 < s

=0;
 = s

 = p.
Le modèle s’applique essentiellement dans les domaines de la mécanique des
roches et l’analyse de la mise en forme des métaux
55
< s
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.4.2 - Solide élastique parfaitement plastique
Il s’agit d’un comportement élastique linéaire (e = /E) suivi d’une déformation
plastique (p) « arbitraire » et indépendante du temps une fois atteint une valeur
seuil (s)

 < s

 = e ;
s

 = e ;
 = s

 = e + p.

L’association d’un ressort et d’un patin en série
modélise le comportement élastique parfaitement
plastique

 Modèle de
Saint-Venant



s

s



p
e
Ce modèle s’applique aux aciers à faible teneur en carbone qui présentent un palier
56
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.4.3 - Solide rigide plastique
Ce modèle rigide-plastique associe un ressort et un patin en parallèle :
 Modèle de Prager




s

s

E

La déformation est nulle tant que la contrainte appliquée est inférieure à la valeur
seuil s (caractéristique du patin)
Au-delà, un écoulement plastique linéaire intervient
 Modèle à écrouissage linéaire dit cinématique
car dépendant de la valeur instantanée de la déformation plastique
57
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.4.4 - Solide élastoplastique parfait
En ajoutant un ressort en série au modèle rigide-plastique précédent, ce dernier
devient élastoplastique parfait





s

s
E=
E1 E2
E1  E2
E

E1

Il représente le comportement idéalisé des matériaux métalliques dans
l'approximation élastoplastique parfaite utilisée en calcul analytique
58
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.4.5 - Solide élastoplastique écrouissable
Ce comportement est composé :
 Une première partie élastique linéaire (e = /E) réversible
 Suivie d’une déformation plastique (p) permanente si la sollicitation a atteint le
seuil minimal (s)

s

La déformation plastique est fonction de la contrainte
Modèle analogique : assemblage en parallèle de modèles de Saint-Venant
 permet une bonne description du comportement élastoplastique écrouissable
caractéristique, en particulier, des métaux
59
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3.4.5 - Solide élastoplastique écrouissable
Modèle analogique : assemblage en parallèle de modèles de Saint-Venant


s1

s2

s3





sk
4
3
2
1

 Le comportement est élastique linéaire (combinaison des contributions
individuelles Ei des différents ressorts) jusqu'à la valeur seuil s imposée par le
patin le moins résistant
 Au-delà de cette limite, et à chaque instant, l'écoulement plastique est gouverné
par la hiérarchie des résistances si des patins encore en service
En  le nombre de motifs élémentaires du modèle de Saint-Venant,  décrire
assez finement (segments linéaires) le comportement de nombre de matériaux réels
60
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.5 - Solides viscoplastiques
Les solides dits viscoplastiques regroupent les corps qui présentent des
déformations permanentes après cessation des sollicitations et qui sous l’action
d’une sollicitation tendent à s’écouler en fonction du temps (fluage)
2.3.5.1 - Solide parfaitement viscoplastique
On retrouve le comportement décrit dans le cas des fluides visqueux : la vitesse de
déformation permanente est une fonction de la contrainte

Le modèle analogique équivalent est le modèle de
Norton c’est l’amortisseur
 =  ()1/ N
t
Décrit de manière « très grossière » le
comportement des métaux à haute température
61
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.5.2 - Solides élastique parfaitement viscoplastique
Sous une sollicitation donnée :
 Le solide va se déformer de manière élastique (réversible instantanément) si
la contrainte est inférieure à une valeur seuil
 Puis au-delà de ce seuil, la déformation engendrée par la sollicitation sera
composée d’une déformation élastique et plastique
La déformation plastique dépend uniquement de la contrainte
Il n’y a pas de phénomène d’écrouissage

 < s
 = s


 = e
 = e + p
=
 =

E

 f ( )
E
La déformation plastique dépend
uniquement de la contrainte
Il n’y a pas de phénomène d’écrouissage

=0
t
s

62
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.5.2 - Solides élastique parfaitement viscoplastique
Sous une sollicitation donnée :
 Le solide va se déformer de manière élastique (réversible instantanément) si
la contrainte est inférieure à une valeur seuil
 Puis au-delà de ce seuil, la déformation engendrée par la sollicitation sera
composée d’une déformation élastique et plastique
 < s
 = s


=
 = e
 = e + p

 =

E
Modèle de Bingham-Norton

 f ( )
E
s







s
  s


 = E
=0

t
  s

 = e  p
63
Identification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.5.2 - Solides élastoviscoplastique écrouissable
C’est l’un des modèles le plus complexe puisque la contrainte est fonction :
 de la vitesse de déformation plastique
 et cette dernière est elle-même fonction de la variable d’écrouissage

t
Ce modèle décrit les métaux à moyenne et haute température ainsi que le bois dans
le cas de sollicitations élevées
64
L’essai de traction
3.1 - Éprouvette de traction
3.2 - Dispositif expérimental
3.3 - Courbe contraintes - déformations
65
L’essai de traction en détail
3.1 - Eprouvettes de traction
Géométrie des éprouvettes d’un essai de traction :
 Eprouvettes cylindriques
 Eprouvettes sous la forme de plaques de section rectangulaire
Les dimensions des éprouvettes de
traction sont réglementées par les
nomes :
 NF EN 10002-1 dans le cadre
d’essais de traction à
température ambiante
 NF EN 10002-2 pour les
essais de traction à chaud
66
L’essai de traction en détail
3.2 - Dispositif expérimental
Un dispositif de traction est composé :
 Un bâti rigide
 Une traverse mobile
Le déplacement de la traverse est assuré :
 par vis sans fin
 par des vérins hydrauliques
L’échantillon de matériaux à caractériser est fixé entre deux mors
67
L’essai de traction en détail
3.2 - Dispositif expérimental
Une cellule de force directement liée à
l’échantillon permet de mesurer la
force appliquée lors de l’essai
Bâti rigide
Cellule de force
Traverse mobile
Mors
Eprouvette
68
L’essai de traction en détail
3.2 - Dispositif expérimental
L’allongement de l’éprouvette est mesuré par :
 des jauges de déformation
 un extensomètre
69
L’essai de traction en détail
3.2 - Dispositif expérimental
La courbe brute d’un essai de traction se présente sous la forme de F = f(l)
 Suivant la nature du matériau l’allure générale de cette courbe varie
3.2.1 - Matériaux au comportement fragile
 Il s’agit de matériaux ne présentant aucune déformation plastique quelques soit
la valeur de la sollicitation où la rupture intervient brutalement
 La courbe F = f(l) est une droite caractéristique de l’élasticité linéaire
 Les matériaux concernés sont :
 les verres
 les céramiques
 les bétons
 la fonte grise
 certains aciers bruts de trempe
 la majorité des polymères thermodurcissables
F
l
70
L’essai de traction en détail
3.2.2 - Matériaux au comportement ductile
 Les matériaux ductile décrivent :
 un comportement élastique linéaire (déformation réversible) jusqu’à une
certaine valeur de force
 puis un comportement plastique (déformation irréversible) pour des efforts
plus important
 La courbe F = f(l) est :
 Comportement typique :
 des métaux
 des alliages
 certains polymères thermoplastiques
F
l
71
L’essai de traction en détail
3.2.3 - Matériaux au comportement élastique non linéaire
 Le comportement élastique non linéaire traduit une déformation réversible non
proportionnelle à la charge
 La courbe F = f(l) est :
 Il décrit le comportement :
 des élastomères
 certains polymères thermoplastiques
F
l
72
L’essai de traction en détail
3.3 - Courbe contraintes - déformations
 L’inconvénient de ces courbes brutes est qu’elles sont dépendantes de la
géométrie des éprouvettes de mesure
 conversion en courbe  = f() à partir des relations :
 =
F
S0
et
=
l
l0
où S0 est la section initiale perpendiculaire à la direction de sollicitation de
l’éprouvette de traction
et l0 est la longueur initiale entre repères de l’échantillon
 Les contraintes s’expriment en Pascals (1 Pa = 1 N.m-2) ou mégapascal (1 MPa
= 1 N.mm-2)
 Les déformations sont sans dimensions et peuvent être exprimées en
pourcentage de déformation
73
L’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f() d’un matériau ductile
 La courbe  = f() d’un matériau ductile peut se décomposé en 3 parties
traduisant 3 phénomènes différents :
 un domaine de déformation élastique
 un domaine de déformation plastique homogène
 un domaine de déformation plastique inhomogène (ou striction)
 La déformation élastique linéaire obéit à la loi de Hooke :  = E 
 La pente de la droite donne le module d’Young du matériau
 Dans cette partie l’échantillon s’allonge de manière homogène entre les
deux repères
 La pente de la courbe de la déformation plastique est donnée par le taux de
consolidation (d / d)
 Elle diminue pendant que la contrainte augmente jusqu’à atteindre une
valeur nulle (traduit la valeur maximale de la contrainte)
 Cet extrémum traduit le changement de comportement plastique
74
L’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f() d’un matériau ductile
 Changement de comportement plastique au passage de l’extrémum :
 en dessous de cette valeur l’échantillon s’allonge de manière homogène
 au dessus la déformation n’est plus homogène mais se localise dans la zone
de striction
 L’allongement se poursuit alors que la contrainte chute jusqu’à
la rupture du matériau dans la zone de striction
75
L’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f() d’un matériau ductile
76
L’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f() d’un matériau ductile
 Plusieurs informations caractéristiques des propriétés du matériau sont décrites
par les résultats de l’essai de traction :
 La limite d’élasticité
Dans la notion de limite d’élasticité deux grandeurs apparaissent :
- la limite d’élasticité vraie (Re)
- la limite d’élasticité conventionnelle à 0,2% (Re0,2)
Re correspond à la contrainte à partir de laquelle le comportement du matériau
s’écarte de la loi de Hooke
 moment où apparaît la première déformation plastique
Re délicat à déterminer dans la pratique car la transition du domaine élastique
au domaine plastique s’effectue progressivement
Pour s’affranchir de cette difficulté, une limite Re0,2 est souvent utilisée
Re0,2 correspond à la contrainte à laquelle une déformation plastique
permanente de valeur égale à 0,2% existe
77
L’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f() d’un matériau ductile
 La limite d’élasticité
- la limite d’élasticité vraie (Re)
- la limite d’élasticité conventionnelle à 0,2% (Re0,2)
MPa
Re0,2
80
Re
60
40
20

E
E
0,2% 0,4%
0,6%
78
L’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f() d’un matériau ductile
 La limite d’élasticité
Dans certains cas, en particulier pour les aciers doux, la courbe contrainte déformation présente un palier d’écoulement à la transition élastique /
plastique
MPa
80
 La limite d’élasticité vraie et la
limite d’élasticité conventionnelle à
0,2% sont alors égales et représente
la valeur inférieure de la
discontinuité
Re
60
40
Re
20

E
0,2%
0,4%
0,6%
79
L’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f() d’un matériau ductile
 La résistance à la traction
La résistance à la traction Rm est la contrainte maximale atteinte lors de l’essai
de traction
 (MPa)
Pour les matériaux ductile elle se
situe dans le domaine plastique
lorsque le taux de consolidation est
nul (d / d = 0 )
Rm
200
150
100

50
1,0%
2,0%
3,0%
80
L’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f() d’un matériau ductile
 L’allongement à la rupture
L’allongement à la rupture correspond à la valeur de la déformation au
moment de la rupture
 (MPa)
250
200
150
100

50
1,0%
2,0%
A
3,0%
81
L’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f() d’un matériau ductile
 La striction à la rupture
La striction traduit la variation de section à l’endroit où la rupture s’est produite
Elle se calcul à partir de la relation :
Z=
S0  S f
S0
avec S0 la section initiale de l’échantillon
Sf la section finale de la surface de rupture
82
L’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe  = f() d’un matériau ductile
 L’énergie de déformation
L’énergie de déformation par unité de volume correspond à l’aire sous la
courbe  = f()
Elle se calcul à partir de la relation :
W =
W =   d
F  l 
1
1
d   =
Fd
(

l
)
=
Fd (l )


S 0  l0  S 0 l0
V0
L’énergie ainsi mesurée prend en compte :
- l’énergie élastique (We)
- l’énergie plastique (Wp)
L’énergie élastique est calculée à partir de la loi de Hooke :
We =   d e =  E e d e
E ( e ) 2  2
We =
=
2
2E
83
Élasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
4.2 - Origine physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
4.3 - Striction
84
Élasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
Le module d’Young traduit la rigidité du matériau
 la capacité qu’à un matériau à se déformer
réversiblement sous l’action d’une sollicitation
Un matériau est dit d’autant plus rigide que sa déformation est faible pour un
chargement donné
Hiérarchisation de quelques matériaux en fonction de leur rigidité
Métaux
Bois
Matières plastiques
Biomatériaux
1
10
Céramiques
100
1 000
10 000
100 000
E
(MPa)
1 000 000
Le matériau le plus rigide est le diamant avec un module de 1 000 GPa
85
Élasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
 Valeurs de module d’Young pour des métaux purs
Matériaux
E (MPa)
Matériaux
E (MPa)
Matériaux
E (MPa)
Aluminium (Al)
69 000
Indium (In)
110 000
Rhodium (Rh)
275 000
argent (Ag)
83 000
Iridium (Ir)
528 000
Rubidium (Rb)
2 400
Baryum (Ba)
13 000
Lithium (Li)
4 900
Ruthénium (Ru)
447 000
Béryllium (Be)
240 000
Magnésium (Mg)
45 000
Scandium (Sc)
74 000
Bismuth (Bi)
32 000
Manganèse (Mn)
198 000
Sélénium (Se)
10 000
Cadmium (Cd)
50 000
Molybdène (Mo)
329 000
Sodium (Na)
10 000
Césium (Cs)
1 700
Nickel (Ni)
214 000
Tantale (Ta)
186 000
Chrome (Cr)
289 000
Niobium (Nb)
105 000
Titane (Ti)
114 000
Cobalt (Co)
209 000
Or (Au)
78 000
Tungstène (W)
406 000
Cuivre (Cu)
124 000
Palladium (Pd)
121 000
Uranium (U)
208 000
Étain (Sn)
41 500
Platine (Pt)
168 000
Vanadium (V)
128 000
Fer (Fe)
196 000
Plomb (Pb)
18 000
Zinc (Zn)
78 000
Germanium (Ge)
89 600
Plutonium (Pu)
96 000
Zirconium (Zr)
68 000
86
Élasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
 Valeurs de module d’Young pour des Verres, céramiques, oxydes, carbures
métalliques, minéraux
Matériaux
E (MPa)
Béton
27 000
Brique
14 000
Calcaire (CaCO3)
20 à 70 000
Carbure de chrome (Cr3C2)
373 130
Carbure de silicium (SiC)
450 000
Carbure de Titane (TiC)
440 000
Carbure de tungstène (WC)
650 000
Diamant (C)
1 000 000
Graphite
30 000
Granite
60 000
Marbre
26 000
Matériaux
E (MPa)
Mullite (Al6Si2O13)
145 000
Alumine (Al2O3)
390 000
Oxyde de béryllium (BeO)
30 000
Oxyde de magnésium (MgO)
250 000
Oxyde de zirconium (ZrO)
200 000
Saphir
420 000
Silice (oxyde de silicium SiO2)
107 000
Titanate d'aluminium (Ti3Al)
140 000
Titanate de baryum (BaTiO3)
67 000
Verre
69 000
87
Élasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
 Valeurs de module d’Young pour des Bois
Matériaux
E (MPa)
Acajou (Afrique)
12 000
Bambou
20 000
Bois de rose (Brésil)
16 000
Bois de rose (Inde)
12 000
Chêne
12 000
Épicéa
13 000
Érable
10 000
Frêne
10 000
Papier
3 000 - 4 000
Séquoia
9 500
Module d’Young mesuré dans le sens des fibres
88
Élasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
 Valeurs de module d’Young pour des Polymères, fibres
Matériaux
caoutchoucs
E (MPa)
700 à 4 000
Fibre de carbone
190 000
Kevlar
34 500
Nanotubes (Carbone)
Nylon
Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle)
Polyamide
1 100 000
2 000 à 5 000
2 380
3 000 à 5 000
Polycarbonate
2 300
Polyéthylène
200 à 700
Polystyrène
3 000 à 3 400
Résines époxy
3 500
89
Élasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
 Valeurs de module d’Young pour des biomatériaux
Matériaux
E (MPa)
Cartilage
24
Cheveux
10 000
Collagène
6
Fémur
17 200
Humérus
17 200
Piquant d'oursin
15 000 à 65 000
Radius
18 600
Soie d'araignée
60 000
Tibia
18 100
Vertèbre cervicale
230
Vertèbre lombaire
160
90
Élasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
Le module d’Young n’est pas le seul paramètre pour quantifier la rigidité d’un
matériau
En effet, le module de cisaillement G ainsi que le module de compressibilité
volumique K le permettent également
Le module K est la constante de proportionnalité entre le changement relatif de
volume V d’un matériau soumis à une pression hydrostatique P et la valeur de
cette pression
G=
E
2(1  )
K=
E
3(1  2)
avec E le module d’Young et  le coefficient de Poisson
Pour comprendre les phénomènes physiques mise en jeu lors de l’élasticité il faut
se placer au niveau des atomes constituant le matériau
 Des modèles plus ou moins complexes permettent de décrire ces phénomènes
91
Élasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
4.1.1 - Modèle des ressorts
Ce premier modèle, un des plus simples représente le matériau comme un
ensemble d’atomes relié entres eux par des ressorts
 Modèle des ressorts sans contraction latérale
Pour simplifier le modèle on considère que
le matériau ne subit pas de contraction
latérale sous une sollicitation de traction
F
Le matériau peut alors être représenté par :
a0+a
a0
a0
I.S.I.T.V.
a0
F
2009 - 2010
92
Élasticité et plasticité
4.1.1 - Modèle des ressorts
 Modèle des ressorts sans contraction latérale
Sous l’action d’un force de traction, n ressorts sont en tension, la contrainte sur le
matériau est alors égale à :
=
F
S
avec F =  f i = na
i
=
2
et S = (a 0 )
na n a
=
(a 0 ) 2 a 0 a 0
Ce qui s’écrit sous la forme :  = E
Un matériau soumis à une déformation élastique va emmagasiner l’énergie de
déformation.
Par analogie avec le ressort l’énergie emmagasinée est :
W=
I.S.I.T.V.
1
(a ) 2
2
avec  raideur du ressort et
a l’allongement du ressort
2009 - 2010
93
Élasticité et plasticité
4.1.1 - Modèle des ressorts
 Modèle des ressorts sans contraction latérale
En fonction de la raideur des ressorts, la courbe W = f(a) sera plus ou moins
ouverte. Plus la courbe sera ouverte plus la rigidité est faible et inversement
W
1 > 2
1
2
a
a0
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
94
Élasticité et plasticité
4.1.1 - Modèle des ressorts
 Modèle des ressorts avec contraction latérale
Le modèle précèdent supposait que sous l’action d’un effort de traction, le
matériau ne subissait aucune contraction latérale
En réalité les atomes ne sont pas connectés de manière aussi simple
 Il existe 2 réseaux de ressorts :
 un premier qui relit chaque atome à ses plus proches voisins
 connexions horizontales et verticales
 un second qui relie chaque atome à ses voisins secondaires atomes
 connexions diagonales
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
95
Élasticité et plasticité
4.1.1 - Modèle des ressorts
 Modèle des ressorts avec contraction latérale
F
a0
a0
F
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
96
Élasticité et plasticité
4.1.1 - Modèle des ressorts
 Modèle des ressorts avec contraction latérale
F
Lors d’une sollicitation de traction, l’allongement
longitudinal s’accompagne d’une contraction latérale
Cette contraction est caractérisée par le coefficient de
Poisson 
a0
Il se calcul à partir de la relation :
=
 latérale
 longitudinale
a0
F
Le coefficient de Poisson est compris entre 0,2 et 0,5
Les métaux ont des coefficients proches 0,3
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
97
Élasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
4.1.2 - Modèle électrostatique
Le modèle électrostatique s’appuie sur la nature des atomes et utilise le modèle
atomique de Bohr
Le potentiel électrostatique correspond la somme des potentiels de répulsion et
d’attraction
U(d) = U attraction  U répulsion
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
98
Élasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
4.1.2 - Modèle électrostatique
La force qui s’exerce entre les deux atomes peut aisément être calculée à partir
de la relation :
dU (d)
F=
dd
 une courbe qui est caractérisée par :
 une valeur de force nulle lorsque d = a0  atomes en équilibre
 un extremum (Fth, af)
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
99
Élasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
4.1.2 - Modèle électrostatique
La fonction F(d) peut être interpolée entre a0 et af par la fonction :
 2a 
F = Fth sin 

  
Dans le cadre des petites déformations et petits déplacements, la relation peut
être simplifié et s’écrit alors :
2a
F  Fth

2a
2a 2Fth a
La contrainte est alors :  = F
  Fth
 Fth

2
S
a 0 a 0
S
 (a 0 )
Le module d’Young s’écrit alors :
E
2Fth
a 0
Plus le puit de potentiel a un rayon de courbure faible plus le matériau est rigide
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
100
Élasticité et plasticité
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
Certains matériaux comme les métaux ou les alliages continue de se déformer audelà de la limite d’élasticité
Ce comportement est dû à la ductilité des matériaux sollicités
Ces matériaux sont dits élastoplastique
L’intérêt de la plasticité est d’avoir une sécurité avant la rupture
Dans cette zone plastique, la pièce va continuer de s’allonger sans rompre
4.2.1 - Glissement des plans cristallographiques dans un monocristal
Sollicité en traction pure ou en compression pure,
un monocristal va faire se déformer
plastiquement par une succession de cisaillement
faisant intervenir des plans de glissement
préférentiels ou facile
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
101
Élasticité et plasticité
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
4.2.1 - Glissement des plans cristallographiques dans un monocristal
Ces observations expérimentales permettent de
supposer que la déformation plastique de ces matériaux
cristallins ductile est due à un glissement irréversible de
certains plans les uns par rapport aux autres
Les matériaux cristallins sont anisotropes à l’échelle des
cristaux
 les plans de glissements préférentiels qui
apparaissent suivant les matériaux
Des études cristallographiques ont montré que les plans
de glissement actifs, dans les métaux et les alliages sont
des plans de plus forte densité atomique
I.S.I.T.V.
Par ailleurs dans ces plans, la direction de glissement
correspond à la direction cristallographique de plus
grande densité atomique
2009 - 2010
Déformation plastique par
glissement (monocristal de
Zinc) - J.P. Baïlon, Des
matériaux, 3ème édition,
Ecole Polytechnique de
Montréal, 2004, p. 42 102
Élasticité et plasticité
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
4.2.1 - Glissement des plans cristallographiques dans un monocristal
plans et direction de glissement cristallographique pour quelques métaux
Structure cristalline
métaux
Plans de
glissement
Directions de
glissement
c.f.c
Al, Ag, Cu, Ni, Au
{1 1 1}
<1 1 0>
c.c.
Fe Mo, Nb
{0 1 1}, {1 1 2}
<1 1 1>
h.c.
Ti, Zn, Mg, Cd, Be
{0 0 0 1}, {1 0 1 0}
<1 1 2 0>
La déformation plastique a pour unique origine ces phénomènes de glissement
 Ils prennent naissance sous l’effet des contraintes de cisaillement qui
apparaissent lorsqu’un cristal est sollicité en traction et/ou compression
La déformation est marquée par des glissements relatifs d’atomes au sein de la
structure
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
103
Élasticité et plasticité
4.2.1 - Glissement des plans cristallographiques dans un monocristal
Déformation plastique par glissement des plans atomiques
Glissement
État initial
État déformé plastiquement
Les atomes qui ont glissé se retrouve dans une nouvelle position d’équilibre :
 plus de raison de revenir à leur ancienne position ( irréversible)
Le matériau se trouve alors dans un état en équilibre avec une déformation
permanente mais en conservant sa cohésion
104
Élasticité et plasticité
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
4.2.2 - Notion de cission de glissement
La déformation plastique étant lié à du cisaillement, il faut considérer non plus la
contrainte nominale de l’essai de traction mais uniquement la composante
tangentielle de cette dernière
La contrainte de traction appliquée
au solide est :
F
 no min ale =
S0

Normale au plan
de cisaillement
F


S0 section de l’éprouvette

Direction de
glissement
Plan de
cisaillement
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
La contrainte normale au plan de
cisaillement est :
S
F
=
S= 0
S
cos 
S section de matière dans le plan
de cisaillement
105
Élasticité et plasticité
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
4.2.2 - Notion de cission de glissement
La contrainte de cisaillement (ou
contrainte de cission) s’écrit alors :

Normale au plan
de cisaillement
F


Direction de
glissement
=

=
F
cos
S
F
cos cos 
S0
 =  no min ale cos cos
Plan de
cisaillement
Équation connue sous le nom de
loi de Schmid et le terme
"coscos" est appelé facteur de
Schmid
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
106
Élasticité et plasticité
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
4.2.2 - Notion de cission critique théorique
Supposons une cission  direction x tel que la moitié supérieure du cristal glisse
sur sa moitié inférieure
On considérera que la distance inter-atomique dans la direction x est égale à b
Sous l’effet de cette cission, tout atome est déplacé de la position d’équilibre qu’il
occupait dans le réseau (position où le niveau d’énergie était minimal) à une
position de plus forte énergie
Dans une première approximation supposons que la variation de niveau d’énergie
évolue suivant une fonction sous la forme d’une sinusoïdale
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
107
Élasticité et plasticité
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
4.2.2 - Notion de cission critique théorique
J.P. Baïlon, Des
matériaux, 3ème
édition, Ecole
Polytechnique de
Montréal, 2004
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
108
Élasticité et plasticité
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
4.2.2 - Notion de cission critique théorique
Par définition, le glissement s’écrit :
=
x
a
En supposant que le comportement du matériau est élastique jusqu’à la valeur
th au moment où un glissement irréversible se produit (c-à-d quand x = b/4),
on peut écrire :
x
G b
 = G = G
 th =
a
2 a
Cette relation apporte une justification quand au glissement des plans contenant
la plus forte densité atomique et les directions des glissements
En effet, les premiers sont caractérisés par des distances inter-réticulaires les plus
grandes et les secondes sont caractérisées par les distances inter-atomiques les
plus petites
rapport b/a minimal
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
109
Élasticité et plasticité
4.2.2 - Notion de cission critique théorique
En supposant que le matériau à une structure cubique simple, la cission théorique
s’écrit alors :
G G
 th =

2 6
Lorsque l’on compare les résultats obtenus par mesures expérimentales de la
cission et les calculs analytiques utilisant les formules précédentes on obtient les
résultats suivants :
I.S.I.T.V.
Métal
Module de cisaillement
selon la direction de
glissement (MPa)
G b
 th =
(MPa)
2 a
Cission
expérimentale
(MPa)
Al
24 400
4 800
0,79
Ag
25 000
5 000
0,37
Cu
40 700
8 000
0,49
Fe
59 000
11 500
26,6
Mg
16 500
3 200
0,39
2009 - 2010
110
Élasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
Une explication pour justifier les écarts observés au Tableau précédent repose sur
l’existence de défauts dans les matériaux
L’architecture atomique proposée par la théorie (répétitivité parfaite de la maille
élémentaire) se rencontre rarement sur les matériaux réels
Les défauts peuvent être classé suivant leur dimension de l’espace affecté par leur
présence
 Défauts ponctuels (dimension 0)
 Défauts linéaires (dimension 1)
 Défauts surfaciques (dimension 2)
 Défauts en 3 dimensions
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
111
Élasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
 Défauts ponctuels (dimension 0)
Les défauts ponctuels regroupent les perturbations du réseau à l’échelle atomique
o Lacunes
o Atomes auto-interstitiels
o Impuretés dans les solides
o Les lacunes
Défaut ponctuel le plus simple, la lacune, correspond à l’absence d’un atome
dans la structure atomique
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
112
Élasticité et plasticité
 Défauts ponctuels (dimension 0)
o Les lacunes
La pratique révèle qu’il est impossible de produire un
cristal exempt de lacune
Tous les solides cristallins comportent dans leur réseau des lacunes
L’explication de ce phénomène se trouve par les principes de la thermodynamique
Dans un métal, la concentration atomique n1/N en lacune en équilibre est donné
par la loi d’Arhenius :
n1
 Q 
= exp   1 
N
 kT 
n1 : nombre de lacune présentes dans un ensemble de N atomes à la température T
k : constante de Boltzmann
T : température absolue
Q1 : l’énergie de formation d’une lacune (≈ 1 eV dans les métaux)
Les lacunes jouent un rôle de principal dans la diffusion à l’état solide : facilité à
déplacer des atomes sur de longues distances
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
113
Élasticité et plasticité
 Défauts ponctuels (dimension 0)
o Atomes interstitiels
Un atome auto-interstitiel est un atome qui occupe un site interstitiel (petit espace
vide entre deux atomes du réseau)
La conséquence de cet atomes est, par exemple, dans les métaux la distorsion du
réseau :
Atome occupe un espace bien plus important que celui
proposé par l’interstice
La formation de ce défaut est assez faible à causes des fortes énergies mises en
jeux
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
114
Élasticité et plasticité
 Défauts ponctuels (dimension 0)
o Impuretés dans les solides
Tous les solides contiennent des traces d’impuretés
Ces impuretés vont générer dans le réseau des défauts
Les deux types de défauts causés par ces impuretés sont :
 soit de type insertion
soit de type substitution
Le mode va dépendre des caractéristiques en solution des impuretés
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
115
Élasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
 Défauts linéaires (dimension 1)
Les défauts linéaires sont des dislocations :
mauvais alignement des atomes dans le réseau
On retrouve deux types de dislocation
o dislocation-coin
o dislocation-vis
o Dislocation-coin
Il s’agit d’un défaut centré autour d’une ligne le long de laquelle se termine un
demi-plan atomique supplémentaire dans le réseau cristallin
Au voisinage de la ligne de dislocation, la structure du réseau est déformée
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
116
Élasticité et plasticité
 Défauts linéaires (dimension 1)
o Dislocation-coin
Ce type de défaut va faire apparaître des contraintes dans le réseau :
Au dessus de la ligne de
dislocation, les atomes sont
dans un état de
compression
En dessous de la ligne de
dislocation, les atomes sont
dans un état de tension
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
William D. Callister, Jr, Science et génie
des matériaux, 5ème édition, Siences
Sup, Ed. Dunod, 2001
117
Élasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
 Défauts linéaires (dimension 1)
o Dislocation-vis
Une dislocation-vis traduit un
défaut linéaire qui résulte du
cisaillement du cristal
La partie supérieure du réseau a
subit un déplacement dans une
direction d’une distance
équivalente à la distance entre
deux atomes
William D. Callister, Jr, Science et génie des
matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed.
Dunod, 2001
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
118
Élasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
 Défauts linéaires (dimension 1)
o Dislocation-vis
Il en résulte une déformation
linéaire et une ligne de dislocation
matérialisée par le segment AB
Le nom de vis est du au fait que
les plans atomiques ont subi un
déplacement qui décrit une rampe
hélicoïdale
William D. Callister, Jr, Science et génie des
matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed.
Dunod, 2001
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
119
Élasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
 Défauts linéaires (dimension 1)
o Dislocation mixte
En réalité, les dislocations que l’on rencontre sont rarement parfaites : coins ou
vis mais plutôt mixtes
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
William D. Callister, Jr,
Science et génie des
matériaux, 5ème édition,
Siences Sup, Ed. Dunod,
2001
120
Élasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
 Défauts linéaires (dimension 1)
o Dislocation mixte
Au point A la dislocation est
exclusivement du type
dislocation-vis
Au point B, elle
exclusivement du type
dislocation-coin
Entre A et B, la dislocation
est mixte
William D. Callister, Jr, Science et génie des
matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed.
Dunod, 2001
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
121
Élasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
 Défauts de surfaces (dimension 2)
Dans les défauts de surfaces on va retrouver :
o les joints de grains
o les plans de maclage
o Joints de grains
Les matériaux sont généralement constitués d’un ensemble de grains et de joints
de grains (éléments à la frontière des grains)
Ces derniers assurent la cohésion du solide. La taille des joints est de quelques
distances interatomiques
Un joint est une disparité entre l’orientation cristallographique d’un grain et
celle du grain adjacent voisin
En fonction de l’angle de désorientation des grains on parle de joints de gains à
faible angularité ou à forte angularité
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
122
Élasticité et plasticité
 Défauts de surfaces (dimension 2)
o Joints de grains


Joints de
grains
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
123
Élasticité et plasticité
 Défauts de surfaces (dimension 2)
o Plans de maclage
Dans un réseau cristallin, on parle de plan de maclage lorsqu’une symétrie
(miroir) bien précise est présente
Chaque atome situé d’un côté du plan de maclage occupe une position
correspondant à l’image spéculaire d’un atome situé de l’autre côté du plan
William D. Callister, Jr,
Science et génie des
matériaux, 5ème édition,
Siences Sup, Ed. Dunod,
2001
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
124
Élasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
 Défauts à trois dimensions
Les défauts à 3 dimensions sont des défauts de grandes tailles (bien plus grand
que tous les défauts mentionnés précédemment)
On trouve :
o Pores
o Fissures
o Inclusions
o Précipités
Ils sont fréquemment liés aux différentes phases du procédé d’élaboration
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
125
Élasticité et plasticité
4.2.4 - Dislocations et déformation plastique
La déformation plastique correspond au déplacement d’un grand nombre de
dislocations
Une dislocation-coin va se déplacer lorsqu’une contrainte de cission est
appliquée dans une direction perpendiculaire à sa ligne de dislocation
Dès que la contrainte de cission est appliquée le plan A se déplace vers la droite
et pousse sur les demi-plans voisins (B, C et D)
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
126
Élasticité et plasticité
4.2.4 - Dislocations et déformation plastique
Une fois la contrainte de cission atteint une certaine valeur, les liaisons interatomiques du plan se rompent le long du plan de cisaillement et créent un
nouveau demi plan B, le plan devenant un plan entier exempt de dislocation
Cette mécanique se reproduit pour les plans C et D
 Au final une marche de glissement apparaît à la surface
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
127
Élasticité et plasticité
4.2.4 - Dislocations et déformation plastique
Le cheminent de déplacement d’une dislocation s’apparente aux déplacement
d’une chenille ou d’un tapis
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
128
Élasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
4.2.5.1 - Durcissement par réduction de la taille des grains
Les propriétés mécaniques des matériaux polycristallins varient en fonction de
la taille des grains de la structure
On vu précédemment qu’entre deux grains existe un joint
Lors de la déformation plastique un glissement doit se produire de par et d’autre
de ce joint
Le joint de grain fait office d’obstacle à ce déplacement pour deux raisons :
 Comme deux grains voisins auront des orientations différentes, la
direction du déplacement d’une dislocation sera forcement modifié
 Au joint grain existe un désordre atomique qui va engendrer une
discontinuité dans le passage des plans de glissement d’un grain à l’autre
I.S.I.T.V.
2009 - 2010
129
Élasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
4.2.5.1 - Durcissement par réduction de la taille des grains
Un matériau à grains fins est plus dur et résistant qu’un matériau à gros grains
Le déplacement de dislocations est entravé en raison de plus fort
taux de joints de grains
La limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 de nombreux métaux varie en
fonction de la taille du grain :
Re0, 2 =  0  k y d 1/ 2
équation de Hall-Petch
d diamètre moyen des grains
0 et ky constantes fonction du matériau
Les joints de macles vont également arrêter le glissement et augmenter la
résistance des matériaux
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Élasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
4.2.5.1 - Durcissement par solution solide
Le renforcement peut intervenir en alliant le métal avec des impuretés en
solution solide d’insertion ou de substitution
Un métal pur sera toujours plus mou et moins résistant que ce même métal sous
la forme d’un alliage
Une augmentation de impureté entraîne une augmentation de la limite
d’élasticité et de la résistance à la traction
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Élasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
4.2.5.1 - Durcissement par solution solide
Les atomes d’impureté présents dans la solution solide imposent des
déformations réticulaires aux atomes voisins
Ces impuretés vont interagir avec la dislocation et limiter son déplacement
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Élasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
4.2.5.1 - Durcissement par écrouissage
Le durcissement par écrouissage est le procédé par lequel un métal devient plus
dur et plus résistant lors de sa déformation plastique
On parle d’ampleur de déformation plastique au moyen du taux d’écrouissage
plutôt que de la déformation
Ce taux, noté E , se calcul à partir de :
S  Sd
E= 0
x100
S0
S0 aire initiale de la section transversale qui subit la déformation
Sd l’aire après déformation
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Élasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
4.2.5.1 - Durcissement par écrouissage
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Élasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
4.2.5.1 - Durcissement par écrouissage
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