le spectre et le radical de jacobson dans un anneau commutatif(10) 2

Universit´e Moulay Ismail
Facult´e des Sciences Mekn`es
D´epartement de Math´ematiques
Projet de fin d’´etudes
Licence en Math´ematiques et Applications
Promotion : 2019/2020
Le spectre et le radical de Jacobson
dans un anneau commutatif.
Realis´e par :
Yassine Ait Mohamed
Encadr´e par le Professeure : Mme. Bakkari Chahrazade
Soutenu le 08/10/2020

TABLE DES MATI` ERES
1 G´en´eralit´es sur les anneaux 6
1.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Anneaux ..................................... 6
1.2 ´ El´ements remarquables d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Sous-anneaux....................................... 8
1.3.1 Sous-anneau engendr´e par une partie non vide d’un anneau . . . . . . . . . 8
1.4 Morphisme d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Propri´et´es..................................... 9
1.5 Anneauxproduits .................................... 9
1.6 Id´eaux d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.1 D´efinitions, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.2 Id´eal principal, anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.3 Id´eal engendr´e par une partie, somme d’id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.4 Produit d’id´eaux, op´erations sur les id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.1 D´efinitions, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.2 Th´eor`emes d’isomorphisme d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Id´eaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.1 Id´eaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.2 Id´eaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Divisibilit´e et id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.1 Divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.2 ´ El´ements irr´eductibles ; ´el´ements premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10Anneaulocal ....................................... 19
1.11Localisation........................................ 20
1.11.1 Construction de l’anneau S−1A......................... 21
1.11.2 Id´eaux d’un anneau localis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Spectre et radical de Jacobson 24
2.1 La notion de spectre d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Spectre de quelques anneaux sp´eciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Nilradical et radical de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Notion de Radical et Nilradical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Radical de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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D´ EDICACE
Nous d´edions ce modeste travail `a nos parents
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REMERCIEMENTS
Nous tenons tout d’abord, et en priorit´e, `a exprimer nos vifs remerciements au
professeure BAKKARI CHAHRAZADE, directrice de ce m´emoire, pour la qualit´e
de son encadrement, ainsi que pour ses conseils et sa rigueur m´ethodologique dans
la conduite de nos travaux de recherche.
Nous voudrions, `a l’occasion de cette tentative, remercier toutes celles et tous ceux
qui de mani`eres vari´ees et `a des moments diff´erents, nous ont permis de d´ecouvrir
que Les Sciences math´ematiques restent aujourd’hui l’un des enjeux majeurs de notre
devenir personnel et collectif.
Nos remerciements vont ´egalement `a tous ceux qui ont contribu´e `a la r´ealisation
de ce travail de recherche, de pr`es ou de loin, en particulier `a notre entourage fami-
lial. Puissent nos amis trouver ici l’expression de notre profonde reconnaissance.
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INTRODUCTION
L’objectif de ce travail est d’initier le lecteur aux outils de base qui lui permettront
de manier des objets plus complexes faisant intervenir d’autres th´eories, notamment
la g´eom´etrie alg´ebriques. Parmi les nombreux ingr´edients auxquels celle-ci fait appel
figurent les spectres et les radicaux de Jacobson. Avant d’introduire de telles notions,
il faudra d’abord cr´eer le cadre, le contexte ou elles vont si´eger. Pour ce faire, il
conviendrait de lister et caract´eriser les objets n´ecessaires `a cette construction. Ceci
dit, dans un souci de coh´erence, une hi´erarchie s’impose : ´etudier les anneaux et les
morphismes qui les relient en premier, puis d´ecrire les id´eaux. Au passage nous d´ecou-
vrirons une palette d’op´erations, de relations et de manipulations qui vont consolider
et enrichir nos acquis relativement aux notions ´evoqu´ees.
Le plan s’organisera donc en deux parties et suivra le cheminement suivant : une
section d´edi´ee aux constructions sous-jacentes dont on citera la localisation, et une
deuxi`eme section consacr´es `a la description des spectres et des radicaux.
A ce stade nous aimerions pr´eciser que si l’on consid`ere un anneau commutatif, il est
possible de d´efinir deux sortes de spectres associ´es `a celui-ci, chacun ´etant l’ensemble
d’id´eaux : le spectre maximal et le spectre premier. Le premier ´etant l’ensemble de
ses id´eaux maximaux et le second celui de ses id´eaux premiers. Ces notions ont ´et´e
d´egag´ees vers les ann´ees 1955 par Serre (cas maximal) et Chevalley (cas premier).
Finalement, une application `a la g´eom´etrie alg´ebrique sera donn´ee en guise de conclu-
sion.
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