Droites et cercles : Cours de maths 2nde

SEQUENCE : DROITES ET CERCLES DANS LE PLAN
I-DROITES
1. Vecteurs directeur et vecteur normal
a. Définition
 Vecteur directeur
On appelle vecteur directeur d’une droite (D) tout vecteur dont la
direction est celle de (D).
 Vecteur normal
On appelle vecteur normal d’une droite (D) tout dont la direction est
perpendiculaire à celle de (D).
Remarque : Toute droite admet une infinité de vecteurs directeurs et
de vecteurs normaux. En effet, 𝑢
⃗
et 𝑛
⃗
ont respectivement la même
direction que 𝛼𝑢
⃗
et 𝛽𝑛
⃗
, (𝛼≠0 et 𝛽≠0 ) .
b. Propriétés
Soit (D) une droite de vecteur directeur 𝑢
⃗
et de vecteur normal 𝑛
⃗
. A
est un point de (D).
P1 : Pour tout point M du plan on a :
𝑀∈(𝐷)⟺𝐴𝑀
⃗
et 𝑢
⃗
colinéaires ⟺det𝐴𝑀
⃗
,𝑢
⃗
=0
P2 : Pour tout point M du plan on a :
𝑀∈(𝐷)⟺𝐴𝑀
⃗
et 𝑛
⃗
orthogonaux⟺𝐴𝑀
⃗
.𝑛
⃗
=0
2. Equation cartésienne d’une droite
a) Définition
Soit (𝑂,𝚤⃗,𝚥⃗) un repère orthonormé et (D) une droite.
On appelle équation cartésienne de (D) dans le repère (𝑂,𝚤⃗,𝚥⃗) toute
équation du type 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 où (𝑥;𝑦) sont les coordonnées des
points de (D), 𝑎,𝑏 et 𝑐 des réels tels que (𝑎≠0 𝑜𝑢 𝑏≠0).
b) Propriété
Si 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est une équation cartésienne d’une droite (D), alors
un vecteur normal de (D) est 𝒏
⃗
𝒂
𝒃 et (D) dirigée par le
vecteur 𝒖
⃗
𝒃
𝒂 .
Application 1
On considère la droite (D) : 𝑥− 3𝑦+ 5=0 . Déterminer un vecteur
normal à (D) puis un vecteur directeur de (D).
Solution
Soit 𝒏
⃗
et 𝒖
⃗
un vecteur normal à (D) et un vecteur directeur de (D)
respectivement.
(D) : 𝑥−3𝑦+ 5=0⟹𝒂=𝟏 𝑒𝑡 𝒃=−𝟑 or 𝒏
⃗
𝒂
𝒃 et 𝒖
⃗
𝒃
𝒂 . Donc :
𝑛
⃗
 et 𝑢
⃗
 .
Remarque : une droite admet une infinité d’équations cartésiennes.
𝑢
⃗
𝑛
⃗
(D)
1
2
LYCEE MBELE
2
nde
S

C-Détermination d’une équation cartésienne d’une droite
Pour déterminer une équation cartésienne d’une droite (D) dans un
repère (𝑂,𝚤⃗,𝚥⃗) , on peut chercher à se ramener à l’un des trois cas suivants :
 (D) est définie par un point A et un de ses vecteurs directeurs
𝒖
⃗
.
𝑀∈(𝐷)⟺det𝐴𝑀
⃗
,𝑢
⃗
=0
 (D) est définie par deux points A et B.
𝑀∈(𝐷)⟺det𝐴𝑀
⃗
,𝐴𝐵
⃗
=0
 (D) est définie par un point A et un de ses vecteurs normaux 𝒏
⃗
dans un repère orthonormé.
𝑀∈(𝐷)⟺𝐴𝑀
⃗
.𝑛
⃗
=0
Application 2
Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂,𝚤⃗,𝚥⃗).
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant
par 𝐴
 et dirigée par 𝑢
⃗
.
Solution
Soit 𝑀(𝑥;𝑦) un point du plan.
Méthode 1
𝑀∈(𝐷)⟺det𝐴𝑀
⃗
,𝑢
⃗
=0. Déterminons les coordonnées de 𝐴𝑀
⃗
,
puis calculons det𝐴𝑀
⃗
,𝑢
⃗
.
𝐴𝑀
⃗
 et det𝐴𝑀
⃗
,𝑢
⃗
=𝑥−2 1
𝑦+1 3=3(𝑥−2)−1(𝑦+1)
=3𝑥−6−𝑦−1
=3𝑥−𝑦−7
Déduction d’une équation de (D).
det𝐴𝑀
⃗
,𝑢
⃗
=0⟺3𝑥−𝑦−7=0
D’où (𝐷): 3𝑥− 𝑦− 7=0
Méthode 2
L’équation cartésienne de (D) est sous la forme 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦+ 𝑐=0.
Déterminons les réels 𝑎,𝑏 et 𝑐 .
(D) est dirigée par 𝑢
⃗
 or 𝑢
⃗
 d’où 𝑏=−1
𝑎=3
𝐴∈(𝐷)⟺3𝑥−𝑦+𝑐=0⟺3(2)−(−1)+𝑐=0⟺𝑐=−7
On a :𝑎=3 ,𝑏=−1 et 𝑐=−7 d’où (𝐷): 3𝑥− 𝑦− 7=0
2. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice(D’) de
[AB] sachant que 𝐵
.
Méthode 1
𝐷′ est un vecteur normal à𝐴𝐵
⃗
et passe par le milieu de[AB] . soit I
le milieu de [AB] . Pour tout point 𝑀(𝑥;𝑦) du plan ;
𝑀∈(𝐷′)⟺𝐼𝑀
⃗
.𝐴𝐵
⃗
=0 or 𝐼𝑀
⃗
 car 𝐼
 et 𝐴𝐵
⃗
=  ,
ainsi 𝐼𝑀
⃗
.𝐴𝐵
⃗
=0⟺
=0⟺2(𝑥−3)+4(𝑦−1)=0
⟺2𝑥+4𝑦−10=0
D’où (𝐷′): 𝑥 +2𝑦− 5=0
Méthode 2
L’équation cartésienne de (D) est sous la forme 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦+ 𝑐=0.
Déterminons les réels 𝑎,𝑏 et 𝑐 .
𝐴𝐵
⃗
est un vecteur normal à (D’) or 𝐴𝐵
⃗
 , alors 𝑎=2
𝑏=4
(D’) passe par le milieu de [AB].soit I, milieu de [AB] , alors 𝐼
=
𝐼∈(𝐷′)⟺2𝑥+4𝑦+𝑐=0⟺2(3)+4(1)+𝑐=0⟺𝑐=−10
On a 𝑎=2 ,𝑏=4 et 𝑐=−10 𝐷′: 𝑥+ 2𝑦− 5=0
3
4

Remarque: pour déterminer une équation cartésienne d’une droite il
faut toujours se rassurer qu’on a un de ses vecteurs normaux ou
directeurs et un point de cette droite.
3. Equation réduite d’une droite
a. Définition
Dans un repère on appelle équation réduite d’une droite (D) toute
équation de la forme :
 𝑦=𝛼𝑥+𝛽 si (D) est non parallèle à l’axe des ordonnées.
𝛼 et 𝛽 désignent respectivement le coefficient directeur et
l’ordonnée à l’origine de la droite (D) ;
 𝑥=𝜆 si (D) est parallèle à l’axe des ordonnées.
Exemple
- La droite d’équation 𝑦=−𝑥+3 a pour coefficient directeur -1
et pour ordonnée à l’origine 3 .
- La droite d’équation 𝑥=−5 est parallèle à l’axe des ordonnées.
Remarque
Dans un repère le coefficient directeur de𝛼 la droite (AB) est donné
par
𝜶=𝒚𝑨𝒚𝑩
𝒙𝑨𝒙𝑩 si 𝑥≠𝑥 .
b. Propriétés
Dans le plan muni d’un repère (𝑂,𝚤⃗,𝚥⃗) , (D) et (D’) désignent les droites
d’équations réduites 𝑦=𝛼𝑥+𝛽 et =𝛼′𝑥+𝛽′ .
P1 : (𝐷)∥𝐷′⟺𝛼=𝛼′
P2 : (𝐷)⊥𝐷′⟺𝛼𝛼′=−1 ( dans un repère orthonormé).
Application 3
Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Déterminer la position relative de (D) et (D’) dans chaque cas.
1. (𝐷):𝑦=2𝑥+ 3 et 𝐷′:𝑦=2𝑥−5
2. (𝐷):𝑦=
− 1 et 𝐷′:𝑦=−3𝑥+2
3. (𝐷):𝑦=2𝑥− 3 et 𝐷′:𝑦=
+5
Solution
1. (𝐷):𝑦=2𝑥+ 3 et 𝐷′:𝑦=2𝑥−5 ⟹𝛼=𝛼′=2
Donc : (𝐷)∥𝐷′ .
2. (𝐷):𝑦=
− 1 et 𝐷′:𝑦=−3𝑥+2 ⟹𝛼≠𝛼′
Vérifions si (D) et (D’) sont perpendiculaires.
𝛼𝛼′=1
3×(−3)=−1
On a : 𝛼𝛼′=−1 donc (𝐷)⊥𝐷′ .
3. (𝐷):𝑦=2𝑥− 3 et 𝐷′:𝑦=
+5⟹𝛼≠𝛼′
Vérifions si (D) et (D’) sont perpendiculaires.
𝛼𝛼′=2×
=1
Comme 𝛼≠𝛼′ et 𝛼′≠−1 , alors (D) et (D’) ne sont ni parallèle
ni perpendiculaires , elles sont sécantes.
Application 4
Dans le plan muni d’un repère orthonormé déterminer l’équation
réduite d’une droite (D’) passant par 𝐸
 et perpendiculaire à la
droite (D) d’équation réduite 𝑦=3𝑥− 5.
Solution
5
6

Soit 𝛼 et 𝛼′ les coefficients directeurs de (D) et (D’), alors l’équation
réduite de (D’) est sous la forme 𝑦=𝛼′𝑥+𝛽′. Déterminons 𝛼′ et 𝛽′ .
 Trouvons 𝛼′.
Comme (𝐷)⊥𝐷′ , alors 𝛼′=−1 .
𝛼𝛼′=−1⟺3𝛼′=−1⟺𝛼′=−1
3
 Trouvons 𝛽′
Comme 𝐸∈𝐷′ , alors𝑦=−
𝑥+𝛽′ .
𝑦=−
𝑥+𝛽′⟺1=− ×3+𝛽′
⟺𝛽′=2
On a : 𝛼′=−
 et 𝛽′=2 d’où (D’) : 𝑦=− +2 .
Remarque : Déterminer l’équation réduite d’une droite revient à
déterminer son coefficient directeur et sont ordonnée à l’origine.
4. Représentation paramétrique d’une droite
a. Définition
Le plan est muni d’un repère (𝑂,𝑖⃗,𝑗⃗). La droite passant par le point
𝐴
 et dirigée par le vecteur 𝑢
⃗
 tel que 𝑎≠0 et 𝑏≠0 est
l’ensemble des points 𝑀
 du plan vérifiant : 𝒙=𝒙𝑨+𝒂𝒕
𝒚=𝒚𝑨+𝒃𝒕 (𝑡∈ℝ) .
Ce système est une représentation paramétrique de la droite (D).𝑡
désigne l’abscisse du point M dans le repère (𝐴,𝑢
⃗
).
Exemple
Donner la représentation paramétrique de la droite (D), passant par
𝐴
 et dirigée par 𝑢
⃗
 .
Solution
L’équation paramétrique de (D) est sous la forme 𝒙=𝒙𝑨+𝒂𝒕
𝒚=𝒚𝑨+𝒃𝒕
(𝑡∈ℝ)
D’où (𝐷):𝑥=1+2𝑡
𝑦=3−5𝑡 (𝑡∈ℝ) .
Application 5
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆) passant
par 𝐹
 et de vecteur normal 𝑛
⃗
√.
2. Déterminer une équation paramétrique de la droite (D’)
d’équation réduite 𝑦=𝑥− 4 .
3. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D), de
représentation paramétrique𝑥=2−𝑡
𝑦=1+3𝑡
II-CERCLES DANS LE PLAN
1. Définitions
a. Cercle défini par un de ses diamètres
Soit A et B deux points du plan,(𝒞) un cercle de diamètre [AB].
Pour tout point M, on a :
𝑀∈(𝒞)⟺𝑀𝐴
⃗
.𝑀𝐵
⃗
=0
M
A
B
(
𝒞
)
I
7
8

b. Cercle défini par son centre et son rayon
Soit I un point du plan et 𝑟 un réel strictement positif, ,(𝒞) le cercle de
centre I et de rayon 𝑟.
Pour tout point M, on a : 𝑀∈(𝒞)⟺𝐼𝑀=𝑟⟺𝐼𝑀²=𝑟² .
2. Equations cartésiennes d’un cercle
Propriétés
Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂,𝑖⃗,𝑗⃗) ,𝑎 ,𝑏 ,𝑐 et 𝑟 désignent
des nombres réels(𝑟≥0).
P1:Tout cercle du plan a une équation de la forme :
(𝒙−𝒂)𝟐+(𝒚−𝒃)𝟐=𝒓² ou 𝒙²+𝒚²−𝟐𝒂𝒙−𝟐𝒃𝒚+𝒄=𝟎 où
(𝑎 ;𝑏)sont les coordonnées du centre et 𝑟 le rayon du cercle.
P2 :L’ensemble des points 𝑀
 tels que 𝒙²+𝒚²−𝟐𝒂𝒙−𝟐𝒃𝒚+𝒄=𝟎
est :
 Soit l’ensemble vide (pour 𝑎²+𝑏²−𝑐<0),
 Soit un point (pour 𝑎²+𝑏²−𝑐=0)
 Soit un cercle (pour 𝑎²+𝑏²−𝑐>0) de coordonnées du
centre (𝑎;𝑏) et de rayon 𝑟=√𝑎²+𝑏²−𝑐 .
Application 6
Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂,𝑖⃗,𝑗⃗) .
1. Ecrire une équation cartésienne d’un cercle (𝒞) de diamètre
[AB] sachant que 𝐴
 et𝐵 .
2. Ecrire une équation cartésienne d’un cercle(𝒞′) de centre 𝐼
et de rayon 𝑟=4.
3. Déterminer l’ensemble des points 𝑀(𝑥;𝑦) du plan tes que :
𝑥²+𝑦²−6𝑥+2𝑦+4=0.
Solution
1. Pour tout point 𝑀
 du plan on a : 𝑀∈(𝒞)⟺𝑀𝐴
⃗
.𝑀𝐵
⃗
=0
𝑀𝐴
⃗
.𝑀𝐵
⃗
=0⟺𝑥−3
𝑦−2×𝑥−1 𝑦+1=0
⟺(𝑥−3)(𝑥−1)+(𝑦−2)(𝑦+1)=0
⟺𝑥²−𝑥−3𝑥+3+𝑦²+𝑦−2𝑦−2=0
⟺𝑥²+𝑦²−4𝑥−𝑦+1=0
D’où (𝒞):𝑥²+𝑦²−4𝑥−𝑦+1=0
2. Pour tout point 𝑀
, on a : : 𝑀∈(𝒞)⟺𝐼𝑀=𝑟⟺𝐼𝑀²=𝑟²
𝐼𝑀²=𝑟²⟺(𝑥+2)+(𝑦−5)=16
D’où (𝒞′):(𝑥+2)+(𝑦−5)=16
3. Déterminons l’ensemble des points 𝑀(𝑥;𝑦) du plan tes que :
𝑥²+𝑦²− 6𝑥+ 2𝑦+ 4=0 . Déterminons les réels 𝑎 ,𝑏 ,𝑐 et 𝑟 tels
que
𝒙²+𝒚²−𝟐𝒂𝒙−𝟐𝒃𝒚+𝒄=𝟎 et 𝑟²=𝑎²+𝑏²−𝑐 .
par identiication −2𝑎=−6
−2𝑏=2
𝑐=4 ⟺ 𝑎=3
𝑏=−1
𝑐=4 
𝑟²=3²+(−1)−4=6
Comme 𝑟²=𝑎²+𝑏²−𝑐>0 alors l’ensemble des points 𝑀
tels que 𝑥²+𝑦²−6𝑥+ 2𝑦+ 4=0 de centre 𝜔(3,−1) et de
rayon 𝑟=√6.
Exercice 7
1. On considère la droite (𝐷):3𝑥−𝑦+1=0 et le cercle
(𝐶):𝑥²+𝑦²−6𝑥+2𝑦+4=0 .
a) Donner une équation paramétrique de (D).
b) Déterminer les coordonnées de J et K, intersection de(C)
et(D)
2. Déterminer l’équation de la tangente(𝑇) en 𝐴(−2,3) au
cercle (C’) de centre Ω(1;−1).
9
10