TABLE DES MATI`
ERES
1 G´en´eralit´es sur les anneaux 6
1.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Anneaux ..................................... 6
1.2 ´
El´ements remarquables d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Sous-anneaux....................................... 8
1.3.1 Sous-anneau engendr´e par une partie non vide d’un anneau . . . . . . . . . 8
1.4 Morphisme d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Propri´et´es..................................... 9
1.5 Anneauxproduits .................................... 9
1.6 Id´eaux d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.1 D´efinitions, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.2 Id´eal principal, anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.3 Id´eal engendr´e par une partie, somme d’id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.4 Produit d’id´eaux, op´erations sur les id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.1 D´efinitions, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.2 Th´eor`emes d’isomorphisme d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Id´eaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.1 Id´eaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.2 Id´eaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Divisibilit´e et id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.1 Divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.2 ´
El´ements irr´eductibles ; ´el´ements premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10Anneaulocal ....................................... 19
1.11Localisation........................................ 20
1.11.1 Construction de l’anneau S−1A......................... 21
1.11.2 Id´eaux d’un anneau localis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Spectre et radical de Jacobson 24
2.1 La notion de spectre d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Spectre de quelques anneaux sp´eciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Nilradical et radical de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Notion de Radical et Nilradical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Radical de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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