2nde S LYCEE MBELE SEQUENCE : DROITES ET CERCLES DANS LE PLAN 𝑀 ∈ (𝐷) ⟺ 𝐴𝑀⃗ et 𝑢⃗ colinéaires ⟺ det 𝐴𝑀⃗, 𝑢⃗ = 0 I-DROITES P2 : Pour tout point M du plan on a : 1. Vecteurs directeur et vecteur normal 𝑀 ∈ (𝐷) ⟺ 𝐴𝑀⃗ et 𝑛⃗ orthogonaux ⟺ 𝐴𝑀⃗. 𝑛⃗ = 0 a. Définition 2. Equation cartésienne d’une droite a) Définition Vecteur directeur On appelle vecteur directeur d’une droite (D) tout vecteur dont la direction est celle de (D). Vecteur normal On appelle vecteur normal d’une droite (D) tout dont la direction est perpendiculaire à celle de (D). (D) 𝑢⃗ 𝑛⃗ Soit (𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗) un repère orthonormé et (D) une droite. On appelle équation cartésienne de (D) dans le repère (𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗) toute équation du type 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 où (𝑥; 𝑦) sont les coordonnées des points de (D), 𝑎, 𝑏 et 𝑐 des réels tels que (𝑎 ≠ 0 𝑜𝑢 𝑏 ≠ 0). b) Propriété Si 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 est une équation cartésienne d’une droite (D), alors 𝒂 un vecteur normal de (D) est 𝒏⃗ 𝒃 et (D) dirigée par le vecteur 𝒖⃗ 𝒃 𝒂 . Application 1 On considère la droite (D) : 𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 . Déterminer un vecteur normal à (D) puis un vecteur directeur de (D). Remarque : Toute droite admet une infinité de vecteurs directeurs et de vecteurs normaux. En effet, 𝑢⃗ et 𝑛⃗ ont respectivement la même direction que 𝛼 𝑢⃗ et 𝛽𝑛⃗ , (𝛼 ≠ 0 et 𝛽 ≠ 0 ) . b. Propriétés Soit (D) une droite de vecteur directeur 𝑢⃗ et de vecteur normal 𝑛⃗. A est un point de (D). P1 : Pour tout point M du plan on a : 1 Solution Soit 𝒏⃗ et 𝒖⃗ un vecteur normal à (D) et un vecteur directeur de (D) respectivement. (D) : 𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 ⟹ 𝒂 = 𝟏 𝑒𝑡 𝒃 = −𝟑 or 𝒏⃗ 𝑛⃗ et 𝑢⃗ 𝒂 𝒃 et 𝒖⃗ 𝒃 𝒂 . Donc : . Remarque : une droite admet une infinité d’équations cartésiennes. 2 C-Détermination d’une équation cartésienne d’une droite Pour déterminer une équation cartésienne d’une droite (D) dans un repère (𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗) , on peut chercher à se ramener à l’un des trois cas suivants : (D) est définie par un point A et un de ses vecteurs directeurs 𝒖⃗ . 𝑀 ∈ (𝐷) ⟺ det 𝐴𝑀⃗, 𝑢⃗ = 0 (D) est définie par deux points A et B. 𝑀 ∈ (𝐷) ⟺ det 𝐴𝑀⃗, 𝐴𝐵⃗ = 0 (D) est définie par un point A et un de ses vecteurs normaux 𝒏⃗ dans un repère orthonormé. 𝑀 ∈ (𝐷) ⟺ 𝐴𝑀⃗. 𝑛⃗ = 0 Méthode 2 L’équation cartésienne de (D) est sous la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. Déterminons les réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐 . (D) est dirigée par 𝑢⃗ or 𝑢⃗ 𝑏 = −1 𝑎=3 d’où 𝐴 ∈ (𝐷) ⟺ 3𝑥 − 𝑦 + 𝑐 = 0 ⟺ 3(2) − (−1) + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = −7 On a :𝑎 = 3 , 𝑏 = −1 et 𝑐 = −7 d’où (𝐷): 3𝑥 − 𝑦 − 7 = 0 2. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice(D’) de [AB] sachant que 𝐵 . Méthode 1 Application 2 𝐷′ est un vecteur normal à𝐴𝐵⃗ et passe par le milieu de[AB] . soit I le milieu de [AB] . Pour tout point 𝑀(𝑥; 𝑦) du plan ; Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗). 𝑀 ∈ (𝐷′) ⟺ 𝐼𝑀⃗. 𝐴𝐵⃗ = 0 or 𝐼𝑀⃗ 1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par 𝐴 et dirigée par 𝑢⃗ . 3 D’où (𝐷): 3𝑥 − 𝑦 − 7 = 0 ainsi 𝐼𝑀⃗ . 𝐴𝐵⃗ = 0 ⟺ et 𝐴𝐵⃗ car 𝐼 , = = 0 ⟺ 2(𝑥 − 3) + 4(𝑦 − 1) = 0 ⟺ 2𝑥 + 4𝑦 − 10 = 0 Solution Soit 𝑀(𝑥; 𝑦) un point du plan. Méthode 1 𝑀 ∈ (𝐷) ⟺ det 𝐴𝑀⃗, 𝑢⃗ = 0. Déterminons les coordonnées de 𝐴𝑀⃗ , puis calculons det 𝐴𝑀⃗, 𝑢⃗ . 𝑥−2 1 𝐴𝑀⃗ et det 𝐴𝑀⃗, 𝑢⃗ = = 3(𝑥 − 2) − 1(𝑦 + 1) 𝑦+1 3 = 3𝑥 − 6 − 𝑦 − 1 = 3𝑥 − 𝑦 − 7 Déduction d’une équation de (D). D’où (𝐷′): 𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0 Méthode 2 det 𝐴𝑀⃗, 𝑢⃗ = 0 ⟺ 3𝑥 − 𝑦 − 7 = 0 𝐼 ∈ (𝐷′) ⟺ 2𝑥 + 4𝑦 + 𝑐 = 0 ⟺ 2(3) + 4(1) + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = −10 On a 𝑎 = 2 , 𝑏 = 4 et 𝑐 = −10 𝐷′ : 𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0 L’équation cartésienne de (D) est sous la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. Déterminons les réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐 . 𝐴𝐵⃗ est un vecteur normal à (D’) or 𝐴𝐵⃗ , alors 𝑎=2 𝑏=4 (D’) passe par le milieu de [AB].soit I, milieu de [AB] , alors 𝐼 = 4 Remarque: pour déterminer une équation cartésienne d’une droite il faut toujours se rassurer qu’on a un de ses vecteurs normaux ou directeurs et un point de cette droite. 3. Equation réduite d’une droite a. Définition Dans un repère on appelle équation réduite d’une droite (D) toute équation de la forme : 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛽 si (D) est non parallèle à l’axe des ordonnées. 𝛼 et 𝛽 désignent respectivement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite (D) ; 𝑥 = 𝜆 si (D) est parallèle à l’axe des ordonnées. - La droite d’équation 𝑦 = −𝑥 + 3 a pour coefficient directeur -1 et pour ordonnée à l’origine 3 . La droite d’équation 𝑥 = −5 est parallèle à l’axe des ordonnées. Remarque Dans un repère le coefficient directeur de𝛼 la droite (AB) est donné par 𝜶= 𝒚𝑨 𝒚𝑩 𝒙𝑨 𝒙𝑩 Déterminer la position relative de (D) et (D’) dans chaque cas. 1. (𝐷): 𝑦 = 2𝑥 + 3 et 𝐷′ : 𝑦 = 2𝑥 − 5 2. (𝐷): 𝑦 = − 1 et 𝐷′ : 𝑦 = −3𝑥 + 2 3. (𝐷): 𝑦 = 2𝑥 − 3 et 𝐷′ : 𝑦 = + 5 Solution 1. (𝐷): 𝑦 = 2𝑥 + 3 et 𝐷′ : 𝑦 = 2𝑥 − 5 ⟹ 𝛼 = 𝛼 ′ = 2 Donc : (𝐷) ∥ 𝐷′ . 2. (𝐷): 𝑦 = − 1 et 𝐷′ : 𝑦 = −3𝑥 + 2 ⟹ 𝛼 ≠ 𝛼′ Exemple - Le plan est muni d’un repère orthonormé. si 𝑥 ≠ 𝑥 . b. Propriétés Dans le plan muni d’un repère (𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗) , (D) et (D’) désignent les droites d’équations réduites 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛽 et = 𝛼′𝑥 + 𝛽′ . Vérifions si (D) et (D’) sont perpendiculaires. 1 × (−3) = −1 3 On a : 𝛼𝛼 ′ = −1 donc (𝐷) ⊥ 𝐷′ . 3. (𝐷): 𝑦 = 2𝑥 − 3 et 𝐷′ : 𝑦 = + 5 ⟹ 𝛼 ≠ 𝛼′ 𝛼𝛼 ′ = Vérifions si (D) et (D’) sont perpendiculaires. 𝛼𝛼 ′ = 2 × =1 Comme 𝛼 ≠ 𝛼′ et 𝛼 ′ ≠ −1 , alors (D) et (D’) ne sont ni parallèle ni perpendiculaires , elles sont sécantes. Application 4 P1 : (𝐷) ∥ 𝐷′ ⟺ 𝛼 = 𝛼′ Dans le plan muni d’un repère orthonormé déterminer l’équation réduite d’une droite (D’) passant par 𝐸 et perpendiculaire à la droite (D) d’équation réduite 𝑦 = 3𝑥 − 5. P2 : (𝐷) ⊥ 𝐷′ ⟺ 𝛼𝛼 ′ = −1 ( dans un repère orthonormé). Solution Application 3 5 6 Soit 𝛼 et 𝛼′ les coefficients directeurs de (D) et (D’), alors l’équation réduite de (D’) est sous la forme 𝑦 = 𝛼 ′ 𝑥 + 𝛽′. Déterminons 𝛼 ′ et 𝛽′ . Trouvons 𝛼 ′ . Comme (𝐷) ⊥ 𝐷′ , alors 𝛼 ′ = −1 . 1 𝛼𝛼 ′ = −1 ⟺ 3𝛼 ′ = −1 ⟺ 𝛼 ′ = − 3 Trouvons 𝛽′ Comme 𝐸 ∈ 𝐷′ , alors𝑦 = − 𝑥 + 𝛽′ . 𝑦 = − 𝑥 + 𝛽 ′ ⟺ 1 = − × 3 + 𝛽′ ⟺ 𝛽′ = 2 On a : 𝛼 ′ = − et 𝛽 ′ = 2 d’où (D’) : 𝑦 = − + 2 . Remarque : Déterminer l’équation réduite d’une droite revient à déterminer son coefficient directeur et sont ordonnée à l’origine. 4. Représentation paramétrique d’une droite a. Définition Le plan est muni d’un repère (𝑂, ⃗𝑖, ⃗𝑗). La droite passant par le point 𝐴 et dirigée par le vecteur 𝑢⃗ tel que 𝑎 ≠ 0 et 𝑏 ≠ 0 est 𝒙 = 𝒙𝑨 + 𝒂𝒕 l’ensemble des points 𝑀 du plan vérifiant : (𝑡 ∈ ℝ) . 𝒚 = 𝒚𝑨 + 𝒃𝒕 Ce système est une représentation paramétrique de la droite (D).𝑡 désigne l’abscisse du point M dans le repère (𝐴, 𝑢⃗). Exemple Donner la représentation paramétrique de la droite (D), passant par 𝐴 et dirigée par 𝑢⃗ . 7 Solution L’équation paramétrique de (D) est sous la forme 𝒙 = 𝒙𝑨 + 𝒂𝒕 𝒚 = 𝒚𝑨 + 𝒃𝒕 (𝑡 ∈ ℝ) 𝑥 = 1 + 2𝑡 (𝑡 ∈ ℝ) . 𝑦 = 3 − 5𝑡 Application 5 D’où (𝐷): 1. par 𝐹 Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆) passant et de vecteur normal 𝑛⃗ √ . 2. Déterminer une équation paramétrique de la droite (D’) d’équation réduite 𝑦 = 𝑥 − 4 . 3. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D), de 𝑥 = 2−𝑡 représentation paramétrique 𝑦 = 1 + 3𝑡 II-CERCLES DANS LE PLAN 1. Définitions a. Cercle défini par un de ses diamètres Soit A et B deux points du plan,(𝒞) un cercle de diamètre [AB]. M Pour tout point M, on a : 𝑀 ∈ (𝒞) ⟺ 𝑀𝐴⃗. 𝑀𝐵⃗ = 0 B A I (𝒞) 8 b. Cercle défini par son centre et son rayon Soit I un point du plan et 𝑟 un réel strictement positif, ,(𝒞) le cercle de centre I et de rayon 𝑟. Pour tout point M, on a : 𝑀 ∈ (𝒞) ⟺ 𝐼𝑀 = 𝑟 ⟺ 𝐼𝑀² = 𝑟² . 2. Equations cartésiennes d’un cercle Propriétés Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂, ⃗𝑖, ⃗𝑗) ,𝑎 , 𝑏 , 𝑐 et 𝑟 désignent des nombres réels(𝑟 ≥ 0). P1:Tout cercle du plan a une équation de la forme : (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓² ou 𝒙² + 𝒚² − 𝟐𝒂𝒙 − 𝟐𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 où (𝑎 ; 𝑏)sont les coordonnées du centre et 𝑟 le rayon du cercle. P2 :L’ensemble des points 𝑀 tels que 𝒙² + 𝒚² − 𝟐𝒂𝒙 − 𝟐𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 est : Soit l’ensemble vide (pour 𝑎² + 𝑏² − 𝑐 < 0), Soit un point (pour 𝑎² + 𝑏² − 𝑐 = 0) Soit un cercle (pour 𝑎² + 𝑏² − 𝑐 > 0) de coordonnées du centre (𝑎; 𝑏) et de rayon 𝑟 = √𝑎² + 𝑏² − 𝑐 . Application 6 Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂, ⃗𝑖, ⃗𝑗) . 1. Ecrire une équation cartésienne d’un cercle (𝒞) de diamètre [AB] sachant que 𝐴 et𝐵 . 2. Ecrire une équation cartésienne d’un cercle(𝒞′) de centre 𝐼 et de rayon 𝑟 = 4. 3. Déterminer l’ensemble des points 𝑀(𝑥; 𝑦) du plan tes que : 𝑥² + 𝑦² − 6𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0. Solution 9 1. Pour tout point 𝑀 du plan on a : 𝑀 ∈ (𝒞) ⟺ 𝑀𝐴⃗. 𝑀𝐵⃗ = 0 𝑥−3 𝑥−1 𝑀𝐴⃗. 𝑀𝐵⃗ = 0 ⟺ × =0 𝑦−2 𝑦+1 ⟺ (𝑥 − 3)(𝑥 − 1) + (𝑦 − 2)(𝑦 + 1) = 0 ⟺ 𝑥² − 𝑥 − 3𝑥 + 3 + 𝑦² + 𝑦 − 2𝑦 − 2 = 0 ⟺ 𝑥² + 𝑦² − 4𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 D’où (𝒞): 𝑥² + 𝑦² − 4𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 2. Pour tout point 𝑀 , on a : : 𝑀 ∈ (𝒞) ⟺ 𝐼𝑀 = 𝑟 ⟺ 𝐼𝑀² = 𝑟² 𝐼𝑀² = 𝑟² ⟺ (𝑥 + 2) + (𝑦 − 5) = 16 D’où (𝒞′): (𝑥 + 2) + (𝑦 − 5) = 16 3. Déterminons l’ensemble des points 𝑀(𝑥; 𝑦) du plan tes que : 𝑥² + 𝑦² − 6𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 . Déterminons les réels 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 et 𝑟 tels que 𝒙² + 𝒚² − 𝟐𝒂𝒙 − 𝟐𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 et 𝑟² = 𝑎² + 𝑏² − 𝑐 . −2𝑎 = −6 𝑎=3 par identi ication −2𝑏 = 2 ⟺ 𝑏 = −1 𝑐=4 𝑐=4 𝑟² = 3² + (−1) − 4 = 6 Comme 𝑟² = 𝑎² + 𝑏² − 𝑐 > 0 alors l’ensemble des points 𝑀 tels que 𝑥² + 𝑦² − 6𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 de centre 𝜔(3, −1) et de rayon 𝑟 = √6. Exercice 7 1. On considère la droite (𝐷): 3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 et le cercle (𝐶): 𝑥² + 𝑦² − 6𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 . a) Donner une équation paramétrique de (D). b) Déterminer les coordonnées de J et K, intersection de(C) et(D) 2. Déterminer l’équation de la tangente(𝑇) en 𝐴(−2,3) au cercle (C’) de centre Ω(1; −1). 10
